高考大题规范解答立体几何大题(文科)

高考大题规范解答——立体几何(文)

考点1线面位置关系与体积计算

例1(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．

(1)证明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．

②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】——规范答题步步得分

(1)取AC的中点O，连接DO，BO.1分得分点①

因为AD＝CD，所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形，

所以AC⊥BO.

又因为DO∩BO＝O，

从而AC⊥平面DOB，3分得分点②

故AC⊥BD．4分得分点③

(2)连接EO.5分得分点④

由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，

故∠DOB＝90°.7分得分点⑤

由题设知△AEC为直角三角形，

所以EO ＝1

2

AC ．

8分得分点⑥

又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ， 所以EO ＝1

2

BD ．故E 为BD 的中点，

9分得分点⑦

从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的1

2，

四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1

2，

11分得分点⑧ 即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1︰1. 12分得分点⑨

【评分细则】

①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．

②得出AC ⊥DO 和AC ⊥BO 得1分，由线面垂直的判定写出AC ⊥平面DOB ，再得1分． ③由线面垂直的性质得出结论得1分． ④作出辅助线，并用语言正确表述得1分． ⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB ＝90°得2分． ⑥由直角三角形的性质得出EO ＝1

2AC 得1分．

⑦由等边三角形的性质得出E 为BD 的中点，得1分． ⑧得出四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的1

2得2分．

⑨正确求出体积比得1分． 【名师点评】

1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养．

2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC ⊥DO ，AC ⊥BO ；第(2)问中BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2等．

(2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO ＝AO . 〔变式训练1〕

如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，且EC ＝2FB ． (1)证明：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1；

(2)若AB ＝EC ＝2，求三棱锥C －AEF 的体积．

[解析] (1)取线段AE 的中点G ，取线段AC 的中点M ， 连接MG ，GF ，BM ，则MG ＝1

2EC ＝BF ，

又MG ∥EC ∥BF ，

∴四边形MBFG 是平行四边形，故MB ∥FG . ∵MB ⊥AC ，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ， 平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ， ∴MB ⊥平面ACC 1A 1，而BM ∥FG ， ∴FG ⊥平面ACC 1A 1， ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面ACC 1A 1.

(2)由(1)得FG ⊥平面AEC ，FG ＝BM ＝3，

∴V C －AEF ＝V F －ACE ＝13·S △ACE ·FG ＝13×12×2×2×3＝23

3

.

考点2 立体几何中的折叠问题

例2 (2018·课标全国Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ． (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝2

3

DA ，求三棱锥Q －ABP 的体

积．

【分析】 ①线线垂直推出线面垂直，进而得到面面垂直； ②利用锥体的体积公式求解． 【标准答案】——规范答题 步步得分 (1)由已知可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC ． 又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ．

3分得分点①

又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．

5分得分点②

(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝2

3DA ，所以BP ＝2 2.

7分得分点③

作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊1

3DC ．

由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.

10分得分点④

因此，三棱锥Q －APB 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×1

2×3×22sin45°＝1.12分

得分点⑤ 【评分细则】

①由线线垂直推出线面垂直，给3分． ②由线面垂直得面面垂直，给2分． ③根据已知，求出BP 的长，给2分．

④证明QE 为三棱锥Q －APB 的高，并求出它的值，给3分； ⑤利用体积公式正确求解，给2分．