安培力和洛伦兹力的关系

24．（20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。

（1）一段横截面积为S 、长为l 的直导线，单位体积内有n 个自由电子，电子电量为e 。

该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v 。

（a ）求导线中的电流I ；（b ）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B ，导线所受安培力大小为F 安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F ，推导F 安=F 。

（2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量。

为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。

利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）24．（1）（a ）设Δt 时间内通过导体横截面的电量为Δq ，由电流定义，有：neSv t t neSv t q I =∆∆=∆∆=（b ）每个自由电子所受的洛仑兹力：F 洛=evB设导体中共有N 个自由电子：N =n ·Sl导体内自由电子所受洛仑兹力大小的总和：F =NF 洛=nSl ·evB由安培力公式，有：F 安=BlI =Bl ·neSv得：F 安= F（2）一个粒子每与器壁碰撞一次，给器壁的冲量为：ΔI =2mv如答图3，以器壁上的面积S 为底，以v Δt 为高构成柱体，由题设可知，其内的粒子在Δt 时间内有1/6与器壁S 发生碰撞，碰壁粒子总数为：t nSv N ∆=61 Δt 时间内粒子给器壁的冲量为：t nSmv l N I ∆=∆=231 面积为S 的器壁受到粒子压力为：tI F ∆= 器壁单位面积所受粒子压力为：231nmv S F f == 安培力与洛仑兹力的关系杨兴国运动电荷在磁场中受到洛仑兹力，通电导线在磁场中受到安培力，导线中的电流是由大量自由电子的定向移动形成的，安培力与洛仑兹力之间必定存在密切的关系，可以认为安培力是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观实质，但不能认为安培力是导线上自由电子所受洛仑兹力的合力，也不能认为安培力是通过自由电子与导线的晶格骨架碰撞产生的．图中，通电导线置于静止的磁场之中，导线通有电流I ，长为d l 的导线元，所受的安培力为I d l ×B ． 从微观的角度看，导线中的自由电子以速度v 向右运动，在洛仑兹力f =-ev ×B 的作用下，以圆周运动的方式向导线下方侧向偏移，使导线下侧出现负电荷的积累；在导线中产生侧向的霍耳电场，霍耳电场对自由电子有作用力，阻碍自由电子作侧向运动．经过一段时间后，自由电子受到的洛仑兹力与霍耳电场力N 平衡，自由电子只沿导线方向作定向运动，此时，-eE +（-ev ×B ）=0，霍耳电场的场强t导线内有带负电的自由电子和带正电的晶格，均匀导线内部的电荷体密度为零，自由电子所带电量与晶格骨架所带电量等量异号，若单位体积内自由电子的个数为n，导线的横截面积为S，则在导线元d l中，自由电子电量为- enS d l，晶格骨架所带的电量为在讨论安培力时，可以认为品格均匀分布，排列有序．霍耳电场在导线元d l内也是均匀的，在导线元d l通有电流I时，晶格骨架所受的力为将(3.1 3.5)、(3.1 3.6)两式代入，有考虑到自由电子的定向运动与电流元的关系可将(3.1 3.7)式改写为df= Idl×B，即为(3.1 3.3)式．如果通电导线在静磁场运动，运动速度为u（图3. 13 -3）．在导线中的自由电子，相对于参考系的速度为u+v，受洛仑兹力-e (u+ v)×B，同样令在导线中产生霍耳电场．当霍耳电场的场强为E= -(u+v)×B时，自由电子没有侧向偏移，仍沿导线方向作定向运动，通电导线运动时，晶格骨架随之运动，也受到洛仑兹力，晶格骨架受到的力为通过上面的论述可以看出：无论磁场中的通电导线是否运动，导线中作定向运动的自由电子均在洛仑兹力的作用下，使导线表面的电荷分布发生变化，在导线内产生霍耳电场，平衡时，自由电子在侧向受到的合力为零，仍沿导线方向作定向运动，没有偏向偏移，不会在侧向与晶格碰撞产生安培力．带正电的晶格所受合力不为零，导线的晶格骨架所受到各力的合力即为安培力．5.2洛仑兹力与安培力的关系赵凯华比较一下洛仑兹力公式(4.41)和安培力公式(4.34)，可以看出二者很相似。

这里的qv与电流元Idl相当。

这并不是偶然的，因为运动电荷就是一个瞬时的电流元。

载流导线中包含了大量自由电子，下面我们来证明，导线受的安培力就是作用在各自由电子上洛仑兹力的宏观表现。

如图4-50所示，考虑一段长度为△l的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中（在图中用“×’’表示磁感应线方向）。

设导线中通有电流I，其方向向上。

从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。

设自由电子的定向运动速度为u，导体单位体积内的自由电子数（叫做自由电子数密度）为n，每个电子所带的电量为-e(e =1.60 ×10-19库仑)。

按照定义，电流强度是单位时间内通过导线截面的电量。

现在我们看看，在时间间隔△t内通过导线某一截面B的电量有多少。

因为在时间△t内每个电子由于定向运动而向下移动了距离u△t.我们可以在截面S之上相距u△t的地方取另一截面S’.在这两个截面之间是一段体积△V=Su△t的柱体（这里心又代表截面的面积）.不难看出，凡是处在这个柱体内的电子，在时间间隔△t后都将通过截面S;凡是位于这个柱体之外的电子，在时间间隔△t内都不会通过S.所以在时间间隔△t内通过S的电子数等于这个柱体内的全部电子数，它应是n△V=nSu△t而在时间间隔△t内通过S的电量△q应等于上述这个数目再乘以每个电子的电量e（这里只考虑数值，暂不管它的正负），即子是电流强度由于这里电子的定向速度u与磁感应强度B垂直，sir 0=1，每个电子由于定向运动受到的洛仑兹力f为euB虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子总是与金属的晶体点阵不断碰撞的，自由电子获得的动量，最终都会传递给金属的晶格骨架。

宏观上看起来将是金属导线本身受到这个力。

整个长度为△l 的这段导线的体积为S △l ，共中包含自由电子的总数为nS △l ，每个电子受力f=euB ，所以这段导线最终受到的总力为根据式(4.43)，上面括弧中的量刚好是宏观的电流强度I ，故最后得到力的大小为这正好与安培力的公式符合。

请读者自己验证一下，力的方向也是符合的。

应当指出，导体内的自由电子除定向运动之外，还有无规的热运动。

由于热运动速度v 朝各方向的几率相等，在任何一个宏观体积内平均说来，各自由电子热运动速度的矢量和∑v 为0.而洛仑兹力与v 和B 都垂直，由热运动引起的洛仑兹力朝各方向的几率也是相等的。

传递给晶格骨架后迭加起来，其宏观效果也等于0.即对于宏观的安培力F 来说，电子的热运动没有贡献，所以在上述初步的讨论中我们可以不考虑它。

梁灿斌328电流是由电荷的定向运动产生的，因此磁场中的载流导体内的每一定向运动的电荷，都要受到洛伦兹力．由于这些电荷（例如金属导体中的自由电子）受到导体的约束，而将这个力传递给导体，表现为载流导体受到一个磁场力，通常称为安培力，下面我们从运动电荷所受的洛伦兹力导出安培力公式．图5-45表示一固定不动的电流元，其电流强度为I ，横截面为dS ，长为dl ，设在电流元范围内有相同的磁感应强度B ，则金属载流导体内每一定向运动的电子所受到的洛伦兹力为v 为电子定向漂移速度，与电流密度矢量j 反向（j=-nev ，n 为导体单位体积的自由电子数），电流元内作定向运动的自由电子数N=-ndSdl ，因而电流元内作定向运动的电子所受的合力为在电流元的条件下，我们用dl 来表示其中电流密度的方向，并注意到电流强度I =jdS ，于是上式表示为： 式(5.57)为电流元Idl 内定向运动的电子所受到的合磁场力，如前所述，这个力被传递给载流导体，表现为电流元这个载流导体所受到的磁场力．通常称式(5.517)为安培力公式．式(5.57)由式(5.4)推导而得．但在历史上式(5.57)首先是由实验得出的，因此不少作者将式(5.57)做为基本实验定律.由式(5-57)原则上可以求得任意形状的电流在磁场中所受的合力，即求积分l 为在磁场中的导线长度．如果有兴趣的话，我们来探讨一下金属载流导体（例如金、铜、铝、银、镍等）中，定向运动的电子所受到的洛伦兹力是怎样成为载流导体的安培力的．现设有如讲述“霍尔效应’’时的图5-44 b 所示的载流导体，以及如图所示的电流I ，所加的外磁场B ，因为载流导体中每一个定向运动的电子，都要受到一个洛伦兹力f L显然，f L 沿+z 方向，这导至导体的A 侧出现负电荷，而在A ’侧出现正电荷的堆积，结果将在载流导体上下两侧产生一个U AA ，<0的电位差，以及一个沿+z 的横向电场E t ．最后，当E t =vB 之后，导体中定向运动的电子所受到的横向电场力与磁场力（洛伦兹力）平衡，这时，载流导体中作定向运动而形成电流的电子的运动状况，与外磁场B 不存在时相同（沿-z 方向运动）．与外磁场B 不存在时的区别，在于载流导体内部出现了横向电场E t ．我们来分析一下受力关系．载流导体中定向运动的电子在z 轴方向受到两个力的作用，一为洛伦兹力，B ev f L ⨯-=，沿+z 方向；一为稳恒电场E t 所给予的电场力f l =-e E t ，沿-z 方向。

两者等值反向，使电子不出现z 轴方向的位移．我们知道稳恒电场力遵从牛顿第三定律，因此，该电子将给A ，A’两侧的负、正电荷以一个指向+z 的反作用力．显然这个力的数值和方向正好等于外磁场给予运动电子的洛伦兹力，也就是说，外磁场作用在运动电上的洛伦兹力，通过横向电场的作用，表现为外磁场给予载流导体的安培力． 以上只讨论了磁场中静止的载流导线所受到的安培力．如果载流导体在磁场中运动，问题就会复杂些，一方面，只要导线运动方向不与安培力方向垂直，安培力就要在导线运动时做功，另一方面，安培力是洛伦兹力的宏观表现，而前面讲过洛伦兹力是永不做功的．这似乎是一个矛盾．这个问题将在第六章介绍“动生电动势概念时得到一个满意的回答，我们将看到：当载流导体运动时，安培力只是洛伦兹力的一个分量（而不是全部）的宏观表现．。