人教A版高中数学选修1-2同步导练练习：选修1—2综合测试
【人教A】高中数学选修1-2同步练习 +章节测试卷汇总(成套下载)
精品“正版”资料系列，由本公司独创。
旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友。
本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。
包含本课对应内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。
（人教A版）高中数学选修1-2（全册）同步练习汇总+章节测试卷汇总课时作业31一、选择题1．[2013·北京通州一模]对两个变量y和x进行回归分析, 得到一组样本数据: (x1, y1), (x2, y2), …, (x n, y n), 则下列说法中不正确的是()A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x , y ) B ．残差平方和越小的模型, 拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果, R 2的值越小, 说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362, 则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析: R 2的值越大, 说明残差平方和越小, 也就是说模型的拟合效果越好, 故选C. 答案: C2．[2014·烟台高二检测]甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表:甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 由表可知, 丁同学的相关系数r 最大且残差平方和m 最小, 故丁同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性．答案: D3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析, 分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2, 如下表:甲 乙 丙 丁散点图残差平方和115106124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 根据线性相关知识知, 散点图中各样本点条状分布越均匀, 同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据, R 2表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数, 则残差平方和越小, R 2越大), 由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好, 由试验结果知丁要好些．答案: D4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4, 据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析: 由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72, y ＝49＋26＋39＋544＝42, 因为点(72, 42)在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上, 且b ^为9.4, 所以42＝9.4×72＋a ^, 解得a ^ ＝9.1, 故回归方程为y ^ ＝9.4x ＋9.1, 令x ＝6得y ^＝65.5, 选B.答案: B 二、填空题5．面对竞争日益激烈的消费市场, 众多商家不断扩大自己的销售市场, 以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位: 千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析, 结果如下: x ＝72, y ＝71, ∑i ＝16x 2i ＝79, ∑i ＝16x i y i ＝1481.b ^ ＝1481－6×72×7179－6×(72)2≈－1.8182,a ^＝71－(－1.8182)×72≈77.36, 则销量每增加1000箱, 单位成本下降__________元．解析: 由上表可得, y ^＝－1.8182x ＋77.36, 销量每增加1千箱, 则单位成本下降1.8182元．答案: 1.81826．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5), 则回归直线方程是________．解析: 由斜率的估计值为 1.23, 且回归直线一定经过样本点的中心(4,5), 可得y ^－5＝1.23(x －4),即y ^＝1.23x ＋0.08. 答案: y ^ ＝1.23x ＋0.087．[2014·宁夏吴忠模拟]某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系, 随机统计了某4天的用电量与当天气温, 并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2, 预测当气温为－4℃时, 用电量的度数约为________．解析: x ＝10, y ＝40, 回归方程过点(x , y ), ∴40＝－2×10＋a ^. ∴a ^＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4, ∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案: 68 三、解答题8．某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解: (1)由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升, 下面来求回归直线方程, 先将数据预处理如下:x ＝0, y ＝3.2, b ^＝6.5,a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知, 所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2006)＋a ^＝6.5(x －2006)＋3.2. 即y ^ ＝6.5(x －2006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程, 可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．9．[2013·重庆高考]从某居民区随机抽取10个家庭, 获得第i 个家庭的月收入x i (单位: 千元)与月储蓄y i (单位: 千元)的数据资料, 算得∑i ＝110x i ＝80, ∑i ＝110y i ＝20, ∑i ＝110x i y i ＝184, ∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^;(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元, 预测该家庭的月储蓄． 附: 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中,b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2, a ^ ＝y －b ^x ,其中x , y 为样本平均值, 线性回归方程也可写为y ^ ＝b ^ x ＋a ^.解: (1)由题意知n ＝10, x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8, y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2, 又∑i ＝1n x 2i －n x 2＝720－10×82＝80, ∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24,由此得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝2480＝0.3, a ^ ＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4, 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3>0), 故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．课时作业32一、选择题1．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k , 下列说法正确的是( ) A. k 越大, “X 与Y 有关系”的可信程度越小 B. k 越小, “X 与Y 有关系”的可信程度越小C. k越接近于0, “X与Y没有关系”的可信程度越小D. k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越大解析: k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越小, 则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小, “X与Y有关系”的可信程度越小．答案: B2．分类变量X和Y的列联表如下:A. ad－bc越小, 说明X与Y关系越弱B. ad－bc越大, 说明X与Y关系越弱C. (ad－bc)2越大, 说明X与Y关系越强D. (ad－bc)2越接近于0, 说明X与Y关系越强解析: 对于同一样本, |ad－bc|越小, 说明X与Y之间关系越弱; |ad－bc|越大, 说明X与Y 之间的关系越强．答案: C3．[2014·广州高二检测]利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验, 现通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据, 得到K2≈5.12, 并且知道P(K2≥3.841)≈0.05, 那么下列结论中正确的是()A．100个高中生中只有5个不喜欢数学B．100个高中生中只有5个喜欢数学C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程有关系D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程没有关系解析: 当K2≈5.12时, P(K2≥3.841)≈0.05, 说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为高中生性别与喜欢数学课程有关系．答案: C4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查, 数据如表( ) A ．0.01 B ．0.005 C ．0.025 D ．0.001解析: K 2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025. ∴犯错误的概率不超过0.025. 答案: C 二、填空题5．下列说法正确的是__________．①对事件A 与B 的检验无关, 即两个事件互不影响 ②事件A 与B 关系越密切, K 2就越大③K 2的大小是判断事件A 与B 是否相关的唯一数据 ④若判定两事件A 与B 有关, 则A 发生B 一定发生解析: 对于①, 事件A 与B 的检验无关, 只是说两事件的相关性较小, 并不一定两事件互不影响, 故①错．②是正确的．对于③, 判断A 与B 是否相关的方式很多, 可以用列联表, 也可以借助于概率运算, 故③错．对于④, 两事件A 与B 有关, 说明两者同时发生的可能性相对来说较大, 但并不是A 发生B 一定发生, 故④错．答案: ②6．在一次独立性检验中, 有300人按性别和是否色弱分类如下表:由此表计算得解析: 代入K 2公式计算即可． 答案: 3.247．[2013·广东湛江一模]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对该班50名学生进行了问卷调查, 得到了如下的2×2列联表:(请用百分数表示)．附: K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析: K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 答案: 0.5% 三、解答题8．为了调查胃病是否与生活规律有关, 在某地对540名40岁以上的人进行了调查, 结果是: 患胃病者生活不规律的共60人, 患胃病者生活规律的共20人, 未患胃病者生活不规律的共260人, 未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表;(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗? 为什么?解: (1)由已知可列2×2列联表:(2)k ＝540×(20×260－200×60)2220×320×80×460≈9.638.因为9.638>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．9．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系, 随机抽取了189名员工进行调查, 所得数据如下表所示:合计86103189解: 计算K2的观测值k＝189×(54×63－32×40)2≈10.759.94×95×86×103由于10.759>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下, 可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析: 由归纳推理的定义与特征可知选项A错误, 选项B, C, D均正确, 故选A.答案: A2．定义A*B, B*C, C*D, D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D, A*C的分别是()A. 1,2B. 1,3C. 2,4D. 1,4解析: 由①②③④可归纳得出: 符号“*”表示图形的叠加, 字母A 代表竖线, 字母B 代表大矩形, 字母C 代表横线, 字母D 代表小矩形, ∴A *D 是图2, A *C 是图4.答案: C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是( )解析: 因上行偶数是首项为2, 公差为4的等差数列, 若2014在上行, 则2014＝2＋(n －1)·4⇒n ＝504∈N *.故2014在上行, 又因为在上行偶数的箭头为, 故选A.答案: A4．观察(x 2)′＝2x , (x 4)′＝4x 3, (cos x )′＝－sin x , 由归纳推理可得: 若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x ), 记g (x )为f (x )的导函数, 则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析: 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容, 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,∴g (－x )＝－g (x ), 选D, 体现了对学生观察能力, 概括归纳推理的能力的考查． 答案: D 二、填空题5．观察下列等式: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2, …根据上述规律, 第四个等式．．．．．为__________． 解析: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2, …, 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2. 答案: 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n }是首项为1的正数项数列, 且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *), 经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析: 由首项为1, 得a 1＝1;由n ＝1时, 由2a 22－1＋a 2＝0, 得a 2＝12;当n ＝2时, 由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0, 即6a 23＋a 3－1＝0, 解得a 3＝13; …归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n (n ∈N *)．答案: a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10, …, 第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n , k )(k ≥3), 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ,正方形数 N (n,4)＝n 2, 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ,六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ,............可推测N (n , k )的表达式, 由此计算N (10,24)＝________.解析: 首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分, 化成分母统一为2的形式如下:三角形数: N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2;正方形数: N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n2;五边形数: N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n 2;六边形数: N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2＝(6－2)n 2＋(4－6)n2;....根据以上规律总结, 推测: N (n , k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案: 1000 三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1, 且a 2＝6, 设b n ＝a n ＋n (n ∈N *), 猜想数列{b n }的通项公式．解: a 1＝1, a 2＝6, a 3＝15, a 4＝28, b 1＝2, b 2＝8, b 3＝18, b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1; a 2＝6＝2×3; a 3＝15＝3×5; a 4＝28＝4×7; …, 猜想a n ＝n ×(2n －1), 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式:sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34;sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34;sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34,分析以上各式的共同特点, 根据其特点写出能反映一般规律的等式, 并对等式是否正确加以证明．解: 反映一般规律的等式是:sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的, 证明如下: sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.课时作业34一、选择题1．下列平面图形中, 与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析: 只有平行四边形与平行六面体较为接近．答案: C2．类比平面内正三角形的“三边相等, 三内角相等”的性质, 可推知正四面体的下列哪些性质, 你认为比较恰当的是()①各棱长相等, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③解析: 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比, 正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比, 故①②③都对．答案: C3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间, 结论仍然正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交, 则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直, 则也与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交, 则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直, 则这两条直线平行解析: 推广到空间以后, 对于A, 还有可能异面, 对于C还有可能异面, 对于D, 还有可能异面．答案: B4．已知结论: “在正三角形ABC中, 若D是BC边的中点, G是三角形ABC的重心, 则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间, 则有结论: 在棱长都相等的四面体A－BCD中, 若ΔBCD的中心为M, 四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等, 则AOOM＝() A. 1 B. 2C. 3D. 4解析: 面的重心类比几何体重心, 平面类比空间, AG GD ＝2类比AOOM ＝3, 故选C. 答案: C 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中, 二元一次方程Ax ＋By ＝0(A , B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示__________________．解析: 由方程的特点可知: 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面, “过原点”类比仍为“过原点”, 因此应得到: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示过原点的平面．答案: 过原点的平面6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论: 若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1, 外接圆面积为S 2, 则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论: 若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1, 外接球体积为V 2, 则V 1V 2＝________.解析: 平面几何中, 圆的面积与圆半径的平方成正比, 而在空间几何中, 球的体积与半径的立方成正比, 设正四面A －BCD 的棱长为a , 可得其内切球的半径为612a , 外接球的半径为64a , 则V 1V 2＝127. 答案:1277．给出下列推理:(1)三角形的内角和为(3－2)·180°, 四边形的内角和为(4－2)·180°, 五边形的内角和为(5－2)·180°, …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°;(2)三角函数都是周期函数, y ＝tan x 是三角函数, 所以y ＝tan x 是周期函数;(3)狗是有骨骼的; 鸟是有骨骼的; 鱼是有骨骼的; 蛇是有骨骼的; 青蛙是有骨骼的, 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物, 所以, 所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线, 则这两条直线互相平行, 那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面, 则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)解析: 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理, (4)是类比推理, 而(2)不符合合情推理的定义, 所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案: (1)(3)(4) 三、解答题8．在公差为3的等差数列{a n }中, 若S n 是{a n }的前n 项和, 则有S 20－S 10, S 30－S 20, S 40－S 30也成等差数列, 且公差为300.类比上述结论, 相应的在公比为4的等比数列{b n }中, 若T n 是b n 的前n 项积, 试得出类似结论并证明．解: 类比等差数列可得等比数列对应性质:在公比为4的等比数列{b n }中, T n 表示b n 的前n 项积, 则T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30也成等比数列且公比为4100.证明如下: T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －1＝b n 1q0＋1＋2＋…＋(n －1)＝＝,∴T 10＝b 101·445, T 20＝b 2014190, T 30＝b 3014435, T 40＝b 4014780. ∴T 20T 10＝b 101·4145, T 30T 20＝b 1014245, T 40T 30＝b 1014345. 而b 1014245b 1014145＝4100, b 1014345b 1014245＝4100, ∴T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质: 若M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点, 点P 是椭圆上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质, 并加以证明．解: 类似的性质为: 若M , N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点, 点P 是双曲线上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, 那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明: 设点M , P 的坐标分别为(m , n ), (x , y ), 则N (－m , －n )． 因为点M (m , n )在已知的双曲线上, 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2, 同理, y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．课时作业35一、选择题1．已知在△ABC 中, ∠A ＝30°, ∠B ＝60°, 求证: a <b . 证明:∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b .画框格部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析: 本题应用了三段论．大前提是大角对大边, 小前提是∠A <∠B .故选B. 答案: B2．下面几种推理是演绎推理的是( )A. 全等三角形的对应角相等, 如果△ABC ≌△A ′B ′C ′, 则A ＝A ′B. 某校高三(1)班有55人, (2)班有54人, (3)班有52人, 由此得高三各班的人数均超过50人C. 由平面内三角形的性质, 推测空间中四面体的性质D. 在数列{a n }中, a 1＝1, a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2), 由此猜想出{a n }的通项公式解析: B 项是归纳推理, C 项是类比推理, D 项是归纳推理． 答案: A3．指数函数都是增函数, 大前提 函数y ＝(1e )x 是指数函数, 小前提所以函数y ＝(1e )x 是增函数．结论上述推理错误的原因是( ) A. 大前提不正确B. 小前提不正确C. 推理形式不正确D. 大、小前提都不正确解析: 大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)． 在a >1时是增函数, 而在0<a <1时为减函数．故选A.答案: A4．在R 上定义运算⊗: x ⊗y ＝x (1－y ), 若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立, 则( )A. －1<a <1B. 0<a <2C. －12<a <32D. －32<a <12解析: (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意x 恒成立 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]<1对任意x 恒成立 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意x 恒成立 ⇔Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0⇔－12<a <32.答案: C 二、填空题5．已知推理: “因为△ABC 的三边长依次为3,4,5, 所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论, 则大前提是________．解析: 大前提: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形; 小前提: △ABC 的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52; 结论: △ABC 是直角三角形．答案: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形6．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集, 则实数a 的取值范围为________． 解析: ①a ＝0时, 有2<0, 显然此不等式解集为∅.②a ≠0时须有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2. ∴0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案: [0,2]7．有些导演留大胡子, 因此, 有些留大胡子的人是大嗓门, 为使上述推理成立, 请补充大前提________________．解析: 利用“三段论”推理． 大前提: 所有导演是大嗓门, 小前提: 有些导演留大胡子, 结论: 有些留大胡子的人是大嗓门． 答案: 所有导演是大嗓门 三、解答题8．如下图所示, 在梯形ABCD 中, AB ＝DC ＝AD , AC 和BD 是对角线．求证: CA平分∠BCD.证明: 等腰三角形两底角相等(大前提),△DAC是等腰三角形, DA, DC是两腰(小前提),∴∠1＝∠2(结论)．两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提),∠1和∠3是平行线AD, BC被AC截出的内错角(小前提),∴∠1＝∠3(结论)．等于同一个量的两个量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1(小前提),∴∠2＝∠3(结论),即CA平分∠BCD.9．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数;(2)判断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5, －2]上的单调性, 并加以证明．(1)证法一: 任取x1, x2∈(－∞, 1], x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2),∵x1<x2≤1,∴x2＋x1－2<0.∴f(x1)－f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2)．于是, 根据“三段论”可知,f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数．证法二: ∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1),当x∈(－∞, 1)时, x－1<0,∴－2(x－1)>0.∴f′(x)>0在x∈(－∞, 1)上恒成立．故f(x)在(－∞, 1]上是增函数．(2)解: f(x)在区间[－5, －2]上单调递增, 证明如下:∵由(1)可知f(x)在(－∞, 1]上是增函数,而[－5, －2]是区间(－∞, 1]的子区间,∴f(x)在[－5, －2]上是增函数．课时作业36一、选择题1．命题“对于任意角θ, cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明: “cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”, 其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析: 从证明过程来看, 是从已知条件入手, 经过推导得出结论, 符合综合法的证明思路．答案: B2．欲证2－3<6－7成立, 只需证()A. (2－3)2<(6－7)2B. (2－6)2<(3－7)2C. (2＋7)2<(3＋6)2D. (2－3－6)2<(－7)2解析: A中, 2－3<0, 6－7<0平方后不等价; B、D与A情况一样; 只有C项, 2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案: C3．在△ABC中, A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件解析: ∵A>B⇔a>b⇔sin A>sin B(由正弦定理得), 又cos2B>cos2A⇔1－2sin2B>1－2sin2A ⇔sin2B<sin2A⇔sin B<sin A.∴A>B⇔cos2B>cos2A.故选C.答案: C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数, 且a b <cd , 则( )A. a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋cb ＋d <a b <cdC. a b <c d <a ＋c b ＋dD. 以上均可能解析: 先取特值检验, ∵a b <cd ,可取a ＝1, b ＝3, c ＝1, d ＝2, 则a ＋cb ＋d ＝25, 满足a b <a ＋c b ＋d <cd .∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d , ∵a 、b 、c 、d 为正实数,∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c ), 即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <cd 成立,∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d . 故A 正确, D 不正确． 答案: A 二、填空题5．设n ∈N , a ＝n ＋4－n ＋3, b ＝n ＋2－n ＋1, 则a , b 的大小关系是________． 解析: 要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小, 即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号, ∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0, ∴n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1. 答案: a <b 6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2), q ＝2－a 2＋4a －2(a >2), 则p 与q 的大小关系是________． 解析: p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4,－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2, ∴q <22＝4≤p .答案: p >q7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立, 则实数a 的取值范围是________．解析: 当n 为偶数时, a <2－1n , 而2－1n ≥2－12＝32, ∴a <32.当n 为奇数时, a >－2－1n , 而－2－1n <－2,∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.答案: [－2, 32)三、解答题8．设a , b >0, 且a ≠b , 求证: a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明: 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab . 注意到a , b ∈R ＋, a ＋b >0, 由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.9．证明: 若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, 则b 2－aca < 3.证明: ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, ∴a >0, c <0. 要证b 2－ac a <3,只需证b 2－ac <3a , 即证b 2－ac <3a 2. 因为b ＝－a －c ,故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2, 即证2a 2－ac －c 2>0, 即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a ＋c >a ＋b ＋c ＝0, a －c >0, ∴(2a ＋c )(a －c )>0成立． ∴原不等式成立．课时作业37一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中, 正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解解析: 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”, 所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”, 故应选C.答案: C2．设a, b, c为正实数, P＝a＋b－c, Q＝b＋c－a, R＝c＋a－b, 则“PQR>0”是“P, Q, R 同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 首先若P, Q, R同时大于零, 则必有PQR>0成立．其次, 若PQR>0, 则P, Q, R同时大于零或其中两个负数一个正数, 不妨假设P<0, Q<0, ∴a＋b－c<0, b＋c－a<0, ∴b<0与b为正实数矛盾, 故P, Q, R都大于0.故选C.答案: C3．已知f(x)是R上的增函数, a, b∈R, 下列四个命题:①若a＋b≥0, 则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b);②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b), 则a＋b≥0;③若a＋b<0, 则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b);④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b), 则a＋b<0.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析: 易知①③正确．②用反证法: 假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a, ∴f(a)<f(－b), f(b)<f(－a), ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)与条件矛盾, 故a＋b≥0, 从而②为真命题, ④类似于②用反证法．故选D.答案: D4．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值, 则( ) A. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C. △A 1B 1C 1是钝角三角形, △A 2B 2C 2是锐角三角形D. △A 1B 1C 1是锐角三角形, △A 2B 2C 2是钝角三角形解析: 因为正弦值在(0°, 180°)内是正值, 所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形, 并设cos A 1＝sin A 2, 则cos A 1＝cos(90°－∠A 2), 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2, cos C 1＝sin C 2, 则有∠B 1＝90°－∠B 2, ∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°,∴(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°, 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立．故选D. 答案: D 二、填空题5．用反证法证明“f (x )＝x 2＋px ＋q , 求证: |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于12”时的假设为________．解析: “至少有一个”的反设词为“一个也没有”． 答案: 假设|f (1)|, |f (2)|, |f (3)|都小于126．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤: ①∠A ＋∠B ＋∠C >180°, 这与三角形内角和为180°矛盾, 故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△ABC 中有两个钝角, 不妨设∠A >90°, ∠B >90°. 上述步骤的正确顺序为__________．解析: 根据反证法知, 上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案: ③①②7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根, 则实数a 的取值范围是______．解析: 假设两个一元二次方程均无实根, 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}, 所以其补集{a |a ≤－2或a ≥ －1}即为所求的a 的取值范围． 答案: {a |a ≤－2或a ≥－1} 三、解答题8．设{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, c n ＝a n ＋b n , 证明数列{c n }不是等比数列． 证明: 假设数列{c n }是等比数列, 利用{a n }, {b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾, 即知假设不成立．假设数列{c n }是等比数列, 则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①∵{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, 设公比分别为p , q , ∴a 2n ＝a n －1a n ＋1, b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理, 得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n (p q ＋q p ),即2＝p q ＋q p.②当p , q 异号时, p q ＋qp<0, 与②相矛盾;当p , q 同号时, 由于p ≠q , ∴p q ＋qp >2, 与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．9．已知a , b , c 是互不相等的实数, 求证: 由y ＝ax 2＋2bx ＋c , y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c , y ＝bx 2＋2cx ＋a , y ＝cx 2＋2ax ＋b , 得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0, 且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0, 且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0, ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0. ∴a ＝b ＝c .这与题设a , b , c 互不相等矛盾,因此假设不成立, 从而命题得证．课时作业38一、选择题1．下列各数中, 纯虚数的个数是()3＋7, 23i,0i,8＋3i, (2＋3)i,0.618A. 0B. 1C. 2D. 3解析: 根据纯虚数的定义知, 23i, (2＋3)i是纯虚数．答案: C2．复数(1＋3)i的虚部是()A．1 B. 3C．0D．1＋ 3解析: (1＋3)i为纯虚数, 故虚部为1＋ 3.答案: D3．下列命题中, 正确命题的个数是()①若x, y∈C, 则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1;②若a, b∈R且a>b, 则a＋i>b＋i;③若x2＋y2＝0, 则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3解析: ①由于x, y∈C,所以x＋y i不一定是复数的代数形式, 不符合复数相等的充要条件, ①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题．③当x＝1, y＝i时,x2＋y2＝0成立,∴③是假命题． 答案: A4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数, 则θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) 解析: 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．答案: B 二、填空题5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数, 则a 的取值范围是________．解析: 若复数为纯虚数, 则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1.故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案: (－∞, －1)∪(－1, ＋∞)6．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1, 则实数x 的值(或取值范围)是________．解析: 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2. 答案: －27．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i, 则实数x 、y 的值分别为________、________. 解析: 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.答案: 3 －2 三、解答题8．已知M ＝{1, (m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}, P ＝{－1,1,4i}, 若M ∪P ＝P , 求实数m 的值． 解: ∵M ∪P ＝P , ∴M ⊆P .即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1; 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.9．当实数m 为何值时, z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数．解: 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3, 虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 为实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 为虚数． (3)复数z 是纯虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3且m ≠－3，m ≠－2且m ≠－3 ⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 为纯虚数．课时作业39一、选择题。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
高二数学人教选修1-2同步练习：综合检测(一) pdf版含解析
论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为
( )
A．②①③
B．③①②
C．①②③
D．②③①
6． 已知 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋…＋fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn)不等于
( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
[ ] nn＋1
B．f 2 C．n(n＋1)
D．n(n＋1)f(1)
1 ④当 z 是纯虚数时，z＋z∈R. 三、解答题
2m2－3m－2 17．m 取何实数值时，复数 z＝ m2－25 ＋(m2＋3m－10)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚 数？
n＋2 18．数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n Sn (n∈N*)，证明：
{ }Sn
综合检测(一)
一、选择题
1 1． 在复平面内，复数 z＝2＋i对应的点位于
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2． 观察按下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第 n(n∈N*)个等式应为 ( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
此命题成立，用反证法证明如下：
假设 a＋b<0，则 a<－b，从而 f(a)<f(－b)．
同理可得 f(b)<f(－a)，
即 f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，
这与 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，
故 a＋b≥0 成立，即(1)中命题的逆命题成立．
B．9(n－1)＋n＝10n－9
【人教A版】2021年高中数学选修1-2(全集)同步练习汇总+章节测试卷汇总
（人教A版）高中数学选修1-2（全册）同步练习汇总+章节测试卷汇总课时作业31一、选择题1．[2013·北京通州一模]对两个变量y 和x 进行回归分析, 得到一组样本数据: (x 1, y 1), (x 2, y 2), …, (x n , y n ), 则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x , y ) B ．残差平方和越小的模型, 拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果, R 2的值越小, 说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362, 则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析: R 2的值越大, 说明残差平方和越小, 也就是说模型的拟合效果越好, 故选C. 答案: C2．[2014·烟台高二检测]甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表:A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 由表可知, 丁同学的相关系数r 最大且残差平方和m 最小, 故丁同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性．答案: D3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析, 分别得到散点图与残差平方和 i ＝1n(y i －y ^i )2, 如下表:A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 根据线性相关知识知, 散点图中各样本点条状分布越均匀, 同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据, R 2表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数, 则残差平方和越小, R 2越大), 由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好, 由试验结果知丁要好些．答案: D4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4, 据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析: 由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72, y ＝49＋26＋39＋544＝42, 因为点(72, 42)在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上, 且b ^为9.4, 所以42＝9.4×72＋a ^, 解得a ^ ＝9.1, 故回归方程为y ^ ＝9.4x ＋9.1, 令x ＝6得y ^＝65.5, 选B.答案: B 二、填空题5．面对竞争日益激烈的消费市场, 众多商家不断扩大自己的销售市场, 以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位: 千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析, 结果如下: x ＝72, y ＝71, ∑i ＝16x 2i ＝79, ∑i ＝16x i y i ＝1481.b ^ ＝1481－6×72×7179－6×(72)2≈－1.8182,a ^ ＝71－(－1.8182)×72≈77.36, 则销量每增加1000箱, 单位成本下降__________元．解析: 由上表可得, y ^＝－1.8182x ＋77.36, 销量每增加1千箱, 则单位成本下降1.8182元．答案: 1.81826．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5), 则回归直线方程是________．解析: 由斜率的估计值为 1.23, 且回归直线一定经过样本点的中心(4,5), 可得y ^－5＝1.23(x －4),即y ^＝1.23x ＋0.08. 答案: y ^ ＝1.23x ＋0.087．[2014·宁夏吴忠模拟]某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系, 随机统计了某4天的用电量与当天气温, 并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2, 预测当气温为－4℃时, 用电量的度数约为________．解析: x ＝10, y ＝40, 回归方程过点(x , y ), ∴40＝－2×10＋a ^. ∴a ^＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4, ∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案: 68 三、解答题8．某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解: (1)由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升, 下面来求回归直线方程, 先将数据预处理如下:x ＝0, y ＝3.2, b ^＝6.5,a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知, 所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2006)＋a ^＝6.5(x －2006)＋3.2. 即y ^ ＝6.5(x －2006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程, 可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．9．[2013·重庆高考]从某居民区随机抽取10个家庭, 获得第i 个家庭的月收入x i (单位: 千元)与月储蓄y i (单位: 千元)的数据资料, 算得∑i ＝110x i ＝80, ∑i ＝110y i ＝20, ∑i ＝110x i y i ＝184, ∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^ ; (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元, 预测该家庭的月储蓄． 附: 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中,b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2, a ^ ＝y －b ^x ,其中x , y 为样本平均值, 线性回归方程也可写为y ^ ＝b ^ x ＋a ^.解: (1)由题意知n ＝10, x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8, y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2, 又∑i ＝1n x 2i －n x 2＝720－10×82＝80, ∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24,由此得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝2480＝0.3, a ^ ＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4, 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3>0), 故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．课时作业32一、选择题1．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k, 下列说法正确的是()A. k越大, “X与Y有关系”的可信程度越小B. k越小, “X与Y有关系”的可信程度越小C. k越接近于0, “X与Y没有关系”的可信程度越小D. k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越大解析: k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越小, 则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小, “X与Y有关系”的可信程度越小．答案: B2．分类变量X和Y的列联表如下:A. ad－bc越小, 说明X与Y关系越弱B. ad－bc越大, 说明X与Y关系越弱C. (ad－bc)2越大, 说明X与Y关系越强D. (ad－bc)2越接近于0, 说明X与Y关系越强解析: 对于同一样本, |ad－bc|越小, 说明X与Y之间关系越弱; |ad－bc|越大, 说明X与Y 之间的关系越强．答案: C3．[2014·广州高二检测]利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验, 现通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据, 得到K 2≈5.12, 并且知道P (K 2≥3.841)≈0.05, 那么下列结论中正确的是( )A ．100个高中生中只有5个不喜欢数学B ．100个高中生中只有5个喜欢数学C ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程有关系D ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程没有关系解析: 当K 2≈5.12时, P (K 2≥3.841)≈0.05, 说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为高中生性别与喜欢数学课程有关系．答案: C4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查, 数据如表( ) A ．0.01 B ．0.005 C ．0.025 D ．0.001解析: K 2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025. ∴犯错误的概率不超过0.025. 答案: C 二、填空题5．下列说法正确的是__________．①对事件A 与B 的检验无关, 即两个事件互不影响 ②事件A 与B 关系越密切, K 2就越大③K 2的大小是判断事件A 与B 是否相关的唯一数据 ④若判定两事件A 与B 有关, 则A 发生B 一定发生解析: 对于①, 事件A 与B 的检验无关, 只是说两事件的相关性较小, 并不一定两事件互不影响, 故①错．②是正确的．对于③, 判断A 与B 是否相关的方式很多, 可以用列联表, 也可以借助于概率运算, 故③错．对于④, 两事件A与B有关, 说明两者同时发生的可能性相对来说较大, 但并不是A发生B一定发生, 故④错．答案: ②6．在一次独立性检验中, 有300人按性别和是否色弱分类如下表:由此表计算得解析: 代入K2公式计算即可．答案: 3.247．[2013·广东湛江一模]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对该班50名学生进行了问卷调查, 得到了如下的2×2列联表:(请用百分数表示)．附: K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析: K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．答案: 0.5%三、解答题8．为了调查胃病是否与生活规律有关, 在某地对540名40岁以上的人进行了调查, 结果是: 患胃病者生活不规律的共60人, 患胃病者生活规律的共20人, 未患胃病者生活不规律的共260人, 未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表;(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗? 为什么?解: (1)由已知可列2×2列联表:(2)k ＝540×(20×260－200×60)2220×320×80×460≈9.638.因为9.638>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．9．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系, 随机抽取了189名员工进行调查, 所得数据如下表所示:解: 计算K 2的观测值k ＝ 189×(54×63－32×40)294×95×86×103≈10.759.由于10.759>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下, 可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析: 由归纳推理的定义与特征可知选项A错误, 选项B, C, D均正确, 故选A. 答案: A2．定义A*B, B*C, C*D, D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D, A*C的分别是()A. 1,2B. 1,3C. 2,4D. 1,4解析: 由①②③④可归纳得出: 符号“*”表示图形的叠加, 字母A代表竖线, 字母B代表大矩形, 字母C代表横线, 字母D代表小矩形, ∴A*D是图2, A*C是图4.答案: C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是()解析: 因上行偶数是首项为2, 公差为4的等差数列, 若2014在上行, 则2014＝2＋(n －1)·4⇒n ＝504∈N *.故2014在上行, 又因为在上行偶数的箭头为, 故选A.答案: A4．观察(x 2)′＝2x , (x 4)′＝4x 3, (cos x )′＝－sin x , 由归纳推理可得: 若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x ), 记g (x )为f (x )的导函数, 则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析: 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容, 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,∴g (－x )＝－g (x ), 选D, 体现了对学生观察能力, 概括归纳推理的能力的考查． 答案: D 二、填空题5．观察下列等式: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2, …根据上述规律, 第四个等式．．．．．为__________． 解析: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2, …, 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2. 答案: 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n }是首项为1的正数项数列, 且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *), 经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析: 由首项为1, 得a 1＝1;由n ＝1时, 由2a 22－1＋a 2＝0, 得a 2＝12; 当n ＝2时, 由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0,即6a 23＋a 3－1＝0, 解得a 3＝13; …归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n (n ∈N *)．答案: a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10, …, 第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n , k )(k ≥3), 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ,正方形数 N (n,4)＝n 2, 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ,六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ,............可推测N (n , k )的表达式, 由此计算N (10,24)＝________.解析: 首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分, 化成分母统一为2的形式如下:三角形数: N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2;正方形数: N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n2;五边形数: N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n 2;六边形数: N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2＝(6－2)n 2＋(4－6)n2;....根据以上规律总结, 推测: N (n , k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案: 1000三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1, 且a 2＝6, 设b n ＝a n ＋n (n ∈N *), 猜想数列{b n }的通项公式．解: a 1＝1, a 2＝6, a 3＝15, a 4＝28, b 1＝2, b 2＝8, b 3＝18, b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1; a 2＝6＝2×3; a 3＝15＝3×5; a 4＝28＝4×7; …, 猜想a n ＝n ×(2n －1), 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式:sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34;sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34;sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34,分析以上各式的共同特点, 根据其特点写出能反映一般规律的等式, 并对等式是否正确加以证明．解: 反映一般规律的等式是:sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的, 证明如下: sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.课时作业34一、选择题1．下列平面图形中, 与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析: 只有平行四边形与平行六面体较为接近．答案: C2．类比平面内正三角形的“三边相等, 三内角相等”的性质, 可推知正四面体的下列哪些性质, 你认为比较恰当的是()①各棱长相等, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③解析: 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比, 正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比, 故①②③都对．答案: C3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间, 结论仍然正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交, 则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直, 则也与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交, 则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直, 则这两条直线平行解析: 推广到空间以后, 对于A, 还有可能异面, 对于C还有可能异面, 对于D, 还有可能异面．答案: B4．已知结论: “在正三角形ABC 中, 若D 是BC 边的中点, G 是三角形ABC 的重心, 则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间, 则有结论: 在棱长都相等的四面体A －BCD 中, 若ΔBCD 的中心为M , 四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等, 则AOOM＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析: 面的重心类比几何体重心, 平面类比空间, AG GD ＝2类比AO OM ＝3, 故选C. 答案: C 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中, 二元一次方程Ax ＋By ＝0(A , B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示__________________．解析: 由方程的特点可知: 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面, “过原点”类比仍为“过原点”, 因此应得到: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示过原点的平面．答案: 过原点的平面6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论: 若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1, 外接圆面积为S 2, 则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论: 若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1, 外接球体积为V 2, 则V 1V 2＝________.解析: 平面几何中, 圆的面积与圆半径的平方成正比, 而在空间几何中, 球的体积与半径的立方成正比, 设正四面A －BCD 的棱长为a , 可得其内切球的半径为612a , 外接球的半径为64a , 则V 1V 2＝127. 答案:1277．给出下列推理:(1)三角形的内角和为(3－2)·180°, 四边形的内角和为(4－2)·180°, 五边形的内角和为(5－2)·180°, …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°;(2)三角函数都是周期函数, y ＝tan x 是三角函数, 所以y ＝tan x 是周期函数;(3)狗是有骨骼的; 鸟是有骨骼的; 鱼是有骨骼的; 蛇是有骨骼的; 青蛙是有骨骼的, 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物, 所以, 所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线, 则这两条直线互相平行, 那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面, 则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)解析: 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理, (4)是类比推理, 而(2)不符合合情推理的定义, 所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案: (1)(3)(4) 三、解答题8．在公差为3的等差数列{a n }中, 若S n 是{a n }的前n 项和, 则有S 20－S 10, S 30－S 20, S 40－S 30也成等差数列, 且公差为300.类比上述结论, 相应的在公比为4的等比数列{b n }中, 若T n 是b n 的前n 项积, 试得出类似结论并证明．解: 类比等差数列可得等比数列对应性质:在公比为4的等比数列{b n }中, T n 表示b n 的前n 项积, 则T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30也成等比数列且公比为4100.证明如下: T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －1＝b n 1q0＋1＋2＋…＋(n －1)＝＝,∴T 10＝b 101·445, T 20＝b 2014190, T 30＝b 3014435, T 40＝b 4014780. ∴T 20T 10＝b 101·4145, T 30T 20＝b 1014245, T 40T 30＝b 1014345. 而b 1014245b 1014145＝4100, b 1014345b 1014245＝4100, ∴T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质: 若M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点, 点P 是椭圆上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质, 并加以证明．解: 类似的性质为: 若M , N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点, 点P 是双曲线上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, 那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明: 设点M , P 的坐标分别为(m , n ), (x , y ), 则N (－m , －n )．因为点M (m , n )在已知的双曲线上, 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2, 同理, y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．课时作业35一、选择题1．已知在△ABC 中, ∠A ＝30°, ∠B ＝60°, 求证: a <b . 证明:∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b .画框格部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析: 本题应用了三段论．大前提是大角对大边, 小前提是∠A <∠B .故选B. 答案: B2．下面几种推理是演绎推理的是( )A. 全等三角形的对应角相等, 如果△ABC ≌△A ′B ′C ′, 则A ＝A ′B. 某校高三(1)班有55人, (2)班有54人, (3)班有52人, 由此得高三各班的人数均超过50人C. 由平面内三角形的性质, 推测空间中四面体的性质D. 在数列{a n }中, a 1＝1, a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2), 由此猜想出{a n }的通项公式解析: B 项是归纳推理, C 项是类比推理, D 项是归纳推理． 答案: A3．指数函数都是增函数, 大前提 函数y ＝(1e )x 是指数函数, 小前提所以函数y ＝(1e )x 是增函数．结论上述推理错误的原因是( ) A. 大前提不正确B. 小前提不正确C. 推理形式不正确D. 大、小前提都不正确解析: 大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)． 在a >1时是增函数, 而在0<a <1时为减函数．故选A. 答案: A4．在R 上定义运算⊗: x ⊗y ＝x (1－y ), 若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立, 则( )A. －1<a <1B. 0<a <2C. －12<a <32D. －32<a <12解析: (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意x 恒成立 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]<1对任意x 恒成立 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意x 恒成立 ⇔Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0⇔－12<a <32.答案: C 二、填空题5．已知推理: “因为△ABC 的三边长依次为3,4,5, 所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论, 则大前提是________．解析: 大前提: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形; 小前提: △ABC 的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52; 结论: △ABC 是直角三角形．答案: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形6．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集, 则实数a 的取值范围为________．解析: ①a ＝0时, 有2<0, 显然此不等式解集为∅.②a ≠0时须有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2. ∴0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案: [0,2]7．有些导演留大胡子, 因此, 有些留大胡子的人是大嗓门, 为使上述推理成立, 请补充大前提________________．解析: 利用“三段论”推理． 大前提: 所有导演是大嗓门, 小前提: 有些导演留大胡子, 结论: 有些留大胡子的人是大嗓门． 答案: 所有导演是大嗓门 三、解答题8．如下图所示, 在梯形ABCD 中, AB ＝DC ＝AD , AC 和BD 是对角线．求证: CA 平分∠BCD .证明: 等腰三角形两底角相等(大前提), △DAC 是等腰三角形, DA , DC 是两腰(小前提), ∴∠1＝∠2(结论)．两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提), ∠1和∠3是平行线AD , BC 被AC 截出的内错角(小前提), ∴∠1＝∠3(结论)．等于同一个量的两个量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1(小前提),∴∠2＝∠3(结论),即CA平分∠BCD.9．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数;(2)判断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5, －2]上的单调性, 并加以证明．(1)证法一: 任取x1, x2∈(－∞, 1], x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2),∵x1<x2≤1,∴x2＋x1－2<0.∴f(x1)－f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2)．于是, 根据“三段论”可知,f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数．证法二: ∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1),当x∈(－∞, 1)时, x－1<0,∴－2(x－1)>0.∴f′(x)>0在x∈(－∞, 1)上恒成立．故f(x)在(－∞, 1]上是增函数．(2)解: f(x)在区间[－5, －2]上单调递增, 证明如下:∵由(1)可知f(x)在(－∞, 1]上是增函数,而[－5, －2]是区间(－∞, 1]的子区间,∴f(x)在[－5, －2]上是增函数．课时作业36一、选择题1．命题“对于任意角θ, cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明: “cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”, 其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析: 从证明过程来看, 是从已知条件入手, 经过推导得出结论, 符合综合法的证明思路．答案: B2．欲证2－3<6－7成立, 只需证()A. (2－3)2<(6－7)2B. (2－6)2<(3－7)2C. (2＋7)2<(3＋6)2D. (2－3－6)2<(－7)2解析: A中, 2－3<0, 6－7<0平方后不等价; B、D与A情况一样; 只有C项, 2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案: C3．在△ABC中, A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D ．必要不充分条件解析: ∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B (由正弦定理得), 又cos2B >cos2A ⇔1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇔sin 2B <sin 2A ⇔sin B <sin A .∴A >B ⇔cos2B >cos2A .故选C. 答案: C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数, 且a b <cd , 则( )A. a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋cb ＋d <a b <cdC. a b <c d <a ＋c b ＋dD. 以上均可能解析: 先取特值检验, ∵a b <cd ,可取a ＝1, b ＝3, c ＝1, d ＝2, 则a ＋cb ＋d ＝25, 满足a b <a ＋c b ＋d <cd .∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d , ∵a 、b 、c 、d 为正实数,∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c ), 即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <cd 成立,∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d . 故A 正确, D 不正确． 答案: A 二、填空题5．设n ∈N , a ＝n ＋4－n ＋3, b ＝n ＋2－n ＋1, 则a , b 的大小关系是________． 解析: 要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小, 即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号, ∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0, ∴n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1. 答案: a <b6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2), q ＝2－a 2＋4a －2(a >2), 则p 与q 的大小关系是________． 解析: p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4,－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2, ∴q <22＝4≤p . 答案: p >q7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立, 则实数a 的取值范围是________．解析: 当n 为偶数时, a <2－1n , 而2－1n ≥2－12＝32, ∴a <32.当n 为奇数时, a >－2－1n , 而－2－1n <－2,∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.答案: [－2, 32)三、解答题8．设a , b >0, 且a ≠b , 求证: a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明: 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab . 注意到a , b ∈R ＋, a ＋b >0, 由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.9．证明: 若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, 则b 2－aca < 3.证明: ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, ∴a >0, c <0. 要证b 2－ac a <3,只需证b 2－ac <3a , 即证b 2－ac <3a 2. 因为b ＝－a －c ,故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2, 即证2a 2－ac －c 2>0, 即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a＋c>a＋b＋c＝0, a－c>0,∴(2a＋c)(a－c)>0成立．∴原不等式成立．课时作业37一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中, 正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解解析: 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”, 所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”, 故应选C.答案: C2．设a, b, c为正实数, P＝a＋b－c, Q＝b＋c－a, R＝c＋a－b, 则“PQR>0”是“P, Q, R 同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 首先若P, Q, R同时大于零, 则必有PQR>0成立．其次, 若PQR>0, 则P, Q, R同时大于零或其中两个负数一个正数, 不妨假设P<0, Q<0, ∴a＋b－c<0, b＋c－a<0, ∴b<0与b 为正实数矛盾, 故P , Q , R 都大于0.故选C.答案: C3．已知f (x )是R 上的增函数, a , b ∈R , 下列四个命题: ①若a ＋b ≥0, 则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ); ②若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ), 则a ＋b ≥0; ③若a ＋b <0, 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ); ④若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ), 则a ＋b <0. 其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 4解析: 易知①③正确．②用反证法: 假设a ＋b <0, 则a <－b , b <－a , ∴f (a )<f (－b ), f (b )<f (－a ), ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )与条件矛盾, 故a ＋b ≥0, 从而②为真命题, ④类似于②用反证法．故选D.答案: D4．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值, 则( ) A. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C. △A 1B 1C 1是钝角三角形, △A 2B 2C 2是锐角三角形D. △A 1B 1C 1是锐角三角形, △A 2B 2C 2是钝角三角形解析: 因为正弦值在(0°, 180°)内是正值, 所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形, 并设cos A 1＝sin A 2, 则cos A 1＝cos(90°－∠A 2), 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2, cos C 1＝sin C 2, 则有∠B 1＝90°－∠B 2, ∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°,∴(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°, 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立．故选D. 答案: D 二、填空题5．用反证法证明“f (x )＝x 2＋px ＋q , 求证: |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于12”时的假设为________．解析: “至少有一个”的反设词为“一个也没有”． 答案: 假设|f (1)|, |f (2)|, |f (3)|都小于126．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤: ①∠A ＋∠B ＋∠C >180°, 这与三角形内角和为180°矛盾, 故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△ABC 中有两个钝角, 不妨设∠A >90°, ∠B >90°. 上述步骤的正确顺序为__________．解析: 根据反证法知, 上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案: ③①②7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根, 则实数a 的取值范围是______．解析: 假设两个一元二次方程均无实根, 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}, 所以其补集{a |a ≤－2或a ≥ －1}即为所求的a 的取值范围． 答案: {a |a ≤－2或a ≥－1} 三、解答题8．设{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, c n ＝a n ＋b n , 证明数列{c n }不是等比数列． 证明: 假设数列{c n }是等比数列, 利用{a n }, {b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾, 即知假设不成立．假设数列{c n }是等比数列, 则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①∵{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, 设公比分别为p , q , ∴a 2n ＝a n －1a n ＋1, b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理, 得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n (p q ＋q p ),即2＝p q ＋q p.②当p , q 异号时, p q ＋qp<0, 与②相矛盾;当p , q 同号时, 由于p ≠q , ∴p q ＋qp >2, 与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．9．已知a , b , c 是互不相等的实数, 求证: 由y ＝ax 2＋2bx ＋c , y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c,y＝bx2＋2cx＋a,y＝cx2＋2ax＋b,得Δ1＝(2b)2－4ac≤0,且Δ2＝(2c)2－4ab≤0,且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0,∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a, b, c互不相等矛盾,因此假设不成立, 从而命题得证．课时作业38一、选择题1．下列各数中, 纯虚数的个数是()3＋7, 23i,0i,8＋3i, (2＋3)i,0.618A. 0B. 1C. 2D. 3解析: 根据纯虚数的定义知, 23i, (2＋3)i 是纯虚数．答案: C2．复数(1＋3)i 的虚部是( ) A ．1 B. 3 C ．0D ．1＋ 3解析: (1＋3)i 为纯虚数, 故虚部为1＋ 3. 答案: D3．下列命题中, 正确命题的个数是( )①若x , y ∈C , 则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1; ②若a , b ∈R 且a >b , 则a ＋i>b ＋i; ③若x 2＋y 2＝0, 则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析: ①由于x , y ∈C ,所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式, 不符合复数相等的充要条件, ①是假命题． ②由于两个虚数不能比较大小, ∴②是假命题． ③当x ＝1, y ＝i 时, x 2＋y 2＝0成立, ∴③是假命题． 答案: A4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数, 则θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) 解析: 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．答案: B 二、填空题5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数, 则a 的取值范围是________．解析: 若复数为纯虚数, 则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1.故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案: (－∞, －1)∪(－1, ＋∞)6．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1, 则实数x 的值(或取值范围)是________．解析: 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2.答案: －27．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i, 则实数x 、y 的值分别为________、________. 解析: 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 答案: 3 －2 三、解答题8．已知M ＝{1, (m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}, P ＝{－1,1,4i}, 若M ∪P ＝P , 求实数m 的值． 解: ∵M ∪P ＝P , ∴M ⊆P .即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1; 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.9．当实数m 为何值时, z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数．解: 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3, 虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 为实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 为虚数． (3)复数z 是纯虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3且m ≠－3，m ≠－2且m ≠－3 ⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 为纯虚数．课时作业39一、选择题1．若32<m <2, 则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析: ∵32<m <2, ∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 答案: D2．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限, 且|z |＝2, 则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i解析: 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限, 所以a <0. 由|z |＝2知,a 2＋(3)2＝2, 解得a ＝±1.故a ＝－1, 所以z ＝－1＋3i. 答案: A3．复平面内, 向量OA →表示的复数为1＋i, 将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′―――→, 则向量O ′A ′―――→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i解析: ∵OA →表示复数1＋i, ∴点A (1,1),将OA →向右平移一个单位, 将O ′A ′―――→对应1＋i, A ′(2,1), ∴点A ′对应复数2＋i. 故选C. 答案: C4．已知0<a <2, 复数z 的实部为a , 虚部为1, 则|z |的取值范围是( ) A ．(1, 3) B ．(1, 5) C ．(1,3)D ．(1,5) 解析: ∵|z |＝a 2＋1, a ∈(0,2), ∴|z |∈(1, 5)．故选B. 答案: B。
(人教A版)高中数学选修1-2(全册)课时同步练习汇总
（人教A版）高中数学选修1-2（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72 015的末两位数字为()A．01B．43C．07 D．49解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.答案：B2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．答案：C3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29 B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29 C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：等比数列中积――→类比等差数列中的和 ∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 答案：D4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应4个图形：那么4个图表中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2)B ．(1)，(3)C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)． 答案：C5．n 个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→D ．→↓解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2015到2 017为→↓，故应选D. 答案：D6．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．解析：观察知第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴第7个三角形数为7×(7＋1)2＝28.答案：287．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 解析：根据题意知，分子都是x ，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知f n (x )的分母中常数项为2n ，分母中x 的系数为2n －1，故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n .答案：x(2n －1)x ＋2n9．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直――→类比侧面垂直．直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两相互垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．10．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解析：当n ＝1时，a 1＝1 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13；当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：a n ＝1n(n ＝1,2，…)． [B 组 能力提升]1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝a ，a 2＝b ，设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －a B ．a 100＝－b ，S 100＝2b －a C ． a 100＝－b ，S 100＝b －a D ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析：∵a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b . 且a 7＝a 6－a 5＝a ，a 8＝b ，…，∴数列{a n }具有周期性，周期为6，且S 6＝0 则a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a . 答案：A2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等； ③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等； ④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等． A ．①④ B ．①② C ．①③D ．③④解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合． 答案：B3．已知x >0，由不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…我们可以得出推广结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________.解析：由观察可得：x ＋a x n ＝n x xx n n n ++个式子＋axn ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a n n ＝n ＋1，则a ＝n n . 答案：n n4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17<210，7.5＋12.5<210，8＋2＋12－2<210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________．解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210，因此对正实数m ，n 都成立的条件不等式是：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210.答案：若m ，n ∈R ＋，则当m ＋n ＝20时，有m ＋n <210 5．观察下列等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？ 并证明你的猜想．解析：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos (2α＋60°)2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋sin α⎝⎛⎭⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.6．已知椭圆具有以下性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M 、P 的坐标为(m ，n )、(x ，y )，则 N (－m ，－n )．∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确． 答案：C2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证a <b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B ，∴a <b ，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提． 答案：B3．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 答案：B4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式 解析：B 、C 、D 是合情推理，A 为演绎推理． 答案：A5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A ．类比推理 B ．归纳推理 C ．演绎推理D ．一次三段论解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 答案：C6．下面几种推理：①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°；②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人； ③由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式其中是演绎推理的是________．解析：①是三段论，②④是归纳推理，③是类比推理． 答案：①7．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案：[0,2]8．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.答案：log2x－2≥09．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥F A，求证：ED ＝AF.证明：同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以DF∥EA.结论两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥F A，且DF∥EA，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提所以ED＝AF.结论10．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a<b，求证：af(b)<bf(a)．证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．由题设条件知F (x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．若0<a<b，则F(a)>F(b)，即af(a)>bf(b)．又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，∴af(a)<bf(a)，且bf(b)>af(b)．所以bf(a)>af(b)．[B组能力提升]1．设a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，大前提 x ＋1x≥2x ·1x，小前提 所以x ＋1x≥2.结论以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．无错误解析：小前提中“x >0”条件不一定成立，不满足利用基本不等式的条件． 答案：B2．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令A ＝12sin2α，B ＝1＋α24α，则( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．A 与B 的大小不确定解析：作y ＝kx 及f (x )＝|sin x |的图象依题意，设y ＝kx 与y ＝f (x )相切于点M 设M (α，|sin α|)，α∈(π，32π)．由导数的几何意义，f ′(α)＝|sin α|α，则－cos α＝－sin αα,∴α＝tan α. 由A ＝12sin 2α＝sin 2α＋cos 2α4sin αcos α＝tan 2α＋14tan α∴A ＝1＋α24α＝B .答案：C3．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是________．解析：写成三段论的形式：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变大前提 (a 2＋a ＋1)x >3，a 2＋a ＋1>0小前提 x >3a 2＋a ＋1结论 答案：不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变．4．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 016)＝________.解析：令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x )②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，即f (x －1)＝－f (x ＋2) ∴f (x )＝－f (x ＋3)， ∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)，∴f (x )＝f (x ＋6)，即f (x )周期为6， ∴f (2 016)＝f (6×336＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12,即f (2 016)＝12.答案：125．已知y ＝f (x )在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )， (1)求证：f (x 2)＝2f (x )． (2)求f (1)的值．(3)若f (x )＋f (x ＋3)≤2，求x 的取值范围． 证明：(1)∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)． ∴f (x 2)＝f (x ·x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )． (2)令x ＝1，则f (1)＝2f (1)∴f (1)＝0. (3)∵f (x )＋f (x ＋3)＝f [x (x ＋3)]，且f (4)＝2. 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋3>0，x (x ＋3)≤4，解得0<x ≤1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n }是等比数列．(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 证明：(1)∵a n ＋1＝4a n －3n ＋1 ∴a n ＋1－(n ＋1)＝4a n －4n ，n ∈N *. 又a 1－1＝1所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知，a n －n ＝4n －1，于是a n ＝4n －1＋n 故S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4⎣⎡⎦⎤4n －13＋n (n ＋1)2. ＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0，故S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *恒成立.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 答案：B2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1bD ．－1b解析：f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ，则证明的依据应是( ) A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔(a －c )·(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．在不等边△ABC 中，a 为最大边，要想得到 A 为钝角的结论，对三边a ，b ，c 应满足的条件，判断正确的是( ) A ．a 2<b 2＋c 2 B ．a 2＝b 2＋c 2 C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：要想得到A 为钝角，只需cos A <0，因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以只需b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2. 答案：C5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x <0时，0<b <1. ∴a >b . 答案：A 6．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 解析：∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－ 45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.答案：－37．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0 ⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤9．设a ，b 大于0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 故原不等式a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f (x ＋12)为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称． ∴f (x ＋1)＝f (－x ) ，则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称，∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b .则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a (x －12)2＋c －a4，∴f (x ＋12)＝ax 2＋c －a4为偶函数．[B 组 能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 答案：B3．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD (侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1， 只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 因为CC 1⊥B 1D 1，只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1， 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)4．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1，由题意知(12，32)⊆(a －1，a ＋1)，则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32(且等号不同时成立)，解得12≤a ≤32.答案：12≤a ≤325．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3. ③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac . ④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C . ⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．用反证法证明：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．” 答案：D2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12解析：假设a ，b ，c 中都小于12，则a ＋2b ＋c <12＋2×12＋12＝2，与a ＋2b ＋c ＝2矛盾∴a ，b ，c 中至少有一个不小于12.答案：D3．(1)已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1，以下结论正确的是( ) A ．(1)与(2)的假设都错误 B ．(1)与(2)的假设都正确 C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p ＋q >2；(2)的假设正确． 答案：D4．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，①又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2.∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 至少有一个不小于2.答案：D5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( ) A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至少有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60°解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°. 答案：B6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．解析：显然①、②不能推出，③中a ＋b >2能推出“a ，b 中至少有一个大于1”否则a ≤1，且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾．④中取a ＝－2，b ＝0，推不出． 答案：③8．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设________．设全体质数为p 1，p 2，…，p n ，令p ＝p 1p 2…p n ＋1.显然，p 不含因数p 1，p 2，…，p n .故p 要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p 1，p 2，…，p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个． 解析：由反证法的步骤可得．答案：质数只有有限多个 除p 1，p 2，…，p n 之外9．用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立． 10．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解之得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立．故方程f (x )＝0没有负实根．[B 组 能力提升]1．已知直线a ，b 为异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线． 答案：C2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”． 答案：a ，b 不全为03．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n . 答案：04．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14，证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1，所以1－a >0.由基本不等式(1－a )＋b 2≥(1－a )b >12同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12以上三个不等式相加(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32. 这是不可能的．故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.5．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明数列{c n }不是等比数列． 证明：假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1 ＝a n b n ⎝⎛⎭⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p.②当p ，q 异号时，p q ＋qp <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋qp >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③B ．③②①C．②③①D．②①③解析：显然②是大前提，①是小前提，③是结论．答案：D2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是()A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数解析：假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．答案：D3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列解析：A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．答案：D4．求证：3＋7<2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是()开始第1次第2次第3次A．编号1 B．编号2C．编号3 D．编号4解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．答案：C6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为()A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程为－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化简得x＋2y－z－2＝0.答案：A7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b∈R)”，其反设正确的是() A．a，b至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为0解析：“a ，b 全为0”的反设应为“a ，b 不全为0”，即“a ，b 至少有一个不为0”． 答案：A8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2. 答案：C9．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：在等比数列{a n }中，q ＝2≠1， 设首项为a 1≠0，则S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15a 1，又a 2＝a 1q ＝2a 1， 故S 4a 2＝15a 12a 1＝152. 答案：C10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； B 项中sin x ＋1sin x≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)11．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP ，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP 12.2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4 415……若 6＋a b＝6 a b(a ，b 均为实数)，猜想，a ＝________，b ＝________.解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35. 答案：6 35 13．观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为____________．解析：观察等号左边可知，左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数也增加1，依次为1,2,3，…，n ，指数都是2，符号正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示；等号的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n (n ＋1)2，所以第n 个式子可为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)214. 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.答案：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝115．若定义在区间D 上的函数f (x )对于 D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n . 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解：由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.17．(12分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式． 解析：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23，…，由此归纳可得f n(x )＝x(2n －1)x ＋2n(x ＞0)． 18．(12分)设函数f (x )＝lg |x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )． 证明：0＜ab ＜1. 证明：f (x )＝lg |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，(x ≥1)，－lg x ，(0＜x ＜1). ∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab ＜1； 若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0， 有－lg a －lg b ＞0， ∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.19．(12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角． 解析：(1) b a< cb.证明如下： 要证b a< c b ，只需证b a <c b. ∵a ，b ，c >0，∴只需证b 2<ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2<ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：解法一：假设角B 是钝角，则cos B <0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0，这与cos B <0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．解法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b >a ，b >c ，所以1a >1b >0，1c >1b >0，则1a ＋1c >1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b 矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．20．(13分)(2016·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解：(1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)解：当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1. 令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1， 则A 是|g (t )|在[－1,1]上的最大值， g (－1)＝α，g (1)＝3α－2， 且当t ＝1－α4α时，g (t )取得极小值，极小值为g ⎝⎛⎭⎫1－α4a ＝－(α－1)28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|， 所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)>g ⎝⎛⎭⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α－|g (－1)|＝(1－α)(1＋7α)8α>0.所以A ＝⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎨⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34≥1， 所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .21．(14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.解析：(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.(3)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 答案：D2．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直接法．∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0， b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B3．已知复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.答案：C4．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则( ) A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12.答案：A5．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 答案：B6．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3) i(x ∈R)，则x ＝________.解析：∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，。
2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2同步导练练习：第1章 统计案例综合测试1 Word版含解析
本章综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：根据正相关与负相关的定义，由散点图，可以看出第一个图散点分布是从左上角到右下角的区域，所以变量y与x负相关，第二个图散点分布是从左下角到右上角的区域，所以变量u与v正相关，故选C.答案：C2．试有一个回归方程y^＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时()A.y^平均增加1.5个单位B．平均增加2个单位C.y^平均减少1.5个单位D.y^平均减少2个单位解析：2－1.5(x＋1)－(2－1.5x)＝－1.5.答案：C3．已知x、y之间的数据如下表所示，则y与x之间的线性回归方程过点()A.(0,0) B．(x，0)C．(0，y) D．(x，y)答案：D4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg 解析：由回归方程为y^＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知y^＝bx＋a＝bx＋y－b x(a＝y－b x)，所以回归直线过样本点的中心(x，y)，利用回归方程可以预测估计总体，但不能为准确值，所以D不正确. 故选D.答案：D5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析：由统计数据计算得：x＝3.5，y＝42.将x＝3.5，y＝42代入方程得：42＝9.4×3.5＋a^∴a^＝9.1.∴当x＝6时，y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)，故选B.答案：B6．假设有两个分类变量X，Y其2×2列联表如下表与Y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：检验两个分类变量是否有关系，只需要估算一下(ad－bc)2，值越大，两个变量之间的关系越强．答案：D7．已知观测得到如下数据，如下表A．95% B．90%C．97.5% D．无证据显示其有关系解析：假设患感冒与用药没有关系，计算得K2＝3.143>2.706，所以有90%的把握认为患感冒与用药有关系．答案：B8．对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r∈(－1,1)解析：由定义知相关系数|r|≤1，故D错误．答案：D9．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y^＝0.66x＋1.562，某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A．83% B．72%C．67% D．66%解析：将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，7．675÷9.26≈0.83，即约83%.答案：A10．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：() A．(4,40) B．(5,60)C．(6,50) D．(8,70)解析：(5,60)离回归直线最远．答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)11．已知一个回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为__________．答案：11.6912．在一次实验中，测得(x，y)的四组值分别是A(0,66.7)，B(10,76.0)，C(20,85.0)，D(50,112.3)，E(70,128)，则回归方程为__________．答案：y＝0.880 9x＋67.17413．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：若y与x82.5万元，则广告费支出最少是__________．解析：画散点图建立线性模型，使用最小二乘法求得回归方程为：y＝17.5＋6.5x又因为销售额不低于82.5万元，解得x≥10.答案：1014．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，解释变量和预报变量的残差平方和是__________．解析：∵d＝0.答案：0三、解答题(本题共4小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(16分)有甲、乙两个班级的学生进行数学考试，按学生考试及格和不及格统计成绩，不及格的共17人，其中甲班12人；及格的共74人，其中乙班41人．你有多大把握认为及格与班级有关，请说明理由．附表：K2的临界值表：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 解：列出班级与及格与否的2×2列联表，及格不及格总计甲班331245乙班41546总计741791则随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝91×(33×5－41×12)245×46×74×17≈3.736 7>2.706故有90%的把握认为及格与班级有关．16．(16分)已知回归直线方程是：y^＝b^x＋a^，假设学生在高中时的数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x(总分150分)和物理成绩y(总分100分)如下：x 122131126111125136118113115112y 87949287909683847984确到0.001)；(2)若小红这次考试的物理成绩是93分，你估计她的数学成绩是多少分呢？解：(1)根据公式计算得：b^≈0.538，a^≈22.556所以回归直线方程是y^＝b^x＋a^＝0.538x＋22.556(2)由y^＝0.538x＋22.556＝93解得：x≈13117．(16分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，其中x，y为样本平均值，线性回归方程也可写为y^＝b^x＋a^.解：＝184－10×8×2720－10×82＝0.3a＝y－b x＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4；(2)由于线性回归方程中b＝0.3>0，所以x，y之间是正相关关系；(3)将x＝7代入线性回归方程可以预测该家庭月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．18．(16分)要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表所示：x 63674588817152995876y 65785282928973985675(1)画出散点图；(2)求回归直线方程；(3)若某学生王明亮的入学成绩为80分，试预报他在高一年级期末考试中的数学成绩为多少？解：(1)作出散点图如图3所示，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．(2)列表计算x y x2y2xy6365 3 969 4 225 4 0956778 4 489 6 084 5 2264552 2 025 2 704 2 34088827 744 6 7247 2168192 6 5618 4647 4527189 5 0417 921 6 3195273 2 704 5 329 3 79699989 8019 6049 7025856 3 364 3 136 3 2487675 5 776 5 625 5 70070076051 47459 81655 094可求得x＝10(63＋67＋…＋76)＝70，y＝110(65＋78＋…＋75)＝76.b^＝55 094－10×70×7651 474－10×702≈0.765 56，a^＝76－0.765 56×70≈22.41，所求的线性回归直线方程为y^＝22.41＋0.765 56x.(3)若学生王明亮入学成绩80分，代入上面线性回归直线方程y^＝22.41＋0.765 56x，可求得y^≈84(分)．故王明亮同学高一期末数学成绩预报值为84分．。
高中数学人教A版选修1-2模块综合测评2
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是() A．①②③B．①②C．②③D．①③④【解析】曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．【答案】 D2．(2015·山东高考)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i【解析】由已知得z＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.【答案】 A3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为()【导学号：19220073】A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．【答案】 A4．如图1所示的知识结构图为什么结构()图1A．树形B．环形C．对称性D．左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构．【答案】 A5．(2015·陕西高考)根据右边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()图2A．2 B．4C．10 D．28【解析】x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.【答案】 C6．(2016·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23【解析】由题意可设回归直线方程为y^＝1.23x＋a，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，故5＝1.23×4＋a，即a＝0.08，故回归直线的方程为y^＝1.23x＋0.08.【答案】 C7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R＝()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4【解析】四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有13S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.∴R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.【答案】 C8．(2016·南昌高二检测)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1【解析】 ∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n (n ≥2)， ∴a 1＋a 2＝22·a 2，得a 2＝13； 由a 1＋a 2＋a 3＝32· a 3，得a 3＝16； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4，得a 4＝110；…. 猜想a n ＝2n (n ＋1).【答案】 B9．(2016·临沂高二检测)若关于x 的一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则p ＋q 的值是( )A ．－1B ．0C ．2D ．－2【解析】 把1＋i 代入方程得(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0， 即2i ＋p ＋p i ＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0， ∵p ，q 为实数，∴p ＋q ＝0. 【答案】 B10．(2016·西安高二检测)满足条件|z －i|＝|3－4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆【解析】 |z －i|＝|3－4i|＝5，∴复数z 对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆． 【答案】 C11．(2016·大同高二检测)设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】 C12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是()A．103 B．105C．107 D．109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．(2015·上海高考)若复数z满足3z＋z＝1＋i，其中i为虚数单位，则z ＝________.【解析】设复数z＝a＋b i，a，b∈R，则z＝a－b i，a，b∈R,3z＋z＝4a＋2b i＝1＋i，a，b∈R，则a＝14，b＝12，故z＝14＋12i.【答案】14＋12i14．(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.【导学号：19220074】图3【解析】设工序c所需工时为x天．由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.【答案】 415．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【解析】通过类比可得R＝a2＋b2＋c22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a2＋b2＋c2，故这个长方体的外接球的半径是a2＋b2＋c22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．【答案】a2＋b2＋c2216．(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查，y与x具有相关关系，回归方程为y^＝0.66x＋1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【导学号：19220075】【解析】 因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.66x ＋1.562，A 城市居民人均消费水平为y ＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x 满足7.765＝0.66x ＋1.562，所以x ≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%.【答案】 83%三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 【解】 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，又∵(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∵a ，b 都是整数， ∴{ a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，解得{ a 1＝－2，b 1＝－1或{ a 2＝－4，b 2＝2.∴所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)试判断晕机是否与性别有关？(参考数据：K 2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；K 2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))【解】 (1)2×2列联表如下：晕机 不晕机 总计 男乘客 28 28 56 女乘客285684总计56 84 140(2)得K 2的观测值k ＝140×(28×56－28×28)256×84×56×84＝359≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c>3.【证明】 法一(分析法)：要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc >3， 只需证明b a ＋c a －1＋a b ＋c b －1＋a c ＋bc －1>3， 即证b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc >6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数，∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. ∴b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc >6，∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3得证． 法二(综合法)：∵a ，b ，c 全不相等， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2， 三式相加得b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc >6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x (单位：万元) 1 2 3 4 销售收入y (单位：万元)12284256(1)(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【导学号：19220076】【解】 (1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ^，b ^.于是x ＝52，y ＝692， 代入公式得：b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y －∑i ＝14x 2i －4x－2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ^＝y －b ^x ＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ^＝735x －2，其中回归系数为735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元)．所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．22．(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图4(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；(3)根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
高中数学人教A版选修1-2同步辅导与检测3.1.2复数的几何意义
(1)|z|＝3；(2)1≤|z|≤3.
→ 的模也是3，即点Z到 解析：(1)复数z的模是3，则向量OZ
原点的距离是3，因此满足条件|z|＝3的点Z的集合是以原点为 圆心，3为半径的圆．
(2)满足条件1≤|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心，分别
以1和3为半径的圆围成的圆环(包括边界，如下图中的阴
影)．
⇒
－7＜m＜2. ∴－7＜m＜2 时，复数在复平面对应的点在第二象限．
点评：此类题型，要明确复数的实部和虚部分别是它对
应的点的横坐标和纵坐标，然后根据要求列出相应的关系式 求解．
跟踪训练 1．a取何值时，z＝(a2－2a－8)＋
a2－a－2 a＋1
i(a∈R)对应
的点Z，
表示原点与Z点的距离．
跟踪训练 2．求复数z＝1＋cos θ＋isin θ(π≤θ≤2π)的模的最大值、 最小值．
解析：复数|z|＝ 1＋cos θ2＋sin2θ＝ 2＋2cos θ， 当 θ＝2π 时，复数 z 的模有最大值是 2，当 θ＝π 时，复 数 z 的模有最小值是 0.
设z∈C，满足下列条件的复数z对应的点Z的集合 是什么图形？
a2－a－2＝0(a≠－1)⇒a＝2. ∴a＝2 时，点 Z 在直线 x＋y＋8＝0 上．
复数的模 已知关于x的方程x2＋zx＋4＋3i＝0有实根，求复
数z在复平面内对应的点到原点的距离的最小值．
解析：设方程的实根是m，复数z对应复平面内的向量 → ，则| → |＝|z|表示点Z到原点的距离．由 是 OZ OZ m2＋zm＋4＋3i＝0得
|z1－z2|表示复数z1和z2对应的点Z1和Z2之间的距离．
4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距 离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再 利用复数模的计算公式进行计算，由于复数的模是一个实数， 所以复数的模可以比较大小．
人教新课标版数学高二-选修1-2模块综合检测卷
数学·选修1－2(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y间这种非确定的关系叫做()A．函数关系B．线形关系C．相关关系D．回归关系答案：C2．下列是关于出生男婴与女婴调查的2×2列联表，那么表中m，n的值分别是()A.58,60 B．答案：D3．△ABC三个顶点对应的复数分别是z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的() A．内心B．重心C．垂心D．外心答案：D4．用反证法证明命题“若整系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos x ，1，1，cos x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π2B ．x ＝π3C ．x ＝π4D ．x ＝π6解析：依题意得：f (x )＝2cos 2x －1＝cos 2x ，∴选A. 答案：A6．复数(a 2－a )＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则有( ) A ．a ≠0 B ．a ≠0且a ≠1 C ．a ≠1 D ．a ≠0且a ≠2 答案：C7．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( )A ．推理的形式不符合三段论的要求B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理的结果错误解析：大前提错误，应为“任何实数的平方都是非负数”．故选B.答案：B8．如图(1)、(2)，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为( )A．(1)n3≥1 000？(2)n3＜1 000?B．(1)n3≤1 000？(2)n3≥1 000?C．(1)n3＜1 000？(2)n3≥1 000?D．(1)n3＜1 000？(2)n3＜1 000?答案：C9．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒()A．21 B．24 C. 27 D. 30答案：C10．如下面两图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.若把它推广到长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与棱AB，BB1，BC所成的角分别为α，β，γ，则相应的命题形式()A．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1C．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 D．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．设复数z＝1＋i，ω＝z－2|z|－4，则ω＝_______________.答案：－3－22＋i12．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，然后归纳、猜想an＝_______________.答案：26n－513．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图(距离单位：km)，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路最短总长度应该是________．解析：要使电厂与四个村庄相连，则需四条线路，注意最短的四条线路能使电厂与四个村庄相连，∴4＋5＋5.5＋6＝20.5 km.答案：20.5 km14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图一组蜂巢的截面图中，第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(4)＝______，f(n)＝______.解析：f (4)＝4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＝37，f (n )＝n ＋(n ＋1)＋…＋(2n －1)＋…＋(n ＋1)＋n ＝2×n [n ＋(2n －1)]2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)计算(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－3i (3＋i )2.解析：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i ； (2)1－3i(3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.16.(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多 总计喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总计262450是否相关．解析：根据公式计算，K 2的观测值k ＝50(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059，∵5.059＞5.024，∴约有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏和认为作业量的多少有关．17．(14分)某人早晨起床后泡茶的过程可用流程图表示为：这种安排方式耗时多少分钟？还可以有其他的安排方法吗？试用流程图表示你准备采用的方式，并计算按你的方式耗时多少分钟．解析：按照题中流程图的安排，总耗时数为2＋15＋3＋2＋1＝23(min)．由于洗茶杯、取放茶叶可在烧开水时进行，故工作流程图也可以这样安排：18．(14分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.求证：(1)AB∥平面PCD.(2)BC⊥平面PAC.证明：(1)∵AB∥DC，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E(如图)，则四边形ADCE为矩形．∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝ 2.∴AD＝CE＝1，则AC＝AD2＋DC2＝ 2.∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.19.(14分)在关于人体脂肪含量y(百分比)和年龄x(岁)关系的研究中，得到如下一组数据：年龄(x)232739414550脂肪含量(y)9.517.821.225.927.528.2(1)画出散点图，判断x与y是否具有相关关系；(2)通过计算可知b^＝0.651 2，â＝－2.737 9，请写出y对x的回归直线方程，并计算出23岁和50岁的残差．解析：(1)涉及两个变量，年龄与脂肪含量．因此选取年龄为自变量x，脂肪含量为因变量y.散点图如图所示，从图中可以看出x与y具有相关关系．(2)y对x的回归直线方程为y^＝0.651 2x－2.737 9.当x＝23 时，y^＝12.239 7，y－y^＝9.5－12.239 7＝－2.739 7.当x ＝50 时，y ^＝29.822 1，y －y ^＝28.2－29.822 1＝－1.622 1. 所以23岁和50岁的残差分别为－2.739 7和－1.622 1.20．(14分)设数列{}a n 的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)判断数列{}b n 是否为等比数列，并证明你的判断．解析：(1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18， a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，a 5＝12a 4＝14a ＋316. (2)由(1)可得 b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14. 猜想：{}b n 是公比为12的等比数列． 证明如下：因为 b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12 a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)，又 a ≠14， 所以 b 1＝a －14≠0. 所以数列{}b n 是首项为a －14，公比为12的等比数列．。
2021年高中数学选修1-2人教A版全册教学：1.1同步练习含答案
高中数学人教A版选修1-2 同步练习1.下列各项中的两个变量具有相关关系的是( )A．长方体的体积与高B．人的寿命与营养C．正方形的边长与面积D．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间解析：选B.相关关系是一种不确定关系，A、C、D是确定关系，是函数关系，故选B.2.(2021·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)423 5销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析：选B.由表可计算x＝4＋2＋3＋54＝72，y＝49＋26＋39＋544＝42，因为点(72，42)在回归直线y^＝b^＋a^x上，且b^为9.4，所以42＝9.4×72＋a^，解得a^＝9.1，故回归方程为y^＝9.4x＋9.1，令x＝6得y^＝65.5.3.为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x 具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．解析：相关指数R.R2的取值范围是［0，1］.当R2=0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y没有任何关系；当R2=1时，即残差平方和为0,x与y之间是确定的函数关系.其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1).答案：（0，1）4.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________________后,剩下的4组数据的相关指数最大.解析：经计算,去掉D（3，10）这一组数据后，其他4 组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大.答案：D(3,10)1.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是A.残差B.残差平方和C.随机误差D.相关指数R2解析：选B.残差平方和的大小表明了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.3.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1,y1）,( x2,y2),…,( x n,y n),则下列说法中不正确的是A.若残差恒为0，则R2为1B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C. R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,故选C.6.（2012·莱州一中高二期中考试）一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺点.每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，下列即为其试验结果.(1)求出机器运转速度影响每小时生产有缺点物件数的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许的每小时最大缺点物件数为10，那么机器的运转速度不得超过多少转/秒？7.（2012·莱阳一中期中考试）〖HT〗如下所示的是一组观测值的四个回归模型对应的残差图，由残差图分析拟合效果最好的回归模型为解析：选A.如题中A所示的残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型是合理的.如题中B所示的残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上,并且沿带状区域方向散点的分布规律相同,说明残差与横坐标有线性关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中C所示的残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上,说明残差与坐标轴变量有二次关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中D所示的残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大,说明残差与横坐标变量有关,所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地.综上分析可知,应选A8.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上,那么残差平方和与相关系数分别为A.1,0B.0,1C.0.5,0.5D.0.43,0.57解析：选B.如果所有的样本点均在同一条直线上,建立的回归模型一定是这条直线,所以每个样本点的残差均为0,所以残差平方和也为0,即此时的模型为y=bx+a,没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系,通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.9.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现变量x的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是①l1与l2的相交点为（s,t）；②l1与l2相交，相交点不一定是(s,t);③l1与l2必关于点（s,t）对称；④l1与l2必定重合.10.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:(1)作出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）作出残差图；（4）计算R2，并作出解释；（5）试预测该运动员训练47次及55次时的成绩.解： (1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示(3)残差分析将这8名运动员依次编号为1，2，3，…，8，因残差e^1≈－1.24，e^2≈－0.37，e^3≈0.55，e^4≈0.47，e^5≈1.39，e^6≈0.18，e^7≈0.09，e^8≈－1.07，于是可作残差图如图所示：由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R2计算相关指数R2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)作出预报由上述分析可知，我们可用回归方程y^＝1.0415x－0.003875作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.11.(创新题)已知x，y之间的5组数据如下表所示：x 13678y 1234 5对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为y^＝13x＋1与y^＝12x＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？解：用y^＝13x＋1作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差平方和为∑i ＝15(y i －y ^i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫103－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫113－52＝73.用y ^＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和为∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＋(4－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92－52＝12.∵12<73，而残差平方和小的拟合效果好， ∴直线y ＝12x ＋12拟合效果更好．。
高中数学选修12综合测试题人教A版
图1 图2 图3……选修1-2综合测试题1（时间：90分钟 满分：110分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．下列命题正确的是（ ）A ．虚数分正虚数和负虚数B ．实数集与复数集的交集为实数集C ．实数集与虚数集的交集是0D ．纯虚数集与虚数集的并集为复数 2．下列两个量之间的关系是相关关系的为（ ）A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系B ．学生的成绩和体重C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D ．水的体积和重量 3．若复数23z i ，则该复数的实部和虚部分别为（）A ．2,3iB ．2,3C ．3,2D ．2,34．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ）A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理 5．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A ．0r >表明两个变量负相关B ．r >1表明两个变量正相关C ．r 只能大于零D ．||r 越接近于0，两个变量相关关系越弱 6．下面的程序框图的作用是输出两数中的较大者，则①②处分别为（ ）A ．输出m ；交换m 和n 的值B ．交换m 和n 的值；输出mC ．输出n ；交换m 和n 的值D ．交换m 和n 的值；输出n 7．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（ ）个．A ．40B ．36C ．44D ．528．已知两个复数的和是实数，则这两个复数（ ）A ．都是实数B ．互为共轭复数C ．都是实数或互为共轭复数D ．以上都不对 9．下表为某班5位同学身高x （单位：cm ）与体重（单位kg ）的数据，若两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+，则a 的值为（ ）A ．-121.04B ．123.2C ．21D ．-45.1210．用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为（ ）A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．关于x 的方程21340i x x i 的实数解为______________．12．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；④买家登录淘宝网挑选商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货给买家．他们正确的顺序依次为__________________．13．将正整数1,2,3,……按照如图的规律排列，则100应在第_________列．14．下列命题正确的有__________________． ①若xR ，则2x R ；②若2x R ，则xR ；③ 若iy x i y x 2211+=+（C y y x x ∈2121,,,），则21x x =且21y y =；④若21x x =且21y y =，则i y x i y x 2211+=+（C y y x x ∈2121,,,）．三、解答题：本大题共4小题，共40分．15．你知道吗，生产甲流H1N1流感疫苗的最主要原材料居然是鸡蛋！不过这可不是一种普通的鸡蛋，而是一种原产于美国的海兰白鸡蛋．工人们首先在强光照射下，挑选出“受过精”的鸡蛋，未“受过精”的鸡蛋只能作为普通食用蛋走上市场．这个过程叫做“照检”．照检挑选出来的鸡蛋被送到疫苗生产车间，先经过严格的消毒，然后这些鸡蛋里面被植入由世卫组织提供的甲流毒株．这些接受了毒株的鸡蛋将被放置在特殊环境的车间里，使得毒株在鸡蛋里迅速生长，大约3天后，就“成熟”了．这时鸡蛋转到另一车间进行毒株的“收获”．鸡蛋里的羊水是我们需要的所谓的“病毒收获液”，剩下的蛋壳和未发育完整的小鸡将被高温消毒后送到其他企业，制成饲料．病毒收获液里含有我们需要的抗病毒成分，再依次经过了灭活、纯化、裂解后，就得到了我们需要的甲流疫苗了．请画出以上整个生产过程的流程图．16．复数()2132z i a a i =--++（a R ∈），1 2 3 6 5 4 7 8 91015 14 131211……（1）若z z=，求||z；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．17．尘肺病是一种严重的职业病，新密市职工张海超“开胸验肺”的举动引起了社会的极大关注．据悉尘肺病的产生，与工人长期生活在粉尘环境有直接的关系．下面是一项调查数据：请由此分析我们有多大的把握认为是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历有关系．18≥,x y皆为正数）．选做题（时间：30分钟满分：40分）一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．1．（测试题3变式）若复数,z a bi a b C，则z的实部和虚部分别为（）A ．,a bi B．,a b C．,a b D．以上都不对2．对于命题“平行六面体的体积等于底面积乘以侧棱长，长方体为平行六面体，所以长方体的体积为底面积乘以侧棱长”，下列叙述正确的是（）A．该命题为真命题B．该命题为假命题，因为大前提是错误的C．该命题是假命题，因为小前提是错误的D．该命题是假命题，因为结论是错误的二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．3．已知集合22|332,A z z x x x x i x R，2|,B y y x x R，则A B__________________．4．复数i3016+-的平方根为___________________．三、解答题：本大题共2小题，共30分．5．设函数)0()(2≠++=acbxaxxf中，cba,,均为整数，且)1(),0(ff均为奇数．求证：)(=xf无整数根．6．以下为求数列2482,2,2,2,前若干项和的框图：（1）①处应填的执行语句是什么；（2）若输出的S为242562222++++的值，则②处n的值为多少．测试题参考答案与提示一、选择题1．B 提示：实数集包含于复数集，所以其交集为实数集．2．C 提示：A 、D 皆为函数关系，B 中两个量即不是函数关系，也不是相关关系 3．D 提示：若,za bi ab R ，则其实部为a ，虚部为b ．4．A 提示：由一般到特殊，是演绎推理．5．D 提示：0r >表明两个变量正相关，反之负相关；||r 越接近于1，两个变量相关关系越强，越接近于0，两个变量相关关系越弱．6．D 提示：由框图可知，当m<n 时，输出较大者，所以②处应为“输出n ”， mn 时，应交换m 、n 的值，然后输出n ． 7．A 提示：可推测第10个图中每个边上共有11个点，所以所有点的个数为114440⨯-=． 8．D 提示：例如121,2z i z i ．9．A 提示：样本中心为（169，75），将样本中心坐标带入回归直线方程即可求a ． 10．C 提示：“,,,a b c d 中至少有一个负数”的反面为“,,,a b c d 都不是负数”，即“,,,a b c d 全都大于等于0”．二、填空题 11．1 提示：原方程可化为223410x x x i，当x R 时应有223401x x x，即1411x x xx或或，从而1x ．12．④①⑤③② 提示：可简单表示为：挑选——付款到中介——发货——收货——中介付款给卖家．13．14 提示：第n 列的最大数为()112...2n n n ++++=，由()()1110022n n n n -+<≤（*n N ∈）得14n =．14．①④ 提示：②不对，例如21iR ，但i R ；③不对，例如11222,1,1,1x y x y i ，则11222x y iix y i ．三、解答题（详细解答） 15．16．解()22321z a a a i=-++-，（1）由z z=知，210a-=，故1a=±．当1a=时，0z=；当1a=-时，6z=．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即2232010a aa⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，即2111a aa><⎧⎨-<<⎩或，所以11a-<<．17．解假设“是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历无关”，则()222420221496289829.62423969201500K⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，而()210.8280.001P K≥≈，29.8远远大于10.828，所以“是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历有关系”这一结论错误可能性不超过0.001，故我们有99.9%的把握认为是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历有关系．18．证因为,x y皆为正数，所以原不等式等价于≥≥()0x y-≥．当0x y-≥时，x y≥，≥0≥，所以上式成立；当0x y-≤时，x y≤≤0≤，上式也成立．综上知，原不等式成立．选做题参考答案与提示一、选择题1．D 提示：由于,a b C，所以该复数的实部和虚部都不确定．2．B 提示：平行六面体的体积等于底面积乘以高，所以大前提是错误的．二、填空题3．3提示：[0,)B，所以设22332z x x x x i A B，则223203x x xx ，解得2x ，故3z ．4．i i 53,53--+ 提示：设i 3016+-的平方根为),(R y x yi x ∈+，则i yi x 3016)(2+-=+，即⎩⎨⎧=-=-151622xy y x ，解之得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==53,53y x y x ．三、解答题（详细解答）5．证 假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈．由已知()0f c =和()1f a b c =++为奇数知:a b +为偶数，所以,a b 同为奇数或同为偶数，从而2an bn +偶数．这与2an bn c +=-矛盾．故假设不成立，原命题成立． 6．解 （1）观察数列的特点可知①处应为2a a =； （2）242562222++++=012822222222+++，所以循环体共应执行9次，故9n =。
最新高中数学选修1-2(人教A 版)综合测试题及参考答案资料
高中数学选修1-2（人教A 版）综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ）A.线性B.非线性C.解释与预报D.分类2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ˆˆˆ+=的关系（ ）A.在直线上B.在直线左上方C. 在直线右下方D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32+、i 23+、i 32--，则D 点对应的复数是 （ ） A.i 32+- B.i 23-- C.i 32- D.i 23-4.在复数集C 内分解因式5422+-x x 等于 （ ） A.)31)(31(i x i x --+- B.)322)(322(i x i x --+- C.)1)(1(2i x i x --+- D.)1)(1(2i x i x -+++5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项6.用数学归纳法证明)5,(22≥∈>*n N n n n成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ） A.假设k n =时命题成立 B.假设)(*∈=N k k n 时命题成立 C.假设)5(≥=n k n 时命题成立 D.假设)5(>=n k n 时命题成立 7.2020)1()1(i i --+的值为 （ ）A.0B.1024C.1024-D.10241- 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.2 9.已知复数z 满足||z z -=，则z 的实部 （ ） A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
高中数学人教A版选修1-2模块综合测评1 Word版含解析
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数．．．．为()A．i B．－iC．1D．－1【解析】因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.【答案】 A2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为()A．工序流程图B．程序流程图C．知识结构图D．组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．【答案】 B3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值()【导学号：19220070】A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．【答案】 A4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有一个不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．【答案】 B5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解析】一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.【答案】 C6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.【答案】 B7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了() A．直接求出回归直线方程B．直接求出回归方程C．根据经验选定回归方程的类型D．估计回归方程的参数【解析】散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．【答案】 C8．给出下面类比推理：①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”；③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．其中结论正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.【答案】 B9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()图1 A．5 B．6 C．7 D．8【解析】运行第一次：S＝1－12＝12＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.输出n ＝7.故选C. 【答案】 C10．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，…观察可知{a n }是周期为6的周期数列，故a 33＝a 3＝3. 【答案】 A11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( ) A ．f (x )是增函数，则f ′(x )＞0B ．因为a ＞b (a ，b ∈R )，则a ＋2i ＞b ＋2i(i 是虚数单位)C ．α，β是锐角△ABC 的两个内角，则sin α＞cos βD ．A 是三角形ABC 的内角，若cos A ＞0，则此三角形为锐角三角形 【解析】 A 不正确，若f (x )是增函数，则f ′(x )≥0；B 不正确，复数不能比较大小；C 正确，∵α＋β＞π2，∴α＞π2－β，∴sin α＞cos β；D 不正确，只有cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．【答案】 C12．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：归方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数b ^＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )A ．34.6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元【解析】 x ＝－2－3－5－64＝－4，y ＝20＋23＋27＋304＝25，所以这组数据的样本中心点是(－4,25)． 因为b ^＝－2.4，把样本中心点代入线性回归方程得a ^＝15.4，所以线性回归方程为y ^＝－2.4x ＋15.4. 当x ＝－8时，y ＝34.6.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________.【导学号：19220071】【解析】 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ， ∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 【答案】 0或114．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)．【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b ＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可得第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.【答案】13＋23＋33＋43＋53＋63＝21216．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论________．【解析】由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝...＝b11b20，∴10b11b12...b20＝30b1b2 (30)【答案】10b11b12 (20)30b1b2…b30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z＝(1－4i)(1＋i)＋2＋4i3＋4i，求|z|.【解】 z ＝1＋i －4i ＋4＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i ，∴|z |＝|7＋i||3＋4i|＝525＝ 2. 18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．【解】 学生会的组织结构图如图．19．(本小题满分12分)给出如下列联表：患心脏病 患其他病 总计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 总计5060110(参考数据：P (K 2≥6.635)＝0.010，P (K 2≥7.879)＝0.005) 【解】 由列联表中数据可得 k ＝110×(20×50－10×30)230×80×50×60≈7.486.又P (K 2≥6.635)＝0.010，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系． 20．(本小题满分12分)已知非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不能构成等差数列.【导学号：19220072】【证明】假设1a，1b，1c能构成等差数列，则2b＝1a＋1c，因此b(a＋c)＝2ac.而由于a，b，c构成等差数列，且公差d≠0，可得2b＝a＋c，∴(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，即1a ，1b，1c不能构成等差数列．21．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．【证明】综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.分析法：要证ax＋by≤1成立，只要证1－(ax＋by)≥0，只要证2－2ax－2by≥0，又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝∑i＝1nx i y i－n x－y－∑i＝1nx2i－n x2，a^＝y－b^x－.【解】(1)散点图如图，(2)x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i＝15x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i＝15x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.所以b^＝∑i＝15x i y i－5x－y－∑i＝15x2i－5x－2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625.a^＝y－b^x－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是林老师网络编辑整理y^＝0.625x＋22.05.(3)x＝96，则y^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．林老师网络编辑整理。
高中数学 模块综合测试(1)新人教A版选修1-2(2021年整理)
高中数学模块综合测试（1）新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学模块综合测试（1）新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学模块综合测试（1）新人教A版选修1-2的全部内容。
模块综合测评（一)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋3i,则复数z＝错误!在复平面内所对应的点位于（) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．错误!等于（）A．错误! B．错误!C．错误! D．13．下列说法错误的是（）A．球的体积与它的半径具有相关关系B．计算误差、测量误差都将影响到残差的大小C．在回归分析中R2的值越接近于1,说明拟合效果越好D．在独立性检验中，K2的观测值k越大，说明确定两个分类变量有关系的把握越大4．在△ABC中，AB，→＝a,错误!＝b,且a·b＞0，则△ABC是( ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．设回归方程错误!＝7－3x，当变量x增加两个单位时( ）A．y平均增加3个单位B．y平均减少3个单位C．y平均增加6个单位D．y平均减少6个单位6．在如图所示的程序框图中，输入a＝错误!，b＝错误!,则输出c＝( )A．错误! B．错误!C．1 D．07．观察数列1,2,2，3，3，3，4，4,4，4，…的特点，第100项为( )A．10 B．14C．13 D．1008．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r,则r＝错误!;类比这个结论可知:四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝（）A．VS1＋S2＋S3＋S4B．错误!C．3VS1＋S2＋S3＋S4D．错误!9．错误!2 014等于( )A．2i B．－1＋iC．1＋i D．－110．已知两条直线m，n,两个平面α，β。
人教版数学高二-人教A版选修1-2模块综合检测(一~二)
模块综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C只有平行四边形与平行六面体较为接近．3．实数的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别为()A．有理数、零、整数B．有理数、整数、零C．零、有理数、整数D．整数、有理数、零解析：选B由实数的包含关系知B正确．4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是() A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.5．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋ba ＝－－ab ＋－b a ≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2 解析：选D A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．6．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i.若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A.83B.32 C ．－83D ．－32解析：选Dz 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝(3m －8)＋(6＋4m )i32＋42.∵z 1z 2为实数， ∴6＋4m ＝0， ∴m ＝－32.7．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)B ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋1＋n ＋1)＝2n ×1×3×…×(2n －1)C ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n ＋1)D ．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋1＋n )＝2n ＋1×1×3×…×(2n －1)解析：选A 观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n ，另一部分是1×3×…×(2n －1)．8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( )A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选D∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4.记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数为f(n)，则f(2 015)＝f(502×4＋7)＝f(7)，∴52 015与57的末四位数相同，均为8 125.9．(重庆高考)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C第一次运行得s＝1＋(1－1)2＝1，k＝2；第二次运行得s＝1＋(2－1)2＝2，k＝3；第三次运行得s＝2＋(3－1)2＝6，k＝4；第四次运行得s＝6＋(4－1)2＝15，k＝5；第五次运行得s＝15＋(5－1)2＝31，满足条件，跳出循环，所以输出的k的值是5，故选C.10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊不清，经推断可知该数据为()零件数x/个1020304050加工时间y/min62758189A.70 B．解析：选B 依题意得，＝15×(10＋20＋30＋40＋50)＝30.由于直线＝0.67x ＋54.9必过点(，)，于是有＝0.67×30＋54.9＝75，因此表中的模糊数据是75×5－(62＋75＋81＋89)＝68. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数为________．解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，所以＝－1－i.答案：－1－i12．“一群小兔一群鸡，两群合到一群里，数腿共40，数脑袋共15，多少小兔多少鸡？”其解答流程图如图所示，空白部分应为________．设有x 只鸡，y 只小兔→列方程组→ →得到x ，y 的值 答案：解方程组13．图1有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则图2有体积关系：V PA ′B ′C ′V PABC＝________.解析：把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得V PA ′B ′C ′V PABC ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC .答案：PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.解析：由于f (2)－f (1)＝7－1＝6， f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1， 所以f (n )＝3n 2－3n ＋1. 答案：3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i 为虚数单位)，z ＝5ω＋|ω－2|，求.解：由ω－4＝(3－2ω)i ，得8ω(1＋2i)＝4＋3i ， ∴ω＝4＋3i 1＋2i ＝2－i.∴z ＝52－i ＋|－i|＝3＋i.则z ＝3＋i 的共轭复数＝3－i.于是＝3＋i 3－i ＝(3＋i )2(3－i )(3＋i )＝8＋6i 10＝45＋35i.16．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程＝x ＋； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解：(1)由题意知， n ＝10，＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2， ＝＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3， ＝－b ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4 ＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想：f (x )是以4a 为周期的周期函数． 证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a ) ＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a ) ＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)上的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表所示：甲厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？解：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%.乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2的观测值k ＝1 000×(360×180－320×140)2500×500×680×320≈7.35>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i解析：选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴＝1－3i.2．以下说法，正确的个数为( )①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理． ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用的类比推理． ④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此2 375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A ．0B ．2C ．3D ．4解析：选C ①人的身高与脚长的关系：身高＝脚印长×6.876(中国人)，是通过统计数据用线性回归的思想方法得到的，故不是类比推理，所以错误．②农谚“瑞雪兆丰年”是人们在长期的生产生活实践中提炼出来的，所以是用的归纳推理，故正确．③由球的定义可知，球与圆具有很多类似的性质，故由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质是运用的类比推理是正确的．④这是运用的演绎推理的三段论．大前提是“个位是5的整数是5的倍数”，小前提是“2 375的个位是5”，结论为“2 375是5的倍数”，所以正确．故选C.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )解析：选A 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C．②③D．②①解析：选A解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈)，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②雅安人是中国人)，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③雅安人一定坚强不屈)．故选A.5．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出：“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出：“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出：“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出：“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B①②正确，③④错误，因为③④中虚数不能比较大小．7．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()A．10 B．17C．19 D．36解析：选C执行程序：k＝2，s＝0；s＝2，k＝3；s＝5，k＝5；s＝10，k＝9；s＝19，k ＝17，此时不满足条件k <10，终止循环，输出结果为s ＝19.选C.8．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn (m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p ，q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .9．下图所示的是“概率”知识的( )A ．流程图B ．结构图C ．程序框图D ．直方图解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计302050．( ) 附参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2＞k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.78910.828C ．0.005D ．0.001解析：选C 由2×2列联表可得，K 2的估计值k ＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333>7.789，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜爱打篮球与性别有关”．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b12．复数z ＝i1＋i (其中i 为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是________(填序号)．①a n ＝2n ②a n ＝2(n －1) ③a n ＝2n ④a n ＝2n －1解析：由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n .答案：③14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.16．(本小题满分12分)某大学远程教育学院网上学习流程如下：(1)学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费注册，领取网上学习注册码．(2)网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩．(3)预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．试画出该远程教育学院网上学习流程图．解：某大学远程教育学院网上学习流程如下：17．(本小题满分12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 50岁以上 总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？并写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：(2)因为K 2的观测值k ＝30×(8－128)212×18×20×10＝10>6.635， 所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”． 18．(本小题满分14分)为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解：根据题目所给的数据得到如下列联表：理科 文科 总计 有兴趣13873211主食蔬菜主食肉类总计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 总计2010302k＝361×(138×52－73×98)2236×125×211×150≈1.871×10－4.因为1.871×10－4<2.706，所以据目前的数据不能认为学生选报文、理科与对外语的兴趣有关，即可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．。
2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2同步导练练习：选修1—2综合测试 Word版含解析
选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D ．∵f (x )＝x ＋3，∴f (0)＝3 答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C.答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形内的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 答案：C6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：由f (1)＝1, 排除C 、D ，再由f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12，排除A. 答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：第k个黑球之前的白球数为S k′＝1＋2＋3＋…＋k＝k(k＋1)2，故k(k＋1)2＋k≤120，且(k＋1)[(k＋1)＋1]2＋(k＋1)>120且k∈N*解得k＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)()图2A．3.143 B．3.142C．3.141 D．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎨⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143. 答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．2.5%D ．97.5% 答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )图3A ．8B ．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…， 由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m·a n＝a p·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来，便知k＝5.答案：514．若不全为0的实数k1，k2，…，k n满足向量k1a1＋k2a2＋…＋k n a n＝0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a1＝(1,0)，a2＝(1,1)，a3＝(2,2)线性相关的k1，k2，k3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下： 第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步； 第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎨⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA 、OB 、OC 、OD ，设O 到面ABC 、面ACD 、面ABD 、面BCD 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，A 到面BCD 的距离为h ，正四面体的一个面的面积为S ，则V A —BCD ＝13S △BCD ·h ＝13ShV O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ＝13S ·h 1＋13Sh 2＋13Sh 3＋13Sh 4 ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4)∵V A —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ∴13Sh ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4) ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝h (定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42)＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706.且P(K2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称，定义数列{a n}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，a n＋1＝f(a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：∑=+niiiaa11<8.解：(1)函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列∴1a n ＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1<8.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D．∵f(x)＝x＋3，∴f(0)＝3答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C. 答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应复数为() A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置() A．各正三角形内的点B．各正三角形内的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点答案：C6．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：由f(1)＝1, 排除C、D，再由f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23，f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝12，排除A.答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A ．12B ．13C ．14D ．15解析：第k 个黑球之前的白球数为S k ′＝1＋2＋3＋…＋k ＝k (k ＋1)2，故k (k ＋1)2＋k ≤120，且(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2＋(k ＋1)>120且k ∈N *解得k ＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)( )图2A ．3.143B ．3.142C ．3.141D ．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143.答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()C．2.5% D．97.5%答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()图3A．8 B．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…， 由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m ·a n ＝a p ·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来， 便知k ＝5. 答案：514．若不全为0的实数k 1，k 2，…，k n 满足向量k 1a 1＋k 2a 2＋…＋k n a n ＝0成立，则称向量a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a 1＝(1,0)，a 2＝(1,1)，a 3＝(2,2)线性相关的k 1，k 2，k 3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． 证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎨⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下：第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步； 第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值． 证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA、OB、OC、OD，设O到面ABC、面ACD、面ABD、面BCD的距离分别为h1、h2、h3、h4，A到面BCD的距离为h，正四面体的一个面的面积为S，则V A—BCD＝13S△BCD·h＝13ShV O—ABC＋V O—ACD＋V O—ABD＋V O—BCD＝13S·h1＋13Sh2＋13Sh3＋13Sh4＝13S(h1＋h2＋h3＋h4)∵V A—BCD＝V O—ABC＋V O—ACD＋V O—ABD＋V O—BCD∴13Sh＝13S(h1＋h2＋h3＋h4)∴h1＋h2＋h3＋h4＝h(定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k ＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42) ＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706. 且P (K 2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f (x )＝2xx ＋a 的图象关于直线x ＋y ＝0对称，定义数列{a n }，使a 1＝2a ，a 2＝f (a 1)，…，a n ＋1＝f (a n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：∑=+ni i i a a 11<8.解：(1)函数f (x )＝2xx ＋a的图象关于直线x ＋y ＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列 ∴1a n＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<8.由Ruize收集整理。
感谢您的支持！。