高考数学专题--正余弦定理及解三角形

高考数学专题--正余弦定理及解三角形

高考考点：1、利用正、余弦定理解三角形

2、解三角形的实际应用

3、解三角形与其他知识的交汇问题

解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形

调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3

cos sin 3b a C a C =+

.

(1)求A ; (2)若3a =

,2bc =,求ABC △的周长.

【解析】(1)

3cos sin 3b a C a C =+

,3

,sin sin cos sin sin 3B A C A C ∴=+由正弦定理得,

3

sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C ∴+=+

,tan 3A =即,

()0πA ∈又，,∴

π

3A =

.

(2)

22π,32cos

3b c bc =+-由余弦定理得,

()2

33b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=,

故33ABC +△的周长为.

调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin cos C c

B

b =

.

(1)求角B 的大小;

(2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若π85π,2,5,2

5CD AD a θ<<===

,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知3sin cos C c B

b =,得3sin sin cos sin C C

B B =, 因为sin 0

C >,所以sin 3tan cos 3B B B

==

, 因为0πB <<,所以

π

6B =

.

(2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC a

B BD

C θ==

∠,所以

85

25sin sin B BDC

=

∠,所以

25sin 5θ=,

因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以

()25cos cos π1sin 5ADC θθ∠=-=-=

,

在ADC △中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255b AD CD AD CD θ=+-⨯-=+-⨯⨯

=,

所以5b =

.

☆技巧点拨☆

利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．

若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；

若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

等．

题组二 与三角形面积有关的问题

调研3 如图，在ABC △中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ．

(1)求AD 的长；

(2)求ABC △的面积．

【解析】(1) 在ABC △中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，所以BD ＝2x .

在BCD △中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝5

2x

.

在ACD △中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，

所以cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝222

525

x x +-⨯⨯.

因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，

＝－52x ，解得x ＝5.

所以AD 的长为5.

(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2

－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC

BD ＝

32，从而sin ∠CBD ＝12

. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝753

4.

题组三 三角形形状的判断

调研4 ABC △中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos sin a C C b c +=+. (1)求A ;

(2)若2,a ABC =△试判断此三角形的形状.

【解析】(1)由正弦定理及cos sin a C C b c =+得,sin cos sin sin sin A C A C B C =+，

即

()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++sin cos sin sin A C A C C ⇒-=,

∵sin 0C >,()1

cos 1sin 302A A A -=⇒-︒=

,

∵0180A <<︒︒,∴3030150A ︒-︒<-<︒, ∴303060A A -=︒⇒=︒︒.

(2)1

sin 4

2S bc A bc ===,

由余弦定理得:2

2

2

2cos a b c

bc A =+-=()

2

3b c bc +-()2

41242b c b c b c ⇒=+-⇒+=⇒==,