计数原理课件
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计数原理课件
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5
课堂小结：
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前 提和条件. 这两个原理都是指完成一件事,区别在于： （1）分类加法计数原理是“分类”，每类办法 中的每一种方法都能独立完成一件事； （2）分步乘法计数原理是“分步”；每种方法 都只能做这件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完成这件事情!
变式：
若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、生物 学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？ A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
生物学
化学 医学
生物学
人力资源学
物理学
工程学
注意：分类加法计数做到不重，不漏！
如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方 案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有 m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不 同的方法，那么完成这件事共有多少种不同 的方法？ 如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
N m1 m 2 m n
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法.
理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为 若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不 能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这 件事. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完 成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中 的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法 都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数 原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步， 各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该 件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是 合作完成.
课堂小结：
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前 提和条件. 这两个原理都是指完成一件事,区别在于： （1）分类加法计数原理是“分类”，每类办法 中的每一种方法都能独立完成一件事； （2）分步乘法计数原理是“分步”；每种方法 都只能做这件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完成这件事情!
变式：
若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、生物 学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共 有多少种？ A大学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学 C大学 新闻学
生物学
化学 医学
生物学
人力资源学
物理学
工程学
注意：分类加法计数做到不重，不漏！
如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方 案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有 m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不 同的方法，那么完成这件事共有多少种不同 的方法？ 如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
N m1 m 2 m n
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法.
理解分步乘法计数原理： 分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为 若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不 能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这 件事. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完 成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中 的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法 都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数 原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步， 各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该 件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是 合作完成.
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
课件12：1.1 基本计数原理（二）
法二：分两类：第一类，操场与教学区用同一种颜色， 有 6×5×4＝120 种着色方法；第二类，操场与教学区不 同色，有 6×5×4×3＝360 种着色方法．根据分类加法计 数原理，共有 120＋360＝480 种不同的着色方法． 【答案】480
考点三 两个计数原理的综合应用
例 3 有一项活动，需在 3 名老师、8 名男同学和 5 名女 同学中选部分人员参加． (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不 同的选法？ (3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？
2．由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数中，且 能被 5 整除的数共有________个．
【解析】能被 5 整除的数个位为 5 或 0，若个位为 0， 千位有 5 种排法，百位有 4 种排法，十位有 3 种排法， 共有 5×4×3＝60 个；若个位为 5，千位有 4 种排法， 百位有 4 种排法，十位有 3 种排法，共有 4×4×3＝48 个．故能被 5 整除的且没有重复数字的四位数共有 60＋48＝108 个． 【答案】108
1.1 基本计数原理（二）
考点一 组数问题
例 1 (1)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取三个不同数字组
成三位数，则三位数的个数为( )
A．120
B．80
C．90
D．100
(2)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，
这样的四位数共有________个．(用数字作答)
(3)可分两类，每一类又分两步． 第一类，选一名老师再选一名男同学，有 3×8＝24 种选法； 第二类，选一名老师再选一名女同学，共有 3×5＝15 种选法． 由分类加法计数原理，共有 24＋15＝39 种选法．
新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第五章计数原理 精品教学课件
类型 2 分步乘法计数原理 【例 2】 某大学食堂备有 6 种荤菜，5 种素菜，3 种汤．现要 配成一荤一素一汤的套餐，问可以配制成多少种不同的品种？
[思路点拨]
[解] 完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一 个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不 同的套餐品种共有 6×5×3＝90 种．
20
55
(1)从三个班中选 1 名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1 名学生任
学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
[解] (1)从每个班选 1 名学生任学生会主席，共有 3 类不同的方 案：
第 1 类，从高三(1)班中选出 1 名学生，有 50 种不同的选法； 第 2 类，从高三(2)班中选出 1 名学生，有 60 种不同的选法； 第 3 类，从高三(3)班中选出 1 名学生，有 55 种不同的选法． 根据分类加法计数原理知，从三个班中选 1 名学生任学生会主 席，共有 50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)分三步： 第一步，选 1 名医生，有 3 种选法； 第二步，选 1 名护士，有 5 种选法； 第三步，选 1 名麻醉师，有 2 种选法． 根据分步乘法计数原理知，共有 3×5×2＝30(种)选法．
当堂达标·夯基础
1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若 干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都 可以单独完成这件事．
1．分类加法计数原理 (1)定义：完成一件事，可以有 n 类办法，在第 1 类办法中有 _m__1种__方__法__，在第 2 类办法中有_m_2_种__方__法__，……在第 n 类办法中有 _m__n种__方__法__，那么，完成这件事共有 N＝_m_1_＋__m_2_＋__…__＋__m_n_种方法．(也 称“加法原理”)
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(人教版)
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1．理解分类加法计数原理与分步乘法 计数原理．(重点) 2．会用这两个原理分析和解决一些简 单的实际计数问题．(难点)
1.核糖核酸(RNA)分子有碱基按一定顺序排列而成。 已知碱基有4种，但由成百上千个碱基组成的RNA分 子的种数非常巨大。为什么？
B 果将这 2 个新节目插人节目单中，那么不同的插法种数为( )
A.12
B.20
C.36
D.120
解析：利用分步计数原理，第一步插入第一个新节目，有 4 种方法，第二步插 入第二个新节目，此时有 5 个空，故有 5 种方法.因此不同的插法共有 45 20 种.故选 B.
2.如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学可以选择 A，B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 因为没有一个强项专业是两所大学共有的， 所以根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 N 5 4 9 .
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方
法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N
＝m×n种不同的方法．
例 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B
两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表.
A 大学
B 大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学Biblioteka 例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程 序模块命名？
基本计数原理PPT课件
第7页/共40页
学案P46-1
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
分 左边
两 步
甲
完
成乙
右边 乙 丙 甲 丙
第一步 第二步 3×2
甲
丙
乙
第8页/共40页
例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?
第35页/共40页
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
第4页/共40页
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙 地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少 种不同的走法 ？
日班和晚班，有多少种不同的选法？
(2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
计数原理优秀ppt课件
解 从3幅画中选2幅 取分别挂在左、右 边墙,上 可以分两步: 完成 第1步 ,从 3幅画中 1幅选 挂在左 ,有 边 3种墙上 方;法 第2步,从剩下 2幅 的画中 1幅 选画挂在右 上,有2种方. 法
根据分步乘法,不 计同 数挂 原法 理种数是 N326.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
用两个计数
原理解决计
数问题时
,最
重要的是
在
开始 计算 之
前要进 行仔
细分析
需
要分类还
是
需要分步
.
分 类 要"不 做重 到不 ".分漏 类后再分别 对 每 一 类 进,行 最计 后数 用 分 类 加 数 原 理 求 ,得和 到 总. 数
分 步 要"步 做骤 到完 ". 整完成了所有 步 骤,恰 好 完 成 任,当务然 步 与 步 之 间 要 相 互 独立.分 步 后 再 计 算 每 一方步法的 数,最 后 根 据 分 步 乘 法原计理,数把 完 成 每 一 步 方 法 数 相 ,得乘到 总 .数
新课
分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有
n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件 事共有
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步记数原理：做一件事情，完成它需要分
成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
根据分步乘法,不 计同 数挂 原法 理种数是 N326.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
用两个计数
原理解决计
数问题时
,最
重要的是
在
开始 计算 之
前要进 行仔
细分析
需
要分类还
是
需要分步
.
分 类 要"不 做重 到不 ".分漏 类后再分别 对 每 一 类 进,行 最计 后数 用 分 类 加 数 原 理 求 ,得和 到 总. 数
分 步 要"步 做骤 到完 ". 整完成了所有 步 骤,恰 好 完 成 任,当务然 步 与 步 之 间 要 相 互 独立.分 步 后 再 计 算 每 一方步法的 数,最 后 根 据 分 步 乘 法原计理,数把 完 成 每 一 步 方 法 数 相 ,得乘到 总 .数
新课
分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有
n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件 事共有
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步记数原理：做一件事情，完成它需要分
成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
《计数原理》课件
探讨抽屉原理及其在计 数问题中的实际应用。
错排问题与公式推 导
讲解错排问题的概念， 并推导出错排公式。
具体应用
可重集排列组合问题
讨论可重集的排列组合问题，例如将不同颜色的积木 排列成不同的形状。
球与盒子问题
考虑将球放在盒子中的不同方式，包括球的数量和盒 子的数量。
字母重排列问题
通过重新排列字母来创建不同的单词或短语，并讨论
钞票找零问题
解决找零时的计数问题，包括使用不同面额的钞票和
拓展应用
1
Fibonacci数列及其应用
介绍Fibonacci数列的定义和它在自然界和科学中的应用。
2
卡特兰数与其特殊应用
探讨卡特兰数及其在计数问题中的特殊应用，如括号匹配问题。
总结与展望
重要性
总结计数原理在实际问题中的重要性和应用。
新方法探究
《计数原理》PPT课件
计数原理是一门关于计数和组合的数学学科，它在计算机科学、密码学和信 息论等领域中有着广泛的应用。
引言
定义与作用Байду номын сангаас
介绍计数原理的定义和它在问题求解中的作用。
应用场景
简述计数原理在实际生活和科学研究中的应用场景。
基本概念
1
排列组合
介绍排列组合的定义和它们之间的区别。
2
排列、重排列、循环排列
讲解排列、重排列和循环排列的概念及其应用。
3
组合、二项式系数、帕斯卡三角形
探讨组合、二项式系数和帕斯卡三角形在计数原理中的重要性。
基本定理与公式
乘法原理与加法原 理
解释乘法原理和加法原 理，并探讨它们在计数 问题中的应用。
容斥原理与推广
介绍容斥原理以及它在 解决重叠计数问题中的 应用。
错排问题与公式推 导
讲解错排问题的概念， 并推导出错排公式。
具体应用
可重集排列组合问题
讨论可重集的排列组合问题，例如将不同颜色的积木 排列成不同的形状。
球与盒子问题
考虑将球放在盒子中的不同方式，包括球的数量和盒 子的数量。
字母重排列问题
通过重新排列字母来创建不同的单词或短语，并讨论
钞票找零问题
解决找零时的计数问题，包括使用不同面额的钞票和
拓展应用
1
Fibonacci数列及其应用
介绍Fibonacci数列的定义和它在自然界和科学中的应用。
2
卡特兰数与其特殊应用
探讨卡特兰数及其在计数问题中的特殊应用，如括号匹配问题。
总结与展望
重要性
总结计数原理在实际问题中的重要性和应用。
新方法探究
《计数原理》PPT课件
计数原理是一门关于计数和组合的数学学科，它在计算机科学、密码学和信 息论等领域中有着广泛的应用。
引言
定义与作用Байду номын сангаас
介绍计数原理的定义和它在问题求解中的作用。
应用场景
简述计数原理在实际生活和科学研究中的应用场景。
基本概念
1
排列组合
介绍排列组合的定义和它们之间的区别。
2
排列、重排列、循环排列
讲解排列、重排列和循环排列的概念及其应用。
3
组合、二项式系数、帕斯卡三角形
探讨组合、二项式系数和帕斯卡三角形在计数原理中的重要性。
基本定理与公式
乘法原理与加法原 理
解释乘法原理和加法原 理，并探讨它们在计数 问题中的应用。
容斥原理与推广
介绍容斥原理以及它在 解决重叠计数问题中的 应用。
计数原理(优秀课件)
THANKS
感谢观看
在社会科学中，分类计数原理可以应用于 社会调查和统计分析等方面，例如调查问 卷的数据分析和人口统计等。
03
分步计数原理
定义与解释
定义
分步计数原理，也称为分治法，是计数原理中的一种基本方法。它基于将一个复杂问题分解为若干个 简单子问题，然后分别对每个子问题进行计数，最后将各个子问题的计数结果相乘得到总计数。
同样地，我们考虑第一个学 生有5门课程可以选择，第 二个学生也有5门课程可以 选择，依此类推，直到最后 一个学生。根据分步计数原 理，总的不同选课方案为 $5 times 5 times 5 times ... times 5 = 5^{30}$。
应用场景
应用场景1
在组合数学中，分步计数原理常被用于解决排列组合问题。例如，在求解排列数、组合数 或概率分布时，可以通过将问题分解为若干个子问题，然后利用分步计数原理进行计算。
首先，我们考虑第一个学生 有5门课程可以选择，第二 个学生也有5门课程可以选 择，依此类推，直到最后一 个学生。根据分步计数原理 ，总的不同选课方案为 $5 times 5 times 5 times ... times 5 = 5^{30}$。
一个班有30名学生，每个学 生需要从5门课程中选1门课 程。问有多少种不同的选课 方案？
应用场景2
在计算机科学中，分步计数原理被广泛应用于算法设计和数据结构。例如，在求解图论中 的路径、遍历等问题时，可以利用分步计数原理来计算不同路径的数量。
应用场景3
在实际生活中，分步计数原理也被广泛应用于各种场景。例如，在制定计划或决策时，可 以将整个过程分解为若干个子步骤或子任务，然后利用分步计数原理来计算完成整个任务 所需的总时间或总成本。
《计数原理》公开课课件
（2）每一步都不能独 立完成这件事情，各个 步骤相互依存，只有每
个步骤完成了，这件事
情才能完成。
1、 2、
课堂小结： 1.解决计数问题的基本方法：
分类加法计数原理、分布乘法计数原理 2.选择两个原理解题的关键是：
根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
两大原理妙无穷,
2、尝试区分分类加法计数原理与分步乘法计 数原理的区别和联系？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系：
分类(加法)原理
分步（乘法）原理
联系 都是关于统计完成一件事情的不同方法数
（1）完成一件事情共 有n类办法，关键词是 “分类”
（1）完成一件事情,共 分n个步骤，关键词是 “分步”
区 别
（2）每类办法都能独立 完成这件事情。
常州到杭州火车时刻表
常州到杭州汽车时刻表
由题意，画图得知 常州
火车 1 火车 2 火车3 火车 4 火车 5 火车 6
汽车1 汽车2
Ⅰ.乘火车，6种方法; Ⅱ.乘汽车，2种方法;
杭州
定义
做一件事情，完成它可以有2类方案，在 第一类方案中有m1种不同方法，在第二类方 案中有m2种不同方法，无论通过哪类方案的 哪种方法，都可以独立完成这件事，那么完 成这件事共有
解 选择一人去领奖，有2个方案 第一类方案：选男生有2+3=5种方法
2、分步乘法计数原理
某班级三好学生中男生有2人,女生有3人。从中 各选一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法？
男生
女生
男1
女1
男2
女2 23=6
女3
某班级三好学生中男生有2人,女生有3人。从中 各选一人去参加座谈会, 有多少种不同的选法？
中职数学课件8.1计数原理
种；第2步选择汽车颜色，有5个．共有k2=4×5=20种款式； 第3类：从丙厂生产的汽车中选择，分两步：第1步选择汽车型号，有5种；
第2步选择汽车颜色，有3个．共有k3=5×3=15 种款式． 解 根据分类计数原理和分步计数原理，不同的选择方法共有
3×4+4×5+5×3=47（种）．
8.1.3 计数原理的应用
第1类：乘坐高铁，从46个班次中任意选择一个，有k1 =46种选择； 第2类：乘坐汽车，从62个班次中任意选择一个，有k2=62种选择； 第3类：乘坐轮船，从4个班次中任意选择一个，有k3=4种选择． 解 根据分类计数原理，不同的选择共有 N=46+62+4=112（种）．
8.1.1 分类计数原理
8.1.3 计数原理的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
学校开展“我和我的祖国”书面展，要从8幅学生作品 中选出4幅分别挂在1—4号四个不同的展位上，一共有多少 种不同的挂法？
8.1.3 计数原理的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
分析 解决这个问题需要四个步骤：第一步，从8幅作品中选择1幅作 品挂在1号展位，有k1=8种不同的选择；第二步，从剩下的7幅作 品 中选择一幅挂在 2号展位上，有k2=7种不同的选择，以此类推，我们 可以用下图来表示．
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 书架上有9本数学书 、6本语文书、4本英语书．从书架上任取一 本，共有多少种不同的取法？
2.某地区山川秀美，3A 级景区有7个，4A 级景区有5个．某旅行团计 划从中任选一处景区游玩，有多少种不同的选法？
3.用一个大写的英文字母或0~9中的一个数字给新植的树苗进行编号， 一共能编出多少个不同的号码？
第2步选择汽车颜色，有3个．共有k3=5×3=15 种款式． 解 根据分类计数原理和分步计数原理，不同的选择方法共有
3×4+4×5+5×3=47（种）．
8.1.3 计数原理的应用
第1类：乘坐高铁，从46个班次中任意选择一个，有k1 =46种选择； 第2类：乘坐汽车，从62个班次中任意选择一个，有k2=62种选择； 第3类：乘坐轮船，从4个班次中任意选择一个，有k3=4种选择． 解 根据分类计数原理，不同的选择共有 N=46+62+4=112（种）．
8.1.1 分类计数原理
8.1.3 计数原理的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
学校开展“我和我的祖国”书面展，要从8幅学生作品 中选出4幅分别挂在1—4号四个不同的展位上，一共有多少 种不同的挂法？
8.1.3 计数原理的应用
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
分析 解决这个问题需要四个步骤：第一步，从8幅作品中选择1幅作 品挂在1号展位，有k1=8种不同的选择；第二步，从剩下的7幅作 品 中选择一幅挂在 2号展位上，有k2=7种不同的选择，以此类推，我们 可以用下图来表示．
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 书架上有9本数学书 、6本语文书、4本英语书．从书架上任取一 本，共有多少种不同的取法？
2.某地区山川秀美，3A 级景区有7个，4A 级景区有5个．某旅行团计 划从中任选一处景区游玩，有多少种不同的选法？
3.用一个大写的英文字母或0~9中的一个数字给新植的树苗进行编号， 一共能编出多少个不同的号码？
计数原理课件-2024届高三数学一轮复习
由分步乘法计数原理得到不同的涂色方案有5×4 ×3×3×3＝540(种)， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共 有180＋540＝720(种).
两个计数原理的综合应用
有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若
从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是
A.14
B.23
C.48
D.120
√
分两步：第1步，取多面体，有5＋3＝8(种)不同的取法； 第2步，取旋转体，有4＋2＝6(种)不同的取法.所以不同的取法种数是 8×6＝48.
对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 每个学生有4种选法，则三个学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确； 对于B，三人到4个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去， 即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)， 则甲工厂必须有同学去的安排方法有64－27＝37(种)，故B正确； 对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可， 有42＝16(种)安排方法，故C错误； 对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法， 故D正确.
1.已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种
数为
A.16
B.13
√C.12
D.10
将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走 法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种).
2.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要
设 I ＝ {1,2,3,4} ， A 与 B 是 I 的 子 集 ， 若 A∩B ＝ {1,2} ， 则 称 (A ， B) 为 一 个 “理想配集”.若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此 条件的“理想配集”有__9___个.
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10.1 计数原理 LOGO
练习1 练习 1
由石家庄去北京可以乘火车，也可 乘汽车，还可以乘飞机．如果一天 之内火车有4个班次，汽车有17个 班次，飞机有6个班次，那么，每 天由石家庄去北京有多少种不同的 方法？ 完成什么事 一步到位
4 17 6 27 （种）
说明：分步计数原理也叫乘法原则 注意：1 完成什么事
2 一步不到位
分 步 计 数 原 理
10.1 计数原理 LOGO
巩固知识
典型例题
例2 某校电子八班有男生26人，女生20人， 若要选男、女生各1人作为学生代表参加学校 伙食管理委员会，共有多少种选法？ 完成什么事？
解 这件事可以分成两个步骤完成： 第一步：从26名男生中选出1人，有 k1 26 种选法；
10.1 计数原理 LOGO
创设情境
兴趣导入
从唐华、张凤、薛贵3个候选人中， 选出2个人分别担任班长和团支部书记，会 有多少种选举结果呢？ 完成哪件事？ 是否可以“一步到位”不能
解决这个问题需要分步骤进行研究．第一步选 出班长，第二步选出团支部书记．每一步并不 能完成选举工作，只有各步骤都完成，才能完 成选举这件事．
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继续探索
读书 部分
活动探究
阅读教材
书面 作业
教材习题10．1 A组（必做） 10．1 B组（选做）
作 业
实践 调查
用分类或者分步计数原理解释 生活中的实例
10.1 计数原理 LOGO
LOGO
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10.1 计数原理—— 分步计数原理 石家庄市第七中学 李瑞霞
一般地，完成一件事，有n类方式．第1 类方式有种k1方法，第2类方式k2有种方 法，……，第n类方式有kn种方法，那么 完成这件事的方法共有 N=k1+k2+……kn （种） 这个计数原理 叫做分类计数原理
说明：分类计数原理也叫加法原则 注意：1 完成哪件事 2 一步到位
10.1 计数原理 LOGO
练习 2 2 练习
A 图1
B
如图1,该电路从A到B共有多 少种方法使一盏灯发光？
完成什么事？ 能否一步到位？
10.1 计数原理 LOGO
3种
A 图1 第一种方法
B
10.1 计数原理 LOGO
分析：分两类，第一类 由甲地经过乙地到丙地 有2×3=6种方法，第二 类由甲地经过丁地到丙 地有4×2=8种方法。所 以共有6+8=14种方法
甲地 乙地
丁地
丙地
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课堂小结
分步计数原理 说明：分步计数原理也叫乘法原则 注意：完成什么事 特点：一步不到位 分类计数原理 说明：分类计数原理也叫加法原则 注意：完成什么事 特点：一步到位
10.1 计数原理 LOGO
唐华 张凤
第一步选班长
3种方法
薛贵
第二步选团支书
2种方法
张凤
唐华
薛贵
唐华 薛贵
张凤
薛贵
唐华
张凤
3×2=6（种）
思考
第一步选团支书
第二步选班长
10.1 计数原理 LOGO
动脑思考
探索新知
完成一件事，需要分成n个步骤，做第 一步有k1种不同的方法，做第二步有k2种 不同的方法，……，做第n步有kn种不同 的方法，那么完成这件事有 N=k1×k2×…×kn 种不同的方法。上面的计数原理叫做分 步计数原理
LOGO
注意
有些较复杂的问题往往不是单纯的 “分类”“分步”可以解决的，而要 将“分类”“分步”结合起来运 用．一般是先“分类”，然后再在每 一类中“分步”， 综合应用分类计数 原理和分步计数原理．请看下面的例 题：
10.1 计数原理 LOGO
如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地 到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条 路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从 甲地到丙地共有多少种不同的走法？
A 图1 第二种方法
B
10.1 计数原理 LOGO
A 图1 第三种方法
B
10.1 计数原理 LOGO
创设情境
兴趣导入
有时候“完成一件事情”不能 “一步到位”，又该怎样解决呢？
从唐华、张凤、薛贵3个候选人中，选出2 个人分别担任班长和团支部书记，会有多 少种选举结果呢？
4 4 4 64 （种）．
完成什么事？ 三封信逐一投入 邮箱
能否一步完成？
否
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练习
有不同颜色的上衣5件，裤子3条 1 从中选一样送给某人，共有 5+3=8 -------------------- 种不同的选法
2 从中选一件上衣和一条裤子 送给某人，共有 -------------------5*3=15 种 不同的选法
男、女生各一人
能否一步完成？
第二步：从20名男生中选出1人，有 k2 20 种选法．
由分步计数原理有
N 26 20 520 （种）．
否
即共有520种选法．
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巩固知识
典型例题
例3 邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐 一投入邮筒，共有多少种投法？
解 分成三个步骤，每个步骤投一封信，分别均有4种方法． 应用分步计数原理，投法共有
10.1 计数原理 LOGO
运用知识
强化练习
1.两个袋子中分别装有10个红色球和6个白色球． 从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种 方法？
10×6=60
2. 王平同学有若干本课外参考书,其中外语5本, 数学4本,物理3本,化学2本,他欲带参考书到图 书馆看书: (1)若从这些参考书中带一本去图书馆,有多少 种不同的选法? 5+4+3+2=14 (2)若外语､数学､物理和化学参考书各带一本, 有多少种不同的选法? 5×4×3×2=120
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1
2个与3个的问题
2 石家庄可以安装多少部有线电话？
10.1 计数原理 LOGO
和分步计数原理的联系与区别？
联系：都是涉及“完成一件事的不 同方法的种数”的问题 。 分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中 的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）． 分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能 完成这件事（一步不到位）． 确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断 能否一次完成 ．