平面的基本性质及空间直线位置关系

教学过程

—、复习预习

思考：1、直线的性质,平面的性质

2、直线在一个平面内的判定？

3、直线与直线相交与两个平面相交的区别

4、三角形的稳走性指的是什么？

二知识讲解

考点］

公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内・

考点2

公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线•

考点3

公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面•

推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；

推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面；

推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理的用途

公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内•

公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点•

公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题•

考点4

公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立.

考点5

异面直线的判走异面直线所成的角

三.例题精析

【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、

CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、

F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、F

G、BD三线共点.

1

〃—

证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ;

又. CG : GD= AH : HD=3 : l t

丄

.-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH ,

・・・四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG r

FG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r

.••PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点.

【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H・

⑴求AH : HD ;

⑵证明：EH、FG、BD三线共点. 【答案】(1)3:1 (2)略

竺工2 =

【解析】⑴EB FB EF〃AC=>EF〃面ACD.

而EFU 面EFGH ,而面EFGHA® ACD=GH , /.EF//GH 而EF//AC ,

AH _ CG

:.AC//GH「•・HD GD 3 ,即AH: HD=3 : 1 ・

EF \ GH _ 1

(2)・・• EF//GH 且AC 3 x AC 4 z A E F H GH r EFGH 为梯形.

令EH"FG = P，则PVEH 而EHU面ABD.PeEG, FGu面BCD,面ABDA面BCD二BD. ・・・PVBD,・・・ EF、FG、BD三线共点.

【例题3】已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD±的点，且直线EF和GH交于点P.

求证：B、D、P在同一直线上.

【证明】如图，••• EFAGH = P , /. PUEF、GH.*/ EeAB ,

FeAD f・・・EFU面ABD , /. Pw面ABD.vGeBC r

HeCD …・・GHU面BCD r /.Pe® BCD.

••面ABDA面BCD=BD , /. PeBD ,

B、D、P三点在同一直线上.

【例题4]已知直线（与三条平行线a、b、c都相交•求证：。与a、b、c共面.

【证明】设aQl = A bC\l = B cD/ = C

由a//b^ a、b确定平面&，因为Ava, Bub=>/ua

bile b s c确走平面B ■因为Cec, Beb同理可证/up

所以a、B均过相交直线b、/=> a、p重合n cua => a、b、c、/共面

【例题5]

AE HF 1

如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点,T D =~FC = 2 ,AB=CD=3 , EF="，求AB、CD所成角的大小.

【答案】60。

GB丄

【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使而其•连接GF、GE、EF.

AE BG BF 1 2

ED = GD=~FC = 2 , GEIIAB,且GE=^AB = 2,

I

同理，GFllCD,且G"CD“，

22+|2_7

在匕EGF 中，coszEGF= 2x2x1 ・.zEGF“20°・

由GF IICD,GEII AB可知,AB与CD所成的角应是zEGF的补角为60°.

【例题6]

如图所示，等腰直角三角形ABC中/zA=90\BC=>/2 QA丄AC , DA丄AB/§DA=l f

且E为DA的中点•求异面直线BE与CD所成角的余弦值

Vjo

【答案】而

【解析】取AC的中点F ,连接EF , BF ,在乂ACD中，E、F分别是AD、AC的中点, .\EFllCD ,

・・・zBEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.

在R2EAB 中,AB=AC=1,

丄丄V5

AE= 2 AD=2 , Z.BE=~ ,

在RMEAF中，

丄丄AF=2A C=2

丄运# AE=2 z .-.EF=~