5、画法几何及工程制图-第四章 直线与平面的图解法

n
’
正平线
k
’
X
O
水平线
k n
定理2（逆） 如果一直线的H投影垂直于某平面内水 平线的H投影；同时直线的V投影垂直于该平面内正 平线的V投影，则这条直线必垂直于该平面。
X
O
例1：已知平面 BDF及平面外一点K，试过点K作平 n 面的垂线。
’
c’ a
’
X O
a
c n
二、直线与投影面垂直面垂直 h
§4-3垂直
一、直线与一般位置平面垂直
几何条件： 如果空间一直 线与某一平面垂直， 则这条直线必垂直 于该平面内的所有 直线。 反之： 如果某直线垂 直于平面内的任意 两条相交直线，则 则该直线与平面互 相垂直。
定理1 如果一条直线与某平面垂直，则这条直线的H投影 垂直于该平面内水平线的H投影；直线的V投影垂直于该 平面内正平线的V投影。
画法几何及工程制图
第四章 直线与平面的图解法 1、 平行 2、相交 3、垂直 4、点、直线、平面的综合题
直线与平面、平面与平面 的相对位置
相对位置包括平行、相交。
直线与平面平行 平面与平面平行 包 括 包 括
直线与平面相交（包含垂直） 平面与平面相交（包含垂直）
一、直线与平面平行
§4-1 平行
直线与平面平行的几何条件： 如果空间一直线与平面上的任何一条直线平行， 则这条直线必平行于该平面。
1
’
k
’
2
’
X
2．求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3．求交线 O ⅠⅡ与EF的交 点 K。
2 k 1
（二）两一般位置平面相交
PV n 2’
方法一：线面交点法
K
解题思路（线面交点法）：
l
(3’ 1)
’
●
e’
4’(5’）
●
6’
把两个一般位置平面相 交求交线的问题，转化 QV 为求两条一般位置直线 与平面的交点问题（即
一、特殊位置的相交问题
例11：求铅垂面△ABC 与一般位置 直线MN的交点Ｋ，并判别其可见性。
（一）一般位置直线与投影面垂直面相交 步骤： １．空间及投影分析
b
, K●
n
a
m X
1 (2 )
●
c O
2
●
平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影。 ２．作 图
d’
e’
c’
X
c a k
e
解题要点： 1、作垂线; 2、求垂足; O 3、连接线段,求实长.
作图结果要求：表示 距离的线段的投影、 实长都须作出。
d
例： 试过点K作已知平面 BDF的垂面。 解题思路：
h
1.做垂线；
2.做包含垂线的垂面。
c
g
a
a
c
g
h
例： 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面 解题思路： 是否垂直。
f d
2.判断垂线是否在平面 ABC内。
1.过平面ABC内任一点做 平面GKH的垂线；
f d
结论： 因为AD 直线不在 ABC平面上 ，所以两平 面不垂直。
例：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是 否垂直于该平面。 不垂直
e f
X
O
e
f
例：
试过定点A作直线与已知直线EF垂直。
分析——过已知点A作平面垂直于已知直线EF，
平面与平面平行
两平面平行的作图问题有：
1.判别两个平面是否平行； 2.作已知平面的平行平面； a X b c d c e f f d e f h O f O
a
b
平行 b d
若两投影面垂直面相互平行， 则它们具有积聚性的那组投影必相 互平行。
a c X a c b d
e
e 平行
h
（一）两一般位置平面平行 例6：试判断两平面是否平行。
A
B
C F
D
根据上述几何条件可得有 关线、面平行的作图问题： 1.判断直线与平面是否平行； 2.作直线与已知平面平行； 3.作平面与已知直线平行。
（一）直线与一般位置平面平行
c’
b’
例1 判断直线AB是否 平行于ΔCDE平面。
g’
a’ e’
d’ f’ X e d
结论：直线 AB不平行于 ΔCDE平面。
O
f a
c
g
b
（一）直线与一般位置平面平行
例2：已知空间一点M及平面ABC，求作过点 M且平行于平面ABC的直线。
b n c m
●
有无数解
有多少解？ a X a
b
●
O n m
c
（一）直线与一般位置平面平行
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
正平 线
c m
●
b n
a X a b
c
O
●
m
n
s n m r
X
n m
O
s r
结论：两平面平行
例7 判断平面（AB//CD)和（EF//GH)是否平行
c’
a’
X
a
m’ g’ n e’ ’ h’ d’ b’ f’ f b d h e c m g n
结论：两平面不平行。
例8：已知定平面由平行两直线AB和CD给定， 试过点K作一平面平行于已知平面 。
b’
e’ k2’
a’
X
k1’
(1’ ) 2’ f’ c’ c
g’
d(g) a
k1
k2 b
1
2
e(f)
二、一般位置的相交问题
（一）一般位置直线与平面相交
m’ 2 ’ 1 4’） K’ ● 3‘（ ’ ●
●
b’
用辅助平面法求一般位置直 线与一般位置平面交点的步骤：
c’ 1、含已知直线作特殊位置辅助平面 （垂直面）； n' O 3、求交线与已知直线的交点，该交 n 点即为所求； 4、判别可见性。 2、求辅助平面与已知平面的交线；
上点的这个投影特性，就能判别两平面是否垂直。
两平面垂直
两平面不垂直
§4-4 点、直线、平面的综合题
例： 求点G到 ABC平面的距离。
g’
L
b’
作图步骤 (1) 作垂线； (2) 求垂足； (3) 求实长。
c’
X
a’ f’
a g f c b
例：求图中点A到平面CDE的距离。
Pv 距离 的 实长
a’ k’
a’ X m PH a 1● 4 3 b
●
k
●
2
c
（1）以铅垂面为辅助平面求线面交点。
3‘（4’）
K’ 1’ X PH 4 1 k 3 2’ 步骤： 1．过EF作铅垂平面P。 2．求P平面与ΔABC的 交线ⅠⅡ。 3．求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。 O
2
（2）以正垂面为辅助平面求线面交点 QV 步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
唯一 解
（二）直线与投影面垂直面平行 当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投 影平行于直线的同面投影。
d’
c’
a’
e’ b’
X
如图所示：bc//aed， 则BC//△AED.
d
e
L
c
a
b
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二、平面与平面平行
E D F C
B
A
面面平行的几何条件——
若一平面内的两条相交直线对应平行于另一平面内 的两条相交直线，则这两平面相互平行。
3’ (h’)g’ H E K1 B
a’
k1’
b’A
X
(e’)f’ 2’ k2’ D k3’ 1 ’ c’ d’ a e k1 k2 d 1 h b (2)3
K2
K3 F
C
G
k3 f
g
c
实际交线应 在两平面投影的 公共范围之内。
① 求交点 ② 判别可见性
由水平投影可知，KN段在平面 前，故正面投影上k n 为可见。
m
● ●
c
a n 还可通过重影点判别可见性。
k 1 b
（二）投影面垂直线与一般位置平面相交
例12：求铅垂线ＭＮ与一般位置平 面△ABC的交点Ｋ，并判别其可见性。
步骤： １．空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水 平投影积聚成一个点，故 交点K的水平投影也积聚在 该点上。 ２．作 图
s m f k
n
r
e
X n
r k f s e
O
m
（二）两同一投影面垂直面平行
例9：试判断两平面是否平行。
当两同一投影面的垂直面相互平行时， 它们具有积聚性的同面投影互相平行。
X
O
结论：因为PH平行SH ，所以两平面平行。
例10 过K点作平面平行于ΔCDE。
d’ c’
X
1’
e’ k’
e
2’ c’
X
回到课本P.62一般位置的 直线与平面相交的解题思 路）。
’
m X m
●
7’
2
● ●
O
5 4
e
●
3
k
●
两一般位置平面相交，求 交线步骤： 1．用求直线与平面交点的 方法，作出两平面的两个共 有点K、E。
6(7)
l
1 n
2．连接两个共有点，画 出交线KE。 3．判断可见性。
方法二：求相交两平面 的共有点，除利用直线与 平面的交点外，还可利用 三面共点的原理来作出属 于两平面的共有点。
并交于点K，连接AK，AK即为所求。
A
K
解题要点： 1、作垂面; 2、求垂足; 3、连接点和垂足.
作图
2 k 2
f
1
PV 2 e
1
a
e
2 a
k
f 1 1
例1：求两平面的交线MN， 步骤： 并判别可见性。 １．空间及投影分析 平面EFH是一水平面，它的 b 正面投影有积聚性。a b 与 m e f n 1 h e f 的交点m 、 b c 与f ● ● ● ● h 的交点n 即为两个共有点 2 的正面投影，故m n 即交线 c a MN的正面投影。 ２．作 图 O X b e ① 求交线 ② 判别可见性 ● m h 点Ⅰ在FH上，在上方， n● ● 1(2) 点Ⅱ在BC上，在下方，故fh a 可见，n2不可见。 c f
3
二、平面与平面相交 要讨论的问题是： 求交线并判别可见性
1. 交线是两平面的公有线。 （凡两平面的公有点都在交 线上） 2. 交线的投影是直线，可由 其上两个公有点的投影确定。
3. 求一平面内的一直线与另 一平面的交点来确定公有点 （转化为线、面交点问题）。
例3 求
ABCD和
EFGH两平面的交线。
例13 求DE直线与 ABC 的交点。 c’ d’ b’ k’ 2’ a’ 1’ e’ d a k c
(1), 2 X X
例14 求EF直线与 ABC的 交点。 b’ e’ ( 4 )’ 1’ 3’ k’ a’ f’ 4 a 1 e(f) c’ c (k)
b b e 从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到 交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影。 可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法。
例3：试过定点K作特殊位置平面的 垂线。
h h
’
’
’
h h
（ a） （ b）
h
（c）
三、两一般位置平面垂直
几何条件：如果空间某平面内有一条直线与另一平面垂直， 则这两个平面互相垂直。 A
V
D
反之，如果两平面互相垂直，则由属于第一个平面内的任意 一点向第二个平面所作的垂线必属于第一个平面。于是利用垂线
用面上 定点法
b K, a X
m
●
n b
c ● 1 (2 )
O
a
k● 2 m(n) ● 1
●
c
① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN上，在后。故 k 2 为不可见。
（三）两投影面垂直面相交
A
D
（四）投影面垂直面与一般位置平面相交
d’
这时求两平面的交 线，实质上是求一 般位置平面上的两 条边线与投影面垂 直面相交求交点的 问题；作图时可以 用交线的一个投影 必定在投影面垂直 面的积聚投影上的 思路，通过一般位 置平面上取线的方 法求得。 下面举例说明： 例：求 ABC和四边形DEFG两平面的 交线，并判别可见性。
d’
e’ L
当两特殊位 2’ 置平面相互 1’ 平行时，它 k’ 们具有积聚 性的同面投 影互相平行。
e 2 c d 1 k 2
c d k
1
§4-2 相交
直线与平面相交 （1）求交点、交线 （2）判断投影的可见性
平面与平面相交
直线与平面相交 要讨论的问题是： 求交点并判断可见性
A K B
交点的性质： 1. 是直线与平面的 公有点; 2. 是可见与不可见 的分界点。