北京交通大学2019年数学专业大学生数学竞赛试题及解答

f
2
x
2
f
y
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f z
2
M
， A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 是 D 内两点，线段 AB 包
含在 内，证明： f x1, y1, z1 f x2 , y2 , z2 M AB ，其中 AB 表示线段 AB 的长度。
五、（本题满分 10 分）设 A 是 n 阶幂零矩阵，及满足 A2 O ，证明：若 A 的秩为 r ，且
1
r
n 2
，则存在 n
阶可逆矩阵
P
，使得
P1 AP
O
O
Ir O
O O
。
六、（本题满分 10 分）设函数 f (x) 在 [0,1] 上；连续可微，在 x 0 处有任意阶导数，
f (n) (0) 0,n 0 ，且存在常数 C 0 ，使得 xf (x) C f (x) ,x [0,1] ，证明：（1）
北京交通大学 2019 年学专业大学生数学竞赛试题
（2019 年 6 月 22 日晚 7：00—9：30）
学院与班级
学号
一、填空题（每小题 6 分，满分 30 分）
1．极限 lim 1 cos x x0
cos 2 x 3 cos3 x
x2
=
姓名
联系方式
。
2
2．定积分 tan(x 1)3 2x x2 dx =
得到 u2 v2 t2 2au bv wt 0,t R ，于是
u2 v2 0, au bv w 0 ，有 v u, w a bu, 1，
于是过 P 点恰有两条直线落在马鞍面 S 上，有 l l1(t) a,b, c tu 1,1, a b ；
l l1(t) a,b,c tu 1, 1, a b ，
j 1
j 1
, xn x1,
x1
,
xn
A
的规
xn
八、（本题满分 10 分）已知ak ,bk 是正项数列，且 bk1 bk , k 1, 2 ， 为一正
k k
常数，证明：若级数 ak 收敛，则级数
k 1
k 1
a1a2 ak b1b2 bk 1bk
bk
收敛。
参考答案：
x x0
2
x2
x2
= 1 lim 1 2 x0
1 cos 2x 1
x2
1 3 1 cos 3x 1
lim
x0
x2
=
1 2
lim
x0
1
cos 2x2
2
x
lim
x0
1
cos 3x2
3x
1 2
1
3 2
3。
1
2．解：原式= tan t3
1
t2
dt
2
。
1
3．解： : x2 y2 z2 2x 2z (x 1)2 y2 (z 1)2 2 。可知重心为 (1, 0,1) ，
f ( 0 ) 0f, ( 0 ) f1 , ( 0 )f 0 , ，( 又0 )设数列1an 满足 a1 (0,1) ，an1 f (an ) ，
(n 1, 2,3,
)
，严格单调减少且
lim
n
an
0
，计算
lim
n
nan2
。
四 、（ 本 题 满 分 10 分 ） 设 函 数 f ( x, y, 在z) 区 域 内 可 微 ， 且
0 ，于是 z x
F1 F2
, z y
F1 F2
。
2 z
F1 F2
F1 y
F2
F1
F2 y
xy y
F22
=
F11 (1)
F12
z y
F2 F1
F22
F21 (1)
F22
z y
=
F11 (1)
F12
F1 F2
F2 F1 F22
F21 (1)
F22
F1 F2
=
F11 F22
2F1F2 F12 F23
F22 F12
。
二、解：设所求 P 点的坐标 P (a,b, c) ，满足 a2 b2 2c ，则过点 P 的直线可以表示为
l l(t) a,b,c t u,v, w ，其中 u2 v2 w2 0,t R ，因为直线落在马鞍面 S 上，
一、1．解： lim 1 cos x x0
cos 2 x 3 cos3 x x2
= lim1 cos x cos x cos x x0
cos 2x cos x x2
cos 2x cos x
cos 2x 3 cos 3x
= lim1 cos x cos x(1 cos 2x) cos x cos 2x(1 3 cos 3x)
。
0
3．设 : x2 y2 z2 2x 2z ，则曲面积分 I (x y)2 z2 2yzdS
。
4 ． 已 知 二 次 型 f (x1, x2 ,
xn )
n i 1
xi
x1
x2
n
xn
2
，则
f
的规范形
为
。
5．设函数 z z( x, y) 由方程 F(x y, z) 0 所确定，其中 F(u, v) 具有连续的二阶偏导数，则
这两条直线的方向向量 1,1, a b,1, 1, a b 均平行于平面 ，而平面的法向量为
, , 1 ，故 a b, a b，从而 a ,b ,c 1 2 2 ，故所 2
求
P
点的坐标的为
,
,
1 2
2 2
。
三、解：由于 f (x) 在区间 (1,1) 内三阶连续可导， f (x) 在 x 0 处有 Taylor 公式
于是
I (x y)2 z2 2yzdS x2 y2 z2 2xy 2yzdS 2x 2zdS 2 (x z) ydS
= 2 x z dS 0 32 。
4、解： y12 y22
y2 n1
。
5.
解: F1 F2
z x
0, F1 (1) F2
z y
2z
。
xy
二 、 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 马 鞍 面 S 的 方 程 为 x2 y2 2z ， 设 为 平 面
z x y ，其中, , 为给定常数，求马鞍面 S 上点 P 的坐标，使得过点 P 且落 在马鞍面 S 上的直线均平行于平面 。 三 、（ 本 题 满 分 10 分 ） 设 函 数 f (x) 在 区 间 ( 1 , 1内) 三 阶 连 续 可 导 ， 满 足
lim
x0
f (x) xn
0, n
0 ；（2）在[0,1] 上成立
f (x) 0 。
七、（本题满分 10 分）设 A aij nn 为 n 阶方阵，满足 a11 a22
ann a 0 ，且对
每个 i i 1, 2,
范形。
n
n
, n ，有 aij aji 4a ，求 f x1,