数学物理方法第4章留数定理2016

柯西定理
y
柯西公式
高阶导数公式
闭路变形原理
L
o
x
y
bL
o
x
3
f(z)在除起点外解析 =?
L 逆时针+L0 顺时针
4
§4.1.1 留数定理
一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义
如果b 是f (z)的一个奇点，其中L是此去心邻域内的任意
一条简单闭曲线.
f (z) ak (z b)k , k
2.计算方法 积分回路为图4.6,令
=-a-1(∞)=0
28
§4.2 用留数定理计算实变积分
本节将利用留数定理
计算五个基本类型的实变积分, 在此基 础上讨论在物理学中常用的几个积分。
引理1 若z在上半平面及实轴上趋于∞时, zf(z)
一致地趋于零(与辐角无关，即
则 f(z) 沿图2.3中无穷大 半圆周CR的积分
(4.2.2)
30
[,]
37
其次，令z=eiq，即可将对q的积分变为沿
|z|=1 的回路积分
第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2 =
易见z1在|z|=1的回路内部,| z2 |在回路外．
38
根据留数定理
39
§4.2.2 f(x)dx 型积分 1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限
个①孤立奇点bk ( k =1，2，…，n)外解析；
z2 2z
z 12 z2 4
]
2z 2
lim[
z1
z2 4 z2 2z z2 4 2
2z ] 14 25
Res
f
(2i)
lim ( z
z2i
2i)
z
12
z2 2z
(z 2i)
z
2i
2i
4 4i
12 2i
2i
7i 25
将上式2i换成-2i,即有
Re sf 2i 7 i
2z
4z2 2!
8z3 3!
2 z3
2 z2
4 3z
,
Baidu Nhomakorabea0 z
由此得
Re
sf
0
a1
4 3
21
[例 7]
求
f
(z)
z
z2
12
2z z2
4
在有限远奇点的留数。
解: 由分母为零易得z=-1是二阶极点, z=±2i是一
阶极点,由(4.1.7)可得
Res
f (1) 1 lim d [(z 1)2 1! z1 d z
朗展开中的洛朗系数
f(z) 的洛朗展开为
6
证明 首先在 内以各奇点为圆心,作小圆周 L1,L2,L3,…,Lk,… 分别包围各奇点,如图4.1所示.这样,
由外边界线 L0与内边界线L1,L2,L3,…,Lk,… 为边界 构成了复通区域.由复通区域的柯西定理，得
其次,对于沿Lk的积分,由式(4.1.2)可得
法国著名数学家、物理学家 （拉格朗日中值定理 ，分析力学的创立者 ， 天体力学的奠基者 ）
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827) 是法国分析学家、概率论学家和物理学家
天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一 ，分析概率论的创始人
2
§4.1.0 复习
如果 f (z)在D域内解析，其中L是D域内的任意一条简单闭曲线.
因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或 计算积分的方法来求．
13
14
15
16
17
18
例5
求 f (z) 1 在有限远奇点的留数。
1 z4
解: f(z)分母的零点由 1 z4 0 确定,易见
i 2k 1
zk 4 1 4 ei2k1 e 4 ,
k 0,1, 2,3
2. 计算方法，首先作变换z = eiθ, 把被积函数变成复 变函数
35
其次，把沿[0,2]的积分变成沿单位圆的回路 积分．利用留数定理可得
即积分等于2i乘函数 在|z|=1圆内所有奇点处留数之和.
36
【例4.2.1】计算积分
式中a>0
解 首先作变换q2x, 将积分区间化为[0,]， 再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为
Res f (b) 0
4.1.6
8
2. 若 b 为 f (z) 的 m 阶极点，则
Res
f
(b)
1 lim (m 1)! zb
d m 1 d zm1
[( z
b)m
f
( z )]
【证明】 因为 b 是 f (z) 的 m 阶极点，所以有
从而
f (z) am (z b)m am1(z b)m1 a1(z b)1 a0 a1(z b) (am 0)
当z在上半平面及实轴上趋 于 ∞时，f(z)一致地趋于零 (与辐角无关）
47
2.计算方法 与第二类型不同的是，第三类型积分的被积
函数满足引理2(若当引理)的条件． 类似地，增加无穷大的半圆周CR (图4.4)，构
成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定 义，以及引理2的结论
则有
48
为书写简单起见，式中已采用简单记号
证明 由于b点是f(z) 的一阶极点，因而 在b的无心邻域中， f(z)的洛朗级数的最
低次幂为(z-b)-1，即
32
33
下面分别介绍五大类型积分的 1.特征 2.基本方法 3.常用技巧
34
§4.2.1
型积分
1. 积分的特征：被积函数是cosq, sinq的有理实函 数；积分区间为[0,2],如果不是，应先变为[0,2]
它是f(z)分母的一阶零点,也是f(z)的一阶极点
由(4.1.9)式可得
Re
sf
zk
1
1 z4
1
1
i2k 13
e
4
,
4zk3 4
z zk
k 0,1, 2,3
19
分别将k=0,1,2,3代入, 可得
i Re sf e 4
2 1 i,
8
i5 Re sf e 4
2 1 i,
8
i3 Re sf e 4
当z在上半平面及实轴上趋于∞时，zf(z)一致 地趋于零(与辐角无关)
其次，选择辅助函数f(z)。
通常将f(x)的x改为z(有时也要改变函数形式， 见例4.2.7.例4.2.8 )
40
第三，选择积分与回 路．当积分具有上述 特征时，受引理1的启 发，增加无穷大的半 圆周CR，构成闭合回 路L(图4.4).
(z b)m f (z) am am1(z b)
a1(z b)m1 a0 (z b)m 上式两边对 z 求 (m 1) 阶导数，得
4.1.7
9
d m 1 d zm1 [(z
b)m
f
(z)]
(m 1)!a1
＋{含
有
(z
b)
的正
幂
项}，两边取 z b 时的极限，可得
a1
第4章 留数定理 包含奇点的积分如何求？
1
柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) 法国数学家、物理学家、天文学家
他的父亲与Lagrange, Lapalce交往密切 柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理 等 （800篇论文）
拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）
23
O
图4.2
24
25
计算 Re sf 的方法通常有两个 : 如果在点的无心邻域
展开f (z)为洛朗级数比较容易的话,就通过a1 得到Re sf
如果展开f (z)比较困难的话,就算出f (z)在所有bk处的留数,
利用留数和定理求 Re sf .
还应注意, 点是函数f (z)何种类型的奇点,是跟据f (z)在点
1 lim
(m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
( z )]
4.1.7
即
Res
f
(b)
1 lim (m 1)! zb
d m 1 d z m1
[( z
b)m
f
(z)] .
10
3. 若 b 为 f (z) 的一阶极点 (1) 第 一 种 情 形 ： 若 b 为 f (z) 的 一 阶 极 点 ， 则 f (z) 在
根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1
的结论
则有
41
【例4.2.2】计算积分 解 (1)辅助函数． 由于被积函数为偶函数，故
令辅助函数 (2) 积分回路．
42
增加无穷大半圆
周CR 构成闭合(图4.5)
(3)按留数定理计算
43
它在上半平面有无限多个极点
bk=(2k+1)i，k=0,1,⋯
2 1 i,
8
i7 Re sf e 4
2 1 i,
8
20
[例 6]
求
1 e2z f (z) z4
在有限远奇点的留数。
解: z=0是分子的一阶零点,又是分母的四阶零点,易
见z=0是f(z)的三阶极点.在z=0的邻域展开
分子为泰勒级数来求
f
z
1 z4
1
k 0
2zk
k!
1 z4
由此可得式(4.2.10)~式(4.2.13)四个公式：
49
(1) 式(4.2.9）的实部为 1 2 3 4
(4.2.12)
50
【例4.2.4】计算积分 解 (1) 辅助函数
在上半平面只有一个一阶极点b=i (2) 积分回路
仍可选取图4.5的回路 (3) 按留数定理计算．
51
§4.2.4 阶极点的积分
25
22
§4.1.3 无穷远点的留数与留数和定理
定理 若函数f (z)除z bk k=1,2, ,m 及z=外解析,则
m
Re sf bk Re sf 0 4.1.10
k 1
式中
Re sf a1
4.1.11
称为函数f (z)在点的留数, a1 是f (z)在点的无心领域
的罗朗系数.
称a1为f 在b点的留数.
y
Res[f (z),b] 1
2 i L
f (z)dz c1
o
L b
x
5
二、留数定理 (柯西留数定理)
若函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2, bk外 处处解析.L是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线.
式中
称为f(z)在bk处的留数,
它等于f(z)在bk的无心邻域的洛
将式(4.1.4)代入式(4.1.3),并将
代入,即有
7
4.1.2、计算留数的方法
1 若 b 为 f (z) 的可去奇点，则 f (z) 在 0 z b R 内
的罗朗展开式中不含负幂项， f (z) an (z b)n 从而 a1 0 ，故当 b 为 f (z) 的可去奇n点0 时，
解 (1)辅助函数 f(z) = 它在上半平面内有一阶
极点b1= i 外，还在实轴 上有两个一阶极点
b2=1,b3=-1.图4.7
(2) 积分回路如图4.7所示 (3)按留数定理计算．
54
§4.2.5
(m>0), f(x)在实轴
上有一阶极点的积分
1.积分特征
除f(x)在实轴上有一 阶极点外，与第三 型积分特征相同。
且
(b) 0, (b) 0,
a1
(z)
lim
z b
z b(z)
(z)
(b) (b)
4.1.9
【证明】 因为 b 为 f (z) 的一阶极点，所以 (b) 0 ，
且由上述方法知
Resf
(b)
lim(z
z b
b)
f
(z)
(z)
lim
z b
(
z
)
(b)
(b) (b)
zb
12
4. 当 b 为 f (z) 的本性奇点时，几乎没有什么简捷方法，
0 z b R 内的罗朗展开式为
f (z) a1(z b)1 a0 a1(z b)
显然
a1
lim(z
zb
b)
f
(z)
，故当
b
为
f
(z)
的一阶极点时，
Res f (b) lim(z b) f (z) zb
4.1.8
11
(2)第二种情形：若 b 为 f (z) ( z) 的一阶极点， (z)
f(x)在实轴上有一
1.积分特征
除f(x)在实轴上 有一阶极点外， 与第二型积分特 征相同。
2.计算方法 积分回路是在图4.4增加以轴上极点b为圆心，
e为半径的无穷小半圆周Ce，如图4.6所示。
52
根据留数定理, 积分主值的定义, 引理1的结论
(4.2.14)
53
【例4.2.5】计算积分I =
但这些留数有简单的规律，仍可按第二型 积分计算．
44
(2) 积分回路．因为 仍可取图4.5的回路。 f(z)在回路中所有奇点处 的留数为(见习题4.1.4)
45
(3)按留数定理计算
46
§4.2.3
1. 积分特征
f(z)在实轴上没有奇点，在 上半平面除有限个孤立奇 点bk(k=1,2,⋯）外解析；
引理2 (若当引理):
若z在上半平面及实轴上趋于∞时，f(z)一 致地趋于零(与辐角无关)，即
则
(4.2.3)
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上半
圆周，参看图2.3.
31
第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指 出f(z)沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。 引理 3 若b是f(z)在实轴上的一阶极点，则
的无心领域的洛朗级数有没有或有多少正幂项来划分的.因此无论
点是什么类型的奇点,都有可能有
1 z
项或没有
1 z
项,即a1 都可能不等于
零或等于零.
26
【例8】求f(z)=
在孤立奇
点(包括无穷远点）处的留数． 解 z=b1是二阶极点，z=b2是一阶极点，得
27
由留数和定理，易得
由于不存在z-1 项，故 Res f(∞)