含参数的二次函数求值域问题解析

含参数的二次函数求值域问题专题

有时参数在区间上， 有时参数在解析式上，

构成了有时轴动区间定， 而有时轴定区间动

1 函数222f x --（x)=x 的定义域为[]-1，m ，值域为[]-31，，则实数m 的取值范围是[]1，3

2 已知函数2

2+3f x -（

x)=x 在区间[]0，m 上有最大值3，最小值2 ，则实数m 的取值范围是[]12，

3 已知2

2

444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]内有最大值－5，求a 的值. 解: ∵f(x)的对称轴为,20a

x =

①当;4

55)2()]([20,120max =⇒-==≤≤≤≤a a f x f a a 时即 ②当;5,54)0()]([02

max -=⇒-=--==

max ±=∴-=--==>a a f x f a 时不合；

综上，.54

5

-==

a a 或 4 已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．

解析：∵f (x )＝k (x －1)2－k ，

(1)当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；

(2)当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3.

(3)当k ＝0时，显然不成立． 故k 的取值集合为{1，－3}．

答案：{1，－3}

5 . 已知a >0，当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2

)(有最小值－1，最大值1.求使函数取

得最大值和最小值时相应的x 的值. 解: ∵a >0，∴f(x)对称轴;1)()]([,02

min b a x f x f a

x =⇒-==∴<-

= ①当;,11)1()]([,212

max 不合时即=⇒=-=≥-≤-

a f x f a a

②当,2221)2()]([,20,021max +-=⇒=-=<<<-<-a a

f x f a a 时即

∴212

-=-=a

x .

综上，当.1)]([,21;1)]([,1max min =-=-==x f x x f x 时当时

．已知函数f(x )＝4x 2－4ax ＋a 2

－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值． 解：∵f(x)＝4(x －a

2)2

－2a ＋2，对称轴为x ＝a

2

.

①当a

2

≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数，

∴f (x )min ＝f (0)＝a 2

－2a ＋2. 由a 2

－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ＜0，∴a ＝1－ 2.

②当0＜a 2＜2，即0＜a ＜4时，f (x )min ＝f (a

2

)＝－2a ＋2.

由－2a ＋2＝3，得a ＝－1

2

∉(0,4)，舍去．

③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2

－10a ＋18.

由a 2

－10a ＋18＝3，得a ＝5±10， ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.

综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.

7 设二次函数f (x )＝ax 2

＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为______．38

或－3

分析: 函数的对称轴1x

当a>0时,max ()f x =(2)f =8a+1=4, 解得a=3

8

当a<0时,max ()f x =(1)f =-a+1=4,解得a=-3

8 已知二次函数b a x ax x f ++-=2)(2

的定义域为[0，3]，而值域为[1，5]，求a 、b 的值.

[解析],610)3(,)0(,1

)1(-+=+=-

+=b f b a f a

b a a f （1）当,0时

161051

)3()]([5)0()]([min max 不合=⇒⎩⎨⎧=-+=+⇒⎩⎨

⎧====a b a b a f x f f x f （2）当,0时>a ①当,3

2

2310时即><<

a a ;1115

6101)1(5)3(==⇒⎪⎩

⎪

⎨

⎧=-+=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==b a a b a b a a f f ②当;,4

111

51)1(5)0(,32313123不合时即=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤≤≤a a b a b a a f f a a ③当,31031时即<<>a a ;943

,921

61051)3(5)0(==⇒⎩⎨⎧=-+=+⇒⎩⎨⎧==b a b a b a f f

综上，.9

43

,921==

==b a b a 或

9 、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

解：对称轴0x a =

（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-； （3）当3a >时，()min 3106y f a ==-

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；

（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2

min 1f x f a a ==-；

（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2

min 1f x f a a ==-；

（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。

10 、求函数2

43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

解：对称轴02x =

（1）当2t <即2t >时，()2

min 43y f t t t ==-+；

（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2

min 12y f t t t =+=-

解：()22

21,11,x a

x x a f x x x a x a

x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上

的对称轴分别为直线12x =-，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1

2

a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）