函数方程与零点(精)

函数的零点.【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主．(1)函数与方程的关系：函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点⇔f (x )与g (x )有交点⇔f (x )=g (x )．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝g(x)的图像交点的横坐标．(2)函数f (x )的零点存在性定理：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. 注：①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.(3)判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x (x >0)，2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. (2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标． (1)(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________. 答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点． 因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0， 所以有1个零点．(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根． 设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1.(2013·青岛模拟)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) [解答] 由f (1)＝－1<0，f (2)＝12>0可得f (x )在(1,2)内必有零点．[答案] B2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x ∈(－∞，2)，12f (x －2)，x ∈[2，＋∞)，则函数F (x )＝xf (x )－1的零点的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解答]据题意，函数F (x )＝xf (x )－1的零点个数可转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝1x 图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图像如图所示：由图可知共有6个交点，故函数F (x )＝xf (x )－1的零点个数为6. [答案] C(2013·武汉模拟)定义运算M ：x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|y |，x ≥y ，x ， x <y .设函数f (x )＝(x 2－3)⊗(x －1)，若函数y＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是 ( )A ．[－3，－2)B ．[－3，－2]∪[3，＋∞)C ．[－2,2]D ．(－3，－2)∪[2，＋∞)[解答]由x 2－3≥x －1解得x ≤－1或x ≥2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ≤－1或x ≥2，x 2－3，－1<x <2.函数y＝f (x )－c 恰有两个零点，即函数y ＝f (x )，y ＝c 的图像恰有两个交点，作出函数y ＝f (x )，y ＝c 的图像如图，由图可知－3<c <－2或c ≥2时，两个图像有两个不同的交点，故实数c 的取值范围是(－3，－2)∪[2，＋∞)． [答案] D3．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：∵函数f (x )有一个零点在(1,2)内，∴f (1)·f (2)<0，即－a (3－a )<0，∴0<a <3. 答案：C4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ， x >0，则当k >0时，函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：结合图像分析，当k >0时， f [f (x )]＝－1，则f (x )＝t 1∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4，共存在4个零点．(2013·潍坊模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋12x ，x <0，ln (x ＋1)，x ≥0.若函数y ＝f (x )－kx 有三个零点，则k 的取值范围为________．[考题揭秘] 本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以及函数的零点问题，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力．[审题过程] 第一步：审条件．题目已知函数f (x )的解析式以及函数y ＝f (x )－kx 有三个零点．第二步：审结论．求实数k 的取值范围．第三步：建联系．问题等价于函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝kx 有三个不同的交点[规范解答] 显然x ＝0是函数y ＝f (x )－kx 的一个零点．因此只要函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝kx 的图像在x ≠0时有两个不同的交点即可．又函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，结合函数图像，只需寻找函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝kx 有两个交点的条件即可．…………………………………………………………①画出函数y ＝f (x )及y ＝kx 的图像，如图所示．当直线y ＝kx 与曲线y ＝ln(x ＋1)相切时，y ′＝1x ＋1在x ＝0时恰好等于1，即k ＝1，所以直线y ＝x 与曲线y ＝ln(x ＋1)恰好相切于坐标原点．结合图像，可知只有当0<k <1时，y＝kx 与y ＝ln(x ＋1)的图像在(0，＋∞)上只有一个交点．同理，直线y ＝12x 与曲线y ＝－x 2＋12x 在坐标原点相切，结合函数的图像，可知只有当k >12时，函数y ＝kx 与函数y ＝－x 2＋12x 的图像在(－∞，0)上才存在交点．………………………………………………………③要使y ＝f (x )－kx 有三个零点，则k 的值为上述两个k 值的交集，故12<k <1. …………………………………………………………………………④[答案] ⎝⎛⎭⎫12，1 1．设方程3x ＝|lg(－x )|的两个根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝0C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<2解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝3x 和y ＝|lg(－x )|的图像，可知－2<x 1<－1，－1<x 2<0，所以0<x 1x 2<2.答案：D2．当x ∈(3,4)时，不等式log a (x －2)＋(x －3)2<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1,2] C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0解析：由log a (x －2)＋(x －3)2<0知(x －3)2<－log a (x －2)＝)2(log 1-x a，要使函数y ＝)2(log 1-x a(x ∈(3,4))的图像在函数y ＝(x －3)2(x ∈(3,4))的图像的上方，则1a >1，数形结合可知)24(log 1-a≥(4－3)2，即2log 1a≥aa1log 1，故1a ≤2，a ≥12，故12 ≤a <1.答案：C1． 已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( ) A ．x 0<bB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 函数f (x )＝(13)x －log 2x ，在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )．又∵f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ，若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ，故x 0>c 不可能成立，故选D. 2． 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D解析 根据方程与函数关系． 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)， ∴f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有 两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点． 如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时， 满足题意，则0<m ≤12.1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3)解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．答案 C(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在区间为( )． A ．⎝⎛⎭⎫－14，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，14 C ．⎝⎛⎭⎫14，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，34 解析 f (0)＝－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14 ＋4×14－3＜0， f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12 ＋4×12－3＝e 12 －1＞0， 又∵f (x )为R 上的增函数， 且f (14)·f (12)＜0，故选C.7． 函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点；又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点． 答案 3(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 令f (x )＝x cos 2x ＝0，∴x ＝0或cos 2x ＝0，即x ＝0或2x ＝k π＋π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π]，∴x ＝0，π4，3π4，54π，74π，故选D.(2013·天津调研)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[思路点拨]先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数． 解析 因为f ′(x)＝2xln 2＋3x2＞0， 所以函数f(x)＝2x ＋x3－2在(0,1)上递增．又f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1个零点．(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝221-⎪⎭⎫ ⎝⎛x 图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) [思路点拨]画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．解析 设f (x )＝x 3－221-⎪⎭⎫⎝⎛x ，x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝221-⎪⎭⎫ ⎝⎛x 的图象，如图所示．∵f (1)＝1－121-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝－1＜0，f (2)＝8－021⎪⎭⎫⎝⎛＝7＞0，∴f (1)f (2)＜0，又∵f (x )为单增函数，∴x 0∈(1,2)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如右图所示，发现当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点．答案 (0,1)8．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.答案 －12，－139．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________． 答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得，f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．2． 若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是 ( )答案 D解析 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知，对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立． 对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D. 3． 函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 因为f ′(x )＝2x ln 2＋2x 2>0，所以f (x )是增函数，由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3. 答案 C5． 已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是 ( ) A ．3,6,9 B ．6,9,12 C ．9,12,15 D ．6,12,15答案 B解析 令f (x )＝|x 2－6x |，作图象如下：知f (x )＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，它与直线y ＝a 交点的个数为2,3或4个． 所以方程根的和为6,9,12.选B.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0，有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象，如图所示，所以a>1.答案(1，＋∞)。