平面的基本性质及空间直线位置关系
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
且平面EFGH∩平面ACD=GH， 且平面EFGH∩平面ACD=GH， EFGH ACD ∴EF∥GH.而EF∥AC， EF∥GH. EF∥AC， ∴AC∥GH. AC∥GH. AH CG AH∶HD=3∶1. ∴ = = 3, 即AH∶HD=3∶1. HD GD EF 1 GH 1 EF∥GH, （2）证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 EF≠GH， 四边形EFGH为梯形. EFGH为梯形 ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD， EH∩FG= EH， EH平面ABD， ⊂ ABD P∈FG,FG⊂ BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 平面BCD ABD BCD ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. BD.∴EH、FG、BD三线共点. .∴EH 三线共点
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探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点. 以上的直线交于一点.
（1）证明三线共点的依据是公理3. 证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 证明三线共点的思路是： 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 一点，再证明第三条直线经过该点， 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共 点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. 点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.
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由（1）知BG
CH， EF∥CH， CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面. EF与CH共面. 共面 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面. FH， 四点共面. 方法二 如图所示，延长FE， 如图所示，延长FE， FE DC分别与AB交于点M DC分别与AB交于点M，M′， 分别与AB交于点 1 AF， MA中点 中点. ∵BE AF，∴B为MA中点. 2 1 AD， ∵BC AD， 2 中点， ∴B为M′A中点， ∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′）， 重合， FE与DC交于点M 交于点 ∴C、D、F、E四点共面. 四点共面.
高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行 关系图形 语言符号 语言 a ∥ba ∥αα∥β相交 关系图形 语言符号 语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系 图形 语言符号 语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』 若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线． 『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』 与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』 由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』 如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一 证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二 延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二 如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』 由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』 分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
立体几何——两条直线之间的位置关系(一)
立体几何——两条直线之间的位置关系（一）一、知识导学1.平面的基本性质. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线. 异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,则a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A B C D中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、D C的中点，则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC.D .与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又, GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD, 又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.[例3]判断：若a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b 都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵ AB//CD， AB，CD确定一个平面β．又∵AB ∩α＝E，ABβ， Eα，Eβ，即 E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴ E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）．分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴ AB，CD必定相交于一点，设 AB ∩CD＝M．又∵ ABα，CDβ，∴ M∈α，且M∈β．∴ M∈α∩β．又∵α∩β＝，∴ M∈，即 AB，CD，共点．点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明 1?若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则 A，E，F，G∈α．∵ A，E∈α，A，E∈a，∴ aα．同理可证 bα，cα．∴ a，b，c，d在同一平面α内．2?当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则 H，K∈α．又∵ H，K∈c，∴ cα．同理可证 dα．∴ a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD, 交AC于点O .(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8] 已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC证明：∵PA ⊥平面ABC∴PA⊥BA又∵BA⊥AC ∴BA⊥平面PAC∴AD是BD在平面PAC内的射影又∵BD⊥PC∴AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图, P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为( )A.2对B.3对C.4对D.6对2. 两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，则异面直线AC和BF所成角的大小为．3. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是，它们的距离是 .4.长方体中，则所成角的大小为_ ___.5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角. 其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P 点不重合．求证：EF和DH是异面直线．。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
直线与平面
( A ) 1 个 ( B ) 2个 ( C ) 3个 ( D ) 4个
3. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、 BD的中点，若CD=4, AB=2, EF⊥AB，则EF 与CD所成的角等于____ 30°
C E E
D G
F A
B
G
FБайду номын сангаас
4. 空间四点A，B，C，D每两点的距离都为a， 动点 P ， Q 分别在线段 AB ， CD 上，则点 P 与 2 Q的最短距离是________ a
【解题回顾】 反证法是立体几何解题中，用于
确定位置关系的一种较好方法，它的一般步骤是： (1)反设——假设结论的反面成立；
(2)归谬——由反设及原命题的条件，经过严密的推 理，导出矛盾； (3)结论——否定反设，肯定原命题正确.
本题的反面不只一种情形，应通过推证将其反 面一一驳倒.
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烟筒不停地冒着青白色的烟，在微风吹拂下、袅袅地飘向远处。刘丽娟凭直觉那肯定是啤酒厂锅炉房的大烟筒，再远点几排白 色的、圆柱形的巨型大罐无疑是发酵大罐，而紧邻的一座建筑，屋顶上像沸腾的蒸笼一样不断冒着热腾腾的热气肯定是糖化间， 还有两颗又高又大的树直穿云霄，树梢仿佛可以触到天空。上学时专业老师曾说过，如果你找不到啤酒厂时，从外围看到三个 标志性的建筑物：锅炉房的大烟囱、糖化上热气腾腾的烟筒和高高矗立的发酵大罐，那八九不离十就是啤酒厂了。得到马启明 肯定的答复后，他们立即沿着马路朝大烟筒方向走去，感觉就好像找到了组织一样心里踏实多了。一路上看见一辆辆满载着空 瓶的汽车停在路边，一直排到啤酒厂门口，粗略数数竟有十几辆。此时正好是上下班的时候，一群群职工有说有笑地进进出出， 门口悬挂着厂牌：江苏花开啤酒厂。走进厂门仍旧是排得紧紧的、等待拉啤酒的汽车。马启明忍不住叫出声：“这么多的车子 在等着拉啤酒呀！”望着这么多进进出出的车辆马启明竟一时想不起上次是怎么走的了，一路问着找到厂长办公室。一进门马 明启就看到上次接待他的蒋明辉，像见到了亲人一样，立即兴奋地喊道：“蒋主任，您好！”蒋明辉一看惊喜地叫道：“唉吆 外！这不是马启明吗！”马上站起来把手伸过来，跟马启明热烈地握手，笑着说道：“欢迎！欢迎！”马启明觉得笑是两人间 最短的距离。蒋明辉是厂办公室主任，三十来岁，个子不高，约1.70，肌肉男，短短的板寸头，身体结实，眼睛里透着南方人 的精明劲儿，脸上永远挂着标志性的笑容。马启明上一次来花开啤酒厂就受到他热情的接待，是马启明在花开啤酒厂第二个认 识的人，虽然第二次相见，但是感到非常亲切。马启明一看蒋明辉也这么热情，赶紧拉着妻子高兴地说：“蒋主任，这是我爱 人刘丽娟，我们这次来是正式向您报到的。”说着从口袋中掏出海涛州人事局的介绍信。蒋明辉给马启明、刘丽娟倒了杯水， 然后接过马启明的介绍信说道：“别着急，先坐下休息休息，喝口茶。我出去看一下他们在不在？”说完脸上挂着标志性的笑 容就出去了。不一会儿，蒋明辉进来说道：“谷厂长他们马上要开会，要不然你们先到厂招待所休息一下？等会议结束后我再 叫你们。”“好好好！那就麻烦您了！”马启明急忙答道。到吃中午饭时，蒋明辉把马启明和刘丽娟带到厂内招待所食堂，等 了一会儿，看见几个人朝饭厅走来。马启明一眼就认出来人保科的张之文科长，刚想站起来准备和他打招呼，蒋明辉却急忙拉 起马启明，恭恭敬敬地指着一位白白胖胖的中年人向马启明介绍道:“马启明，这位是谷厂长。”马启明上次来就了解到厂长 叫谷仕昊，同时兼党委书记，属于党政一把抓。可惜当时谷厂长到局里开会，无
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理(含解析)新人教A版
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 考向二 空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三 异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析 如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析 如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形． 对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ， 如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、选择题:1.以下四个命题中,正确命题的个数是( )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A 、B 、C 、D 共面,点A 、B 、C 、E 共面,则A 、B 、C 、D 、E 共面;③若直线a 、b 共面,直线a 、c 共面,则直线b 、c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.32.已知a,b 是异面直线,直线c∥直线a,则c 与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3.如图,α∩β=l,A 、B∈α,C∈β,且C ∉l,直线AB∩l=M,过A 、B 、C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M4.已知直线l,若直线m 同时满足以下三个条件:m 与l 是异面直线;m 与l 的夹角为3(定值);m 与l 的距离为π.那么,这样的直线m 的条数为( )A.0B.2C.4D.无穷5.如图,E 、F 是AD 上互异的两点,G 、H 是BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与CD 互为异面直线;②FH 分别与DC 、DB 互为异面直线;③EG 与FH 互为异面直线;④EG 与AB 互为异面直线.其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.①②6.以下命题中：①点A ，B ，C ∈直线a ，A ，B ∈平面α，则C ∈α；②点A ∈直线a ，a ⊄平面α，则A ∈α；③α，β是不同的平面，a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是A 1B 1、CC 1的中点,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) 1342 (5555)A B C D 8.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( ) A.510 B.1010 C.55 D.10510．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23二、填空题:1.在空间四边形ABCD 中,各边边长均为1,若BD=1,则AC 的取值范围是________.2.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DD 1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成角的大小等于________.3.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下列五个命题:①直线AC 1在平面CC 1B 1B 内;②设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1,则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1;③由点A 、O 、C 可以确定一个平面;④由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1;⑤若直线l 是平面AC 内的直线,直线m 是平面D 1C 内的直线;若l 与m 相交,则交点一定在直线CD 上.其中真命题的序号是________.4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线;③直线BN 与MB 1是异面直线;④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．三、解答题:1、如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥ 12AD,BE ∥ 12FA,G 、H 分别为FA 、FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形.(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么?2. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．3.如图所示,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、N 分别是AB 和SC 的中点,求异面直线SM 和BN 所成角的余弦值.4、空间四边形ABCD 中,AB=CD 且AB 与CD 所成的角为30°,E、F 分别是BC 、AD 的中点,求EF 与AB 所成角的大小.。
空间点、直线、平面之间的位置关系（教案）
空间点、直线、平面之间的位置关系适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点平行、垂直关系的综合问题教学目标考查空间线面平行、垂直关系的判断考查空间线面平行、垂直关系的判断教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学过程一、复习预习平面的基本性质平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公共直线．(4)公理2的三个推论：的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．：经过两条平行直线有且只有一个平面．二、知识讲解空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系相交相交(2)异面直线所成的角异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：2π. (3)平行公理和等角定理平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．三、例题精析【例题1】【题干】在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________． 【答案】平行平行 【解析】如图．如图．连接AC 、BD 交于O 点，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE . 【例题2】【题干】如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；′； (2)求三棱锥A ′MNC 的体积．的体积．(锥体体积公式V ＝31Sh ，其中S 为底面面积，h 为高) 【答案】证明证明 法一法一 连接AB ′，AC ′，如图由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，′，因此MN ∥平面A ′ACC ′. 法二法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′. (2)解 法一法一 连接BN ，如图由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝21B ′C ′＝1， 故V A ′MNC ＝V NA ′MC ＝21V NA ′BC ＝21V A ′NBC ＝61. 法二法二 V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝21V A ′NBC ＝61. 【解析】(1)连接AB ′，AC ′，在△AC ′B ′中由中位线定理可证MN ∥AC ′，则线面平行可证；此问也可以应用面面平行证明．平行可证；此问也可以应用面面平行证明．(2)证A ′N ⊥平面NBC ，故V A ′MNC ＝V A ′NBC －V MNBC ＝21V A ′NBC ，体积可求．，体积可求．【例题3】【题干】如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．在，请说明理由．【答案】解 存在点E ，且E 为AB 的中点．的中点．下面给出证明：下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1. 是相交直线，B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 【解析】取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．即可． 【例题4】【题干】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．的位置；若不存在，请说明理由．的中点．【答案】存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1. 是相交直线，B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 【解析】取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．即可． 【例题5】【题干】如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 证明 (1) 【答案】证明图(a) 如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分) 又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，(4分) 的中点，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(6分) (2)法一法一 如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，图(b) 的中点，因为M是AE的中点，所以MN∥BE. 又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.(8分) 为正三角形，又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.(10分) 又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分) 法二 如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF. 法二图(c) 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，30°. . 所以∠CBD＝30°为正三角形，因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB ＝21AF .(8分) 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .(10分) 又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .(12分) 【解析】（1） 取BD 的中点O ，证明BD ⊥EO ；（2）取AB 中点N ，证明平面DMN ∥平面BEC ；找到平面BCE 和平面ADE的交线EF ，证明DM ∥EF . 四、课堂运用【基础】1. 下列命题是真命题的是( )．A ．空间中不同三点确定一个平面．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形．梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确．正确．2. 空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )．A ．60°B ．120°C ．30°D ．60°或120°【答案】D 【解析】由等角定理可知β＝60°或120°120°. . 【巩固】1. 如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．对． 【答案】24 【解析】如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1，CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线21212××4＝24(对)．2. 如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．三线共点．【答案】(1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，的中点，∴EF ∥A 1B . 又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面．四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．三线共点．【解析】(1)由EF∥CD1可得；可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD. 【拔高】1.下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．①②③【答案】①②③【解析】可证①中的四边形PQRS为梯形；②中，如图所示，取A1A和BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；③中，可证四边形PQRS为平行四边形；四点不共面．④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．2.如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，在这个正四面体中，平行；①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；为异面直线；角；③GH与MN成60°角；垂直．④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②③④【答案】②③④【解析】如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.课程小结内容小结一个理解一个理解异面直线概念的理解异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行．线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． 两种判定方法两种判定方法异面直线的判定方法异面直线的判定方法(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面．从而可得两直线异面． 课后作业【基础】1.下列命题正确的是【】下列命题正确的是【】、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确。
第56讲 平面的基本性质与空间两条直线
第56讲平面的基本性质与空间直线【考点解读】1、能直观认识空间点、线、面的位置关系，理解空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理(1~3).2、了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小.【知识扫描】公理1 如果一条直线上的在同一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是(证明多点共线的依据)．公理3经过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2经过两条直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．1．空间两条直线的位置关系为、、．2．相交直线一个公共点，平行直线没有公共点，异面直线：不同在平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线所成的角：是指过空间任意一点O分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的角，它的取值范围是.【考计点拨】牛刀小试：1.以下命题中：①经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；②经过两条相交直线有且只有一个平面；③两条平行的直线可以确定一个平面；④三点可确定一个平面.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C2.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但ABCD共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案：②3.直线a,b,c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（）A.1B.3C.6D.0解析以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个. 答案：B4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A.12对B.24对C.36对D.48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24对答案：B5.下列命题中不正确的是________.①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.答案：①②典例分析考点一：直线和平面的概念例1．给出下列命题：①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为()A．①B．②C．③D．①③解析：选C.①错，c可与a、b都相交；②错，因为a、c可能相交也可能平行；③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．故选C.变式训练1：下列命题中正确的有几个()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．A．0个B．1个R P Q α CB AC ．2个D ．3个解析：选C.在①中，因为P 、Q 、R 三点既在平面ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC 与α的交线上，即P 、Q 、R 三点共线，故①正确；在②中，因为a ∥b ，所以a 与b 确定一个平面α，而l 上有A 、B 两点在该平面上，所以l ⊂α，即a 、b 、l 三线共面于α；同理a 、c 、l 三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a 、l ，∴α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．考点二：共线问题例2：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ．求证：点C 1、O 、M 共线．证明：A 1A ∥CC 1⇒确定平面A 1CA 1C ⊂面A 1C ⇒O ∈面A 1C ⇒O ∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O ∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上∴C 1、O 、M 共线规律小结：1.证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面2.证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ，即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上．∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．考点三：共面问题例3. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面．证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂βA ∈a,B ∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面规律小结：证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合． 变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面；(2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF ∥A 1B A 1B ∥D 1C∴EF ∥D 1C ∴E 、F 、D 1、C 四点共面(2) 面D 1A∩面CA ＝DA∴EF ∥D 1C 且EF ＝21D 1C∴D 1F 与CE 相交 又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面ACAA B E C DF A 1 B 1 C 1 D 1∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．考点四：异面直线所成的角例4. 如图在三棱锥S ABC -中090ACB ∠=，SA ABC ⊥面，2AC =，BC =，SB =。
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【例2】 E、F分别是长方体AC1的棱A1A、C1面．
证明：如图所示，在棱B1B上取点G使BG=A1E. ∵A1A∥B1B，∴A1EBG是平行四边形，A1G∥BE.
则A1GFD1是平行四边形． A1G∥D1F.∴BE∥D1F. ∴BE和D1F确定一个平面，即B、F、D1、E四点共面.
答案：C
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
)
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能 为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾． 答案：C
3．给出下列命题： ①和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的 直线在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两 平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是( A．0 B．1 ) C．2 D．3
求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．求异面直线
所成的角，通常通过平移或放缩，将两条异面直线转化为三角形中的 两边所成的角．
求证：直线EF、GH、BD共点． 思维点拨：先确定EF∩GH＝P，再证P∈BD.
证明：
⇒EF与GH相交．
设EF∩GH＝P
①
连结BD，
由①②可知EF、GH 、BD 共点
变式1：如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的 点，且EH与FG相交于点O. 求证：B、D、O三点共线． 证明：∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. ∴EH⊂平面ABD. 同理可证O∈平面BCD，
判定空间两条直线是异面直线有两种方法：(1)定义法；(2)反证法． 【例3】 如右图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中， M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
高考一轮复习第七章 第三节 平面的基本性质及两直线的位置关系
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怎 么 考 1.从高考内容上来看，多以空间几何体为载体考查点、线面 间的位置关系及异面直线问题．
2.高考中各种题型均有涉及，难度中、低档.
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一、平面的基本性质及推论 1．平面的基本性质： 基本性质1：如果一条直线上的 两点在一个平面内，那么 这条直线上的所有点都在这个平面内． 基本性质2：经过 不在同一直线上 的三点，有且只有一个平 面．
(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH、FG、BD三线共点．
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AE CF 解：(1)∵EB＝FB＝2，∴EF∥AC. ∴EF∥平面 ACD. 而 EF⊂平面 EFGH，且平面 EFGH∩平面 ACD＝GH， ∴EF∥GH.而 EF∥AC.∴AC∥GH. AH CG ∴HD＝GD＝3，即 AH∶HD＝3∶1.
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EF 1 GH 1 (2)证明：∵EF∥GH，且AC＝ ， AC ＝ ， 3 4 ∴EF≠GH.∴四边形 EFGH 为梯形． 令 EH∩FG＝P，则 P∈EH，而 EH⊂平面 ABD，P∈ FG，FG⊂平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH、FG、BD 三线共点．
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[高手点拨] 找与三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一
个平面内作与三条直线都相交的直线，因而可考虑过一
条直线及另外一条直线上的一点作平面，进而研究公共 交线问题，本题解法较多，但关键在于构造平面，要求 考生具有较强的空间想象能力．
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1 1 是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90° ，BC 綊 AD，BE 綊 2 2 FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点．
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(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
39课题：空间点、直线、平面之间的位置关系 (2)
课题：空间点、直线、平面之间的位置关系一、考点梳理： 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据． 2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系1．判断正误（1）三点确定一个平面（ ）(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( )(4)已知a ，b ，c ，d 是四条直线，若a ∥b ，b ∥c ，c ∥d ，则a ∥d ( ) (5)两条直线a ，b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线( )(6)若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线( )2．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α三、考点突破：考点一、平面的基本性质及应用【例1】1．在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线2．下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，已知：E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点，证明：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）EF ，HG ，DC 三线共点．考点二、空间两直线的位置关系【例2】若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定2．如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 考点三、异面直线所成的角【例3】如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45 [类题通法]用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[针对训练]如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝2，则异面直线AD和BC所成的角为________．四、当堂检测1．直线l1，l2平行的一个充分条件是()，l2都平行于同一个平面B．l1，l2与同一个平面所成的角相等A．lC．l1平行于l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一个平面2.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为________．4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中C1与EF所成角的大小．点，求A五、课后巩固：1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直2.在正方体AC 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．垂直3.一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( ) A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.335.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．7.设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α；②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α；④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b课题：空间点、直线、平面之间的位置关系一、考点梳理： 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据． 2．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( )A ．b ⊂αB ．b ∥αC ．b ⊂α或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α解析：选D b 与α相交或b ⊂α或b ∥α都可以．2．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为________．解析：如图连接BA 1.∵BA 1∥CD 1，∴∠A 1BE 为所求．在△A 1BE 中，设AB ＝1，则AA 1＝2，∴A 1B ＝5，A 1E ＝1，BE ＝ 2.∴cos ∠A 1BE ＝31010.答案：31010三、考点突破：考点一、平面的基本性质及应用【例1】1．(2018·安徽)在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 解析：选A 选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．3．如图，已知：E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，CC 1，C 1D 1的中点，证明：EF ，HG ，DC 三线共点．证明：连接C 1B ，HE ，GF ，如图所示．由题意知HC 1綊EB ， ∴四边形HC 1BE 是平行四边形，∴HE ∥C 1B .又C 1G ＝GC ，CF ＝BF ， 故GF 綊12C 1B ，∴GF ∥HE ，且GF ≠HE ，∴HG 与EF 相交，设交点为K ，则K ∈HG .又HG ⊂平面D 1C 1CD ，∴K ∈平面D 1C 1CD .∵K ∈EF ，EF ⊂平面ABCD ，∴K ∈平面ABCD . ∵平面D 1C 1CD ∩平面ABCD ＝DC ，∴K ∈DC ，∴EF ，HG ，DC 三线共点． 考点二、空间两直线的位置关系【例2】(1)已知空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 的中点．①求证：BC 与AD 是异面直线；②求证：EG 与FH 相交．[证明] ①假设BC 与AD 共面，不妨设它们所共平面为α，则B ，C ，A ，D ∈α.所以四边形ABCD 为平面图形，这与四边形ABCD 为空间四边形相矛盾．所以BC 与AD 是异面直线．②如图，连接AC ，BD ，则EF ∥AC ，HG ∥AC ，因此EF ∥HG ；同理EH ∥FG ，则EFGH 为平行四边形．又EG ，FH 是▱EFGH 的对角线，所以EG 与HF 相交． 考点三、异面直线所成的角【例3】如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45[解析] 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.[答案] D[类题通法]用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[针对训练]如图所示，点A 是平面BCD 外一点，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝2，则异面直线AD 和BC 所成的角为________．解析：如图，设G 是AC 的中点，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故EG ∥BC 且EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ＝1.即∠EGF 为所求，又EF ＝2，由勾股定理逆定理可得∠EGF ＝90°.答案：90° 四、当堂检测2．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A 连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．故选A.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解析：(1)如图，连接AC ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，知AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，从而B 1C 与AC 所成的角就是A 1C 1与B 1C 所成的角．由AB 1＝AC ＝B 1C 可知∠B 1CA ＝60°，即A 1C 1与B 1C 所成角为60°.(2)如图，连接BD ，由AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1可知A 1ACC 1是平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.即AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角．因为EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥BD .又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥AC ，即所求角为90°. 五、课后巩固：1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( )A ．一定平行B ．一定相交C ．一定是异面直线D ．一定垂直解析：选D ∵a ⊥b ，b ∥c ，∴a ⊥c .2.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36B ．－36 C.33 D ．－33解析：选A 延长CD 至H .使DH ＝1，连接HG 、HF 、则HF ∥AD .HF ＝DA ＝8，GF ＝6，HG ＝10.∴cos ∠HFG ＝8＋6－102×6×8＝36.3.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：选B 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.4.如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中既与AB 共面又与CC 1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：55．如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________．解析：∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC .∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′CC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA .在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2，sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°.答案：30°。
空间点、直线、平面之间的位置关系
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1． 平面的基本性质 四个公理 2.空间两直线的位置关系(2)平行公理： 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。
(3)等角定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
(4)异面直线所成的角：①定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。
②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2。
3．直线与平面的位置关系一、高考题3．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15B ．56 C ．55 D ．224．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A ．32 B ．22 C ．33 D ．13考点二 空间两条直线的位置关系微点小专题 方向1：异面直线的判定【例2】 (2019·益阳、湘潭调研考试)下图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④方向2：平行垂直的判定【例3】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行 【题点对应练】1．(方向1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：① 直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ② 直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线。
空间点、直线、平面之间的位置关系(2个课时)(课件)(人教A版2019 必修第二册)
作用：证明点共线、线共点.
证:P,Q,R三点共线 证:AB,CD,l三线共点
点共线的证明
课本P132-8.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，求证：P,Q,R三点共线．
证明:∵ AB P,P 且P AB,
又∵ AB 平面ABC,P 平面ABC.
设平面ABC 平面 l,P l.
l
A
①直线l在平面α内：直线l上的所有点都在平面α上. 记为l
l ②直线l与平面α相交：直线l与平面α只有一个公共点A. 记为l A ③直线l与平面α平行：直线l与平面α没有公共点.记为l //.
3.点、直线、平面的关系
a
(4)直线与直线的位置关系：
o
b
共面直线平 相行 交::
a a
// b b
D
αβ
C
空间四边形
例.三个平面最多能把空间分成____部分，最少能把空 间分成____部分。 [考]三个平面能把空间分成4或6或7或8部分.
面与面的交线
例.正方体中，平面ACC1与平面BDC1的交线是_____.
D1C1基本Fra bibliotek实2.若一条直线
A1
B1
上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面
内.
(√) P131-4.直线a⊂α，b⊂β，α//β，判断直线a,b的位置关系. 平行或异面
[考]若a⊂α，b⊂β，α//β，则a与b平行或异面.
P131-132习题8.4
2.若直线a不平行于平面α，且a⊂α，则下列结论成立的是( B ) a
A.α内的所有直线与a是异面直线 B.α内不存在与a平行的直线
O
(a
b)
空间几何的应用平面与直线的位置关系
空间几何的应用平面与直线的位置关系空间几何的应用：平面与直线的位置关系在空间几何中，平面和直线是两个基本的几何元素。
它们具有不同的性质和特点，而它们之间的位置关系是研究空间几何的重要内容之一。
本文将探讨平面与直线的位置关系，并展示其在实际应用中的重要性。
一、平面与直线的基本性质在空间几何中，平面可以通过三个不共线的点唯一确定。
它具有无限的面积和无法弯曲的性质。
而直线则是由两个点确定的，它具有无限延伸的性质。
由于平面和直线的特点不同，它们之间的位置关系也具有多样性。
二、平面与直线的位置关系1. 直线在平面内当直线完全位于平面内部时，我们称其为直线在平面内。
具体而言，如果直线上的任意两点都在平面上，那么我们可以说该直线在平面内。
2. 直线与平面相交当直线与平面有一个公共点时，我们称其为直线与平面相交。
这个交点可以是直线上的一个点，也可以是直线上的一部分。
3. 直线与平面平行当直线与平面没有任何公共点时，我们称其为直线与平面平行。
这意味着直线在三维空间中永远不会与平面相交。
4. 直线在平面上当直线的每一个点都在平面上时，我们称其为直线在平面上。
这意味着直线与平面的交点是直线上的每一个点，可以是无限个。
三、平面与直线位置关系的应用平面与直线的位置关系在计算机图形学、建筑设计、工程应用等领域中具有广泛的应用。
1. 计算机图形学在计算机图形学中，平面与直线的位置关系用于渲染三维图形，并实现模拟真实世界的效果。
通过判断直线与平面的位置关系，可以确定直线是否在平面上，从而绘制相应的图形。
2. 建筑设计在建筑设计中，平面与直线的位置关系被用来确定建筑物的结构和布局。
通过分析直线是否在平面内，建筑师可以合理地设计并放置建筑物中的各个构件，确保其稳定性和美观性。
3. 工程应用在工程领域，平面与直线的位置关系用于测量和规划工程项目。
例如，测量土地时需要确定直线与平面的位置关系，以便准确计算面积和边界；工程规划中需要考虑道路与平面的位置关系，以确保交通畅通和工程安全。
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教学过程—、复习预习思考：1、直线的性质,平面的性质2、直线在一个平面内的判定？3、直线与直线相交与两个平面相交的区别4、三角形的稳走性指的是什么？二知识讲解考点］公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内・考点2公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线•考点3公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面•推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理的用途公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内•公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点•公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题•考点4公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立.考点5异面直线的判走异面直线所成的角三.例题精析【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、FG、BD三线共点.1〃—证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ;又. CG : GD= AH : HD=3 : l t丄.-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH ,・・・四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG rFG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r.••PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点.【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H・⑴求AH : HD ;⑵证明：EH、FG、BD三线共点. 【答案】(1)3:1 (2)略竺工2 =【解析】⑴EB FB EF〃AC=>EF〃面ACD.而EFU 面EFGH ,而面EFGHA® ACD=GH , /.EF//GH 而EF//AC ,AH _ CG:.AC//GH「•・HD GD 3 ,即AH: HD=3 : 1 ・EF \ GH _ 1(2)・・• EF//GH 且AC 3 x AC 4 z A E F H GH r EFGH 为梯形.令EH"FG = P，则PVEH 而EHU面ABD.PeEG, FGu面BCD,面ABDA面BCD二BD. ・・・PVBD,・・・ EF、FG、BD三线共点.【例题3】已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD±的点，且直线EF和GH交于点P.求证：B、D、P在同一直线上.【证明】如图，••• EFAGH = P , /. PUEF、GH.*/ EeAB ,FeAD f・・・EFU面ABD , /. Pw面ABD.vGeBC rHeCD …・・GHU面BCD r /.Pe® BCD.••面ABDA面BCD=BD , /. PeBD ,B、D、P三点在同一直线上.【例题4]已知直线（与三条平行线a、b、c都相交•求证：。
与a、b、c共面.【证明】设aQl = A bC\l = B cD/ = C由a//b^ a、b确定平面&，因为Ava, Bub=>/uabile b s c确走平面B ■因为Cec, Beb同理可证/up所以a、B均过相交直线b、/=> a、p重合n cua => a、b、c、/共面【例题5]AE HF 1如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点,T D =~FC = 2 ,AB=CD=3 , EF="，求AB、CD所成角的大小.【答案】60。
GB丄【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使而其•连接GF、GE、EF.AE BG BF 1 2ED = GD=~FC = 2 , GEIIAB,且GE=^AB = 2,I同理，GFllCD,且G"CD“，22+|2_7在匕EGF 中，coszEGF= 2x2x1 ・.zEGF“20°・由GF IICD,GEII AB可知,AB与CD所成的角应是zEGF的补角为60°.【例题6]如图所示，等腰直角三角形ABC中/zA=90\BC=>/2 QA丄AC , DA丄AB/§DA=l f且E为DA的中点•求异面直线BE与CD所成角的余弦值Vjo【答案】而【解析】取AC的中点F ,连接EF , BF ,在乂ACD中，E、F分别是AD、AC的中点, .\EFllCD ,・・・zBEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在R2EAB 中,AB=AC=1,丄丄V5AE= 2 AD=2 , Z.BE=~ ,在RMEAF中，丄丄AF=2A C=2丄运# AE=2 z .-.EF=~1V5在 Rt^BAF 中 f AB = 1 , AF=2 # ；.BF= 2 #在等腰三角形EBF 中， Vio ・•・异面直线BE 与CD ■课堂运用【斟出】：!•空间四点中，如果任意三点都不共线，那么由这四点可确走 ___ 个平面?【答案】1或4【解析】若共面的四点则可以确走一个平面；若四点不共面，则可以确定4个平面.2. _________________________________________________________ 若Q4〃OR , OBHO\B\ ,则ZAOB 与关系为 _______________________________________ .【答案】相等或互补.【解析】当ZAOB 与乙40目方向相同时，两角相等；当ZAOB 与Z4Q 百方向相反时，两角互补.3.正方体ABCD - _____________________ 中，与棱A3成异面直线的棱共有 条，它们分别是 ___________________【答案】4; £卩，BG ，CC 計DD,【巩固】1画一个正方体ABCD-ABg ,再画出平面AC®与平面BDG 的交线，并且说明理 由•【解析】F E CD 、、F e ^ACD { x E e AC E e ^ACD { s EuBD 、EV 平面 BDC { s F E DC\、FV 平面FeDC.B t 则EF 为所求.V2一 4一V52 B EA /T0 To"2 •如图，E、F、G、H分别是四面体的棱SA、SC、BA、BC±的点.若EF与GH相【证明】⑴ 当EF和GH相交时，交点为平面ASC和平面ABC的一个公共点，而平面ASC和平面A B C的交线是A C,所以E F和G H的交点在A C上•3・在长方体ABCDAiBiCiDi中,竞、长、高分别为3、4、5 ,现有一只小虫从A出发沿长方体表面爬行到Ci来获取食物,求其路程的最小值.【解析】把长方体含ACi的面作展开图，有三种情形:利用勾股走理可得ACi的长分别为逅、0、y/80 ,（12分）由此可见图②是最短线路，其路程的最小值为*774.（14分）【拔高】1. 过正方体ABCD_AQGD I的顶点A作直线L ,使L与棱AB/D,"所成的角都相等,这样的直线L可以作条.【答案】4【解析】第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有1条体对角线AC1,第二类：在图形外咅倂［］每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条.2. _________________ 直三棱柱G中，若ZBAC = 90° AB = AC = AA}”则异面直线与人C＞所成的角的大小为___ o【答案】60度【解析】延长CA到D ,使得^D = AC ,则为平行四边形，ZD"就是异面直线则与也所成的角，又三角形^DB为等边三角形Z°V = 60°3. 如图所示，正方体ABCD—A向CQ中.E、F分别是A3和九4】的中点.求证：⑴E、C、D H F四点共面；(2)CE、DiF、DA 三线共点.【解析】⑴连结EF , CD, ,A t B.•••£、F分别是AB、Mi的中点，:.EF//BA}.又A\B//DiC , :.EF//CD\ ,•••£、G D、F四点共面・(2Y：EF//CDi , EF<CD\ ,.・.CE与DiF必相交，设交点为P ,则由PWCE , CEU平面ABCD ,得PW平面ABCD 同理PG平面ADD X A\.又平面ABCDQ平面ADD]A\=DA ,:.PE^DA.：.CE. DiF. DA 三线共点.课程小结1. 利用平面基本性质证明"线共点”或"点共线"问题:(1) 证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.(2) 要证明"点共线"可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理2可知这些点在交线上，因此共线•课后作业【斟出】1. 用符号表示”点A在直线l±, I在平面c(外"为______________________ .【答案】AVI, I a【解析】注意集合符号的使用，点在线上，点在面内用"曰，线在面内用“ “.2. 有下列命题：①空间四点共面,则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线,则此四点共面；④空间四点中任佢I三点不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是_________ •(填序号)【答案】②③【解析】易知①只须四点共面，但可三点不必共线；②③正确；误•3. 有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线I在平面c(内，可以用符号"Iva"表示；③若平面a内的F直线a与平面B内的一条直线b相交,贝!Ja与p相交.其中正确的命题是 _______ •（填序号）【答案】①③【解析】表示线与面的关系用"u "或"0"表示,故②It 误.【巩固】分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 ___________________ •【答案】平行、异面或相交【解析】可通过正方体观察■ 2. ________ 已知在正方体ABCDAiBiCiDi 中，E 为CQi 的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余 弦值为 __ .2【答案】【解析】取AiBi 的中点F ,贝HzAEF 为所求角或其补角.设正方体棱长为2 ,则AE 二3 ,3.如图，在正方体ABCDAiBiCiDi 中r P 、Q 分别是棱AA^ CCi 的中点,则过点B 、P 、 Q 的截面是 _______【答案】菱形【解析】设正方体棱长为「连结DiP x DiQ ,则易得PB 二BQ 二DiP 二DiQ 二 的中点M ,则DiPllAM II BQ ,故截面为四边形PBQDi,它是一个菱形. 【拔高】1.已知a ,方是异面直线,直线ell 直线勺则c 与6的位置关系 ________________ ①一走是异面直线 ②一走是相交直线 ③不可能是平行直线④不可能是相交直线【答案】③.【解析】c 与&的位置关系相交或异面.2. 给出下列命题：EF 二 2 ,所以 coszAEF = AE2 十 EF" AF22AF X FF，取 DiD①若平面a内的直线a与平面P内的直线b为异面直线，直线C是a与0的交线，那么直线C至多与刁、〃中的一条相交；②若直线刁与方为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一走存在平面a和异面直线凤b同时平行.其中正确命题的序号是 _______ .【答案】③.【解析】①中直线C可以与认6中的两条都相交；②直线a与c异面或相交.3. ___________________________________________________________ 若P是两条异面直线I、力外的任意一点，则说:第误的有______________________________ （填序号）•①过点P有且仅有一条直线与/加都平行②过点P有且仅有一条直线与/刃都垂直③过点P有且仅有一条直线与/加都相交④过点P有且仅有一条直线与/加都异面【答案】①③④.【解析】过点P未必有直线和直线与/、⑦都平行、相交•过点P可能有无数条直线与直线/力都异面.4. 如图是一正方体的表面展开图,B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中,①AB 与CD 相交；②MNllPQ ;③ABHPE ;④MN与CD异面；⑤MNll平面PQC.【答案】①②④⑤【解析】将正方体还原后如图，则N与B重合，A与C重合，E与D重合，所以①、②、④、⑤为真命题•)。