北京交通大学2019年数学专业大学生数学竞赛试题及解答

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北京交通大学高等数学B期末考试试卷(B卷及其答案

北京交通大学高等数学B 期末考试试卷(B 卷及其答案1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分15分，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．函数 y x z -=的定义域为 ________________________．2．设二元函数()y x z z ，=由方程()0ln 22=+-xyz xyz xz 所确定，则=∂∂xz_____________．3．交换累次积分的顺序()()=+⎰⎰⎰⎰--4121xx xxdy y x f dx dy y x f dx，，_____________．4．若0>a ，0>b ，则级数()()()()()()∑∞=++++++111211121n nb b b na a a 在 __________ 时发散．5．设方程()x f y y y =-'-''32有特解*y ，则它的通解为________________．答案：⒈ y x ≥，0≥y ； ⒉ xz-； ⒊()⎰⎰-+2122y y dx y x f dy ，；⒋1≥ba； ⒌ *321y e C e C y x x ++=-．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．曲线Γ：⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点()121，，-处的切线一定平行于_____ ．（A ）．xOy 平面；（B ）．yOz 平面；（C ）．zOx 平面；（D ）．平面0=++z y x ．2．已知L ：()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，则()=⎰Ldx y x f ， _________ ．（A ）．()()[]⎰βαψϕdt t t f ，；（B ）．()()[]⎰αβψϕdt t t f ，；（C ）．()()[]()⎰'βαϕψϕdt t t t f ，；（D ）．()()[]()⎰'αβϕψϕdt t t t f ，． 3．设k x j z i y A++=，则=A rot ______________ ．（A ）．k j i ++ ；（B ）．()k j i ++- ；（C ）．k j i +-；（D ）．k j i-- ．4．函数()⎰=xdt t tx f 0sin 在0=x 处的幂级数展开式为___________ ．（A ）．()()()∑∞=++--01212!121n n nx n n ()+∞<<∞-x ；（B ）．()()()∑∞=++--01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，；（C ）．()()()∑∞=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<∞-x ；（D ）．()()()∑∞=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，． 5．设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，则()()x y C x y C y 2211+=（1C 与2C 为任意常数）是该方程的通解．（A ）．两个不同的解；（B ）．任意两个解；（C ）．两个线性无关的解；（D ）．两个线性相关的解．答案： ⒈ （D ）； ⒉ （D ）； ⒊ （B ）； ⒋ （C ）； ⒌ （C ）．三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，+=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求yx z ∂∂∂2．解：21f y f x z'+'=∂∂ ……3 因此，2221212112f xy f y f f x f yx z''+''+'+''+''=∂∂∂ ()2221211f f xy f y x f '+''+''++''= (7)四．（本题满分7分）运算⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211 ，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解：作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==，则有⎰⎰⎰⎰+-=++--1222022221111rdr r r d dxdy y x y x Dπθ (2)⎰--=142112rdr rr π⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎰⎰143104112dr r r dr rrπ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎰⎰10441241114111212r d r r d r π ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=104102121arcsin 212r r π ……5 ()28-=ππ (7)五．（本题满分8分）证明：曲面3a xyz =（0≠a 为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数．解：令 ()3a xyz z y x F -=，， (2)则yz F x =' ，xz F y =' ，xy F z ='设()000z y x ，，为曲面3a xyz =上的任意一点，则在该点处的切平面方程为()()()0000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y (4)化为截距式，有1333000=++z z y y x x 因此，所求四面体的体积为3000000292933361a z y x z y x V ==⋅⋅=……8 即所求体积为常数．六．（本题满分8分）求微分方程 ()x y y dxdyxln ln -= 的通解．解：原方程化为xy x y dx dy ln =，这是一个齐次方程，令ux y =，则dx du x u dx dy +=，代入原方程，得 u u dxdux u ln =+ (3)分离变量，得()xdxu u du =-1ln积分，得()C x u ln ln 1ln ln +=-，即Cx u =-1ln (6)代回原变量，得 1+=Cx e xy，因此所求通解为 1+=Cx xe y (8)七．（本题满分8分）求函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002222242y x y x yx yx y x f ，的全微分，并研究在点()00，处该函数的全微分是否存在？解：当()()00，，≠y x 时， ……3 dy yf dx x f dz ∂∂+∂∂=()()()224226422yxdyy x x dx x y xy +-+-= (3)在原点()00，处，()()()00lim 0000lim 0000=∆=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ，，，()()()00lim 0000lim0000=∆=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ，，， ()()()()()()2420000y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆，，， ()()22y x ∆+∆=ρ则有 ()()()()()()()()22242001lim 0000limy x y x y x y f x f z y x ∆+∆⋅∆+∆∆∆=∆'-∆'-∆→→ρρρ，，，令x y ∆=∆，则有 ()()()()()∞=∆⋅⋅∆+∆∆=∆'-∆'-∆→∆→∆xx x x yf x f z x y x x 21lim 0000lim24300ρ，，因此，函数()y x f ，在点()00，处不可微． (8)八．（本题满分8分）求三重积分()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x I 22其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面4=z 所围成的立体．解：作柱坐标变换z z r y r x ===，，θθsin cos ， ……1 则有 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++=Ω4228020222r dz z r dr d dxdydz z y xI πθ (4)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=805385842dr r r r π π3256= (8)九．（本题满分8分）求幂级数∑∞=1!n n nn x n 的收敛域（端点情形要讨论）．解：设n n nn a !=，则 ()()!1!1lim lim 11n n n n a a nn n nn n ⋅++=+∞→+∞→e n n n 1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→，因此，收敛半径为e R =， (4)当e x =时，级数为∑∞=1!n n nn e n而()()111!1!111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++++nnnn n n e e n n n e n因此， 0!lim≠→∞nnn n e n因此，级数∑∞=1!n n nne n 发散． (6)同理，当e x -=时，级数()∑∞=-1!1n n nnn e n 也发散． (7)因此幂级数∑∞=1!n n nn x n 的收敛区间为()e e ，- ． (8)十．（本题满分8分）设()1=πϕ，试确定函数()u ϕ，使得曲线积分()[]()⎰+-Ldy x dx xy x x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，并求由点()01，A 到()ππ，B 的上述积分．解：因为()[]x yx x P ϕ-=sin ， ()x Q ϕ= 由于曲线积分()[]()⎰+-Ldy x dx x yx x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，因此()[]()x xQx x x y P ϕϕ'=∂∂=-=∂∂sin 因此得微分方程 ()()x xx x x sin 1=+'ϕϕ解此方程，得通解 ()xxC x cos -=ϕ (4)代入()1=πϕ，得1-=πC因此，所求函数为()xxx cos 1--=πϕ (5)又()[]()()()⎰+-ππϕϕ，，01sin dy x dx x yx x()[]()()()()[]()()()⎰⎰+-++-=ππππϕϕϕϕ，，，，0001sin sin dy x dx x yx x dy x dx x y x xπππππ=--+=⎰cos 10dy (8)十一．（本题满分8分）利用Gauss （高斯）公式运算曲面积分()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x222，其中+∑为球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧．解：yz x P -=2，zx y Q -=2，xy z R -=2因此，()z y x zR y Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂2 因此，由Gauss 公式，得 ()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x 222()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dxdydz z y x dxdydz z R y Q x P 2其中Ω为空间区域()()()(){}2222R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，， (4)而()()()(){}2222R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，，的重心为()c b a ，，，又设Ω的体积为V ，则 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz Va 1，⎰⎰⎰Ω=ydxdydz Vb 1，⎰⎰⎰Ω=zdxdydz Vc 1因此，()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x222()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩxdxdydz ydxdydz xdxdydz 2 ()cV bV aV ++=2()c b a R ++=338π ． (8)。

2019年数学竞赛试题及答案

The 11th manian Master of Mathematics Competition
Day 1 — Solutions
Problem 1. Amy and Bob play the game. At the beginning, Amy writes down a positive integer on the board. Then the players take moves in turn, Bob moves ﬁrst. On any move of his, Bob replaces the number n on the blackboard with a number of the form n − a2 , where a is a positive integer. On any move of hers, Amy replaces the number n on the blackboard with a number of the form nk , where k is a positive integer. Bob wins if the number on the board becomes zero. Can Amy prevent Bob’s win? Russia, Maxim Didin Solution. The answer is in the negative. For a positive integer n, we deﬁne its square-free part S (n) to be the smallest positive integer a such that n/a is a square of an integer. In other words, S (n) is the product of all primes having odd exponents in the prime expansion of n. We also agree that S (0) = 0. Now we show that (i) on any move of hers, Amy does not increase the square-free part of the positive integer on the board; and (ii) on any move of his, Bob always can replace a positive integer n with a non-negative integer k with S (k ) < S (n). Thus, if the game starts by a positive integer N , Bob can win in at most S (N ) moves. Part (i) is trivial, as the deﬁnition of the square-part yields S (nk ) = S (n) whenever k is odd, and S (nk ) = 1 ≤ S (n) whenever k is even, for any positive integer n. Part (ii) is also easy: if, before Bob’s move, the board contains a number n = S (n) · b2 , then Bob may replace it with n = n − b2 = (S (n) − 1)b2 , whence S (n ) ≤ S (n) − 1. Remarks. (1) To make the argument more transparent, Bob may restrict himself to subtract only those numbers which are divisible by the maximal square dividing the current number. This restriction having been put, one may replace any number n appearing on the board by S (n), omitting the square factors. After this change, Amy’s moves do not increase the number, while Bob’s moves decrease it. Thus, Bob wins. (2) In fact, Bob may win even in at most 4 moves of his. For that purpose, use Lagrange’s four squares theorem in order to expand S (n) as the sum of at most four squares of positive integers: 2 2 2 2 S (n) = a2 1 + · · · + as . Then, on every move of his, Bob can replace the number (a1 + · · · + ak )b 2 2 on the board by (a2 1 + · · · + ak−1 )b . The only chance for Amy to interrupt this process is to replace a current number by its even power; but in this case Bob wins immediately. On the other hand, four is indeed the minimum number of moves in which Bob can guarantee himself to win. To show that, let Amy choose the number 7, and take just the ﬁrst power on each of her subsequent moves.

全国第二届大学生数学竞赛暨北京市第二十一届大学生数学竞赛

电气0906
非数学二等奖
8
北京交通大学
07224014
楼振凯
机电工业0701
非数学二等奖
9
北京交通大学
09212115
张洋
自动化0904
非数学二等奖
10
北京交通大学
08214066
丁一
电子0803
非数学二等奖
11
北京交通大学
09211151
亓大鹏
通信0906
非数学二等奖
12
北京交通大学08244Βιβλιοθήκη 19万洋坤工管0801
非数学三等奖
13
北京交通大学
09212111
徐佳佳
自动化0904
非数学三等奖
14
北京交通大学
09281106
王强
通信0903
非数学三等奖
15
北京交通大学
09221102
刘睿
机电0904
非数学三等奖
16
北京交通大学
07214015
刘海峰
电子0701
非数学三等奖
17
北京交通大学
09251119
董佳烨
思源0901
非数学一等奖
3
北京交通大学
09231069
胡伟成
土木0903
非数学一等奖
4
北京交通大学
07233022
杨沛
环境0701
非数学一等奖
5
北京交通大学
09272071
姜仁志
光科0903
非数学一等奖
6
北京交通大学
09231022
张嘉驰
通信0904
非数学二等奖
7

2019年交通大学{高等数学)试题及答案

《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（ C ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ A ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ D ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ B ）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ A ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ A ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ C ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ D ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( A )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( A )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ D ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（B ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ D ） A ）、11cos 2y -B ）、11cos 2x - C ）、22cos y - D ）、22cos x- 14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( A )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ B ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在处有拐点三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（）。

北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题及解答

北京交通大学2020年大学生数学竞赛试题（2020年6月28日晚7：00—9：30）学院与班级学号姓名联系方式一、填空题（每小题6分，满分30分） 1．极限 1limnn i →∞== 。

2．定积分4sinarctan x x e dx ππ-⎰= 。

3．设:1x y z ∑++=，则曲面积分()2245I x y z dS ∑=+++=⎰⎰ 。

4．设()f x 在[0,1]上连续且单调增加，2112(0)1,(1)2,()3f f f x dx -===⎰，其中1()f x -是()f x 的反函数，求积分11()()xdx f x f y dy ⎰⎰= 。

5．函数()2sin 0x y e x x -=≥与x 轴所围图形的面积= 。

二、（本题满分10分）设函数()f x 具有连续的二阶导数，且(0)=0,(0)0,()0f f f x '''=>，在曲线()y f x =上任意点()(),()0x f x x ≠处作切线，此切线在x 轴上的截距记为u ，求极限0()lim()x xf u uf x →。

三、（本题满分10分）设函数()f x 在(),+-∞∞内三阶可导， (1)1f =-，(1)3f -=，且1x =±是其驻点，证明：存在()1,1ξ∈-，使得()6f ξ'''=。

四、（本题满分10分）计算()()()222222Lyz dx z x dy x y dz +++++⎰，其中L 是球面()22220x y z Rx z ++=>与()22=20,0x y rx r R z +<<>的交线，此曲线的方向从Oz轴正向看为逆时针方向。

五、（本题满分10分）在包含圆222x y y +=的所有椭圆22221x y a b+=中，当,a b 为何值时，椭圆的面积最小？六、（本题满分10分）设函数(,)z z x t =具有连续的二阶偏导数，满足波动方程2222z zx t∂∂=∂∂，证明：（1）存在具有二阶导数的函数(),()F x G x ，使得(,)()()z x t F x t G x t =++-；（2）若()(,0)=(),,0()z z x f x x g x t ∂=∂，则[]11(,)()()()22x tx tz x t f x t f x t g y dy +-=++-+⎰。

2019年全国数学竞赛试题详细参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会《数学周报》杯” 2013年全国初中数学竞赛试题参考答案题号-一一 _ 二 _ 三总分1〜56〜1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答2•解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为 A , B , C , D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 .请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x , y 满足刍二=3, y 4 - y^3，则-44 y 4的值为().XXx(A ) 7 (B )(C ) 7 "3(D )52 2【答】(A ) 解：因为x 20，y 2 > 0,由已知条件得-1,13244 y 4 乡 3 3-y 2£ -y 2 6 =7.X XX程为t 2 +t-3=0，所以(一W )+ y 2 =-1, (―寸=-3X X2.把一枚六个面编号分别为1, 2, 3, 4, 5, 6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为 m , n ,则二次函数y = x 2 • mx • n 的图象与X 轴有两个不同交点的概率是().(D)所以另解：由已知得: 2 2 2」(一P )2+(—P )—3=0 X X Q 2) + y 2-3 = 0显然 2 2 2 2 2 -y 2，以- 2 ,y 2为根的一元二次方 XX42故 4y 4 二[(- 2)y 2]2 -2XX2 2 22)y =(T) -2 (-3)=7 X12.4 4 4 3［答］（ C ）解：基本事件总数有60 = 36,即可以得到36个二次函数.由题意知；_ =_4n >0,即卩 m 2 >4n .通过枚举知，满足条件的 m, n 有 17 对.363.有两个同心圆，大圆周上有 4个不同的点，小圆周上有可以确定的不同直线最少有（）.2个不同的点，则这6个点 (A ) 6条 (B ) 8 条(C ) 10 条(D ) 12 条【答］（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点 E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ， D 的连线中，至少有两条不同于 A ，B ，C ，D 的两两连线.从而这 6个点可以确定的直线不少于 8条.当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定 8条直线. 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4 .已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且 AB 二a ：：：1 .以AB 为一边在圆O 内作正△ ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB 二AB 二a ， AE 的长为（）.(B) 1（C ）乎【答］（B ）解:女口图，连接 OE ，OA ，OB .设.D =:，贝UECA=120- EAC .11又因为 ABO ABD 60180 -2：-120 -:22所以△ ACE 也△ ABO ，于是AE = OA = 1 .另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 为半径作。

2018-2019全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf

y y→+∞ 0
五、（本题满分 12 分）设函数 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微，且
f (0) = f (1) = 0, f (1 ) = 1 。证明：(1) 存在ξ ∈ (1 ,1) 使得 f (ξ ) = ξ ；(2) 存在η ∈ (0,ξ )
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
知该抛物线与 x 轴及直线 x = 1所围图形的面积为 1 。试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一 3
周而成的旋转体的体积最小。
七、（本题满分 15 分）已知 un (x) 满足 un′ (x) = un (x) + xn−1ex (n = 1,2,
∞
∑ 求函数项级数 un (x) 之和。 n=1 ∞
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

北京交通大学2007年高等数学竞赛试题(甲组)答案

2 2
1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ f ( ) = a + b ⎜ ⎟ + o ⎜ ⎟ ， (n → ∞) . n n ⎝ n⎠ ⎝n⎠
先看级数
∑
n =1
∞
1 f( ) ∞ 1 1 f ( ) ，显然当 a ≠ 0 时，由 lim n = a ≠ 0 ，可知 ∑ f ( ) 发散；当 a = 0 n →∞ 1 n n n =1 n
2
=−
∫
0
t sin t dt + 2007π
2
∫
0
故 I = (2007)
π。
二、提示：令 G ( x) =
∫ f ( x)dx ，由于
0
x
∫ xf ′( x)dx = xf ( x) − ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx = 1 ⇒ G(1) = −1 ，另外显然有
0 0 0 0
∫
1
∫∫
∫
0 1
y2 ≤1− z 4
dxdy = ∫ 3 z ⋅ π 2(1 − z )dz = π 。
0
1
5．解：
f ( x )dx = xf ( x ) 0 − ∫ xf ′( x )dx ,在方程 f ( x ) =
1 0
1
1− x
∫e
0
y (2 − y )
dy 中，令 x = 1 ，得
f (1) = ∫ e y (2− y )dy = ∫ e y (2− y )dy = 0 ．再在方程 f ( x ) =
1 f( ) ∞ 1 n 时，由 lim = ，可得级数 f ( ) 收敛且绝对收敛. b ∑ 2 n →∞ n n =1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝n⎠
由上面的讨论易见：当 a = 0 时，级数

第二十二届北京市大学生数学竞赛(经管类)答案

( ) ∫∫ y = 4 − x 2 与y = −3x 、x = 1所围成, 求I = 1+ f (x ) ln(y + 1+ y2 ) dx dy . D
解令
F (x ,y) = f (x ) ln(y + 1+ y 2 ) ，
如图所示，因为 D = D1 + D2 ．显然，在 D1 上 F (−x ,y) = −F (x ,y) ；在 D2 上
(1
+
a
)(1
a +
a
2
2 )"(1
+
an
)
的敛散性.
解（1）设级数一般项bn ，考察
4
(n +1)(n +2)
a2
⎧ 0, a < 1
lim bn+1 b n →∞
n
= lim n →∞
(1 + a)(1+ a 2 )"(1+ an )(1 + an+1)
n (n +1)
a2 (1+ a)(1+ a 2 )"(1+ an )
数的介值定理可知: 至少存在一点ξ ∈[0,1], 使得F (ξ ) = 0, 即 f (ξ ) = 2ξ.
-----------------------------5 分
倘若还有一点η ∈[0,1], η ≠ ξ , 使得 F (η) = 0 , 由罗尔定理可知: 在ξ 与η
之间存在一点ζ , 使得F ′(ζ ) = 0 , 即 f ′(ζ ) = 2 , 这与已知矛盾. 故原命题成立.
1 (1 + a1)(1+ a12 )"(1 + a1n )

历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)

程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2