信号与系统4
信号与系统实验四实验报告
实验四 时域抽样与频域抽样一、实验目的加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理的基本内容。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、 实验原理时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率sam f 大于等于2倍的信号最高频率m f ，即m sam f f 2≥。
时域抽样是把连续信号x (t )变成适于数字系统处理的离散信号x [k ] ；信号重建是将离散信号x [k ]转换为连续时间信号x (t )。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。
计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。
三．实验内容1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
)102cos()(1t t x ⨯=π答: 函数代码为: t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*10*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs =50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*10*t); stem(t,x); hold offtitle('连续信号及其抽样信号')函数图像为:)502cos()(2t t x ⨯=π同理,函数图像为:)0102cos()(3t t x ⨯=π同理,函数图像为:由以上的三图可知,第一个图的离散序列,基本可以显示出原来信号,可以通过低通滤波恢复,因为信号的频率为20HZ,而采样频率为50>2*20,故可以恢复,但是第二个和第三个信号的评论分别为50和100HZ,因此理论上是不能够恢复的,需要增大采样频率,解决的方案为,第二个信号的采样频率改为400HZ,而第三个的采样频率改为1000HZ,这样可以很好的采样,如下图所示:2. 产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘制波形。
信号与系统第四章课后习题答案
其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
\ cos tU (t ) «
信号与系统第四章习题参考答案13
《信号与系统》第四章习题参考答案4-1 解 （1）111()ataL es s a s s a -⎡⎤-=-=⎣⎦++ （2）[]2221221sin 2cos 111s s L t t s s s ++=+++++ （3）()2212tL te s -⎡⎤=⎣⎦+（4）[]21sin(2)4L t s =+，由S 域平移性质，得 ()21s i n (2)14tL e t s -⎡⎤=⎣⎦++ （5）因为1!nn n L t s +⎡⎤=⎣⎦，所以 []2211212s L t s s s++=+= 由S 域平移性质，得 ()()23121ts L t e s -+⎡⎤+=⎣⎦+（6）()2211cos sL at s s a -=-⎡⎤⎣⎦+，由S 域平移性质，得 (){}()2211cos ts L at e s s aβββ-⎡⎤-=-⎣⎦+++ （7）232222L t t s s ⎡⎤+=+⎣⎦ （8）732()327tL t es δ-⎡⎤-=-⎣⎦+ （9）[]22sinh()L t s βββ=-，由S 域平移性质，得()22sinh()atL e t s a βββ-⎡⎤=⎣⎦+-（10）由于()211cos ()cos 222t t Ω=+Ω 所以 222221111c o s ()22424ss L t s s s s ⎛⎫⎡⎤Ω=+∙=+ ⎪⎣⎦+Ω+Ω⎝⎭（11）()()()11111at t L e e a a s a s s a s βββββ--⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥--++++⎣⎦⎝⎭ （12）由于()221cos()1ts L e t s ωω-+⎡⎤=⎣⎦++所以 ()()()221cos()1a t a s e L et s ωω--++⎡⎤=⎣⎦++（13）因为(2)(1)(1)(1)(1)(1)t t t te u t e t e e u t ------⎡⎤-=-+-⎣⎦且()(1)(1)2(1)(1)(1)11sst t e e L t eu t L eu t s s ------⎡⎤⎡⎤--=-=⎣⎦⎣⎦++所以 ()(1)(2)2211(2)(1)(1)11s t s s e L teu t e e s s s -----⎡⎤+⎡⎤-=+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦（14）()(1)tL e f t F s -⎡⎤=+⎣⎦，由尺度变换性质，得(1)ta t L e f aF as a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（15）()t L f aF as a ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由s 域平移性质，得 []2()()at t L e f aF a s a aF as a a -⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（16）31cos(6)cos (3)cos(3)2t t t -=∙13cos(9)cos(3)44t t =+32213cos (3)48149s s L t s s ⎡⎤=+⎣⎦++由s 域微分性质，得()()22322222213181327cos (3)481494819d s s s s L t t ds s s s s ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⎡⎤=-+=+ ⎪⎣⎦⎢⎥++⎝⎭++⎣⎦（17）[]2cos(2)4sL t s =+，连续两次应用s 域微分性质，有 []()2224cos(2)4s L t t s-=+，()3232224cos(2)4s sL t t s-⎡⎤=⎣⎦+（18）111atL es s a -⎡⎤-=-⎣⎦+，由s 域积分性质，得111111(1)at sL e ds t s s a ∞-⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰ln()ln ln s s a s s a ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭ （19）351135tt L ee s s --⎡⎤-=-⎣⎦++，由s 域积分性质，得 33111115ln 353t t s e e s L ds t s s s --∞⎛⎫⎡⎤-+⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰（20）()22sin aL at s a =⎡⎤⎣⎦+，由s 域积分性质，得()1122211sin 1arctan 21s s at s a s L ds d t s a a a s a π∞∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 4-2 解（1）因为()()sin ()2T f t t u t u t ω⎡⎤⎛⎫=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()sin ()sin 22T T t u t t u t ωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以可借助延时定理，得()()sin ()sin 22T T L f t L t u t L t u t ωω⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭222222221sT T s ee S S S ωωωωωω--⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭（2）因为()()()sin sin cos cos sin t t t ωϕωϕωϕ+=+ 所以()222222cos sin cos sin sin s s L t s s s ωϕϕωϕϕωϕωωω++=+=⎡⎤⎣⎦+++ 4-3 解此题可巧妙运用延时性质。
信号与系统第4章 连续信号的频域分析
1
信号与系统
出版社 理工分社
4.1 周期信号的傅里叶级数
所有具有各自不同频率的正弦函数 sin nΩt（n =1，2，…）和余弦函数 cosnΩt（n =0，1，2， …）在时间区间（ t0，t0+2π /Ω）范围内构成一个 完备的正交函数集。同样，所有虚指数函数ejnΩt （n = ±0，±1，±2，…）在此时间范围内也构成 一个正交函数集。傅里叶提出，一个周期信号可以 用以上两种正交函数集中相互正交的若干函数的线 性组合来表示。或者说，可以将周期信号分解为这 些正交函数的加权和。
35
信号与系统
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4.6.1 帕塞瓦尔定理 对周期功率信号 f（t），假设其傅里叶系数为 Fn，则其平均功率为
对能量信号 f（t），假设其傅里叶变换为 F（ jω），则其能量为
36
信号与系统
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这说明，式（4.6.1）右边的每一项代表周期 信号中每个复简谐分量的平均功率，而式中右边的 积分是根据时域表达式计算信号平均功率的定义式 。因此，式（4.6.1）所示周期信号的帕塞瓦尔定 理说明，周期信号的平均功率等于各分量的平均功 率之和。考虑到 |Fn|为偶函数，并且由式（4.1.6 ）可知 |Fn|=An/2，代入式（4.6.1）还可以得到周 期功率信号帕塞瓦尔定理的另一种描述，即
33
信号与系统
出版社 理工分社
③非周期信号只有傅里叶变换和频谱密度。而 周期信号既有频谱，也有频谱密度，它们之间可以 通过式（4.5.4）进行转换。
④周期信号的频谱密度都是由冲激函数构成的 。此外，许多不满足绝对可积条件的信号，如果存 在傅里叶变换，其频谱密度中一般都含有冲激函数 ，如单位阶跃信号。
图 4.5.1 复简谐信号、余弦信号和正弦信号的频谱图
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-10页
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
《信号与系统(第四版)》习题详解图文
故f(t)与{c0, c1, …, cN}一一对应。
7
3.3 设
第3章 连续信号与系统的频域分析
试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否 为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函 数组，并用它们的线性组合精确地表示题图 3.2 所示函数f(t)。
题图 3.10
51
第3章 连续信号与系统的频域分析 52
第3章 连续信号与系统的频域分析 53
第3章 连续信号与系统的频域分析 54
第3章 连续信号与系统的频域分析 55
第3章 连续信号与系统的频域分析 56
第3章 连续信号与系统的频域分析 57
第3章 连续信号与系统的频域分析
题解图 3.19-1
8
第3章 连续信号与系统的频域分析
题图 3.2
9
第3章 连续信号与系统的频域分析
解 据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题 解图3.3-1所示。
题解图 3.3-1
10
不难得到：
第3章 连续信号与系统的频域分析
可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有
激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。
69
证 因为
第3章 连续信号与系统的频域分析
所以
即
70
系统函数
第3章 连续信号与系统的频域分析
故
因此
71
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.23 设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且 试在K≥ωm条件下化简下式：
72
第3章 连续信号与系统的频域分析 73
107
信号与系统第4章
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统 第4章-作业参考答案
题图 4-3-1 解：
11
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4-3-7
1）x(t)是实周期信号，且周期为 6； 3）x(t) = −x(t − 3)
1 3
设某信号x(t)满足下述条件：
2）x(t)的傅里叶系数为ak ，且当k = 0 和 k > 2时，有ak = 0；
1
4） ∫−3 |x(t)|2dt = 6 2 5）a1是正实数。
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
第 4 章 习题参考答案
4-1 思考题 答案暂略 4-1 练习题 4-2-2 已知三个离散时间序列分别为 x1 ( n) = cos
2πn 2πn , x3 (n) = e , x 2 (n) = sin 25 10
π x (t ) = sin 4π t + cos 6π t + 时，试求系统输出 y (t ) 的傅立叶级数。 4
解：
3
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4因果系统： y(t) + 4y(t) = x(t)
式中x(t) 为系统输入，y(t)是系统输出。在下面两种输入条件下，求输出y(t)的傅里叶级数 展开： 1）x(t) = cos2πt ；
2
2
= 3 ） f ( t ) Sa (100t ) + Sa
解：
( 60t ) 4）
sin(4π t ) , −∞ < t < ∞ πt
9
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4）T=1/4 4-2-27 设 x(t ) 是一实值信号，在采样频率 ω s = 10000π 时， x(t ) 可用其样本值唯一确定
信号与系统 第4章 信号复频域分析
1 1 F ( s) (a ) s s a t 例4：求 f (t ) Re ct 的LT 2
e s e s F (s) ( > > ) s
4 信号的复频域分析 举例说明收敛域的概念： 例5：求
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；
由方程 可解得：
t
σ0
0
lim e
t
f (t ) 0
σ
4 信号的复频域分析
1.满足 lim f ( t ) e
t
t
0 σ > σ 0 的信号成为指数阶信号；
它是将不一定绝对可积的信号分解成的变振幅复简谐
信号的振幅密度。称为Laplace Transform，记为LT。
0 0
f (t )e
s t
dt f (t )e
s t
dt f (t )e
0
s t
dt f (t )e
0
s t
dt
4 信号的复频域分析
f ( t ) L [ F ( s )]
1
1 2 j
[
j
j
F ( s )e ds ]
st
4 信号的复频域分析
4. 收敛域
使
4.1.1 拉普拉斯变换
0r
f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
dt
基本问题：解决不满足绝对可积的信号问题
(2021年整理)信号与系统第4章习题
（完整）信号与系统第4章习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）信号与系统第4章习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）信号与系统第4章习题的全部内容。
信号与系统第4章习题一、选择题1、连续周期信号的频谱有（ ）A 。
连续性、周期性 B.连续性、收敛性C 。
离散性、周期性 D.离散性、收敛性2、已知)(t x 是周期为T 的函数，)(t x －)25(T t x +的傅里叶级数中，只可能有（ ） A.正弦分量 B.余弦分量 C.奇次谐波分量 D 。
偶次谐波分量3、下列关于傅氏变换的描述的不正确的是( ） A.时域周期离散,则频域也是周期离散的； B 。
时域周期连续，则频域也是周期连续的；C.时域非周期连续，则频域也是非周期连续的；D.时域非周期离散，则频域是周期连续的。
4、周期矩形脉冲序列的频谱的谱线包络线为（ ）A.δ函数B.Sa 函数C.u 函数D.无法给出5、满足傅氏级数收敛条件时，周期信号)(t x 的平均功率( ) A.大于各谐波分量平均功率之和 B.不等于各谐波分量平均功率之和C.小于各谐波分量平均功率之和D.等于各谐波分量平均功率之和6、时域是实偶函数，其傅里叶变换一定是（ ）A.实偶函数 B 。
纯虚函数 C.任意复函数 D.任意实函数7、信号的时宽与信号的频宽之间呈（ ）A.正比关系B.反比关系C.平方关系D.没有关系8、幅度调制的本质是（ )A.改变信号的频率B.改变信号的相位C.改变信号频谱的位置D.改变信号频谱的结构9、已知信号)(t x 如下图所示，则其傅里叶变换为（ )A.)2(2)4(2ωττωττSa Sa +B. )2(2)4(ωττωττSa Sa + C. )2()4(2ωττωττSa Sa + D. )2()4(ωττωττSa Sa + 10、设一个矩形脉冲的面积为S ，则矩形脉冲的傅里叶在原点处的函数值等于（ ） A 。
信号与系统实验四-信号的采样及恢复
实验四 信号的采样及恢复一、实验目的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进行抽样和恢复的基本方法；3、通过实验验证抽样定理。
二、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ⨯=π（2）)502cos()(2t t x ⨯=π （3）)1002cos()(3t t x ⨯=π2、产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进行抽样以得到离散序列，并进行重建。
（1）生成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进行抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利用抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =⎪⎭⎫⎝⎛=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？ （3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利用MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进行抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ∙=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f ππω22==称为抽样角频率。
《信号与系统》课程讲义4-4
j 2
j1
j
0
1
复数极点 复数零点
j1
成对出现
j 2
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
s( s 2)(s 3) [例1]： ② H ( s) ( s 1) 2
解： ② 极点： s = -1 （二阶） s = ∞ （一阶） 零点： s = 0 （一阶） s = -2（一阶） s = -3（一阶）
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
s[( s 1)2 1] [例1]： ① H ( s) ( s 1)2 ( s 2 4)
解：
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶） 零点：s = 0 （一阶） s = 1+j1（一阶） s = 1-j1 （一阶） s = ∞ （一阶）
r (0 ) 1 ，r(0 ) 1 ，e(t ) u(t )
解：
s 1 1 H ( s) 2 s 3s 2 s 2 全部
固有频率
零、极点相消 丢失固有频率
1 1 1 1 1 1 Rzs ( s ) ( ) rzs (t ) (1 e 2t )u (t ) s2 s 2 s s2 2
10 40 10 t 10 t 10 v2 (t ) [ cos 4t sin 4t e ]u (t ) [ e cos(4t 76 )]u (t ) 17 17 17 17 17
自由响应 强迫响应
§4.4 系统函数零极点∽时域特 性和稳定性
三、H(s)极点与系统稳定性关系
n
pi t
K e
k 1 k
v
pk t
自由响应 强迫响应 (系统函数极点形成) (激励函数极点形成)
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
信号与系统4-22例题
信号与系统4-22例题
【例题背景介绍】
信号与系统是一门研究信号及其处理、系统及其特性之间的关系的学科。
在课程中，例题的解析对于理解概念和掌握方法至关重要。
今天，我们来解析4-22例题，这是一道关于线性时不变系统（LTI）的题目。
【例题解析】
（1）问题分析
本题要求我们分析一个线性时不变系统（LTI）的输入输出关系。
给定系统函数H（s），输入信号x（t），求输出信号y（t）。
（2）解决方案
根据线性时不变系统的性质，输出信号y（t）可以表示为：
y（t）= x（t）*h（t）
其中，h（t）是系统函数H（s）的逆傅里叶变换。
（3）步骤详解
步骤1：根据系统函数H（s）求其逆傅里叶变换H（-t）
步骤2：将输入信号x（t）与H（-t）相乘，得到输出信号y（t）
【类似题型总结】
本题考查了线性时不变系统（LTI）的输入输出关系。
解决这类问题的关键是掌握系统函数H（s）与输入输出信号之间的关系，以及如何利用逆傅里叶变换求解输出信号。
【知识点拓展】
线性时不变系统（LTI）在信号与系统课程中占有重要地位。
了解其性质和特点，可以帮助我们更好地理解信号处理和系统分析。
【练习建议】
为巩固所学知识，建议同学们多做类似题型，加强对线性时不变系统（LTI）的理解。
同时，也要注意知识点之间的联系，将信号与系统的基础知识打牢。
通过以上解析，希望能帮助大家更好地掌握线性时不变系统（LTI）的相关知识。
在学习过程中，遇到问题时，可以参考课程教材、请教老师和同学，共同进步。
信号与系统(段哲民)第三版 第四章答案全解
信号与系统（段哲民)第三版第四章答案全解4.1 选择题答案解析(C)伯努利信号是一个具有有限时间持续性的信号，因此是非因果信号。
解析：伯努利信号只在有限时间内存在，而非因果信号是只存在于负时间的信号。
(D)和三角函数的区别是，余弦函数的相位是0，而不是1。
解析：和三角函数不同，余弦函数的相位是0，表示相位没有滞后。
(B)碰撞行为是随机过程，因此其幅度表示为随机变量是正确的。
解析：碰撞行为是随机过程，其幅度表示为随机变量。
4.2 填空题答案解析1.以下哪个信号不是周期信号？(B)解析：周期信号是指在时间轴上具有循环性质的信号。
正方脉冲信号和方波信号都是周期信号，而冲击信号不是周期信号。
2.正弦信号频率是50Hz，则周期为______。
解析：频率和周期的关系为$f=\\frac{1}{T}$。
根据公式可知，周期$T=\\frac{1}{f}=0.02s$。
3.已知信号$y(t)=3\\sin(2\\pi t + \\frac{\\pi}{6})$，则相位为______。
解析：相位指信号相对于某参考信号的滞后程度。
对于正弦信号，相位为$\\theta = 2\\pi t + \\frac{\\pi}{6}$4.3 解答题答案解析1.请证明复指数函数$e^{j\\theta}$是周期信号。
解析：复指数函数$e^{j\\theta}$可以表示为$e^{j(\\omega_0t+\\phi)}=e^{j\\omega_0t}e^{j\\phi}$，其中$\\omega_0$为角频率。
由于$|\\phi| < \\pi$，所以$e^{j\\phi}$是一个衰减的振荡函数，它是一个周期信号。
2.指出以下信号的类型：(1)冲击信号 (2)阶跃信号 (3)斜坡信号解析：(1) 冲击信号是一个非周期信号；(2) 阶跃信号是一个非周期信号；(3) 斜坡信号是一个非周期信号。
3.已知信号y[y]=2y[y−y]，请将该信号分解为若干复指数信号的叠加形式。
信号与系统第四章习题
1 3
s +1 ) ，复频移性质、尺度变换、S 域微分 3
b
b ⎤ 1 s - s ⎡ (4) f (at − b) = f ⎢a(t − )⎥ ↔ F( )e a ，时移性质、尺度变换 a ⎦ a a ⎣
4．7 题图 4．2 所示为从 t=0 起始的周期信号。求 f(t)的单边拉氏变换。
解： (a) f (t ) = f a (t ) *
∑ δ (t − nT )
n =0
∞
- s 1 f a (t ) = ε (t ) − ε (t − T / 2) ↔ (1 - e 2 ) s - s 1 1 1- e 2 1 = = ∴ F(s) = (1 - e 2 ) T -s ⎞ s 1 - e -sT s 1 - e -sT ⎛ ⎜ s ⎜1 + e 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ T T - s
2
K1 =
2 jπ / 6 2 − jπ / 6 e , K2 = e 3 3
∴ h(t ) =
π 4 −t 2 −t e cos( 3t + )ε (t ) = e 6 3 3
2
(
3cos 3t - sin 3t ε (t )
)
当 u s (t ) = ε (t ) 时， U( s ) = H ( s) =
−2 t 解：(1) e f (2t ) ↔
1 s+2 F( ) ，复频移性质、尺度变换 2 2 ⎡1 ⎤
2 2 -2s (2) (t − 2) f ( t − 1) = (t − 2) f ⎢ (t − 2)⎥ ↔ 2F′′(2s)e ，时移性质、尺度变换、S 域微分 2 ⎣2 ⎦
1
−t (3) te f (3t ) ↔ − F′(
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(1)离散时间序列的基本运算包括哪些？ (2)离散时间序列的内插和抽取与连续 时间信号的展缩有何异同？ (3)离散时间序列的内插和抽取 是否互为逆运算？
1.离散时间信号的时域分解有哪几种方法？ 2.离散时间信号表示为单位脉冲序列的线性叠加有何实际意义？
第2章 信号的时域分析
重点：
(1) 基本信号的时域描述和特性，尤其是(t)的特性。 (2) 信号的时域运算 (3) 利用基本信号表示任意信号。 (4) 任意信号x(t)分解为冲激信号(t)的线性组合 (5) 任意信号x[k]分解为脉冲序列[k]的线性组合
研究性教学实施方案
信号与系统 时域分析 优化课程 体系结构 信号与系统 复频域分析 信号与系统 频域分析 掌 握 知 力识
教学重点 掌 握 知 力识 提 高 能 教学难点 教学素材
重点难点 分析与 素材设计
问题提出 问题分析
基于问题 驱动的研 问题解决 究性教学 问题延伸 频域分析 教学案例 复频域分析 教学案例
时域抽样
(1) CFS的数学与物理含义是什么？ (2)具有对称特性偶周期信号的Fourier 系数有何特点？ (3)连续周期信号频谱有何特点？ 其谱线间隔与什么有关？ (4)如何定义信号的有效带宽？
(1) 为什么要进行时域抽样? (2) 如何实现信号的时域抽样? (3) 抽样信号频谱有什么特点? (4) 抽样定理的内涵是什么? (5) 时域抽样会遇到什么实际问题?
(1) 信号分析的主要内容和基本方法是什么？ (2) 系统分析的主要内容和基本方法是什么？ (3) 信号与系统的相互关系是什么？
第2章 信号的时域分析
信号的时域分析(6学时)
连续时间信号(3学时)
离散时间序列(2学时)
信号的分解(1学时)
时域 描述
基本 运算
时域 描述
基本 运算
直 流 分 量 与 交 流 分 量
第4章 信号的频域分析 问题研讨
题目1：分析音阶的频谱 (1) 录制你所喜欢乐器弹奏的音阶,并存为wav格式。
(2) 对所采集的音阶信号进行频谱分析,比较各音阶的频谱。
题目2： 男生女生声音信号的转换
(1) 采集wav格式的男女生语音信号。 (2) 对所采集的男女生信号分析其频谱，并比较频谱特点。 (3) 实现男生女生声音信号的转换。
(1) 为什么要进行频域抽样? (2) 频域抽样所对应时域信号有什么特点? (3) 频域抽样定理的内涵是什么? (4) 频域抽样会遇到什么实际问题?
(1) DTFT的数学概念与物理概念是什么？ (2) 离散非周期信号频谱有何特点？相比于离散周期信号，其频谱有何异同？ (3) DTFT性质反映了时域与频域怎样的对应关系？ (4)如何计算离散非周期信号的频谱？
第3章 系统的时域分析
离散系统时域分析模块
系统时域描述
系统响应分析
(1)卷积和的意义？ (2)卷积和的计算？ (3)卷积和的特性？
卷积和
描述离散时间LTI系统输入输出 约束关系的差分方程有何特点？
(1) 离散系统零输入响应取决于系统哪些要素？ (2) 离散系统零状态响应的理论基础是什么？ (3) 离散系统单位脉冲响应的计算及其物理意义?
(1) CTFT的数学概念和物理概念是什么？ (2) 连续非周期信号频谱有何特点？相比于连续周期信号，其频谱有何异同？ (3) Fourier变换性质反映了时域与频域怎样的对应关系？ (4)如何计算连续非周期信号的频谱？
第4章 信号的频域分析
离散信号频域分析模块
周期信号
非周期信号
频域抽样
(1) DFS的数学与物理含义是什么？ (2)具有对称特性偶周期信号的Fourier 系数有何特点？ (3)离散周期信号频谱有何特点？ 其谱线间隔与什么有关？
第4章 信号的频域分析
重点：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 四类信号频谱的概念及特点。 连续时间周期信号频谱的计算。 常见连续时间信号的频谱。 连续时间信号Fourier变换的基本性质。 连续时间非周期信号频谱的计算。 离散时间周期信号、非周期信号频谱的计算。
难点：
(1)信号频谱概念的建立。 (2)连续非周期信号频谱的计算。
第4章 信号的频域分析
课堂讨论：
(1)信号频域分析的基本方法是什么? (2)四类信号的频谱有何特点?时域和频域存在什么对应关系? (2)信号频域分析存在什么问题? (3)对带通信号的抽样，抽样频率如何确定?
第5章 系统的频域分析
系统的频域分析(8)
连续系统的频域分析(5)
离散系统的频域分析(3)
(1)正弦序列通过系统，其稳态响应有什么特点？ (2)周期、非周期序列通过系统，其零状态响应频域分析的基本方法是什么？ (3)离散系统响应的时域分析与频域分析有何区别与联系?
第2章 信号的时域分析
课堂讨论：
(1)信号时域分析的基本方法是什么? (2)信号时域分析存在什么问题?
第3章 系统的时域分析
系统的时域分析(6)
连续系统的时域分析(3)
离散系统的时域分析(3)
系统 时域 描述
系统零输 入、零状 态响应、 单位冲激 响应
卷积 积分
系统 时域 描述
系统零输 入、零状 态响应、 单位脉冲 响应
难点：
(1)冲激信号(t)及其特性 (2)任意信号x(t)分解为冲激信号(t)的线性组合
第2章 信号的时域分析 研讨问题
题目1：基本信号的产生，语音的读取与播放 (1)生成一个正弦序列，讨论数字频率变化与波形变化的规律； (2)观察一定时期内的股票上证指数变化，生成模拟其变化的指 数信号， (3)录制一段音频信号，进行音频信号的读取与播放， 题目2：语音信号的翻转、展缩（信号的基本运算） (1)将原始音频信号在时域上进行延展、压缩， (2)将原始音频信号在频域上进行幅度放大与缩小， (3)将原始音频信号在时域上进行翻转，
第3章 系统的时域分析
重点：
(1) 理解使用常系数微分方程和常系数差分方程描述连续 时间LTI系统和离散时间LTI系统。 (2) 系统响应重点研究仅由系统初始状态产生的零输入响 应和仅由激励信号产生的零状态响应。 (3) 单位冲激响应h(t)及单位脉冲响应h[k]的理解与求解。
难点：
卷积是求解系统零状态响应的重要工具，也是课程的 难点之一。学习时注意认真领会和掌握卷积积分与卷积和 的图形计算，这是掌握卷积的关键。
系统 频域 描述
响应 频域 分析
两类 典型 系统
系统 频域 描述
响应 频域 分析
两类 典型 系统
正弦 信号
周 信号
非 周期 信号
正弦 信号
周期 信号
非 周期 信号
第5章 系统的频域分析
连续系统频域分析模块
系统频域描述
响应频域分析
两类典型系统
(1) 连续系统频率响应的物理含义 及工程概念是什么? (2) 虚指数信号通过系统，其零状态 响应有什么特点？ (3) 如何计算连续系统频率响应？
提 高 能
时域分析 教学案例
面向工程 实际的 案例教学
第1章 信号与系统分析导论
信号与系统分析导论(2)
信号描述及分类
系统描述及分类
信号与系统关系
信号 的 描述
信号 的 分类
系统 的 描述
系统 的 分类
信号 分析 概述
系统 分析 该述
信号 系统 应用
线性 系统 特性
非时变 系统 特性
第1章 信号与系统分析导论
第4章 信号的频域分析
信号的频域分析(12)
连续信号 (9)
离散信号(3)
连续周期
连续非周期
离散周期
离散非周期
频谱 及其 特性
CFS 性质
频谱 及其 特性
常见 信号 频谱
CTFT 性质
频谱 及其 特性
DFS 性质
频谱 及其 特性
DTFT 性质
第4章 信号的频域分析
连续信号频域分析模块
周期信号
非周期信号
第3章 系统的时域分析 问题研讨
题目3：系统响应时域求解 (1)求实际RLC电路的零输入响应和零状态响应。 (2)将原始音频信号中混入噪声，然后用M点滑动平均系统对受 噪声干扰的信号去噪，改变M点数，比较不同点数下的去噪 效果。 题目4：连续信号卷积的近似计算
y(t)
x( )h(t )d
第5章 系统的频域分析
离散系统频域分析模块
系统频域描述
响应频域分析
两类典型系统
(1) 离散系统频率响应的物理含义 及工程概念是什么? (2) 虚指数序列通过系统，其零状态 响应有什么特点？ (3) 如何计算离散系统频率响应？
(1) 什么是无失真传输系统? 其有何理论意义? (2) 为什么在频域称系统为滤波器? (3) 两类系统的时域与频域有何特性? (4) 如何理解信号与系统的频率匹配?
(1) 什么是无失真传输系统? 其有何理论意义? (2) 为什么在频域称系统为滤波器? (3) 两类系统的时域与频域有何特性? (4) 如何理解信号与系统的频率匹配?
(1)正弦信号通过连续系统，其稳态响应有什么特点？ (2)周期、非周期信号通过系统，其零状态响应频域分析的基本方法是什么？ (3)连续系统响应的时域分析与频域分析有何区别与联系?
第4章 信号的频域分析
问题研讨
题目3：信号时域抽样引起的混叠 研究sin(2pf0t)的抽样，抽样频率fs=8kHz，抽样时间1 秒钟。
(1)对频率为2kHz, 2.2 kHz, 2.4 kHz和 2.6 kHz正弦信号抽样，利 用sound(x, fs)播放这四个不同频率的正弦信号。 (2)对频率为7.2 kHz, 7.4 kHz, 7.6 kHz和 7.8 kHz正弦信号抽样， sound(x, fs)播放这四个不同频率的正弦信号。 (3)比较(1)和(2)的实验结果，解释所出现的现象。