7第七章平稳过程谱分析(上)

方法2:留数定理的利用 方法 留数定理的利用
1 RX (τ ) = 2π
+∞
w2 + 4 jwτ ∫ w4 + 10w + 9e dw −∞
2
1 w +4 jw|τ | = {2π j 2 e |w = j + 2π ( w + 9)( w + j ) w +4 jw|τ | 2π j e |w = 3 j } 2 ( w + 3 j )( w + 1) 3 −|τ | 5 −3|τ | = e + e 16 48
0
1
∞
例 题2： 平稳随机过程 X t ) = A cos( w0 t + θ ), 其中 A, w0 （ 为常数， θ 在（0，π ）上均匀分布，求 X t )的功率谱密度。 2 （ 解： R X (τ ) = E{[ A cos( w0 t + θ ) A cos[ w0 (t + τ ) + θ ]} =∫
1 ∫ [ x(t )] dt = 2π −∞
2 ∞ ∞ −∞
∫
Fx ( w) dw
2
其中, Fx ( w) 称为能谱密度 能谱密度 证明: +∞
1 2 x (t )dt = ∫ x(t )[ Fx ( w)e jwt dw]dt ∫ ∫ 2π −∞ −∞ −∞ 1 = ∫ Fx ( w)[ x(t )e jwt dt ]dw ∫ 2π −∞ −∞ =
例题1：平稳随机过程X (t )的谱密度为： w2 S x ( w) = 4 , 2 w + 10 w + 9 求平均功率E[ X 2 (t )].
1 ∞ 解：Ψ = E[ X (t )] = ∫−∞ S X (w)dw 2π 1 ∞ w2 + 4 = ∫−∞ w4 + 10w + 9 dw 2π
1 1 ∞ 2 右边 = E lim [ ∫ Fx ( w, T ) ]dw −∞ T →∞ 2T 2π 1 1 ∞ 2 = li→∞ E[ 2T ∫−∞ Fx (w, T ) ]dw 2π T m 1 1 ∞ 2 = ∫−∞ lTim 2T E[ Fx (w, T ) ]dw 2π →∞
定义：设{X(t),-∞<t<∞}为均方连续的随机过程，
0 2π
1 dθ A co s( w0 t + θ ) A cos[ w0 (t + τ ) + θ ] 2π
A2 = cos w0τ 2 +∞ A2 cos w0τ .e − jwτ dτ S X ( w) = ∫ 2 −∞ A2 = 4 = 2
+∞ −∞
∫
( e jw0τ + e − jw0τ ) e − jwτ dτ
2 2
上半平面极点为w1=j, w2=3j
∞ w2 + 4 w2 + 4 ∫−∞ w4 + 10w + 9 dw = ∫−∞ (w − j )(w + j )(w − 3 j )(w + 3 j ) dw ∞
w2 + 4 w2 + 4 = 2π j{ |w= j } + 2π j{ |w = 3 j } ( w + j )( w − 3 j )( w + 3 j ) ( w − j )( w + j )( w + 3 j ) 7 = π 12
2 功率谱密度的性质
1. Sx ( w) ≥ 0 2. Sx ( w)是w 的实函数。 3. 对实随机过程，Sx ( w) = Sx (− w) 4. 可积性，即∫ Sx ( w)dw < ∞
-∞ ∞
证明：(1)(2)(3)
1 2 S X ( w) = lim E[ Fx ( w, T ) ] T →∞ 2T 2 +T 1 − jwt = lim E[ ∫ X (t )e dt ] −T T →∞ 2T +T +T 1 − jwt1 = lim E[ ∫ X (t1 )e dt1 ∫ X (t2 )e jwt2 dt2 ] −T −T T →∞ 2T
0 ∞
证明： 证明： S X (w) = ∫ RX (τ )e− jwτ dτ = ∫ RX (τ )(cos wτ − j sin wτ )dτ
−∞ −∞
∞
∞
=
∞
−∞
∫R
X
(τ ) cos wτ dτ = 2 ∫ RX (τ ) cos wτ dτ cos
0
∞
同理： 同理： RX (τ ) = π ∫ S X ( w) cos wτ dw
所以:
1 2 Ψ = 2π
w2 + 4 7 ∫−∞ w4 + 10w + 9 dw = 24∞3 功率谱密度与自相关 Nhomakorabea数的关系
可以证明：随机过程的自相关函数与 可以证明：随机过程的自相关函数与功率 自相关函数 谱密度之间互为傅立叶变换对。这一个关系就 谱密度之间互为傅立叶变换对。 之间互为傅立叶变换对 维纳-辛钦定理 是著名的维纳 辛钦定理。 是著名的维纳 辛钦定理。即：
平稳过程的谱分析
平稳过程的相关函数在时域上描述了 平稳过程的相关函数在时域上描述了 相关函数 过程的统计特性，为了描述平稳过程在频 过程的统计特性，为了描述平稳过程在频 上的统计特性, 需要引入了谱密度 谱密度的概 域上的统计特性 需要引入了谱密度的概 念。 这章的内容主要讨论随机过程的谱分 析
知识回顾： 知识回顾：
π A2
[δ ( w − w0 ) + δ ( w + w0 )]
已知： e jw0τ ↔ 2πδ ( w − w0 )
w2 + 4 例题3：平稳随机过程谱密度S X ( w) = 4 , 2 w + 10w + 9 求平稳随机过程的相关函数和均方值。
方法1:利用常用的傅立叶变换对 解： 方法 利用常用的傅立叶变换对 5 3 w2 + 4 SX ( w) = 2 = 28 + 28 ( w + 9)( w2 + 1) ( w + 9) ( w + 1) 5 3 2 × 3× 2 × 1× 48 + 16 ⇔ 5 e −3|τ | + 3 e −|τ | = ( w2 + 9) ( w2 + 1) 48 16 2 ab −aτ 已知：be ↔ 2 a + w2
2 1 T 称ψ =limE[ ∫ X (t ) dt ] 为X(t)的平均功率； 2T −T T →∞ 1 2 称S X ( w) = lim E[ Fx ( w, T ) ] 为X(t)的功率谱密度， T →∞ 2T 简称谱密度。 2
对于平稳随机过程，平均功率等于该过程的 均方值,等于它的谱密度在频域上的积分。即： 1 ∞ 2 2 ψ = E[ X (t ) ] = ∫−∞ S X (w)dw 2π
2
例题4：已知平稳正态过程X (t )的均值为0，功率谱密度为 1 S X ( w) = , 求X (t )的概率密度函数。 2 1+ w ∞ 1 解: R X (τ ) = S X ( w)e jwτ dw ∫ 2π −∞ 1 = 2π 1 = 2π
2 2
1 e jwτ dw ∫ 1 + w2 −∞
令t = t1 + t2 ,τ = t2 − t1 , 则 S X ( w) = lim =
+∞ +2 T T →∞ −2T
∫
(1 −
τ
2T
)Rx (τ )e − jwτ dτ
−∞
∫
Rx (τ )e − jwτ dτ
当随机过程为实平稳随机过程时， 当随机过程为实平稳随机过程时，
S X ( w) = 2∫ RX (τ ) cos wτ dτ
∫
T
−T
1 X (t ) dt = 2π
2
∫
∞
−∞
Fx ( w, T ) dw
2
(帕塞伐公式 帕塞伐公式) 帕塞伐公式
对上式两边先取时间平均，再取统计平均得到：
2 1 T 左边= E[lim ∫−T X (t ) dt ] T →∞ 2T 2 1 T = limE[ ∫ X (t ) dt ] 2T −T T →∞
jwτ
1 dw = 2π
∫
∞
−∞
N 0 e jwτ dw =N 0δ (τ )
这表明：白噪声随时间的变化极快，在任意两个时刻t1和t2， X(t1 )和X(t2 )不相关。
(1)白噪声是一种理想化的数学模型。各种随机干扰 白噪声是一种理想化的数学模型。 白噪声是一种理想化的数学模型 只要它的谱密度比信号频带宽得多,且分布近似均 只要它的谱密度比信号频带宽得多 且分布近似均 则可以当作白噪声处理. 匀,则可以当作白噪声处理 则可以当作白噪声处理 (2)白噪声可以具有不同的概率分布 例如正态白噪声 白噪声可以具有不同的概率分布,例如正态白噪声 白噪声可以具有不同的概率分布 例如正态白噪声, 瑞利分布律的白噪声等等。 瑞利分布律的白噪声等等。
+∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
2
∫
Fx ( w) Fx ( w)dw =
________
+∞
−∞
∫
Fx ( w) dw
2
1 功率谱密度的定义
数学推导基本步骤如下:
设X (t )是均方连续的随机过程，作截尾随机过程X T (t ) : X (t ), t ≤ T X T (t ) = t >T 0, Fx ( w, T ) 为X T (t )的傅立叶变换， 由帕塞伐公式以及傅立叶反变换，得到
∞
∞
−∞
∫
2 × 1×
1 2 e jwτ dw = 1 e −|τ | 2 1 + w2
2 x
1 σ = E[ X (t )] − m (t ) = 2
−
f ( x) =
1 2π 1/ 2
e
x2 1 2. 2
=
1
π
e
− x2
P 例题7.2：已知平稳正态过程X (t )的相关函数为 119 R X(τ )=e
-α τ
cos(w 0τ ),
其中α > 0，w 0 为常数，求谱密度S X ( w)。
解: S X ( w) = 2∫ RX (τ ) cos wτ dτ
0
∞
4 白噪声
定义：设{ X (t ), −∞ < t < ∞}为实平稳随机过程，若它的均值为0， 且谱密度在所有频率范围内为非0的常数，即SX (w) = N 0 (−∞ < w < ∞), 则X (t )为白噪声过程。
对于确定信号的傅立叶变换的回顾： 设X(t)是时间t的非周期实函数，则X(t)存在 傅立叶变换的充要条件是： （1）X(t)在 ( -∞，+∞ ) 满足狄利赫利条件； （2）X(t)绝对可积,即 ∫ X(t)dt < ∞
−∞ +∞
（3）若X(t)代表信号，则总能量有限,即 ∫ X(t) dt < ∞
2 −∞
+∞
此时，x(t)的傅立叶变换为： Fx ( w) = ∫
+∞ −∞
x(t )e
− jwt
dt
傅立叶反变换为： 1 +∞ x(t ) = Fx ( w)e jwt dw 2π ∫−∞
非周期性确定性时间函数的帕塞伐（ 非周期性确定性时间函数的帕塞伐（Parseval) 帕塞伐 等式为 等式为:
为了对白噪声过程进行频谱分析，下面引入δ 函数的概念。 0, x ≠ 0 （1）（x) = δ ∞，x = 0 (2) (3)
∫ ∫
∞
−∞ ∞
δ x)dx = 1 （
f ( x)δ x - T )dx = f (T ) （
-∞
白噪声自相关函数
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X ( w)e
S X ( w) =
∞ −∞
∫
RX (τ )e− jwτ dτ
∞
1 RX (τ ) = 2π
−∞
∫
S X ( w)e jwτ dw
证明： 证明：
S X ( w) = lim
T →∞
1 2 E[ Fx ( w, T ) ] 2T
+T +T 1 jwt1 =lim E[ ∫ X (t1 )e dt1.∫ X (t2 )e − jwt2 dt2 ] −T −T T →∞ 2T +T +T 1 =lim E[ ∫ ∫ X (t1 ) X (t2 )e − jw(t2 −t1 ) dt1dt2 ] −T − T T →∞ 2T 1 +T +T =lim E[ X (t1 ) X (t2 )]e − jw(t2 −t1 ) dt1dt2 2T ∫−T ∫−T T →∞