第数值微积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
第4节 数值微分
对于
f ( n1) ( ) R1 ( xk ) n 1 ( x k ) ( n 1)!
由 n1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
及
可知
f ( n 1 ) ( x ) M , x [a , b ]
M M n R1 ( xk ) ( x n x0 ) (b a ) n ( n 1)! ( n 1)! 0, ( n )
可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确
f ( xk ) Ln ( xk ),
k 0,1,, n
对于插值型数值微商公式
f ( xk ) Ln ( xk ),
得到一阶中心差商数值微分公式
f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h R1 ( x0 ) O( h2 )
误差为
二阶中心差商数值微分公式为 f ( x0 h) 2 f ( x0 ) f ( x0 h) ( x0 ) f h2 误差为 R2 ( x0 ) O( h2 )
3! dx ( ) 1 2 df (4h 6hf ( )) O( h) 6 dx ( ) 1 2 df R2 ( x1 ) ( h ) O ( h2 ) R2 ( x2 ) O( h) 6 dx
总结一下，两点、三点数值微商公式：
一阶两点微商公式
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) h f ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 ) f h 一阶三点微商公式 1 f ( x0 ) L2 ( x0 ) [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] 2h
第4章 数值积分与数值微分
1 (a b).得到的求积公式就是中 矩形公式。再令 2 f ( x) x 2 , 代入(1.4)式的第三式有
b ab 2 ba 2 1 2 A x (b a)( ) (a b ) x 2 dx (b 3 a 3 ), a 2 4 3 说明中矩形公式对 ( x) x 2不精确成立，故它的代 f 数精确度为 . 1
定 理 1 求积公式 f ( x)dx Ak f k 至少具有n次代数精度
a k 0
它是插值型求积公式 .
四、求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精确度为m，则由求积 公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( ), (1.8)
k 0 n
Hale Waihona Puke 第4章 数值积分与数值微分
~ 定 义 3 若 0, 0,只要 f ( xk ) f k (k 0,, n), 就有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) |
《 数 值 分 析 》
~ Ak [ f ( xk ) f ( xk )] ,
此求积公式的余项。
第4章 数值积分与数值微分
1 A1 B0 2 1 1 《 A1 0 x 2 dx 3 1 2 数 1 1 A1 , A0 , B0 于是有 f ( x)dx 2 f (0) 1 f (1) 1 f ' (0) 值解得 3 3 6 3 3 6 分 0 1 1 析当 3时 x 3 dx . 而上式右端为1/3，故公式对 f ( x) x 》 4 0
k 0
n
则称求积公式 (1.3) 是稳定的 .
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
数值微分计算方法
数值微分计算方法数值微分是微积分中的一个重要概念，用于近似计算函数的导数。
它在实际问题中具有广泛的应用，特别是在数值求解微分方程、优化问题以及实时数据处理等领域。
数值微分最基本的思想是通过两个离得很近的点，利用函数值的变化情况来估计导数的变化情况。
常见的数值微分方法包括有限差分法和插值法。
有限差分法是一种简单且直接的数值微分方法，常用的有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法用于近似计算函数的导数，通过函数在特定点上和该点之后的一点的差值来估计导数的值。
设函数在点x处的导数为f'(x)，则前向差分法的计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h其中，h为一个小常数，表示两个点之间的距离。
后向差分法与前向差分法的思想类似，只是对应的计算公式稍有不同。
后向差分法通过函数在特定点上和该点之前的一点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h中心差分法是一种更加精确的数值微分方法，通过函数在特定点的前后两点的差值来估计导数的值。
计算公式为：f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法来说，误差更小，计算结果更稳定。
除了有限差分法，插值法也是一种常用的数值微分方法。
它通过利用已知点的函数值来估计未知点上的函数值，从而近似计算函数的导数。
常见的插值法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法通过构造一个次数为n的多项式来逼近给定的函数，然后求该多项式的导数。
牛顿插值法则是通过利用已知点的函数值来构造一个插值多项式，然后求该多项式的导数。
插值法在实践中广泛应用，能够提供更精确的数值微分结果。
总的来说，数值微分是一种基于离散点求导数的近似计算方法，可以通过有限差分法和插值法来进行计算。
不同的方法在精度和稳定性上有所差异，具体的选择需根据实际情况进行考虑。
数值微分在科学计算和工程应用中具有重要的地位和作用，是了解和掌握的必备技巧之一。
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
数值计算方法第07章数值微分与数值积分
h
2
f '( x) f ( x) f ( x h) f ''( x 2h) h O(h)
h
2
f '( x) f ( x h) f ( x h) 2h
f (3)( x 3h) f (3)( x 3h) h2 O(h2 )
12
心差商公式
sin x2 , cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
17
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达 式相当复杂,计算极不方便.
x x1 x0 x1
f
( x0 )
x x0 x1 x0
f
(
x1
)@
x
h
x1
f
( x0 )
x
x0 h
f ( x1 )
则
L1( x)
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )]
(7.1)
L1( x0 )
1 [ h
f
( x0 )
f
( x1 )],
L1( x1 )
1 [ h
f
( x0 )
f
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
f
( x1)
(x (x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
f
(x2 )
(x
x1 )( x 2h2
x2 )
f
( x0 )
(x
x0 )( x h2
x2 )
f
(x ( x1 )
x0 )( x 2h2
x1 )
f (x2 )
数值积分和数值微分
定理 对于n+1节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
§5.2 牛顿－柯特斯求积公式
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插 值
多一项、式公建式立推的导数：值求积公式
将积分区间[a, b]分割为n等份, 步长为h b a , n
从几何上看，就是计算曲 边梯形面积的近似值。
最简单的办法，是用直线、 抛物线等代替曲边，使得 面积容易计算。
用直线代替曲边
f(x)
f(a) a
a
f(a) a
b f(x)
(a+b)/2
b
f(x)
f(b)
b
左矩公式
b
a
f ( x)dx
f ab a
中矩公式
b f ( x)dx f a b b a
a1 dx b a =
b
x
dx
b2
a2
=
a
2
b
2
a
[1
1]
b a [a b] 2
b x2dx b3 a3
a
3
b
2
a
[a 2
b2 ]
因此梯形公式只对一次多项式精确成立。
➢代数精度
定义 如果某个求积公式对于次数不超过m的一切多
项式都准确成立,而对 某个m+1次多项式并不准确成 立，则称该求积公式的代数精度为m。
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n ，
以此分点为节点,构造出的插值型求积公式。
根据插值型求积公式
b
f ( x)dx
a
微积分的数值计算方法数值微分
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
数值微积分第二讲(复化及龙格贝塔积分)
3 3
n2 >
10 0 .5 × = 394520 7.92101 4 n > 629
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
例3
使用复化辛普森公式和 复化梯形公式
计算积分 I =
解
∫
1
0
sin x dx x
η ∈ [a , b ]
f ( x) ∈C [a, b]时, 可以证明
2
limTn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
事实上
h n 1 Tn = ∑ [ f ( x k ) + f ( x k +1 )] 2 k =0
1 b a n 1 ba n = ∑ f ( x k ) + n ∑ f ( x k ) . 2 n k =0 k =1
这说明使用复化梯形公式比复化辛普森公式误差大得多
第四章
第三节
龙贝格（Romberg）求积公 （Romberg） 式
龙贝格算法： 龙贝格算法：
在求积公式的推倒中 , 如果采用序列 { hn }
h0 = b a ; h0 h1 = ; 2 h0 h2 h1 h3 = = = ;....... 2 4 8
n 1 n 1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x k +1 2 ) + 2∑ f ( x k ) + f (b )] 6 k =0 k =1
复化辛普森公式
f ( x) ∈C[a, b]时, 可以证明
lim Sn = ∫ f ( x)dx,
n→∞ a
b
数值微分公式
数值微分公式数值微分公式是数值分析的一个重要分支，用于近似计算函数的导数和高阶导数。
数值微分法是许多科学和工程问题中的基本问题，解决这些问题需要计算导数。
但是，实际上，很少有函数的导数可以直接计算。
因此，必须使用数值微分公式。
本文将介绍数值微分公式的原理、分类和具体的计算方法。
一、数值微分公式的原理数值微分公式是由函数在某点附近的微分法则推导出来的近似式。
在微积分中，导数的定义是函数f在点x处的极限，即： $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$在实际应用中，相对于h的微小量可以忽略不计。
因此，可以将$h$写成$x$的一个小量$\Delta x$，即：$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$数值微分公式的目的是近似原函数在给定点处的导数。
根据微积分的定义，可以得出导函数在给定点处的某个近似值。
换句话说，通过在某个小范围内对函数进行采样，可以得到导数的近似值。
二、数值微分公式的分类根据计算导数的方法的复杂性和准确性，可以将数值微分公式分为三类：前向差分、后向差分和中心差分。
1. 前向差分前向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的一种方式。
前向差分的定义式为：$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$h>0$是一个小的参数，表示采样区间的长度。
这个公式可以被解释为在$x$处的切线的斜率，它利用了函数在$x$处的切线来逼近导数的值。
显然，$h$越小，这个近似值会更精确。
但与此同时，数值误差也会增加，因为数值计算的精度在计算越小的$h$时会下降。
2. 后向差分后向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的另一种方式。
后向差分的计算公式为：$f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$与前向差分的计算公式相比，后向差分的参数$h$的符号相反。
第四章 数值微积分_Zu2
(4) 0
7 90
, C
(4) 1
, C
(4) 2
,C
(4) 3
32 7 (4) 柯特斯(Cotes)公式 ,C 90
4
90
a
b
f ( x ) dx C
ba 90
[ 7 f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 )]
j0 j k
得求积公式
In
k 0
n
Ak f ( x k ) (b a ) C k
k 0
n
(n)
f ( xk )
( Cotes系数 C k n )
上式称为n阶Newton-Cotes(牛顿-柯特斯)公式. 注：（1）Cotes 系数仅取决于 n 和 k , 与 f (x) 及 区间[a, b]均无关 . (n) （2） C k( n ) C n k ( 对 称 性 ). （3）
积分的精确值 I
1 0 .6
1 1 x
2
d x＝ arctgx
1 0 .6
0 .2 4 4 9 7 8 6 6 .
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例2
分别用梯形公式、辛普生公式计算 I
T b a 2
π 4
sin x d x .
0
解：由梯形公式
I T
π 4
f
( a ) f ( b ) 得
由柯特斯公式
I C
C
ba 90
7
f ( x 0 ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 2 ) 32 f ( x 3 ) 7 f ( x 4 ) 得
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第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。
（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二）数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式——Newton-Cotes公式以及Cotes系数。
2、重点介绍几种常用的Newton-Cotes公式：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式。
要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项。
3、以Simpson公式为例，求出它的代数精度是3；并要求学生课后自己求出梯形公式和Cotes公式的代数精度。
（四）复化求积公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想。
2、重点介绍复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。
3、简介事后估计和自适应Simpson方法。
（五）R omberg求积法1、Romberg求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法。
2、阐明Romberg公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到Romberg公式，整个过程实际上是一个加速的过程。
3、可通过例子验证Romberg求积法的加速效果。
（六）G auss型求积公式1、Gauss型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而Gauss型求积公式不属于Newton-Cotes公式的范畴。
2、阐明Gauss型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍Gauss点的概念，并说明Gauss点实际上是某个正交多项式的零点。
3、讲清楚Gauss型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明Gauss型求积公式是稳定的，以及Gauss型求积公式的收敛性。
4、介绍几种Gauss型求积公式：古典Gauss公式、Gauss-Tchebyshev公式、Gauss-Laguerre公式和Gauss-Hermite公式。
让学生了解上述四中Gauss型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2—3个例子具体阐述上述Gauss型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度。
本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手，根据书中的算法，编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握。
二、补充例题例1 用三点公式求21()(1)f x x =+在 1.0,1.1,1.2x =处的导数值，并估计误差，()f x 的函数值由下表给出：1.0 1.1 1.2()0.2500000.2267570.206612i i x f x .解 三点求导公式为取上表中0121.0, 1.1, 1.2x x x ===，再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。
因为551.0 1.21.0 1.24!4!()max ()max 0.75(1)2i x x f f x x ξ≤≤≤≤''''''≤=-==+，所以可得误差估计及导数值如下表： 例2 从地面发射一枚火箭，在最初80秒内，记录其加速度如下表。
试求火箭在第80秒时的速度。
分析：速度对时间t 的导数等于加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加速度的原函数即可。
若设速度为()v t ，则0()(0)()tv t v a t dt =+⎰，于是800(80)(0)()v v a t dt =+⎰.这样就把问题转化为求积分的问题。
解 应用复化Simpson 求积公式计算。
此题中积分区间的长度是80，有9个节点，故4,80420n h ===.由于火箭从地面向上发射，因此(0)0v =. 于是火箭在第80秒时的速度为 808000(80)(0)()()v v a t dt a t dt =+=⎰⎰例3 计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有5位有效数字。
分析：这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式。
在估计误差时，由于弧长公式中含有根式，其高阶导数较复杂，故可用事后误差估计的方法来做；另外还必须把误差与有效数字结合起来使用。
解 由于在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解。
令2cos ,sin x y θθ==，则椭圆弧长为444l d d d θθθ=⨯=⨯=⨯，因为222I d ππθπ<=<⨯=，所以I 有一位整数。
故若要求结果有5位有效数字，则必须使截断误差41102-≤⨯. 列表计算如下：故可取8 2.4221I T ≈=可使I 有5位有效数字，从而49.6884l I =⨯≈.例4 用反证法证明：不存在,(0,1,2,,)k k A x k n =L ，使得求积公式的代数精度超过21n +次。
分析：只要能找到一个22n +次的多项式，使求积公式两边不相等即可。
而具有21n +次代数精度的求积公式的节点是[,]a b 上带权()x ρ的正交多项式的零点(0,1,2,,)k x k n =L ,可考察22n +次的多项式2210()()nn i i x x x ω+==-∏.解 构造多项式221()()()nn i i K x x x x ω+===-∏，并令()()f x K x =，代入上述求积公式，则左端有()()()()0b ba a x f x dx x K x dx ρρ=>⎰⎰；右端有0()()0n nk k k k k k A f x A K x ====∑∑； 即左端≠右端。
这说明：不存在具有22n +次代数精度的求积公式。
故Gauss 型求积公式是具有最高次代数精度的求积公式。
例5 设5000()[2,2],0,,(),0,1,2k k k f x C x h x h h x x kh f f x k ∈-+>=+==±±，求证：(1)4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+； (2) 2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++. 证 本题用Taylor 公式来证。
(1) 因为 230000011(2)()2()(2)()(2)()2!3!f x h f x h f x h f x h f x ''''''±=±⨯+⨯⨯±⨯⨯ 4(4)501(2)()()4!h f x O h +⨯⨯+， 4(4)501()()4!h f x O h +⨯⨯+， 所以500000(2)()8()(2)12()()f x h f x h f x h f x h h f x O h '---++-+=⨯+，即 4021121()(88)()12f x f f f f O h h--'=-+-+. (2) 利用(1)中0()f x h ±的展开式，得2010121()(2)()f x f f f O h h-''=-++.例6 确定常数,,,A B C D （均用分数精确表示），使求积公式()()If I f ≈%，其中 23()()()d ,()[()()][()()]ba I f x a f x x I f h Af a Bfb h Cf a Df b ''=-=+++⎰%具有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少？其中h b a =-.解 设该求积公式对23()1,,(),()f x x a x a x a =---精确成立，得2231()[11][00]2b a x a h A B h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 3231()[0][11]3b a x a h A B h h C D -=⨯+⨯+⨯+⨯， 42231()[0][02]4b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 523321()[0][03]5b a x a h A B h h C D h -=⨯+⨯+⨯+⨯， 化简得解得3711,,,.20203020A B C D ====- 例7寻找合适的数值求积公式，计算出积分31x ⎰的准确值。
解因为3121-121(2)2x t xt t t =++=+⎰⎰⎰令2211121111(2)()d 222t t t f t t ⎡⎤=++==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， 其中2()(2)f t t t =+，权函数()x ρ=Gauss-Tchebyshev 求积公式11()d ()nk k k f t t A f x =≈∑⎰，其中,1,2,,k A k n nπ==L . ()*又因为2()(2)f t t t =+是3次多项式，且()*具有21n -次代数精度，所以取2n =，可计算出积分3111()d 2x f t t =⎰⎰的准确值。