最新2018-2019学年高二5月联考数学(理)试卷
2018-2019湖南省五市十校高二下学期期末联考数学（理)试题 解析版
绝密★启用前湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考数学（理)试题一、单选题1．已知集合{|20},{|M x x N x y =-<==，则M N ⋃=A ．{ | -1}x x >B ．{|12}x x -≤<C ．{ |-12}x x <<D ．R【答案】D 【解析】 【分析】先解出集合M 与N ，再利用集合的并集运算得出M N ⋃. 【详解】{}{}202M x x x x =-<=<，{{}{}101N x y x x x x ===+≥=≥-，M N R ∴=，故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题。
2．已知复数21z i=-，则下列结论正确的是 A ．z 的虚部为i B ．2z =C ．2z 为纯虚数D ．1z i =-+【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法将复数z 化为一般形式，然后利用复数的基本知识以及四则运算法则来判断各选项的正误。
【详解】()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+，z ∴的虚部为1，z ==()2221122z i i i i =+=++=为纯虚数，1z i =-，故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、复数的概念、共轭复数等的理解，解题的关键就是将复数化为一般形式，借助相关概念进行理解，考查计算能力，属于基础题。
3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=，则31323339log log log log a a a a +++⋯+=（ ）A ．12B ．10C ．9D ．32log 5+【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比中项的性质计算出5a 的值，再利用对数的运算性质以及等比中项的性质得出结果。
【详解】由等比中项的性质可得246375218a a a a a +==，等比数列{}n a 的各项均为正数，则53a =， 由对数的运算性质得()3132333931289log log log log log a a a a a a a a ++++=()()()()()423192837465355log log a a a a a a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦99353log log 39a ===，故选：C.【点睛】本题考查等比中项和对数运算性质的应用，解题时充分利用这些运算性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题。
河南省名校2018-2019学年高二5月联考数学(理科)试题(解析版)
河南省名校2018～2019学年高二5月联考数学(理科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A. 1或2B. 0或1C. 0或2D. 0或1或2【答案】D 【解析】 【分析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.2.复数22i+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. 25- B. 25C. 25i - D. 25i【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法可得242255i i =-+后，从而可得其虚部. 【详解】22(2)422(2)(2)55i i i i i -==-++-，所以复数22i+的虚部是25-.故选A. 【点睛】本题考查复数的除法及其复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部是b ，不是bi ，这是复数概念中的易错题.3.“3,a b ==22222(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2”的（ ） A. 充要条件B. 必要补充分条件C. 既不必要也不充分条件D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】当3,a b ==时，我们只能得到a b =之间的条件关系.【详解】当3,a b ==22222x y a b -=-化为标准方程是2212418y x -=，其离心率是e ==；但当双曲线22222(0,0)x y a b a b -=->>时，即22221(0,0)22y x a b b a -=>>的离心率为22=，得a b =所以不一定非要3,a b ==故“3,a b ==22222x y a b -=-(0,0)a b >>”的充分不必要条件.故选D.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4.某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（）A. 0.5B. 0.48C. 0.4D. 0.32【答案】B【解析】【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率.【详解】设“第一次投进球”为事件A，“第二次投进球”为事件B，则得2分的概率为+⨯=.故选B.=+=⨯0.60.60.40.4()()0.4p P A B P AB【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.5.《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两），问玉、石重各几何?”其意思：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两?”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（）A. 96,80B. 100,76C. 98,78D. 94,82【答案】C 【解析】 【分析】流程图的作用是求出112776x y +=的一个解，其中90,86x y ≥≤且x 为偶数，逐个计算可得输出值. 【详解】执行程序：90,86,27;92,84,27;94,82,27;96x y s x y s x y s x ==≠==≠==≠=，80,27;98y s x =≠=78,27y s ==，故输出的,x y 分别为98,78.故选C.【点睛】本题考查算法中的循环结构、选择结构，读懂流程图的作用是关键，此类题是基础题. 6.632(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 项的系数为（ ） A. 45 B. 30C. 75D. 60【答案】C 【解析】 【分析】考虑6(1)x +展开式中2CF PC ==及2x 系数可得所求的系数.【详解】在6(1)x +中，222444365615,15T C x x T C x x ====，因此展开式3x 项的系数是21531575⨯+⨯=.故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是32191()8162f x x ax x =-++ （x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤【答案】B 【解析】 【分析】销售的利润为321911()181622g x x ax x x =-++--，利用(2) 2.5g =可得a ，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为()g x ，由题意，得321911()181622g x x ax x x =-++--，(]0,8x ∈ 即3219()8161g x x ax =-+-，当2x =时，95(2)1142g a =-+-=，解得2a =， 故3219()1,88g x x x =-+-23()8g x x '=-+93(6)48x x x =--，当(0,6)x ∈时，'()0g x >，当(6,8)x ∈时，'()0g x <，所以函数()g x 在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减，所以6x =时，利润最大，故选B.【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．8.如图所示是一个几何的三视图，则其表面积为（ ）A. 4B. 4C. 8D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积. 【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥P ABC -，其中、、P A B 是棱长为4的正方体的顶点，C 为正方体的底面中心，注意到,PC BC AB PB ⊥⊥所以1=42PCA S ∆⨯=，11422PCB ABP S S ∆∆=⨯==⨯⨯=142ABC S ∆=⨯=，因此该三棱锥的表面积等于4.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．9.在钝角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b >，已知8,sin sin a B C =-=sin 4A，7cos 28A =-，则ABC ∆的面积为（ ）A. 3B. 6C.D. 【答案】C 【解析】 分析】由正弦定理可得2b c -=，再利用二倍角公式可求1cos 4A =-，再利用余弦定理求出24bc =后可求ABC ∆的面积.【详解】由正弦定理，得24a b c -==，由2cos22cos 1A A =-，得1cos 4A =（舍），1cos 4A =-由余弦定理，得a ===8=，解得24bc =. 由1cos 4A =-，得sin A =，所以ABC ∆的面积11sin 24224S bc A ==⨯⨯= C.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.10.函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ） A.35B.45C.D.5【答案】B 【解析】 【分析】【把25sin 5cos 4y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得到4y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，化简后可得cos ,sin 44ππϕϕ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，利用两角和的余弦和正弦展开后可得cos j 的值.【详解】把25sin 5cos 4y x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得到所得图像的解析式为cos sin 444y x x x πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据1sin cos (0)y x a x a =+>可得44a ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①， 所以2150a +=即7a =（7a =-舍），又对①化简可得1cos sin 107sin cos 10ϕϕϕϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故4cos 5ϕ=，故选B.【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.．11.在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：()3322()a b a b a ab b -=-++）（ ）A. 2B.116C. 4D.113【答案】B【解析】 【分析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .则在'Rt PO D ∆中，有221112a h +=，再根据体积为4可求3h =及2a =，在'R t OO D ∆中，有222(3))R R -+=，解出R 后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .设底面正方形ABCD 的边长为a ，正四凌锥的高为()*h h ∈N，则2O D a '=.=221112a h +=……① 又因为正四棱锥的体积为4，所以2143a h =• ……②由①得()22211a h=-，代入②得31160hh -+=，配凑得32711330h h --+=，()2(3)3911(3)0h h h h -++--=，即()2(3)320h h h -+-=，得30h -=或2h +320h -=.因为*h ∈N ，所以3h =，再将3h =代入①中，解得2a =，所以O D '==，所以OO PO '='-3PO R =-. 在Rt OO D ∆'中，由勾股定理，得222OO O D OD '+'=，即222(3)R R -+=，解得116R =，所以此球半径等于116.故选B. 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系.12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭时抛物线C 上的一点，以点M 为圆心与直线2px =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A. 2y x = B. 22y x =C. 24y x =D. 28y x =【答案】C 【解析】 【分析】作MD EG ⊥，垂足为点D，根据(0Mx 在抛物线上可得04px=，再根据1sin 3MFG ∠=得到001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，结合前者可得2p =，从而得到抛物线的方程. 【详解】画出图形如图所示作MD EG ⊥，垂足为点D .由题意得点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =，得04px =.① 由抛物线的性质，可知0||2p DM x =-，的因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得0x p =. ②， 由①②，解得02x p ==-（舍去）或02x p ==. 故抛物线C 的方程是24y x =.故选C.【点睛】一般地，抛物线()220=>y px p 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02p y +.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知向量(,a t t =-与(3,2)b t =+共线且方向相同，则t =_______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标形式可得2230t t --=，解出t 后检验可得3t =.【详解】由题意得(2t t t =即2230tt --=，解得1ι=-或3t =.当1t =-时，(31)b a =--，不满足条件；当3t =时，33b a +=，a 与b 方向相同， 故3t =.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么： （1）若//a b ，则1221x y x y =； （2）若a b ⊥，则12120x x y y +=；14.设实数x ，y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______． 【答案】11. 【解析】分析：作出可行域，2z x y =+变变形为，12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，由图可知当直线经过点()5,3时，直线在y 轴上的截距最大，将点()5,3代入2z x y =+，即可得结果.详解：作出约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，由474311x y x y -=-⎧⎪⎨⎪-=⎩可得，53x y =⎧⎪⎨⎪=⎩2z x y =+变变形为，12y x z =-+，平移直线12y x z =-+，由图可知当直线经过点()5,3时， 直线在y 轴上的截距最大， 将点()5,3代入2z x y =+， 可得z 取得最大值11，故答案为11.点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为______． 【答案】32【解析】分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及由公式1sin 2S ab C =求得面积. 详解：由题意得22sin c R C ==，即sin 2cC =， ∴1sin 2ABC S ab c ∆==1113622442c ab abc ⨯==⨯=，故答案为32.点睛：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.16.已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______．【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】 【分析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围.【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m+的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在等比数列{}n a 中，23411,92187a a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 3314423nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭• 【解析】 【分析】（1）求出公比后可得{}n a 的通项公式. （2）利用错位相减法可求n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q .由23411,92187a a a ==，得22212187a q a q =•，得23212187a q =， 所以3127q =，解得13q =.故数列{}n a 的通项公式是2213nn n a a q -⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）13nn n b na n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 则23111111123(1)33333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2341111111123(1)333333nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②由①-②，得231121111113333333n nn n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113311313nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭-， 111112233nn n +⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3314423nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭•【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.在四棱锥A BCDE -中，侧棱AD ⊥底面BCDE ，底面BCDE 是直角梯形，//DE BC ，BC CD ⊥，2224,,BC AD DC DE BDEC O H =====是棱AD 上的一点（不与A 、D 点重合）.（1）若//OH 平面ABE ，求AHHD的值； （2）求二面角A BE C --的余弦值. 【答案】(1) 2AH HD =(2) 3【解析】 【分析】（1）由//OH 平面ABE 可得//OH AB ，从而得到2AHHD=. （2）以D 为坐标原点，,,DE DC DA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面ABE 的一个法向量和平面BCDE 的一个法向量后可得二面角A BE C --的余弦值.【详解】（1）证明：因为//OH 平面ABE ，OH ⊂平面ABD ,平面ABD ⋂平面ABE AB =， 所以//OH AB ，所以::OD OB DH HA =， 因为//,2DE BC BC DE =， 所以::1:2OD OB DE BC ==. 所以1,22HD AHAH HD==即. （2）解：以D 为坐标原点，,,DE DC DA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则点(0,0,2),(2,0,0),(4,2,0)A E B . 则(2,0,2),(4,2,2)AE AB =-=-.设平面ABE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则•0•0n AE n AB ⎧=⎨=⎩，即2204220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，得x zy z =⎧⎨=-⎩. 令1z =，得(1,1,1)n =-；易知平面BCDE 的一个法向量为(0,0,1)m =，设二面角A BE C --的大小为θ，则cos 313m n m nθ===⨯.故二面角A BE C --【点睛】线线平行的证明可利用线面平行或面面平行来证明，空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：（1）完成如下22列表，并判断是否由99%的把握认为.了解阿基米德与选择文理科有关？（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据:22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】(1)见解析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解析 【解析】 【分析】（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关. （2）（i ）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：计算222()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯=（人），理科生人数是70107100⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，则0337310C C 7(0)C 24P X ===， 1237310C C 21(1)C 40P X ===， 17213307(2)40C C P X C ===，3037310C C 1(3)C 120P X ===. 其分布列为所以72171369()01232440401204010E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．20.已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 分别是其左、右焦点，且过点(2,3)A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在直线6y x =+上任取一点P ，从点P 向12AF F ∆的外接圆引一条切线，切点为Q .问是否存在点M ，恒有||||PM PQ =？请说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2) M ⎝⎭，或M ⎝⎭【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）先求出12AF F ∆的外接圆的方程，设M 点为(,),t n P 点为(,6)x x +，则由||||PM PQ =可得()221222(322)0n n t n x ι+-++--=对任意的x R ∈恒成立，故可得关于,t n 的方程，从而求得M 的坐标.【详解】解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =. ① 又椭圆C 过点(2,3)A ，所以代入得22491a b +=. ② 又2a . ③由①②③，解得4,2a b c ===.所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. （2）由（1）得，1F ，2F 的坐标分别是(2,0),(2,0)-.因为12AF F ∆的外接圆的圆心一定在边12F F 的垂直平分线上，即12AF F ∆的外接圆的圆心一定在y 轴上，所以可设12AF F ∆的外接圆的圆心为'O ，半径为r ，圆心'O 的坐标为(0,)m ， 则由2O A O F '='=， 解得32m = 所以圆心'O 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径252r O F ='==， 所以12AF F ∆的外接圆的方程为2223522x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 设M 点为(,),t n P 点为(,6)x x +，因为||||PM PQ =， 所以2222325()(6)624x t x n x x ⎛⎫-++-=++-- ⎪⎝⎭， 化简，得()221222(322)0n n t n x ι+-++--=，.所以22122203220t n n t n ⎧+-+=⎨--=⎩，消去t ，得29721504n n -+=，解得154n =或154n =.当n =时，32t n =-=；当154n =时，3924t n =-=所以存在点M ⎝⎭，或M ⎝⎭满足条件. 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题.21.设函数()ln ,()2mx m f x x g x x -==. （1）当01x ≠时，求函数()()()F x f x g x =+的零点个数；（2）若0[1,)x ∃∈+∞，使得()()00f x g x <，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) (2,)+∞【解析】【分析】（1）利用()F x '的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数.（2）不等式有解等价于()()f x g x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立即ln 02mx m x x--≥，构建新函数()ln (1)2mx m h x x x x-=-≥，求出()'h x 后分2m ≤和2m >分类讨论可得实数m 的取值范围. 【详解】解：（1）1()ln 2x F x x x -=-，即11()ln (0)22F x x x x =+->， 则221121()22x F x x x x -'=-=，令()0F x '=解得12x =. 当10,,()0,()2x F x F x ⎛⎫∈'< ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1,,()0,()2x F x F x '⎛⎫∈+∞> ⎪⎝⎭在12+∞（，）上单调递增， 所以当12x =时，min 11()ln 222F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为121ln 2ln e ln 202-=-<， 所以min ()0F x <. 又2221e 1e 520e 222F -⎛⎫=-+-=> ⎪⎝⎭，1111(e)102e 22e 2F =+-=+>， 所以21102F F e ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1()02F e F ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()F x 分别在区间2111,,,e e 22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各存在一个零点，函数()F x 存在两个零点. （2）假设()()f x g x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，即ln 02mx m x x--≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立. 令()ln (1)2mx m h x x x x -=-≥，则2212()22m x m h x x x x -'=-=. ①当2m ≤，即20x m -≥时，且()h x '不恒为0，所以函数()ln 2mx m h x x x-=-在区间[1,)+∞上单调递增. 又1(1)ln1021m m h ⨯-=-=⨯，所以()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立. 故2m ≤不符合题意；②当2m >时，令22()02x m h x x -'=<，得12m x ≤<；令22()02x m h x x -'=>，得2m x >. 所以函数()ln 2mx m h x x x -=-在区间1,2m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以(1)02m h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即当2m >时，存在01x ≥，使()00h x <，即()()00f x g x <. 故2m >符合题意.综上可知，实数m 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆1C 的直角坐标方程；（2）设动点A 在圆1C 上，动线段OA 的中点P 的轨迹为2C ，2C 与直线l 交点为,M N ，且直角坐标系中M 点的横坐标大于N 点的横坐标，求点,M N 的直角坐标.【答案】(1) 1C 的直角坐标方程是222x y y +=.直线l 的普通方程为102y -+=.(2) 1111,,4242⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）消去参数t 后可得l 的普通方程，把2sin ρθ=化成22sin ρρθ=，利用互化公式可得1C 的直角方程.（2）设点(,)P x y ，则()2,2A x y ，利用A 在椭圆上可得2C 的直角方程，联立直线的普通方程和2C 的直角坐标方程可得,M N 的直角坐标.【详解】解：（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将互化公式cos ,sin x y ρθρθ==代上式，得222x y y +=，故圆1C 直角坐标方程是222x y y +=. 由212x t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得12y =+102y -+=. 所以直线l 102y -+=. （2）设点(,)P x y .由中点坐标公式得曲线2C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 联立221021124y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得14142x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，或14142x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 故点,M N 的直角坐标是1111,,4242⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|()f x x a x a =-++∈R .（1）若函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值；（2）若当[0,1]x ∈时，不等式()|5|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1a =-或5a =-. (2) [1,2]-【解析】【分析】 的（1）利用绝对值不等式可得min ()|3|f x a =+.（2）不等式()|5|f x x ≤+在[]0,1上恒成立等价于||2x a -≤在[]0,1上恒成立，故||2x a -≤的解集是[]0,1的子集，据此可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，所以min ()|3|f x a =+.令|3|2a +=，得32a +=或32a +=-，解得1a =-或5a =-.（2）当[0,1]x ∈时，()||3,|5|5f x x a x x x =-+++=+.由()|5|f x x ≤+，得||35x a x x -++≤+，即||2x a -≤，即22a x a -≤≤+.据题意，[0,1][2,2]a a ⊆-+，则2021a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a -≤≤. 所以实数a 的取值范围是[1,2]-.【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
【数学】吉林省普通高中联合体2018-2019学年高二下学期期末联考(理)
吉林省普通高中联合体2018-2019学年高二下学期期末联考（理）注意事项：1.本试卷答题时间为120分钟，满分150分。
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
3.考生作答时务必将选择题答案用2B 铅笔涂在答题卡指定位置上，将非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡指定位置上；在本试卷上答题无效。
4.考试完成后，将答题卡上交，其它试卷考生自己留存。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在ABC ∆中，5,3a b ==，则sin :sin A B 的值是（ ） A.35 B.53 C.37 D.572.数列1，-3，5，-7，9，...的一个通项公式为 （ ）A. B. C. D.3.下列说法正确的是（ ）A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b 4.“”是“A=30°”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件5．不等式2x -2x-3<0的解集是（ ）A ．（-3,1） B.(-1,3) C.(- ∞,-1) ∪(3,+ ∞) D.(- ∞,-3) ∪(1,+ ∞)6.设、分别是平面的法向量，则平面的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．不能确定7.已知数列为等比数列，若，则（ ）12-=n a n )21()1(n a n n --=)12()1(--=n a n n )12()1(+-=n a n n (2,2,5)u =-r (6,4,4)v =-r ,αβ,αβ{}n a 372,8a a ==5a =A.B. C. D. 8.设y x ,满足约束条件,30101⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-x y x y x 则y x z 32-=的最小值是（ ）A. B.-6 C. D.-39.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则A,B 的中点M 到抛物线准线的距离为( )A. 52B. 72 C ．2 D ．310．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“对任意R x ∈，均有012<++x x ”D ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为真命题11.设等差数列的前n 项和为,若,,则当取最小值时,n 等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 512.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设等比数列{}n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则_______44=a S 14.设191,=+∈+yx R y x 且，则y x +的最小值为 15.在△ABC 中，1,6==∠AC B π,AB =则BC 的长度为________1414±44±{}n a n S 111a =-466a a +=-n S16.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22,过1F 直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么椭圆C 的方程为 。
高二数学5月联考试题 理(含解析)新人教版 新 版
——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019学年度第二学期高二理科数学05月份联考试卷时间：120分钟总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若=，则x的值为（）A. 1或2B. 3或4C. 1或3D. 2或4【答案】D【解析】由得或，解得或，故选D．点睛：组合数，特别注意组合数性质：，在解组合数方程时要注意，否则易漏解．2. 已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（）A. ，-6B. -，6C. -6，D. 6，-【答案】A【解析】，，，，故选A．点睛：设，则（1）存在实数，使，也即（分母均不为0时）；（2）．3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D．4. 在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3的项的系数是（）A. -30B. 5C. -10D. 10【答案】D【解析】的系数为，故选D．5. 设,则（）A. B. C. 1025 D.【答案】A【解析】令得：，又，所以，故选A．点睛：涉及展开式中的系数和的问题，一般要用“赋值法”，对展开式两端的赋以同值，利用恒等关系确定系数和，如何赋值，要观察所示主和式的特征，发现差异，保证正确，常用技巧：（1）令字母（或）可求得所有项的系数和；（2）设，则为偶次项系数和，为奇次项系数和，常数项．6. 某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（）A. 男2人，女6人B. 男3人，女5人C. 男5人，女3人D. 男6人，女2人【答案】B【解析】试题分析：设男生人数为，则女生人数为，由题意可知即，解得，所以男、女生人数为，故选B.考点：排列与组合.7. 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A. 56个B. 48个C. 45个D. 42个【答案】D【解析】.8. 一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.考点：离散型随机变量及其分布列.9. 从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字的四位数，这个数不能被3整除的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】四位数有，能被3带除的有，因此不能被3带除的有，概率为．10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系11. 已知随机变量ξ的概率分布如下:则P(ξ=10)等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，故选C．12. 在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x，y，z) ，(x，y，z∈R)，若四点A，B，C，D共面，则（）A. 2x+y+z=1B. x+y+z=0C. x-y+z=-4D. x+y-z=0【答案】A【解析】，，，因为四点共面，所以共面，即存在使得，即，消去得，故选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13. 书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有____________种（请用数字作答）【答案】336【解析】我们可以一本一本的插入，先插入一本可以在原来5本书形成的6个空档中插入，共有6种插入方法；同理再插入第二本共7种插入方法，插入第三本共有8种插入方法，所以共有6×7×8＝336(种)不同的插法．14. 被49除所得的余数是___________（请用数字作答）【答案】0【解析】，因此它除以49的余数为0．15. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有_________种（请用数字作答）【答案】56【解析】试题分析：本题使用插空法，先将亮的盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭则有个符合条件的空位，进而在个空位中，任取个插入熄灭的盏灯，有中方法，故答案为.考点：1、阅读能力、数学建模能力；2、化归思想及组合问题的“插空法”.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及组合问题的“插空法”，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将熄灯方法转化为组合问题的“插空法”解答.16. 设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为__________【答案】【解析】由题意，又，则，所以．三、解答题（10+12×5=70分）17. 按要求答题（1）计算：（2）解不等式：【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由排列数公式化简后计算；（2）由组合数公式化简后解分式不等式，注意分式中出现的数都是正整数．试题解析：(1)原式====（2）原不等式可化为-<，化简得x2-11x-12<0，∴-1<x<12．又∵n∈N*且n≥5，∴x=5，6，7，8，9，10，11．∴原不等式的解集是{5，6，7，8，9，10，11}18. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：（1）选其中5人排成一排（2）全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾（3）全体排成一排，男生互不相邻（4）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人【答案】（1）2520；（2）3600；（3）1440；（4）720.【解析】试题分析：（1）属于从7个不同元素中任选5个的排列；（2）第一步先安排特殊元素甲，第二步其他6人全排列即可；（3）第一步排所有女生，第二步在5个空位（含两端）排3个男生；（4）第一步选3人排在甲乙中间（注意这3人全排列），第二步甲乙两也全排列，第三步甲乙和他们中间的3人作为一个整体与剩下的2人变成3个元素再全排列．试题解析：(1)=2520(种)．(2)先排甲，有5种方法，其余6人有种方法，故共有5×=3600(种)．(3)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有·=1440(种)．(4)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，故共有··=720(种)．点睛：求解排列应用题的主要方法：直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列优先法：优先安排特殊元素或特殊位置插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部：“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法：正难则反，等价转化的方法19. 一盒中放有的黑球和白球，其中黑球4个，白球5个.（1）从盒中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率.（2）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率. （3）从盒中不放回的每次摸一球，若取到白球则停止摸球，求取到第三次时停止摸球的概率【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）总方法数是，两球颜色恰好相同，可以是同为黑色，也可能是同为白色，即分为两类可得方法数；（2）有放回取两球的总方法数为，两球颜色恰好不同，可分两类，第一类是第一个球黑色第二个球白色，方法数有，第二类是第一个球白色第二个球黑色，方法数有；（3）取到第三次时停止摸球是第三次摸到白球，前两次摸到的是黑球．试题解析：（1）（2）（3）20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D，E，＝.设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V＝××××＝. 考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定21. 某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字(1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)求随机变量x的分布列；(3)若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率【答案】（1）；（2）分布列见解析期望为；（3）．【解析】试题分析：（1）数字相同的卡片分别捆绑起来作为一个共5类，可从5类中选3灰，有种选法，然后每类2个中任取1个各有种选法，总选法为，由概率公式可计算出结果；（2）3张卡最大数字的可能值分别为，分别计算出概率可得分布列；（3）计分超过30分，的值只能是4或5，因此概率为．试题解析：（1）记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件，则,即取出的3张卡片上的数字互不相同的概率为．（2）随机变量的所有可能取值为2，3， 4，5，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：从而（3）从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量的取值应为4或5，故所求概率为22. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在．【解析】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E （﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．。
安徽省2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题(教师版)
2018-2019学年第二学期期末考试卷高二理科数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在答题卡条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区城书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数112iz i -=+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. 135i + B. 135i -+ C. 135i -D.135i-- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果 【详解】1i 13i 12i 5z ---==+，故z 的共轭复数13i5z -+=.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知线性回归方程ˆˆ0.6ybx =+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（ ） A. 1 B. 2C. 0.5-D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程估计y ，再根据残差定义列方程，解得结果【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-，所以ˆ6.50.1y -=-，所以6.50.130.6b +=+$，解得2b=$，故选B【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（ ） A. 正方体的体积取得最大 B. 正方体的体积取得最小 C. 正方体的各棱长之和取得最大 D. 正方体的各棱长之和取得最小 【答案】A 【解析】 【分析】根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.【点睛】本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题. 4.在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A. 两个分类变量关系较强B. 两个分类变量关系较弱C. 两个分类变量无关系 ^D. 两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强.故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.5.独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0. 1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（ ）A. 在100个男性中约有90人喜爱喝酒B. 若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C. 认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10% D. 认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90% 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验的含义只能得到出错的可能率或正确的可靠率【详解】独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故A ，B 错误.由已知得，认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%，故C 错误，D 正确.选D. 【点睛】本题考查独立性检验的含义，考查基本分析判断能力，属基础题.6.将6位女生和2位男生平分为两组，参加不同的两个兴趣小组，则2位男生在同一组的不同的选法数为（ ） A. 70 B. 40C. 30D. 20【答案】C 【解析】 【分析】先确定与2位男生同组的女生，再进行分组排列，即得结果【详解】2位男生在同一组的不同的选法数为222262C C A 30=，选C.【点睛】本题考查分组排列问题，考查基本分析求解能力，属基础题. 7.函数()y f x =的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A. ()()()()1221f f f f ''<<-B. ()()()()1212f f f f ''<-<C. ()()()()2211f f f f ''<-<D. ()()()()2121f f f f ''<<- 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可以把()()21f f -转化为()()2121f f -- 即为函数()y f x =在x 为1和2对应两点连线的斜率，且()1f '，()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】()1f '，()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率，()()()()212121f f f f --=-Q ，()()21f f ∴-为图像上x 为1和2对应两点连线的斜率，（如图）由图可知，()()()()1212f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题. 8.已知1(5,)3X B :，则37()22P X ≤≤=（ ） A.80243B.40243C.4081D.8081【答案】C【解析】 【分析】根据二项分布求对应概率【详解】()()372322P X P X P X ⎛⎫≤≤==+= ⎪⎝⎭23322355121240C C 333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选C.【点睛】本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则CC mn mk n k n k --==∑（ ）A. 2m n +B. C 2n mmC. 2C n mnD. 2C m mn【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n k n m kn mn k n n C C n m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()0102mmn m k m k m mm m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑L故选：D【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题. 10.某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A. 3761()2C B. 2741()2AC. 2741()2CD. 1741()2C【答案】B 【解析】 【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况， 所以所求概率7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B. 【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.11.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6 人，则以下判断正确的为（ ）A. 4号学生一定进入30秒跳绳决赛B. 5号学生一定进入30秒跳绳决赛C. 9号学生一定进入30秒跳绳决赛D. 10号学生一定进入30秒眺绳决赛 【答案】D 【解析】 【分析】先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.12.已知随机变量()2,1X N :，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξμσ:，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A. 0.1359B. 0.7282C. 0.6587D. 0.8641【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：()()1(01)(22)0.13592P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=故所求的概率为10.13590.86411P -==， 故选：D【点睛】本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.由曲线cos y x =，,x y 坐标轴及直线2x π=围成的图形的面积等于______．【答案】1 【解析】 【分析】 根据定积分求面积【详解】2cos sin 10120S xdx x ππ===-=⎰.【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.14.621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2rrr r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.15.在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______．【答案】262n n -+【解析】 【分析】根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【详解】依排列规律得，数表中第1n -行最后一个数为(1)123(1)2n n n -++++-=L 第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6322n n n n --++=. 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.16.若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点，设函数()(1)x g x e e x a =+-（,a R e ∈为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <，若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 一个不动点，则实数a 的最小值为________．【答案】2【解析】 【分析】先构造函数()()2112f x f x x =-，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式1()(1)2f x f x x +≥-+，解得0x 取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出a 的范围，即得最小值. 【详解】由()()2f x f x x -+=，令()()2112f x f x x =-， 则()1f x 为奇函数，当0x ≤时，()()10f x f x x ''=-<， 所以()1f x 在(],0-∞上单调递减， 所以()1f x 在R 上单调递减， 因存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()10101f x f x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤. 因为0x 为函数()g x 一个不动点， 所以()g x x =在12x ≤时有解，令()()1e ,2xh x g x x a x =-=-≤， 因为当12x ≤时，()12e e 0x h x '=≤=，所以函数()h x 在1,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时单调递减，且x →-∞时，()h x →+∞，所以只需102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，得a ≥. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.三、解答题（本题共6题，满分70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）17.在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.18.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+=+.参考数据：【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【解析】 【分析】（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断 【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为1.2400.810 1.5300.7201.15100⨯+⨯+⨯+⨯=小时，由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， 因为1.15小时76<小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”； （2）由联立表可得，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()210040203010 4.762 3.84070305050⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.19.现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x ，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为10x +（若10x +>100.则取10x +为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.（I ）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）（Ⅱ）求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（I ）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可; （Ⅱ）由题意先写出随机变量X 的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望. 【详解】（I ）由已知，预测高三的6次考试成绩如下： 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 78 86 89 96 98 100 乙 8185929496100甲高三的6次考试平均成绩为788689969810019166+++++=，乙高三的6次考试平均成绩为818592949610019163+++++=所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91. （Ⅱ）因为X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值， 所以X =0，1，2，3 所以()106P X ==，()116P X ==，()21263P X ===，()21363P X ===. 所以X 的分布列为所以()111111012366336E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型. 20.已知函数2()3ln f x ax x a x=---，其中a 为常数. （1）证明：函数()f x 的图象经过一个定点A ，并求图象在A 点处的切线方程； （2）若2'()13f =，求函数()f x 在[1,]e 上的值域.【答案】（1）证明见解析，()()11y a x a =--+；（2）[]3ln 2,2-- 【解析】 【分析】（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出1a =，再利用导数求函数值域. 【详解】（1）因为()()223ln 13ln f x ax x a a x x x x=---=---， 所以()12f =-，所以函数()f x 的图像经过一个定点()1,2A -， 因为()223f x a x x'=+-， 所以切线的斜率()11k f a '==-，.所以在A 点处的切线方程为()()()211y f a x --=--， 即()()11y a x a =--+；（2）因为23f a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，213f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以1a =， 故()23ln 1f x x x x =---， 则()()()212x x f x x --'=，由()0f x '=得1x =或2x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：从而在[]1,e 上()f x 有最小值，且最小值为()23ln 2f =-， 因为()12f =-，()2e e 4e f ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 所以()()21e e 2e f f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x x-在()0,∞+上单调减，e 2.72<， 所以22e 2 2.722e 2.72⎛⎫⎛⎫-+>-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭220.72 2.720.7202.72 2.72-⨯-=>，所以()()1f f e >，所以最大值为()12f =-， 所以函数()f x 在[]1,e 上的值域为[]3ln 2,2--.【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.【答案】（1）56；（2）840种，计算过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用隔板法求结果；（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序. 【详解】（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
安徽省2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题
， 是 分别为 时对应图像上点的切线斜率，
，
为图像上 为 和 对应两点连线的斜率，（如图）
由图可知，
故选：B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.
8．C
【解析】
【分析】
根据二项分布求对应概率
【详解】
，所以选C.
【点睛】
本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
【详解】
（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时，
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，
因为1.15小时 小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；
（2）由联立表可得，
，
所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
【点睛】
本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.
A． B． C． D．
10．某人射击一次命中目标的概率为 ，且每次射击相互独立，则此人射击7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（）
A． B． C． D．
11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）
学生序号
3．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（）
A．正方体的体积取得最大
B．正方体的体积取得最小
C．正方体的各棱长之和取得最大
D．正方体的各棱长之和取得最小
4．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（）
A．两个分类变量关系较强
B．两个分类变量关系较弱
专题04 充分条件与必要条件(原卷版)
专题04充分条件与必要条件一.充分条件与必要条件二.充要条件1．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，则p 是q 的充要条件，记为p ⇔q ．2．如果p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．3．如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，则称p 是q 的充分不必要条件．4．如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，则称p是q 的必要不充分条件．5．设与命题p 对应的集合为A ＝{x |p (x )}，与命题q 对应的集合为B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．6．p 是q 的充要条件是说，有了p 成立，就一定有q 成立．p 不成立时，一定有q 不成立． 重要考点一：充分条件【典型例题】“x 2>2017”是“x 2>2016”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题型强化】1.若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.2.p ：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有交点；q ：判别式Δ=b 2−4ac >0，则q 是p 的什么条件__________.（充分条件、必要条件）【名师点睛】1.判断p 是q 的充分条件，就是判断命题“若p ，则q ”为真命题．2．p 是q 的充分条件说明：有了条件p 成立，就一定能得出结论q 成立．但条件p 不成立时，结论q 未必不成立．例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．重要考点二：必要条件成立的必要条件是（）【典型例题】已知a、b∈R，下列条件中，使a bA．a>b−1B．a>b+1C．|a|>|b|D．a2>b2【题型强化】1.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．2.生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。
2018-2019学年高二第二学期河西五地联考理科数学(含答案)
2018-2019学年高二第二学期河西五地联考数学（理科）1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（ ） A ．{}1,2 B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅1．【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a b b a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．3．圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ） AB ．2 CD．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】C4．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 【答案】D5. 若直线2000mx ny m n ++=（＞，＞）截得圆22311x y +++=（）（）的弦长为2，则13m n +的最小值为( D )A. 4B. 12C. 16D. 66．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝16，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9和9T 为（ ） A ．80 B ．20 C ．180 D ．1666．【答案】C ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1n n n b a a +=+，所以112n n n b a a +++=+，两式相减1n n b b +-=1212n n n n a a a a d ++++--=为常数，所以数列{}n b 也为等差数列．因为{}n a 为等差数列，且S 2＝4，S 4＝16，所以11224b a a S =+==，3344212b a a S S =+=-=，所以等差数列{}n b 的公差31242b b d -==，所以前n 项和公式为()1442n n n T n -=+⨯ 222n n =+，所以9180T =．故选C ．7．已知由不等式0,0,2,40x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩确定的平面区域Ω的面积为7，则的值（B ）A ．-1或3B ．1-C ．3-D ．3 8. 设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ C ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥9．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ） A ．96种 B ．100种 C ．124种 D ．150种9．【答案】D【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有11335431322C C C A 60A N ==，当按照1、2、2来分时共有22135312322C C C A 90A N ==，根据分类计数原理知共有，故12150N N N =+=，选D ． 10．设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ A ）A ．B ．C ．D ．11．椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力． 【答案】B12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） （A ）2x =是()f x 的极小值点( B ) 函数()y f x x =-有且只有1个零点 (C)存在正实数，使得()f x kx >恒成立(D)对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>12【答案】C 【解析】22212'()x f x x x x-=-+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217()24x x-+=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e=+->，2222()20g e e e =+-<，所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x x h x x x x ==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x=+<+<+=，对任意的正实数，显然当2x k >时，2k x <，即()f x k x<，()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +>13.曲线 在点 处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】曲线 在点 处的斜率为： 根据点斜式写出直线方程为： . 故答案为： .14．若随机变量，则.答案及解析：1015.若(3)(1nx +-的展开式中常数项为43，则22n xdx =⎰ ． 15.【答案】21【解析】根据题意可得(1n的展开式的通项为C rr n ⎛ ⎝，当r ＝0时，(1n x 的常数项为1，(3)(1n x +的常数项为3，而()12C 2C rrr r rn n x x -+⎛⋅=- ⎝，令102r-+=，解得r ＝2，所以当r ＝2时，(3)(1n x +的常数项为()222C n -，综上，(3)(1n x +的展开式中常数项为()2232C n +-＝43，整理得2200n n --=，解得n ＝5，或n ＝－4（舍去），则5252222221nxdx xdx x ===⎰⎰．16．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AF BF=，点O 为原点，则AOF △的面积为__________． 【答案】2． 【解析】如图，由题可得2p =，()1,0F ，由4AF BF=，所以()141A B x x +=+，又根据ACF BDF △∽△可得FCF DFAF B =，即4A Bx OF OF x -=-，即141A B x x -=-，可以求得4A x =，14B x =，所以A 点的坐标为()44A ，或()4,4A -，11422S =⋅⋅=，即答案为2． 17．已知 分别为 三个内角 的对边，向量 ， 且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，且 面积为 ，求边 的长. （1）∵，∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin （A+B ）=sinC ，................2分 ∴2sinCcosC=sinC ，∵0＜C ＜π，∴sinC≠0，................3分 ∴cosC=，∴C=．................5分（2）由题意得sinA+sinB= sinC ，利用正弦定理化简得：a+b= c ，................6分 ∵S △ABC =absinC=ab=6，即ab=24 ................8分 ，由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a+b ）2﹣3ab ，即c 2=ab=36，所以c=6．..........10分 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()1211nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==-，得11a =，................2分 当2n ≥时，有1121n n S a --=-，1(5,)3B ξ______________(32)D ξ+=所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以2n ≥时，12n n aa -=，................4分所以{}n a 是公比为2，首项为1的等比数列， 所以12n n a -=，当1n =时，满足该通项公式， 故通项公式为12n n a -=．................6分（2）()()()()111221121121212121n n n n n n nn n a b a a --+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 123011223111111222212121212121n n T b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111212212121n n n n--⎛⎫-= ⎪+++⎝⎭．................12分 19.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考经济类专业是否与性别有关,现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查,得到如下列联表(单位:人):（1）据此样本,能否有的把握认为理科生报考经济类专业与性别有关?（2）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况,现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人,设3人中报考经济类专业的人数为随机变量X,求随机变量X 的概率分布及数学期望.附:参考数据: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.其中．答案：1. 22250(662414)5030012.5 6.6353020203030202030K ⨯⨯-⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为理科生报考经济类专业与性别有关。
2018-2019学年高二数学5月试题理(含解析)
2018-2019学年高二数学5月试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）A. 1+2iB. 1-2iC. -1+2iD. -1-2i【答案】A【解析】试题分析：考点：复数运算2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解。
【详解】由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：故答案选D【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查对独立事件的理解和掌握程度，属于基础题。
3.的展开式中各项的二项式系数之和为（）A. B. 512 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】展开式中所有项的二项系数和为【详解】展开式中所有项的二项系数和为.的展开式中各项的二项式系数之和为故答案选B【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.4.用反证法证明命题“已知，，，则,中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（）A. 假设,都不大于0B. 假设,至多有一个大于0C. 假设,都小于0D. 假设,都不小于0【答案】D【解析】【分析】利用反证法的定义写出命题结论的否定即可.【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题结论的否定，所以假设应为：“假设，都不小于0”，故选：D【点睛】反证法的适用范围是:（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．5.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用概率和为1解得答案.【详解】，解得.故答案选C【点睛】本题考查了分布列概率和为1，属于简单题.6.已知函数，且，则（）A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】求导，带入导函数解得答案.【详解】因为，所以，解得.故答案选B【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.7.设，则（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取，得到，取，得到，得到答案.【详解】令，则原式化为令，得，所以.【点睛】本题考查了二项式定理，分别取是解题的关键.8.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.9.某导弹发射的事故率为，若发射次，记出事故的次数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知本题是在相同的条件下发生的试验，发射的事故率都为0.001，实验的结果只有发生和不发生两种结果，故本题符合独立重复试验，由独立重复试验的方差公式得到结果．【详解】由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布，.故选B.【点睛】解决离散型随机变量分布列和期望、方差问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．10.已知函数在上不单调，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，函数不单调，解得答案.【详解】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.11.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）A. 30 B. 60C. 90D. 120【答案】D【解析】【分析】将5艘驱逐舰和3艘核潜艇分两类求解即可得到答案.【详解】由题意得2艘驱逐舰和1艘核潜艇，3艘驱逐舰和2艘核潜艇的组建方法种数为，2艘驱逐舰和2艘核潜艇，3艘驱逐舰和1艘核潜艇的组建方法种数为共60+60=120种，故选：D【点睛】本题考查排列组合的简单应用，属于基础题.12.已知函数，.直线与曲线和分别相交于两点，且曲线在A处的切线与曲线在B处的切线斜率相等，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求导，根据题意，在上有解，方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，计算得到答案.【详解】函数的定义域为，，.因为曲线在A处的切线与在B处的切线斜率相等，所以在上有解，即方程在上有解.方程在上有解转化为函数与函数的图象在上有交点，令过原点且与函数的图象相切的直线的斜率为k，只须，令切点为，则，又，所以，解得，于是，所以.故答案选A【点睛】本题考查了曲线的切线问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上.13.设，则________.【答案】【解析】【分析】先利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出.【详解】，则，故答案为：。
人教A版 2018——2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含答案)
人教A 版 2018——2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则C U (A ∪B)等于（ ）A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8} 2、已知i 是虚数单位，则复数ii-+131的模为（ ） A.1 B.2 C.5 D.53、已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A.25B.25－C.-2D. 24、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于 （ ）A. 91B. 81C. 31D. 1035、 过原点的直线与圆03422=+-+x y x 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]6,6[ππ-B. ]65,6[ππ C. ),65[]6,0[πππ D. ]65,2()2,6[ππππ6、5(2)x a +的展开式中，2x 的系数等于40，则(2)ax e x dx +⎰等于（ ）A. eB. 1e -C. 1D. 1e +7、已知βα,是平面，n m ,是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是( )( 1 )若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥( 2 )若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂,则βα//( 3 )如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线,那么n 与α相交( 4 )若m n m //,=βα ,且βα⊄⊄n n ,,则α//n 且β//n . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、在A B C ∆中，21=,P 是BN 上的一点，若m 92+=,则实数m 的值为（ ）A.3B. 1C.31D. 91 9．阅读如下程序，若输出的结果为6463，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ ） （A ）6≥i （B ）7≥i （C ）7≤i （D ） 8≤i10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角︒60的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ）（A ）π8 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π211、已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （5+x ）= f （5–x ），在[0,5]上有且只有f（1）=0，则)(x f 在[–2012,2012]上的零点个数为( ) A ．808 B ．806 C ．805D ．80412．函数x x y -+=lg 1的图象大致形状是（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、已知向量,a b 满足(2)()6a b a b +∙-=-，且1,2a b ==，则a 与b 的夹角为 .14、若在不等式组02y xx x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是 .15、已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线与曲线32y x =+相切，则该双曲线的离心率等于 ． 16. 设函数f(x)= x -1x,对任意0)()(),,1[<++∞∈x mf mx f x 恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-． (1)求cos B 的值； (2)若2BA BC⋅=，b =，求a 和c ．18． 某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望)(X E 。
2018-2019学年安徽省高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)
进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.
【点睛】
本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（）
A．两个分类变量关系较强
B．两个分类变量关系较弱
C．两个分类变量无关系^
D．两个分类变量关系难以判断
【答案】A
【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.
，
为图像上 为 和 对应两点连线的斜率，（如图）
由图可知，
故选：B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.
8．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据二项分布求对应概率
【详解】
，所以选C.
【点睛】
本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．若 ，且m，n， ，则 （）
【答案】
【解析】根据题意先确定每行最后一个数，再求结果
【详解】
依排列规律得，数表中第 行最后一个数为
第 行左起第3个数为 .
【点睛】
本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点，设函数 （ 为自然对数的底数），定义在 上的连续函数 满足 ，且当 时， ，若存在 ，且 为函数 一个不动点，则实数 的最小值为________。
【数学试卷】吉林省普通高中联合体2018-2019学年高二下学期期末联考(理)
吉林省普通高中联合体2018-2019学年高二下学期期末联考（理）注意事项：1.本试卷答题时间为120分钟，满分150分。
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
3.考生作答时务必将选择题答案用2B 铅笔涂在答题卡指定位置上，将非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡指定位置上；在本试卷上答题无效。
4.考试完成后，将答题卡上交，其它试卷考生自己留存。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在ABC ∆中，5,3a b ==，则sin :sin A B 的值是（ ）A.35 B.53 C.37 D.572.数列1，-3，5，-7，9，...的一个通项公式为 （ ）A. B. C. D.3.下列说法正确的是（ ） A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2 C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3 D ．a 2＞b 2⇒a ＞b4.“”是“A=30°”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件 5．不等式2x -2x-3<0的解集是（ ）A ．（-3,1） B.(-1,3) C.(- ∞,-1) ∪(3,+ ∞) D.(- ∞,-3) ∪(1,+ ∞)6.设、分别是平面的法向量，则平面的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定 7.已知数列为等比数列，若，则（ ） A.B. C. D. 12-=n a n )21()1(n a n n --=)12()1(--=n a n n )12()1(+-=n a nn (2,2,5)u =-(6,4,4)v =-,αβ,αβ{}n a 372,8a a ==5a =1414±44±8.设y x ,满足约束条件,30101⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-x y x y x 则y x z 32-=的最小值是（ ）A.B.-6C.D.-39.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则A,B 的中点M 到抛物线准线的距离为( )A. 52B. 72 C ．2 D ．3 10．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“对任意R x ∈，均有012<++x x ”D ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为真命题 11.设等差数列的前n 项和为,若,,则当取最小值时,n 等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 512.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.设等比数列{}n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则_______44=a S14.设191,=+∈+yx R y x 且，则y x +的最小值为 15.在△ABC 中，1,6==∠AC B π,3AB =,则BC 的长度为________16.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22,{}n a nS 111a =-466a a +=-nS过1F 直线l 交椭圆于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么椭圆C 的方程为 。
2018-2019学年高二数学下学期五月调研考试试题文(含解析)
2018-2019学年高二数学下学期五月调研考试试题文（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1.若集合，，则______.【答案】【解析】【分析】根据交集定义直接求解即可.【详解】由交集定义可知：本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.写出命题“，使得”的否定：______.【答案】，都有【解析】【分析】根据含特称量词的命题的否定直接可得结果.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以可得该命题的否定为：“，都有”本题正确结果：，都有【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题.3.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所表示的点位于第______象限.【答案】一【解析】【分析】首先求解出，从而得到对应点的坐标，进而确定所处象限.【详解】由题意得：对应的点为：，位于第一象限本题正确结果：一【点睛】本题考查复数所对应点的象限问题，关键是利用复数除法运算求出复数所对应的点的坐标.4.已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为______.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n 值，从而求得函数解析式．【详解】设f（x）=xn，∵幂函数y=f（x）的图象过点, ∴2n=, ∴n=-, 这个函数解析式为.故答案为【点睛】本题考查幂函数，关键是待定系数法求解析式、指数方程的解法等知识.5.“”是“”成立的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】试题分析：由于⇔x＜0或x＞1．∴当“x＞1”时，“”成立即“x＞1”是“|x|＞1”充分条件；当“”成立时，x＞1或x＜0，即“x＞1”不一定成立．即“x＞1”是“”不必要条件．“x＞1”是“”充分不必要条件．故答案为：充分不必要．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．6.已知函数，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据分段函数第二段可得，再利用分段函数第一段解析式可得结果.【详解】解：因为当时，，故，因为当时，，故，故答案为.【点睛】本题考查了分段函数求值的问题，解题的关键是根据分段函数的分界点进行分类讨论求解.7.已知函数的零点，则整数的值为______.【答案】3【解析】【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.【详解】由题意知：在上单调递增若存在零点，则存在唯一一个零点又，由零点存在定理可知：，则本题正确结果：【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的表达式为__.【答案】【解析】【分析】当时，，可求得，根据奇函数的定义可求得解析式.【详解】是定义在上的奇函数当时，本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.9.已知定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，恒成立，且，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】构造函数，根据导数可求得单调递增，将代入求得，将不等式变为；根据函数单调性可得，解不等式求得结果.【详解】令，则在上单调递增又等价于则：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数单调性求解参数范围问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数求得所构造函数的单调性，将不等式变为函数值的比较，利用单调性变为自变量的大小关系，从而得到不等式解出结果.10.函数的单调减区间为______.【答案】【解析】【分析】分别在和两种情况下得到函数解析式，利用二次函数图象求得函数的单调递减区间.【详解】当时，由二次函数图象可知，此时函数在上单调递减当时，由二次函数图象可知，此时函数单调递增综上所述，的单调减区间为本题正确结果：【点睛】本题考查函数单调区间的求解，关键是能够通过分类讨论得到分段函数的解析式.11.计算的结果为______.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．12.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数，若，则实数的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性和单调性可知在上单调递减；根据函数值的大小关系可得不等式，又自变量需符合定义域要求，可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】是定义在上的偶函数且在上单调递增在上单调递减由得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解不等式的问题，关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转变为自变量的大小关系，易错点是忽略了定义域的要求.13.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是__.【答案】或【解析】【分析】令解得三个根；分别在、、和四种情况下判断函数单调性，满足在处取得极小值即为所求的范围.【详解】令，解得：，，①当时当和时，；当和时，即在，上单调递减；在，上单调递增可知在处取得极小值，满足题意②当时当和时，；当和时，即，上单调递增；在，上单调递减可知在处取得极大值，不满足题意③当时当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减可知在处不取极值，不满足题意④当时当和时，；当和时，即在，上单调递增；在，上单调递减可知在处取得极小值，满足题意综上所述：或时，在处取得极小值本题正确结果：或【点睛】本题考查根据函数的极值求解参数范围的问题，关键是能够利用分类讨论的思想判断出不同情况下函数的单调性，从而确定极值取得的情况.14.设定义域的函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据解析式得到图象，结合图象和方程根的个数可确定方程有个不同的，且均在上的实数根，根据二次函数图象可确定不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由解析式可得函数图象如下图所示：有个不同的实数根方程有个不同的，且均在上的实数根，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过函数图象判断出一元二次方程根的个数及根所处的范围，从而利用二次函数图象来确定不等关系，使问题得以求解.二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题16分，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已如集合，集合为函数的值域，集合.（1）若，求实数的取值范围：（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）计算出集合和集合，根据交集的定义即可求得结果；（2）由得到，解出集合，根据子集的包含关系可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】（1），，即:（2）又，解得：【点睛】本题考查根据交集运算结果、集合间的关系求解参数范围的问题，属于基础题.16.已知命题：函数在区间上是单调增函数；命题：函数的定义域为，如果命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】先根据函数的性质分别求出命题成立的等价条件，根据题意得出命题的真假关系，从而求解得出结果.【详解】解：因为函数在区间上是单调增函数，所以对称轴方程，所以，又因为函数的定义域为，所以，解得，又因为“或”为真，“且”为假，所以命题是一真一假，所以或，所以或，所以实数的取值范围是或.【点睛】本题考查了函数的单调性、对数与对数函数、命题及其关系和简单逻辑联结词，解题的关键是要准确地求解出两个命题成立的等价条件.17.如图，在直角坐标系中，曲线段是函数图象的一部分，为曲线段上异于点，一个动点，轴，垂足为，轴，垂足为.（1）求长度的范围；（2）求矩形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】设，则，；（1），结合二次函数的图象可求得取值范围；（2），利用导数研究函数的单调性，可知当时，取最大值，代入求得结果.【详解】由题意得：，设，则，；（1），当时，取最大值为；当或时，的范围为：（2）设矩形面积为，则极大值由上表知，当时，取得极大值，也就是最大值【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，关键是能够将所求的长度和面积表示为关于的函数的形式，然后利用函数求值域的方法来求解取值范围或最值.18.已知，定义运算：.设函数，为实数.（1）若对一切实数都成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据定义运算的形式可得，将恒成立的不等式转变为，利用判别式即可求得范围；（2）将变为；分别在、和三种情况下讨论解集即可.【详解】（1）由题意得：对一切实数都成立对一切实数都成立，解得：（2）由得：，即：当时，，所求不等式解集；当时，，所求不等式解集为；当时，，所求不等式解集为【点睛】本题考查利用新定义运算来解决恒成立问题、含参数一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过新定义运算得到函数的解析式.19.已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的奇函数；（2）试判断方程的实根的个数；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数；（2）有1个实根；（3）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，证得即可得到结论；（2）将方程整理为，可求得，由是上的单调增函数可求得结果；（3）将不等式整理为，令，将不等式变为，求解出的最小值，则可得的取值范围.【详解】（1）对任意，都有是上的奇函数（2）方程，即：整理得：，解得：或（舍）由是上的单调增函数可知：方程有且只有个实根（3）当时，由条件知在上恒成立令，则对任意恒成立当时，有最大值实数的取值范围是【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、判断方程根的个数、恒成立问题的求解.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题变为所求参数与函数最值之间的关系，通过求解函数最值得到结果.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，试讨论函数零点的个数；（3）在（2）的条件下，若有两个零点，，求证：.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在单调递减；(2) 当时，恰有一个零点：当时，没有零点；当时，有两个零点；(3)见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到函数的单调性；（2）利用导数判断出函数的单调性，求得函数最大值为，分别在，，三种情况下，结合零点存在定理判断出零点个数；（3）根据零点的定义可求得，令，，可将整理为；令，，可求得，结合即可证得结论.【详解】（1）由题意得：当时，在上恒成立则在上单调递减当时，若，，；若，即在上单调递增；在上单调递减综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在单调递减（2）当时，，则令，解得：当时，，则在上单调递减当时，，则上单调递增①当，即时，当且仅当时，，恰有一个零点；②当，即时，恒成立，没有零点：③当，即时，，，，有两个零点综上：当时，恰有一个零点：当时，没有零点；当时，有两个零点（3）证明：由题意知：，即记，，则，故，记函数，则在上单调递增当时，由（2）知，又【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到讨论含参数函数的单调性、函数零点个数的判断、证明不等式的问题；关键是能够灵活应用零点存在定理判断零点个数，得到零点所在区间，进而可在构造函数时得到函数自变量的取值范围，使得问题得以求解.2018-2019学年高二数学下学期五月调研考试试题文（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若集合，，则______.【答案】【解析】【分析】根据交集定义直接求解即可.【详解】由交集定义可知：本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.写出命题“，使得”的否定：______.【答案】，都有【解析】【分析】根据含特称量词的命题的否定直接可得结果.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以可得该命题的否定为：“，都有”本题正确结果：，都有【点睛】本题考查含量词命题的否定，属于基础题.3.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所表示的点位于第______象限.【答案】一【解析】【分析】首先求解出，从而得到对应点的坐标，进而确定所处象限.【详解】由题意得：对应的点为：，位于第一象限本题正确结果：一【点睛】本题考查复数所对应点的象限问题，关键是利用复数除法运算求出复数所对应的点的坐标.4.已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为______.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．【详解】设f（x）=xn，∵幂函数y=f（x）的图象过点, ∴2n=, ∴n=-, 这个函数解析式为.故答案为【点睛】本题考查幂函数，关键是待定系数法求解析式、指数方程的解法等知识.5.“”是“”成立的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】试题分析：由于⇔x＜0或x＞1．∴当“x＞1”时，“”成立即“x＞1”是“|x|＞1”充分条件；当“”成立时，x＞1或x＜0，即“x＞1”不一定成立．即“x＞1”是“”不必要条件．“x＞1”是“”充分不必要条件．故答案为：充分不必要．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．6.已知函数，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据分段函数第二段可得，再利用分段函数第一段解析式可得结果.【详解】解：因为当时，，故，因为当时，，故，故答案为.【点睛】本题考查了分段函数求值的问题，解题的关键是根据分段函数的分界点进行分类讨论求解.7.已知函数的零点，则整数的值为______.【答案】3【解析】【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果.【详解】由题意知：在上单调递增若存在零点，则存在唯一一个零点又，由零点存在定理可知：，则本题正确结果：【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的表达式为__.【答案】【解析】【分析】当时，，可求得，根据奇函数的定义可求得解析式.【详解】是定义在上的奇函数当时，本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.9.已知定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，恒成立，且，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】构造函数，根据导数可求得单调递增，将代入求得，将不等式变为；根据函数单调性可得，解不等式求得结果.【详解】令，则在上单调递增又等价于则：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数单调性求解参数范围问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数求得所构造函数的单调性，将不等式变为函数值的比较，利用单调性变为自变量的大小关系，从而得到不等式解出结果.10.函数的单调减区间为______.【答案】【解析】【分析】分别在和两种情况下得到函数解析式，利用二次函数图象求得函数的单调递减区间.【详解】当时，由二次函数图象可知，此时函数在上单调递减当时，由二次函数图象可知，此时函数单调递增综上所述，的单调减区间为本题正确结果：【点睛】本题考查函数单调区间的求解，关键是能够通过分类讨论得到分段函数的解析式.11.计算的结果为______.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．12.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数，若，则实数的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】根据奇偶性和单调性可知在上单调递减；根据函数值的大小关系可得不等式，又自变量需符合定义域要求，可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】是定义在上的偶函数且在上单调递增在上单调递减由得：解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解不等式的问题，关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转变为自变量的大小关系，易错点是忽略了定义域的要求.13.已知函数的导函数为，若函数在处取到极小值，则实数的取值范围是__.【答案】或【解析】【分析】令解得三个根；分别在、、和四种情况下判断函数单调性，满足在处取得极小值即为所求的范围.【详解】令，解得：，，①当时当和时，；当和时，即在，上单调递减；在，上单调递增可知在处取得极小值，满足题意②当时当和时，；当和时，即，上单调递增；在，上单调递减可知在处取得极大值，不满足题意③当时当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减可知在处不取极值，不满足题意④当时当和时，；当和时，即在，上单调递增；在，上单调递减可知在处取得极小值，满足题意综上所述：或时，在处取得极小值本题正确结果：或【点睛】本题考查根据函数的极值求解参数范围的问题，关键是能够利用分类讨论的思想判断出不同情况下函数的单调性，从而确定极值取得的情况.14.设定义域的函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据解析式得到图象，结合图象和方程根的个数可确定方程有个不同的，且均在上的实数根，根据二次函数图象可确定不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由解析式可得函数图象如下图所示：有个不同的实数根方程有个不同的，且均在上的实数根，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过函数图象判断出一元二次方程根的个数及根所处的范围，从而利用二次函数图象来确定不等关系，使问题得以求解.二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题16分，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已如集合，集合为函数的值域，集合.（1）若，求实数的取值范围：（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）计算出集合和集合，根据交集的定义即可求得结果；（2）由得到，解出集合，根据子集的包含关系可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】（1），，即:（2）又，解得：【点睛】本题考查根据交集运算结果、集合间的关系求解参数范围的问题，属于基础题.16.已知命题：函数在区间上是单调增函数；命题：函数的定义域为，如果命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】先根据函数的性质分别求出命题成立的等价条件，根据题意得出命题的真假关系，从而求解得出结果.【详解】解：因为函数在区间上是单调增函数，所以对称轴方程，所以，又因为函数的定义域为，所以，解得，又因为“或”为真，“且”为假，所以命题是一真一假，所以或，所以或，所以实数的取值范围是或.【点睛】本题考查了函数的单调性、对数与对数函数、命题及其关系和简单逻辑联结词，解题的关键是要准确地求解出两个命题成立的等价条件.17.如图，在直角坐标系中，曲线段是函数图象的一部分，为曲线段上异于点，一个动点，轴，垂足为，轴，垂足为.（1）求长度的范围；（2）求矩形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】设，则，；（1），结合二次函数的图象可求得取值范围；（2），利用导数研究函数的单调性，可知当时，取最大值，代入求得结果.【详解】由题意得：，设，则，；（1），当时，取最大值为；当或时，的范围为：（2）设矩形面积为，则极大值由上表知，当时，取得极大值，也就是最大值【点睛】本题考查构造函数模型解决实际问题，关键是能够将所求的长度和面积表示为关于的函数的形式，然后利用函数求值域的方法来求解取值范围或最值.18.已知，定义运算：.设函数，为实数.（1）若对一切实数都成立，求的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据定义运算的形式可得，将恒成立的不等式转变为，利用判别式即可求得范围；（2）将变为；分别在、和三种情况下讨论解集即可.【详解】（1）由题意得：对一切实数都成立对一切实数都成立，解得：（2）由得：，即：当时，，所求不等式解集；当时，，所求不等式解集为；当时，，所求不等式解集为【点睛】本题考查利用新定义运算来解决恒成立问题、含参数一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过新定义运算得到函数的解析式.19.已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的奇函数；（2）试判断方程的实根的个数；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数；（2）有1个实根；（3）【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，证得即可得到结论；（2）将方程整理为，可求得，由是上的单调增函数可求得结果；（3）将不等式整理为，令，将不等式变为，求解出的最小值，则可得的取值范围.【详解】（1）对任意，都有是上的奇函数（2）方程，即：整理得：，解得：或（舍）由是上的单调增函数可知：方程有且只有个实根（3）当时，由条件知在上恒成立令，则对任意恒成立当时，有最大值实数的取值范围是【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、判断方程根的个数、恒成立问题的求解.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题变为所求参数与函数最值之间的关系，通过求解函数最值得到结果.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，试讨论函数零点的个数；（3）在（2）的条件下，若有两个零点，，求证：.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在单调递减；(2) 当时，恰有一个零点：当时，没有零点；当时，有两个零点；(3)见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到函数的单调性；（2）利用导数判断出函数的单调性，求得函数最大值为，分别在，，三种情况下，结合零点存在定理判断出零点个数；（3）根据零点的定义可求得，令，，可将整理为；令，，可求得，结合即可证得结论.【详解】（1）由题意得：当时，在上恒成立则在上单调递减当时，若，，；若，即在上单调递增；在上单调递减综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在单调递减（2）当时，，则令，解得：当时，，则在上单调递减当时，，则上单调递增①当，即时，当且仅当时，，恰有一个零点；②当，即时，恒成立，没有零点：③当，即时，，，，有两个零点综上：当时，恰有一个零点：当时，没有零点；当时，有两个零点（3）证明：由题意知：，即记，，则，故，记函数，则在上单调递增当时，由（2）知，又【点睛】本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到讨论含参数函数的单调性、函数零点个数的判断、证明不等式的问题；关键是能够灵活应用零点存在定理判断零点个数，得到零点所在区间，进而可在构造函数时得到函数自变量的取值范围，使得问题得以求解.。
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第Ⅰ卷（选择题 60分）一、 选择题（本大题共 12 小题每小题 5 分，计60 分） 1.已知复数满足()3425i z -=,则z =( )A.34i --B.34+i -C.34i -D.34i +2.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数 Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数3.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()203N ，，从中随机取一件，其长度误差落在区间()36，内的概率为( ).（附：若随机变量服从正态分()2N μσ，，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=） A.4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%4. (1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )A ．56B ．84C ．112D ．1685.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A. 160B. 163C. 166D. 170 6.函数错误！未找到引用源。
的图象可能是（ ）A. B. C. D.7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为,,a b c ,三角形的面积S 可由公式S ,其中p 为三角形周长的一半,有一个三角形的边长满足12,8a b c +==,则此三角形面积的最大值为( )A.8..用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为( ) A. 24 B. 36 C.72 D.849.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.4510．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)＞F (2x －1)的实数x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 B. (－1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D ．(－2,1)11．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（ ）A ．跑步比赛B ．跳远比赛C ．铅球比赛D ．无法判断12. 已知函数错误！未找到引用源。
的导函数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则p = .14.计算(22x dx -⎰得__________．15.已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ．16.已知函数,有三个不同的零点，则实数a的取值范围是____________________．三、解答题(共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
)17．（12分）错误！未找到引用源。
为等比数列错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和，已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，且公比错误！未找到引用源。
. （1）求错误！未找到引用源。
及错误！未找到引用源。
；（2）是否存在常数错误！未找到引用源。
，使得数列错误！未找到引用源。
是等比数列？若存在，求错误！未找到引用源。
的值；若不存在，请说明理由.18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：ABCDPNM（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附：19.(12分) 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA=AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：平面ANB ⊥平面PCD;（2）若直线PB 与平面PCD所成角的正弦值为10,求二面角N-MD-C 的正弦值.20.（12分）动点M(x,y)满足6)22()22(2222=++++-y x y x (1)求M 点的轨迹并给出标准方程；(2)已知D(22,0),直线l：=-y kx 交M 点的轨迹于A,B 两点，设=λDB 且1<λ<2，求k 的取值范围.21.(12分) 已知函数R a x ax x x f ∈++=,21ln )(2．（1）若0)1(=f ，求函数)(x f 的最大值；（2）令1)()(2+--=ax ax x f x g ，讨论函数)(x g 的单调区间； （3）若2=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明21521-≥+x x .选考题：（共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
）22.(10分) [选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线1C 的参数方程为x y ϕϕ⎧⎪⎨⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线()2OM πθααπ=<<：与曲线1C 交于点M ，射线4ON πθα=-：与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．23．(10分) [选修4—5：不等式选讲]设函数3()22(0)f x x a x a a=-++<． （1）若()(0)g a f =，解不等式()5g a ≥；（2）求证：()f x ≥答案1----5 DＢB D C 6 ---10 A B D A B 11—12 A C13—16 12π8317.(12分) 【答案】（1）错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
；（2）见解析【详解】解：（1）由题意得错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，所以，. -------6分（2）假设存在常数，使得数列是等比数列，因为，，，又因为，所以，所以，此时，，则，故存在，使得数列是以为首项，公比为3的等比数列. -------12分18.()+++⨯=，0.0680.0460.0100.00850.66P C的估计值为0。
66故()⨯=。
--------------------4分因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092ABM（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。
--------------8分---------------------------------------------------12分19．解：如图，取PD 中点E ，连接EN,AE.(1) 证明：M,N,E 为中点，∴EN ∥AM, EN=AM=12AB, ∴AMNE 是，MN ∥AE 又CD ⊥AD,CD ⊥PA ∴CD ⊥面PAD, ∴面P CD ⊥面PADPA=AD,E 为中点，AE ⊥面P CD∴MN ⊥面PCD, MN ⊂面ANB,∴平面ANB⊥平面PCD --------------------------------6分（2） 建立如图所示坐标系，设A=AD=2，AB=2t,则A(0,0,0),B(2t,0,0),C(2t,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) M(t,0,0),N(t,1,1). 由（1）知MN ⊥面PCD,∴(2,0,2),(0,1,1)PB t MN =-=直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为10, ∴由1010PB MN PB MN∙=得t=2.设(,,),m x y z m =⊥角NMD ，则(2,2,0),(0,1,1)DM MN =-=由00DM m MN m ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得(1,1,1),3,m m =-= AP ⊥面CMD, (0,0,2)AP =,设二面角N-MD-C 为θ，θ为锐角则3cos ,3sin 3APm AP m θθ==∴=--------------------------------12分20.解（1）解:M 点的轨迹是以(22,0),(-22,0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为1922=+y x--------------------------------4分 ()2解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由=λ得y 1=λ-y 2......由1<λ<2得k ≠0由y=kx-22k 得x=k k y 22+代入1922=+y x 整理(1+9k 2)y 2+42ky-k 2=0...... 显然的判别式∆>0恒成立由根与系数的关系得y 1+y 2=29124KK +- y 1y 2=2291K K +-......④ 由得)91)(1(2421k k y +-=λλ， )91)(1(2422k ky +--=λ代入④ 整理得 2132)1(329122-+=-=+λλλλk 设f(λ)=21-+λλ,则利用导数可以证明f(λ)在（1,2）上为增函数故得0< f(λ)<21所以291k +>64即k 的取值范围是k>7或k<7----------------------12分21. （Ⅰ）因为(1)102af =+=，所以2a =-， 此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> ,由()0f x '=，得1x =，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为(1)0f =． ………4分 （Ⅱ）21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a =．所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数． 综上，当0a ≤时，函数()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；当0a >时，函数()g x 的递增区间是1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞．………………8分（Ⅲ）当2=a 时，2()ln ,0f x x x x x =++>．由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=． 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅．令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=． 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．所以()(1)1t ϕϕ=≥，所以21212()()1x x x x +++≥，因为120,0x x >>,因此1212x x -+≥成立． 12分22．22．解：（1）由曲线1C的参数方程x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 1ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y += 又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= 曲线2C的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-，故曲线2C的直角方程为0x y -= ----------------5分（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为1(,)ρα，2(,)4πρα-，其中2παπ<< 则22126cos 2OM ρα==+，2222211cos sin ()2ON ρπαα===-于是2222211cos 27cos 2cos 66OMONααα+++=+=由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OMON+的取值范围是13()32，----------------10分23．解：（1）因为0a <，所以33()(0)225g a f a a a a ==-+=--≥， 即3,2a -≤或10a -≤<故不等式()5g a ≥的解集3,102a a a ⎧⎫--<⎨⎬⎩⎭≤或≤ -----------5分（2）由已知得：332,2333()222,223332,2x a x a a f x x a x x a a x a a ax a x a a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=-++=---<≤-⎨⎪⎪-+>-⎪⎩所以()f x 在32a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，-上递减，在3,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增即min 33()()222f x f a a a =-=--=≥所以()f x ≥ ----------------10分。