必修2空间角和空间距离(理科)

空间角和空间距离

空间角

(1)两条异面直线所成的角：

两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。

注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．

②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．

③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：

(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．

(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．

（2）直线与平面所成的角

1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角．

2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为．

3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为．

显然，直线与平面所成的角的范围为．

4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。

斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

（3）二面角

(1)二面角的定义

一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面．

(2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角．注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直．

②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的．

③二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；

相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角．

(3)二面角的平面角的确定与求法

①直接法：这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小．

②公式法：射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，那么．

空间距离

（1）两条异面直线间的距离：

两条异面直线a、b，设A是a上面某点、B是b上面某点，连接AB，使得a⊥AB，b⊥AB，则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线，公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。

注意：①和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

②两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，才是两条异面直线间的距离，它是确定的值。

③任意两条异面直线的公垂线都是存在且唯一的。

求两条异面直线间的距离：先找到公垂线，再确定公垂线短的长度即可。

（2）点到平面的距离：

平面外一点到平面的距离是从这一点向平面引垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

点到平面的距离的确定和求法：

①直接法：通过做垂线找到这个距离，再算出或确定它的大小即可。

②等体积法：在某个具体图形中将这个点到平面的距离视作某个几何图形的高，再通过体积变换求出这个几何图形的体积，从而算出高确定距离。

（3）与平面平行的直线到平面的距离：

一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。

求法：转化成点到平面的距离。

（4）两平行平面间的距离：

如果两个平面平行，那么其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离，叫做这两个平行平面间的距离。

求法：转化成点到平面的距离。

典型例题剖析

例1．已知：a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b 上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5．求异面直线a、b所成的角．

例2．正方体中，求与平面所成的角.

例3.在正四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，求点D ′到平面B ′EF 的距离．

例4．如图，已知中，

，

平面ABC ，

，PB 与平

面ABC 成

角，求二面角A －PB －C 的正弦值．

例5．（2016年新课标1）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，

11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为

（A ）

32 （B ）22

（C ）3

3 （D ）13

例6.在正方体中，与对角面所成角的大小是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

例7.在中，AB=AC=5，BC=6，

平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

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1.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,,,AA AB AD E F G ===分别是11,,DD AB CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角余弦值是（ ）

．

A .

515 B ．22 C ．5

10

D ．0 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π

3.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，

2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为

（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）1

4．（2017年新课标3）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π

B ．

3π4

C ．

π2

D ．

π4

5. (2015高考新课标2)已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π

6.P 是边长为a 的正三角ABC 所在平面外一点，PA ＝PB ＝PC ＝a ， E 、F 是AB 和PC 的中点，则异面直线PA 与EF 所成的角为（ ）