第二章有理数及其运算教案汇总

第二章：有理数及其运算

一、有理数

知识点一：具有相反意义的量（用正数和负数表示，负数的来源）

如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”。 由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。

我们可以把其中一个量规定为正的，用正“+” 数表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负“-”数表示。

如：零上20°C 记作+20°C ，零下17°C 就记作 -17°C

如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈记作-12圈 因为是量，表示时需要带着单位名称，如圈、元。

知识点二：正数和负数的概念

正数：像1、2.5、14

3、23这样大于0的数叫做正数；为了突出数的符号，可以在正数前加“+” 号。如：+3、+5.6 ，有时也可省略“+”号 如：1、2.5、14

3 负数：像-5、-10、-2.3等在正数前面加上“－”号的数叫做负数，负数前面的“-”号不能省略。由此看出，比0小的是负数，负数比0小。

0即不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。

正数比0大，负数比0小。

复习小学内容：

质数：一个数只有1和它本身两个因数时，这个数是质数也称为素数。

如2、3、5、7、11、13、17、19等

合数：一个数除了1和它本身两个因数外还有其他的因数，这个数就是合数。 如4、6、8、9、10、12、14、15等

质数和合数都是指一个大于1的自然数中的数，所以，0和1既不是质数也不是合数。 除了2 其余的质数都是奇数

再复习一下奇数和偶数

偶数：整数中能够被2整除的数，叫做偶数，

奇数：整数中不能被2整除的数，叫做奇数。

知识点三：有理数

有理数概念：整数和分数统称为有理数。

整数：正整数、零、负整数统称为整数

分数：正分数和负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数 。 0.5=21 ；0.875=8

7 。。。这些都是有限小数，化成了分数。0..3=31 ；0..12.3=999123 ；0.1.2.3=99991123-- ；0.12.3=99

99912123-- 上述都是无限循环的小数，也化成了分数。

小学学过的圆周率π，其值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375…它是无限不循环的小数，它不是有理数，是八上实数中我们学到的无理数

有理数的分类：（在前章学习了分类思想，关于几何体的分类）

（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：

有理数的“四非”

有理数“四非”⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0000非负整数：正整数和

非正整数：负整数和非负数：正数和非正数：负数和 注意上述“四非”，一定记住都包括着零。注意断句：非负/整数，首先是整数，其次是不是负的，那就是正的和0。而不是非/负整数，错误理解成正整数、0和分数了。

0 既不是正数也不是负数。0是整数，是自然数，是偶数，是有理数。

二、数轴:

知识点一：数轴

1、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

数轴就是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素

注意：1）、约定成俗的规定向右的方向为正方向，向左就扣分。

2）、是单位长度，就是自己规定的一段长度作为单位长度，而不是长度单位。

2、数轴的画法：1）、画一条直线

2）、直线上选取一点为原点，并用这点表示零

3）、确定正方向，一般规定向右，用箭头标示出来。

4）、选取某一长度作为单位长度，根据实际情况选取，但长短一致。

3、数轴上的点与有理数的关系

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示的是有理数）。正有理数可以用原点右侧的点表示，负有理数可以用原点左侧的点表示。原点用零表示。

知识点二：利用数轴比较有理数的大小

（1）在数轴上的所表示的数，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大

（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。利用这点，比较有理数的大小

三、绝对值

知识点一：相反数

1、相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0

越来越大 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0

个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。这也是相反数的代数定义。

注意：1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能把它漏掉。

2）相反数是成对出现的，不能单独存在。

3）“只有符号不同”中的只有是指除了符号不同，其余相同。不能理解为“只要符号不同”。如-2与+3不是相反数。

2、相反数的几何定义：在数轴上位于原点的两侧，与原点的距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

3、相反数的表示方法：表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添加一个“-”号即可。如6的相反数是-6，-6的相反数可以表示为-（-6）

一般地，数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个数，可以是正数、负数、0。

注意：1）表示“和”或者“差”形式的相反数时，要先用括号括上，再在括号前面添上一个“-”号。如a+b 的相反数是-（a+b ）

2）因为a 可以表示任意一个数，所以，-a 不一定是负数。

知识点二：绝对值

1、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值

用a 表示一个数，则a 的绝对值记作|a|，读作“a 的绝对值”。

因为距离都是0或者正数，所以，+3的绝对值等于3，记作|+3|=3

-3的绝对值等于3，记作|-3|=3

表示0的点与原点的距离是0，所以|0|=0

2、一个数的绝对值与这个数的关系（也就是绝对值的代数意义）：

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

可用字母a 表示如下：

⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a 书写：|a| = ±a 是错误的！ 3、绝对值归纳总结：

1）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远，绝对值越大。由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数，因此，绝对值最小的有理数是零。

2）绝对值非常重要的性质：绝对值的非负性。任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0。

3）互为相反数的两个数绝对值相等；反之，特别注意：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。

4）任何数都有唯一的绝对值，但绝对值为某一正数的数有两个，且他们互为相反数。

如：绝对值为4的数是+4或-4。字母表示式：若|a|=|b|，则a=±b

5)若几个非负数之和为0，则每个加数分别为0。

若|a|+|b|+|c|=0，则|a|=|b|=|c|=0，即a=b=c=0。这个关系很重要，期中考试一定有。

绝对值知识拓展：

|x|几何意义是x 表示的点到原点0的距离

|x-1|几何意义呢？代表x 到哪个点距离呢？

推导：|x|=|x-0| 是x 表示的点到0的距离