第三章_一维稳态和非稳态导热
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传热学第3章非稳态导热
5、热量变化 Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
（1）两个阶段的过程是有区别的；
（2）与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。
◆对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。
2020/5/3 - 5 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
6、非稳态导热问题的求解 (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t
tf
tf
h
h
0
x
t
tf
h
0
x
2020/5/3 - 7 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
(3) 第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响
Bi r h
rh
1h
无量纲数
无量纲数的简要介绍：
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉
及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物 理过程的主要特征，并且没有量纲。
Bi r h
rh 1 h
当 Bi 时， 当 Bi 时0，
，r因此，r可h 以忽略对流换热热阻 ，r因 此，可rh以忽略导热热阻
0 Bi
2020/5/3 - 9 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场分布的解析解
]
J
s
2020/5/3 - 13 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
即与 1/
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时，
e1 36.8% 0
（1）两个阶段的过程是有区别的；
（2）与热流方向向垂直的截面上热流量处处不等。
◆对于非稳态导热一般不能用热阻的方法来做问题的定量分析。
2020/5/3 - 5 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
6、非稳态导热问题的求解 (1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t
tf
tf
h
h
0
x
t
tf
h
0
x
2020/5/3 - 7 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
(3) 第三类边界条件下Bi数对平板内温度分布的影响
Bi r h
rh
1h
无量纲数
无量纲数的简要介绍：
基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉
及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物 理过程的主要特征，并且没有量纲。
Bi r h
rh 1 h
当 Bi 时， 当 Bi 时0，
，r因此，r可h 以忽略对流换热热阻 ，r因 此，可rh以忽略导热热阻
0 Bi
2020/5/3 - 9 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
§3-2 零维问题的分析法——集中参数法
3.2.1 集中参数法温度场分布的解析解
]
J
s
2020/5/3 - 13 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
即与 1/
的量纲相同，当
Vc
hA
时，则
hA 1 Vc
此时，
e1 36.8% 0
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
第三章 非稳态热传导
（3-1a）
13
式中div(grad t)是温度的拉普拉斯（Laplace）算子 2t
非稳态导热的基本概念
引入热扩散率 a c p
，于是有：
t 2 a t cp
初始条件的一般形式是：
t x, y, z, 0 f x, y, z
（3-1b）
几种典型非稳态导热过程的温度变化率
7
非稳态导热的基本概念
二、特点：
物体中各点的温度随时间发生变化； 物体中各点的热流密度随时间发生变化； 不宜用热阻法定量分析非稳态导热；
t t t t c x x 导热过程的特点及类型
一、定义： 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 （unsteady heat conduction） 非周期性：物体温度随时间趋近于恒值
（动力机械启动、停止）
周期性：物体温度随时间做周期性变化 （地球表面温度随四季更替周期变化）
6
非稳态导热的基本概念
23
零维问题的分析法——集中参数法
非稳态、有内热源的导热问题
t t t t c x x y y z z
式中： 是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个 物体的体积热源。
讨论如左图所示的一块厚度为2δ 的金属平板，初始温度为 ，突然 t0
将它置于温度为
系数为λ。
却，表面传热系数为h，平板的导热
t的流体中进行冷
根据平板的导热热阻δ/λ与对流
传热热阻1/h的相对大小的不同，平 板中温度场的变化会出现以下三种情
形。
传热学 第三章 非稳态导热
解：首先需要求出平壁 的热扩散率
a
0.185
0.65 106 m 2 / s
c 1500 0.839 1000
Fo
a 2
0.65 106 6 3600 0.25 2
0.22
非稳态导热的导热微分方程式：
c t ( t ) ( t ) ( t ) x x y y z z
求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
非稳态导热正规状况阶段
x,
0
1
2 sin 1 sin 1 cos 1
cos
1
x
e 12 Fo
Bi h
平壁中心x=0时
m
2 sin 1
a Fo 2
e 12Fo f Bi, Fo
0 1 sin 1 cos 1
m
0 m 0
cos
1
x
f
Bi, x
只取决于毕渥数与几何位置，与时间无关----特点3
传热学
第3章 非稳态导热 Transient/Unsteady Conduction
概述
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却
锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 自然环境温度 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热）
假设：厚度为2，导热系数、热扩散率为常数，无
内热源，初始温度与两侧流体相同，为t0。两侧流体温 度突然降低为tf，并保持不变，平壁表面与流体间对流 换热表面传热系数h为常数。
第三章第三节 一维非稳态导热的分析解
θ0 θm θ0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可 以利用（3－24）和（3－25）绘制出。
解的应用范围
书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过 程，并且F0>0.2
3
第三节一维非稳态导热的分析解
上式化为：
∂θ = a ∂ 2θ
∂τ
∂x 2
θ =θ0
∂θ = 0 ∂x
0 < x < δ ,τ > 0 τ =0 x=0
− λ ∂θ = hθ x = δ ∂x
第三节一维非稳态导热的分析解
用分离变量法可得其分析解为：
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0 δ
θ
(0,τ θ0
)
=
θ m (τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
e − μ12 F0
θ (x,τ ) θ m (τ )
=
cos(
μ1
x δ
)
与时间无关
第三节一维非稳态导热的分析解
考察热量的传递 Q 0 = ρ cV ( t 0 − t ∞ ) Q0 ——非稳态导热所能传递的最大热量
及可用一通式表达0aexp?21f0f1y00aexp?21f0bi此处无限大平板yxbihf0az2长圆柱体及球yxrbihrf0azr2此处的ab及函数f1y见p74表322第三节一维非稳态导热的分析解3正规热状况的实用计算方法拟合公式法对上述公式中的ab1j0可用下式拟合2b?11abiaab1?e?cbibacbi1bbij0xabxcx2dx3式中常数abcd见p75表33abcd见p75表34第三节一维非稳态导热的分析解2再根据公式323绘制其线算图xcosxx1fbim3于是平板中任一点的温度为m?0m0同理非稳态换热过程所交换的热量也可以利用324和325绘制出
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
第3章 非稳态导热讲解
该问题物理特点： 0维、非稳态、常物性、无内热源、 第三类边界条件导热问题
2.数学模型
dτ时间段内，满足能量守恒
Ein Eg Eout Es
Ein hAt t d
E g 0; E out 0
E s mcdt Vc dt
hAt t d Vc dt
11
3.2.2 时间常数
0
e 0
hA cV
e
c
36.8%
e 1 36.8% 0 cV c 为时间常数
hA
5%
c
3 c
一般认为当时间为4倍时间常数后，导热体的过余温度接近0，可以认为导 热体已经与周围流体达成了热平衡。时间常数大，则热平衡时间越长，因 此时间常数是反映非稳态导热时导热体温度变化快慢的一个重要参数。 注意：时间常数不是导热体本身的一个固有属性，它和导热体与所处环境 的换热条件有关。因此，时间常数对热电偶测温的反应速度有重要影响， 但不是热电偶本身能够决定的指标
tw2=20º C
t w1 t w 2 ql d2 1 ln 2m d1
d1 d2
d2=d1+2=200+236=272mm
tm t w1 t w 2 50 20 35 2 2
圆筒壁的平均温度为 平均导热系数为
m=0.56（1+0.0018 t ）=0.56×(1+0.0018×35) = 0.5953 W/(mK)
ha cV hA cV
t t Vc e 0 t0 t
hA
导热体表面在0~ 时间段内的总换热量
Q 0
传热学第三章
内能减小=物体向环境对流换热
7
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
定义过余温度： θ=t-t∞
dt cV Ah (t t ) d
cV
dt Ah d
初始条件：
d
τ=0， θ =θ0=t0-t∞
微分方程分离变量，并积分：
0
hA cV
Fo>0.2，正规状况阶段
非稳态导热过程中传递热量
从τ=0 至热平衡
Q0 cV (t 0 t )
19
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院
传 热 学
从τ=0 至τ时刻
Q c V t 0 t ( x, )dV 1 Q0 cV (t 0 t ) V 1 1 V (t 0 t ) (t t ) dV V t0 t
机械工程与材料能源学部 能源与动力工程学院 6
传 热 学
1. 导热微分方程式建立
例：测量变化着的温度的热电偶
t0 t
t t0 0
t f ( ) ?
t 2t 2t 2t ( 2 2 2) 导热微分方程： c x y z c
11
传 热 学
4. BiV及FoV物理意义
Biv hl
1 h
l
内部面积导热热阻 表面面积对流换热热阻
无量纲 热阻 无量纲 时间
从边界上开始发生热扰 动时刻起 a 到所计算时刻为止的时 间间隔 Fov 2 2 边界上发生有限大小的 热扰动穿过一定 l l a 厚度的固体层扩散到 2的面积上所需时间 l
FoV越大，热扰动越深入地传播到物体内部， 物体内各点的温度越接近周围介质的温度
第三章-非稳态导热
工程上认为= 4τc时导热
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
非稳态导热的不同时刻物体的温度分布
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
( x, ) e a 2 [ A cos( x ) B sin( x )]
( x, ) e a 2 [ A cos( x) B sin( x)] （a）
常数A、B和β可由边界条件确定。
0, t0-t 0
(1)
x 0, x 0
(2)
x , - x h
(3)
BiV FoV
0
BiV 越小表明内部导热热阻越小或外部热阻越
大，从而内部温度就越均匀，集总参数法
的误差就越小。 对热电偶测温情况，一
般使BiV=0.001量级或最小。
BiV 0.1M
为判定系统是否为集总参数系 统 ，M为形状修正系数。
厚度为2的大平板 V A＝ M 1 直径为2r的长圆柱体 V A＝ r 2 M 0.5
当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分 析解。
第三章_非稳态导热问题的分析解
ρ C pV
初始条件为 令θ =
dT = q vV − σ XS (T 4 − T w4 ) dτ
（a） （b）
T = T0 τ = 0，
qv L σ XT 03 L aτ T V 4 +θw ， Fo = 2 ， M o = ，N = ，其中， L = 为 4 T0 λ S σ XT 0 L
dθ + M o (θ 4 − N 4 ) = 0 dFo
薄壁物体的温度响应在非稳态导热过程中如果物体内的温度始终是均匀一致的如导热系数很高的薄壁物体或者说当一个物体与周围环境进行热交换时若认为物体内部的温度分布并不重要而只是关心物体的总体温度随着时间的变化如用热电偶测量气流的温度我们常常只关心整个热电偶结点的温度随时间的变化而对于结点内部的温度分布并不重要
∞
r
r
∞
0
0
Bi =
αL λ
L
（3—2）
其中，α 是对流换热系数； L 是物体的特性尺寸，对于平板，即是厚度，对于圆柱体和球， 即是半径； λ 是物体的导热系数。实际上，Biot 数是物体的导热热阻（ 换热热阻（
λ
）与表面的对流
1
α
）的比。一般情况下，当 Bi < 0.1 时，导热物体可近似为薄壁。
−
（e）
θ = C 1e
αS τ ρ C pV
（f）
取（d）的特解为 θ = 1 ，所以方程（d）的一般解为
θ = 1 + C 1e
−
αS τ ρ C pV
（g）
根据初始条件（c） ，求得 C1 = −1 ，因此，终解即热电偶结点的温度变化规律为
3
θ = 1 − exp( −
θ
第3章 非稳态导热
解之，得： 2 a 1 2 x, 2sin n x e cos n 0 n 1 n sin n cos n
式中离散值n是下列超越方程的根，称为特征值
tan n
hA d cV 0
hA cV
hA ln 0 cV
e 0
hA exp cV
l=V/A hA h V A hl cV c V A 2 c l 2
将微分方程分离变量并求解得分析解为 ： t t0 1 2 u e u2 du erfc
物体内的温度分布 根据半无限大物体的定义，得出导热微 分方程为： 2 a x2 初始条件为： τ=0 时， ( x,0) t0 t0 0 边界条件为：x=0 时， t t
x0 w 0 w
x= ∞ 时，
x t0 t0 0
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
对热量计算公式的说明
热量计算公式适用于物体被冷却时，温差取
热量计算公式适用于物体被加热时，温差取
t0 t t t0
物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有时又称 为牛顿加热或牛顿冷却。
注意：由于用集总参数法求物体的温度分布时，认为物 体内没有温度梯度，温度只随时间而变化，所以不能 用傅立叶定律求热量。
中心点的温度
12
Fo
x cos 1
0, 2 sin 1 e 0 1 sin 1 cos 1
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
《传热学》第三章 非稳态热传导
第3章 非稳态导热
3-1 非稳态导热基本概念 3-2 零维问题的分析法-集中参数法 3-3 典型一维物体非稳态导热问题的分析解 3-4 半无限大物体的非稳态导热 3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导 热。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f(τ) 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
∂t & ρcp = λ div( grad t ) + φ （3-1a） ∂τ
温度的拉普拉斯算子
∇ 2t
& ∂t φ = a∇ 2t + ∂τ ρcp
（3-1b）
初始条件的一般形式
t ( x, y, z , 0) = f ( x, y, z )
简单特例
f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
第3章 非稳态导热
许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化， 或确定其内部温度到达某一限值所需的时间。——非稳态导热 问题 本章讨论非稳态导热问题。首先简述非稳态导热的基本概念， 然后由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、半无限大物 体以及多维问题的导热微分方程的分析解法。最后总结求解非 稳态导热问题的一般策略以及应用实例。 与稳态导热类似，非稳态导热主要掌握基本概念、确定物体瞬 时温度场的方法和在一段时间间隔内物体所传到热量的计算方 法。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
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内容结构
1 稳态导热
（1）概述 （2）单层平壁的导热 （3）多层平壁的导热 （4）关于平壁的例题 （5）单层圆筒壁的导热 （6）N层圆筒壁的导热 （7）临界绝热层直径 （8）关于圆筒壁的例题
3 薄材的非稳态导热
（1）定义 （2）温度分布 （3）热流量 （4）集总参数法的应用条件 （5）例题
4 半无限大的物体
一维稳态和非稳态导热
2x
小
结
导热微分方程、傅立叶定律在求解一维稳态导热问题的应用。 ������
对于没有内热源的情况：������
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
对于平壁
RL 1
在平壁上敷上绝热层后，热阻:
对于圆筒壁
1
1
s1
x
sx
1
2
在管道外敷上绝热层后，热阻： RL
讨论：
d 1 1 d 1 1 ln 2 ln x 1d1 21 d1 2x d 2 2d x
几何条件：单层平板； ；物理条件：、c、 ； 时间条件： 稳态导热， ∂t/∂τ=0； 边界条件：第一类。且已知；无内热源。 由此可
t2
第一类边界条件：
边界 条件
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（2）单层平壁的导热
将边界条件带入控制方程可得：
qv 2 dt r r C1 dr 2
qv 2 t r C1 ln r C2 4
根据边界条件，在r=0时， dt/dr=0。可得C1=0；利用另一 个边界条件，在r=R时，t=tw，可得
qv 2 C2 t w R 4
一维稳态和非稳态导热
圆柱体内 温度分布
qv 2 t tw (R r 2 ) 4
例题 3 ：图为具有内热源并均匀分布 的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽 远大于壁厚，平壁两表面温度为恒温 tw ，内热源强度为 qv ，平壁材料的导 热系数为常数。试求稳态导热时，平 壁内的温度分布和中心温度。 解：因平壁的长、宽远大于厚度，故 此平壁的导热可认为是一维稳态导热， 这时导热微分方程式可简化为：
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
虽然稳态情况，但热流密度 q 与半 径 r 成反比！
dt t w1 t w 2 1 dr ln( r2 r1 ) r
dt t w1 t w 2 q dr r ln( r2 r1 )
W 2 m
d
2t
dx
2
qv
0
相应的边界条件为： x=s时，t=tw x=-s时， t=tw
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题
求解上述微分方程，得： t qv x 2 C x C 1 2
2
式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：
qv 2 C2 t w s ; C1 0 2
解：计算石棉制品和矿渣棉临界绝热层直径分别为
2 0.14 2 0.058 d石棉 0.031m d矿渣棉 0.0129 2 9 9
上述条件下用石棉制品作绝热层时，因d石棉>d矿热棉，敷设绝 热层，热损失将增加，故不合适。而用矿渣棉作绝热层时， d石棉<d矿热棉，所以是合适的。
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
例题 6：高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖， 中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度 分别为 (mm) ： s1=115 ； s2=230 ； s3=10 ； s4=10 ，导热 系 数 分 别 为 (W/m℃) ： λ1=1.3 ； λ2=0.18 ； λ3=0.22 ；
一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面 的方程，考虑第一类边界条件：
第一类边 界条件： 可得方程：
d dt (r )0 dr dr
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
d dt (r )0 dr dr
对该方程积分两次得：
应用边界条件： 求得系数： 带入第二次积分结果得圆筒壁内温度分布：
将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方 程式。
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（3）多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成， 房屋的墙壁－白灰内层、水泥沙浆 层、红砖(青砖)主体层等组成； 假设各层之间接触良好，可以近似 地认为接合面上各处的温度相等； 边界 条件：
λ4=52 。热风管道内径 d1=1m ，热风平均温度为 1000
℃，与内壁的给热系数α1=31 W/m2℃，周围空气温度 试求每米热风管长的热损失。
为 20℃，与风管外表面间的给热系数为 10.5 W/m2℃，
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
解：已知d1=1m；d2=d1+2s1=1+0.23=1.23m； d3=d2+2s2=1.23+0.46=1.69m； d4=d3+2s3=1.69+0.02=1.71m； d5=d4+2s4=1.71+0.02=1.73m。 tf1=1000℃；tf2=20℃ 可求出每米管长的热损失为： t f1 t f 2 qL 2860.5W / m 4 1 1 di 1 1 ln d11 i 12i di d n 1 2
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
例题 7：热介质在外径为 d2=25mm 的管内流动，为减少热损 失，在管外敷设绝热层，试问下列二种绝热材料中选用哪一
种合适：(1)石棉制品，λ=0.14 W/m℃；(2)矿渣棉，λ=0.058
W/m℃。假定绝热层外表面与周围空气之间的给热系数 α2=9 W/m2℃ 。
（1）概念 （2）求解过程 （3）例题
2 非稳态导热
（1）定义及分类 （2）温度变化的不同阶段 （3）温度分布和热量变化 （4）学习非稳态导热的目的 （5）两个相似准数
5 有限厚物体的一维非稳态导热
（1）求解 （2）查图 （3）例题
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（1）概述
研究内容：研究固体中的导热问题，重点是确定物体中的温度 场和通过物体的导热速率。 求解思路:一般来说，对于固体 温度场 固体中温度场 导热速率 热量传输微分方程 固体导热微分方程 傅立叶定律
长度为l的圆筒壁的导热热阻：
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热
不同材料构成的多层圆筒壁，其导
热热流量可按总温差和总热阻计算
通过单位长度圆筒壁的热流量
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热
分别考虑单层圆筒壁，第三类边界条件， 稳态导热，单位长度热阻
由单层圆筒壁考虑多 层圆筒壁，见左公式
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
圆筒壁内温度分布曲线的形状：
d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 向上凹 2 dr d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 向上凸 2 dr
圆筒壁内部的热流密度和热流分布 情况：
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )
所以，平壁内温度分布为：
qv 2 2 t tw s x 2
可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分 布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 t tw s 2
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题
例题 4 ：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度 分 别 为 s1=460mm ； s2=230mm ， 导 热 系 数 分 别 为 ： λ1=0.7+0.64×10-3t W/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3t W/m℃。炉 墙两侧表面温度各为 t1=1400℃ ； t3=100℃ ，求稳态时通过炉 墙的导热通量和两层砖交界处的温度。 解：按试算法，假定交界面温度为 t2=900℃ ，计算每层砖的 导热系数
(1)对于平壁，敷上绝热层后，热阻增加，散热量减少； (2)对于圆筒壁，当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx （绝热层外径）的函数。当dx增大时，2 小，总热阻的情况比较复杂。
一维稳态和非稳态导热
1 ln
x
dx d2
增大， 2d x 减
1
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
dx 1 1 d2 1 1 RL ln ln 1d1 21 d1 2x d 2 2d x
当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函 数。求极值：
dRL 1 1 1 ( )0 ddx d x 2x 2 d x
将RL对dx求导，并令其等于0。
d x dc
一维稳态和非稳态导热
2x
2
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
继续求RL对dx的二阶导数，可得:
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
例题 5 ：有一半径为 R ，具有均匀内热源、导热系数
为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为tw，内热
源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向
变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。
解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简
化得到，即:
1 稳态导热
（1）概述 （2）单层平壁的导热 （3）多层平壁的导热 （4）关于平壁的例题 （5）单层圆筒壁的导热 （6）N层圆筒壁的导热 （7）临界绝热层直径 （8）关于圆筒壁的例题
3 薄材的非稳态导热
（1）定义 （2）温度分布 （3）热流量 （4）集总参数法的应用条件 （5）例题
4 半无限大的物体
一维稳态和非稳态导热
2x
小
结
导热微分方程、傅立叶定律在求解一维稳态导热问题的应用。 ������
对于没有内热源的情况：������
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
对于平壁
RL 1
在平壁上敷上绝热层后，热阻:
对于圆筒壁
1
1
s1
x
sx
1
2
在管道外敷上绝热层后，热阻： RL
讨论：
d 1 1 d 1 1 ln 2 ln x 1d1 21 d1 2x d 2 2d x
几何条件：单层平板； ；物理条件：、c、 ； 时间条件： 稳态导热， ∂t/∂τ=0； 边界条件：第一类。且已知；无内热源。 由此可
t2
第一类边界条件：
边界 条件
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（2）单层平壁的导热
将边界条件带入控制方程可得：
qv 2 dt r r C1 dr 2
qv 2 t r C1 ln r C2 4
根据边界条件，在r=0时， dt/dr=0。可得C1=0；利用另一 个边界条件，在r=R时，t=tw，可得
qv 2 C2 t w R 4
一维稳态和非稳态导热
圆柱体内 温度分布
qv 2 t tw (R r 2 ) 4
例题 3 ：图为具有内热源并均匀分布 的平壁，壁厚为2s。假定平壁的长宽 远大于壁厚，平壁两表面温度为恒温 tw ，内热源强度为 qv ，平壁材料的导 热系数为常数。试求稳态导热时，平 壁内的温度分布和中心温度。 解：因平壁的长、宽远大于厚度，故 此平壁的导热可认为是一维稳态导热， 这时导热微分方程式可简化为：
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
虽然稳态情况，但热流密度 q 与半 径 r 成反比！
dt t w1 t w 2 1 dr ln( r2 r1 ) r
dt t w1 t w 2 q dr r ln( r2 r1 )
W 2 m
d
2t
dx
2
qv
0
相应的边界条件为： x=s时，t=tw x=-s时， t=tw
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题
求解上述微分方程，得： t qv x 2 C x C 1 2
2
式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：
qv 2 C2 t w s ; C1 0 2
解：计算石棉制品和矿渣棉临界绝热层直径分别为
2 0.14 2 0.058 d石棉 0.031m d矿渣棉 0.0129 2 9 9
上述条件下用石棉制品作绝热层时，因d石棉>d矿热棉，敷设绝 热层，热损失将增加，故不合适。而用矿渣棉作绝热层时， d石棉<d矿热棉，所以是合适的。
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
例题 6：高炉热风管道由四层组成：最内层为粘土砖， 中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层为钢板。厚度 分别为 (mm) ： s1=115 ； s2=230 ； s3=10 ； s4=10 ，导热 系 数 分 别 为 (W/m℃) ： λ1=1.3 ； λ2=0.18 ； λ3=0.22 ；
一维、稳态、无内热源、常物性，可得下面 的方程，考虑第一类边界条件：
第一类边 界条件： 可得方程：
d dt (r )0 dr dr
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
d dt (r )0 dr dr
对该方程积分两次得：
应用边界条件： 求得系数： 带入第二次积分结果得圆筒壁内温度分布：
将结果带入微分方程，可以得到下面的单层平壁的导热方 程式。
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（3）多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成， 房屋的墙壁－白灰内层、水泥沙浆 层、红砖(青砖)主体层等组成； 假设各层之间接触良好，可以近似 地认为接合面上各处的温度相等； 边界 条件：
λ4=52 。热风管道内径 d1=1m ，热风平均温度为 1000
℃，与内壁的给热系数α1=31 W/m2℃，周围空气温度 试求每米热风管长的热损失。
为 20℃，与风管外表面间的给热系数为 10.5 W/m2℃，
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
解：已知d1=1m；d2=d1+2s1=1+0.23=1.23m； d3=d2+2s2=1.23+0.46=1.69m； d4=d3+2s3=1.69+0.02=1.71m； d5=d4+2s4=1.71+0.02=1.73m。 tf1=1000℃；tf2=20℃ 可求出每米管长的热损失为： t f1 t f 2 qL 2860.5W / m 4 1 1 di 1 1 ln d11 i 12i di d n 1 2
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
例题 7：热介质在外径为 d2=25mm 的管内流动，为减少热损 失，在管外敷设绝热层，试问下列二种绝热材料中选用哪一
种合适：(1)石棉制品，λ=0.14 W/m℃；(2)矿渣棉，λ=0.058
W/m℃。假定绝热层外表面与周围空气之间的给热系数 α2=9 W/m2℃ 。
（1）概念 （2）求解过程 （3）例题
2 非稳态导热
（1）定义及分类 （2）温度变化的不同阶段 （3）温度分布和热量变化 （4）学习非稳态导热的目的 （5）两个相似准数
5 有限厚物体的一维非稳态导热
（1）求解 （2）查图 （3）例题
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（1）概述
研究内容：研究固体中的导热问题，重点是确定物体中的温度 场和通过物体的导热速率。 求解思路:一般来说，对于固体 温度场 固体中温度场 导热速率 热量传输微分方程 固体导热微分方程 傅立叶定律
长度为l的圆筒壁的导热热阻：
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热
不同材料构成的多层圆筒壁，其导
热热流量可按总温差和总热阻计算
通过单位长度圆筒壁的热流量
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（6）N层圆筒壁的导热
分别考虑单层圆筒壁，第三类边界条件， 稳态导热，单位长度热阻
由单层圆筒壁考虑多 层圆筒壁，见左公式
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（5）单层圆筒壁的导热
圆筒壁内温度分布曲线的形状：
d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 向上凹 2 dr d 2t 若 t w1 t w 2 : 0 向上凸 2 dr
圆筒壁内部的热流密度和热流分布 情况：
ln( r r1 ) t t w1 (t w1 t w 2 ) ln( r2 r1 )
所以，平壁内温度分布为：
qv 2 2 t tw s x 2
可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令温度分 布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 t tw s 2
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（4）关于平壁的例题
例题 4 ：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖，它们的厚度 分 别 为 s1=460mm ； s2=230mm ， 导 热 系 数 分 别 为 ： λ1=0.7+0.64×10-3t W/m℃；λ2=0.14+0.12×10-3t W/m℃。炉 墙两侧表面温度各为 t1=1400℃ ； t3=100℃ ，求稳态时通过炉 墙的导热通量和两层砖交界处的温度。 解：按试算法，假定交界面温度为 t2=900℃ ，计算每层砖的 导热系数
(1)对于平壁，敷上绝热层后，热阻增加，散热量减少； (2)对于圆筒壁，当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx （绝热层外径）的函数。当dx增大时，2 小，总热阻的情况比较复杂。
一维稳态和非稳态导热
1 ln
x
dx d2
增大， 2d x 减
1
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
dx 1 1 d2 1 1 RL ln ln 1d1 21 d1 2x d 2 2d x
当管道和绝热材料选定后，RL仅是dx（绝热层外径）的函 数。求极值：
dRL 1 1 1 ( )0 ddx d x 2x 2 d x
将RL对dx求导，并令其等于0。
d x dc
一维稳态和非稳态导热
2x
2
1 稳态导热—（7）临界绝热层直径
继续求RL对dx的二阶导数，可得:
一维稳态和非稳态导热
1 稳态导热—（8）关于圆筒壁的例题
例题 5 ：有一半径为 R ，具有均匀内热源、导热系数
为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度为tw，内热
源强度为qv，圆柱体足够长，可以认为温度仅沿径向
变化，试求稳态导热时圆柱体内温度分布。
解：对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程简
化得到，即: