第三章_一维稳态和非稳态导热

几何条件：单层平板； ；物理条件：、c、 ； 时间条件： 稳态导热， ∂t/∂τ=0； 边界条件：第一类。且已知；无内热源。 由此可得： t 控制 方程
t1

直接积分：
o
t2


第一类边界条件：Biblioteka Baidu
边界 条件
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（2）单层平壁的导热

将边界条件带入控制方程可得：
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热

圆筒壁内温度分布曲线的形状：
d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 向上凹 2 dr d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 向上凸 2 dr

圆筒壁内部的热流密度和热流分布 情况：
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )
一维稳态和非稳态导热
2x
小
结
导热微分方程、傅立叶定律在求解一维稳态导热问题的应用。 ������
对于没有内热源的情况：������
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题

例题 6：高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖， 中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度 分别为 (mm) ： s1=115 ； s2=230 ； s3=10 ； s4=10 ，导热 系 数 分 别 为 (W/m℃) ： λ1=1.3 ； λ2=0.18 ； λ3=0.22 ；
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题

例题 7：热介质在外径为 d2=25mm 的管内流动，为减少热损 失，在管外敷设绝热层，试问下列二种绝热材料中选用哪一
种合适：(1)石棉制品，λ=0.14 W/m℃；(2)矿渣棉，λ=0.058
W/m℃。假定绝热层外表面与周围空气之间的给热系数 α2=9 W/m2℃ 。
（1）概念 （2）求解过程 （3）例题
2 非稳态导热
（1）定义及分类 （2）温度变化的不同阶段 （3）温度分布和热量变化 （4）学习非稳态导热的目的 （5）两个相似准数
5 有限厚物体的一维非稳态导热
（1）求解 （2）查图 （3）例题
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（1）概述


研究内容：研究固体中的导热问题，重点是确定物体中的温度 场和通过物体的导热速率。 求解思路:一般来说，对于固体 温度场 固体中温度场 导热速率 热量传输微分方程 固体导热微分方程 傅立叶定律
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径

对于平壁
RL 1
在平壁上敷上绝热层后，热阻:

对于圆筒壁
1

1
s1

x
sx

1
2
在管道外敷上绝热层后，热阻： RL

讨论：
d 1 1 d 1 1 ln 2 ln x 1d1 21 d1 2x d 2 2d x
s1 0.46 t2 tw1 q 1400 939 1.51 1114℃ 1

t2 与第二次假设的温度值很相近，故第二次求得的 q 和 t2 即为 所求的计算结果。
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热

计算假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小 于长度的1/10。圆柱坐标系：
所以，平壁内温度分布为：

qv 2 2 t tw s x 2


可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分 布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 t tw s 2
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题


例题 4 ：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度 分 别 为 s1=460mm ； s2=230mm ， 导 热 系 数 分 别 为 ： λ1=0.7+0.64×10-3t W/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3t W/m℃。炉 墙两侧表面温度各为 t1=1400℃ ； t3=100℃ ，求稳态时通过炉 墙的导热通量和两层砖交界处的温度。 解：按试算法，假定交界面温度为 t2=900℃ ，计算每层砖的 导热系数
d
2t
dx
2
qv

0
相应的边界条件为： x=s时，t=tw x=-s时， t=tw
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题
求解上述微分方程，得： t qv x 2 C x C 1 2
2
式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：
qv 2 C2 t w s ; C1 0 2

解：计算石棉制品和矿渣棉临界绝热层直径分别为
2 0.14 2 0.058 d石棉 0.031m d矿渣棉 0.0129 2 9 9
上述条件下用石棉制品作绝热层时，因d石棉>d矿热棉，敷设绝 热层，热损失将增加，故不合适。而用矿渣棉作绝热层时， d石棉<d矿热棉，所以是合适的。
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题

例题 5 ：有一半径为 R ，具有均匀内热源、导热系数
为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为tw，内热
源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向
变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。

解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简
化得到，即:
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
虽然稳态情况，但热流密度 q 与半 径 r 成反比！

dt t w1 t w 2 1 dr ln( r2 r1 ) r
dt t w1 t w 2 q dr r ln( r2 r1 )

W 2 m
长度为l的圆筒壁的导热热阻：
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热

不同材料构成的多层圆筒壁，其导
热热流量可按总温差和总热阻计算
通过单位长度圆筒壁的热流量
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热

分别考虑单层圆筒壁，第三类边界条件， 稳态导热，单位长度热阻
由单层圆筒壁考虑多 层圆筒壁，见左公式
1 d dt q v （r ） 0 r dr dr
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题

两个边界条件中：一个为 r=R 时， t=tw ，由于内热源均匀 分布，圆柱体表面温度均为 tw，圆柱体内温度分布对称于 中心线，另一个边界条件可表示为 r=0时， dt/dr=0 。将微 分方程分离变量后两次积分，结果为

将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方 程式。

热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（3）多层平壁的导热


多层平壁：由几层不同材料组成， 房屋的墙壁－白灰内层、水泥沙浆 层、红砖(青砖)主体层等组成； 假设各层之间接触良好，可以近似 地认为接合面上各处的温度相等； 边界 条件：
(1)对于平壁，敷上绝热层后，热阻增加，散热量减少； (2)对于圆筒壁，当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx （绝热层外径）的函数。当dx增大时，2 小，总热阻的情况比较复杂。
一维稳态和非稳态导热
1 ln
x
dx d2
增大， 2d x 减
1
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
dx 1 1 d2 1 1 RL ln ln 1d1 21 d1 2x d 2 2d x


例题 3 ：图为具有内热源并均匀分布 的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽 远大于壁厚，平壁两表面温度为恒温 tw ，内热源强度为 qv ，平壁材料的导 热系数为常数。试求稳态导热时，平 壁内的温度分布和中心温度。 解：因平壁的长、宽远大于厚度，故 此平壁的导热可认为是一维稳态导热， 这时导热微分方程式可简化为：
λ4=52 。热风管道内径 d1=1m ，热风平均温度为 1000
℃，与内壁的给热系数α1=31 W/m2℃，周围空气温度 试求每米热风管长的热损失。
为 20℃，与风管外表面间的给热系数为 10.5 W/m2℃，
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
解：已知d1=1m；d2=d1+2s1=1+0.23=1.23m； d3=d2+2s2=1.23+0.46=1.69m； d4=d3+2s3=1.69+0.02=1.71m； d5=d4+2s4=1.71+0.02=1.73m。 tf1=1000℃；tf2=20℃ 可求出每米管长的热损失为： t f1 t f 2 qL 2860.5W / m 4 1 1 di 1 1 ln d11 i 12i di d n 1 2
内容结构
1 稳态导热
（1）概述 （2）单层平壁的导热 （3）多层平壁的导热 （4）关于平壁的例题 （5）单层圆筒壁的导热 （6）N层圆筒壁的导热 （7）临界绝热层直径 （8）关于圆筒壁的例题
3 薄材的非稳态导热
（1）定义 （2）温度分布 （3）热流量 （4）集总参数法的应用条件 （5）例题
4 半无限大的物体
qv 2 dt r r C1 dr 2

qv 2 t r C1 ln r C2 4
根据边界条件，在r=0时， dt/dr=0。可得C1=0；利用另一 个边界条件，在r=R时，t=tw，可得
qv 2 C2 t w R 4
一维稳态和非稳态导热
圆柱体内 温度分布
qv 2 t tw (R r 2 ) 4
1 0.7 0.64 10

3 1400 900
2
1.436W/m℃
900 100 2 0.14 0.12 0.20W/m℃ 2
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题

t t w2 1400 100 计算通过炉墙的 q w1 884.2W/ m 2 s1 s2 0.46 0.23 热通量和界面温度 分别为： 1 2 1.436 0.20 s1 0.46 t2 tw1 q 1400 884.2 1.436 1116.8℃ 1 将求出的 t2与原假设的 t2 相比较，若两者相差甚大，需重新计算。 重设t2=1120℃，计算的方法同上，中间过程略去，可以得到：

因此，分析导热，先用导热微分方程求得温度场，然后利于傅 立叶定律求得导热速率
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（1）概述

求解方法：通过导热微分方程求解 直角坐标系： 柱坐标系： 球坐标系：
求解导热微分方程的方法：（1）分析解法； （2）数值解法。
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（2）单层平壁的导热
d2R L 0 2 ddx
说明dc为是总热阻的极小值，即此时热损失最大。 说明： (1)管道外径d2<dc时，外加绝热 层,热损失在增大，直到d=dc；继 续增加绝热层，热损失在降低， 但还是高于初始热损失；当d=d3 时，增加绝热层，才会真正减少 热损失。 (2) 若管道外径d2>dc，则增加绝 热层，可以减小热损失。

一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面 的方程，考虑第一类边界条件：
第一类边 界条件： 可得方程：
d dt (r )0 dr dr
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
d dt (r )0 dr dr
对该方程积分两次得：
应用边界条件： 求得系数： 带入第二次积分结果得圆筒壁内温度分布：
当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函 数。求极值：
dRL 1 1 1 ( )0 ddx d x 2x 2 d x
将RL对dx求导，并令其等于0。
d x dc
一维稳态和非稳态导热
2x
2
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
继续求RL对dx的二阶导数，可得:
t1 t2 t3 t4
热阻：
t1
t2
t3
t4
三层平壁的稳态导热 一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（3）多层平壁的导热
由热阻 分析法 得：
t1 t2 t3
多层、第 三类边条 件：

t4
问：如已经知道了q，如何计算其 中第i 层的右侧壁温？
t1
t2
t3
t4
三层平壁的稳态导热 一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题