1.2 应变分量和协调方程

yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
0
z
应变状态特征方程
展开 3J12J2J30
应变不变量
J1 ii x y z J2 xy yx zx 14(x2yy2zz2x) J3 ij
第一，第二和第 三应变不变量
• 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。
x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y x2
2 x y2
2 xy xy
2 z 2y
2 y z2
2 yz yz
2 x 2 z 2 xz z2 x2 xz
•应变协调方程 •——圣维南 （Saint Venant）方程
( yz xz xy ) 2 2 x
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u x dx, y u x, y u dx
x
u x, y dy u x, y u dy
y
v x dx, y v x, y u dx
x
v u yxyf'(y)g'(x)xy
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
2y
x2
2x
y2
2 (vu) xy x y
2 xy xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数
前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，
y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
yzxzxy22u
x y z yz
对x求一阶偏导数，则
(yzx zx)y22x
• 应变不变量就是应变状态性质的表现
•应力张量——应变张量 •应力不变量——应变不变量
公式比较
•主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性
类似
•各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的
• 体积应变
uvw .
x y z
V*VVxyz
• ——弹性体一点体积的改变量
• 引入体积应变有助于
• 简化公式
• 解释
1ux2vx21
u x
正应变
tan11vxudxdx xxv
tan2
uydy u 1vy dy y
xy 1 2ta1 n ta2 n x v u y
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
x
u x
y
v y
z
w z
xyxvuy yzw yvz zxuzw x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零
§1.2 应变分量
• 由于外部因素 —— 载荷或温度
• 位移—— 物体内部各点空间位置发生变化
• 位移形式
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保
持初始状态相对位置不变。
• 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改
变了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z) M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
•为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•证 明 —— 应 变 协 调 方 程 是 变 形 连 续 的 必 要 和 充分条件。
•变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。
•目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是
随之坐标改变而变化。
• 应变分量的转轴公式
n n i'j'
ii' jj' ij
• 应变张量
x
ij
1
2
yx
12zx
1
2
xy
y
12zy
1212xyzz
z
11 21 31
12 22 32
13 23 33
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
微小应变的几何解释
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
主应变与主应变方向
•主应变与应变主轴 • 应变主轴—— 切应变为0的方向 • 主应变—— 应变主轴方向的正应变
主应变确定 ——应变主轴方向变形
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
wk.baidu.com
)m
1 2
yzn
0
1 2
xzl
1 2
yzm
(
z
)n
0
l，m，n齐次线性方程组 非零解的条件为方程系 数行列式的值为零
x
1 2
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。
协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求
其位移。
• 解：
x
u x
3x
u3x2 f(y) 2
y
v y
2y
vy2g(x)
x
v x, y dy v x, y v dy
y
几何意义
A x ,y A 'x u ,y v
B x d,y x B ' x d u x u d,y x v vd x
x
x
A'B'A
B
d xuxdx 2vxdx 2dx
AB
dx
C x ,y d yB ' x u u yd,y y d y v y vd y