华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(章节题库 实数集与函数)【圣才出品】

第

1章　实数集与函数

1．设，求证：

证明：方法一：

①

②

联合①与②即得

方法二：分c≥0和c<0两种情况考虑．

①当c≥0

时，

②当c<0时,，

c≥a

即得

2．设f （

x ），

g （

x ）在集合x 上有界，求证：

证明：由下确界定义有

移项即得

由下确界定义有

即得要证的第一式，又因为f （x ）与g （x ）所处的地位是对称的，故第二式也成立．

3．设函数f （x ）

，

g （x ）在（a ，b ）上严格单调增加，求证：函数

也在（a ，b ）上严格单调增加．

证明：

且设，因为f （x ），

g （

x ）在（a ，b ）上严格单调增加，

所以

，于是同理可证

在（a ，b ）上严格单调增加．

4．（1）问

是否是周期函数？并画出它的图形（其中表示x

的整数部分）;（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？

解：（1

）因为

，所以按的定

义，即得从而即f （x ）是以1为周期的周期函数，其图像如图1-1所示．

图1-1

（2）不一定．例如，函数就不是周期函数．

5．设

，求证：（1

）若

，则f 为单射，g 为满射；（2

）若则f 与g 互为反函数．证明：（1）由条件得

即使得，故g 为满射；若，则由条件推出即f

为单射． 6．设f （x ）在区间I 上有界，记证明：

',''|f(x')f(x'')|M m.

sup x x

I

∈-

=-证明：对因为所以有从而即M-m 是的一个上界．对

，由

知使得

同理使得，

所以综上所述：