椭圆单元系列训练题A卷

合集下载

椭圆单元测试题及答案

椭圆单元测试题及答案一、选择题1. 椭圆的定义是什么？A. 所有点到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合B. 所有点到一个固定点的距离等于常数的点的集合C. 所有点到两个固定点的距离之差等于常数的点的集合D. 所有点到一个固定点的距离之差等于常数的点的集合2. 椭圆的焦点到中心的距离称为什么？A. 长轴B. 短轴C. 焦距D. 半轴3. 椭圆的长轴和短轴的长度之和等于什么？A. 焦距B. 椭圆的周长C. 椭圆的面积D. 椭圆的直径4. 如果椭圆的长轴是2a，短轴是2b，那么它的面积是多少？A. πabB. π(a+b)C. π(a-b)D. π(a^2 + b^2)5. 椭圆的离心率e定义为什么？A. e = c/aB. e = a/cC. e = b/aD. e = a/b二、填空题6. 椭圆的标准方程是 \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]，其中a和b分别代表_________。

7. 当椭圆的离心率e等于0时，椭圆退化为_________。

8. 椭圆的周长是一个比较复杂的表达式，通常用近似公式来表示，其中一种近似公式是周长L = π[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]，其中a和b分别为椭圆的_________。

9. 椭圆的焦点在_________轴上。

10. 椭圆的离心率e的取值范围是_________。

三、解答题11. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴为6，短轴为4，求椭圆的标准方程。

12. 已知椭圆的离心率为0.6，焦点到中心的距离为2，求椭圆的长轴和短轴的长度。

答案：一、选择题1. A2. C3. A4. A5. A二、填空题6. 椭圆的长半轴和短半轴7. 圆8. 长半轴和短半轴9. 主10. (0, 1)三、解答题11. 椭圆的标准方程为 \[ \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1 \]。

椭圆单元测试题(含答案)

椭圆单元测试题(含答案)一. 选择题1. 下列哪个不是椭圆的性质？A. 任何椭圆都有两个焦点B. 椭圆的离心率小于1C. 椭圆是一条闭合曲线D. 直径是椭圆上任意两点的距离的最大值答案：D2. 下列哪个公式可以用来计算椭圆面积？A. $S = \frac{\pi}{2}ab$B. $S = \pi ab$C. $S = \frac{4}{3}\pi ab$D. $S = 2\pi ab$答案：B3. 一个椭圆的长轴长度是6，短轴长度是4，则该椭圆的离心率是多少？A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$答案：C二. 填空题1. 椭圆的离心率等于$\rule{1.5cm}{.15mm}$除以$\rule{1.5cm}{.15mm}$。

答案：焦距差，长轴长度2. 设椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$，则其离心率的计算公式为$\rule{5cm}{.15mm}$。

答案：$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$三. 计算题1. 已知一个椭圆的长轴长度是10，短轴长度是8，求它的面积。

解：由公式$S = \pi ab$可得，该椭圆的面积为$S = \pi \times 10 \times 8 = 80\pi$。

答案：$80\pi$2. 已知一个椭圆的长轴长度是12，离心率是$\frac{1}{2}$，求它的短轴长度。

解：由公式$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$可得，$b =a\sqrt{1-\epsilon^2}$。

代入数据，可得$b = 6\sqrt{3}$。

答案：$6\sqrt{3}$。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册椭圆单元测试题

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册椭圆单元测试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）A. B. C. D.2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3. 已知椭圆(a>b>0)的焦点分别为、，b＝4，离心率为.过的直线交椭圆于A、B两点，则△AB的周长为（）A. 10B. 12C. 16D. 204. 已知椭圆()的离心率为,则的值为( )A. 或B.C. 或D.5. 椭圆()的左,右焦点分别为,,点在椭圆上,且为等边三角形,则的离心率( )A. B. C. D.6. 已知椭圆,过的右焦点作直线交椭圆于,两点,若中点坐标为,则椭圆的方程为( )A. B. C. D.7. 已知经过椭圆的焦点且与其对称轴成的直线与椭圆交于两点，则（）A. B. C. 或 D. 或8. 已知，为椭圆的两个焦点，（不在轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.9. 若直线和椭圆恒有公共点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10. 椭圆与直线交于两点,过原点与线段中点的直线的斜率为,则的值为( )A. B. C. D.11. 已知是曲线上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.12. 已知为椭圆上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设、为椭圆的两个焦点,为上一点且在第一象限,若为等腰三角形,则的坐标为__________.14. 已知椭圆的两个焦点是、,点是椭圆上一点,且,则的面积是__________.15. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于个不同的点，顺次连结这个点和个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为__________.16. 已知点,分别是椭圆长轴的左、右端点,点在椭圆上,直线的斜率为,设是椭圆长轴上的一点,到直线的距离等于,椭圆上的点到点的距离的最小值为__________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程.18.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点.（1）当时，求的面积；（2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围.19.在平面中，已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线的方程为，直线与椭圆交于，两点，求的值.20.如图，点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线和半径相交于点.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）已知直线与点的轨迹交于点，且直线的方程为，若为坐标原点，求的面积的最大值.21.设椭圆的左焦点为,右焦点为,上顶点为,离心率为,是坐标原点,且.(1)求椭圆的方程.(2)已知过点的直线与椭圆的两交点为,,若,求直线的方程.22.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．新教材人教A版高中数学选择性必修第一册椭圆单元测试题答案和解析第1题：【答案】A【解析】∵.∴椭圆方程是.第2题：【答案】A【解析】依题意,有,解得.第3题：【答案】D【解析】解答：，，又，代入得.由椭圆定义，.因为，所以周长为.第4题：【答案】A【解析】当椭圆的焦点在轴上时,则,则,,则, 此时,椭圆的离心率为,解得; 当椭圆的焦点在轴上时,则,则, ,则, 此时,椭圆的离心率为,解得, 因此,或.第5题：【答案】A【解析】由为等边三角形,可知,又点在椭圆上,∴,即,∴,或(舍去),∴.第6题：【答案】D【解析】设,,的中点,所以, 又因为,所以, 所以,,, 所以且,所以,所以椭圆方程为: .第7题：【答案】C【解析】由已知条件不妨设直线为或，由得，，，同理当直线为时可得第8题：【答案】C【解析】由椭圆的定义，得，平方得①. 由，∴②，由余弦定理，得③，由①②③，得，∴，.，∴，即，∴. 则椭圆离心率的取值范围是.故选C.第9题：【答案】B【解析】椭圆得出, ∵若直线∴直线恒过, ∴,解得,故实数的取值范围是.第10题：【答案】A【解析】把代入椭圆得, 整理得,设,,则,, ∴线段的中点坐标为, ∴过原点与线段中点的直线的斜率. ∴.第11题：【答案】A【解析】由，得代入椭圆的方程得，整理得，由于直线与椭圆有交点，因此，解得，因此.第12题：【答案】B【解析】由题意知椭圆的两个焦点，分别是两圆的圆心，且，从而的最小值为.故选B.第13题：【答案】【解析】已知椭圆可知,,,由为上一点且在第一象限,故等腰三角形中,,,,代入可得.故的坐标为.第14题：【答案】【解析】由椭圆的定义可知,,又, 联立两式,可得, 又,所以, 所以是以,为直角边的直角三角形, 所以的面积为.第15题：【答案】【解析】如右图，设椭圆的方程为，半焦距为，由题意知，，∴，，∴，∴.第16题：【答案】【解析】直线的方程是,设点的坐标是,则到直线的距离是,于是,又,解得,所以点,设椭圆上的点到点的距离为,有,由于,所以当时,取最小值.第17题：【答案】【解析】由题意可设所求椭圆方程为.∵椭圆过点，∴，解得或(舍去)，故所求椭圆方程为.第18题：【答案】(1)(2)【解析】（1）如图.由椭圆的定义，得,且①.在中，由余弦定理得②. 由①②得.所以. （2）设点，由已知为钝角，得,即,所以.又，所以，解得，所以点横坐标的取值范围是.第19题：【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由椭圆的离心率，则，将代入椭圆方程：，则，解得，，∴椭圆的方程为：. （2）设，，将直线方程代入椭圆方程：整理得：，∴，，则，∴的值为.第20题：【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图，∵是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，由椭圆定义知：点的轨迹是以，为焦点，长轴长，短轴长的椭圆，其轨迹方程为：. （2）联立，整理得：，解得：或. ∵，∴，原点到直线的距离为. ∴，当且仅当，即时，面积的最大值为.第21题：【答案】见解析【解析】(1)设椭圆的焦距为,则,∴,∵,∴,又,,,∴,∴,∴,∴,,∴. (2)由(1)知,,设直线方程为,由得,设,,则,,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴的方程为.第22题：【答案】（1）；（2）或【解析】（1）设，设，由条件知，解得，故的方程为：．（2）当直线斜率不存在时：，当直线斜率存在时，设与椭圆交点为，∴，得，∴，（*），∵，∴，∴，消去，得，∴，整理得，时，上式不成立：时，，∴时，∴或，把代入（*）得或，∴或．综上的取值范围为或．。

直线与椭圆单元测试卷(含答案)

直线与椭圆单元测试卷(含答案)一、单选题（每题2分，共10分）1. 下列关于直线的描述中，错误的是：A. 直线没有起点和终点B. 直线上的任意两点可以用一条直线连接C. 直线可以无限延伸D. 直线的斜率可以为零2. 以下方程描述的曲线是椭圆的是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + 2y^2 = 1C. x^2 - 2y^2 = 1D. x^2 + 3y^2 = 13. 直线2x - 3y + 4 = 0与椭圆x^2 + 4y^2 = 4的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多4. 点P(3,4)到直线2x - y + 1 = 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 椭圆x^2/16 + y^2/9 = 1的长轴长度是：A. 4B. 6C. 8D. 9二、判断题（每题2分，共10分）1. 方程x^2 + y^2 = 16描述的曲线是一个椭圆。

2. 一条直线和一个椭圆相交，最多有两个交点。

3. 直线x + y - 3 = 0与椭圆x^2 + 4y^2 = 16没有交点。

4. 一个椭圆的离心率小于1。

5. 一条直线经过椭圆的焦点必然与椭圆有两个交点。

三、计算题（每题10分，共20分）1. 求直线2x - y + 1 = 0与椭圆x^2 + 4y^2 = 4的交点坐标。

答案：(1, 2) 和 (-1, -2)2. 求椭圆x^2/9 + y^2/16 = 1的焦点坐标。

答案：(±3√5, 0)四、应用题（每题10分，共20分）1. 现有一椭圆x^2/16 + y^2/9 = 1，一只兔子在椭圆上一点P，一只狼在椭圆上一点Q。

设兔子以每秒10米的速度匀速运动，狼以每秒15米的速度匀速追赶兔子，问最终狼能否追上兔子？答案：狼无法追上兔子。

2. 一个飞镖以速度20米/秒从点P(0, 4)沿直线y = 2x+4飞行。

已知一墙壁位于直线x = -2上，墙壁正好延伸至地平线的高度。

人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆习题课测试卷(含解析)

3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

(完整word版)椭圆综合测试题(含答案)(2)

y2 m
1(0
m
45) 的焦点分别是 F1 和 F2 ，已知椭圆的离心率 e
5 过中心 O 3
作直线与椭圆交于 A,B 两点， O 为原点，若 ABF2 的面积是 20,求：（1） m 的值（2)直线 AB
的方程
第3页共4页
(完整 word 版)椭圆综合测试题(含答案)(2)(word 版可编辑修改)
第5页共4页
(完整 word 版)椭圆综合测试题(含答案)(2)(word 版可编辑修改)
椭圆参考答案
1.选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C B C A B B C D D 8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义。【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l，A1,B 为垂
14 椭圆 x2 y2 1上一点 P 与椭圆两焦点 F1， F2 的连线的夹角为直角，则 Rt△PF1F2 的面积
49 24
为
.
15 （2010 全国卷 1 文数）(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点,线段 BF 的
uur uur
延长线交 C 于点 D ，且 BF 2FD ，则 C 的离心率为
22
（12
分）已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a>b>0）的离心率 e=
3 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 2
面积为 4.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为(—a，0）。
(i)若| AB| = 4 2 ，求直线 l 的倾斜角； 5

05 椭圆(原卷版)(人教A版2019选择性必修第一册)

05椭圆一、典例精析拓思维（名师点拨）核心问题1椭圆的方程例1．（2021·河北·武安市第三中学高二阶段练习）曲线C 的方程是4=，则曲线C 的形状是（）A．圆B．椭圆C．线段D．直线练习1-1．（2021·江西赣州·高二阶段练习（理））已知()()4,0,4,0B C -，且ABC 的周长等于20，求顶点A 的轨迹方程_______.例2．（2021·重庆复旦中学高二期中）（1）已知曲线222()8(:5())C m x m y m R -+-=∈.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点(2,，1,2⎛- ⎝⎭.练习2-1．（2021·全国·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点()30A -,,()0,2B -；（2）长轴长等于20,焦距等于12.核心问题2椭圆的离心率例1．（2021·北京市第三十五中学高二阶段练习）椭圆()222210x y a b a b +=>>的两顶点为(),0A a ，()0,B b ，左焦点为F ，在FAB 中，90B ∠=︒，则椭圆的离心率为（）C．14练习1-1．（2021·江苏·高二单元测试）已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为（）A．2⎛ ⎝⎦B．2⎫⎪⎪⎣⎭C．0,2⎛ ⎝⎦D．2⎫⎪⎪⎣⎭练习1-2．（2021·北京医学院附属中学高二期末）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，点2F 为椭圆的右焦点，点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的短轴上的顶点，若2F B AB ⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（）A．2B．12核心问题3焦点三角形例1．（2022·全国·高三专题练习）设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F ∆的面积为（）A．6B．C．8D．练习1-1．（2021·重庆·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的坐标为()12,0,F 为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆上一点，若12124tan ,63PF F F PF S ∠== ，则椭圆C 方程为__________.练习1-2．（2021·黑龙江·哈师大附中高三期中（理））已知点P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上一点，点1F ､2F 是椭圆C 的左､右焦点，若12PF F ∆的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为_________．核心问题4点差法例1．（2022·全国·高三专题练习）已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.练习1-1．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.练习1-2．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知椭圆C ：22142x y +=，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点.若线段AB 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程：核心问题5椭圆的弦长例1．（2021·全国·高二专题练习）已知点()11,0F -，()21,0F ，动点P 到点1F ，2F 的距离和等于4.（1）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；（2）若曲线C 与直线:1m y x =-相交于A 、B 两点，求弦AB 的长.练习1-1．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高二期末（理））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>1的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B .（1）求椭圆M 的方程；（2）求AB 的最大值.核心问题6椭圆中的面积问题例1．（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）椭圆2222:1(0)>>x y E a b a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为O 为原点.椭圆E 上任意一点到1F ，2F 距离之和为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点(02)P ，的斜率为2的直线l 交椭圆E 于A ､B 两点，求OAB ∆的面积.练习1-1．（2021·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））若椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过抛物线24x y =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点.（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y x m =+与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.核心问题7直线与椭圆例1．（2021·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））不论k 为何值，直线1y kx =+与椭圆2216x y m+=有公共点，则实数m 的取值范围是（）A．(]0,1B．[)1,+∞C．[)()1,6+∞D．()[)–,01,∞+∞ 例2．（2021·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点(),P x y 是椭圆22194x y +=上任意一点，则点P 到直线l :5y x =+的最大距离为（）A．2B．2C．D．例3．（2021·陕西·西安高级中学高二期中（理））已知点M 在椭圆C ：2222+=1x y a b ，0a b >>，且椭圆的离心率为3．（1）求椭圆C 的方程：（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，求实数m 的取值范围．二、厚积薄发勤演练（题型归类练）一、单选题1．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆22:15x y C m+=的一个焦点坐标为()2,0，则m =（）A．1B．2C．5D．92．（2022·全国·高三专题练习）如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A．()1,+∞B．()1,2C．1(2，1)D．()0,13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（）A．B．6C．4D．4．（2022·全国·高三专题练习（文））如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（）A．()2-∞-，B．(6)(3)-∞-+∞ ，，C．(62)(3)--+∞ ，，D．(3)+∞，5．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1245F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为()A．21-C．16．（2022·全国·高三专题练习）设F 1、F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A．14B．2C．34D．127．（2022·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（）A．5π6B．2π3C．π2D．π38．（2022·全国·高三专题练习）已知F 1，F 2分别是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为（）A．0⎛ ⎝⎦B．12⎫⎪⎪⎣⎭C．0⎛ ⎝⎦D．1⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12、F F ，若椭圆上的点P 满足2PF x ⊥轴，122PF PF =，则该椭圆的离心率为___________．10．（2022·全国·高三专题练习）经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则线段AB 的长为___________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足12||AB F F =，若令1F AB θ∠=且,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆221259x y +=有公共的左､右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于M ，N 两点，且线段1NF 的中点在另一条渐近线上，则2OMF △的面积为___________.三、解答题13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 2与抛物线24y x =的焦点重合，且其离心率为12．（1）求椭圆C 的方程．（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问：MN OP k k ⋅(O 为坐标原点)是否为定值？请说明理由．14．（2022·全国·高三专题练习）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.。

高中试卷-【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(2)-A基础练(含答案)

3.1.2椭圆的简单几何性质（2） -A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为( )A ．2216448x y +=B ．2216416x y +=C ．221164x y +=D ．2211612x y +=【答案】D【解析】因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为8，所以28a =，即4a =，又离心率为12，所以12c a =，解得：2c =，则222b a c =-=12，所以椭圆的标准方程为：2211612x y +=．2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由题意可得24a =,23b =, 2221c a b =-=,所以2a =,1c =.①若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,则所经过的路程为()22a c -=,②若光线从椭圆一个焦点沿x 轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,则所经过的路程为()26a c +=.③若光线从椭圆一个焦点沿非x 轴方向出发,则所经过的路程为48a =，故选:B3．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点【答案】D【解析】因为2y kx =+过定点()0,2，且椭圆22194x y +=的上顶点也为()0,2，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.4. （2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A B C 1-D 1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C 的离心率e ===5．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A ．9B ．23C ．16D ．16+【答案】AB【解析】椭圆22116x y m+=的焦距为，即2c =得c =依题意当焦点在x 轴上时，则167m -=，解得9m =；当焦点在y 轴上时，则 167m -=，解得 23m =，∴m 的值为9或23.6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3988公里C ．两焦点坐标约为()1500±，D ．离心率约为75994【答案】AD【解析】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c .依题意可得月球半径约为1347617382´=，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=，2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、D 项正确，B 项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误.综上可知，正确的为AD ，故选：AD.二、填空题7. （2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.【答案】【解析】已知直线2y kx =+与椭圆22132x y+=有且只有一个交点，由222,1,32y kx x y =+ìïí+=ïî消去y 并整理，得()22231260kxkx +++=，由题意知，()22(12)46230D =-´´+=k k，解得：k =.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆G 与双曲线¢G 构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经¢G 与G 反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的¢G 去掉,此光线从点1F 发出,经G 两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则G 与¢G 的离心率之比为______.【答案】1:2【解析】如图,由双曲线定义得:212BF BF m -=——①,由椭圆定义得:212AF AF a += ——②,②-①得:1122BA AF BF a m ++=-;\椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为:22a m-对于单椭圆光学装置,光线经过2次反射后回到左焦点,路程为()()1112124AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=;由于两次光速相同,路程比等于时间比,\()4422a a m =-,\2a m =.\12:::1:2c ce e m a a m===.9. （2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.【答案】6【解析】如图所示，因为OM 为12PF F △的中位线，且1OM =，所以22PF =，由椭圆定义可得：1222426PF a PF =-=´-=.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y G +=的左焦点，点P 为椭圆G 上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ×uuu r uuu r的最大值为________【答案】6【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -££，则22143x y +=，可得22334y x =-，椭圆G 的左焦点为()1,0F -，(),OP x y =u u u r ，()1,FP x y =+uuu r，则()()2222231113322444OP FP x x y x x x x x x ×=++=++-=++=++uuu r uuu r ，二次函数()()21224f x x =++在区间[]22-,上单调递增，所以，()()2max 124264f x f ==´+=.因此，OP FP ×uuu r uuu r 的最大值为6.三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．【解析】设所求轨道方程为22221( 0) ,x y a b c a b +=>>=．80034,834,438,396a c a c a c +=+-=+\==Q ．于是22235028b a c =-=．所以所求轨道方程为22119184435028x y +=．设变轨时，探测器位于()00,P x y ，则2200 81975. 1x y ab +==2200119184435028x y +=．解方程组，得00239.7,156.7x y ==（由题意）．187.3R -»．所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为18700km .12. （2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点M , 12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =，P 是椭圆C 上的一个动点. (1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ×£uuu v uuu u v ,求点的横坐标的取值范围；【解析】（1）由已知得2c =c =，∴12(F F ，1MF ===，同理2MF =，∴1224a MF MF =+=，2a =，∴1b ==，椭圆标准方程为2214x y +=．（2）设(2cos ,sin )P q q （(0,2pq Î），则1212(2cos )(2cos )PF PF F P F P q q q q ×=×=×-uuu v uuu u v uuu v uuu u v22214cos 3sin 3cos 24q q q =-+=-£，23cos 4q £，∴0cos q <£，∴02cos q <£，即P 点横坐标取值范围是．。

苏教版选择性必修第一册《3.1_椭圆》2024年单元测试卷+答案解析

苏教版选择性必修第一册《3.1椭圆》2024年单元测试卷一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为6，则P到另一个焦点的距离为()A.3B.4C.5D.62.设，是椭圆C：的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为()A. B.1或 C. D.1或3.椭圆经过点，则最小值为()A. B. C.28 D.274.已知命题p：“”，命题q：“方程表示椭圆”，则p是q的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.韶州大桥是一座独塔双索面钢砣混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点.韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，如图，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.6.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为()A. B. C. D.7.设O为坐标原点，，为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

8.已知椭圆C：，则下列结论正确的是()A.长轴长为B.焦距为C.短轴长为D.离心率为9.将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是()A.B.C. D.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知，，点P 满足PA 、PB 的斜率之积为，点P 的运动轨迹记为下列结论正确的()A.轨迹C 的方程B.存在点P 使得C.点，，则的最小值为D.斜率为2的直线与轨迹C 交于Q ，S 两点，点N 为QS 的中点，则直线ON 的斜率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中试卷-【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(1)-A基础练(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！3.1.2椭圆的简单几何性质（1） -A 基础练一、选择题1．（2020·南京市天印高级中学月考）椭圆2219y x +=的短轴长为（）A ．6B ．3C ．1D ．2【答案】D【解析】因为椭圆2219y x +=，所以21b =，即1b =，所以椭圆的短轴长为22b =，故选：D2.（2020福建泰宁一中月考）点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（）A．(),-¥È+¥B．(C．éëD ．()2,2-【答案】B【解析】因为点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，所以有2221122a +<，即21142+<a ，解得a <<，则a的取值范围是(．故选：B .3．（2020河北正定县弘文中学高二月考）椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】D【解析】221x my +=2222111,11214y x a b a b m m m\+=\==\===\=。

2018届人教A版椭圆检测卷

A 卷一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4B ．3C ．2D ．52．(2016·天津虹桥区一模)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1D.x 28＋y 24＝1 3．(2016·兰州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1|·|PF 2|＝a 2，则该椭圆的离心率为( )A.34B.32C.22D.124．(2016·衡水模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 的坐标为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)5．(2016·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．30B ．25C ．24D ．406．(2016·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 7．(2016·衡水冀州中学上学期第四次月考)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为 ( ) A. 2B.72C ．2D.748．(2016·荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆二、填空题9．(2016·兰州诊断)椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________． 10．(2016·池州模拟)已知M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM的周长为________．11．(2016·豫北六校联考)如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为____________．12．(2016·湖州市高三(上)期末考试)已知两圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1与C 2：(x －1)2＋y 2＝25，动圆C 与这两个圆都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．答案解析1．A 2.C3．C [由|OP |＝12|F 1F 2|，且|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得点P 是椭圆的短轴端点，即P (0，±b )，故b＝12×2c ＝c ，故a ＝2c ，即c a ＝22，故选C.]4．D [由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．]5．C [∵|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.]6．A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.]7．A [由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，所以b ＝a 2－c 2＝3c ，则方程ax 2＋2bx ＋c ＝0为2x 2＋23x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝12，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝3－1＝2，故选A.]8．D [因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732<0，又sin θ＋cos θ＝34>0，所以sin θ>－cos θ>0，故1－cos θ>1sin θ>0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 21－cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．] 9.x 216＋y 212＝1 解析由题设知抛物线的焦点为(0，23)，所以椭圆中短半轴b ＝2 3.因为e ＝c a ＝12，所以a＝2c ，又a 2－b 2＝c 2，联立解得c ＝2，a ＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.10．8解析 M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8. 11.x 24＋y 22＝1 解析设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，F (a 2－b 2，0)，依题意，得a 2－b 2＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫2，b a a 2－2，由于O ，C ，M 三点共线，所以b a a 2－22＝b2a 2，即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2，所以所求的椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.12.x 24＋y 23＝1 解析设圆(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心O 1(－1,0)，半径r 1＝1；圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心O 2(1,0)，半径r 2＝5.设动圆C 的圆心C (x ，y )，半径为R .∵动圆C 与圆(x ＋1)2＋y 2＝1及圆(x －1)2＋y 2＝25都内切， ∴|O 1C |＝R －1，|O 2C |＝5－R ， ∴|O 1C |＋|O 2C |＝5－1＝4>|O 1O 2|＝2，因此动点C 的轨迹是椭圆， 2a ＝4,2c ＝2，解得a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.因此动圆圆心C 的轨迹方程是x 24＋y 23＝1.B 卷一、选择题1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.332．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e 等于( )A. 5B.32C.33D.633．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为( ) A.12B.13C.14D.154．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.32B.34C.12D.225．(2016·潍坊模拟)设F 是椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离为M ，最小距离是m ，则椭圆上与点F 的距离等于12(M ＋m )的点的坐标是( )A ．(0，±2)B ．(0，±1)C.⎝⎛⎭⎫3，±12 D.⎝⎛⎭⎫2，±226．(2016·济南模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，通过点M (1,1)且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝07．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为( ) A ．±12B ．±14C ．±34D ．±388．(2016·宁波镇海中学模拟)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上有一点P ，椭圆内一点Q 在PF 2的延长线上，满足QF 1⊥QP ，若sin ∠F 1PQ ＝513，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．(15，53)B ．(2626，1) C ．(15，22)D ．(2626，22) 二、填空题9．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为________，离心率为________．10．(2016·金华十校模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝12x 交椭圆于A ，B 两点，点F 关于直线l 的对称点E 恰好在椭圆上，且|AE |＋|BF |＝6，则椭圆的短轴长为________．11．(2016·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．12．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C 上且直线P A 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1的斜率的取值范围是________．答案解析1．D [由题意知sin30°＝|PF 2||PF 1|＝12，∴|PF 1|＝2|PF 2|. 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a3.∴tan30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33，故选D.] 2．D [不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO→|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c 2，|MN →|2＝|MO →|2－c24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x .在Rt △MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63，故选D.]3．D [不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.]4．A [设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b 2，所以k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32，故选A.] 5．B [由题意可知椭圆上的点到右焦点F 的最大距离为椭圆长轴的左端点到F 的距离．故M ＝a ＋c ＝2＋3，最小距离为椭圆长轴的右端点到F 的距离，即m ＝a －c ＝2－ 3.故12(M＋m )＝12·(2＋3＋2－3)＝2.易知点(0，±1)满足要求，故选B.]6．C [设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916·(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.]7．C [由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a8c ＝±38×2＝±34，故选C.]8．A [设|PF 1|＝13x ，则在Rt △PF 1Q 中，|F 1Q |＝5x ，|PQ |＝12x ，结合椭圆定义有|PF 2|＝2a －13x ，所以|QF 2|＝25x －2a .在Rt △F 1F 2Q 中，(25x －2a )2＋25x 2＝4c 2，即325x 2－50ax ＋2b 2＝0.①又点Q 在PF 2的延长线上，所以25x －2a >0.因为点Q 在椭圆内，所以|QF 1|＋|QF 2|<2a ，即30x －2a <2a ，所以2a 25<x <2a 15.令f (x )＝325x 2－50ax ＋2b 2，则f (x )在(2a 25，2a15)上为增函数，所以方程①在(2a 25，2a15)内有实数根只需⎩⎨⎧f (2a25)<0，f (2a15)>0，所以49<b 2a 2<2425，所以e ＝1－(b a )2∈(15，53)，故选A.]9.x 25＋y 2＝1 255解析直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，故椭圆的一个焦点为(－2,0)，短轴的一个顶点为(0,1)，故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，c ＝2，b ＝1，所以a ＝5，故这个椭圆的方程为x 25＋y 2＝1，e ＝c a ＝25＝255.10．4解析记椭圆的左焦点是F 1，连接AF 1，BF 1，则四边形AF 1BF 是平行四边形，又AB 是线段EF 的垂直平分线，则|AE |＝|AF |＝|BF 1|，|AE |＋|BF |＝|BF 1|＋|BF |＝2a ＝6，解得a ＝3.又点F (c,0)关于直线AB 的对称点E (3c 5，4c 5)在椭圆x 29＋y 2b 2＝1(3>b >0)上，代入得c 225＋16c 225b 2＝1，且9－b 2＝c 2，联立解得b ＝2，c ＝5，则椭圆的短轴长为2b ＝4. 11．(2－1,1)解析由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝ca|PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2aca ＋c，因为|PF 2|是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)． 12．[38，34]解析由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由P A 2的斜率为－2可得点 P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由P A 2的斜率为－1可得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34.由数形结合可知，直线P A 1的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.。

第八章圆锥曲线方程单元检测题(一)椭圆(A)

第八章圆锥曲线方程单元检测题（一）椭圆（A ）一、选择题（每小题6分，共48分）1、椭圆两准线间的距离为焦距的3倍，则椭圆离心率为（）（A ）31 （B ）33 （C ）22 （D ）32、若椭圆12222=+ayax 的一个焦点是（3-，0），则a 的值为（）（A ）3 （B ）－1 （C ）3或－1 （D ）13、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（）（A ）2 （B ）2（C ）5（D ）54、若椭圆13222=++ym x的焦点在x 轴上，且离心率e=21，则m 的值为（）（A ）2（B ）2 （C ）－2（D ）±25、中心在原点，准线方程为x=±4的椭圆的方程为（）（A ）13422=+yx（B ）14322=+yx（C ）1422=+yx（D ）1422=+yx6、椭圆131222=+yx 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段P F 1的中点在y 轴上，那么P F 1是P F 2的（）（A ）7倍（B ）5倍（C ）4倍（D ）3倍 7、P 是椭圆192522=+yx上一点，如果P 与椭圆左焦点距离是2，则P 到椭圆的右准线距离等于（）（A ）8 （B ）10 （C ）25（D ）48、已知椭圆x 2si n α－y 2cos α=1（0＜α＜2π）的焦点在x 轴上，则α的取值范围是（）（A ）（43π，π）（B ）（4π，43π ）（C ）（2π，π）（D ）（2π，43π ）二、填空题（每小题6分，共24分） 9、椭圆2x 2+3y 2=6的焦点是。

10、若椭圆1222=-+a yax焦点在x 轴上，则a 的取值范围是。

11、点P 是椭圆16410022=+yx上的一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积是。

第三章椭圆章节测试卷人教A版(2019)选择性必修第一册

人教A 版（2019）选择性必修第一册第三章椭圆章节测试卷一、单选题1．椭圆221x my +=()A ．1B ．1或2C ．4D ．2或42．已知平面内一动点P 到两定点()120F -，，()220F ，的距离之和为8，则动点P 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=B ．2211612x y +=C ．22195x y +=D ．2212016x y +=3．已知12,F F 是椭圆22:194x yC +=的两焦点，点M 在椭圆C 上，则12MF MF ⋅的最小值是（）A ．5B ．9C ．4D ．34．已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且122PF PF =，则椭圆E 的离心率为（）A ．2B ．4C ．3D ．65．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为35，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2212516x y +=B ．221916x y +=C ．221916y x +=D ．2212516y x +=6．已知椭圆22:154x y C +=的左､右焦点分别是12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB 的面积是2F AB 的面积的2倍，则m =（）A ．23-B ．13-C ．3-D ．13-或3-7．直线过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F 和上顶点A ，与圆22(2)25x y -+=交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点坐标为(1,3)，则椭圆离心率为（）A ．10B ．5C D ．138．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的上顶点为P ，离心率为12，过其左焦点倾斜角为30°的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若PAB 的周长为16，则E 的方程为（）A ．22143x y +=B ．221129x y +=C ．2211612x y +=D ．2213627x y +=二、多选题9．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A B 、是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程可能是（）A ．2B ．4C ．6D ．810．已知椭圆C ：22179x y +=的一个焦点为F ，P 为C 上一动点，则（）A ．C 的短轴长为B ．PFC ．C 的长轴长为6D ．C 的离心率为311．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为0k ≠的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论中正确的是（）A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则||AB =三、填空题12．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的短轴长为，标准方程为.13．设P 是椭圆C ：2221(6x y a a +=上任意一点，F 为C 的右焦点，PF ，则椭圆C 的离心率为．14．如图，已知圆1F 的方程为2249(1)8x y ++=，圆2F 的方程为221(1)8x y -+=，若动圆M 与圆1F 内切与圆2F 外切．则动圆圆心M 的轨迹C 的方程为.四、解答题15．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为8，且点1,4⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在椭圆上，点1F 、2F 为椭圆的两个焦点且2160F PF ∠=︒，求12PF F ∆的面积.16．已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：，且过点()2,1A (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP AQ ，的斜率之和为0，求直线l 的斜率.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的两个焦点分别是()10F ，)20F ，点M 在C 上，且124MF MF +=.(1)求C 的标准方程；(2)若直线y kx =C 交于A ，B 两点，且OAB △的面积为7求k 的值.18．如图，已知点12F F 、分别为椭圆22:12x y Γ+=的左､右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线12,F M l F N l ⊥⊥，垂足分别为点M N 、．(1)求证：2221t k =+；(2)求证：12F M F N ⋅为定值，并求出该定值；19．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球1O ，2O ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点1F ，2F ，丹德林（G Dandelim ⋅）利用这个模型证明了平面x 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球.若平面α截圆锥得的是焦点在x 轴上，且离心率为12的椭圆，圆锥的顶点V 到椭圆顶点1A 的距离为3，圆锥的母线2VA 与椭圆的长轴12A A 垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 的坐标为（52，0），过右焦点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，直线BQ 与直线4l x =：交于点E ，试问直线EA 是否垂直于直线l ？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.参考答案题号12345678910答案D BCCDBCCACDACD题号11答案BD1．【详解】椭圆方程为2211y x m+=．当1m >时，101m <<=4m =，此时长轴长为4=；当01m <<时，11m >=14m =，此时长轴长为2．综上椭圆的长轴长为2或4．故选:D ．2．【详解】因为平面内一动点P 到两定点()120F -，，()220F ，的距离之和为8，且1284F F >=，所以动点P 的轨迹方程为焦点位于x 轴的椭圆，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则2222824a c a b c=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得221612ab ⎧=⎨=⎩，故动点P 的轨迹方程为2211612x y +=.故选：B3．【详解】由已知得126MF MF +=，c =3a =，设1MF x =，则33x ≤≤+()()22126639MF MF x x x x x =-=-=--+，从而3x =3x = 4.故选：C.4．【详解】由椭圆定义得：122PF PF a +=，又因为122PF PF =，所以解得：1242,33PF a PF a ==，再由于12PF PF ⊥，122F F c =，结合勾股定理可得：()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2259c a =，所以椭圆EC.5．【详解】设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则椭圆C 的面积为π20πS ab ==，又35c e a ==，联立π20π35ab =⎧=解得222516a b ⎧=⎨=⎩．所以椭圆C 的标准方程为2212516y x+=．故选：D.6．【详解】联立22154x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得229105200x mx m ++-=,因为直线y x m =+与C 交于,A B 两点，所以()22100495200m m ∆=-⨯->,解得29m <,即得33m -<<,由已知1F AB 的面积是2F AB 的面积的2倍，得1212112,222F ABF AB F F SSAB d AB d ==⨯,=13m =-或3-，3m =-时，不合题意，故13m =-.故选：B.7．【详解】由题意知,点(),0F c -,()0,A b ,由斜率公式可得,()00PQ b bk c c-==--,所以直线PQ l 的方程为=+,设点()()1122,,,P x y Q x y ,因为P ，Q 两点在圆22(2)25x y -+=上,所以()()22112222225225x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,两式相减可得,()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-+=，因为线段PQ 的中点坐标为(1,3),由中点坐标公式可得,121226x x y y +=⎧⎨+=⎩,所以()()()12122460x x y y -⨯-+-⨯=,化简可得,121213PQ y y k x x -==-,所以13b c =,因为222a b c =+,所以椭圆的离心率10c e a ===.故选:C8．【详解】因为椭圆的离心率12c e a ==，可得2a c =，所以224a c =，即2224b c c +=，可得b =，则点)P ，右焦点2(,0)F c，所以2PF k =由题意可得直线AB的斜率tan 303k =︒=，所以21PF k k ⋅=-，即2PF AB ⊥，由题意设直线AB的方程为)y x c =+，直线2PF的方程为y =，设直线AB 与直线2PF 的交点为M ，联立)y x c y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2x c =，y =，则(,)22c M ，可得M 为2PF 的中点，所以直线AB 为线段2PF 的中垂线，即2||||PA AF =，2||||PB BF =，PAB 的周长为22||||||||||||416PA PB AB AF AB BF a ++=++==，可得4a =，所以122c a ==，b =所以椭圆的方程为：2211612x y +=.故选：C ．9．【详解】依题意24,2;22,1a a c c ====，当小球从A 点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是()22a c -=，当小球从A 点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是()26a c +=，当小球从A 点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是48a =.故选：ACD10．【详解】由标准方程22179x y +=可知，29a =，27b =，所以3a =，b，c ==所以短轴长为2b =26a =，即选项AC 正确；离心率3c e a ==，即D 正确；由椭圆性质得max3PF a c =+=+故选项B 错误.故选：ACD11．【详解】由题意可知：0k ≠，对于选项A ：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎝⎭，且1212121212122,2OMy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为A 、B 两点在椭圆上，则22222211124124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减可得22221212024x x y y --+=，整理可得12121212422y y y y x x x x -+⋅=-=--+，即21OM k k ⋅=-≠-，所以直线AB 与OM 不相互垂直，故A 错误；对于选项B ：因为2OM k k ⋅=-，若点M 坐标为()1,1，则1OMk =，可得2k =-，所以直线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，故B 正确；对于选项C ：若直线方程为1y x =+，点1,4OM kk ==，可得1442OM k k ⋅=⨯=≠-，所以C 错误；对于选项D ：若直线方程为2y x =+，联立方程222124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：2340x x +=，解得1240,3x x ==-，所以403AB =-D 正确；故选：BD ．12．【详解】（1）由题得2,1,a c b ==∴=C 的短轴长为（2）因为2,a b ==，椭圆C 的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.13．【详解】解：P是椭圆222:1(6x y C a a +=上任意一点，F 为C 的右焦点，||PF 的最小可得a c -=所以a=即a所以(226a a=-，解得a =所以12c e a ==．故答案为：12．14.【详解】因为圆1:F 2249(1)8x y ++=的圆心为()1 1.0F -，圆2:F 221(1)8x y -+=的圆心为()21.0F ，半径为4，设动圆M 的半径为r ，因为动圆M 与圆1F 内切，与圆2F 外切，所以14MF r =-，24MF r =+，于是12122MF MF F F +=>=，所以动圆圆心M 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为从而1a c ==，所以1b =.所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2212x y +=．故答案为：2212x y +=.15．【详解】（1）由28a =，∴4a =，∵椭圆焦点在x 轴上，设方程为222116x yb+=，又椭圆过点1,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴211511616b +=，解得21b =.∴椭圆的标准方程：22116x y +=.（2）由（1）知215c =，∴c =12||||8PF PF +=，在12PF F ∆中，222121212||||||2||||cos 60F F PF PF PF PF =+-⋅⋅︒，∴()()2212122||||3||||c PF PF PF PF =+-⋅，∴1260643||||PF PF =-⋅，解得：124||||3PF PF ⋅=，∴12121||||sin 602PF F S PF PF ∆=⋅⋅︒1423=⨯16．【详解】（1）因为椭圆()222210+=>>x y C a b a b：()2,1A ，所以222222411c e a a b b a c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩==，解得2226,3,3a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=；（2）设直线:l y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程22163y y k x x m=+⎧⎪⎨⎪+⎩=，整理得()222124260k x kmx m +++-=，()()222216412260k m k m ∆=-+->即2236m k <+，122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，121211022AP AQ y y k k x x --+=+=--即()()()()()()2112122121022x y x y x x --+--=--，()()()()211221210x kx m x kx m -+-+-+-=，()()()1212221410kx x k m x x m --++--=即()()()2222264214101212k m km k m m k k--++-=++，整理得()()1210k m k -+-=，所以1k =或12m k =-，若12m k =-，则l 直线:12l y kx k =+-过点()2,1A ，不合题意，所以直线l 的斜率为117．【详解】（1）由题意，设C 的标准方程为22221x y a b+=，则c =，24a =，即2a =，所以2221b a c =-=，所以C 的标准方程为2214x y +=；（2）设1,1，2,2，由2244x y y kx ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩联立得()221440k x +++=，由题意()222Δ128161464160k k k =-+=->，即214k >，12x x +=，122414x x k =+，显然直线过定点()，所以12x x-==所以1212OAB S x x =-=2147k =+，所以424078270k k -+=，解得232k =或920，均满足214k >，所以2k =±或10±.18．【详解】（1）联立:l y kx t =+与22:12x y Γ+=消y 得：()222214220k x ktx t +++-=，由直线与椭圆有一个公共点可知：()()()222Δ4421220kt k t =-+-=，化简得：2221t k =+；（2）由题意得：()()121,0,1,0F F -，因为12,F M l F N l ⊥⊥，所以1F M ∥2F N，故1212F M F N F M F N ⋅=⋅，其中1F M =，2F N =所以2222121222211t k k k F M F N F M F N-+-⋅=⋅====++ ，12F M F N ⋅ 为定值，该定值为1.19．【详解】（1）由题知∶12160AVA VA ∠=︒=，由12sin 60a VA =︒，解得 2.a =因为椭圆的离心率为12，所以2221 3.c b a c ==-=，.所以椭圆的标准方程为221.43x y +=（2）当AB 的斜率为0时，显然EA ⊥直线l当AB 的斜率不为0时，可设其方程为∶1x my =+，1122()A x y B x y ,,(,)联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得∶()2234690m y my ++-=，显然0∆>由韦达定理得∶121222693434m y y y y m m +=-=-++，直线BQ 的方程为∶225522y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-令4x =，得22223352252E y y y x x =⨯=--因为221x my =+，所以22323E y y my =-，所以()12122212111222323323232323E y y my y y y my y y y y y my my my +--+-=-==---，韦达定理代入得∶221262933434023E m m m m y y my -⨯⨯+++-==-即1E y y =，所以EA ⊥直线l.。

高中数学人教A版选修2-1椭圆部分强化测试题

椭圆部分强化测试题一、选择题1．椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ B ）Ａ．221169x y+=或221916x y+=Ｂ．2212516x y+=或2212516y x+=Ｃ．22194x y+=或22194x y+=Ｄ．无法确定2．过点(32)-，且与22194x y+=有相同焦点的椭圆方程是（ A ）Ａ．2211510x y+=Ｂ．221225100x y+=Ｃ．2211015x y+=Ｄ．221100225x y+=3．已知椭圆2214xy+=的左、右焦点分别为12F F，，过1F作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则2PF=（ C ）Ｃ．72Ｄ．44．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的半焦距为c，若直线2y x=与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（ D ）1 1 5．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，当12F PF △的面积为1时，12PF PF =u u u r u u u u r ·（ A ）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．126．椭圆220(0)mx ny mn m n ++=<<焦点坐标为（ A ）Ａ．(0±，Ｂ．(Ｃ．(0±，Ｄ．( 二、填空题7．椭圆的一个焦点将长轴长分成3:2两部分，则这个椭圆的离心率为．15 8．椭圆22194x y +=的焦点分别为12F F ，，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．x <<9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，2OPF △是面2b 的值是．10．动点()P x y ，到点(10)，的距离与到定直线3x =，则动点P 的轨迹方程是 22132x y += ． 11．一动圆P 过定点(10)A ，且与定圆22:(1)16O x y '++=相切，那么动圆圆心P 的轨迹方程是 22143x y += ． 12．点P 是椭圆22154x y +=上任意一点，自P 作x 轴的垂线PA （A 为垂足），M 是线段PA的中点，则点M 的轨迹方程是 2215x y += ．三、解答题13．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P，2(P ．求椭圆方程．答案：解：设椭圆方程221(00)mx ny m n m n +=>>≠，，．1P Q，2(P 在椭圆上， ∴由题意可知61321m n m n +=⎧⎨+=⎩，，解得1913m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．∴椭圆方程为2211193x y +=．即22193x y +=．故所求椭圆方程为22193x y +=． 14．已知椭圆2212x y +=，证明斜率为2的平行弦的中点在一条直线上．解：设组平行弦与椭圆交于1122()()x y x y ，，，，中点为()x y ，，则122x x x =+，122y y y =+，由221112x y +=与222212x y +=，相减得12121212122y y x x x x x y y y -+=-=--+·，又12122y y k x x -==-，所以斜率为2的平行弦的中点在直线40x y +=上．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点F ，如图所求，求连结F 和椭圆上任意一点P 的线段FP 的中点Q 的轨迹方程．答案：解：设00()P x y ，，()Q x y ，，则0022x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．0022x x c y y =-⎧∴⎨=⎩，．代入22221x y a b +=，得2222(2)41x c y a b-+=．即22222122c x y a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为所求的轨迹方程．16．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B ，两点，OA OB +u u u r u u u r 与(31)=-，a 共线．求椭圆的离心率．解：设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0)F c ，．则直线AB 的方程为y x c =-，代入22221x y a b+=，化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=，设1122()()A x y B x y ，，，，则212222a c x x a b +=+，22221222a c ab x x a b -=+．由1212()OA OB x x y y +=++u u u r u u u r ，，(31)=-，a ，OA OB +u u u r u u u r 与a 共线，得12123()()0+++=y y x x ，解得1232c x x +=，即222232a c c a b =+，所以223a b =，所以c ，故离心率c e a ==。

2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷19 椭圆(A)-单元过关测试卷(原卷+解析)

2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷椭圆（A ）（测试卷19）满分：150分测试时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有四个选项，只有一个正确）1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A.5B.3C.5或3D.82.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12B. 2C.2D.224.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43 B.1C.45D.345.已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.56.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 7.设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24B.12C.8D.68.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A. 2B.2C.2 2D. 39.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1B. 2C.2D.2 210.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12C.3－12D.5－1211.已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.210512.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.14.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.15．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B ＝________.16.椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.三、解答题（六大题，共70分）17.（10分）.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.18.（12分）已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．19．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·PA ―→的最大值和最小值．20.（12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.21．（12分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.22.（12分）已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷椭圆（A ）（测试卷19）满分：150分测试时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有四个选项，只有一个正确）1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A.5B.3C.5或3D.8【答案】 C【解析】由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1，又满足关系式a 2－b 2＝c 2＝1，故当a 2＝4时，m ＝b 2＝3；当b 2＝4时，m ＝a 2＝5.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 【答案】 D【解析】由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C.2 D.22【答案】 D【解析】由题意得，椭圆的右焦点F 为(c ，0)，上顶点B 为(0，b ).因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过右焦点F 和上顶点B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（c －1）2＋1＝2，1＋（b －1）2＝2，解得b ＝c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8，解得a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝222＝22.4.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( )A.43B.1C.45D.34【答案】 D【解析】不妨设A 点在B 点上方，由题意知：F 2(1，0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中，可得A点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以由S ＝12Cr 得内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长). 5.已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.5【答案】 A【解析】因为椭圆x 2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.6.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 【答案】C【解析】由题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将A (c ，y 1)代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，由此求得y 21＝b 4a2，所以|AB |＝3＝2b 2a ，又c ＝1，a 2－b 2＝c 2，可解得a ＝2，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.7.设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24 B.12C.8D.6【答案】C【解析】∵P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又∵|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，S △P 1FF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为点G ，∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1， ∴△GPF 1的面积为8.8.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A. 2B.2C.2 2D. 3【答案】 A【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.9.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2【答案】D【解析】设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，即长轴长2a 的最小值为2 2.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若·＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12C.3－12D.5－12【答案】 D【解析】由题意知，M (－a ，0)，N (0，b )，F (c ，0)，∴＝(－a ，－b )，＝(c ，－b ).∵·＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍).∴椭圆的离心率为5－12. 11.已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.55B.105C.255D.2105【答案】A【解析】不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55，所以e 的最大值为55. 12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】 B【解析】由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|＝22c ·1－cos ∠PF 1F 2，所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c ＋2c ·1－cos ∠PF 1F 2，又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a <(3＋1)c ，则13＋1<c a <12，即3－12<e <12. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________. 【答案】y 216＋x 24＝1【解析】 ∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16.又焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.14.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.【答案】x 29＋y 26＝1 【解析】 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .① 又S △F 2AB ＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.15．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B ＝________.【答案】3【解析】由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin Csin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.16.椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.【答案】 (－3，0)或(3，0)【解析】记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3，0)或(3，0).三、解答题（六大题，共70分）17.（10分）.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.【解析】设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0).∵F 1A ⊥F 2A ，∴·＝0，而＝(－4＋c ，3)，＝(－4－c ，3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0). ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.18.（12分）已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.19．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．【解析】设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2.又F (－1,0)，A (2,0)，＝(－1－x 0，－y 0)，＝(2－x 0，－y 0)， ∴·＝x 20－x 0－2＋y 20 ＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，·取得最小值0，当x 0＝－2时，·取得最大值4.20.（12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若＝2，·＝32，求椭圆的方程.【解析】 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，椭圆的离心率为e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y ). 由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1，即a 2＝3c 2.①又由·＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.21．（12分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【解析】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )．直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2)．联立{y =−m+2n (x −m )y =n 2−m (x −2)解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4−m 2)4−m 2+n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n . 又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |. 所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.22.（12分）已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【解析】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝4. 故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－124，由Δ＝36m 2－16(3m 2－12)>0得m 2<16，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m . 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2，满足m 2<16. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32，所以△PAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.。