1.2 应变分量和协调方程
平面应力问题
平面应力问题平面域A 内的基本方程:平衡微分方程（在A 内） 几何方程（在A 内）物理方程（在A 内）即: S 上边界条件:应力边界条件在 上）位移边界条件（在 上） 平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解0,0.yx x y xyσX x y σY y x ∂⎫∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ττ, , .x y xy u v v ux y x yεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂11(),(),2(1).x x y y y x xy xy σσσσE E Eεμεμμγτ⎫=-=-⎪⎪⎬+⎪=⎪⎭22()1()(a)12(1)x x y y y x xy xyE σεμεμE σεμεμE τγμ⎫=+⎪-⎪⎪=+⎬-⎪⎪=⎪+⎭{}[]{}2101011002(10, 2.18)x x y y xy xy σE σσD P ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦=•εμμεμμτγε式(),().x yx s x y xy s y l σm f m σl f ττ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭σs(),().s s u u v v ⎫=⎪⎬=⎪⎭us 2222y xy x y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂.1 ,12μμμμ-→-→E E 0,0.yx x y xyσx y σy x ∂⎫∂+=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪+=⎪∂∂⎭ττ22,y ΦσYy x∂=-∂.2yx Φτxy ∂∂∂-=22,x ΦσXx y∂=-∂二、基本假设 1、连续性假定假定物体是连续的。
因此，各物理量可用连续函数表示。
2、完全弹性假定a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。
b.线性弹性—应力与应变成正比。
即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。
3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E 、 μ等与位置 无关。
4、各向同性假定假定物体各向同性。
E 、μ与方向无关。
应变分析
再对上式两边对y 求偏导数，得
表明，在物体的三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应 变分量也就确定。
统称变形连续 方程或应变协 调方程
在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定
Note： （１）物理意义：仅当应变分量之间的关系满足上述方程时，物体变
dui uΒιβλιοθήκη dt产生位移增量以后，变形体内各质点就有了相应的无限小应变 增量，用 dεij表示。在此，瞬时产生的变形当然可视为小变形， 可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，只需将d u i代替u i ，dεij代替εij即可，即
应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一 个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应 力状态一般对应于该瞬时的应变增量。可以采用无限小的应 变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作 是一系列瞬时应变增量的积累。
主应变可由应变状态特征方程
（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且
（3）在与主应变方向成45ο方向上存在主切应变，其大小为
等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸 或均匀压缩方向上的线应变ε1。等效应变又称广义应变，在 屈服准则和强度分析中经常用到它。
与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。 设已知主应变ε 1、ε 2和 ε 3 的值，
这9 个应变分量组成一个应变张量，由于其中γij=γji ，故应变 张量也是二阶对称张量，可用εij表示为
点的应变状态与应力状态相类比
① 可以求出该点任意方向上的线应变εxεyεz和切应变 γxy γyz γzx
② 存在三个相互垂直的主方向，对应有主应变ε1 、 ε2 、ε3 ，应变状态特征方程。
应变位移方程平衡方程协调方程应力函数和协调方程裂缝应力位移场
Inglis的理论 （1913）
A点应力分布：
Inglis C E. Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners. Transactions of the institute of naval architects, 1913, 55(219-241): 193-198.
Kirsh的研究 （1898）
The 2-D stress field in a large body under uniform remote tensile load and containing a circular hole is given by (Kirsch, 1898)
r
Kirsh的研究 （1898）
理论推导：一般情况
平面极坐标下的应力分量：
双调和函数：
Kirsch E G. Die Theorie der Elastizit t und die Bed rfnisse der Festigkeitslehre. Zeitshrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1898, 42: 797-807.
1. 基本假设与研究内容
• 基本假设
– 线弹性 – 小变形 – 均匀性 – 各项同性 – 连续性 – 无处应力（可省略）
• 研究内容：线弹性体的裂缝尖端应力
2. 材料强度与缺陷
为什么材料有强度?
使两个原子分开需要一定的拉应力 克服黏聚力或者翻越能量势垒：
将黏聚力与距离之间的关系简单假设为 满足三角函数：
Kirsh的研究 （1898）
理论推导
利用叠加原理，边界条件分解：
22 力学基础复习-应变分析
dl l 1 ln L l L b db b 2 ln B b B h dh h 3 ln H h H
4
变形程度—真应变特点
1. 一般相对变形(工程应变)不能反映真实变形程度； 变形越大，其误差越大： =ln(l/L)=ln{[L+(l-L)]/L}=ln{L/L+(l-L)/L} =ln(1+e)=e-e2/2+ e3/3- e4/4+· · · · · · 2. 真应变具有可加性，而一般相对变形没有； 1=ln(l2/l1)； 2=ln(l3/l2) 则： = 1 + 2 = ln(l2/l1) +ln(l3/l2) = ln(l3/l1)
v dx B ' B' ' d v v xy x AB dx dx x
同理，AD变形中沿x方向的剪切变形为： u dy D' D' ' d u u y yx AD dy dy y
11
应变状态—位移与应变
同理可求得对单元体ABCDEFG： v w v yy ayz azy y y z
5
变形程度—真应变特点
3. 真应变具有可比性，而一般相对变形没有； 如单位长方体在1轴方向无变形，在3轴方向伸长 一倍和缩短一半。则其变形实际是一样的。 以工程应变表示： et=(2l1-l1 ) /l1=100% ep=(0.5l1-l1 ) /l1=-50% 以真应变表示： t=ln(2l1/l1 ) =ln2 p=ln(0.5l1-/l1 ) =ln(1/2)=-ln2
xx xy xz 1 ij yx yy yz (ui , j uj , i ) 2 zx zy zz
弹性力学-第三章-应变状态分析
第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。
§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。
弹塑性力学总复习
弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。
从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。
注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。
2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。
物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。
（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。
应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。
在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。
这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。
主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。
弹性力学 复习资料(全) 同济大学
第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章
1.2 应变分量与协调方程
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u u x dx, y u x, y dx x u u x, y dy u x, y dy y u v x dx, y v x, y dx x v v x, y dy v x, y dy y
体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求 其位移。 • 解： u 3 2
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
2 2
2 xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
1 u x 2 vx 2 1
正应变
u x
v x dx v tan 1 1 u x dx x
u tan 2 1 v y dy y u y dy
xy
v u 1 2 tan1 tan 2 x y
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
第一章 弹性动力学基础
第一章 弹性动力学基础§1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设1.1.1 连续介质的概念力学系统最基本的概念是连续介质。
物体从宏观上看是稠密的，无间隙的，我们称之为连续介质。
固体、液体、气体等各种形态的物体一般地都可认为是连续介质。
严格地说，从微观角度看，这种假设并不成立。
但研究物体的运动规律和变形规律等力学行为是它的外部现象，并不涉及它的内部分子结构，连续介质假设已有足够的精确度。
描述一个物体须确定它的构形。
物体在三维欧几里德空间内占据的一般是一个有界区域，它的内部区域用V 来表示，它的边界用表示。
连续介质可由V S S +给出其构形。
连续介质内任意点P 的位置由欧几里德空间中的三个坐标给出，即),,(x x x 321),,()(321x x x P x P i =S V +∈连续介质进行力学分析时，取其微体作为基本元件。
微体是在各个方向上取微分长度的微小物体。
这种基元在宏观上是无限小，在微观上是无限大。
它们的集合是稠密的，无间隙的，构成了连续介质。
1.1.2 基本假设弹性动力学是在更普遍的意义上研究线性动力学系统的力学行为。
它的理论基础是建立在连续介质力学的基础之上。
连续介质的基本假设有：（1）连续性假设。
这是连续介质的基本属性，是几何变形方面的假设。
物体在任一瞬时的构形都是稠密的、无间隙的。
这一点在 1.1.1节已作了阐述。
（2）均匀性假设。
均匀性是指连续介质各处力学性能都相同，是物理方面的假设。
金属材料在宏观上是满足均匀性假设的，而且还具有各向同性性质，即在连续介质同一地点不同方向上力学性能皆相同。
新材料的出现，如复合材料等多相材料，缺乏这种均匀性，更没有各向同性性。
在这种情况下一般仍假设宏观上的均匀性，但须引入各向异性的概念。
在本课程内不作特殊的说明时，认为均匀性假设是成立的。
（3）线性化假设。
力学现象本质是非线性的，不论几何上、物理上，以至边界上都存在着非线性因素。
工程上大量问题都作线性化假设。
弹塑性力学作业(含答案)(1)
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：3030cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()2x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+=----+=⋅+=⋅-=--⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+=----+=-⋅+=-⋅+=⨯+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：题图1-3zz zE Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
第三章-各向异性弹性力学基础
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
弹性力学第五章：弹性力学解法
2 h 2
h
( x ) x 0 dy X
2 h 2
h
( xy ) x 0 dy Y
应力分量正向与外力方向一致 时取正 号，否则取负号 坐标轴正向的应力对坐标原 点产生的力矩与外力矩转向 一致时取正号，否则取负号
2 h 2
h
( x ) x 0 ydy M
应力协调方程
应力协调方程
f x 1 2 f x f y f z x ( ) 2 1 x 2 1 x y z x f y 1 2 f x f y f z 2 y ( )2 1 y 2 1 x y z y f z 1 2 f x f y f z 2 z ( )2 2 1 z 1 x y z z 2 f f 1 y 2 xy ( x) 1 xy x y 2 f f 1 y 2 yz ( z ) 1 yz y z 2 f f 1 2 zx ( x z ) 1 xz z x
ij, j f i 0
(2). 几何方程(Cauchy方程)
u u v x , xy , x y x v v w x , yz , 或 y z y w w u z , zx z x z
1.应力边值问题.
给定物体表面的面力
2.位移边值问题. 给定物体表面的位移 3.混和边值问题.
在弹性力学中常用。
在有限元中常用。
部分表面给定面力， 其余表面给定位移
边界元中常用
写出图所示板，上下表面的边界条件
弹性力学知到章节答案智慧树2023年浙江大学
弹性力学知到章节测试答案智慧树2023年最新浙江大学第一章测试1.从下面哪个假设出发（），可以认为物体内部的应力、应变和位移等都是连续的。
参考答案:连续性假设2.理想弹性假设只考虑应力和应变成线性关系的情形。
（）参考答案:对3.物体在外界荷载作用下发生变形，当外界荷载被消除后，该变形可完全恢复的性质称为弹性。
（）参考答案:对4.根据连续性假设，弹性力学问题的应力、应变和位移可表示成坐标的连续函数。
（）参考答案:对5.在研究下面对象的宏观力学行为时，各向同性假设不成立的是（）。
参考答案:纤维增强复合材料;木材6.下面属于研究弹性力学问题基本假设的是（）。
参考答案:均匀性假设;连续性假设;完全弹性假设;各向同性假设第二章测试1.已知矢量，张量，按照求和约定，表达式的值是（）。
参考答案:22.已知物体内一点的应力张量为，下面叙述正确的是（）。
参考答案:三个主应力分别是（3，0，-2），最大切应力 2.53.在给定应力状态下，一点的主应力方向必相互垂直。
（）参考答案:错4.物体内一点的主应力仅与该点的应力状态有关，与所选取的参考坐标系无关。
（）参考答案:对5.过一点的任意截面上的应力分量相互独立。
（）参考答案:错6.如图所示三角形水坝刚性固结在基础上，坝高为h，坝基底宽为l，水位线离坝顶O点距离为h0，水的密度为，若略去坝体自重，下面关于坝体应力边界条件描述正确的是（）。
参考答案:OB边上各点的应力分量有：当时，;OA边上各点的应力分量有：;OA边上各点的应力分量有：;OB边上各点的应力分量有：当时，第三章测试1.已知位移场为,,，对应的应变张量为（）。
参考答案:2.下面的应变分量中，哪个可能发生（）。
参考答案:3.在一定的应变状态下，物体内任一点的三个应变主方向必相互垂直。
（）参考答案:错4.如果物体是单连通的，应变分量满足应变协调方程是保证物体连续的充分必要条件。
（）参考答案:对5.下面关于三个主应变叙述正确的是（）。
弹性力学第3章—应变
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
关于弹性力学平面应力问题与应变问题的判别
关于弹性力学平面应力问题与应变问题的判别任珊;罗艳【摘要】大部分《弹性力学》教材都是从构件形状和载荷的角度去定义两类平面问题,但这种定义有一定的局限性,没有给出两类平面问题本质的区别.本文从三维空间问题出发,推导得到按应力求解平面问题需要满足的条件,并给出平面应力问题与平面应变问题的判别条件.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2015(037)005【总页数】3页(P644-646)【关键词】平面应力问题;平面应变问题;应力;应变【作者】任珊;罗艳【作者单位】成都理工大学环境与土木工程学院力学与工程系,成都610059;成都理工大学环境与土木工程学院力学与工程系,成都610059【正文语种】中文【中图分类】O343弹性力学的平面问题，在工程实践中具有重要意义，因此对于工科专业的弹性力学本科教学，平面问题是其重点，而两类平面问题的判别是关键.在常用的教科书中对两类平面问题都是从构件形状和载荷的角度去定义的，即：平面应力问题表述为：很薄的等厚度薄板，体力平行于板面且不沿厚度变化，并且只在板边受平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束；平面应变问题表述为：等截面的长柱体，体力平行于横截面且不沿长度变化，并且柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束［1-4］.但实际问题中，在一定条件下，长柱体也可以是平面应力问题，而薄板也可能是平面应变问题.因此给出两类平面问题的判别条件，可以使得学生从本质上理解两类平面问题的区别.本文从弹性力学空间问题按应力求解需要满足的条件（平衡微分方程、变形协调方程及边界条件）出发，推导了平面问题按应力求解需要满足的条件；给出了连续、均匀、完全弹性、各向同性的材料在小变形情况下，平面应力问题与平面应变问题的判别条件.平面应力问题中，应力分量和应变分量为x，y的函数，且σz=τxz=τyz=0.1.1 平衡微分方程将平面应力问题的应力分量代入弹性力学空间问题的平衡微分方程［1］中，简化得式（1c）表明平面应力问题中要求体力是面内载荷，与z无关.1.2 变形协调方程由各向同性材料的广义胡克定律［1］可知平面应力问题中有εx 6=0，εy 6=0，γxy 6=0，γxz=γyz=0，而，一般情况下εz 6=0，且不为零的应变分量都为x，y 的函数，因此空间问题的变形协调方程［1］可以简化为式（2b），（2c），（2d）的解为εz=Ax+By+C，将代入，有σx+σy=ax+by+c.因此，当同时满足变形协调方程（2a）和σx+ σy=ax+by+c这个线性变化条件时为平面应力问题.但一般情况下应力、应变的线性条件较难满足，教科书［1-4］中陈述的平面应力问题是近似理论，可在近似接受的条件下成立，即“很薄的等厚度薄板，体力平行于板面且不沿厚度变化，并且只在板边受平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，这时即使不满足线性条件也可近似看作平面应力状态”.1.3 几何方程将各向同性材料的广义胡克定律推得的平面应力问题的应变分量代入空间问题的几何方程［1］，简化得由式（3a），式（3b）可分别求得平面应力问题的位移分量u，v，而由式（3c）可推出轴向位移w= Z，即，平面应力问题中有u，v，w 3个位移分量.w0（x，y）可由约束条件得到，例如取固定端或对称面处为z=0，有w0（x，y）=0.由1.2节中的讨论可知，εz满足线性变化条件（εz=Ax+By+C），则有w=（Ax+By+C）z，即平面应力状态截面能自然地保持平面无翘曲.1.4 边界条件空间问题应力边界条件可由斜面应力公式得到式中n表示边界面的外法线.先讨论侧面（即法向与z轴垂直的面）的边界条件，对于侧面有cos（n，z）=0，在平面应力问题中，侧面上有（τxz=τyz）s=0，故式（4）可以简化为式（5c）表明要求侧面所受的面力不能有z轴方向的分量，即侧面只能受x，y方向的载荷.再讨论端面，平面应力问题（σz=τxz=τyz= 0）要求端面自由，则有对于平面应变问题，应力分量和应变分量为x，y的函数，且εz=γxz=γyz=0.2.1 平衡微分方程由各向同性材料的广义胡克定律［1］可知平面应变问题中有σx 6=0，σy 6=0，τxy 6=0，τyz=τzx=0，σz=µ（σx+σy），且应力分量都为x，y的函数.将平面应变问题的应力分量代入空间问题的平衡微分方程［1］，可得式（7c）表明平面应变问题中要求体力是面内载荷，与z无关.对比式（1）发现两类平面问题应满足的平衡微分方程是相同的，并且都要求体力是面内载荷，与z无关.2.2 变形协调方程对于平面应变问题，有εz=γzx=γyz=0，εx 6=0，εy 6=0，γxy 6=0，且为x，y 的函数，将此条件代入空间问题的变形协调方程［1］中，得到平面应变问题的变形协调方程与式（2）对比，平面应变问题只需要满足一个相容方程（8），而平面应力问题除了满足相容方程（2a）外还要同时满足线性变化条件σx+σy=ax+by+c.2.3 几何方程将γyz=γzx=0，εz=0代入空间问题的几何方程［1］中，可得将式（9c）积分，由约束条件可确定积分常数，例如取固定端或对称面处为z=0，可得w=0，则平面应变问题有两个位移分量u（x，y），v（x，y），故平面应变状态要求约束能保证无z向位移.2.4 边界条件先讨论侧面（即法向与z轴垂直的面）的边界条件，对于侧面有cos（n，z）=0，在平面应变问题中，侧面上有（τxz=τyz）s=0，故式（4）可以简化为式（10c）表明要求侧面所受的面力不能有z轴方向的分量，即侧面只能受x，y方向的载荷.对比式（5）可知两类平面问题侧面应满足的边界条件相同，都要求侧面只承受x，y方向的载荷.再讨论端面，平面应变问题（τxz=τyz=0，σz=µ（σx+σy））要求端面无切应力，则在端面上有对于纯平面应变状态，要求端面的约束按（σz）s=µ（σx+σy）s分布；若约束未知，去掉约束，以力边界替代，则按（σz）s=µ（σx+σy）s分布加在构件端面时构件也为纯平面应变状态.若不是纯平面应变状态，可利用圣维南原理，即（σz）s 可以不按上述分布，但端面的载荷与上述分布静力等效时，则构件端面附近是圣维南区，不是平面应变状态，而过了圣维南区，中间部分就是平面应变状态.通过上述讨论，可知空间问题（几何形状与z轴无关，如柱形体；约束、侧面载荷、体力与z轴无关）在下列情况下，可简化为平面问题：（1）平面应力问题：对于薄板型构件或自由表面层，无端面约束和载荷时可视为平面应力问题；对于长柱体构件，要求端面无约束或载荷，且满足线性分布条件σx+σy=ax+by+c，即变形后截面自然地保持平面，也为平面应力问题.（2）平面应变问题：约束能保证无z向位移时为平面应变问题；当端面受力满足（σz）s=µ（σx+σy）s的分布时也可视为平面应变问题；或当端面的载荷与（σz）s=µ（σx+σy）s静力等效时，越过构件近端的圣维南区，构件中间部分同样可视作平面应变问题.【相关文献】1徐芝纶.弹性力学简明教程（第3版）.北京：高等教育出版社，20022王光钦.弹性力学.北京：中国铁道出版社，20083李世清.弹性力学（第2版）.成都：电子科技大学出版社，20054徐芝纶.弹性力学（第4版）.北京：高等教育出版社，2011。
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2y
x2
2x
y2
2 (vu) xy x y
2 xy xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
yzxzxy22u
x y z yz
对x求一阶偏导数，则
(yzx zx)yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2x
微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
微小应变的几何解释
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
主应变与主应变方向
x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y x2
2 x y2
2 xy xy
2 z 2y
2 y z2
2 yz yz
2 x 2 z 2 xz z2 x2 xz
•应变协调方程 •——圣维南 （Saint Venant）方程
( yz xz xy ) 2 2 x
x
v x, y dy v x, y v dy
y
几何意义
A x ,y A 'x u ,y v
B x d,y x B ' x d u x u d,y x v vd x
x
x
A'B'A
B
d xuxdx 2vxdx 2dx
AB
dx
C x ,y d yB ' x u u yd,y y d y v y vd y
•主应变与应变主轴 • 应变主轴—— 切应变为0的方向 • 主应变—— 应变主轴方向的正应变
主应变确定 ——应变主轴方向变形
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
yzn
0
1 2
xzl
1 2
yzm
(
z
)n
0
l，m，n齐次线性方程组 非零解的条件为方程系 数行列式的值为零
x
1 2
• 应变不变量就是应变状态性质的表现
•应力张量——应变张量 •应力不变量——应变不变量
公式比较
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
• 体积应变
uvw .
x y z
V*VVxyz
• ——弹性体一点体积的改变量
• 引入体积应变有助于
• 简化公式
• 解释
协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求
其位移。
• 解：
x
u x
3x
u3x2 f(y) 2
y
v y
2y
vy2g(x)
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•证 明 —— 应 变 协 调 方 程 是 变 形 连 续 的 必 要 和 充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u x dx, y u x, y u dx
x
u x, y dy u x, y u dy
y
v x dx, y v x, y u dx
x
v u yxyf'(y)g'(x)xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
1ux2vx21
u x
正应变
tan11vxudxdx xxv
tan2
uydy u 1vy dy y
xy 1 2ta1 n ta2 n x v u y
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
x
u x
y
v y
z
w z
xyxvuy yzw yvz zxuzw x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
0
z
应变状态特征方程
展开 3J12J2J30
应变不变量
J1 ii x y z J2 xy yx zx 14(x2yy2zz2x) J3 ij
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
n n i'j'
ii' jj' ij
• 应变张量
x
ij
1
2
yx
12zx
1
2
xy
y
12zy
1212xyzz
z
11 21 31
12 22 32
13 23 33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。
§1.2 应变分量
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z) M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z