二倍角的三角函数全面版
alevel数学 二倍角公式
alevel数学二倍角公式
二倍角公式是在三角学中常用的公式之一，它可以用来简化和转换三角函数表达式。
二倍角公式有多种形式，包括正弦、余弦和正切的形式。
以下是常见的二倍角公式：
1. 正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
2. 余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos²(θ) sin²(θ) = 2cos²(θ) 1 = 1 2sin²(θ)。
3. 正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 tan²(θ))。
这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式的推导得到。
二倍角公式在解决三角函数的复杂表达式、证明恒等式以及求解三
角方程等问题时非常有用。
除了上述的基本形式外，二倍角公式还可以推广到其他三角函数的组合，比如余切、正割和余割等。
这些公式在解决复杂的三角函数问题时起着重要的作用。
此外，二倍角公式还可以与其他三角函数的和差角公式、半角公式等结合使用，从而进一步简化和转换三角函数表达式，解决各种与三角函数相关的数学问题。
总之，二倍角公式是解决三角函数相关问题时的重要工具，熟练掌握和灵活运用二倍角公式可以帮助我们更好地理解和运用三角函数的性质，解决各种数学问题。
二倍角公式课件
描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
高中数学-必修二6.2.2二倍角公式-知识点
1、熟记二倍角公式及其常用变形.
（1）正弦：sin2α=2sinαcosα。常用变形：①sinα=2sin cos ；②(sinα±cosα)2=1±sin2α。
（2）余弦：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。常用变形-降幂公式：①cos2α= ，②sin2α= 。
5、积化和差公式（容易由两角和或差的正/余弦公式反向推导得出）
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]
6、和差化积公式：
（3）正切：tan2α= 。
2、题型：给角求值。典例：求sin10°sin50°sin70°。方法：变形，凑配，逆用公式。原式=cos80°cos40°cos20°= = （分子连续逆用正弦二倍角公= ；②cos = ；③tan = = = 。
4、万能公式：sinα= ，cosα= ，tanα= 。
①sinα+sinβ=2sin cos
②sinα-sinβ=2cos sin
③cosα+cosβ=2cos cos
④cosα-cosβ=-2sin sin
★记忆口诀：①角的顺序都是α，β， ， ；②公式的左边：一加二减，三加四减。③三角函数名：赛赛赛口；赛赛口赛；口口口口；口口赛赛。④第4个公式，有负号。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
二倍角的三角函数_课件
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0， 即 sin(2x＋π4)≥0， 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函 数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面 的正、负两个符号．
二倍角和半倍角公式
二倍角和半倍角公式在三角函数中，二倍角和半倍角公式是非常重要的公式之一。
它们可以将一个三角函数的角度转化为另一个三角函数的角度，并且可以简化一些复杂的三角函数表达式。
下面将介绍二倍角和半倍角公式的定义以及推导过程。
1. 二倍角公式：正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这些二倍角公式的推导可以通过使用三角函数的和差角公式得出。
假设有一个角度为θ的三角函数表达式，通过和、差角公式可以得到theta和-θ的三角函数表达式。
然后将这两个表达式相加或者相乘，就可以得到二倍角的三角函数表达式。
2. 半倍角公式：正弦函数的半倍角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]余弦函数的半倍角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]正切函数的半倍角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) /(1 + cosθ)]这些半倍角公式的推导可以通过使用二倍角公式得出。
假设有一个角度为2θ的三角函数表达式，通过二倍角公式可以得到2θ的三角函数表达式。
然后将这个表达式中的θ替换成θ/2，就可以得到半倍角的三角函数表达式。
二倍角和半倍角公式在解决三角函数相关问题时非常有用。
通过将角度转化为二倍角或者半倍角，可以简化复杂的三角函数表达式，从而更容易进行计算和推导。
总结：二倍角公式和半倍角公式是解决三角函数相关问题的重要工具。
它们可以将一个角度的三角函数表达式转化为另一个角度的三角函数表达式，并且可以简化复杂的三角函数表达式。
通过熟练掌握和灵活运用二倍角和半倍角公式，可以更快速地解决各种三角函数问题。
二倍角的三角函数
跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos21π2－sin21π2；
解
原式＝cos
π6＝
3 2.
(2)cos 27πcos 47πcos 67π；
2π 2π 4π 6π
解
2sin 原式＝
7 cos
7 cos 2π
7 cos
7
2sin 7
4π 4π 6π 8π 6π
sin ＝
7 cos
7 cos 2π
例3
(1)化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
2θ 2θ
＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ ＝ 2sin θ 2cos
θsin θ＋cos θcos θ＋sin
θθ＝tan
θ.
跟踪训练 3 若π4＜α＜π2，则 1－sin 2α＝ sin α－cos α .
解析 ∵α∈π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴ 1－sin 2α＝ 1－2sin αcos α ＝ sin2α－2sin αcos α＋cos2α ＝ sin α－cos α2＝sin α－cos α.
核心素养之数学建模
解 连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则 AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且 θ∈0，π2. 因为A，D关于原点对称， 所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为 θ∈0，π2，所以当 sin 2θ＝1，即 θ＝π4时，Smax＝400 m2. 此时 AO＝DO＝10 2 m.
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
二倍角公式总结
二倍角公式总结在我们的数学世界里，二倍角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
那咱们今天就来好好总结一下这些神奇的公式！首先，咱们来看看正弦函数的二倍角公式：sin2α = 2sinαcosα 。
这个公式就好像是一个“变形金刚”，在解决很多与三角函数相关的问题时都能大显身手。
比如说，有一次我在辅导一个学生做作业，遇到了这样一道题：已知sinα = 3/5 ，α 是锐角，求sin2α 的值。
这时候，二倍角公式就派上用场啦！因为α 是锐角，所以可以通过勾股定理求出cosα = 4/5 ，然后直接代入公式sin2α = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25 ，问题就轻松解决了。
再来说说余弦函数的二倍角公式，它有三种形式呢！cos2α = cos²α - sin²α ，cos2α = 2cos²α - 1 ，cos2α = 1 - 2sin²α 。
这几个公式看起来有点复杂，但用起来可顺手啦！我记得有一次在课堂上，我给同学们出了一道这样的例题：已知cosα = 1/3 ，求cos2α 的值。
同学们一开始有点懵，不知道该用哪个公式。
我就提醒他们，可以先根据平方关系求出 s inα 的值，然后再选择合适的公式。
最后大家发现用cos2α = 2cos²α - 1 这个公式最简单，算出cos2α = -7/9 ，大家都特别有成就感。
正切函数的二倍角公式是tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。
这个公式在求解一些涉及正切函数的综合问题时常常能起到关键作用。
有一回，我在做一套数学试卷，遇到了这样一道难题：已知tanα =2 ，求tan2α 的值。
我马上就想到了二倍角公式，代入计算，tan2α = -4/3 ，那一刻，真的感觉这些公式就像是我的得力助手，帮我攻克了一个又一个难关。
咱们总结一下，二倍角公式在三角函数的计算、化简、证明等方面都有着广泛的应用。
二倍角PPT课件
1 cos2 2cos2
升幂降角公式
1 cos2 2sin2
cos2 பைடு நூலகம் 1 cos2
2
sin2 1 cos2
2
降幂升角公式
六、半角公式
sin a 1 cosa, cos a 1 cosa
2
2
2
2
tan a 1 cosa 1 cosa sin a 2 1 cosa sin a 1 cosa
cosatanacotasecacscacossinsincoscossin升幂降角公式降幂升角公式sinsincos例1如图有一块以o为圆心的圆形空地要在这块空地上划出一个内接矩形abcd为绿地已知圆半径为r问矩形何时面积最大
倍角公式
一、三角函数的定义
Sin a cosa tana cota seca csca ( x, y, r )
形边AB落在半径上,点C落在圆弧上,D落在另一半径上,问何时 矩形面积最大?
六、本节小结：
1、理解并掌握二倍角正弦、 余弦、正切公式及其变形公式。
2、能利用二倍角的三角函数 公式解决实际问题。
七、作业 同步作业本21页及复习与小节。
五、公式应用：
例1、如图,有一块以O为圆心的圆形空地,要在 这块空地上划出一个内接矩形ABCD为绿地,已 知圆半径为R,问矩形何时面积最大?
A
RB
O O.·
D
X C
变式训练1:将圆空地变成半圆空地,并使一边AB 落在直径上,另两点落在半圆周上,问矩形何时 面积最大?
变式训练2: 将圆形换成圆心角为45°的扇形,使矩
二、同角三角函数基本关系式
平方关系 商式关系
二倍角公式用法
二倍角公式用法二倍角公式是解析几何中一种非常重要的公式，它常用于求解角的正弦、余弦、正切等三角函数值的问题。
在几何学、物理学、工程学等学科中，二倍角公式都有广泛的应用。
下面我们来详细介绍一下二倍角公式的用法。
首先，我们先给出二倍角公式的表达式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))从上述公式可以看出，二倍角公式可以将一个角的三角函数值与一个或两个同名三角函数值相乘、相加、相除等形式进行转化。
这种转化可以将原问题转化为一个更简单的问题，从而更方便地求解。
接下来我们来看看二倍角公式的具体用法。
首先，二倍角公式可以用来求解正弦、余弦函数值。
假设我们已知一个角θ的正弦函数值为0.5，那么利用sin(2θ) =2sin(θ)cos(θ)公式，我们可以得到sin(2θ)的值为1。
同样地，如果我们已知cos(θ)的值为0.8，那么利用cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ)公式，我们可以得到cos(2θ)的值为0.36。
其次，二倍角公式还可以用来求解正切函数值。
假设我们已知一个角θ的正切函数值为1，那么利用tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))公式，我们可以得到tan(2θ)的值为2/3。
除了求解三角函数值外，二倍角公式还可以应用于解析几何问题中。
例如，在直角三角形中，如果我们已知一个角θ的值，可以通过二倍角公式推导出另一个角2θ的值。
这样，我们就能够更全面地了解直角三角形的性质，进而解决与之相关的几何问题。
此外，在物理学和工程学中，二倍角公式也经常用于求解周期性现象。
例如，当要分析一个振动系统的运动规律时，可以利用二倍角公式将正弦函数或余弦函数进行转化，以便更加方便地描述和计算系统的振动特性。
二倍三角函数公式
二倍三角函数公式三角函数可是数学里的“大明星”，其中二倍三角函数公式更是重要的角色。
咱们今天就来好好聊聊这个有趣的家伙！我记得当年我教过一个学生小明，他呀，一碰到二倍三角函数公式就犯迷糊。
有一次上课，我正讲着二倍角的正弦公式：sin2α =2sinαcosα ，我问大家：“同学们，这个公式理解了吗？”大家都点头，只有小明一脸茫然。
我走到他身边问：“小明，哪里不明白？”他挠挠头说：“老师，这一堆字母和符号，我看着就晕。
”我笑着说：“别着急，咱们慢慢来。
”咱们先来说说二倍角的余弦公式，cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α 。
这几个变形公式用处可大啦！比如说在解决一些求最值的问题时，通过巧妙的变形，就能把复杂的式子变得简单明了。
再看看二倍角的正切公式：tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。
这个公式在解决与正切相关的问题时，那可是“神器”。
咱们就拿个实际的例子来说吧。
假设在一个三角形中，已知一个角的正弦值是 1/2 ，要求这个角的二倍角的正切值。
这时候，咱们先根据已知条件求出这个角可能的值，然后再利用二倍角的正切公式就能轻松得出答案啦。
二倍三角函数公式就像是一把万能钥匙，能打开很多数学难题的大门。
比如说在求解三角函数的化简、求值、证明等问题时，只要咱们熟练掌握了这些公式，就能迎刃而解。
回到小明的例子，后来我专门给他开了小灶，通过一些具体的题目，让他一点点感受这些公式的魅力。
比如有一道题：已知sinα = 3/5 ，且α 是锐角，求tan2α 的值。
我带着小明一步一步来，先求出cosα 的值，然后算出tanα ，最后再用二倍角的正切公式求出tan2α 。
经过这样反复的练习，小明终于不再害怕二倍三角函数公式啦，看到题目也能自信满满地去做。
所以呀，同学们，对于二倍三角函数公式，咱们一定要多练习，多思考。
二倍角余弦公式cos公式大全
《二倍角余弦公式cos公式大全》一、介绍在三角函数中，二倍角余弦公式是一个非常重要的公式，它可以用来计算一个角的余弦值，同时也可以用于简化复杂的三角函数表达式。
本文将全面介绍二倍角余弦公式及其相关知识，通过深度和广度兼具的探讨，帮助读者全面理解和运用这一重要的数学工具。
二、二倍角余弦公式让我们来介绍二倍角余弦公式的数学表达式：$$ cos2θ=2cos^2θ-1 $$这个公式是由一个角的余弦值求得其二倍角的余弦值，它可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，以及进行角度之间的转化和计算。
在实际应用中，二倍角余弦公式通常用于解决各种数学、物理、工程等领域的问题，因此掌握和理解这个公式是非常重要的。
三、深入探讨接下来，让我们深入探讨二倍角余弦公式的相关知识。
在使用二倍角余弦公式时，需要注意以下几点：1. 角度的转化在实际运用中，我们经常需要将一个角的余弦值转化为其二倍角的余弦值，或者将两个角的余弦值进行比较。
这时就需要利用二倍角余弦公式来进行计算和转化。
通过这种方式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，并用更简洁的形式来描述和计算问题。
2. 角度的关系二倍角余弦公式还可以帮助我们深入理解不同角度之间的关系。
通过二倍角余弦公式，我们可以发现同一个角度的余弦值与其二倍角的余弦值之间的关系，从而对角度之间的变化和差异有更深入的理解。
3. 复杂表达式的简化在解决实际问题时，我们经常会遇到各种复杂的三角函数表达式，通过二倍角余弦公式，我们可以将这些复杂的表达式简化为更易于理解和计算的形式，从而更高效地解决问题。
四、总结回顾通过本文的全面介绍和深入探讨，相信读者已经对二倍角余弦公式有了更深入的理解和掌握。
在实际运用中，我们可以根据具体问题灵活运用二倍角余弦公式，简化计算过程，加快问题求解的速度。
我们也可以更加深入地理解角度之间的关系，从而更好地应用数学知识解决实际问题。
个人观点和理解在我个人看来，二倍角余弦公式是三角函数中的重要工具之一，它不仅可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，还可以帮助我们更深入地理解角度之间的关系。
二倍角公式及辅助角公式综合应用PPT课件
-
14
(2)当x [0, ]时，(2x－②,…) …[… ,…5…] ……8分
2
6 66
由正弦曲线y=sin x在[ , 5上]的图象知，
66
当2x ③,即x= 时，f(x)取得最大值1;
62
3
当 2x ,即 x=0时，f(x)取得最小值- . ……1 10分
66
2
所以，f(x)在 [0,上]的
8
8
(4)1 2sin2 x.
(5)8sin x cos x cos x cos x 442
2
-
2
sin 2 2sin cos
公式从右向左用即为：
2sin cos sin 2
两边同时除以2，即得
sin cos 1 sin 2
2
-
3
cos2 cos2 sin2
这个公式也要求会从右向左用，即
4
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
(本题源于教材必修4P147T11)
【解题提示】(1)直5接将 代入到解析式求值.(2)利用
4
三角恒等变换将函数f(x)的解析式化简,再利用正弦型
函数的性质求解.
-
19
f(x)=2sin xcos x+2cos2x
=sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x ) 1,
(1)求 f (的x) 最小正周期及最小值；
(2)令
g(x)
f
(
x， 若)
8
1 对任 g (
x)
意x [ ， ] 恒成立，求 a 的范围.
63
-
13
(12分)(2013·陕西高考)已知向量a=（cos x, 1 ）,
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只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
c o ) s c ( o c s o ss isn in
•两角和与差的正切
tan ()ta ntan tan ()ta ntan
1ta ntan
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讲授新课
令
si n ) (s ic n o ss ic n os s i n ) (s ic n o ss ic n o
例 9化s简 i5n 0(0 1ta1n 0)0
解 si5 ： n 0(0 1 ta 10 n )0 si5n 0(0 1 c 3s1 o 1 i0n 0 0 s)0
2(1co1s00 3si1n00)
sin500 2
2 co1s00
2si5n 00 si3n 0c 0o 1 c0s 0 o 1 c0s 0 o 30s 0i1n 00
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
灵活运用公式
s4 i n 2 s2 i n c2 o s
s 2 sco 2 ssi2 n
22
co 2 s12si2 n
co 2s2co 2 s1
2sin9(00400)csio41 ns0000
sin 80 0 cos 10 0
sin9( 00 100) cos100
cos cos
10 0 10 0
1
si2 n2si c no s
co 2 sco 2 ssi2 n co 2 s12si2 n co 2s2co 2 s1
si2 n2si c no
5
cos1si2n 1 ( 3 )2 4
5
5
si2 n 2 si c n o 2s(3)(4) 24 5 5 25
co 2 s 12si2 n12(3)2 7
tan2cccso io2 o n2 s 22 s s1 c222o 2 45s 7 is 2s ni2 25 n 74 25 co 2s2co 22 5 s1
co 2s2co 2 s1 在这两个公式中分别
sin21co2s 2
co 2 ssi2n 1
求c出os2ins2a和co1s2a co2s 2
co 2 s1si2n si2n 1co2 s
co 2 sco 2 ssi2 n (1si2n )si2n
coxsco2sxsi2nx 2 44
1
2sin2
x 4
2cos2 x 1 4
思
si8n? sin 1 ? 2
考 co6s? co3 s?
例 8 设 s i n 3 , I,I 求 s I2 i ,n c2 o ,ts a 2 .n
5
解 ： si n3,II,I
二倍角的三角函数
惠州市技工学校 吕玉荣
复习旧知识
• 两角和与差的正弦
si n ) (s ic n o ss ic n os
si n ) (s ic n o ss ic n os
•两角和与差的余弦
c o ) s c ( o c s o ss isn in
2tan tan21tan2
ta n()ta nta n
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二倍角公式
cs co 2 io 2 2 sn s 1c 2s 2o 2 s i i 2 sc n n si2 o n ((SC2公s 2)) 式t左a端n2的角是1右 2端tt角aa(T的nn 22二)倍
si2 n2si c no s
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