运筹学-最大流- 案例
运筹学-16最小费用最大流
画出对应的增广网络 图(可调整量,单位费用)
2
(+3, v4)
2
(+2, v1)
前向,后向都有调整量
只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
s:标(0 , )
(1,s)
min{(sv1)}={1,}=1
v1标号:(1,s)
(0, )
标不下去,已经找不到增广路
下方案总费用=14+3 3+11+43+2 4=34
求最小费用最大流 (容量,费用) 弧上数据(uj,cj)
uj 为弧的容量
Cj 为从这条弧运 送物资的费用
注意:
这两图 的权的 含义不 同
解: 设图中每条弧上的流量fj都为零,得到下图 (可调整流量,费用)
画出与上图对应的增广网络图,弧上权为(弧上流量的可调整 量,单位费用)
Min{(v1v3)(v1v4)}={1+4,1+3}=4
(4,v3)
(4, v1)
v4标号:(4, v1) Min{ (v4t)(v1v3)}={4+5 , 1+4}=5
v3标号:(5, v1) v2标号:(4, v3)
Min{(v3t)(v4t)(v3v2)}={5+3,4+5,5-1}=4 Min{(v3t)(v4t)(v2v4)}={5+3,4+5,4+6}=8
容量、费用、流量
(+1, v1)
1
3
(+2, v3)
前向,后向都有调整量 只有后向弧可以调整
可调整流，费用
把单位费用作为弧长,用标号法求从s到t的最短路
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题
以下是一个关于运筹学最大流问题的例题：
假设有一个有向图，有两个特殊的节点，分别是源点（S）和
汇点（T）。
图中还有一些其他的节点，表示各个任务或工作。
节点之间有一些带有容量限制的边，表示各个任务之间的关系。
假设需要将尽可能多的任务从源点发送到汇点，但要满足以下条件：
1. 每个任务只能由一个人来执行；
2. 每个人只能执行一个任务；
3. 每个任务只能在特定的时间完成；
4. 每个人只能在特定的时间段内工作。
问题：设计一个算法来确定可以完成的最大任务数。
解法：
1. 为了建立最大流问题的模型，我们需要将图中的节点和边进行转换。
首先，将源点和汇点分别用两个特殊的节点S和T
表示。
2. 对于每个任务节点，将其分解为两个节点v_in和v_out，以
表示任务开始和任务结束的时间点。
3. 对于每个容量限制的边(a, b)，我们将其转换为两条边
(v_out_a, v_in_b)和(v_out_b, v_in_a)，容量为边(a, b)上的容量
限制。
4. 然后，将所有节点和边加入到一个图中，并运用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法）来找到从S到T的最大流。
5. 最终的最大流就是可以完成的最大任务数。
这是一个应用最广泛的最大流问题的例题，通过建立合适的模型，可以将实际问题转化为最大流问题，并通过最大流算法来解决。
《运筹学最大流问题》课件
实际应用效果：在实际应用中，最大流问题可以有效地解决物流运输中的路径规划、车辆调度等问 题，提高物流运输效率，降低运输成本。
网络流量优化中的最大流问题
背景：随着互联网 技术的发展，网络 流量优化成为重要 问题
预流推进法的实现
预流推进法是一种求解最大流问题的算法 基本思想：通过寻找增广路径，逐步增大流值
实现步骤：初始化、寻找增广路径、更新流值、重复以上步骤直到找不到增广路径
优点：效率较高，适用于大规模网络流问题
Dinic算法的实现
初始化：设置源 点s和汇点t，初 始化网络流网络
寻找增广路径： 使用BFS寻找从 s到t的增广路径
汇报人：
EdmondsKarp算法等
扩展问题：最小 费用最大流问题 的扩展问题包括 最小费用最大流 问题、最小费用 最大流问题等。
多终端最大流问题
定义：在一个网络中，有多个源点和多个汇点，每个源点和汇点之间都有一条或多条边相连，每条边上都有一个容 量限制，求从源点到汇点的最大流量。
应用场景：多终端最大流问题在物流、交通、网络等领域有广泛的应用。
电力分配中的最大流问题
电力分配：将电力从发电站分配到各个用户 最大流问题：在电力分配中，需要找到一种最优的分配方案，使得电力分配达到最大 实际应用：在实际电力分配中，可以使用最大流算法来寻找最优的分配方案 应用效果：使用最大流算法可以大大提高电力分配的效率和准确性，降低电力损耗和成本
感谢您的观看
更新流量：沿 着增广路径更 新流量
重复步骤2和3， 直到找不到增 广路径
输出最大流值： 计算从s到t的 最大流值
Ford-Fulkerson算法的实现
运筹学第20讲
；
−
µ+ µ
−
在后向弧上，0＜ f ij ≤ c ij 在后向弧上， 即在 中每一弧是非零流弧，则称此链为增广链。 中每一弧是非零流弧，则称此链为增广链。
v2
(13,5) (6,1) (4,1) (5 ,1) (9,3)
(5,5) (5,0)
v5
(4,1) (4 ,1)
(9 ,5)
vs
v4
(5 ,1)
( v s , v j )∈ A
∑
fs j − ft j −
( v j , v s )∈ A
∑
f j s = v( f ) f j t = −v( f ) f ji = 0
( vt , v j )∈ A
∑
( v j , vt )∈ A
∑
( vi , v j )∈ A
∑
fi j −
( v j , vi )∈ A
v2
(13,5) (6,1) (4,1) (5 ,1) (9,3)
(5,5) (5,0)
v5
(4,1) (4 ,1)
(9 ,5)
vs
v4
(5 ,1)
vt
(10,2)
v3
v6
V 设 V1 = {v s , v2 , v5 } ， 2 = {v3 , v4 , v6 , vt } 则截集为 (V1 ,V2 ) = {(v s v3 ),(v2 , v4 ),(v5 , vt )}
(4 ,3) (1 ,0)
v4 (5 ,3) (3 ,0) (2 ,2) vt
(2 , 2) (4 ,3) (1 ,0)
v3 v4 (5 ,3) (3 ,0) (2 ,2) vt
(2 , 2)
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：1.运筹学最大流问题简介2.最大流问题的基本概念和方法3.最大流问题的求解步骤4.最大流问题在实际应用中的案例分享5.总结与展望正文：【提纲1：运筹学最大流问题简介】运筹学最大流问题是一种求解网络中最大流量的问题。
在有向图中，有一个发点（源）和一个收点（汇），其他点称为中间点。
给定每条边的容量，我们需要找到一条从发点到收点的路径，使得这条路径上的流量最大。
最大流问题在物流、交通、通信等领域具有广泛的应用。
【提纲2：最大流问题的基本概念和方法】在最大流问题中，我们需要了解以下几个基本概念：1.流量：表示在一条边上流动的单位数量。
2.容量：表示一条边能承受的最大流量。
3.增广链：从发点到收点的路径，路径上的每条边都有剩余容量。
求解最大流问题的基本方法是：1.初始化：将所有边的流量设为0。
2.寻找增广链：在图中寻找一条从发点到收点的路径，使得路径上的每条边都有剩余容量。
3.更新流量：将找到的增广链上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。
4.重复步骤2和3，直到无法再找到增广链。
【提纲3：最大流问题的求解步骤】以下是求解最大流问题的具体步骤：1.构建网络图：根据题目给出的条件，构建有向图。
2.初始化：将所有边的流量设为0，记录发点和收点。
3.寻找增广链：使用深度优先搜索或广度优先搜索等算法，在图中寻找一条从发点到收点的路径。
4.更新流量：找到增广链后，将路径上的流量增加，同时更新路径上其他边的剩余容量。
5.重复步骤3和4，直到无法再找到增广链。
6.输出结果：最大流即为所有增广链上的流量之和。
【提纲4：最大流问题在实际应用中的案例分享】最大流问题在实际应用中具有广泛的价值，例如：1.物流配送：通过最大流问题优化配送路线，降低物流成本。
2.交通规划：通过最大流问题优化交通网络，提高出行效率。
3.通信网络：通过最大流问题优化网络资源分配，提高通信质量。
【提纲5：总结与展望】运筹学最大流问题是一种重要的优化问题，其在实际应用中具有广泛的价值。
运筹学05.6最大流
前向弧（forward arc）：与P的方向一致的弧 后向弧（backward arc）：与P的方向相反的弧
2011-3-10
7
运筹学
Operations Research
(S Th1 设f是任一可行流， , S )是任一割，则 (1)val ( f ) ≤ c( S , S ) (2)val ( f ) = c( S , S ) ⇔ ( S , S )中的前向弧均为饱和弧， 后向弧均为零弧. ▌
5
运筹学
Operations Research
零流（zero flow）：弧的流量都是0的流. 零流是可行流，且流值为0.
最大流（maximum flow）：流值最大的可行流. N 最大流问题：在网络N 中找一个最大流.
弧的分类： （1）按流量和容量的大小关系分：
f 饱和弧（saturated arc）： ( a ) = c(a )
不饱和弧（unsaturated arc）：f ( a ) < c ( a )
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
（2）按流量和0的大小关系分： 零弧（zero arc）： f ( a ) = 0 非零弧（nonzero arc，positive arc）：f (a ) > 0 （3）按流量和有向路的关系分： 设P是一条有向(s，t)-路，其方向为s→ t.
可行流（feasible flow）：
(1)∀a ∈ A，有0 ≤ f (a) ≤ c(a);
(2) f + ( s) = f − (t )；∀v ∈ I，有f + (v) = f − (v).
流值（flow value）：val ( f ) = f + ( s ) = f − (t )
运筹学05-图与网络分析3-最大流
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(0,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(2,6) v1
v2
(0,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(0,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(0,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(2,5)
(0,3)
再检查vi，直到vs为止
min1,2
1 min cij fij 对于增广链上的前向弧
2 min fij 对于增广链上的后向弧
(2)以为调整量进行调整
fij
'
ffiijj
(vi , vj ) (vi , vj )
fij (vi , v j )
去掉所有点的标号，对新的可行流f ' {fij '}进行标号
v2
运筹学：第2章 图与网络分析 第4节 最大流
v2
13 (5)
6(3)
v5
9 (5)
5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
v7
10 (1)
设 V1 v1 , v2 , v5 ，V2 v3 , v4 , v6 , v7 则截集为
(V1,V2 ) (v1v3 ), (v2 , v4 ), (v5 , v7 ) 截量为24
凡与u方向相同的称为正向弧； 凡与u方向相反的称为反向弧； 其集合分别用u+和u-表示。 f 是一个可行流，如果满足：
0 fi j ci j 0 fi j ci j
(vi , vj ) 即μ+中的每一条弧都是非饱和弧 (vi , vj ) 即μ-中的每一条弧都是非零流弧
则称 u为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。
是一个（V，A，C），vs为始点，vt为终点。如 果把V分成两个非空集合V1 ,V2(V1 V2 ,V1 V2 V )
使vs V1 ,vt V2 ，则所有始点属于V1 ，而终点属于 V2的 弧的集合，称为D的截集,记作 (V1 ,V2。) 截集(V1 ,V2)中所有弧的 容量之和，称为这个截集的截量，记为C(V1,V2) 。
2 ．把节点集V分成VA ：已标号点集
VB ：未标号点集
3．考虑所有这样的弧(vi ，vj) 或(vj，vi ) ，其中vi VA，v j VB
若该弧为
（1）流出未饱弧，那么给vj标号(θj, vi) ，其中： θj=cij-fij
（2）流入非零弧，那么给vj标号(θj, -vi) ，其中： θj=fij 4．重复步骤2，3，直到vt被标号或标号过程无法进行下去 ，则标号结束。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题一、问题描述在运筹学领域，最大流问题是一种重要的网络流问题，其目标是在给定有向图中，找到从源点到汇点的最大流量。
求解最大流问题可以应用于许多实际场景，比如物流调度、电力网络分配等。
二、问题分析最大流问题可以通过使用流网络模型来求解。
流网络由一组有向边和节点组成，其中每条边都带有一个容量值，代表该边所能通过的最大流量。
流量值表示通过该边的实际流量。
为了求解最大流问题，我们需要使用网络流算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
这些算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。
三、问题实例为了更好地理解最大流问题，以下是一个具体的例子：假设有一个物流网络，由多个节点和边构成。
每条边都带有一个容量值，表示该边所能通过的最大流量。
网络中有一个源点和一个汇点，我们需要找到从源点到汇点的最大流量。
节点和边的关系如下：源点 -> A: 容量为5源点 -> B: 容量为3A -> C: 容量为2A -> D: 容量为4B -> C: 容量为2B -> E: 容量为3C -> 汇点: 容量为4D -> 汇点: 容量为5E -> 汇点: 容量为3根据以上描述，我们可以通过使用Ford-Fulkerson算法来求解最大流问题。
算法的基本步骤如下：1. 初始化流网络，将所有边上的流量设为0。
2. 寻找增广路径：通过深度优先搜索或广度优先搜索，寻找从源点到汇点的一条路径，使得路径上的边上仍有剩余容量。
3. 计算路径上的最小容量值，即可通过的最大流量。
4. 更新路径上的边的流量，即增加最小容量值。
5. 重复步骤2-4，直到无法找到增广路径为止。
6. 最后，计算源点流出的总流量，即为最大流量。
通过以上例子，我们可以清楚地了解最大流问题的基本思想和求解步骤。
在实际应用中，可以根据具体情况使用不同的网络流算法来求解最大流问题。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：I.引言- 介绍运筹学最大流问题- 问题的背景和实际应用II.最大流问题的定义- 给定图和容量- 源点和汇点- 中间点III.最大流问题的求解方法- 增广链法- 最小费用最大流问题IV.例题详解- 例题一- 例题二- 例题三V.结论- 总结最大流问题的求解方法和应用- 展望未来研究方向正文：I.引言运筹学最大流问题是运筹学中的一个经典问题，主要研究在给定的有向图中，如何从源点向汇点输送最大流量。
最大流问题广泛应用于运输、通信、网络等领域，具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍运筹学最大流问题的相关概念和方法，并通过例题进行详细解析。
II.最大流问题的定义最大流问题给定一个有向图G(V, E)，其中包含一个源点(vs)、一个汇点(vt) 和若干个中间点。
对于图中的每一条边(vi, vj)，都有一个非负容量cij。
我们需要从源点向汇点输送流量，使得总流量最大。
III.最大流问题的求解方法最大流问题的求解方法主要有增广链法和最小费用最大流问题。
1.增广链法增广链法是一种基于动态规划的方法。
假设我们已经找到了从源点到汇点的最大流量f，现在要寻找一条增广链，使得流量可以增加。
增广链的定义是：从源点出发，经过若干条边，最后到达汇点的路径，且这条路径上所有边的容量之和c > f。
如果找到了这样的增广链，我们可以将源点与增广链的起点之间的边(vs, v1) 的容量增加c，同时将增广链上所有边的容量减少c，从而得到一个新的最大流量f"，满足f" > f。
不断寻找增广链，直到无法找到为止，此时的最大流量即为所求。
2.最小费用最大流问题最小费用最大流问题是在最大流问题的基础上，要求源点向汇点输送的流量所经过的路径的费用最小。
求解方法是在增广链法的基础上，每次寻找增广链时，不仅要满足c > f，还要满足从源点到汇点的路径费用最小。
IV.例题详解以下是三个最大流问题的例题详解：例题一：给定一个有向图，源点vs 的入次为0，汇点vt 的出次为0，其他点的入次和出次均为1。
运筹学_21 图论最小树和最大流
7
Operational Research
8
最大流问题
案例 • v1表示工厂，v6表示市场，v1-v5表示转运站。产品从工厂到市场要经过转运站。 • 弧的权数表示能通过的货物量，求如何安排运输，使到达市场数量最大？
Operational Research
9
最大流问题
（V，A），指定一个点为起点不终点，其余点叫作中间点。对于A的每条弧 ，都对应一个权数 wij ≥0，称为弧的容量。 每一弧（vi，vj）的流量为xij，集合X={xij | （vi，vj）属于A }称为该网络一个流。 可行流
（1）找到一个增广链； （2）逐一检查，给出标号；每一标号点包括两部分（第一标号表明标号从哪里来，顺则+ 逆则-；第二标号表明可调整量，取之前的最小值）。
（3）调整流量（保持每个中间点的平衡）；
（4）再找增广链。
V2
（4,4）
V4
（6,5）
最大流为10
V1
（5,4） （3,0） （4,2） （6,6）
11
最大流问题
定理：
•
算法
可行流为最大流的充要条件是丌存在关于x*的增广链。
Ford-Fulkerson算法
•
V2
（5,3）
（4,4）
V4
（6,4）
V1
（6,6）
（3,1）
（4,2）
（6,2）
（8,5）
V6
V3
（5,3）
V5
Operational Research
12
最大流问题
过程
•
从某一可行流出发，通过找增广链、检查-标号、调整三步完成算法；
流 Flow
• •
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题运筹学中的最大流问题是一种重要的优化问题，它在网络流量分配、路径规划等领域有着广泛的应用。
下面我将给出两个较为详细的最大流问题例题，以帮助读者更好地理解。
例题一：假设有一个有向图，其中包含一个源点S和一个汇点T，其他节点分别表示供给点和需求点。
每条边的容量表示该路径上的最大流量。
现在我们需要确定从S到T的最大流量。
其中，源点S有一个供给量为10的容器，汇点T有一个需求量为10的容器。
其他节点没有容器。
图中各点之间的边的容量如下：S -> A: 5S -> B: 3A -> C: 4A -> D: 2B -> E: 2B -> F: 4C -> T: 3D -> T: 1E -> T: 1F -> T: 5求解：通过构建网络流图，我们可以将这个问题转化为一个最大流问题。
首先，我们为每条边都添加一个容量属性，然后为S和T之间添加一个超级源点和超级汇点。
图示如下所示：```S/ | \A B C/ | | \D E F T```超级源点S0与源点S之间的边的容量为源点S的供给量10，超级汇点T0与汇点T之间的边的容量为汇点T的需求量10。
接下来，我们要找到从超级源点到超级汇点的最大流量，即求解这个网络流图的最大流。
解答：根据这个网络流图，我们可以使用Ford-Fulkerson算法求解最大流问题。
具体步骤如下：1. 初始化网络流为0。
2. 在剩余容量大于0的路径上增广流量：从超级源点出发，找到一条路径到达超级汇点，该路径上的流量不超过路径上边的最小容量。
3. 更新剩余容量：将路径上的每条边的剩余容量减去增广流量。
4. 将增广流量加到网络流中。
5. 重复步骤2-4，直到找不到从超级源点到超级汇点的路径。
通过应用Ford-Fulkerson算法，我们可以得到从超级源点到超级汇点的最大流量为8。
因此，从源点S到汇点T的最大流量也为8。
【运筹学 精品培训讲义】第六章(四)最大流问题
(v2, 2)
v4
93
5
1
vt
11
v3 (v1, 6)
如果调整数量增大就改变
算法出现的问题
2. 一个点已被标号,它的标号是否会改变
(v1, 7)
v2
83
3 10 (0, M) vs
92
v1 8 2 (vs, 7)
(v2, 5)
v4
93
5
1
vt
11
v3 (v1, 6)
如果调整数量不能增大就不改变
算法出现的问题
1 0
11
52
v1 2 2 (vs, 3)
v4
54
3
0
vt
12
v3
6.4.3 最小截集的获得
V1 {vs , v1} V1 {v2 , v3, v4, vt}
v2 4 4 33
(0, M) vs
1 0
11
52
v1 2 2 (vs, 3)
v4
54
3
0
vt
12
v3
算法出现的问题
1. 哪个未检查但标号的点先被检查的问题
算法思想: 首先得到一条可行流。 然后在可行流的基础上,寻找增广链.如果找
到,得到新的流量更大的可行流; 如果找不到， 说明当前的可行流就是最大流。
由于可行流的流量不能无限增大，因而总 可以得到最大流。
6.4.2 标号法(Ford-Fulkerson算法）
第一步：构建一条可行流
v2 33
vs
1
1
51
(0, M) vs
(-v1, 1)
v2
43
33
2 2
22
52
用Excel求解运筹学中最大流问题详细操作示例
打开Excel，新建一个工作簿。
在工作簿中创建三个工作表 ，分别命名为“源点”、“
汇点”和“网络”。
02
01
03
在“源点”工作表中输入源 点的名称和容量。
在“汇点”工作表中输入汇 点的名称。
04
05
在“网络”工作表中输入所 有边的起点、终点、当前容
量和剩余容量。
初始化变量
在“源点”工作表中，为源点的流量 分配一个初始值，例如0。
用Excel求解运筹学中最大 流问题详细操作示例
目录
• 最大流问题概述 • Excel求解最大流问题的准备工作 • 使用Excel求解最大流问题 • Excel求解最大流问题的结果分析 • 案例分析 • 总结与展望
01
最大流问题概述
最大流问题的定义
最大流问题是指在给定网络中，确定通过该网络的最大流量 。这个网络由若干个节点和边组成，每条边都有一定的容量 ，表示该条边允许通过的最大流量。
使用Excel求解案例中的最大流问题
打开Excel，创建一个新的工作表，将 数据整理到相应的单元格中。
在一个空白的单元格中输入 “=MAX(SUMIF(起始列,条件,费用 列))”，例如 “=MAX(SUMIF(A2:A100,">=1",C2: C100))”，表示从起始列中选择大于 等于1的单元格，并计算对应的费用列 的总和，然后找出最大的总和。
结果
01
最大流量
增广路径
02
03
残量网络
通过Excel求解，可以得到最大流 量值，这是运筹学中最大流问题 的核心目标。
在Excel的结果中，增广路径的详 细信息也会被列出，这是求解过 程中关键的步骤之一。
最小费用最大流_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]
![最小费用最大流_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]](https://img.taocdn.com/s3/m/0552023b0975f46526d3e19a.png)
6.5 最小费用最大流
在上节最大流问题中，每一个可行流在现实生活中还对应着一定的费用，许多情况下优
化目标不但要求流量尽可能大，还要求费用尽可能小。在一个网络中每条弧在“容量”和
“费用”两个限制条件下，寻求 vs 到 vt 的最大流，使该最大流在所有最大流中费用达到最小。
减小费用。
当沿着可行流 f 的一条增广链 μ ，以θ 调整 f ，得到新的可行流 f ′ 时， b( f ′) 比 b( f ) 增加：
⎛
⎞
∑ ∑ ∑ ∑ b(
f
′)
,v j
>∈μ＋
bijθ
-
< vi
,vj
>∈μ —
bijθ＝⎜⎜⎝
< vi
,vj
>∈μ＋
bij
-
< vi
,v j
>∈μ —
若 f 是流值为 v( f ) 的所有可行流中费用最小者，而 μ 是关于 f 的费用最小的增广链，那
么沿 μ 去调整可行流 f ，得到可行流 f ′ ，新可行流就是流值为 v( f ) + θ 的所有可行流中费用
最小的可行流。
上述分析寻求到一种寻找最小费用最大流的方法，即确定一个最小费用可行流，然后找
中，不但通过增广链使流量逐步增加，还要考虑费用的约束，即每次可行流的调整都使费用
增加最小。
寻求最大流的方法是从一个可行流出发，找出增广链，通过增广链上弧的流量的调整，
使流值不断增加，如此循环进行，一直到找不出增广链，从而得到最大流。在最大流增加的
过程中，流的费用也会变化，前向弧上增加流量，从而增加费用；后向弧上减小流量，从而
网络最大流问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社
v1
vs
vt
v2 （2，2） v3
（1）所有的截集： ①VA={vs}，截集为{(vs,v1), (vs,v2)}，截量为：6
②VA={vs ,v1}，截集为{(vs,v2), (v1,vt)}，截量为：7
③VA={vs ,v2}，截集为{……}，截量为：7
④VA={vs ,v3}，截集为{……}，截量为：12 ⑤VA={vs ,v1,v2}，截集为{……}，截量为：5
52
v4
3 2
1 5
3 3
6 3 v5
.
11 6
v6
2 17
2. 增广链
f为一可行流，u为vs至vt的链，令 u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧
皆非饱，且u-中弧皆非零，则称u为关于f的
一条增广链。
10 5 v2
v1
4
1 8
3
v3
52
v4
3 2
1 5
3 3
6 3 v5 .
11 6
v6
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
[-v1, 1]v2 （4,3）
v4[v2 , 1]
Vs
[0 , +∞]
（2,2）
[vs, 4]v1
v3
Vt
V3
(4) 重复（2）,（3），依次进行的结局可能为
vt已标号，得到一条增广链u(反向追踪)，转（5）； vt未标号,且无法再标号,此时的流为最大流,此时的截集为最小截。
网络最大流问题—标号法
1.标号过程
2.调整过程 利用反向追踪法找出增广链。调整量为
运筹学-最大流- 案例
案例BMZ公司的最大流问题背景BMZ 公司是欧洲一家生产豪华汽车的制造商。
它因为提供优质的服务而获得很好的声誉，保持这个声誉一个很重要的秘诀就是它有着充裕的汽车配件供应,从而能够随时供货给公司众多的经销商合授权维修店。
这些供应件主要存放在公司的配送中心里，这样一有需求就可以立即送货。
卡尔（BMZ 公司的供应链的经理）优先考虑的是改进这些配送中心的不足之处。
该公司在美国有几个配送中心。
但是，离洛杉机中心最近的一个配送中心却坐落离洛杉机1000 多英里的西雅图。
保证洛杉机中心良好的供应是尤为重要的。
因此,现在那里的供应不断减少的现状成为了公司高层管理真正关心的问题。
大部分的汽车配件以及新车是在该公司坐落于德国的斯图加特的总厂和新车一起生产的。
也就是这家工厂向洛杉机中心供应汽车配件。
每月有超过300000 立方英尺的配件需要运到.现在，下个月需要多得多的数量以补充正在减少的库存。
问题卡尔需要尽快制定一个方案,使得下个月从总厂运送到洛杉机配送中心的供应件尽可能多。
他认识到了这是个最大流的问题——一个使得从总厂运送到洛杉机配送中心的配件流最大的问题。
因为总厂生产的配件量远远要大于能够运送到配送中心的量，所以，可以运送多少配件的限制条件就是公司配送网络的容量。
这个配送网络如下图1 。
在图中,标有ST 和LA 的节点分别代表斯图加特的工厂和洛杉机的配送中心。
由于工厂所在地有一个铁路运转点,所以首先通过铁路把配件运输到欧洲的三个港口：鹿特丹（RO ）波尔多（BO ）和里斯本(LI) ;然后通过船运到美国的港口纽约（NY )或新奥尔良( NO ）;最后用卡车送到洛杉机的配送中心.图1 网络模型经营这些铁路、船舶和卡车的组织是独立所有的公司，这些公司为很多的公司运输货物。
由于对这些老主顾原有的承诺，这些公司不可以在短时间内为任何一个客户大量增加运输空间配额。
因此，BMZ公司只能够保证获得下个月每条运输航线有限的运输空间.图1已经给出可以获得的空间数量，以100立方米为1个单位（由于每100立方米比3500立方英尺大一点，所以，需要运送的这批货物体积是很大的）。
运筹学 最大流问题精简PPT学习教案
边称为饱和边，使fij<cij的边称为非饱和边；把
使fij＝0的边称为零流边，使fij>0的边称为非零
流边。
若μ是联结发点
v2 3,1
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4
5,2
3,1 vt
2,1
vs和收点vt的一条链
，我们规定链的方向
是从vs到vt，则链上
v1
2,2 v3
的边被分成两类：前
向边、后向边。
1
y4 1 1
y5
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
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基本概念
v2 3
vs
1
5 v1
4
v4
5
1
3
vt
2
2
v3
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一 个数cij（cij≥0 ），称 为边(vi,vj)的 容量。 我们把 这样的 网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
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网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
第11页/共21页
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3
(3,3
)
v4 (5,3
在图中给出的可行
vs ) (5,1 )
(1,1 )
(1,1 )
v1 (2,2
(3,0 ) ) (2,1
vt
v3 )
流的基础上，求vs 到vt的最大流。
)
(-vv21,1)(4,3
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案例BMZ公司的最大流问题
背景
BMZ 公司是欧洲一家生产豪华汽车的制造商。
它因为提供优质的服务而获得很好的声誉，保持这个声誉一个很重要的秘诀就是它有着充裕的汽车配件供应，从而能够随时供货给公司众多的经销商合授权维修店。
这些供应件主要存放在公司的配送中心里，这样一有需求就可以立即送货。
卡尔（BMZ 公司的供应链的经理）优先考虑的是改进这些配送
中心的不足之处。
该公司在美国有几个配送中心。
但是，离洛杉机中心最近的一个配送中心却坐落离洛杉机1000 多英里的西雅图。
保证洛杉机中心良好的供应是尤为重要的。
因此，现在那里的供应不断减少的现状成为了公司高层管理真正关心的问题。
大部分的汽车配件以及新车是在该公司坐落于德国的斯图加特的总
厂和新车一起生产的。
也就是这家工厂向洛杉机中心供应汽车配件。
每月有超过300000 立方英尺的配件需要运到。
现在，下个月需要多得多的数量以补充正在减少的库存。
问题
卡尔需要尽快制定一个方案，使得下个月从总厂运送到洛杉机配送中心的供应件尽可能多。
他认识到了这是个最大流的问题——一个使得从总厂运送到洛杉机配送中心的配件流最大的问题。
因为总厂生产的配件量远远要大于能够运送到配送中心的量，所以，可以运送多少配件的限制条件就是公司配送网络的容量。
这个配送网络如下图1 。
在图中，标有ST 和LA 的节点分别代表斯图加特的工厂和洛杉机的配送中心。
由于工厂所在地有一个铁路运转点，所以首先通过铁路把配件运输到欧洲的三个港口：鹿特丹（RO ）波尔多（BO ）和里斯本(LI) ；然后通过船运到美国的港口纽约（NY ）或新奥尔良（NO ）；最后用卡车送到洛杉机的配送中心。
图1 网络模型
经营这些铁路、船舶和卡车的组织是独立所有的公司，这些公司为很多的公司运输货物。
由于对这些老主顾原有的承诺，这些公司不可以在短时间内为任何一个客户大量增加运输空间配额。
因此，BMZ公司只能够保证获得下个月每条运输航线有限的运输空间。
图1已经给出可以获得的空间数量，以100立方米为1个单位（由于每100立方米比3500立方英尺大一点，所以，需要运送的这批货物体积是很大的）。
模型描述和求解
这是一个最大流问题，每一条弧下方括号里的数字代表了该弧的容量。
通过标号法求得最大流，在各线路上的运输方案如表1所示。
最大流量为150单位。
表1 最大流分配方案
进一步改善的方案
在柏林，即斯图加特的工厂的北面，公司有一家较小一点的工厂也生产汽车配件。
虽然通常这家工厂用来协助供应给北欧、加拿大和美国北部地区的配送中心（包括在西雅图的一个），但是它也同样可以运输配件到洛杉矶的配送中心去。
而且，当洛杉矶配送中心出现库存短缺时，西雅图的配送中心有能力供应配件给洛杉矶配送中心的客户。
受到这一点的启发，卡尔为解决当前洛杉矶存货短缺的问题开发了一个更好的方案。
他决定与其仅仅使得从斯图加特的工厂到洛杉矶配送中心的运输量最大，不如使得两个工厂到洛杉矶和西雅图这两个配送中心的运输量最大。
图2显示的网络模型代表扩展后的配送网络。
这个经过扩展的网络包括了两个工厂和两个配送中心。
除了图1 的节点以外，节点BE 代表了位于柏林的较小的工厂，节点HA 和节点BN 分别代表为这家工厂提供服务的汉堡和波士顿别外两大港口。
SE代表了西雅图。
和以前一样，弧代表了运输路线，每一条弧下方括号里的数字代表了该弧的容量，即下个
月可以通过这条运输路线的最大运输单位数。
将经过扩展的BMZ 问题看作是最大流问题的网络模型。
重新求解，得到改善的最大流分配方案如表2所示。
最大流量为220单位。
其中，运送到洛杉矶的单位数由150 增长到160 ，另外的新加60 单位到西雅图作为洛杉矶库存短缺的备份，这个方案不但解决了洛杉矶的危机，而且也使卡尔赢得了高层管理的称赞。
图2 扩展的网络模型
表2 改善的最大流分配方案
问题
（1）标号法求解最大流问题时，如何获得初始可行流？
（2）对于图2所示的扩展的网络模型，是否满足最大流问题对网络图的要求？应如何处理？。