高中数学选修4-5全册配套ppt课件.3
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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
2018人教B版数学选修4-5本章整合3精选优质PPT课件
1
+
1 2
+
1 3
+
⋯
+
1 2������-1
<
������(n∈N*,n>1).
证明:(1)当
n=2时,
1
+
1 2
+
1 3
<
2,
不等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥2)时不等式成立,
11
1
即 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2������-1 < ������,
则当
n=k+1
时,
1
1
<
(������+1)(������+2)
������ + 1成立.
即证明 ������ + 1 − ������ > (������+11)(������+2).
专题
从而转化为证明 1 > 1 ,
������+1+ ������
������2+3������+2
也就是证明 ������2 + 3������ + 2 > ������ + 1 + ������.
(ⅰ)当 n=1 时,b1=1,有 a1≤a1,③成立.
(ⅱ)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为
正有理数,
已知 a1,a2,…,ak,ak+1 为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1 为正有理数,
且 b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时 0<bk+1<1,即 1-bk+1>0,
【新】人教A版高考数学(文)选修部分4-5.ppt
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热点一 含绝对值不等式的解法 【例 1】 已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
－2x＋5，x≤2， 解 (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3，
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【训练 1】 若不等式|x＋1|＋|x－2|<a 无实数解，则 a 的取值 范围是________．
解析 由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为 3，而|x ＋1|＋|x－2|<a 无解，如 a≤3. 答案 (－∞，3]
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2x－5，x≥3.
当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1；
当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解；
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当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4； 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1，或 x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围是[－3,0]．
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规律方法 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不 等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端 点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式， 使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好 的方法．
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不等式的综合应用 不等式的应用主要体现在两大方面：一是不 等式作为一种重要工具在研究解答数学学科 本身有关问题及其他学科有关问题方面的应 用；二是解决现实生活、生产及科学技术领 域中的实际问题．
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定 义域、值域；利用不等式求函数最大值、最 小值；利用不等式讨论方程根及有关性质； 利用不等式解应用题．
1 则 f(x)＝ (1－t2)， 2 1 2 ∴y＝f(x)＋ 1－2fx＝ (1－t )＋t 2 1 1 1 ≤ t ≤ ＝－ (t－1)2＋1 . 2 2 3 1 1 ∵在 t∈ ， 上函数 y 是增函数， 2 3 1 7 ∴当 t＝ 时，y 有最小值为 ， 3 9 1 7 当 t＝ 时，y 有最大值为 . 2 8
例4
【思路点拨】 首先应根据函数单调性去掉 函数符号，转化为关于 sinx的不等式恒成立 问题． 【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒 成立，且sin2x≥0， ∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①
本讲优化总结
本 讲 优 化 总 结
知识体系网络
专题探究精讲
讲末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
柯西不等式证法一 构造二次函数(ai≠0，i＝1,2，„，n) 2 2 2 f(x ) ＝ (a 1 ＋a2 ＋„＋an )x2 － 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 ＋ b ＋„＋ b 1 2 n)． ∵ f(x)＝ (a1x－b1)2＋ (a2x－ b2)2＋„＋ (anx－ bn)2≥0， 2 2 ∴ Δ ＝ 4(a1b1 ＋ a2b2 ＋„＋ anbn)2 － 4(a 1 ＋a2 ＋„＋ 2 2 2 2 an )· (b1 ＋b2 ＋„＋bn )≤0. 2 2 2 ∴ (a1b1＋ a2b2＋„＋ anbn)2≤(a2 ＋ a ＋„＋ a )( b 1 2 n 1＋ 2 2 b2＋„＋bn)．
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引言
最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件Biblioteka 第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
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最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件目录
0002页 0092页 0130页 0209页 0266页 0326页 1168页 1201页 1230页 1301页 1399页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
人教版高中数学选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)ppt课件
x 3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜ ＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜－ ， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ ＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数 证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对 值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式 的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当 时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2， 令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|
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引言
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第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
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0002页 0056页 0116页 0143页 0209页 0248页 0292页 0325页 0337页 0408页 0506页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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2.基本不等式
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3.三个正数的算术-几何平均不 等式
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高中数学理配套PPT课件选修4—5
bi=0(i=1,2,„,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,„,n)时,等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α· β|,当且 仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
选修4
知识梳理 双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理 核心考点
关闭
由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2, 即 5(m2+n2)≥25,当且仅当 an=bm 时,等号成立,故 ������2 + ������2 ≥ 5 关闭
5
解析 答案
选修4
知识梳理 双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理 核心考点
-11-
1
2
3
4
5
5.已知x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围 为 .
2ab
,当且仅当 a=b 时,等号成
������������,当且仅当 a=b 时,等号成立. ≥
3
������������������,当且仅当 a=b=c 时,等
������1 +������2 +„+������������ ������
定理 4:若 a1,a2,„,an 为 n 个正数,则 当且仅当 a1=a2=„=an 时,等号成立.
选修4
知识梳理 双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理 核心考点
-3-
1
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5
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法 ①|x|<a⇔-a<x<a; ②|x|>a⇔x>a或x<-a. (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c . (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数 形结合的思想.
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∴2x＋y 的取值范围为[－2,0]．
•实数大小的比较
【例 3】
已知
a，b
为正整数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的
大小．
• 【解题探究】 利用作差法比较其大小．
【解析】由题知
a＋ b
ba－(
a＋
Hale Waihona Puke b)＝a－ b
b＋
b－ a
a＝a－bb＋b－aa
＝a－b a－ ab
b＝
【解析】把已知式子配方可得2x＋122＋y＋122＝12.
设2x＋12＝ 22cos θ，
y＋12＝
2 2 sin
θ，
x＝ 则
42cos
θ－14，
y＝
2 2 sin
θ－12.
∴2x＋y＝2×
2 4 cos
θ－14＋
22sin
θ－12＝
22cos
θ＋
22sin
θ－1＝sinθ＋π4－1.
∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴－2≤sinθ＋π4－1≤0，
• 推论2：a＞b，c＞d⇒___a_＞___c_－__b__(不等式的加法法则)；
a＋c＞b＋d
• •
性乘推质性论ac4)：；：＜aa＞b＞bcb＞，0c，＞c0＞⇒d_＞__0_⇒_______；__a_＞_a_(bc不，＞等c＜b式c0的⇒_乘__法__法__则_()可；
• 性质5：a＞b＞0⇒________(n∈N，anc≥＞2)(b乘d方法则)；
• 2．设f(x)＝(x＋1)(x＋2)，g(x)＝(x－3)(x＋6)，则有( ) • A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x) • C．f(x)＜g(x) D．以上都有可能 • 【答案】A • 【解析】f(x)－g(x)＝20＞0.
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：3-3
所以 a1a2<a2a3<a3a1. a1a3 a1a2 a3a2 设乱序和 S＝ ＋ ＋ ＝a1＋a2＋a3＝1， a3 a1 a2 a1a2 a2a3 a3a1 顺序和 S′＝ a ＋ a ＋ a . 3 1 2
a1a2 a2a3 a3a1 由排序不等式得 a ＋ a ＋ a ≥a1＋a2＋a3＝1. 3 1 2 a1a2 a2a3 a3a1 所以 a ＋ a ＋ a 的最小值为 1. 3 1 2
2．排序不等式(或排序原理) 定理：设 a1≤a2≤„≤an，b1≤b2≤„≤bn 为两组数，c1， c2，„，cn 是 b1，b2，„，bn 的任一排列，则 a1bn ＋ a2bn
－
1
＋ „ ＋ anb1≤a1c1 ＋ a2c2 ＋ „ ＋
ancn≤________________________________. 当且仅当 a1＝a2＝„＝an 或__________________时，反序 和等于顺序和.
4．利用排序不等式求最值的方法 利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件 仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分 清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要 写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．
5．排序不等式证明不等式的策略 (1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两 组量的大小关系， 则需要分析清楚顺序和、 乱序和及反序和． 利 用排序不等式证明即可． (2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它 们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可 以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关 系来解题.
规律技巧
利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应
人教版高中数学选修4-5课件：专题总结3 (共40张PPT)
∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)，∴a＋b＋c≥ 3.
∴S≥3－（a＋9 b＋c）≥3－9
3＝3（3＋2
3） .
2．P 是△ABC 内一点，x，y，z 是 P 到三边 a，b，c 的距离，
R 是△ABC 外接圆半径，证明：
x＋
y＋
z≤
a2＋b2＋c2 2R .
1＋ a
b×
1＋ b
c× 1 )2]2 c
＝13(1＋9)2＝1030.
∴原不等式成立．
1．若 a，b，c∈(0，1)且满足条件 ab＋bc＋ac＝1，则1－1 a＋
1－1 b＋1－1 c的最小值是(
)
3（3＋ 3） A. 2
3（3－ 3） B. 2
3（ 3－3） C. 2
D．3
答案 A
解析 设 S＝1－1 a＋1－1 b＋1－1 c， 则 S≥1－a＋1－32b＋1－c＝3－（a＋9 b＋c）.
ab＋bc＋ca≤
a2＋b2＋c2 .
2R
∴原不等式得证．
3．若 n 是不小于 2 的正整数，试证： 1－12＋13－14＋…＋2n－1 1－21n>47.
证明 1－12＋13－14＋…＋2n－1 1－21n ＝(1＋12＋13＋…＋21n)－2(12＋14＋…＋21n) ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n， 所以求证式等价于 n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n>47.
证明 (a＋1a)2＋(b＋1b)2＋(c＋1c)2
＝13(12＋12＋12)[(a＋1a)2＋(b＋1b)2＋(c＋1c)2]
≥13×[1×(a＋1a)＋1×(b＋1b)＋1×(c＋1c)]2
人教版高三数学选修4-5(B版)电子课本课件【全册】
第一章 不等式的基本性质和 证明的基本方法 1.1 不等
式的基本性质和一元二次不等 人教版高三式数学的选解修法4－5(B版)电子
课本课件【全册】
ห้องสมุดไป่ตู้
人教版高三数学选修4－5(B版)电 子课本课件【全册】目录
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第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 1.3 绝对值不等式的解法 1.5 不等式证明的基本方法 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯 2.3 平均值不等式（选学） 本章小结 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳 本章小结 数学归纳法简史
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【证明】设m=( a x, b y),n=( a , b ),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
= ( ax)2 ( by)2
( a )2 ( b)2
= ax2 by2 a b ax2 by2 .
所以(ax+by)2≤ax2+by2.
【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最 值及证明不等式的技巧 在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或 证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通 常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式 一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.
即 1 1 4 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时,
ab bc ac
等号成立.故kmax=4.
答案:4
2.求函数y= 2sin x 3cos x 4 的最大值及最小值.
cos x 2
【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,
设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),
【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯 西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不 等式的向量形式的坐标表示.
2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号. (2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号. (3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线 且P1,P2在原点O两旁时取等号.
所以
(x12
x22 )(y12
y
2 2
)
≥x1y1+x2y2,
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：2-3
1 1 1 ∴1 ＋ ＋ ＋„＋ <1 ＋2( 2－ 1)＋2( 3－ 2)＋„ ＋ 2 3 n 2( n－ n－1)＝2 n. 综上分析可知，原不等式成立．
规律技巧
放缩法证明不等式主要是依据不等式的传递性
进行变换，即欲证 a>b，可变换证 a>c 且 c>b，欲证 a<b，可变 换证 a<c 且 c<b.一般放缩要恰当，不能放缩过头，同时要使放 缩后便于求和．
【变式训练 1】
若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，
求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能 都大于 1.
证明
假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大
1 1 1 1 于 1，则 a(1－b)> ，b(1－c)> ，c(1－d)> ，d(1－a)> . 4 4 4 4 1 1 1 1 ∴ a1－b> ， b1－c> ， c1－d> ， d1－a> . 2 2 2 2
典例剖析
【例 1】 【分析】
若 a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 本题若直接证明，难度较大．而本题结论的反
面更简单，所以宜用反证法．
证法一 假设 a＋b>2，则 a>2－b，
∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3， 即 2>8－12b＋6b2， 即(b－1)2<0， 这是不可能的． ∴a＋b≤2.
【证明】
对 k∈N＋，1≤k≤n，有
1 2 > ＝2( k＋1－ k)． k k＋ k＋1 1 1 1 ∴ 1 ＋ ＋ ＋ „ ＋ >2( 2 － 1) ＋ 2( 3 － 2) ＋ „ ＋ 2 3 n 2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)． 1 2 又∵ < ＝2( k－ k－1)(2≤k≤n)， k k＋ k－1
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三 排序不等式
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
3
【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
+x2· 1
x2
+…+xn·
1 xn
=n,
当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以 ≥n,即 a1 a2 ...an ≥Gn.即An≥Gn.
n
a1 a2 ... an
Gn Gn
Gn
板块三 信息文明时代的世界和中国
专题11 20世纪世界经济体制的 创新与调整
考纲要求 1.苏联社会主义建设与改革：(1)战时共产主义政策和新经济政 策；(2)“斯大林模式”；(3)从赫鲁晓夫改革到戈尔巴乔夫改革。 2.罗斯福新政和当代资本主义的新变化：(1)1929至1933年资本 主义世界经济危机；(2)罗斯福新政；(3)第二次世界大战后美国 等国资本主义的新变化。
3.排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即 a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.
4.排序原理的思想 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量, 它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时, 我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序 排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原
2.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a<b<c,x<y<z,
由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.
3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则 a b＋b c＋c a 的最大值是_________. 【解析】因为a,b,c≥0, 不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2, a b c, 则 a b b c c a a a b b c c，
自我纠错 判断两数的大小
【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数
Gn=
n a1a2...an
,算术平均数An=
a1 a2 ... an n
,利用排序
不等式判断Gn,An的大小关系.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际 上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如 下:
③商品流通——取消一切商品贸易，由国家集中分配； 时代
④社
时期
核心考点
(4)评价：①积极——在战时特殊情况下，最大限度地集中
全国人
与1的大小关系为 ( )
A.P=1
B.P<1
C.P≥1
D.P≤1
【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,
不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, 1 1 1 .
xyz
由排序不等式 x2 y2 z2 x2 y2 z2
y zx x yz
=x+y+z=1.
当且仅当x=y=z= 1 时等号成立,所以P≥1.
ab c
b3c3 c3a3 a3b3
a3b3c3
【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为 b2c2 c2a2 a2b2 abc, 如何证明呢?
abc
【证明】不妨设a≥b≥c,则 1 1 1 ,bc≤ca≤ab.
abc
由排序原理,得 bc ac ab bc ac ab ,
【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, 1 ≥
bc
1 ≥ 1 ,由排序不等式得,
ca ab
a + b +c ≥b +c +a
bc ca ab bc ca ab
a +b+c ≥ c+ a+ b
bc ca ab bc ca ab
上述两式相加得:
2 ( a + b + c )≥3,即 a + b + c ≥ 3 .
理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时 要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.
类型一 利用排序不等式求最值
【典例】设a,b,c为任意正数,求 a b c
bc ca ab
的最小值.
【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键 是什么? 提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱 序和≤顺序和求解最小值.
【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3 是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是 _________,最小值是_________. 【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大, 反序和最小,故最大值为32;最小值为28. 答案:32 28
2.设0<a≤b≤c且abc=1.
2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是 否最大?反序和是否最小? 提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28, 乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31, S=1×5+2×6+3×4=29,
S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32. 由以上计算知S1<S<S2, 所以顺序和最大,反序和最小.
【即时小测】
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系 是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a
D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关 系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么 在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的 对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来 解题.
【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P= x2 y2 z2
yzx
a2 a3
b2 b3
c2 c3
的形式.
【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,
则 1 ≥ 1 ≥ 1 .因而
cb a
1 b3c3
1 c3a3
1. a3b3
又a5≥b5≥c5.
由排序不等式,得
a5 b3c3
b5 c3a3
c5 a3b3
≥ a5 b5 c5
c3a3 a3b3 b3c3
bc ca ab
bc ca ab 2
当且仅当a=b=c时, a + b + c 取最小值 3 .
bc ca ab
2
【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧 求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利 用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一 个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.
【典例】已知a,b,c都是正数,求证:
a8 b8 c8 a3b3c3 .
111 abc
【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
3
【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如 何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都 是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
+x2· 1
x2
+…+xn·
1 xn
=n,
当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以 ≥n,即 a1 a2 ...an ≥Gn.即An≥Gn.
n
a1 a2 ... an
Gn Gn
Gn
板块三 信息文明时代的世界和中国
专题11 20世纪世界经济体制的 创新与调整
考纲要求 1.苏联社会主义建设与改革：(1)战时共产主义政策和新经济政 策；(2)“斯大林模式”；(3)从赫鲁晓夫改革到戈尔巴乔夫改革。 2.罗斯福新政和当代资本主义的新变化：(1)1929至1933年资本 主义世界经济危机；(2)罗斯福新政；(3)第二次世界大战后美国 等国资本主义的新变化。
3.排序不等式取等号的条件 等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即 a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.
4.排序原理的思想 在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量, 它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时, 我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序 排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原
2.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a<b<c,x<y<z,
由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.
3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则 a b＋b c＋c a 的最大值是_________. 【解析】因为a,b,c≥0, 不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2, a b c, 则 a b b c c a a a b b c c，
自我纠错 判断两数的大小
【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数
Gn=
n a1a2...an
,算术平均数An=
a1 a2 ... an n
,利用排序
不等式判断Gn,An的大小关系.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际 上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如 下:
③商品流通——取消一切商品贸易，由国家集中分配； 时代
④社
时期
核心考点
(4)评价：①积极——在战时特殊情况下，最大限度地集中
全国人
与1的大小关系为 ( )
A.P=1
B.P<1
C.P≥1
D.P≤1
【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,
不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, 1 1 1 .
xyz
由排序不等式 x2 y2 z2 x2 y2 z2
y zx x yz
=x+y+z=1.
当且仅当x=y=z= 1 时等号成立,所以P≥1.
ab c
b3c3 c3a3 a3b3
a3b3c3
【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为 b2c2 c2a2 a2b2 abc, 如何证明呢?
abc
【证明】不妨设a≥b≥c,则 1 1 1 ,bc≤ca≤ab.
abc
由排序原理,得 bc ac ab bc ac ab ,
【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, 1 ≥
bc
1 ≥ 1 ,由排序不等式得,
ca ab
a + b +c ≥b +c +a
bc ca ab bc ca ab
a +b+c ≥ c+ a+ b
bc ca ab bc ca ab
上述两式相加得:
2 ( a + b + c )≥3,即 a + b + c ≥ 3 .
理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时 要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.
类型一 利用排序不等式求最值
【典例】设a,b,c为任意正数,求 a b c
bc ca ab
的最小值.
【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键 是什么? 提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱 序和≤顺序和求解最小值.
【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3 是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是 _________,最小值是_________. 【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大, 反序和最小,故最大值为32;最小值为28. 答案:32 28
2.设0<a≤b≤c且abc=1.
2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是 否最大?反序和是否最小? 提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28, 乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31, S=1×5+2×6+3×4=29,
S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32. 由以上计算知S1<S<S2, 所以顺序和最大,反序和最小.
【即时小测】
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系 是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a
D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关 系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么 在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的 对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来 解题.
【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P= x2 y2 z2
yzx
a2 a3
b2 b3
c2 c3
的形式.
【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,
则 1 ≥ 1 ≥ 1 .因而
cb a
1 b3c3
1 c3a3
1. a3b3
又a5≥b5≥c5.
由排序不等式,得
a5 b3c3
b5 c3a3
c5 a3b3
≥ a5 b5 c5
c3a3 a3b3 b3c3
bc ca ab
bc ca ab 2
当且仅当a=b=c时, a + b + c 取最小值 3 .
bc ca ab
2
【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧 求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利 用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一 个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.
【典例】已知a,b,c都是正数,求证:
a8 b8 c8 a3b3c3 .
111 abc
【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?