常微分方程数值解法的误差分析教材

淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 ***********指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。

许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。

因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。

数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。

随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。

关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。

然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。

从实际意义来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。

本文研究的主要是针对常微分方程各种数值解法的误差进行分析。

一、常微分方程1、定义首先，我们在这部分给出所需的一些基本概念和基本知识。

我们已经知道微分方程就是联系着自变量、未知函数以及其导数的关系式。

如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程。

方程22d y dy b cy f t dt dt++=() 20dy dy t y dt dt ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 就是常微分方程的例子，这里y 是未知函数，t 是自变量。

微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。

2、常微分方程初值问题描述在自然科学和经济的许多领域中，常常会遇到一阶常微分方程的初值问题()()00,,dy f x y a x b y x y dx⎧=⎪≤≤⎨⎪=⎩(1) 这里(),f x y 是充分光滑，即关于x 或y 满足李普希茨条件的二元函数，0y 是给定的初值，()00y x y =称为初始条件。

3、数值解法的基本思想与途径一阶微分方程的初值问题(1)的解()y x 是区间[],a b 上的连续变量x 的函数，因而问题(1)实际上是一个连续性的问题，求这个问题的数值解，就是要求在区间[],a b 上的若干个离散点处的函数近似值，例如：01...n x a x x b <≤<<≤，然后计算出解()y x 的近似值()()()01,,...,n y x y x y x .一般常取01,,...,n x x x 为等距离的点，即10211...n n x x x x x x h --=-==-=或 ,0,1,...,,i x a ih i n =+=称h 为步长。

建立数值方法的第1步，就是把连续性问题(1)通过一定的方法化为在给定的1n +个点上的近似的差分方程的初值问题，称这个过程为离散化。

常用离散化的方法如下：(一)用差商替代导数在点i x 处的导数()i i y x '可以近似地表示成差商()1,i i i y y y x h+-'≈ 从而把初值问题(1)化为差分问题()()100,,0,1,...,i i i i y y f x y h i n y x y +-⎧=⎪=⎨⎪=⎩ (2)其中i y 表示解()y x 在点i x 处的近似解，即()i i y y x =。

当然，用差商来近似地表示导数，方法不是唯一的，这里所用的是所谓的向前差商。

(二)Taylor 展开法在一点(例如点i x )的附近，()y x 的同次数的近似多项式中的Taylor 多项式()()()()()...!p p i i i i h y x h y x hy x y x p '+≈+++为最好。

其中p 为一正整数。

通过微分方程(),y f x y '=，便可以逐次把各阶导数,,y y '''在i x 处的值表示出来。

(三)数值积分法对微分方程(),y f x y '=在区间[]1,i i x x +上求积分，得()()()()11,,i i x i i x y x y x f x y x dx ++-=⎰ 0,1,i=于是，初值问题(1)便可以近似地化为()()()1100,,0,1,.,i i x i i x y y f x y x dx i n y x y ++⎧=+⎪=⎨⎪=⎩⎰这样，关于上式右端的积分，可以用数值积分方法计算其近似值。

4、数值解的分类常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：单步法：所谓单步法是指这类方法在计算1n y +时，只用到前一步的值1,,,n n n x x y +然后逐步往下计算。

这个算法的代表是龙格---库塔算法，简称R —K方法。

四阶显示Runge-Kutta 方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法，而隐式Runge-Kutta 公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。

多步法：这类方法在计算1n y +时，除了用到前一步的值1,,,n n n x x y +之外，还要用到()1,2,,;0n p n p x y p k k --=>，这前面k 步的值，这个算法的代表就是阿达姆斯(Adams)方法。

5、问题(1)解的存在惟一性定理一个常微分方程是不是有特解呢?如果有，又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。

因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。

因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

这个重要的存在和唯一性就是下面列出的著名的存在惟一性定理。

定理[]1 如果(),f x y 在带形区域(){}R x a x b y =≤≤-∞<<+∞，y ，中连续，且关于y 满足Lipchiz 条件：即存在正常数L ，使得()()1212,,,f x y f x y L y y -≤-对所有的[],x a b ∈以及任何12y y ，都成立，那么初值问题(1)存在惟一的连续可微解()y y x =。