中考数学思维方法讲义:第8讲 二次函数图象的应用 (I)
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意林数学思维方法讲义之八年级:九年级
2019-2020年中考数学思维方法讲义:第8讲二次函数图象的应用
(I)
【今日目标】
1、二次函数图象与系数的关系(二次函数中a,b,c的作用):
⑴决定__________。①当__ 时,图象开口向上,当x=_________时,函数有最___值________;当x﹥-时,y随x的增大而________;当x﹤-时,y随x的增大而________。②当_________时,图象开口向下,当x=_________时,函数有最___值________;x﹥-时,y随x的增大而________;当x﹤-时,y随x 的增大而________。③当||越大,图象开口越_____。
(2)和b共同决定________。①b=0时,对称轴为______;② 和b同号时对称轴在y轴___侧;③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。简记为。
(3)c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。当___ 时,图象与y轴正半轴相交;当___ 时,图象与y轴负半轴相交;当___ 时,图象过原点。
(4)当__ _时,图象与x轴有两个交点;当_ 时,图象与x轴仅有一个交点;当__ _时,图象与x轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体,通过对四大要素的理解,结合动点、特殊三角
形、特殊四边形、相似,利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】
题型一二次函数的图象与系数的关系
【例1】已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)
(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是(填番号)
●变式练习:
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标
为,下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正
确的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
题型二二次函数的图象和性质的基本应用
【例2】已知,二次函数的解析式y1=-x2+2x+3.
(1)求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求这个二次函数图象与x轴的交点坐标;
(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?
(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?
(5)若直线y2=ax+b(a≠0)的图象与该二次图象交于A(,m),B(2,n)两点,结合图象直接写出当x取何值时y1>y2?
●变式练习:
对于二次函数,有下列说法:
①它的图象与轴有两个公共点;②如果当≤1时随的增大而减小,则;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;
④如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为.
其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)
【例3】二次函数的图象如图,若一元二次方程
有实数根,则m的最大值为()
A.-3
B.3
C.-5
D.9
●变式练习:
如图,已知抛物线y1=﹣2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2.例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1<y2,此时M=0.下列判断:
①当x>0时,y1>y2;②当x<0时,x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在;④使得M=1的x值是或.
其中正确的是(填番号)
题型三二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等
【例4】如图,若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n),已知一元二次方程x2-4x+3=0的两根是m,n且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x取何值时,抛物线的图像在直线BC的上方?
(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交与点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.
●变式练习:
如图,已知二次函数的图象经过A(,),B(0,7)两点.
A
D
C
B
Ox y
⑴求该抛物线的解析式及对称轴;
⑵当为何值时,?
⑶在轴上方作平行于轴的直线,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作轴的垂线,垂足分别为F,E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
【例5】如图,在平面直角坐标系中,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).所得抛物线与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断的形状,并说明理由;
(3)在线段上是否存在点,使∽?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【例6】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx +c经
过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若
存在,
求点P的坐标;若不存在,请说明理由.