数字信号处理 线性系统的时域分析法

令N（s）=1/s essn=- G2(0) H(0)/[1+ G1(0) G2(0) H(0)]
若G1(0) G2(0) H(0)>>1 essn=-1/ G1(0) 减小及消除的essn方法 1. G1(0) = K1 essn 2. G1(s)=k1/s essn=lims/k1=0
例:系统如图所示。图 中R(s)=R0(s)/s为阶 跃输入信号;M为比例 控制器输;N(s)=n0/s 为阶跃扰动.试求系统 的稳态误差.
G（S）H（S）=5/(s(5s+1)+5×0.8s) =1/s(s+1)
∵v=1∴一型系统
∵v=1∴一型系统
阶跃输入r(t)=1(t): kp=∞ ; 斜坡输入r(t)=Rt: kv=k=1 ; 加速度输入r(t)=t2/2: Ka=0 ; ess=0 ess=r/kv=1; ess=∞
e(t)
v=0 v=2
零型系统 Ⅱ型系统
v=1
Ⅰ型系统 ……
3.输入作用下的稳态误差和静态误差系数 (1)阶跃输入 r(t)=R· 1(t) R(s)=R/s ess=lim(sR/s)/(1+G(s)H(s))=limR/(1+G(s)H(s))
=R/(1+limG(s)H(s))
令Kp=limG(s)H(s)=limk/sv K, Kp= v=0 (静态位置误差系数)
t 0
2
特征根实部
全负 稳定 0 lim k ( t ) 1个为正 不稳定 t c或振荡 1个为零其余为负 临界稳定
r(t) 0
c(t)
0 j × × ×
t
t c(t)
s
× × × 0 × × × 0
t c(t)
特征根全部位于左半S平面
0
t
稳定判据
n n 1 D ( s ) a s a s an1s an 0 设: 0 1
c(t)
0
t
0
t
r(t)
0
t
4、扰动作用下的稳态误差
G1(S)
G2(S)
令R（s）=0 E（s）/N（s）=-G2(s)H(s)/[1+ G1(s) G2(s)H(s)]
essn=limsE（s）=lim[- s G2(s)H(s)N(s)]/[1+ G1(s) G2(s)H(s)] 令N（s）=1/s essn=- G2(0) H(0)/[1+ G1(0) G2(0) H(0)]
Ⅱ.劳思表中出现全零行. 例:已知系统特征方程为 D(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0 试用劳思判据判断该系统的稳定性.
s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 (辅助方程F(s)=0系数) s3 0 0 0 用全零行前一行系数构造辅助方程: F(s)=s4-3s2-4=0 辅助方程对s求导,得: 4s3-6s=0
由图(a)变换为下图
E(s)=R(s)- B(s)= R(s)- H(s)C(s) E’(s)=R’(s)-C(s)=R(s)/H(s)- C(s) ∴ E’(s)= E(s)/H(s)
e(t)=L-1[E(s)]=ets(t)+ ess(t)
e(t)
0
t
稳态误差:
e ss lim e( t ) lim sE (s)
解:令扰动N(s)=0. ∵Ⅰ型系统∴系统对阶跃输入信号的稳态 误差为零. 令R(s)=0,扰动作用下误差信号为 K2 E n (s) C n (s) N(s) s(T2s 1) K1K 2 系统在阶跃扰动转矩作用下的稳态误差 n0 essn lim sE n ( s ) K1 s 0
R/(1+Kp)
∞
R/Kv
∞
∞
R/Ka
0 0 0
0 0
0
在系统误差分析中，只有当输入信号是阶跃函 数、斜坡函数和加速度函数或者是三种函数的线性 组合时，静态误差系数才有意义。
c(t) R 0 t
r(t)
c(t)
r(t)
c(t)
0
t
0
t
位置误差
速度误差
加速度误差
例：位置随动系统如图所示，求r（t）分别为1（t）， t和Rt2/2时，系统的稳态误差。
第三章 线性系统的时域分析法
在典型输入信号作用下,任何一个控制系统的时 间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成. (1)动态过程:又称过渡过程或瞬态过程, (2)稳态过程:当时间t趋于无穷时,系统输出量的 表现方式.
r(t) 控制器 r(t) 1 测量元件 t 1 c(t) 1 t c(t) 1 0 t 1 0 电炉
用导数方程的系数取代全零行相应的元得到:
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 1 1 4 -1.5 -16.7 -4
-2 -3 -3 -6 -4 0
-7 -4 -4 0 -4 0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
系统的脉冲响应为：
k ( t ) L [(s)] A je Bk e
1 s jt j1 k 1
q
r
k k t
cos(k 1 k ) t
2

k 1
r
C k B k k k k 1 k
2
e
k k t
sin( k 1 k ) t
3-3 稳态误差计算
1.误差与稳态误差
误差两种定义: 1)输入端定义误差 E(s)=R(s)- B(s) 偏差 2)输出端定义误差 希望输出量与实际值之差 △C= C*-C
例:
100℃----10mv H(s)=10mv/ 100℃=0.1mv/℃ C*=10mv×1/H(s)=100℃ △C= C*-C
例:
特征方程为D(s)= s3-3s+2=0 其劳思表为 s3 1 -3 s2 0 2 s2 ∞ D(s)(s+a)=0 (a>0) 若: D(s)(s+3)=0 s4+3s3-3s2-7s+6=0 列出新的劳思表如下: s4 1 -3 6 s3 3 -7 0 s2 -2/3 6 0 s1 20 0 0 s0 6 由新劳思表可知,第一列有两次符号变化,故系统不稳定,且有两个 正实根.
ess=
∞, v≥1 R/(1+Kp)=常数, v=0
0, v≥1
(静态位置误差)
(2)斜坡输入 若r(t)=Rห้องสมุดไป่ตู้ 则R(s)=R/s2 ess=lim(sR/s2)/[1+G(s)H(s)]=limR/[s+sG(s)H(s)] =R/limsG(s)H(s)
令Kv=limsG(s)H(s)=limk/sv-1 (Kv为静态速度误差 系数) ess=R/Kv (ess为速度误差) 0型系统: v=0 Kv=0 ess=∞ Ⅰ型系统: v=1 Kv=k ess=R/k=常数 Ⅱ型及Ⅱ型系统: v≥2 Kv=∞ ess=0
c(t)
0
c(t)
动态过程 稳态过程
0
0
c(t)
t
t
动态性能：
延迟时间 上升时间 峰值时间 调节时间 td tr tp ts
超调量σ%:
%
h(t p ) h() h ( ) 100%
稳态性能------稳态误差ess
3-2 稳定性分析
1.稳定的概念和定义 定义:在扰动发生后,系统的过渡过程是衰减的(即系统能 回到平衡状态)则该系统是稳定的.
2.稳定的充要条件
当r(t)(t)时， 要求 lim k(t ) 0
t
C(s) G (s) 设 : (s) R (s) 1 G (s) H(s)
b 0s m b1s m 1 b m 1s b m a 0s n a 1s n 1 a n 1s a n
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器 时间常数有关的待定参数. G(s)=ωn2 / s(s+2ξωn) 已知参数ζ=0.2及ωn=86.6,试用劳思稳定判据确定使闭 环系统稳定的K1取值范围.
t s 0
1 E(s) R (s) 1 G (s)H(s) e ss 1 lim s R (s) 1 G (s)H(s) s 0
2.系统类型
G( s) H ( s)
K ( i s 1) s
v
m
(T
j 1
i 1 n v
j
s 1)
K=limsνG(s)H(s)
0
如果要求闭环系统的极点全部位于s=-1垂线之左,问 K1值范围又应 取多大? 可令s=s1-1,代入原特征方程,得到如下新特征方程: (s1-1)3+34.6 (s1-1)2+7500 (s1-1)+7500K1=0 整理得 3 2
s1 31.6s1 7433.8s1 (7500 K1 7466.4) 0
G(s)
解:根据图写出系统的闭环传递函数为
n ( s K1 ) ( s ) 3 2 2 s 2 n s 2 n s K1 n
2
因而闭环特征方程为
D(s) s 2n s n s K1n 0
3 2 2 2
代入已知的ξ和ωn D(s) s 3 34.6s 2 7500s 7500K1 列出相应的劳思表: s3 1 7500 s2 34.6 7500 K1 s1 (7500×34.6- 7500 K1)/34.6 0 s0 由劳思稳定判据,令劳思表中第一列各元为正, 7500×34.6- 7500 K1 >0 7500 K1 >0 得系统稳定的K1值范围为 0< K1<34.6
(3)抛物线输入 若r(t)= Rt2/2 则R(s)=R/s3 ess= lim(sR/s3)/(1+G(s)H(s))=limR/(s2+s2GH) =R/lims2GH 令Ka=lims2GH=limk/sv-2 (加速度误差系数)
ess=R/Ka ∞, v=0,1 ess= R/k=常数, v=2 0, v≥3 例：如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，如 r（t）=R0·1(t)+R1t+1/2(R2t2) 则根据线性叠加原理，可将每一输入分量单独作用于系统，再 将各稳态误差分量叠加起来，得到 ess= R0/(1+Kp)+ R1/Kv+ R2/Ka
阶跃输入 斜坡输入 系 静态误差 系数 r(t)=R·1（t） r(t)=Rt 统 类 位置误差 速度误差 别 Kp Kv Ka e =R/(1+K ) e =R/K ss p ss v
加速度输入 r(t)=Rt t2/2 加速度误差 ess=R/Ka
0 k 0 0
Ⅰ ∞ k 0 Ⅱ ∞ ∞ k Ⅲ ∞ ∞ ∞
a0>0
(1)稳定必要条件 ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表 cij= ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1 i---列；j---行 c1.j-1
Sn Sn-1 Sn-2 Sn-3 Sn-4 ┋ a0 a1 c13 c14 c15 ┋ a2 a3 c23 c24 c25 ┋ a4 a5 c33 c34 c35 ┋
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
a6 a7 c43 c44 c45 … … … … …
S2
S1
C1,n-1
C1,n
C2,n-1
S0
C1,n+1=an
例:设系统特征方程为 s4+2s3+3s2+4s+5=0试用劳思判 据判断该系统的稳定性. 解: 该系统劳思表为 s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 (2×3-1×4)/2=1 5 0 s1 (1×4-2×5)/1=-6 s0 5 由于劳思表的第一列系数有两次变号,故该系统不稳定, 且有两个正根. 2)劳斯稳定判据的特殊情况 Ⅰ. 劳思表中某行的第一列项为零,而其余各项不为零,或 不全为零.
相应的劳思表为 s13 1 7433.8 s12 31.6 7500K1-7466.4 s11 (31.6×7433.88- 7500 K1+7466.4)/31.6 0 s10 7500 K1-7466.4 令劳思表中第一列各元为正, 即使得全部闭环极点位于s=-1垂线之 左的K1的取值范围: 1<K1<32.3
K (s z i )
i 1 m
n m
M (s) D(s)
(s s ) (s
j j1 k 1
q
r
2
2 k k s k )
q 2r n
2
特征方程 D(s)=0
实根 Si ; 共轭复根 k k j 1 2 k k
特征根：
实根 Si ; 共轭复根 k k j 1 2 k k