§3 高斯公式与斯托克斯公式答案

§3高斯公式与斯托克斯公式

§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式都是数学中的重要公式，用于计算曲线、曲面和体积的积分。

本文将对高斯公式和斯托克斯公式进行详细介绍。

一、高斯公式高斯公式是数学中的一个定理，描述了矢量场在一个闭合曲面上的积分与矢量场的散度在整个包围该曲面的体积上的积分之间的关系。

设D为一个封闭的三维空间区域，其边界为S，函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在D上的矢量场，其中P，Q和R在D上具有偏导数。

高斯公式的数学表达为：∫∫SF·dS=∭D∇·FdV其中∫∫S表示对曲面S上的面积元素dS进行面积分，∇·F表示矢量场F的散度，∭D表示对区域D进行体积分，dV表示体积元素。

高斯公式提供了计算闭合曲面上矢量场的散度的方法，将曲面S上的面积分转化为闭合区间D内的体积分。

这个公式在电磁学和流体力学等领域中有广泛应用。

例如，在电磁学中，电通量是电场与闭合曲面之间的关系，可以利用高斯公式来计算。

斯托克斯公式是数学中的另一个定理，描述了矢量场环路积分与矢量场旋度在包含该环路的曲面上的面积分之间的关系。

设C为一个平面闭合曲线，其边界为曲线C，函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在包含C的曲面S上的矢量场，其中P，Q和R在S上具有偏导数。

斯托克斯公式的数学表达为：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS其中∮C表示对闭合曲线C进行环路积分，dr表示路径元素，∬S表示对曲面S上的面积元素dS进行面积分，∇×F表示矢量场F的旋度。

斯托克斯公式提供了计算闭合曲线上矢量场的旋度的方法，将闭合曲线上的环路积分转化为包含该曲线的曲面上的面积分。

这个公式在电磁学和流体力学等领域中也有广泛应用。

例如，在电磁学中，安培环路定律描述了磁场与闭合曲线之间的关系，可以利用斯托克斯公式来计算。

数学分析22-3223 高斯公式与斯托克斯公式

如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
光滑曲线把 S 分割为若干小块,使每一小块能用这
种形式来表示. 因而这时 (2) 式也能成立. 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:
dydz dzdx dxdy
S
x
y
z
L Pdx Qdy Rdz .
PQ R
例4 计算 L(2 y z)dx ( x z)dy ( y z)dz , 其中
返回
一、高斯公式二、斯托克斯公式
一、高斯公式
定理22.3 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成. 若函数 P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连续偏导数, 则
V
P x
Q y
R z
dxdydz
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ,
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
S S1
( x y)dxdydz
V
2
2
5r2
0 d 0 dr 1 (r cos r sin )rdz 0.
而
因此
y( x z)dydz x2dxdz ( y2 xz)dxdy
S1
( y2 x)dxdy 4π.
D
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy 4π.
若S 在 xy 平面上的投影为区域 D( xy), L 在 xy 平面上的投影为曲线 . 现由第二型曲线积分定义及格林
公式有
L P( x, y, z)dx P( x, y, z( x, y))dx
因为所以
P( x, y, z( x, y))dxdy .
y D( xy )

高斯公式及斯托克斯公式

第六节高斯公式通量与散度
Green 公式一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度
推广
Gauss 公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域由分片光滑的闭曲
面所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数 , 则有
z
其中为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 h h
o x

y
2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧
记 , 1所围区域为, 则
I (
1 1
2 1 3

Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
P d y d z Q d z d x Rdx d y

Gauss,Stokes公式练习及内容总结

x , 2 2 x +y y , 2 2 x +y
D
∑
向量点积法
−x −y 2 I = ∫∫ { y, − x, z } ⋅ , ,1dxdy x2 + y 2 x2 + y 2 ∑
= ∫∫ z dxdy
2 ∑
= − ∫∫ ( x + y )dxdy [ Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ]
O
x 2 + y 2 + z 2 = 4 所围立体的表面外侧. 外侧.
如何直接计算被积函数中有抽象函数, 被积函数中有抽象函数, 故无法直接计算. 高斯公式. 故无法直接计算. 用高斯公式.
分析
x
高斯(Gauss)公式公式高斯
解
1 y 3 y 3 f + y , R= f +z , y z z ∂P 1 y 1 y 2 ∂Q 2 ∂R ′ + 3 y , = 3x , = − 2 f ′ + 3 z 2 = 2 f z ∂z ∂y z ∂x z z 故由高斯公式故由高斯公式
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v = ∫∫∫ u∆vdxdydz + ∫∫∫ + + dxdydz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Ω Ω 移项后,即证. 移项后,即证.
高斯(Gauss)公式公式高斯
计算曲面积分
1987年研究生考题,计算(10分 1987年研究生考题,计算(10分) 年研究生考题 (10
∂2 ∂2 ∂2 称为拉普拉斯拉普拉斯( )算子. ∆ = 2 + 2 + 2 ,称为拉普拉斯(Laplace)算子. ∂x ∂y ∂z

高斯公式和斯托克斯公式_681302766

,
a2 − x2 − y2
x
zy =
−y a2 − x2 − y2
∫∫ I = [ a2 − x2 − y2 ⋅
−x
Dxy
a2 − x2 − y2
+ 2 a2 − x2 − y2 ⋅
−y
− y]dxdy
2009-4-3
a2 − x2 − y2
25
z
I = − ∫∫ ( x + 3 y)dxdy
D xy
dz
−
∂Z ∂x
dz^
dx
假设：S : z = z( x, y)二阶偏导连续 , 上侧
S的单位法向量 nv =
1+
1
z
2 x
+
z
2 y
(
−
z
' x
,
−
z
' y
,1)T
= (cos α , cos β , cos γ )T
∂S在 xoy 平面上的投影为 L∗ , L∗所围区域是 D xy
2009-4-3
2009-4-3
3
[证] 先证明第三项
∫∫
S外
Zdx^
dy
=
∫∫∫ Ω
∂Z ∂z
dV
z nv S2 : z = z2(x, y)
•
假设Ω如图所示
nv
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∂Z dV= dxdy ∂Z z2 ( x, y) dz
Ω ∂z
D xy
∂z z1 ( x , y ) o
S3
nvS1 : z• = z1(x, y) y
验证斯托克斯公式的正确性
∫L zdx + xdy + ydz

《电磁场与电磁波》习题参考答案

《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。

2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。

3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。

4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。

（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。

（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。

（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。

（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。

（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。

第2章电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。

2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。

3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD d S d V Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。

4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。

5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。

6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。

7、在介电常数为e 的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。

8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。

高斯公式与斯托克斯公式——习题

证：因为 cos(r, n) = cos(r, x) cos(n, x) + cos(r, y) cos(n, y) + cos(r, z) cos(n, z) ，而
cos(r, x) = x , cos(r, y) = y , cos(r, z) = z ，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得
S
S
由于曲面 S : x = y( y 2 + z 2 ≤ 1) 上任一点 (x, y, z) 处的法向量 n = (cosα , cos β , cosγ ) 中的
∫∫ cosγ = 0 ，从而由定义知 x 2 y 2dxdy = 0 ，因此，原式=0. S (3) ∫L (z − y)dx + (x − z)dy + ( y − x)dz = ∫∫ (1 + 1)dydz + (1 + 1)dzdx + (1 + 1)dxdy S
3S
其中 cosα , cos β , cosγ 为曲面 S 的外法线方向余弦
证：因为 ∫∫ (x cosα + y cos β + z cosγ )dS = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
S
S
=
∫∫∫ V
(
∂ ∂x
x
+
∂ ∂y
y
+
∂ ∂z
z)dxdydz
=
3∫∫∫d V
xdydz
1 1− y
dy ( y − z)dz =
1
[
y(1
−
y)
−
1
(1 −
y
2
)]dy
S

高等数学第22章第3节高斯公式与斯托克斯公式

由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件. 区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中，而是复连通区域。
与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。定理22.5 设为空间单连通区域。若函数P，Q，R在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（i）对于内任一按段光滑的封闭曲线L有（ii）对于内任一按段光滑的曲线L，曲线积分与路线无关；（iii）是内某一函数u的全微分，即（6）（iv）在内处处成立。这个定理的证明与定理21.12相仿，这里不重复了。例3 验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数。解由于所以曲线积分与路线无关。
（4）和
（5）将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。如果曲面S不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成立。 ▌ 公式（2）称为斯托克斯公式。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：例2 计算其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图22 －8）。解应用斯托克斯公式推得
，（1）其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。
证下面只证读者可类似地证明这些结果相加便得到了高斯公式（1）。先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面
①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。及以垂直于的边界的柱面组成（图22－6），其中。于是按三重积分的计算方法有其中都取上侧。又由于在xy平面上投影区域的面积为零，所以因此对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。例1 计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。解应用高斯公式，所求曲面积分等于

高斯公式和斯托克斯公式

S

V
P x

Q y

R z
d
xd
ydz
首页 ×
2. 斯托克斯公式
L P d x Q d y Rd z
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
SP
Q
R
cos

x
SP
cos
y
Q
cos
z
dS
R
首页 ×
例计算 x d S 其中 S 为球面在第一卦限部分
首页 ×
例3 验证曲线积分 ( y z) d x (z x) d y (x y)dz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)

(x,y,z) (0,0,0)
(y

z)d
x

(z

x) d
y

(x

y) d
z
解令 P yz, Qzx, Rxy
P 1 Q , y x
1
dxd y
z
z
首页 ×
d ydz dzdx dxd y

x
y
z
S x2 y3
1
z
(0 0)d y d z (0 0)d z d x (0 3x2 y2 )d x d y
S
3x2 y2 d x d y 0
S
首页 ×
例为柱面轴正向看为顺时针, 计算

P x

Q y

R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy

高斯公式与斯托克斯公式

P d y d z Q d z d x Rdx d y

(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物理意义可知, 单位时间通过曲面的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为

P cos Q cos R cos d S
v n d S

©
若为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n
当 > 0 时, 说明流入的流体质量少于
流出的, 表明内有泉; 当 < 0 时, 说明流入的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设是包含点 M 且

二十二章第三节高斯公式与斯托克斯公式

沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为沿场中某一有向曲面Σ
Φ = ∫∫ A dS = ∫∫ A n 0 dS
Σ Σ
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
向正侧穿过曲面Σ 通量. 称为向量场 A( x , y , z ) 向正侧穿过曲面Σ的通量.
散度的定义: (2). 散度的定义:
2π
1
3
9π . 2
使用Guass公式时应注意: 使用Guass公式时应注意: Guass公式时应注意
是对什么变量求偏导数; 1. P,Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 2.是否满足高斯公式的条件; 是否满足高斯公式的条件
3.Σ是取闭曲面的外侧. 3.Σ是取闭曲面的外侧.
Σ1 Σ1
=
h2dxdy = πh4 . ∫∫
D xy
故所求积分为
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ
1 4 = πh πh4 = 1 πh4 . 2 2
物理意义: 3. 物理意义: (1). 通量的定义: (1). 通量的定义:
设有向量场
A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
三部分组成, Σ 由 Σ 1 , Σ 2 和 Σ 3 三部分组成,
z
Σ2 Σ3
Σ1
Σ1 : z = z1( x, y) Σ2 : z = z2 ( x, y) Σ3 x
o
Dxy
y
根据三重积分的计算法
R ∫∫∫ z dv =

12-3 高斯公式与斯托克斯公式

（续证）设与平行于 z 轴的直线的交点不多于一个，其方程为 z z( x, y) ．且
在 xOy 坐标面上的投影区域为 Dxy ，Dxy 的边界曲线为 C ， C 即为取上侧．
的边界曲线在 xOy 坐标面上的投影曲线，由于的方向和的侧符合右手法则，所以 C 取正向（见图 12-3-5）．
根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可以写成
( P cos Q cos R cos )dS (

P Q R )dV ， x y z
(1 2 . 3 . 2 )
其中 {cos ,cos ,cos }为外侧上任一点处的单位法向量．
2 2 2 2 2 2 xz d y dz x y d z d x y z d x d y ( x y z )dV

d d 4 sin d
0 0
2π
π 4 0
1
2 2 π． 5
19-8
例 12.3.3 计算曲面积分 2 x3dydz 2 y 3dzdx 3( z 2 1)dxdy ，其中是曲面
1
由高斯公式
1

x dydz y dzdx z dxdy P Q R ( )dv 0dv 0 ， 2 2 2 3/2 (x y z ) x y z
而
x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy 2 2 2 3/2 (x y z ) 1 1

C
P( x, y, z ( x, y))dx [0 (
Dxy
另外，由于 dzdx z y dxdy ，故由三合一投影法，及定理 12.2.2 得

高斯(Gauss)公式与斯托克斯(stokes)公式

侧总在人的左方, 则人前进的方向为边界线 L 的
正向 ; 若 L 沿行走 , 指定的侧总在人的右方 , 则人前进的方向为边界线 L 的负向.
L1 L1
D D
L2 L2
1. 定理22.4
定理设光滑曲面 S 的边界 L 是分段光滑的空间有向闭曲线, 若函数 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在曲面 S (连同 L ) 上连续,且有一阶连续偏导数, 则
z R

L
Pdx Qdy Rdz
或
cos cos cos

S
x P
y Q
ds z R

L
Pdx Qdy Rdz
其中 n {cos ,cos ,cos }.
Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系.
§3 高斯(Gauss)公式与斯托克斯(stokes)公式
一、高斯公式(Gauss) 二、斯托克斯(stokes)公式
一、高斯公式
沿空间曲面的曲面的曲面积分和三重积分之间有类似格林公式建立的关系。 1 定理22.3
设空间闭区域V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在V 上具有一阶连续偏导数, 则有公式

2
0
9 d dr r (sin z )rdz . 0 0 2
1 3
□
使用Guass公式时应注意:
1. P , Q , R是对什么变量求偏导数;

3高斯公式与斯托克斯公式word精品文档6页

第二十二章曲面积分§3 高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297）教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合．教学程序：1．引导2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。

一高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss ）公式。

定理22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成。

若函数P ， Q ，R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂SV RdxdyQdzdx Pdydz dxdydzz R y Q x P ，（1）其中S 取外侧。

（1）式称为高斯公式。

证下面只证.⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂SV Rdxdy dxdydz z R读者可类似地证明.,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂=∂∂SV S V Qdzdx dxdydz y QPdydz dxdydz x P这些结果相加便得到了高斯公式（1）。

先设V 是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 ①若S 为封闭曲面，则曲面积分的积分号用⎰⎰表示。

()()()()xyxy D y x y x z z S D y x y x z z S ∈=∈=,,,:,,,,:1122及以垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成（图22－6），其中()()y x z y x z ,,21≤。

于是按三重积分的计算方法有()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1212211212,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-=-=∂∂=∂∂S S S S D D D y x z y x z D V dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R dxdyy x z y x R y x z y x R dz z R dxdy dxdydz z Rxyxyxyxy其中21,S S 都取上侧。

高斯公式与斯托克斯公式

(R( x, y,(z2( x, y)) R( x, y, z1( x, y)))dxdy
D( xy )
R( x, y,(z2( x, y))dxdy
D( xy )
R( x, y,(z1( x, y))dxdy
D( xy )
R( x, y, z)dxdy R( x, y, z)dxdy
一、高斯公式二、斯托克斯公式
*点击以上标题可直接前往对应内容
§3 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式
高斯公式
斯托克斯公式
定理22.3
设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成.
若函数 P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连续偏导数,
则
V
P x
Q y
R z
dxdydz
Ò Pdydz+Qdzdx+Rdxdy , (1) S
z (0, 0,1)
面的交线, 取图 22-8所示的方向. 解应用斯托克斯公式推得:
O
(0,1, 0)
y
(1, 0, 0)
x
图 22 10
ÑL(2 y z)dx ( x z)dy ( y x)dz
(1 1)dydz (1 1)dzdx (1 2)dxdy
S
13
S
2dydz
ur E
向外穿过任何包含
q
在其内
部的光滑封闭曲面 S 的电通量都等于 4πq.
证以 q 为球心作一半径充分小的球面 S1 ,使 S1 全部落在 S 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在 q 处.
由电学知识,在点 M( x, y, z) 处的电场强度为
ur E
q r3
(xi
y

数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0，同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。

数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ，其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0，同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。

高斯公式和斯托克斯公式

1、利用高斯公式计算曲面积分 1）求()22222234I x dydz y dxdz z x y dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为z =与2z =围成的立体的表面，取外侧。

解：利用高斯公式可得()246I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰)2224246x y dxdy x y z dz +≤=++⎰⎰()(()2222424234x y x y x y+≤⎡⎤=++--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()222330022cos 4sin 123d r r r r dr πθθθ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰⎰ 20816cos sin 122433d πθθθπ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭⎰ 2）利用高斯公式计算曲面积分()()281214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑++--⎰⎰，其中∑是由曲线()130z y x ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周所成曲面，它的法向量与y 正方向夹角恒大于2π。

解：曲面∑为()22113x z y y +=-≤≤，并取左侧。

作辅助曲面221:32y x z ∑=+≤，并取右侧，利用高斯公式可得()()281214y xdydz y dxdz yzdxdy ∑++--⎰⎰()()()12814481214y y y dxdydz y xdydz y dxdz yzdxdy Ω∑=+---++--⎰⎰⎰⎰⎰())22222232310221632232x zx z x z dxdydz dxdz dxdz dz d r r dr ππθπ++Ω+≤+≤=--=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰34π=3）设函数()f u 由一阶连续的导数，计算曲面积分()()222232113I f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ∑⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰式中∑时下半球面2221(0)x y z z ++=≤的上侧。

解：添加辅助曲面221:01z x y ∑=+≤，并取下侧利用高斯公式可得()()()2222222I yf xy yf xy x y z dxdydz Ω''=--+++⎰⎰⎰()()1222232113f xy dydz f xy dzdx x z y z z dxdy y x ∑⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭⎰⎰()222I x y z dxdydz Ω=-++⎰⎰⎰122313x z y z z dxdy ∑⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎰⎰21220022sin 05d d d πππθϕρρϕρπ=--=-⎰⎰⎰2、利用斯托克斯公式计算曲线积分1）23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰，其中Γ是圆周2222x y z z ⎧+=⎨=⎩，从Oz 轴正方向看去，Γ取逆时针方向。

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§3 高斯公式与斯托克斯公式教学目的学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．教学内容高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧．教学建议本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系．教学程序一、高斯公式定理22．3 设有空间区域V 由分片光滑的双侧闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则 dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=()()()ydxd z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P S ⎰⎰++,,,,,,，其中S 取外侧．称为高斯公式.证只证dxdydz z RV ⎰⎰⎰∂∂=()y dxd z y x R S ⎰⎰,,.类似可证dxdydz x P V ⎰⎰⎰∂∂=()⎰⎰S dydz z y x P ,,和dxdydz y Q V ⎰⎰⎰∂∂=()⎰⎰S dzdx z y x Q ,,.这些结果相加便得到了高斯公式．先V 设是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面2S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,,2，1S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,,1，及垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成其中()()y x z y x z ,,21≤．于是按三重积分的计算方法有dxdydz z R V ⎰⎰⎰∂∂=()()⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ,,21=()()()()()⎰⎰-xyD dxdyy x z y x R y x z y x R ,,,,,,12=()()⎰⎰xyD dxdy y x z y x R ,,,2()()⎰⎰-xyD dxdyy x z y x R ,,,1=()⎰⎰2,,S dxdy z y x R ()⎰⎰-1,,S dxdyz y x R =()⎰⎰2,,S dxdy z y x R ()⎰⎰-+1,,S dxdyz y x R 其中21,S S 都取上侧．又由于3S 在xy 平面上投影区域的面积为零，所以()0,,3=⎰⎰S dxdy z y x R ，因此dxdydz z RV ⎰⎰⎰∂∂=()⎰⎰2,,S dxdy z y x R ()⎰⎰-+1,,S dxdy z y x R +()⎰⎰3,,S dxdy z y x R =()ydxd z y x R S⎰⎰,,对于不是xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论．详细的推导与格林相似．空间区域V 的体积公式：()dxdydz V⎰⎰⎰++111=yzdxd ydzdx xdydz S⎰⎰++．V ∆=y zdxd ydzdx xdydz S ⎰⎰++31.例1 计算()()⎰⎰+++-Sdxdyxz y dzdy xdydz z x y 22,其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧．解应用高斯公式，所求曲面积分等于()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂+∂∂+-∂∂V dxdydzxz y z x y z x y x 22=()⎰⎰⎰+Vdxdydz x y =()⎰⎰⎰+aaa dxx y dy dz 0=40221a dy a ay a a=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰.二、斯托克斯公式双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向的规定：右手法则．定理22.4 设光滑曲面S 的边界L 是按块光滑的连续曲线．若函数R Q P ,,在S （连同L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰=⎰++L Rdz Qdy Pdx （2）其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．证明先证dxdy y Pdzdx z P S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰L Pdx ，（3）其中曲面S 由方程()y x z z ,=确定，它的正侧法线方向数为()1,,---y x z z ，方向余弦为()γβαcos ,cos ,cos ，所以γαcos cos -=∂∂x z ，γβcos cos -=∂∂y z ，若S 在平面上投影区域为xy D ，L 在平面上的投影曲线为Γ．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有()⎰L dx z y x P ,,=()()⎰Γdx y x z y x P ,,,=()()⎰⎰∂∂-xy D dxdy y x z y x P y,,,.因为()()y x z y x P y ,,,∂∂=y z z P y P ∂∂∂∂+∂∂，所以 ()()⎰⎰∂∂-xy D dxdy y x z y x P y ,,,=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-.由于γβcos cos -=∂∂yz ，从而dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =dxdy y Pdzdx z P S ∂∂-∂∂⎰⎰.综合上述结果，便得所要证明的（3）式．同样对于曲面S 表示为()z y x x ,=和()x z y y ,=时，可证得dydz z Q dxdy x Q S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰L Qdy ，（4）dzdx x R dydz y R S ∂∂-∂∂⎰⎰=⎰L Rdz . （5）将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式．如果曲面S 不能以()y x z z ,=的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立．公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：⎰⎰∂∂∂∂∂∂S R Q P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L RdzQdy Pdx .例2 计算()()()⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y 2，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向．解应用斯托克斯公式()()()⎰-+-++L dzx y dy z x dx z y 2=()()()dxdydzdx dydz S211111-++++⎰⎰=dxdydzdx dydz S122-+⎰⎰=232111=-+．单连通区域：如果区域V 内任一封闭曲线皆可以不经过V 以外的点收缩于属于V 的一点，则称V 为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域．定理 22.5 设Ω⊂3R 为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（ⅰ）对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L ，有⎰++LRdzQdy Pdx =0．（ⅱ）对于Ω内任一按段光滑的曲线L ，曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 与路线无关．只与L 的起点及终点有关。

§3 高斯公式与斯托克斯公式 答案