中位线定理
平行四边形中位线定理
平行四边形中位线定理平行四边形中位线定理平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，连接相邻顶点的线段称为对角线，且对角线互相平分。
定义平行四边形中位线是指连接相邻顶点的中点所构成的线段。
定理在平行四边形中，两条对角线互相平分，且它们的交点是它们的共同中心。
证明设ABCD为平行四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的中点。
连接EG和FH，并延长至交于点O。
因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ADC；同理可得∠CBD=∠CDA。
又因为AE=EB，AD=DG，所以△AED≌△GBD（SAS）；同理可得△FHC≌△CHD（SAS）。
因此AE=BG，CF=DH。
又因为AF∥DC，所以∠FAH=∠DCH；同理可得∠EBG=∠FCD。
但是由于ABCD是一个平行四边形，所以AD=BC。
因此，在△AED和△FHC中：AE+ED+CF+CH=AD+FC+DG+GBBG+ED+AH+CH=AD+AF+DG+FC将AE=BG，CF=DH代入上式，得：ED+CH=DG+AFBG+ED=AF+DG因此，△AEG≌△DFH（SAS），所以EG=FH。
因此，EG和FH互相平分。
又因为E、F、G、H是ABCD的中点，所以OE=OF=OG=OH。
因此，O在EG和FH的交点处，且它们的交点是它们的共同中心。
应用平行四边形中位线定理可以用来证明两条对角线互相平分的性质，并且可以用来求解平行四边形各个部分的长度。
例如，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，DC=8cm，AC=10cm。
连接AC并延长至交于点E。
由于AE=EC（垂直平分线段），所以AE=5cm。
又因为AB∥DC（对角线互相平分），所以BE/ED=BA/AD；同理可得CE/EB=CD/BA。
将已知数据代入上式可得BE/ED=4/3，CE/EB=5/2。
因此BE=(4/7)AC=(4/7)×10cm≈5.71cm，ED=(3/7)AC=(3/7)×10cm≈4.29cm。
中位线定理全面版
求证:EF › AB-CD.
2
A
C
H F
B
思考
下列说法是否正确? 1.三角形三条中位线组成一个三角形,其周长为
原三角形周长的一半. 2.三角形三条中位线将原三角形分割为四个全
等的三角形. 3.三角形三条中位线三角形三条中位线可从原
三角形中划分出面积相等的三个平行四边形. 4.三角形任两条中位线的夹角与这个夹角所对
吗?
思考
Ｈ
Ｄ
Ａ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别
Ｇ
是四边形ＡＢＣＤ的中点，
Ｅ
连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ
Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ
是平行四边形．
Ｂ
Ｆ
Ｃ
思考
已知：在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．
F
求证：∠ＦＤE= ∠A.
A E
B
C
D
思考
D
在四边形ABCD
中,AB›CD,E,F分别是
E
AC,BD的1 中点.
∴CF∥DA,且CF=DA. ∴CF∥DB,且CF=DB
DE和BC 有什么位 置关系?
∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF=BC. ∴DE= 1 BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样
的三角形的顶角相等.
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
数学中位线定理
小明家的村
头有一大水
A
塘,要量出池
塘两端点
A,B之间的
距离,你能想
出几种方法? D
B C
E
下面的方法是不是更简单?
A
B
D
E
C
A
已知:点D,E分别是△ABC的边
AB,AC的中点. 位置关系:可以证明两条直线平行.
三角形的中位线有哪些作用?
D
位置关系:可以证明两条直线平行.
1 求证:EF › AB-CD.
Ｈ
Ｄ
Ａ
已知：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别
Ｇ
是四边形ＡＢＣＤ的中点，
Ｅ
连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ，Ｈ
Ｅ．求证：四边形ＥＦＧＨ
是平行四边形．
Ｂ
Ｆ
Ｃ
思考
已知：在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ的中点．
F
求证：∠ＦＤE= ∠A.
A E
B
C
D
思考
D
在四边形ABCD
中,AB›CD,E,F分别是
E
AC,BD的1 中点.
的三角形的顶角相等.
小结
三角形的中位线有哪些作用? 位置关系:可以证明两条直线平行. 数量关系:可以证明线段的倍分关系.
∴DF=BC. 已知:点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.
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∴DE= 1 BC.
2
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线
中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半.
一个三角形有 几条中位线? 中位线和三角 形的中线一样Fra bibliotek吗?思考
求证:EF › AB-CD.
如何证明三角形中位线定理
如何证明三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形中，连接三角形的三个顶点和中点所形成的三角形，它们的面积之比为4:1。
这个定理可以通过多种方法来证明，下面我将从几何和代数两个角度来进行证明。
首先，我们从几何角度来证明。
我们可以利用平行四边形面积定理来证明三角形中位线定理。
首先，连接三角形的一个顶点和对边的中点，得到一个平行四边形。
根据平行四边形面积定理，平行四边形的面积等于对角线的一半乘以高。
然后，我们可以利用平行四边形的性质和三角形的性质进行推导，最终可以得出三角形中位线定理成立。
其次，我们从代数角度来证明。
我们可以利用向量的方法来证明三角形中位线定理。
首先，我们可以假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
然后，利用向量的加法和数量积的性质，我们可以求出三角形的中位线向量。
接着，通过向量的运算，我们可以得出中位线所形成的三角形的面积。
最终，我们可以证明三角形中位线定理成立。
综上所述，通过几何和代数两个角度的证明，我们可以证明三
角形中位线定理成立。
这样的全面证明可以更加深入地理解和掌握这一定理。
梯形中位线定理证明方法
梯形中位线定理证明方法一、梯形中位线定理的表述及含义梯形是一种特殊的四边形，它有两条平行边，分别称为上底和下底；另外还有两条非平行的边，称为腰。
梯形的两个对角线分别是连接两个非平行边的线段。
梯形中位线定理表述如下：梯形两个对角线的长度之和等于梯形两条平行边长度之和。
这个定理的含义是，梯形的两个对角线之间的距离，即对角线的长度之和，等于梯形两条平行边的长度之和。
这个定理在解决梯形相关的几何问题时非常有用。
二、梯形中位线定理的证明方法下面将介绍一种证明梯形中位线定理的方法，该证明方法基于几何的基本原理和定理。
证明思路如下：步骤一：画出梯形ABCD我们画出一个任意的梯形ABCD，其中AB和CD是平行边，AD和BC 是非平行边。
步骤二：连接梯形的两个对角线AC和BD我们需要连接梯形的两个对角线AC和BD。
通过连接AC和BD，我们可以将梯形分成两个三角形，分别是三角形ABC和三角形ACD。
步骤三：证明三角形ABC与三角形ACD全等接下来，我们需要证明三角形ABC与三角形ACD全等。
根据几何的基本原理，我们可以通过证明它们的对应边相等来证明它们全等。
我们观察到AB和CD是梯形的两条平行边，根据平行线的性质，我们可以得出AB与CD平行。
又因为AC和BD是梯形的两个对角线，根据梯形的性质，我们可以得出AC与BD相交于一点，且互相平分。
接下来，我们观察到AB和CD是梯形的两条平行边，而AC和BD是梯形的两个对角线，根据平行线的性质和对角线的性质，我们可以得出三角形ABC与三角形ACD有以下对应边相等的关系：AB=CD，AC=BD。
因此，根据三角形全等的判定条件，我们可以得出三角形ABC与三角形ACD全等。
步骤四：根据三角形全等的性质，证明对角线长度之和等于平行边长度之和根据三角形全等的性质，我们知道如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度是相等的。
因此，根据三角形ABC与三角形ACD全等，我们可以得出AC=BD。
证明三角形中位线判定定理
证明三角形中位线判定定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一。
下面小编给大家带来证明三角形中位线判定方法，希望能帮助到大家!证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE 平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E'，连接DE'，则有AD=BD，AE'=CE'∴DE'是三角形ABC的中位线∴DE'∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE'重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
三角形中位线的定理
三角形中位线的定理
三角形中位线的定理
引言
三角形是初中数学学习中的重要内容，而在三角形的研究中，中位线是一个重要的概念。
本文将介绍三角形中位线的定理，包括定义、性质和证明等方面。
第一部分：定义
1. 什么是中位线？
在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E所组成的线段DE叫做三角形ABC的中位线。
2. 中位线有哪些基本性质？
（1）一个三角形有三条中位线；
（2）每条中位线都平分对边；
（3）每条中位线与对边垂直。
第二部分：定理及证明
3. 什么是三角形中位线定理？
在任意一种平面几何图形当中，如果两个向量之和等于另一个向量，那么这两个向量所对应的两个边平行。
4. 证明：
（1）首先，连接BD和CE，则由定义可知BD和CE都是ABC的半径。
（2）因为BD = AD 和 CE = AE, 所以 BD = CE.
（3）作DE交BC于F，则由割圆法可知DF = FB 和 EF = FC.
（4）因为DF + EF = DE, 所以 FB + FC = BC.
（5）由（4）可知，FB和FC所对应的两个边平行，即BD || CE.
（6）同理可证出其他两条中位线所对应的两个边也平行。
5. 总结
三角形中位线定理是初中数学学习中的重要内容，通过本文的介绍，我们了解了中位线的定义、性质和定理，并且掌握了证明方法。
在实际问题中，我们可以利用这一定理来解决一些与三角形相关的问题。
两种方法证明中位线定理
两种方法证明中位线定理
嘿，咱今儿个就来讲讲怎么用两种方法证明中位线定理！
中位线定理啊，就好像是几何世界里的一把神奇钥匙，能打开好多
难题的大门呢！先来说说第一种证明方法吧。
想象一下，有一个三角形，咱给它画条中位线出来。
这中位线就像
是在三角形里搭了一座小桥，把两边巧妙地连接起来了。
然后呢，咱
通过构造平行四边形来证明。
你看啊，把中位线延长，再和三角形的
另一边连接起来，这不就形成了一个平行四边形嘛！根据平行四边形
的性质，对边相等，那中位线不就等于另一边的一半啦！这多巧妙呀，就像发现了一个隐藏的宝藏一样！
再来讲讲第二种方法。
这次咱换个思路，利用相似三角形来证明。
你想啊，中位线把三角形分成了两部分，这两部分和原来的大三角形
是不是有点像呀？对啦，它们就是相似的呢！通过相似三角形的对应
边成比例的性质，就能得出中位线和底边的关系啦！是不是很神奇呀？
咱再回过头来想想，这中位线定理多重要啊！在好多几何问题里，
只要知道了中位线，好多难题就迎刃而解啦。
就好像在迷雾中找到了
一条清晰的路一样。
而且啊，这定理不仅仅是在数学里有用，在生活中也能找到类似的
道理呢！比如说，我们做事的时候，有时候也需要找到那个像中位线
一样的关键节点，一下子就能让事情变得顺利起来。
所以说呀，学好中位线定理，不只是为了考试，也是为了让我们能更好地理解这个世界呀！大家可别小瞧了它哟！
怎么样，这两种证明方法是不是很有意思呀？大家都学会了吗？要是学会了，以后再遇到中位线的问题，可就不用发愁啦！哈哈！。
等边三角形中位线定理
等边三角形中位线定理等边三角形中位线定理是指：在一个等边三角形中，连接每个顶点和它对面的中点，得到的三条线段互相平分。
即每条中位线的两个端点与对边的两个端点构成的四边形是平行四边形。
一、等边三角形基本概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角都是60度。
二、中位线定义及性质1. 中位线定义：在一个三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，连接顶点B和AC中点N，连接顶点C和AB中点P所得到的线段AM、BN、CP叫做这个三角形ABC的中位线。
2. 中位线性质：（1）每条中位线都可以将对应的底边分成两段长度相等的部分。
（2）每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
（3）如果一个三角形有两条边互相平分，则这两条边所代表的直线必然相交于第三条边上，并且交点距离第三条边上任意一端的距离相同。
三、证明证明等边三角形中位线定理需要用到向量知识。
设向量AB=a，向量AC=b，则向量BC=a-b。
由于三角形ABC是等边三角形，所以有|a|=|b|=|a-b|。
根据向量知识可知，向量AM=1/2*a，向量BN=1/2*b，向量CP=1/2*(a-b)。
因此，AM、BN、CP的长度都是相等的。
接下来我们证明每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
设中位线AM和BN相交于点O，则有AO=OM，BO=ON。
又因为AO+ON=AN=BN+BO，所以AO=BO，并且OM=ON。
因此，四边形ABMO和BANO都是平行四边形。
同理可证得四边形ACPO和CBPO也都是平行四边形。
综上所述，每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。
四、应用等边三角形中位线定理可以用于解决一些几何问题。
例如，在一个等边三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，并连接BM交AC于点N，则可以证明AN=NC。
证明如下：由于BM是AC的中线，所以AN=NC（由上述性质（3）可知）。
又因为AM是AB的中线且AB=BC，所以AM||CN且AM=CN。
三角形中位线证明6种方法
三角形中位线证明6种方法以下是6种证明三角形中位线的方法：方法1：套用中线定理根据中线定理，三角形中位线所构成的三角形，面积是原来三角形的1/4，因此中位线的长度为(1/2)其所对应的边长。
因此，对于三角形ABC，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
我们可以用勾股定理证明这些相等关系，从而证明三角形的中位线。
方法2：利用向量根据向量的性质，若d、e、f分别为v1、v2、v3的中点，则三角形DEF的质心G=v1+v2+v3。
因此，若d、e、f分别为向量a、b、c的中点，则三角形DEF的质心为G=(a+b+c)/3。
因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
可以使用向量的加减和数量积证明这些相等关系。
方法3：利用勾股定理根据勾股定理，若a、b、c分别为三角形ABC的边长，则a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。
因此，若D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则DE=1/2AC=sqrt[(b^2+c^2)/4]-bc*cosA/2。
同样地，EF=1/2AB=sqrt[(c^2+a^2)/4]-ca*cosB/2，FD=1/2BC=sqrt[(a^2+b^2)/4]-ab*cosC/2。
根据余弦定理，可以证明这些相等关系。
方法4：利用相似三角形根据相似三角形的性质，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则三角形DEF与三角形ABC相似。
因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
可以使用相似三角形的性质证明这些相等关系。
方法5：利用三角形面积公式根据三角形面积公式，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则S(DEF)=1/4S(ABC)，其中S表示面积。
因此，DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC。
可以使用三角形面积公式证明这些相等关系。
方法6：利用垂直平分线根据垂直平分线的性质，若D、E、F分别为AB、BC、CA上的中点，则AD、BE、CF相互垂直。
中位线,勾股定理
中位线定理和直角三角形知识点：一、中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．逆定理一：三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
二、直角三角形勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，并且c是直角三角形的斜边．【典例】例1． 证明中位线定理如图，已知△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 两边中点。
求证：DE 平行且等于21BC证明：过C 作AB 的平行线交DE 的延长线于F 点。
∵CF ∥AD ∴∠A=∠ACF∵AE=CE 、∠AED=∠CEF ∴△ADE ≌△CFE ∴AD=CF∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD=CF ∴BCFD 是平行四边形∴DF ∥BC 且DF=BC ∴DE=BC/2例2． 如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
例3． 证明勾股定理例2图Q P M D C B A。
中位线课件
反证法
假设中位线定理不成立， 通过逻辑推理得出矛盾， 从而证明中位线定理的正 确性。
平行四边形法
利用平行四边形的性质， 结合已知条件推导出中位 线定理。
中位线定理的推广
三角形中位线定理的推广
在三角形中，若一条边上的中点与对边 的两个端点连成线段，则这两条线段的 长度相等。
VS
多边形中位线定理的推广
中位线定理是几何学中的重要定 理之一，它揭示了三角形中位线 与第三边的关系，为解决几何问 题提供了重要的思路和方法。
02 中位线的判定定理
三角形中位线定理
总结词
三角形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了三角形中位线的性质和 判定方法。
详细描述
三角形中位线定理指出，在一个三角形中，中位线是一条连接顶点与对边中点的 线段，且这条线段平行于第三边，并且长度为第三边的一半。这个定理可以通过 多种方式证明，其中最常用的是通过相似三角形和全等三角形来证明。
数学基础
中位线定理是几何学中的基础定 理之一，对于理解几何形状的性 质和解决几何问题具有重要意义
。
应用广泛
中位线定理在各个领域都有广泛的 应用，如建筑、工程、艺术、科学 等，是解决实际问题的重要工具。
培养逻辑思维
学习中位线定理有助于培养人的逻 辑思维和推理能力，提高解决问题 的能力。
中位线定理的学习方法与技巧
总结词
梯形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了梯形 中位线的性质和判定方法。
详细描述
梯形中位线定理指出，在梯形中，如果一条线段连接两个相 对边的中点，则这条线段平行于上底和下底，并且长度为上 底和下底的一半之和。这个定理可以通过相似三角形和全等 三角形来证明。
平行线中位线定理
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
中位线定理不同证明方法
中位线定理不同证明方法中位线定理，又称中线定理，是几何中的一个基本定理。
它指出，在一个三角形中，三条中线交于一点，这个交点被称为三角形的质心。
中位线定理的证明有多种方法，下面我将介绍其中的一些方法。
一、初级证明方法在这个证明方法中，我们将使用简单的几何知识来证明中位线定理。
让我们回顾一下中位线的定义。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
根据中位线的定义，我们可以得出结论：三条中位线交于一点。
为了方便说明，我们设这个三角形的三个顶点为A、B、C，对边分别为BC、CA和AB。
设M是BC的中点，N是CA的中点，P是AB的中点。
根据中位线的定义，线段AM是连接顶点A和对边BC的中点M的线段。
现在我们来证明中位线AM和BN的交点在CP上。
设交点为D。
根据三角形中位线的性质，AD和BC互相平分。
我们可以得出以下结论：AM = MD 和 BN = ND。
然后我们来看三角形ADM和三角形BND。
根据两个三角形的边长比较，我们可以得出：AD = ND 和 AM = MD。
根据边边边相似的性质，我们可以得出结论：三角形ADM和三角形BND全等。
根据全等三角形的性质，我们可以得出：∠DMA = ∠DNB。
因为∠DMA是三角形ADC的外角，所以∠DMA = ∠ADC + ∠ACD =∠ANB + ∠ACD。
同样的道理，∠DNB = ∠ANB + ∠BCD。
我们可以得出结论：∠ANB + ∠ACD = ∠ANB + ∠BCD。
根据等式两边相等的性质，我们可以得出：∠ACD = ∠BCD。
我们可以得出结论：CD || AB。
根据平行线的性质，我们可以得出：∠BDC = ∠ACB。
因为∠BDC是三角形BDC的内角，所以∠BDC + ∠BCD = 180°。
代入之前的等式，我们可以得出：∠ACB + ∠BCD = 180°。
我们可以得出结论：∠ACB+ ∠BCD = 180°。
根据三角形内角和的性质，我们可以得出：∠ACB + ∠BCA + ∠ABC = 180°。
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八年级数学下册第6章平行四边形6.4三角形的中位线定理（总第9 课时）主备人：潘敏（一）预习学案一、预习目标：1、熟记三角形中位线的定义和定理。
2、会应用三角形中位线定理，进行有关的计算或证明。
3、通过推导中位线性质定理的过程，进一步提高学生的论证能力和逻辑思维能力。
二、预习重点：熟记中位线的定义和定理，并会熟练应用。
三、预习过程：（一）预习准备1、三角形的中线是：2、三角形的中线有条，它们有什么特点？（二）预习新知：学习任务一：阅读课本30-32页内容，回答1、本节课学习的内容：2、三角形中位线的定义：思考：（1）三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？用符号表示为：3、自学课本31页的“三角形中位线定理”的证明，并把证明过程写在下面：学习任务三：自学课本31页的例1，掌握应用三角形中位线定理解决问题的方法,并解决下列问题。
中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的1、如图所示，ABC中点。
求证：四边形DEFG为平行四边形。
（三）预习诊断：1、如图，ΔABC中，AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分别是AB、AC、BC的中点，则ΔDEF的周长是＿＿＿＿，面积是＿＿＿＿。
2、如图，ΔABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE 与 AF 的关系是＿＿＿3、如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，若DE＝2，则EB＝_____．4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，若∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，求∠NMP的度数.（四）预习质疑我在学习中的疑问：（提出一个问题比解决一个问题更有价值）限时作业八年级数学下册第6章6.4三角形的中位线定理（总第9 课时）班级：姓名：成绩：1、（3分）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是_ _;顺次连结矩形各边中点所得图形是______.顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______.顺次连结正方形各边中点所得的图形是______.顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.3．（2分）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．2、（2分）△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= 。
4（3分）、如图，△ABC中，AD是BC的中线，EF是中位线，求证：AD、EF互相平分。
八年级数学下册第9章二次根式9.1二次根式和它的性质（3） （总第 39 课时） 主备人：潘敏（一）预习学案预习目标：1、 学习二次根式的性质：积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方根的积。
并能利用这一性质进行简单的计算。
2、理解积的算术平方根的推导过程，提高学生的符号意思和推理能力。
预习重难点：二次根式的性质：积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方根的积。
并能利用这一性质进行简单的计算。
预习过程： （一）预习准备思考二次根式的性质回答下列问题）1、当a ≥0时 2a = （=2)a2、计算2)4(-= 2)2)3(-= 22)21(-= 2)2)44(-=（二）预习新知：预习任务一：阅读课本①=⨯94 =94 ②=⨯2516 =⨯2516根据以上计算猜测： 如果，a ≥o, b ≥0 ,那么，ab 与b a ⋅ 是否相等？3、由此得出，积的算术平方根等于 。
用符号表示：ab = （ a ≥o, b ≥0 ） 预习任务二：阅读课本115页例4完成以下问题：1、化简： ①259⨯ ②216a③300 ④y x 2⑤2)4(9-x ⑥=⨯-2)32(（三）预习诊断：1、判断下列各式是否成立 ⑴94)9()4(-⨯-=-⨯-（2）221213-=5（3）b a b a +=+22 （4）323)2(2=⨯-2、化简下列式子：（1）188⨯ （2）225253⨯⨯（3）2)4(9-x （4）428n m（5）2243+ （6）32a a +（四）预习质疑 我在学习中的疑问：（提出一个问题比解决一个问题更有价值）限时作业课八年级数学下册第9章二次根式9.1二次根式和它的性质（3） （总第 39 课时）班级： 姓名： 成绩：1、下列各式成立的是（ ）（ 2分 ） A 、 = B 、 = C 、 = D 、 = 5+32、计算：（4 分 ）①2)52( ②36-2、化简下列各式： （ 4 分 ）⑴4625⨯ ⑵ b a 216⑶3)2(8-x ⑷8116⨯)5()3(-⨯-53-⨯-)5()3(22--⨯)5()3(22--⨯3522-3522-3522+八年级数学下册第9章二次根式9.1二次根式和它的性质（3） （总第 39 课时） 主备人：潘敏（一）预习学案预习目标：1、 理解商的算术平方根的性质a b = a b(a≥0,b ＞0)。
并能利用这一性质进行二次根式的化简。
理解商的算术平方根的推导过程。
2、了解最简二次根式的概念，会识别最简二次根式，会把二次根式化成最简二次根式。
预习重难点：会识别最简二次根式，会把二次根式化成最简二次根式。
预习过程 （一）预习准备（1）当a 当b 时a·b=a·b 。
（2）25⨯4= （3）25x 4= （二）预习新知：预习任务一：阅读课本115-117页内容，完成以下问题： （观察、思考，类比二次根式的性质3，探索二次根式的性质4。
） 1、观察下列3题的计算结果，你有什么发现？ （1）49=______，49=______； （2）2549=_____，2549=______； （3）1681=_____，1681=______； ……请能否再举一例，验证你的猜想：举例： 2、进一步证明：因为： =2)(b a ， 2)(ba= 。
（ a ≥o ，b ＞0）所以：=2)(b a （ba ）2 由此我们得到：商的算术平方根a b = a b(a≥0,b ＞0) 商的算术平方根等于 除以 。
预习任务二：阅读课本116-117页内容，了解最简二次根式的定义。
最简二次根式：二次根式 都不含 ，并且也都不含有 ，像这样的二次根式称为最简二次根式。
预习任务三： 自学【例7】化简下列二次根式：（1）48 （2）2783、考虑：–9–16有意义吗？–9–16=–9–16成立吗？为什么？（三）预习诊断：1、下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A 、35 B 8 C 、 31 D 、35 2、化简：⑴1681 ⑵4981425⨯3、把下列各式化成最简二次根式：⑴188⨯ ⑵348a ⑶27ab ⑷827（四）预习质疑我在学习中的疑问：（提出一个问题比解决一个问题更有价值）限时作业课八年级数学下册第9章二次根式9.1二次根式和它的性质（3） （总第 39 课时）班级： 姓名： 成绩：1、（ 1分 ）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）。
A)12 B)a 2b C)x 2+y 2 D)252、 化简：（4分 ） ①8116⨯ ②253、把下列各式化成最简二次根式。
（ 5分 ） ① 127② 484 ③8m 2n 3④)4(16+x ⑤ 944+八年级数学下册第9章二次根式9.2二次根式的加法与减法（总第 40课时） 主备人：潘敏（一）预习学案预习目标：1、经历二次根式的加减运算法则的形成过程，感悟类比思想。
2、会利用二次根式的加减运算法则进行计算，掌握二次根式加减运算的基本技能。
预习重点：二次根式的加减运算。
预习过程：（教师寄语：当你的态度发生转变的时候,在学习上没有什么不可以!） （一）预习准备1、最简二次根式的特征:① ,② .2、观察下列二次根式：3、8、2932xy 、b a b 26、43x 、23 其中哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？你能把它们化成最简二次根式吗？（二）预习新知：预习任务一：阅读课本120页内容，完成以下问题： ①225+=②484273+ =由此我们得到：二次根式的加减运算法则二次根式相加减，应先把各个二次根式 化为 ，然后把其中 的二次根式分别 。
学习任务二：1、认真阅读例1和例2的计算过程，并指出每一步进行了什么变形，依据是什么？并试做以下题目： 计算：⑴262322+- （2）12775+（2）90-202+54 （3）a 932+43a（三）预习诊断：1、将下列二次根式化成最简二次根式，然后找出其中被开方式相同的二次根式。
①12 ②27 ③8④21 ⑤4812、下列计算正确的是（ ）A. 2+3=5B. 3+2=23C. 8-2=2D. 3-2=13、计算： ⑴12-33 ⑵72-76⑶a 9+a 25 ⑷122-316+483预习困惑：课八年级数学下册第9章二次根式9.2二次根式的加法与减法（总第 40课时） （总第 40 课时）班级： 姓名： 成绩：二、反思拓展：（教师寄语：只有不断反思，才能不断进步！）1、计算：⑴32-8+1221+5051 ⑵x 932-（46x -x x 12）2、当a=15时，秋代数式32-a -a 5+37+a 的值。
三、系统总结：（教师寄语：只有不断总结，才能有所提高。
）本节课主要学习了哪些知识？你可以用多种形式来总结。
四、达标检测：（教师寄语：要对自己充满自信！）（共10分）1、下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）（1分）A. 12B. 23C. 32 D. 18 2、下列计算正确的是（ ）（1分）A. 2+3=5B. 3+2=23C. 8-2=2D. 3-2=13、计算：⑴12-33 ⑵72-76。