中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用 (I)
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
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二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用
意林数学思维方法讲义之八 年级： 九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数c bx ax y ++=2中a,b,c 的作用）： ⑴a 决定__________。
①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。
②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。
③当|a |越大，图象开口越_____。
（2）a 和b 共同决定________。
①b=0时，对称轴为______；②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧。
简记为 。
（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___ 时，图象与y 轴正半轴相交；当___ 时，图象与y 轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。
（4）当__ _时，图象与x 轴有两个交点；当_ 时，图象与x 轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x 轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的项是 （填番号）●变式练习：如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用 【例2】已知，二次函数的解析式y 1=－x 2+2x +3． （1）求这个二次函数的顶点坐标；●变式练习：对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等，则当2012=x 时的函数值为3-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A .-3B .3C .-5D .9●变式练习：如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是或．其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等 【例4】如图，若抛物线y =-x 2+bx +c 的图像经过点A （m ，0）、B （0，n ），已知一元二次方程x 2－4x ＋3=0的两根是m ，n 且m ＜n . （1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x 取何值时，抛物线的图像在直线BC 的上方？ （3）点P 在线段OC 上，作PE⊥x 轴与抛物线交与点E ，若直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分，求点P 的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求抛物线的解析式；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M A O M△∽ABC △？若存在，求出点M 说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34。
2023中考数学复习：二次函数的实际应用
第15讲
二次函数的实际应用— 题型清单
2
数据剖析
题型突破
题型 1 抛物线型二次函数问题
题型 2 几何图形型二次函数问题
题型 3 最值型二次函数问题
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第15讲
二次函数的实际应用— 题型突破
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题型 1 抛物线型二次函数问题
1. 核心素养·模型观念
(2022·石家庄长安区一模)如图,在某中学的
算图形的面积时一般都会出现平方的形式,所以利用二次函数
二次函数的实际应用
1
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数据聚焦
2
3
考点梳理
数据剖析
数据链接
题型突破
真题试做
第15讲
二次函数的实际应用— 教材链接
1
数据聚焦
教材链接
人教：九上第二十二章P49-P53.
冀教：九下第三十章P41-P49.
北师：九下第二章P46-P50.
考点梳理
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第15讲
二次函数的实际应用— 思维导图ຫໍສະໝຸດ 二次函数的实际应用— 题型突破
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②在x轴上有线段NC=1,若一号球恰好能被NC接住,则NC向上平移距离d
的最大值和最小值各是多少?
解：将线段NC向上平移,平移后线段与
抛物线有交点时,说明可以接到一号球,
如图,当线段NC平移后的线段N1C1的N1
点与D重合时,平移距离最大,
∴最大平移距离为yD-yN=3-0=3;
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(1)求抛物线的表达式;
解：∵抛物线的顶点坐标为(4,8),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+8,把点O(0,0)代入解析式,
人教部初三九年级数学上册 二次函数的应用-根据图象性质解决实际问题 名师教学PPT课件
（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取
值范围是多少？（排球压线属于没出界）
解：（3）设抛物线解析式为y＝a（x－7）2＋h， 将点C（0，1.8）代入得49a＋h＝1.8，
a 1.8 h 49
由题意得
4(1.8
49 121(1.8 49
h) h)
h
h
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
即
n 100a n 3 25a
n 4
解得
a
1 25
∴二次函数解析式为：y 1 x2
25
（2） ∵B（10，-4），
∴ 拱桥顶O到CD的距离为4，
∴ 4 20 小时。
0.2
∴ 再过20 h就能到达桥面。
探究：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
则 100a h 25a 3 h
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B
的横坐标10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
解得
n 4
a
1 25
∴二次函数解析式为： y 1 x2 25
探究：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
解： （1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（7，3.2）， 设抛物线解析式为y＝a（x－7）2＋3.2 将点C（0，1.8）代入得49a＋3.2＝1.8，
解得 a 1
35
y 1 (x 7)2 16
35
5
探究：利用二次函数解决实际问题的训练
挑战题：为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光， 如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为 2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前 方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建 立如图所示的平面直角坐标系。
二次函数图像和性质课件(1)完整版公开课全篇
B. y= –(x+1)2+1
C.y=(x–1)2+1
D. y= –(x–1)2+1
1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 ________
2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 得到抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1
(h,k)
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
1.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大 而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的 增大而减小 .
y=3x2
向右
向上
y=3(x-1)2
y=3(x-1)2+2
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象和抛物线 y=3x²,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
y 3x 12 2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？
2019-2020年中考数学思维方法讲义 第8讲 二次函数图象的应用
2019-2020年中考数学思维方法讲义 第8讲 二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数c bx ax y ++=2中a,b,c 的作用）：⑴a 决定__________。
①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x ﹥-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab 2时，y 随x 的增大而________。
②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x ﹥-ab2时，y 随x 的增大而________；当x ﹤-ab2时，y 随x 的增大而________。
③当|a |越大，图象开口越_____。
（2）a 和b 共同决定________。
①b=0时，对称轴为______；②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧。
简记为 。
（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___ 时，图象与y 轴正半轴相交；当___ 时，图象与y 轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。
（4）当__ _时，图象与x 轴有两个交点；当_ 时，图象与x 轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x 轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a ＞1．其中正确的项是 （填番号）●变式练习：如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，下列结论：①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标； （3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b （a≠0）的图象与该二次图象交于A （12-，m ），B （2，n ）两点，结合图象直接写出当x 取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数322--=mx x y ，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则1=m ； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1-=m ；④如果当4=x 时的函数值与2008=x 时的函数值相等，则当2012=x 时的函数值为3-． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上） 【例3】 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ） A .-3 B .3 C .-5 D .9●变式练习：如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断：①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是或．其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y =-x 2+bx +c 的图像经过点A （m ，0）、B （0，n ），已知一元二次方程x 2－4x ＋3=0的两根是m ，n 且m ＜n . （1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x 取何值时，抛物线的图像在直线BC 的上方？（3）点P 在线段OC 上，作PE⊥x 轴与抛物线交与点E ，若直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分，求点P 的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点． ⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）求抛物线的解析式；（2）判断ACD △的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △∽ABC △？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经 过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在， 求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34。
中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用
意林数学思维方法讲义之八年级：九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：⑴决定__________。
①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。
②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x 的增大而________。
③当||越大，图象开口越_____。
（2）和b共同决定________。
①b=0时，对称轴为______；② 和b同号时对称轴在y轴___侧；③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。
简记为。
（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___ 时，图象与y轴正半轴相交；当___ 时，图象与y轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。
（4）当__ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）●变式练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）A.-3B.3C.-5D.9●变式练习：如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当为何值时，？⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｏ x yO B y x点C ，D 作轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A (－2，－4)，OB ＝2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A 、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM ＋OM 的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=。
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
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①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20届 初三数 学中考 复习： 二次函 数的应 用 复习课 课件（共32张PPT）
例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
《二次函数的应用》PPT课件(湘教版)
2.45≤x≤2.45.
–3 –2
y
–1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
A
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
现价 涨价
进价/元 20 20
–3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 m， 因此点 A（2，－2）在抛物线
度不计）
83 4
这时高为
3 =2m.
2
则当窗框的宽为 4 m，高为2m时，窗框的透光面积
3 最大，最大透光面积为
8
m2.
3
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
人教版初三数学(九年级)课程讲义：二次函数图象综合应用-解析版
对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．知识互联网思路导航二次函数的应用题型一：二次函数的最值x=-b 2ax=-b 2a x=-b 2a x=-2a ④③②①【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例1】 ⑴ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑵ 当331012x +-≤≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12（昌平二模）例题精讲典题精练【解析】 ⑴ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q 的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑵ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例2】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，已知()04A ，、()50C ，．作AOC ∠的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE CD ⊥交OA 于点E ． ⑴求点D 的坐标；⑵求证：ADE BCD △≌△；⑶抛物线2424455y x x =-+经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2012西宁)【解析】⑴ 证明：∵OD 平分AOC ∠，∴AOD DOC ∠=∠， ∵四边形AOCB 是矩形， ∴AB OC ∥．∴ADO DOC ∠=∠， ∴AOD ADO ∠=∠．∴OA AD =（等角对等边）．∴D 点坐标为()44，． ⑵ 解：∵四边形AOCB 是矩形 ∴90OAB B ∠=∠=︒，BC OA =． ∵OA AD =， ∴AD BC =． ∵ED DC ⊥， ∴90EDC ∠=︒．∴90ADE BDC ∠+∠=︒． ∵90BDC BCD ∠+∠=︒， ∴ADE BCD ∠=∠． 在ADE △和BCD △中， DAE B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ADE BCD △≌△（ASA ） ⑶ 解：存在．∵二次函数解析式为：2424455y x x =-+，点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点坐标为2424455t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，设AC 所在直线函数关系式为y kx b =+，()04A ，、()50C ，， ∴4540b k =⎧⎨+=⎩ ∴454k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴AC 所在直线函数解析式为：445y x =-+．∵PM y ∥轴，∴445M t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，．2424444555PM t t t ⎛⎫⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2445t t =-+24255554t t ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭245552t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴当52t =时，5PM =最大值． ∴所求的P 点坐标为532⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【例3】 如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度10a =米）， 当AB 为多少米时，围成的花圃面积最大．（人大附练习题） 【解析】 设AB 长为x 米，则花圃的面积()()()2223033303103575S x x x x x x x =-=-+=--=--+显然0303100x x <-⎧⎨>⎩≤解得20103x <≤，当203x =时，max 2003S =（平方米）.【例4】如图，已知抛物线经过点()10A -，、()30B ，、()03C ，三点． （1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN y ∥轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使BNC △的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． (2012黔东南州) 【解析】（1）设抛物线的解析式为：()1y a x =+()3x -，则：()01a +()033-=，1a =-； ∴抛物线的解析式：()()21323y x x x x =-+-=-++．（2）设直线BC 的解析式为：y kx b =+，则有： 303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；故直线BC 的解析式：3y x =-+．已知点M 的横坐标为m ，则()3M m m -+，、()223N m m m -++，； ∴故()()22233303N m m m m m m =-++--+=-+<<．（3）如图；∵()1122BNC MNC MNB S S S MN OD DB MN OB =+=+=⋅△△△，∴()()213327332032228BNC S m m m m m ⎛⎫=-+⋅=--+<< ⎪⎝⎭△； ∴当32m =时，BNC △的面积最大，最大值为278．典题精练题型二：二次函数综合应用xyNMOCBA【例5】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和 点B (0，1-)，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4，n )． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；(2) (2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值． （2013西城一模）【解析】（1）∵直线l ：34y x m =+经过点B （0，1-）， ∴1m =-.∴直线l 的解析式为314y x =-. ∵直线l ：314y x =-经过点C （4，n ）， ∴34124n =⨯-=. ∵抛物线212y x bx c =++经过点C （4，2）和点B （0，1-），∴21244,21.b c c ⎧=⨯++⎪⎨⎪-=⎩ 解得5,41.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为21524y x =- （2）∵直线l ：314y x =-与x ∴点A 的坐标为（43，0）.∴OA=43.在Rt △OAB 中，OB=1，∴AB 53=.∵DE ∥y 轴， ∴∠OBA =∠FED .∵矩形DFEG 中，∠DFE =90°， ∴∠DFE =∠AOB =90°.∴△OAB ∽△FDE .∴OA OB ABFD FE DE==. ∴45OA FD DE DE AB =⋅=，35OB FE DE DE AB =⋅=.∴p =2(FD+ FE )=43142()555DE DE ⨯+=.∵D （t ，215124t t --），E （t ，314t -），且04t <<，∴223151(1)(1)24242DE t t t t t =----=-+.∴22141728(2)5255p t t t t =⨯-+=-+.∵2728(2)55p t =--+，且705-<，∴当2t =时，p 有最大值528.【例6】如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A 、C 、D 均在坐标轴上，且5AB =，4sin 5B =．（1）求过A 、C 、D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB 的解析式为1y mx n =+，（1）中抛物线的解析式为22y ax bx c =++，求当12y y <时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，PAE △的面积最大？并求出面积的最大值．（2012攀枝花）【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴5AB AD CD BC ====，4sin sin 5B D -=；Rt OCD △中，sin 4OC CD D =⋅=，3OD =；2OA AD OD =-=，即：()20A -，、()54B -，、()04C ，、()30D ，； 设抛物线的解析式为：()2y a x =+()3x -，得：()234a ⨯-=，23a =-；∴抛物线：222433y x x =-++．（2）由()20A -，、()54B -，得直线AB ：14835y x =--； 由（1）得：2222433y x x =-++，则：2483322433y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 解得：1120x y =-⎧⎨=⎩，225283x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；由图可知：当12y y <时，25x -<<． （3）∵12APE S AE h =⋅△， ∴当P 到直线AB 的距离最远时，ABC S △最大；若设直线L AB ∥，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P ； 设直线L ：43y x b =-+，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时，24224333x b x x -+=-++，且0=△； 求得：112b =，即直线L ：41132y x =-+； 可得点3722P ⎛⎫⎪⎝⎭，．由（2）得：2853E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则直线PE ：1193y x =-+； 则点27011F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，4911AF OA OF =+=；∴PAE △的最大值：1492873432113212PAE PAF AEF S S S ⎛⎫=+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭△△△．综上所述，当3722P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，PAE △的面积最大，为34312．【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线23y ax bx =+-交于A ，B 两点， 点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD AB ⊥于点D ⑴求a ，b 及sin ACP ∠的值 ⑵设点P 的横坐标为m①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连接PB ，线段PC 把PDB △分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由．(2012河南) 【解析】⑴ 由1102x +=，得到2x =-，∴(20)A -，由1132x +=，得到4x =， ∴(43)B ，． ∵23y ax bx =+-经过A ，B 两点，22(2)230,4430a b a b ⎧-⋅--=⎪⎨⋅+-=⎪⎩∴1122a b ==-，． 设直线A ，B 与y 轴交于点E ，则(01)E ，∵PC y ∥轴，∴ACP AEO ∠=∠． ∴25sin sin 5OA ACP AEO AE ∠=∠=== ⑵ 由⑴可知抛物线的解析式为211322y x x =-- ∴211322P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，112C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2211111342222PC m m m m m ⎛⎫=+---=-++ ⎪⎝⎭在Rt PCD △中，sin PD PC ACP =⋅∠212542m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭yxPOABCD21)m =-+∵0< ∴当1m =时，PD． ②存在满足条件的m 值，52m =或329．分别过点D ，B 作DF PC ⊥，垂足分别为F ，G ．在Rt PDF △中，21(28).5DF m m ==--- 又4,BG m =- ∴21(28)2545PCDPBCm m S DF m S BG m ---+===-△△ 当29510PCD PBC S m S +==△△时． 解得52m =． 当21059PCD PBCS m S +==△△时，解得329m =．A 讲训练1. ⑴ 已知实数x ，y 满足方程()()224233213x x y y ++++=，则x y += .⑵ 若实数a ，b 满足21a b +=，则2227a b +的最小值是 .【解析】 ⑴ 43-.⑵ 2.训练2. 已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+（大兴期末）【解析】 由题意得：22236745x ax bx x ax b x x ax b+=+++=+++=+∵方程有两个不相等的实根，方程有两个相等实根，方程无实根.∴2122234120124808440a b a a b a a b ∆=+->∆=-++=∆=-+-< 由2∆得24(128)b a a =--+代入得222212(128)084(128)0a a a a a a a ⎧---+>⎪⎨----+<⎪⎩解此不等式组，得533a <<因为a 是整数，所以有2a =于是412b =，得3b = ∴2,3a b == ∴22326x y x +=22632x x y -=∵226302x x y -=≥∴2630x x -≥ ∴(2)0x x -≥020x x ⎧⎨-⎩≥≥或020x x ⎧⎨-⎩≤≤ ∴02x ≤≤设222222631193(3)2222x x Z x y x x x x -=+=+=-+=--+思维拓展训练(选讲)∴当3x ≤时，函数Z 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，=4Z 最大值即当2x =时，22x y +有最大值4.训练3. 如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于(10)A ，,(30)B -，两点， ⑴ 求该抛物线的解析式；⑵ 设⑴中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.⑶ 在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.【解析】⑴将A (1，0)，(30)B -，代2y x bx c =-++中得 10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝ ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：223y x x =--+⑵存在. 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩ ∴Q (－1，2)⑶答：存在. 理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大， ∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++ ＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，训练4. 已知抛物线2y x bx =+，且在x 轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x c =．过点A 的直线绕点(0)A c ，旋转，交抛物线于点()B x y ，，交y 轴负半轴于点C ，过点C 且平行于x 轴的直线与直线x c =交于点D ，设AOB △的面积为1S ，ABD △的面积为2S ． ⑴ 求这条抛物线的顶点的坐标；⑵ 判断1S 与2S 的大小关系，并说明理由．(大兴二模) 【解析】 ⑴∵ 抛物线y =x 2+bx ，在x 轴的正半轴上截得的线段的长为4，可知对称轴为直线x =2． ∴ A (2，0)，设图象与x 轴的另一个交点E 的坐标为 (4，0)， ∴ 抛物线为 y = x 2 +b x 经过点E (4，0) ．∴4b =- ，∴24y x x =-．∴ 顶点坐标为（2，－4）．⑵ S 1与S 2的大小关系是：S 1 = S 2 理由如下： 设经过点A （2，0）的直线为y=kx+b (k ≠0)．∴ 0 =2k +b ．∴ k =21-b ． ∴ y =b x b+-2． ∴ 点B 1的坐标为（x 1 ，b x b+-12）， 点B 2的坐标为（x 2 ，b x b+-22）．当交点为B 1时，b x bb x b S -=+-⨯⨯=11122221， 12221x b S -⨯⨯=b x bx b -=--=112)2(2． 21S S =∴．当交点为B 2时， b x bb x b S +-=+-⨯⨯=22122221 22122-⨯⨯=x b S =b x bx b +-=--=222)2(2． ∴ S 1 = S 2．综上所述，S 1 = S 2．B 讲训练1. 如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃ABCD 的面积为2m S ，平行于墙的BC 边长为m x ．⑴若墙可利用的最大长度为10m ，篱笆长为24m ，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，求S 与x 之间的函数关系式．⑵在⑴的条件下，围成的花圃的面积为245m 时，求AB 的长．能否围成面积比245m 更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由．⑶若墙可利用最大长度为40m ，篱笆长77m ，中间用n 道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形和x 为正整数时，请直接写出一组满足条件的x 、n 的值．【解析】 ⑴ 由题意得：2241833x S x x x -=⋅=-+，()010x <≤⑵ 由218453S x x =-+=解得：115x =（舍去），29x = ∴9x =时，2453xAB -== 又()22118124833S x x x =-+=--+，()010x <≤又∵103a =-<，抛物线的开口向下∴当10x =米时，S 最大为1403平方米 ∴平行于院墙的一边长大于9且小于等于10时，就能围成面积比45平方米更大的花圃．⑶ ∵()2771x x n n +⋅+=+()040x <≤，即12771x n ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭又∵n 为自然数时，12231n <++≤ ∴7723x<≤ ∴22538.53x <≤检验：当33x =，2n =；当35x =，4n =；当38x =，37n =．训练2. 已知a b 、均为整数，直线b ax y +=与三条抛物线,32+=x y 762++=x x y 和542++=x x y 交点的个数分别是2,1,0，若.62222的最大值，求y x x ay bx +=+（大兴期末）【解析】 由题意得：22236745x ax bx x ax b x x ax b+=+++=+++=+∵方程有两个不相等的实根，方程有两个相等实根，方程无实根.∴2122234120124808440a b a a b a a b ∆=+->∆=-++=∆=-+-< 由2∆得24(128)b a a =--+代入得222212(128)084(128)0a a a a a a a ⎧---+>⎪⎨----+<⎪⎩ 解此不等式组，得533a <<因为a 是整数，所以有2a = 于是412b =，得3b = ∴2,3a b == ∴22326x y x += 22632x x y -=∵226302x x y -=≥∴2630x x -≥ ∴(2)0x x -≥020x x ⎧⎨-⎩≥≥或020x x ⎧⎨-⎩≤≤ ∴02x ≤≤设222222631193(3)2222x x Z x y x x x x -=+=+=-+=--+∴当3x ≤时，函数Z 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，=4Z 最大值即当2x =时，22x y +有最大值4.训练3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(03)C ，，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(30)-，⑴ 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；⑵点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标； ⑶ 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.（东城二模） 【解析】 ⑴ 由题意，得：3,960.c a a c =⎧⎨-+=⎩解得：1,3.a c =-⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：223y x x =--+顶点D 的坐标为(14)-，⑵ 易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ⨯△时，易得E 点坐标(22)-，，直线OE 的解析式为y x =-.设M 点坐标()x x -，，y xOMEDCB A2122 3.).x x x x x -=--+==舍∴M② 当1=9=63OBE S ⨯△时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为(14)-，⑶如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， 因为点P 在抛物线上，所以232n m m =-+-， 所以PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C 111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭因为3<0m -<，所以当32m =-时，154n =.CPB △的面积有最大值27.8所以当点P 的坐标为315(,)24-时，CPB △的面积有最大值，且最大值为27.8训练4. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为的等边ABC △随着顶点A 在抛物线2y x =-上运动而运动，且始终有BC ∥x 轴．⑴ 当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛 物线上？⑵ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1∶8（即:1:8S S =上部分下部分）时，求顶点A 的坐标；⑶ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写出顶点C 的坐标．【解析】 ⑴ 当顶点A 运动至与原点重合时，设BC 与y 轴交于点D ，如图所示．∵BC ∥x 轴，BC=AC=32，∴CD =，3=AD ． ∴C 点的坐标为)3,3(-． ∵当3=x 时，23y =--．∴当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 在抛物线上．⑵ 过点A 作AD BC ⊥于点D ，设点A 的坐标为（x，2x -）． ∵:1:8S S =上部分下部分，∴23()AD x =-． ∵等边ABC △的边长为 ∴sin603AD AC =⋅︒=．∴23()3x -=．∴210x --=． 解方程，得 =x 2．∴顶点A的坐标为2,1)或2,1)．⑶当顶点B 落在坐标轴上时，顶点C 的坐标为0)、0)、6)-．题型一 二次函数的最值 巩固练习【练习1】 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w (双) 与销售单价x (元)满足280w x =-+(20≤x ≤40),设销售这种手套每天的利润为y （元）. ⑴ 求y 与x 之间的函数关系式；⑵ 当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？（海淀期末）【解析】 ⑴(20)(280)(20)y w x x x =-=-+-221201600x x =-+-.⑵22(30)200y x =--+.∵2040x ≤≤, a =-2<0,∴当30x =时，200y =最大值.答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元.【练习2】 已知2221x y +=，求225x y +的最大值和最小值. 【解析】 222215552292525222222510x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-++=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵22210y x =-≥，∴11x -≤≤当25x =时，取到最大值为2910；当1x =-时，取到最小值为2-.【练习3】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关 于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图 象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与 1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥，∴0∆≥.∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-复习巩固my 12344321-1-2-3-3-2-1O()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=.等号右边=0. ∴左边=右边.∴ x =1是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =- ∵1m n -=， ∴ a =m .当x =2时，y 1=2n +m 2=2（m -1）+m 2= m 2 +2m -2，y 2=22+ 2m （n -m -m ）+m （m -n ）=4 +2m （-1-m ）+m 224m m =--+. 如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，CD = y 2-y 1=2336m m --+=-3（m +12）2 +274由 y 1=y 2，得m 2 +2m -2=-2m 2-m +4.解得m =-2或m =1. ∴ m A =-2，m B =1. ∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.题型二 二次函数综合应用 巩固练习【练习4】 如图，抛物线2(1)y x k =++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点(03)C -，．⑴ 求抛物线的对称轴及k 的值；⑵ 在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA PC +的值最 小，求此时点P 的坐标；⑶ 设点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M 点 运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面 积及此时点M 的坐标.（平谷一模）【解析】 ⑴ 抛物线2(1)y x k =++的对称轴为：直线1x =-．Q 抛物线2(1)y x k =++过点(03)C -，，则23(01)k -=++， 4k ∴=-． ⑵ 如下图，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PA PC +的值最小．又因为P 点要在对称轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线1x =-的交点．由⑴可知，抛物线的表达式为：22(1)423y x x x =+-=+-．令0y =，则2230x x +-=．解得：1231x x =-=，．则点A B 、的坐标分别是(30)A -，、(10)B ，． 设直线AC 的表达式为y kx b =+，则303k b b -+=⎧⎨=-⎩，. 解得 13.k b =-⎧⎨=-⎩，所以直线AC 的表达式为3y x =--． 当1x =-时，(1)32y =---=-. 所以，此时点P 的坐标为(12)--，．⑶ 依题意得：当点M 运动到抛物线的顶点时，AMB △的 面积最大．由抛物线表达式2(1)4y x =+-可知，抛物线的顶点坐标为(14)--，． ∴点M 的坐标为(14)--，．AMB △的最大面积1(31)482AMB S =⨯+⨯=△．【练习5】 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其 顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一 个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED .⑴ 求此抛物线及直线OC 的解析式；⑵ 当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长；⑶ 连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为433，请直接写出此时E 点的坐标.（海淀期末）【解析】 ⑴∵ 抛物线过原点和A (0-)，∴ 抛物线对称轴为3-=x . ∴ B (3).设抛物线的解析式为2(3y a x =+. ∵ 抛物线经过(0, 0), ∴330a += . ∴1a =- .∴3)3(2++-=x y 2.y x =--∵ C 为AB 的中点, A (0-)、B (3)， 可得 C (32) .可得直线OC 的解析式为x y 33-=. ⑵连结OB . 依题意点E 为抛物线x x y 322--=与直线x y 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由2,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩， 解得5,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）.∴ E（53） 过E 作EF ⊥y 轴于F , 可得OF =53，∵ OE =DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF .∴ DO =2OF =103.∴ D (0, 10).∴ BD=⑶E 点的坐标为(32)或12-).。
二次函数的应用ppt
斜坡行驶问题
要点一
总结词
通过二次函数模型研究汽车在斜坡上 行驶时的加速度、速度和位移等动力 学问题。
要点二
详细描述
在汽车行驶过程中，会遇到各种斜坡 和坡道，不同斜率会对汽车的动力学 性能产生影响。通过二次函数模型可 以分析和优化汽车在不同斜坡上的行 驶性能，提高行车安全性和舒适性。
要点三
实际应用案例
2023
二次函数的应用
目录
• 引言 • 二次函数的图像和性质 • 常见的二次函数应用 • 不同类型的二次函数 • 解决实际问题 • 二次函数的应用进阶
01
引言
课程背景
1
二次函数是初中数学的重要知识点之一，是数 学建模的基础。
2
通过学习二次函数，能够提高学生解决实际问 题的能力。
3
本课程旨在让学生掌握二次函数的应用，为后 续数学学习和实际应用打下基础。
03
常见的二次函数应用
最大利润问题
总结词
在各种不同的条件下，通过求解 二次函数最大值，得到利润最大 化的解决方案。
详细描述
在商业和工业生产中，通常会遇 到在一定成本范围内，如何分配 资源以获得最大利润的问题。在 实际情况下，还需要考虑市场、 竞争对手和政策等多种因素。
实际应用案例
比如开一家小卖部，需要考虑如 何进货、定价、促销等，使得利 润最大化。
根据极值点附近函数的单调性判 断极值的类型，包括极小值和极 大值。
求出极值
将极值点代入二次函数中，计算得 到极值。
如何利用导数研究二次函数的性质
求出导函数
研究单调性
对二次函数求导，得到导函数。
通过导函数的正负符号，判断原函数的单调 性。
研究极值点
(新)初三数学中考复习二次函数的应用复习课PPT幻灯片(32页)
一、二次函数与方程、不等式
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(形)
（数）
解法一：观察图像，
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三、典型例题分析
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➢ 认识从函数角度看二次方程、不等式的联系 ➢ 抛物线与直线交点是关键点。
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初三数学最新课件-二次函数的图象 精品
抛物线
观察图象思考：
这是一个什么 样的图形？
这个图形的最 低点在哪里？
它的对称轴是 什么？
对称轴的两边，函数值随 自变量如何变化。
我们再来画一下Y=2x2的图象。
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5
y 2x2 8
4.5
2
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2
4.5
8
抛物线
观察图象思考：
这是一个什么 样的图形？
这个图形的最 低点在哪里？
它的对称轴是 什么？ 对称轴的两边，函数值随自变量如何变化。
Y=2x2 y= 1 x2 总结： 2
Y=ax²中，当a＞0时，开 口方向向上，对称轴是ｙ 轴，即ｘ=0，顶点坐标为 （0，0），在对称轴的左 边ｙ随ｘ增大而增大，在 对称轴的右边，ｙ随ｘ增 大而减小。此时抛物线有 最低点，也就是y有最小 当 线｜ 开a口｜越越小大，，也抛就值物是勤。即ｙ最小值=0。
这一节我学 到了什么?
课堂总结：
一般地，抛物线 y ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点， 当a>0时，抛物线y ax2 的开口向上，在对称轴的 左边，y随x增大而减小，在对称轴的右边y随x增大 而增大。y有最小值。当a<0时，抛物线 y ax2的开 口向下，在对称轴的左边，y随x增大而增大，在对 称轴的右边，y随x增大而减小。Y有最大值。a的绝 对值越大，图象越靠近y轴.
练习：
填空：已知二次函数
（1）y=-x2; （2）y 3 x2
5
（3）y=15x2 ；（4） y=-4x2;
（5）
y ；9 x2 Βιβλιοθήκη 0（6） y=4x2.(1)其中开口向上的有_______(填题号)；
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意林数学思维方法讲义之八年级：九年级2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲二次函数图象的应用(I)【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：⑴决定__________。
①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。
②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x 的增大而________。
③当||越大，图象开口越_____。
（2）和b共同决定________。
①b=0时，对称轴为______；② 和b同号时对称轴在y轴___侧；③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。
简记为。
（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。
当___ 时，图象与y轴正半轴相交；当___ 时，图象与y轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。
（4）当__ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】题型一二次函数的图象与系数的关系【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）●变式练习：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4题型二二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？●变式练习：对于二次函数，有下列说法：①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（）A.-3B.3C.-5D.9●变式练习：如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是(填番号)题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.●变式练习：如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．ＡＤＣＢＯx y⑴求该抛物线的解析式及对称轴；⑵当为何值时，？⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx ＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOByx【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=。
将△OAB 绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。
（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
●变式练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C(0，4)，顶点为（1，92）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D ，试在对称轴上找出点P ，使△CDP 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P 的坐标．（3）若点E 是线段AB 上的一个动点（点E 与A 、B 不重合），分别连接AC 、BC ，过点E 作EF ∥AC 交线段BC 于点F ，连接CE ，记△CEF 的面积为S ，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值及此时E 点的坐标；若不存在，请说明理由．yxOD CB (4,4)A (1,4)【课后测控】1、抛物线的开口__ ___，对称轴为_____ ____，顶点坐标为_______ ___；当x= 时，函数有最 值，其最值为 。
2、已知实数x ，y 满足x 2+3x+y －3=0，则x+y 的最大值为 。
3、二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x =1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc <0；②a －b +c <0； ③3a +c <0； ④当－1<x <3时，y >0．其中正确的是__________(把正确说法的序号都填上)．4、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ （的实数），其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个的左侧），点 的对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x= ；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=x－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上.(1)求抛物线顶点A的坐标；(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；(3)在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
部分答案：【例1】解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；②∵对称轴为x=＞0，a＞0，∴﹣b＞2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；③当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0；∴（a+c）2=b2 故本选项错误；⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．例3变式【答案】③④。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。
∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。
∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴此判断正确。
④∵使得M=1时，若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。
由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，∴M=1时，x=或x=﹣。
∴此判断正确。
因此正确的有：③④。
【例4】（1）∵x2－4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3 ∴A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（0,3）又∵抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点10233b c b c c -++==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴ 得 ∴抛物线的解析式为 y=－x 2-2x+31. 作直线BC由（1）得，y =－x 2-2x +3∵ 抛物线y=－x 2－2x +3与x 轴的另一个交点为C 令－x 2－2x +3=0 解得：x 1=1，x 2=－3∴C 点的坐标为（－3,0）由图可知：当－3＜x ＜0时，抛物线的图像在直线BC 的上方.(3)设直线BC 交PE 于F ，P 点坐标为（a ,0）,则E 点坐标为（a ，－a 2－2a +3） ∵直线BC 将△CPE 的面积分成相等的两部分. ∴F 是线段PE 的中点. 即F 点的坐标是（a ，）∵直线BC 过点B （0.3）和C(-3,0) 易得直线BC 的解析式为y=x+3∵点F 在直线BC 上，所以点F 的坐标满足直线BC 的解析式即=a +3解得 a 1=－1,a 2=－3(此时P 点与点C 重合，舍去) ∴P 点的坐标是（－1,0）【例6】 解：（1）的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴ . ………………………………２分 ∴（2）由（1）得. 当时，． 解之，得 ．∴ .又当时，22(1)4(01)43y x =+-=+-=-， ∴C 点坐标为.………………………4分又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E ， 轴于点．易知 在中，；在中，； 在中，；∴ ．∴ △ACD 是直角三角形．…………………………６分 （3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点． 由（2）知，为等腰直角三角形，，又点M【例7】解：（1）由OB ＝2，可知B(2,0)将A (－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，得M ，即为所求。