仿射变换在初等几何解题中的应用
仿射变换理论及其在几何中的应用
(1.14)
证以 为原点 为坐标向量建立仿射坐标系如图五
若令 则根据定比分点公式,有关点的坐标为
,
共线的充要条件是 ,而
所以 的充要条件是
化简得 ,(1.14)式成立.
古希腊亚历山大里亚的数学家、天文学家梅内劳斯(公元98年左右),在其幸运的保留下来的三卷≤球面几何≥( )[4]中提出了着个定理.
1平面上的仿射坐标系与仿射变换
我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点 及两个不共线的向量
(不一定是单位向量，且 不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系
如图1
对于平面上任一点 ，则向量 可唯一地表示为
数组 称为关于仿射坐标系 的仿射坐标.
定理1.0 在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程
故
推论1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量.
推论2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
例1 求椭圆的面积(图4).
方法一:解 在直线坐标系下,
椭圆
经仿射变换 (1.13)
变为圆
如图4,椭圆内 经(1.13)对应为 ,其中 , , , 从而
即
于是,椭圆的面积为
方法二[2]:解 化椭圆为参数方程
求得椭圆所围面积为
,
即 共线.
定义1.1在平面上点之间的一个线性变换
（1.05）
叫做仿射变换，其中 分别是 的仿射坐标.
从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.
例1 有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.
仿射变换在初等几何教学中的应用
仿射变换在初等几何教学中的应用谭建中;呙立丹【摘要】高等几何是高师院校数学教育专业的主干课程之一,通过实例从平行射影和仿射对应图形两个方面,说明属于高等几何内容之一的仿射变换在解决某些中学几何问题中所起到的作用,阐述高等几何与中学几何的联系和高等几何的思想方法对中学几何的教学的指导作用,使得数学教育专业的师范生能够更好地理解高等几何在实际教学中的应用.【期刊名称】《韶关学院学报》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】3页(P106-108)【关键词】仿射变换;平行射影;高等几何;初等几何;教学【作者】谭建中;呙立丹【作者单位】韶关学院数学与统计学院, 广东韶关 512005;韶关学院数学与统计学院, 广东韶关 512005【正文语种】中文【中图分类】G642.1高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一，该专业的学生毕业后，大部分的同学将从事中学数学的教育工作。
他们常常对学习高等几何的内容与他们以后从事的中学数学教育有什么关系，即高等几何的学习对他们以后的数学教学会起到什么样的作用而感到困惑。
实际上，中学数学教学中与高等几何联系最紧密的是中学几何，或称初等几何。
初等几何是高等几何的基础，而高等几何则是初等几何的延伸和拓展。
我们可用高等几何的一些原理、方法来分析初等几何的有关问题，使得高等几何能“用高于下”，以便深入理解高等几何对初等几何的指导意义。
为此，本文将通过实例说明属于高等几何内容之一的仿射变换在解决初等几何问题中的一些应用。
平行射影是最简单的仿射变换，利用两条直线之间的平行射影，将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段，再利用仿射不变性证明几何题。
［1］例1 设线段AB的中点为M，从AB上另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令CD的中点为N， BD的中点为P，MN的中点为Q。
求证：直线PQ平分线段AC。
［2］证如图（1），以DA为射影方向，将点D、N、P平行射影到直线AB上。
第十五章 仿射变换
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
例5：求椭圆的面积。 分析：椭圆是一个二次曲线，用初等几何和微积分的知识进行推导 比较繁琐。考虑到圆经过仿射变换对应一个椭圆，所以椭圆也可 以通过一个适当的仿射变换对应成一个圆。
解：在直角坐标系下，椭圆
x y 1 a 2 b2
2
2YΒιβλιοθήκη B’ B A O A’ X
第十五章 仿射变换
目录
仿射变换的定义 仿射变换的性质 仿射变换与初等几何的相关联系 仿射变换在初等几何解题中的应用 结束语
一、仿射变换的定义
定义：如果平面上的一个点变换，把共线的任意 三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不 变，称这个点变换为仿射变换。
二、仿射变换的性质
1.仿射变换保持同素性:即仿射变换将点变成点, 直线变成直线. 2.仿射变换保持结合性:即仿射变换保持点与直线 的结合关系. 3.仿射变换将向量变成向量,且保持向量的线性关 系
三、仿射变换与初等几何的相关联系
变换群 几何学
射影群
射影几何
仿射群
仿射几何
正交群
欧式几何
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（一）平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。 因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质， 解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平 行线段之比是仿射不变量。
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
1 2
1 5
D F A
C
G E B
四、仿射变换在初等几何解题中的应用
（四）仿射变换在椭圆中的应用 例4：证明椭圆的外切三角形的顶点与对边上的 切点连线交于一点。 分析：此题是关于线共点的问题，由于椭圆的一 般性以及三角形的一般性，用初等几何比较难 入手，但可以用仿射几何的方法进行转化，变 成特殊的圆，以及正三角形来加以研究。
巧用仿射变换解决高考中解析几何问题
＝ ｅ２，且 ｅ１＝ （１，０），ｅ２ ＝ （０，１），由 已知得ＣＰ ＝ 精 心设 计和 讲评从 而使 学生 的解题达 到举 一反 三 的 （ ，０）＋（０，Ｙ）＝ （ ，Ｙ），可得 ＝３Ａ，Ｙ＝４—４Ａ， 效 果．，
—
—
—
—
＝ ÷，．’．Ｉ Ａ Ｉ·Ｉ Ｂｃ Ｉ＝１５，．。．Ｉ ＡＢ Ｉ＝５，Ｉ ＡＣ Ｉ＝
３，Ｉ ｃ ｌ＝４，由又 Ｐ为线段 Ａ 上的点，且ｃＰ＝÷
以先根 据条 件 得 到 ＲｔＡＡＢＣ特 征 ，然 后 再 考 虑 利 用 三 点共 线条 件建 立 ，Ｙ之 间关 系找 到 基本 不 等 式 ， 转化 为 Ａ的二 次 函数求 解．
， ＝ × （一２ｎｍ）＝＿２，又因 ＝号，
十 ＝ ０．
ｙ，： ，所 以 ｋｅ，Ａ，： ， ： ．．·． 后船
若 直 线 Ｚ 与 圆 ＋ｙ“ ＝ １的交 点‘有 两个 ，则
解法 １：在ＲｔＡＡＢＣ中，由Ａ ·ＡＣ＝９得 Ｉ ＡＢ Ｉ． Ｉ ＢＣ Ｉ ｃｏｓＡ ＝９，由面积 为 ６，得 ｌ ＡＢ １．Ｉ ＢＣ ｌ ｓｉｎＡ ＝
：１２，由以上 两 式解得 ｔａｎＡ ＝ 亍４ 所以ｓｉｎＡ＝ｉ４， ．
ｃｏｓＡ＝÷，所以ｌＩ ＡＢ Ｉ·ｌ ｃ Ｉ＝１５，所以Ｉ Ａ Ｉ＝５，
学 ），２０１７（７）：７—１０．
‘
巧 用 仿 射 变 换解 决 高 考 中解 析 几何 问题
陕西安康 学院数学与统计 学院 （７２５０００） 王子怡 赵临龙 （指 导教 师）
仿射几何及其在初等几何的应用
仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。
关键字：平行射影 简比 仿射性 仿射量 共线点定义1 对于a 和a ′是平面不平行的两条直线，设l 为平面上一条直线，通过直线a 上的诸点A ，B ，C ，D ，……作l 的平行线，交a ′于A`，B`，C`，D`，……，这样便定义了直线a 到a ′的一个映射。
称为透射仿射(平行射影)，a 上的点为原象点，a ′上的点为象点，l 为平行射影的方向，记这个透射仿射为T ，则写A ′=T(A )。
有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透射仿射。
如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l 是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。
平面π上的直线a ，对过直线上的点A 作平行于l 的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可作出点B 和点C 的对应点B`，C`。
于是便建立了平面π到π`的对应关系。
称为π到π`依方向l 的透射仿射。
根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质： ○1π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；π上的直线变成了π`上的直线；○2若一个点A 在l 上，则A 的对应点A`也应在l 的对应直线l`上； ○3π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的。
○4直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C 是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则BCAB C B B A ````。
我们把○1称为透射仿射具有同素性，把满足○2称为透射仿射具有结合性。
而满足○3则称为透射仿射具有平行性。
这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变换的概念。
仿射变换在解决初等几何问题中的应用
２ １ ５ ３ ３ １ ）
分析 ： 因为 三角 形 的 中线 和直 线 的平 行 都是 仿 射 性 质 ． 所 以只 要 对 正 三 角 形证 明该 命 题 成 立 即可 ． 证 明 ： 在 正 ＡＡ Ｂ Ｃ 中， Ｐ 为Ｂ Ｃ 边 中 线 上 的一 点 ， Ｂ Ｐ ， Ｃ Ｐ 交
通过以上几方面的应用此外证明共点共线问题可以看出在三角形中如果已知条件与仿射变换中的不变性量相因为任意三角形可以由正三角形通过仿射变换得到这样可以把问题化难为易收到事半功倍的效果
■匪
仿 射 变 换 在 解 决 初 等 几 何 问 题 中 的 应 用
丛 芳
（ 昆 山 陆 家高 级 中学 ， 江苏 昆山 高 等 几 何 为 我 们 提 供 了解 决初 等 几 何 证 问 题 中的 一 些 方 法． 这 些 方 法 虽 然 大 多不 能 直 接 进 入 中学 课 堂 ， 但 它 们 能 够 帮 助 我们 思考 问题 ， 启发我们获得初等证法 ． 有 时 其 证 明 过 程 还 能 帮 助 我 们 找 到 发 现 新 的命 题 ．如 果 适 当地 运 用 仿 射 几 何 知 识， 在解决问题时 ， 就 会 使 问题 简 化 ， 收 到事 半 功 倍 的 效 果 ． 仿 射变 换 的性 质 取决 于 透 视 仿 射 的 性 质 。经 过 一 切 透 视 仿 射变 换 不 改变 的性 质 和 数量 ，称 为 仿 射 不 变 性 和 仿 射 不 变 量． 透 视仿射 （ 即平 行 摄 影 ） 将点 映成点 ， 将直线 映成 直线 ， 因 此 透 视 仿 射 具 有 同素 性 、 结合性． 针 对 仿 射 变 换 的不 变 性 和 不 变量 ， 我 们 可 以 解 决 初 等几 何 中 的有 关 仿 射 性 质 的 问 题 ． 仿 射变 换 的 主要 性 质 应用 于 有 关 三 角 形 及 椭 圆 的 仿 射 性 质 方 面 十分 有 效 ． 下 面从 两 个 方 面 阐述 它 的 作 用 ． １ ． 仿 射 变 换 在 证 明 有 关 三 角 形 的 仿 射 性 质 的 命 题 中 的
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
Y
Y
P
X
P 1' P2
X
B
图３ 椭圆仿射变换图
C 1
Pห้องสมุดไป่ตู้
A
图2 圆及外切三角形示意图
3
有关椭圆某部分面积的问题 对于求有关圆的扇形面积是较容易办到 的，但对于椭圆来说，要求其面积很不方便， 通过仿射变换将椭圆变成圆再来解决问题则简 捷很多。 例:求椭圆 x + y = 1 两点 P1 ( 3 2, 5 2) ，
cos θ =
sin θ =
1 [a 22 ( x'− a13 ) − a12 ( y '− a 23 )] r (a11 a 22 − a12 a 21 )
1 [ a11 ( y '− a 23 ) − a 21 ( x '−a13 )] r ( a11 a 22 − a12 a 21 )
将以上二式平方相加得圆的象的方程为： (x1’-a13’)(a212+a222)-2(x’-a13)(y’-a23)(a11a21+ a12a22)+(y’-a232)(a112+a122)=r2(a11a22-a21a12)2 可以证明这是一个椭圆的方程，因此得知 圆的仿射对应图形是椭圆。 由于圆的仿射对应图形是椭圆，所以可以 从圆的性质推导出椭圆的一些性质：已知三角 形 ABC 的顶点与其内切圆的切点的连线共点， 因为圆的仿射对应图形是椭圆，三角形的仿射 对应图形也是三角形，且仿射对应图形保持结 合性不变，所以圆的切线的仿射对应图形是椭 圆的切线，因此图 1 的仿射对应图形是图 2。 解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆 的问题，主要应用如下： (1)求椭圆的面积 利用仿射变换求椭圆的面积见图 1：
用仿射变换解决初等几何中的一些问题
步阐述了仿射几何学对欧氏几何学的指导作用，从而揭示仿射几何学 也有 EF∥BC。
与欧氏几何学的内在联系。
三、共点线或共线点的问题
关键词：仿射变换 仿射性质 初等几何 应用
由于仿射变换保持同素性和结识点之一，而仿射变换则是仿射 将共线点变为共线点，因此，当命
G′、H′，在等腰梯形 A′B′C′D′中易证 E′、F′、G′、H′四点共线，故由仿射性 道：平行四边形经过仿射变换后仍为平行四边形，特殊的可变为正方形;
梯形经过仿射变换后仍为梯形，特殊的可变为等腰梯形。
质可知 E、F、G、H 四点共线。
在初等几何中，但凡仅涉及图形的点线结合性、平行性、简比、多边
二、两条直线平行的问题
［4］李长明，周焕山.初等数学研究［M］.高等教育出版社，1999.1.
由于仿射变换保持两条直线的平行性不变，因此，当命题要证两条
直线平行时可考虑仿射变换。
A
A′
例 ：设 在 △ABC 中 ，AD 是
BC 边上的中线，DE、DF 分别是
∠ADB 和∠ADC 的平分线，DE、 E
起来，将一般问题化为特殊问题来处理，从而使解题的难度大大降低，
解：设椭圆的标准方程为xa22
+
y2 b2
=1（a＞b＞0），如
问题就能轻而易举地得到解决。利用仿射变换的仿射性质，仿射变换可
x′=x
解决以下一些初等几何问题。 一、共线的两线段相等或成定比的问题
右图，将该椭圆经过仿射变换
y′=
a b
后其对 y
y B′
B
A′
O
Ax
由于仿射变换保持共线三点的简比不变，因此，当命题要证共线的 应图形为圆 x′2+y′2=a2，在此仿射变换之下，点
仿射变换在解题中的应用
2972020年第6期仿射变换在解题中的应用张海燕（四川省德阳市中江县城北中学，四川德阳 618100）摘 要：初等几何和高等几何在利用仿射变换关键是抓住“不变”两字，仿射不变量与仿射不变性质是绑定在一起的。
本文首先阐述了仿射变换在几何中的地位，然后，从三个方面例举运用仿射不变性的例题来验证仿射不变性在初等几何中的重要意义。
这三个方面分别是仿射变换中的三个不变性:平行性、结合性及单比、封闭图形面积比，其中也用到了仿射坐标系。
通过对比初等几何的解题方法与利用仿射变换对初等几何的重要指导意义。
关键词：仿射变换；仿射不变性；应用1 引 言初等几何与高等几何在利用仿射变换求解时关键就抓住“不变”两字，仿射变换中的不变性与不变量是绑定在一起的。
平面几何中的一些特殊图形性质定理可以利用仿射变换中的不变性和不变量得到推广，当我们对于一些复杂图形时没有解决方法，可以将其仿射变换到比较容易研究的一些特殊图形中，这样就可以做到化繁为简，进而再从一些特殊图形推广到一般图形得到类似的性质定理，仿射变换在初等几何、高等几何中的应用主要是采用仿射对应图形，即：在放射变换下相应的图形。
如：一般三角形与等边三角形、一般梯形与等腰梯形、平行四边形与正方形、圆与椭圆、菱形与正方形的相互对应。
2 仿射变换的应用仿射变换能够简洁、方便地解决初等几何的一些问题，因而，我们能利用仿射不变性与仿射不变量来解决相关问题，但仿射变换对于解决一些度量性质的问题有很大难度。
因此，要解决初等几何问题，第一要分析该图形是否具有仿射性质，如平行性、单比、面积比不变等。
第二讲图形通过仿射变换转换成对应的、特殊的、易于研究的图形。
第三通过研究图形的仿射性质推出原来一般图形的性质。
在以下例题中，将多次用到放射对应图形。
一个图形经过仿射变换变成另一个图形，就说这两个图形是仿射等价的，即经过仿射对应前后的平面上有一一对应的关系。
初等几何中最常用的对应图形就是一般三角形与正三角形的对应，正方形与平行四边形的对应，等腰梯形与一般梯形的对应，还有椭圆与圆的对应。
仿射变换在初等几何中的应用
仿射变换在初等几何中的应用
仿射变换在初等几何中是一种重要的几何变换，它可以将几何图形变换成和原几何图形一样大小、形状和方向的新图形。
它是通过满足两个基本原则——线性性（Linearity）和平行性（Parallelism）来实现这一目标的，并且是对称变换中最常用的一种，广泛应用于欧几里得几何和高等几何中。
仿射变换可以完成几何图形的平移、旋转、缩放和反射等基本变换操作，而且效率很高。
在几何图形变换中，仿射变换的应用非常重要，其应用范围也非常广泛。
在实际的几何图形变换过程中，仿射变换通常可以用来实现对一般平面图形的缩放、平移、旋转、反射等操作，例如在绘制特定图形或模型时，可以采用仿射变换来实现指定图形到另一个图形的变换。
此外，仿射变换还可以用来实现三维空间中的平面或者曲面之间的变换，以此来满足几何变换的需求。
此外，仿射变换在几何图形的拓扑学上也有着重要的应用，例如它可以用来实现几何图形的精确绘制，而其他几何变换例如旋转等往往会改变几何图形的拓扑结构，因而只能通过仿射变换来实现精确的拓扑变换。
总而言之，仿射变换在初等几何中有着广泛的应用，它可以实现对几何图形的平移、旋转、缩放、反射等基本变换操作，并可以用来实现几何图形的拓扑变换，以实现精确的绘制。
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆
高考数学复习：利用仿射变换解决椭圆谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。
例1设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点 ⑴若6=，求k 的值；⑵求四边形AEBF 面积的最大值。
分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’， 线段E ’F ’恰为圆的直径，根据性质1，D ’分线段E ’F ’的比与D 分线段EF 的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D ’点的坐标，再反求出D 点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。
解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+ 作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1)⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72 ∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723 D ’B ’=724 ∴''''B D 34D A =或''''D 43A = 由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,) ∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’ ∴S ≤22 当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号 说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。
谈仿射性质在初等几何中的应用
计算两 直线 的交点可得
Ｄ一 ， Ｄ一丢 ｃ， ： ｃ， ，
Ｅ 一 （ １
，
＝ ， ＝ ， Biblioteka ＝ ｃＥ 一 （ ， ） ．
ｌ １ １
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Ｅ２一 （ ， ） ，
Ｂ３ Ｘ 一 ０ Ａ２ ： 一 ， 一 ０，
进 而可得各 直线 方程 ：
Ａ１ ２ Ｘ － １ Ａ ：
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Ａ ２ ４ Ｃ ：
Ａ２ ： ｃ３
一 ７ 一 ０， ｘ
Ａ。 屉 ＋ ３ Ｂ： 一 一 ０ ，
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＋ ５ ｙ一 ３
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一２ 一
图 ｌ 正 三 角形 及 其 重 心
图 ２ 正 三 角形 及 各 线段 中点
图 ３ 面 积 相等 的三 角形
维普资讯
１０ ０
高 等数 学 研 究
２０ 年 １ ０８ 月
例 ２ （ ９ ９年亚 洲太 平 洋地 区数学 竞赛 题 ） Ａ Ａ Ａ １８ 设 、 、 。为平 面 上三 点 ， 为方 便起 见 ， 约定 Ａ ＝ Ａ Ａ ， 一 Ａ ， 对于 ，一 １ ２ ３ 令 Ｂ 为 Ａ， ｚ ， ，． ４ 的中点 ， 为 Ａ Ｂ 的 中点 ， Ｃ 与 Ｂ Ａ ， 交于 Ｄ ， 与 Ａ ＡＢ 交于 Ｅ ． △Ｄ Ｄ。 △Ｅ１ ２ ３ 求 Ｄ 与 的面积 之 比． ＥＥ 解 设 △Ａ 为正三 角形 ， Ａ 为 原点 ， 为 Ｘ轴 ， Ａ 并 垂直 于 Ａ 的直线为 ｙ Ａ Ａ。 以 Ａ Ａ。 过 Ａ。 轴 ， Ａ 长度作 为单位 长度 １ 建立直角 坐标 系（ ２ ． 以 Ａ。 ， 图 ） 易知 图中各点 的坐标 为 ：
巧用仿射变换解决椭圆相关问题的调查与实践
巧用仿射变换解决椭圆相关问题的调查与实践本项目通过对其他专家及学者关于仿射变换在初等几何中的运用这方面的研究作了综合性的分析，并对中学生对仿射变换的知识理解和运用情况进行了调查，得出了仿射变换在初等几何中的应用还没有得到广泛的推广，同时还只是停留在原始的解题方法基础上。
我们在此，为了将仿射变换能够更好的推广到中学的初等几何教学中去，我们认为有必要对这方面进行进一步的研究。
为了能让中学教师和学生能认识到仿射变换在中学教学中的重要意义，我们进行了如下分析。
1、代数法当题型只涉及到关系式，没有图形时，可以采用代数法来解决。
代数法也是我们数学当中常用的方法。
我们对以下两个例子做了调查和分析例1：已知：点P（x，y ）在椭圆上运动，求的最大值解：令，，则，，问题化为：Q（x' ，y' ）是单位圆上的点，求的最大值。
设A （2, 0）,则u即为直线AQ的斜率K。
设过点A的圆的切线为AB AC （ B C为切点），当Q和C重合时K取最大值，此时•••时优点：对于本题，通过与传统的解题方法作比较，它的优点在于比我们利用中学的传统方法解决要简单很多，计算量也不大。
调查方法：我们对部分中学生作了抽样调查，将此题给中学生做，并将数据进行统计。
调查结果：通过回收试题进行了总结，发现只有极少数的同学运用了仿射变换的方法来解决的，而更多的是利用传统的解题方法。
不足之处：此方法在知识上的跳跃性比较强，让中学生接受起来比较困难。
若要想此方法在中学中能得到广泛的推广，此题的解决方法还得进行适当的优化。
比如添加上图形，采用数与形相结合，使得更加形象化，学生也更容易理解。
分析：此方法虽然比较优越，但在中学的教学中并没有得到广泛的运用。
现在所面临的问题就是如何将此方法进行推广。
例2:已知：椭圆直线I : P是I上一点，射线0P交椭圆于R,又点Q在0P上且满足|0Q| • |0P|=|0R|2，当点P在I上移动时，求：点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形故Q点的轨迹是以（1，1）为中心，长半轴长为，短半轴长为，且焦点在直线y=1 上的椭圆（除去原点）.优点：本题是一道难度系数很高的高考试题，当年利用传统的解题方法基本没有几个人能在有限的时间里把它做出来，而且计算量也比较大。
摭谈仿射变换的应用_从一道高考题说起
在仿射坐标系下 , 设 A B = a, A C = b, 则 B ( a, 0) , C ( 0, b ) , A ( 0, 0 ) . xA + xC xD = = 0, 1+ y A + yC b yD = = . 1+ 3 1 b 其中 = 2 . 于是 D ( 0 , 3 ) . 下面来求点 H 的坐标 xH = xB + x C = a + 0= a , 1+ 1+ 2 3
x 2 y 2 + 2 = 1. 那么圆上所有的点都仿射 a2 b 到椭圆上 , 根据仿射变换的定义: 保持单比不 变性 , 原来 M 为 X Y 中点 , 仿射到椭圆上 M 为 X Y 中点. 因 此此定理 在椭圆上 仍然成 立. 下面我们来利用仿射坐标系解决一道平 面几何的题目: 例4 知S 如 图 4 ( 1) , 2, 求 S A BC 中, DC =
不变量) , 两个封闭图形面积之比是仿射不变 量. 性质 2 不变量. 下面我们由一道高考题引出仿射变换: 例1 ( 2007 年江苏 10 题) 在平面直角 0, y 0} , 则平面区域 B = A } 的面积为 ( ( C) 1 . 2 ( D) 1 . 4 ) 坐标系 x Oy 中 , 已知平面区域 A = { ( x , y ) | x+ y 1, 且 x {( x + y, x - y )| x , y ( A) 2. ( B) 1. 两个三角 形面积之 比是仿射
2 A D, BH = 2H C , AH 与 BD 相交于点 P , 已
AB C = P AB 面积 .
( 1) 图 4
( 2)
解
如图 4( 2) 建立仿射坐标系.
[ 1]
仿射不变量在初等几何中的应用1
仿射不变量在初等几何中的应用1秦进【摘要】简要叙述克莱因(F.Klein)几何观点，介绍几个仿射不变量，探讨如何利用仿射变换中的不变量解决一些初等几何问题，体现了高等几何对初等几何有重要的指导意义。
%The present paper narrates F.Klein’s geometric vienpoint in brief,by introducing the definition and several characters of affine transformation, and disscussesow to solve some elementary geometric proplems by use of the invanable and invanability in affine transformation and,manifest the important guiding sense of higher geometry to elementary geometry.【期刊名称】《六盘水师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】4页(P62-65)【关键词】仿射变换;不变量;初等几何【作者】秦进【作者单位】遵义师范学院数学系，贵州遵义563002【正文语种】中文【中图分类】O18德国数学家克莱因（F.Klein）于1872年在德国埃尔朗根大学所作题为“近世几何学研究的比较评论”的报告中首先将变换群与几何学联系起来给几何学以新的定义（梅向明等，1983）。
集合S叫做空间，它的元素叫做点，它的子集叫做图形，凡是等价的图形属于一个等价类，于是同一类里的一切图形所共有的几何性质和几何量必是变换群下的不变量和不变性；反之，图形在变换群中一切变换下的不变量和不变性，必是同一等价类里一切图形共有的性质。
根据克莱因几何观点，图形在仿射变换群下的不变性和不变量的命题系统构成了仿射几何，仿射几何是高等几何的一个重要内容，它是从欧氏几何到射影几何的桥梁，用变换群去研究相应的几何学（罗崇善，1999），阐述了几何学的本质是变中求不变，仿射不变量在初等几何中的应用要抓不变量的“不变”两字上。
仿射变换在简单图形中的应用
中学习的高等几何，数学分析.
研究路线：阅读高等几何，数学分析等相关书籍—深入学习研究—总结全文.
4、主要参考文献
[1] 李修昌、宋建华、崔仁浩，高等几何 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008.6.
[2]朱得祥、朱维宗，高等几何（第 2 版）.北京：高等教育出版社，2007.7.
[3]苏·雅格洛姆著，詹汉生译，几何变换.2/哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 2015.6.
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仿射变换在初等几何解题中的应用…………摘 要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用.关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何Abstract: Affine transformation, namely parallel projection, is an important transformation in geometry. It is the bridge from the motion converting to the projective transformation. This article will start with the concept of affine transform, to understand the geometry of affine geometry research by affine transformation invariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship, and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry.Key words ：affine transformation ；affine invariance ；elementary geometry1 仿射变换的基本概念及相关性质1.1 仿射变换的概念定义1.1[1] 设同一平面内有n 条直线1a ，2a ，3a ，…n a ， 1T ，2T ，3T ，…1-n T 顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1-n a 到n a 的透视仿射，经过这一串平行射影，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，称为1a 到n a 的仿射或仿射变换如图1-1.T =1-n T 122T T T n ⋅⋅⋅⋅- ，T 称为1T ，2T ，3T ，… 1-n T 按这个顺序的乘积.)(A T = 1-n T 122T T T n ⋅⋅⋅⋅- )(A = 1-n T )(22A T T n '⋅⋅⋅- =…=n A ，)(B T =n B 等图1-1定义1.2 设A ，B ，C 为共线三点，这三点的简比()ABC 定义为下述有向线段的比：()BCAC ABC = 其中AC ，BC 是有向线段AC ，BC 的代数长，A ，B 叫基点，C 叫分点.当C 在A ，B 之间时，()ABC <0；当C 不在A ，B 之间时，()ABC >0；当C 与A 重合时，()ABC =0；当C 与B 重合时，()ABC 不存在.1.2 仿射变换的性质（1）仿射变换保持同素性：即仿射变换将点变成点，直线变成直线；（2）仿射变换保持结合性：即仿射变换保持点与直线的结合关系；（3）仿射变换将向量变成向量，且保持向量的线性关系v u λ=.定理1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.推论1 两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线.推论2 共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线.定理2 两条平行线段之比是仿射不变量. 1a 2a 3a na A 'B 'C 'A B C D 'n A n B n C n D A ''B ''C ''D ''D推论一直线上两线段之比是仿射不变量.定理3两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量.2仿射变换与初等几何的相关联系从总体上看,高等几何对初等几何具有多方面的指导意义.在此,笔者择要阐述两种,以此说明高等几何对初等几何普遍指导意义[2].一是学习高等几何能深化对初等几何的认识和理解.几何学是一种研究在相应的变换群下图形保持不变的质和量的科学,射影群、仿射群、正交群所对应的是射影几何、仿射几何、欧氏几何,根据普遍性包含于特殊性的原理可知,射影几何包含于仿射几何包含于欧氏几何,这其中,射影几何内容最少,欧氏几何内容最丰富.不同的几何课程在内容上的侧重点不同,解析几何主要研究图形的性质,将空间几何结构代数化是其本质特征;欧氏几何主要研究整个空间的几何结构,它利用图形的直观形象启发人类的想象思维,从而促使人们不断探索发现图形间的关系与性质；高等几何尤其是其中的射影几何则包含、融合了上述两者的内容.也就是说,学习高等几何能使我们站得更高一些,看得更远一些,能进一步认清几种几何学间的关系,进一步开阔几何学的视野,从而更好地理解和把握初等几何的本质和精髓.二是学习高等几何能有效扩充初等几何的研究方法.从实用主义的角度看,数学与应用数学专业的学生或中学数学教师学好高等几何,一方面可扩展几何学的认知范畴,在更高的水准上搞好教学工作,另一方面可用高等几何的理念和观点来指导和反思初等几何的教学内容与研究方法,从而不断改进初等几何的教学方式,优化其研究手段和教学模式,切实提高中学几何的教学质量.3仿射变换在初等几何解题中的应用根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为等腰梯形或直角梯形.因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题，如果能证明它在特殊图形中成立，则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立.利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用.3.1 平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类.因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质.解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量.例3.1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F .求证：1=++CFPF BE PE AD PD .B C图 3-1 证明 如图3-1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影.P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得 ：DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=，所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例3.2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真.（梅涅劳斯定理 ）[3]分析 如图3-2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBAN MA CM LC BL 。
其逆命题亦成立. N B A L'(L)A'C B A M MNA'L C（1） （2）图 3-2证明 （1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便.如图3-2 (1)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立. （2）证明逆命题成立，即： 当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线.设直线MN 交BC 于L '，如图3-2 (2) ,由已知条件知，1''-=⋅⋅NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线.3.2 三角形的仿射等价性任一三角形可以经过平行投影变成正三角形.因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立.而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多.例3.3 在ABC ∆的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC .D 'C 'D B B'图 3-3证明 如图3-3，作仿射变换T ，使得ABC ∆对应正C B A '''∆，由仿射性质可知，点D 、P 、E 、F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''∆的中线。
在正C B A '''∆中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''，由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ∆中EF ∥BC .3.3 四边形仿射性质的应用3.3.1 证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可.例3.4 平行四边形ABCD 的一组邻边上有点E ，F 两个点，且EF ∥AC .求证：AED ∆和CDF ∆面积相等[4].CBF 'A'B'A DEF E'图 3-4证明 作仿射变换，使平行四边形ABCD 对应正方形CD B A ''，则有E 对应E '，F 对应F '，如图3-4，在正方形CD B A ''中，由F E ''∥C A '，故C A F E C B F B B A E B '''='''=''''， 因为C B B A '=''，所以F B E B ''=''，故F C E A '=''，因⎪⎩⎪⎨⎧'=''='∠='∠'=''C B B A B DC B A D F C E A 90'，所以F CD D E A '∆≅''∆，又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有1=='∆'''∆∆∆F CD D E A CDF AED S S S S ， 所以CDF AED S S ∆∆=. 例3.5 已知在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 在AD 上，DF AF 21=，EF 交AC 于G ，求证：AC AG 51=.E'A''B'图 3-5证明 如图3-5，作仿射变换f ，使得，平行四边形ABCD 对应正方形D C B A ''''，则由仿射性质可知，点E 、F 、G 分别对应E '、F '、G '，且E '是D A ''的中点，F D F A ''=''21. 在正方形D C B A ''''中，取D C ''的中点P '，过B '、D '、P '作F E ''的平行线，分别交C A ''于点H '、M '、N '.由平面几何知识易证，C A G A ''=''51，由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形ABCD 中，AC AG 51=.3.3.2 证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可.例3.6 在梯形ABCD 中，BC AD //，E ，F 分别为上、下底边的中点.AC 、BC 交于G ，BA 、CD 交于M ，证明：F G E 、、、M 共线[5]. 分析 此题为点共线的问题，考虑梯形的上底和下底平行，考虑是否能由特殊的等腰梯形来转化，进一步考虑是否能在一个等腰三角形中截取？证明 任作一个等腰三角形C B M '''，因为任意两个三角形是仿射等价的，所以一定存在唯一的一个仿射变换T ，使T(△C B M ''')=△MBC ，其中M '→M ，B '→B ，C '→C ，在B M ''上取一点A '，使(A B M ''')=(MBA ).过A '作D A ''//C B ''与C M ''交于D '.M B A C D G EF M`B`A`C`D`G`E`F`图 3-6连D B ''、C A ''，F M ''容易证明，在等腰梯形中，两底中点，两对角线交点，两腰交点，这四点共线，即F G E M '''',,,共线.根据以上作法，仿射变换保同素性和结合性。