1.1 你能证明它们吗(二)

求证:等腰三角形两腰上的高相等. A
P C
驶向胜 利的彼 岸
议一议
1
学无止境
1.已知:如图,在△ABC中, (1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能 得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么 结论? A 你能证明得到的结论吗？
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则.
● ●
我能行
1
命题的证明
求证:等腰三角形两腰上的中线相等. A 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是 △ABC两腰上的中线. M N 求证:BM=CN. 证明:∵AB=AC(已知), B C ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵CM= 2 AC,BN= 2 AB(已知), ∴CM=BN(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）, 驶向胜利 ∴△BMC≌△CNB（SAS）. 的彼岸 ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)
1.1 你能证明它们吗（二）
知识要点:
结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于 顶角的一半. 结论2:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距 离之和等于一腰上的高
定理: 等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线 互相重合 (三线合一)
驶向胜利 的彼岸
议一议
3
几何的三种语言
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
′
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
B
A
C
这又是一个判定两条线段相等方法之一.
驶向胜利 的彼岸
1.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE交于 点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC
驶向胜利 的彼岸
证明命题的 新思路
开启
智慧
学无止境
A
小明说,在一个三角形中， 如果两个角所对的边不相 等,那么这两个角也不相等.C
′
●
●●
B
即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C. 你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?
开启
智慧
学无止境
A
●
●●
小明是这样想的:
C
B
假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边 ” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛 盾 因此假设不成立,原命题成立 即∠B≠∠C. 你能理解他的推理过程吗?
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形 (用序号写出所有情形) (2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
A
E
O
D C
①③; ①④; ②③; ②④
B
2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出 发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此 时的等腰三角形的顶角的度数?
知识要点:
结论3:等腰三角形两底角的平分线相等.
结论4:等腰三角形两腰的高线、中线分别相等. 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.
•反证法认识你吗?
小结
拓展
回味无穷
• 理解证明的必要性和规范性. • 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事 项. • 你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有 何进步. • 规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要 求是否内化为一种技能. • 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高. • 关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的 推进器. • 你准备如何提高证明命题的能力呢?
驶向胜 利的彼 岸
开启
智慧
反证法
假设 先假设命题的结论反面成立， 然后推导出与定义，公理、已证定理或 归谬 已知条件相矛盾的结果， 所以假设不成立,原命题成立
这种证明方法称为反证法 (reduction to absurdity) 反证法是一种重要的数学证明方法. 在解决某些问题时常常会有出人意 料的作用.
隋堂练习P91
成功者的摇篮
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
你可要结识“反证法”这个新朋友 噢!
结论
心动
不如行动
初露锋芒
例1.如何证明这个结论: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少 有一个大于或等于1/5. 用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五 个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知 这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此 假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至 少有下个大于或等于1/5.
′
这里是一个由特殊结 论归纳出一般结论的 一种数学思想方法.
E B
●
●
D C
驶向胜利 的彼岸
等腰三角形的判 议一议 2 定 前面已经证明了“等边对等角”，反过来，
“等角对等边”成立吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
A
已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证:AB=AC.
′
B
C
如：作BC边上的中线； 作∠A的平分线 作BC边上的高.
公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 公理：全等三角形的对应边、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)
例题欣赏
1
命题的证明
例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线. A 求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), E D ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 1 1 又∵∠1= ∠ABC,∠2= ∠ACB(已知), B 1 2 C 2 2 ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, ∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. 驶向胜利 ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 的彼岸
我能行
2
命题的证明
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 △ABC两腰上的高. Q 求证:BP=CQ. 证明:∵AB=AC(已知), B ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）, BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)
36°90°108°
开启
智慧
路边苦李 古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一 天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上 的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们 都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问 他为何不去摘，他说：“树长在路边，如 果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么 多，肯定李子是苦的，不好吃。”小朋友 摘来一尝，李子果然苦用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内 角小于或等于60°
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角, 且都大于60°, 则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°, ∴ ∠A+∠B+∠C>180°; 这与三角形的内角和是180定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.