用不动点法求数列通项

用不动点法求数列通项 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

用不动点法求数列的通项

定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.

利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列

化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系

)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.

证明：因为 p 是)(x f 的不动点

ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---

所以}{p a n -是公比为a 的等比数列.

定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c d

cx b ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠

（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则

q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qc a pc a k --=

） （2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p

a p a n n +-=--111 （这里d

a c k +=2） 证明：由x x f =)(得x d cx

b ax x f =++=

)(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以

q a p a qc a pc a qc a b qd a pc a b pd a qc a pc a qd b a qc a pd b a pc a q d

ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc

a pc a k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11 （2）因为p 是方程0)(2=--+

b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp

所以ap cp pd b -=-2，c

d a p 2-=所以 d

ca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以

d

a c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d a c k +=2，则k p a p a n n +-=--1

11 例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a n n n ∈+=

=+，求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,221

1≠-==+a a a a a a a n

n ，求数列}{n a 的通项公式 定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a f

ex c bx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,22

12111)(x u x u x u x u n n n n --=--++ 证明: k x 是)(x f 的两个不动点

∴f

ex c bx ax x k k k k +++=2

即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k

∴

2222212

11222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是, 11 2

1x x 0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*2

11,22,2N n a a a a n n n ∈+==+,求数列}{n a 的通项. 其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问

题:

例4：已知1,011≠>a a 且)1(41

62241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.

解: 作函数为)

1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 3

3,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 逐次迭代后,得:111141414

14

1)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n

已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为

(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．

（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；

（２）证明：13521n n n

x x x x x y -⋅⋅⋅⋅< 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足

1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，

…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14

q =，求{}n x 的前n 项和n S ．