高等传热学作业

高等传热学作业Revised on November 25, 2020

第一章

1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。

解：球坐标微元控制体如图所示：

热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：

→

→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕ

θθϕθsin 11'

' （1-1）

根据能量守恒：st out g in E E E E •

•••=-+

ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r t

T c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 2

2∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：

ϕθθ

θθd r dr T

r k q sin ⋅∂∂-

= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到

)

51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t T c d drd r q d rd dr T

r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：

t

T

c q T r k T r k r T r r r k p r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2

222222sin )(sin sin )( （1-6） 第二章

2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。 解：根据题意画出示意图：

（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00

000212222θθ

λθθθδθθθ

θh y L y y y x x y x （2-1） 解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理

∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ

用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即

)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）

将上式代入I θ的导热微分方程中，得到0121

212

12=+X dy

Y d Y dx X d ，即21'

'11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。由此得到一个待定常数的两个常微分方程

00122

1

2122

12=+=-Y dy

Y d X dx

X d εε （2-3） 解得

)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5） 把边界条件0,

0=∂∂=y

y I

θ代入（2-3-4）得到A=0，所以有

)()(1x Bsh x X ε= （2-6） 把边界条件0,

=∂∂=y

L y I

θ代入（2-3-5）得到D=0，所以有 )cos()(1y C y Y ε= （2-7） 把边界条件0,=+∂∂=I I

h y

L y θθλ

联立（2-3-7）得到 λ

εε/)cot(hL L

L =

（2-8）

设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1( =n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1( =n n ε，所以有

)cos()(1y C y Y n n ε= （2-9） 联立（2-3-6）可得

∑∞

==1)()cos(),(n n n n I x sh y K y x εεθ （2-10）

把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得

⎰⎰=L

n n n L

n dy y sh K dy y 0

20

2)(cos )()cos(εδεεθ （2-11）

解得

]

)cos())[sin(/()

sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+= （2-12）

其中L n n εβ= )()cos(]

)cos())[sin(/()sin(2),(12x L sh y L L sh y x n n n n n n n n I β

ββββδββθθ∑

∞

=+= （2-13）

（3）求解温度场∏θ

与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积

)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）

将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到0222

222

22=+X dy

Y d Y dx X d ，即22

'

'22'

'2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程 022

2

2=-X dx X d ε （2-15） 02222

2=+Y dy Y d ε （2-16）

解式（2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为 )]([)]([)(2x Bsh x Ach x X -+-=δεδε （2-17） 把边界条件0,==∏θδx 代入上式，得到A=0，所以有 )]([)(2x Bsh x X -=δε （2-18） 其中i n n n n B L /)cot(,βββε==

)]([)cos(),(1x sh y k y x n n n n I -=∑∞

=δεεθ （2-19）

把边界条件1,0θθ==∏x 代入上式可得

⎰⎰-=L

L

n n n

n dy y x sh K dy y 0

2'

1)(cos )]([)cos(εδεεθ （2-20） ]

)cos())[sin(/()

sin(21'

n n n n n n

L sh K βββδββθ+= （2-21）

)]([)cos(]

)cos())[sin(/()sin(2),(11x L sh y L L sh y x n n n n n n n n -+=∑

∞

=∏δβ

ββββδββθθ （2-22）

（4）最终求得稳态温度场

2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储

存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地