中考数学思维方法讲义：第8讲 二次函数图象的应用 (I)

意林数学思维方法讲义之八年级：九年级

2019-2020年中考数学思维方法讲义：第8讲二次函数图象的应用

(I)

【今日目标】

1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：

⑴决定__________。①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x 的增大而________。③当||越大，图象开口越_____。

（2）和b共同决定________。①b=0时，对称轴为______；② 和b同号时对称轴在y轴___侧；③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。简记为。

（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。当___ 时，图象与y轴正半轴相交；当___ 时，图象与y轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。

（4）当__ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x轴没有交点。

2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角

形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。

【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。

【精彩知识】

题型一二次函数的图象与系数的关系

【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图

所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）

（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（填番号）

●变式练习：

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标

为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正

确的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

题型二二次函数的图象和性质的基本应用

【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．

（1）求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；

（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？

（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？

●变式练习：

对于二次函数，有下列说法：

①它的图象与轴有两个公共点；②如果当≤1时随的增大而减小，则；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；

④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．

其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）

【例3】二次函数的图象如图，若一元二次方程

有实数根，则m的最大值为（）

A.-3

B.3

C.-5

D.9

●变式练习：

如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：

①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；

③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．

其中正确的是(填番号)

题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等

【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？

（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.

●变式练习：

如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．

Ａ

Ｄ

Ｃ

Ｂ

Ｏx y

⑴求该抛物线的解析式及对称轴；

⑵当为何值时，？

⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断的形状，并说明理由；

（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx ＋c经

过点A、O、B三点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若

存在，

求点P的坐标；若不存在，请说明理由．