初三数学总复习——全等三角形
初三数学复习--三角形与全等三角形
三角形与全等三角形例1.三角形定义及边角关系两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm的范围是__________例2.三角形内外角和如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四∠+∠的度数是边形，则图中αχA．180 B．220 C．240 D．300例3.角平分线与线段中垂线如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为________.例4.、全等三角形的性质及判定1、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．．1、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．练习一1. (2012汕头)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11 D．162. （2012十堰）如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为（）A．60°B．75°C．90°D．105°3. （2012•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（）A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE4.如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC 的度数为________.二、填空题1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．2.如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，使ΔABC≌ΔDBE． (只需添加一个即可)3.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．4、如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是2cm， 则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和是 cm 2．三、解答题1．已知：如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED ．2.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ． 求证：BE =CD ．3.已知：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠C =90°,AB =AD =25，BC =32.连接BD ，AE ⊥BD ，垂足为E .（1）求证：△ABE ∽△DBC ;（2）求线段AE 的长.A B C。
2022年中考数学满分攻略全等三角形
2022年中考数学专题复习第4.3讲全等三角形★★★知识梳理★★★知识点一、全等三角形的概念和性质1．两个三角形叫做全等三角形.2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应.知识点二、全等三角形的判定1．全等三角形的判定方法：（1）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”；（2）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”；（3）基本事实：对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”；（4）对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”；（5）对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”；2．证明三角形全等的一般思路如下：（1）若已知两边对应相等，则找第三条边（SSS）或它们的夹角（SAS）或找直角（HL）（2）若已知两角对应相等，则找它们的夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；（3）若已知一边和邻角对应相等，则找这边的另一邻角（ASA）或找这边的对角（AAS）或找这个角的另一边（SAS）；（4）若已知一边和它的对角对应相等，则找一角（AAS）或已知角为直角的情况下，找一边（HL）.★★★中考典例剖析★★★考点一：平移类型例1 （2021·大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．【跟踪训练】1.（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．考点二：轴对称类型例2 （2021·杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，BE与CD相交于点F．若，求证：BE＝CD．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）【跟踪训练】2.（2021·吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE．3.（2021云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．考点三：一线三等角类型例3 （2021·南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．【跟踪训练】4.（2020·宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长考点四：旋转型例4 （2021·黄石）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．（1）求证：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的长．【跟踪训练】5.（2021·重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD例5 （2021·徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数.【跟踪训练】6.（2021·威海）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF·AC★★★真题达标演练★★★1.（2021·兰州）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：AC ＝DF．2.（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：（1）△ABE≌△DCF；（2）四边形AEFD是平行四边形．3.（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4.（2021·济宁）如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，请补充一个条件，使△ABC≌△ADC．5.（2021·台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝.（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．6.（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ）A ．∠ABC ＝∠DCB B ．AB ＝DC C ．AC ＝DBD ．∠A ＝∠D7.（2021·无锡）已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ． 求证：（1）△ABO ≌△DCO ；（2）∠OBC ＝∠OCB ．2108.（2021·南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．9.（2021·福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．10.（2021·成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD11.（2021·菏泽）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN．12.（2021·铜仁）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为，结论为；（2）证明你的结论．13.（2021·柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？14.（2021·广州）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF.证明：AE＝DF．15.（2021·怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．16.（2021·哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°17.（2021·齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）18.（2021·湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C 旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．19.（2020·黔东南）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．20.（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标（2，3），直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则C点坐标为.21.（2021·福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．（1）求证：∠ADE＝∠DFC；（2）求证：CD＝BF．22.（2021·西藏）如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．求证：AC＝CE．23.（2021·陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．2022年中考数学专题复习第4.3讲全等三角形★★★知识梳理★★★知识点一、全等三角形的概念和性质1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）、周长、面积分别对应相等.知识点二、全等三角形的判定1．全等三角形的判定方法：（1）基本事实：三边对应相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”；（2）基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”；（3）基本事实：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”；（5）斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”；2．证明三角形全等的一般思路如下：（1）若已知两边对应相等，则找第三条边（SSS）或它们的夹角（SAS）或找直角（HL）（2）若已知两角对应相等，则找它们的夹边（ASA）或其中一角的对边（AAS）；（3）若已知一边和邻角对应相等，则找这边的另一邻角（ASA）或找这边的对角（AAS）或找这个角的另一边（SAS）；（4）若已知一边和它的对角对应相等，则找一角（AAS）或已知角为直角的情况下，找一边（HL）.★★★中考典例剖析★★★考点一：平移类型例1 （2021·大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．【思路分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】证明：∵AD＝BE∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE∵AC∥DF∴∠A＝∠EDF又∵AC＝DF∴△ABC≌△DEF（SAS）∴BC＝EF【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.【跟踪训练】1.（2021·衡阳）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【解析】证明：∵AC∥DF∴∠CAB＝∠FDE∵BC∥EF∴∠CBA ＝∠FED 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC ≌△DEF （ASA ） 考点二：轴对称类型例2 （2021·杭州）在①AD ＝AE ，②∠ABE ＝∠ACD ，③FB ＝FC 这三个条件中选择其中一个，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB （不与点A ，点B 重合），点E 在AC 边上（不与点A ，点C 重合），连接BE ，BE 与CD 相交于点F ．若 ，求证：BE ＝CD ．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）【思路分析】若选择条件①，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“SAS ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件②，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ；选择条件③，利用∠ABC ＝∠ACB 得到AB ＝AC ，再证明∠ABE ＝∠ACD ，则可根据“ASA ”可判断△ABE ≌△ACD ，从而得到BE ＝CD ．【解析】证明：选择条件①的证明为： ∵∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC在△ABE 和△ACD 中 ∴△ABE ≌△ACD （SAS ） ∴BE ＝CD选择条件②的证明为：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FED CBA DEAB FDE CAB ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AE A A AC AB∵∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC在△ABE 和△ACD 中 ∴△ABE ≌△ACD （ASA ） ∴BE ＝CD选择条件③的证明为： ∵FB ＝FC ∴∠EBC ＝∠DCB ∵∠ABC ＝∠ACB ∴∠DBC ＝∠ECB 在△DCB 和△EBC 中 ∴△DCB ≌△EBC （SAS ） ∴BE ＝CD【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键. 【跟踪训练】2.（2021·吉林）如图，点D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C. 求证：AD ＝AE ．【解析】证明：在△ABE 与△ACD 中 ∴△ACD ≌△ABE （ASA ）⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠A A ACAB ACD ABE ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EBC DCB CBBC ECB DBC ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C B AC AB A A∴AD ＝AE3.（2021云南）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD ，AC 与BD 相交于点E ． 求证：∠DAC ＝∠CBD ．【解析】证明：在△DCA 和△DCB 中∴△CDA ≌△DCB （SSS ） ∴∠DAC ＝∠CBD 考点三：一线三等角类型例3 （2021·南充）如图，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．求证：AF ＝BE ．【思路分析】根据AAS 证明△BAE ≌△ACF ，再根据全等三角形的对应边相等即可得解． 【解析】证明：∵∠BAC ＝90° ∴∠BAE ＋∠FAC ＝90° ∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ∴∠BEA ＝∠AFC ＝90° ∴∠BAE ＋∠EBA ＝90° ∴∠EBA ＝∠FAC 在△ACF 和△BAE 中⎪⎩⎪⎨⎧===CD DC BD AC BC AD∴△ACF ≌△BAE(AAS) ∴AF ＝BE【点评】本题考查三角形全能的判定与性质，解题关键是根据已知条件证明△ACF ≌△BAE. 【跟踪训练】4.（2020·宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF 的周长，则只需知道（ ）A ．△ABC 的周长B ．△AFH 的周长C ．四边形FBGH 的周长D ．四边形ADEC 的周长【解析】∵△GFH 为等边三角形 ∴FH ＝GH ，∠FHG ＝60° ∴∠AHF ＋∠GHC ＝120° ∵△ABC 为等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，∠ACB ＝∠A ＝60° ∴∠GHC ＋∠HGC ＝120° ∴∠AHF ＝∠HGC ∴△AFH ≌△CHG （AAS ） ∴AF ＝CH∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形 ∴BE ＝FH∴五边形DECHF 的周长＝DE ＋CE ＋CH ＋FH ＋DF ＝BD ＋CE ＋AF ＋BE ＋DF ＝（BD ＋DF ＋AF ）＋（CE ＋BE ）＝AB ＋BC ∴只需知道△ABC 的周长即可 故选：A ．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BA AC EBA FAC BEA AFC考点四：旋转型例4 （2021·黄石）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF ∥AB ，DF 交AC 于E 点，DE ＝EF ．（1）求证：△ADE ≌△CFE ；（2）若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．【思路分析】（1）先根据CF ∥AB 可得∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ，再结合DE ＝EF 即可证明△ADE ≌△CFE （AAS ）；（2）由（1）得出AD ＝CF ，利用BD ＝AB ﹣AD 即可求解. 【解析】（1）证明：∵CF ∥AB ∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF 在△ADE 和△CFE 中 ∴△ADE ≌△CFE （AAS ） （2）∵△ADE ≌△CFE ∴AD ＝CF ＝4∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解决问的关键在于熟练掌握全等三角形的判定方法. 【跟踪训练】5.（2021·重庆）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FE DE F ADE FCE AA．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD【解析】证明：∵BF＝EC∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF又∵∠B＝∠E∴添加条件为AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故A不符合题意；添加条件为∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故B不符合题意；添加条件为AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；添加条件为AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故D不符合题意；故选：C．例5 （2021·徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F.（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数.【思路分析】（1）先证明∠ACE＝∠BCD，再证明△ACE≌△BCD（SAS）即可得到AE＝BD；（2）由△ACE≌△BCD得到∠A＝∠B，由对顶角得到∠ANC＝∠BNF，推出∠ACN ＝∠BFN＝90°，即可求得∠AFD的度数.【解析】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC∴∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD （SAS ） ∴AE ＝BD（2）解：如图，设AE 与BC 交于点N∵△ACE ≌△BCD ∴∠A ＝∠B对顶角性质可知：∠ANC ＝∠BNF ∵∠ACB ＝90° ∴∠A ＋∠ANC ＝90° ∴∠B ＋∠BNF ＝90°∴∠NFD ＝90°即∠AFD ＝90°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和与外角定理，解决问的关键在于找到全等的三角形. 【跟踪训练】6.（2021·威海）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠CAB ＝∠DAE ＝36°，AB ＝AC ，AD ＝AE ．连接CD ，连接BE 并延长交AC ，AD 于点F ，G ．若BE 恰好平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝∠AEB B ．CD ∥ABC ．DE ＝GED ．BF 2＝CF ·AC【解析】①∵∠CAB ＝∠DAE ＝36°∴∠CAB ﹣∠CAE ＝∠DAE ﹣∠CAE ，即∠DAC ＝∠EAB⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC EC BCD ACE BC AC又∵AB＝AC，AD＝AE∴△DAC≌△EAB（SAS）∴∠ADC＝∠AEB，故A选项不符合题意；②∵∠CAB＝∠DAE＝36°∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE＝36°由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°∴CD∥AB，故B选项不符合题意；③假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一个外角∴∠AEG＝∠EAB＋∠ABE而事实上∠AEG≠∠EAB＋∠ABE∴假设不成立，故C选项符合题意；④∵∠CAB＝∠CBF＝36°，∠C＝∠C＝72°∴△ABC∽△BCF∴BC2＝CF·AC又∵BC＝BF∴BF2＝CF·AC，故D选项不符合题意故选：C．★★★真题达标演练★★★1.（2021·兰州）如图，点E ，C 在线段BF 上，∠A ＝∠D ，AB ∥DE ，BC ＝EF.求证：AC ＝DF ．【解析】证明：∵AB ∥DE ∴∠B ＝∠DEF 在△ABC 和△DEF 中 ∴△ABC ≌△DEF （SSS ） ∴AC ＝DF2.（2021·新疆）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE ＝CF ．求证：（1）△ABE ≌△DCF ； （2）四边形AEFD 是平行四边形．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ∴∠ABE ＝∠DCF ＝90° 在△ABE 和△DCF 中 ∴△ABE ≌△DCF （SAS ） （2）∵四边形ABCD 为矩形⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC DEF B D A ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF BE DCF ABE DC AB∴AD ∥BC ，即AD ∥EF ，AD ＝BC ∵BE ＝CF∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF ∴AD ＝EF∴四边形AEFD 是平行四边形3.（2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别在取OC ＝OD ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【解析】证明：在△COM 和△DOM 中 ∴△COM ≌△DOM （SSS ）∴∠COM ＝∠DOM ，即OM 是∠AOB 的平分线 故选：D ．4.（2021·济宁）如图，四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠DAC ，请补充一个条件 ，使△ABC ≌△ADC ．【解析】当AB ＝AD 时，△ABC ≌△ADC （SAS ）； 当∠B ＝∠D 时，△ABC ≌△ADC （AAS ）； 当∠ACB ＝∠ACD 时，△ABC ≌△ADC （ASA ）；⎪⎩⎪⎨⎧===MD MC OM OM OD OC故答案为：AB ＝AD 或∠B ＝∠D 或∠ACB ＝∠ACD.5.（2021·台州）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝.（1）求证：△ABC ≌△ADC ；（2）当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数． 【解析】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中 ∴△ABC ≌△ADC （SSS ）（2）如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E∵BE ⊥AC ，∠BCA ＝45° ∴△BCE 为等腰直角三角形 ∴BE ＝BC ·sin45°＝10 在RT △ABE 中，，即∠BAE ＝30° ∵△ABC ≌△ADC ∴∠BAC ＝∠DAC∴∠BAD ＝2∠BAE ＝2×30°＝60°6.（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ）210⎪⎩⎪⎨⎧===AC AC DC BC AD AB 212010sin ===∠AB BEBAEA ．∠ABC ＝∠DCB B ．AB ＝DC C ．AC ＝DBD ．∠A ＝∠D【解析】在△ABC 和△DCB 中，∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC A ：当∠ABC ＝∠DCB 时，△ABC ≌△DCB （ASA ），故A 能证明； B ：当AB ＝DC 时，不能证明两三角形全等，故B 不能证明； C ：当AC ＝DB 时，△ABC ≌△DCB （SAS ），故C 能证明； D ：当∠A ＝∠D 时，△ABC ≌△DCB （AAS ），故D 能证明； 故选：B ．7.（2021·无锡）已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO ． 求证：（1）△ABO ≌△DCO ；（2）∠OBC ＝∠OCB ．【解析】证明：在△ABO 和△DCO 中 ∴△ABO ≌△DCO （AAS ） （2）由（1）知，△ABO ≌△DCO ∴OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB8.（2021·南京） 如图，AC 与BD 交于点O ，OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作EF ∥CD ，交BD 的延长线于点F ． （1）求证：△AOB ≌△DOC ；（2）若AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1，求EF 的长．【解析】（1）证明：∵OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC AB DCO ABO COD AOB又∵∠AOB ＝∠DOC ∴△AOB ≌△DOC （AAS ）（2）∵△AOB ≌△DOC ，AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1 ∴AB ＝DC ＝2，BE ＝BC ＋CE ＝3＋1＝4 ∵EF ∥CD ∴△BEF ∽△BCD ∴，即 ∴EF ＝9.（2021·福建）如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且DE ＝DF ，CE ＝BF ．求证：∠B ＝∠C ．【解析】证明：∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ∴∠DEC ＝∠DFB ＝90° 在△DEC 和△DFB 中 ∴△DEC ≌△DFB （SAS ） ∴∠B ＝∠C10.（2021·成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ）BC BE CD EF =342=EF 38⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BF CE DFB DEC DFDEA ．BE ＝DFB ．∠BAE ＝∠DAFC ．AE ＝AD D ．∠AEB ＝∠AFD【解析】由四边形ABCD 是菱形可得：AB ＝AD ，∠B ＝∠D A ：添加BE ＝DF ，可用SAS 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； B ：添加∠BAE ＝∠DAF ，可用ASA 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； C ：添加AE ＝AD ，不能证明△ABE ≌△ADF ，故符合题意；D ：添加∠AEB ＝∠AFD ，可用AAS 证明△ABE ≌△ADF ，故不符合题意； 故选：C ．11.（2021·菏泽）如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且∠ADM ＝ ∠CDN ，求证：BM ＝BN ．【解析】证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AD ＝CD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠C 在△AMD 和△CND 中 ∴△AMD ≌△CND （ASA ） ∴AM ＝CN∴AB ﹣AM ＝BC ﹣CN ，即BM ＝CN12.（2021·铜仁）如图，AB 交CD 于点O ，在△AOC 与△BOD 中，有下列三个条件：①OC ＝OD ，②AC ＝BD ，③∠A ＝∠B ．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）． （1）你选的条件为 ，结论为 ； （2）证明你的结论．【解析】（1）由AAS ，选的条件是：①，③，结论是：②；⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDN ADM CDAD C A（2）证明：在△AOC 和△BOD 中 ∴△AOC ≌△BOD （AAS ） ∴AC ＝BD13.（2021·柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？【解析】证明：在△DEC 和△ABC 中 ∴△DEC ≌△ABC （SAS ） ∴DE ＝AB14.（2021·广州）如图，点E 、F 在线段BC 上，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BE ＝CF. 证明：AE ＝DF ．【解析】证明：∵AB ∥CD ∴∠B ＝∠C 在△ABE 和△DCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OD OC BOD AOC B A ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB CE ACB DCE CA CD ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CF BE C B D A∴△ABE ≌DCF （AAS ） ∴AE ＝DF15.（2021·怀化）已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 、A 、C 、F 在同一直线上，AE ＝CF ．求证：（1）△ADE ≌△CBF ；（2）ED ∥BF ．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴DA ＝BC ，DA ∥BC ∴∠DAC ＝∠BCA∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∠BCA ＋∠FCB ＝180° ∴∠EAD ＝∠FCB 在△ADE 和△CBF 中 ∴△ADE ≌△CBF （SAS ） （2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ∴∠E ＝∠F ∴ED ∥BF16.（2021·哈尔滨）如图，△ABC ≌△DEC ，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ，若∠BCE ＝65°，则∠CAF 的度数为（ ）A ．30°B ．25°C ．35°D ．65°【解析】解：∵△ABC ≌△DEC ∴∠ACB ＝∠DCE ∵∠BCE ＝65°∴∠ACD ＝∠BCE ＝65°⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB AD FCB EAD CF AE∴∠AFC＝90°∴∠CAF＋∠ACD＝90°∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°故选：B．17.（2021·齐齐哈尔）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD∵AC＝AD∴当添加∠B＝∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED；当添加∠C＝∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当添加AB＝AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED．故答案为：∠B＝∠E或∠C＝∠或AB＝AE．18.（2021·湘西州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C 旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A ＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．【解析】（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB∴∠ECA＋∠ACD＝∠DCB＋∠ACD，即∠ECD＝∠ACB∵AC＝EC，CB＝CD∴△ACB≌△ECD（SAS）（2）解：∵CB ＝CD ，∠B ＝70° ∴∠DCB ＝180°－2×70°＝40° ∴∠ECA ＝∠DCB ＝40° ∵△ACB ≌△ECD ，∠A ＝10° ∴∠E ＝∠A ＝10°∴∠AFE ＝∠E ＋∠ECA ＝50°19.（2020·黔东南）如图1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形． 探究发现（1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用（2）若B 、C 、E 三点不在一条直线上，∠ADC ＝30°，AD ＝3，CD ＝2，求BD 的长． （3）若B 、C 、E 三点在一条直线上（如图2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD 的长．【解析】（1）△BCD 与△ACE 全等 证明：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形 ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB+∠ACD ＝∠DCE+∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE 在△ACE 和△BCD 中∴△ACE ≌△BCD （ SAS ） （2）由（1）得：△BCD ≌△ACE ∴BD ＝AE∵△DCE 是等边三角形⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CE BCD ACE BC AC∴∠CDE ＝60°，CD ＝DE ＝2 ∵∠ADC ＝30°∴∠ADE ＝∠ADC+∠CDE ＝30°+60°＝90° 在Rt △ADE 中， ∴BD ＝（3）如图，过A 作AF ⊥CD 于点F∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形 ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60° ∵B 、C 、E 三点在一条直线上∴∠BCA+∠ACD+∠DCE ＝180°，即∠ACD ＝60° 在Rt △ACF 中，AF ＝AC ·sin ∠ACF ＝1×＝，CF ＝AC ·cos ∠ACF ＝1×＝∴S △ACD ＝CD ·AF ＝×2×FD ＝CD ﹣CF ＝2－＝在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2+FD 2＝，即AD ＝ 20.（2021·深圳）如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标（2，3），直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为 .13232222=+=+=DE AD AE 132323212121212321233)23()23(22=+3【解析】如图，过点B 作y 轴的平行线l ，过点A 、C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点由题意及作图可知：B （﹣2，﹣3），D （2，﹣3） ∵∠ABD ＋∠CBE ＝90°，∠ABD ＋∠BAD ＝90° ∴∠CBE ＝∠BAD 在△ABD 与△BEC 中 ∴△ABD ≌△BEC （AAS ） ∴BE ＝AD ＝6，CE ＝BD ＝4 ∴C （4，﹣7） 故答案为：（4，﹣7）．21.（2021·福建）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，△EFD 是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．（1）求证：∠ADE ＝∠DFC ；（2）求证：CD ＝BF ．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AB BC BAD CBE ADB BEC【解析】（1）证明：∵△EFD 是以EF 为斜边的等腰直角三角形 ∴∠ADE ＋∠ADF ＝90° ∵∠ACB ＝90° ∴∠ADF ＋∠DFC ＝90° ∴∠ADE ＝∠DFC（2）证明：如图，连接AE平移性质可知：AE ∥BF ，AE ＝BF ∴∠EAD ＝∠ACB ＝90° ∴∠EAD ＝∠DCF ∵△EFD 是等腰直角三角形 ∴DE ＝FD由（1）可知：∠ADE ＝∠DFC 在△AED 和△CDF 中 ∴△AED ≌△CDF （AAS ） ∴AE ＝CD ∴CD ＝BF22.（2021·西藏）如图，AB ∥DE ，B ，C ，D 三点在同一条直线上，∠A ＝90°，EC ⊥BD ，且AB ＝CD ．求证：AC ＝CE ．⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FD DE CFD ADE DCF EAD【解析】证明：∵AB ∥DE∴∠B ＝∠D∵EC ⊥BD ，∠A ＝90°∴∠DCE ＝90°＝∠A在△ABC 和△CDE 中∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AC ＝CE23.（2021·陕西）如图，BD ∥AC ，BD ＝BC ，且BE ＝AC ．求证：∠D ＝∠ABC ．【解析】证明：∵BD ∥AC∴∠ACB ＝∠EBD在△ABC 和△EDB 中∴△ABC ≌△EDB （SAS ）∴∠ABC ＝∠D ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECD A CDAB D B ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB AC EBD C BD CB。
全等三角形(知识点讲解)
全等三角形(知识点讲解)全等三角形(知识点讲解)全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的核心内容之一。
在这篇文章中，我们将从定义、判定全等三角形的条件以及全等三角形的性质等方面进行讲解。
一、全等三角形的定义全等三角形指的是具有完全相同的三边和三角的三角形。
简而言之，在几何学中，当两个三角形的对应边长相等、对应角度相等时，我们称这两个三角形是全等的。
二、全等三角形的判定条件为了判断两个三角形是否全等，我们有以下几个常用的判定条件：1. SSS判定法：即边-边-边判定法。
当两个三角形的三条边分别相等时，它们就是全等的。
2. SAS判定法：即边-角-边判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角两边分别相等时，它们就是全等的。
3. ASA判定法：即角-边-角判定法。
当两个三角形的一对夹角和夹角对边分别相等时，它们就是全等的。
4. AAS判定法：即角-角-边判定法。
当两个三角形的两对夹角和一个非夹角边分别相等时，它们就是全等的。
需要注意的是，这些判定条件是相互独立的，即只要满足其中一种条件，就可以判定两个三角形是全等的。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下重要性质：1. 对应边对应角相等性质：全等三角形的对应边对应角相等。
即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF，并且∠A = ∠D,∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 全等三角形的任意一角都与对应角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 全等三角形的任意一边都与对应边相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么 AB = DE, AC = DF, BC = EF。
4. 全等三角形的外角相等：即若∆ABC≌∆DEF，那么∠BAC =∠EDF, ∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE。
通过以上性质，我们可以进行全等三角形的各种推理和计算。
四、全等三角形的应用全等三角形在几何学的应用非常广泛。
全等三角形知识点总结
全等三角形知识点总结全等三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础知识之一。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角分别相等。
全等三角形的性质和判定方法对于解题和证明都有很大的帮助。
下面我们来总结一下全等三角形的知识点。
1. 全等三角形的性质。
全等三角形的性质包括以下几点：（1）对应边相等，如果两个三角形全等，则它们的对应边相等。
（2）对应角相等，如果两个三角形全等，则它们的对应角相等。
（3）全等三角形的面积相等，如果两个三角形全等，则它们的面积相等。
2. 全等三角形的判定方法。
判定两个三角形是否全等有以下几种方法：（1）SSS判定法，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS判定法，如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
（3）ASA判定法，如果两个三角形的一对角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
（4）AAS判定法，如果两个三角形的两对角和一条边分别相等，则这两个三角形全等。
3. 全等三角形的应用。
全等三角形的性质和判定方法在解题和证明中有着广泛的应用，特别是在几何证明中常常会用到全等三角形的知识。
例如，通过证明两个三角形全等，可以推导出它们的其他性质，进而解决一些几何问题。
此外，在实际生活中，全等三角形的知识也有着一定的应用。
例如在建筑、工程等领域，利用全等三角形的性质可以进行测量、设计和施工等工作。
总之，全等三角形是几何学中的重要概念，掌握全等三角形的性质和判定方法对于学习和应用几何知识都具有重要意义。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和运用全等三角形的知识。
清单02全等三角形(8个考点梳理题型解读核心素养提升中考聚焦)(原卷版)
清单02 全等三角形（8个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦）【知识导图】【知识清单】考点一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．1．（2022秋•剑阁县期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形2．（2022秋•东莞市期末）下列各组图形中，是全等形的是（）A．两个含60°角的直角三角形B．腰对应相等的两个等腰直角三角形C．边长为3和4的两个等腰三角形D．一个钝角相等的两个等腰三角形考点二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．3．（2022秋•庄河市期末）如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．50°B．71°C．58°D．59°4．（2022秋•丹阳市校级期末）已知△ABC≌△DEF，AC＝9cm，则DF＝cm．考点三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2022秋•莘县期末）如图，BC＝BD，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD 的是（）A．AC＝AD B．∠BAC＝∠BAD C．∠ABC＝∠ABD D．∠C＝∠D＝90°6．（2022秋•嘉鱼县期末）如图，点A、D在线段BC的两侧，且∠A＝∠D＝90°．试添加一个条件，使△ABC≌△DBC．并写出证明过程．7．（2023春•渠县校级期末）已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．8．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．考点四．直角三角形全等的判定1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．9．（2022秋•衡山县期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等10．（2022秋•磁县期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（）A．AC＝AD或BC＝BD B．AC＝AD且BC＝BDC．∠BAC＝∠BAD D．以上都不对11．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．求证：△ADE≌△BEC．12．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．13．（2022秋•雄县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．考点五．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2022秋•大田县期末）如图，正方形ABCD是一张边长为12cm的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中P，Q，R三点分别在边CD，AD，BC 上，且PD＝2DQ，PC＝CR．（1）若DQ＝x，将△PDQ的面积用含x的代数式表示；（2）五边形PQABR的面积是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•荣昌区期末）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．（1）求证：BE＝CF；（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．16．（2022秋•宿城区校级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE．17．（2022秋•孝南区期末）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝21，EC＝9，求BC的长．考点六．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．18．（2023春•长安区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．19．（2022秋•永城市校级期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D 在l的异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10cm，BF＝3cm，求FC的长．20．（2022秋•新化县期末）【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．考点七．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE21．（2022秋•双流区期末）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥AB，BD平分∠ABC交AD于D 点．（1）求证：∠ADE＝∠AED；（2）若AB＝6，CE＝2，求△ABE的面积．22．（2022秋•巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，此时点E恰为AB的中点．（1）求∠CAD的大小；（2）若BC＝9，求DE的长．考点八．作图—尺规作图的定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．23．（2022秋•长安区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（）A．B．C．D．24．（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【核心素养提升】逻辑推理——构建全等三角形进行证明1．（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝．2．（2022秋•江岸区期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD且AC＝5，将BC沿BA方向平移至AE，连接CE、DE，若以AC、BD和DE为边构成的三角形面积是，则DE ＝．3．（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C 在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【中考热点聚焦】热点1.三角形全等的判定1．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．2．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．热点2.三角形全等的判定和性质的综合应用3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．5．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．6．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．7．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．8．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．热点3.三角形全等的实际应用9．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC 10．（2022•百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面积．热点4.角的平分线的性质11．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．12．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．。
专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。
初中教育数学全等三角形知识点总结材料及复习
适用标准全等三角形知识点总结及复习一、知识网络对应角相等性质对应边相等全等形全等三角形判断角均分线边边边SSS边角边SAS应用角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图性质与判断定理二、根基知识梳理〔一〕、根本观点1、“全等〞的理解全等的图形一定知足：〔1〕形状相同的图形；〔2〕大小相等的图形；即能够完整重合的两个图形叫全等形。
相同我们把能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义：能够完整重合的两个三角形称为全等三角形。
〔注：全等三角形是相像三角形中的特别状况〕当两个三角形完整重合时，相互重合的极点叫做对应极点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
由此，能够得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边必定是对应边；(4)有公共角的，角必定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角必定是对应角；2、全等三角形的性质〔 1 〕全等三角形对应边相等；〔2〕全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判断方法（1 〕三边对应相等的两个三角形全等。
（2 〕两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3 〕两角和此中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4 〕两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5 〕斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角均分线的性质及判断性质：角均分线上的点到这个角的两边的距离相等判断：到一个角的两边距离相等的点在这个角均分线上〔二〕灵巧运用定理1、判断两个三角形全等的定理中，一定具备三个条件，且起码要有一组边对应相等，所以在找寻全等的条件时，老是先找寻边相等的可能性。
2、要擅长发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要擅长灵巧选择适合的方法判断两个三角形全等。
（1〕条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等〔 ASA 〕②任一组等角的对边相等 (AAS)①夹角相等 (SAS) ②第三组边也相等(SSS)〔3 〕条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)〔三〕经典例题例 1. ：以下列图，AB=AC ，，求证：.例 2. 以下列图，：AF=AE ， AC=AD ， CF 与 DE 交于点 B。
九年级中考数学专题复习-全等三角形专题
全等三角形的判定专题1．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF．2．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．3．已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG＝5，求AB的长．4．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．求证：OB＝OC．5．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：CB＝CD．6．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E．7．如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2（1）请你添加一个条件使△ABC≌△DEC，你添加的条件是；（2）添加条件后请证明△ABC≌△DEC．8．如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE．求证：∠A＝∠C．9．如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E 作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB＝EF．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME ∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．11．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．12．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC．（1）求证：点F为AB的中点；（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值．13．如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，则∠ADC＝°．14．如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．15．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC＝AD．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．16．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC＝60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△ABC≌△EAF；（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF．18．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE．求证：BE＝CD．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若AD＝2，∠DAC＝30°，求AC的长．20．四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE．（1）求证：EC＝DA；（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．23．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE＝∠CDF，求证：BE＝DF．24．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG＝CE；（2）求证：AG⊥CE．25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．26．如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE+EA＝8，⊙O的半径为10，求△OAF的面积．。
全等三角形—知识讲解及典型例题解析
中考总复习：全等三角形—知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO与△AFO中，∵AE AFEAO FAO AO AO=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 .如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个B【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。
全等三角形知识点
全等三角形知识点摘要：全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它指的是两个三角形在形状和大小完全相同的情况下，它们的对应边和对应角完全相等。
本文将详细介绍全等三角形的定义、性质、判定条件以及在几何题中的应用。
关键词：全等三角形、对应边、对应角、判定条件、几何应用1. 全等三角形的定义全等三角形（Congruent Triangles）指的是两个三角形在几何形状和大小上完全相同，即它们的所有对应边和对应角都相等。
在数学符号中，我们通常用“≌”来表示全等。
2. 全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：- 对应边相等：两个全等三角形的对应边长度完全相同。
- 对应角相等：两个全等三角形的对应角度数完全相同。
- 对应边上的高相等：两个全等三角形对应边上的高（垂直于边的线段）长度也相等。
- 对应角的平分线相等：两个全等三角形对应角的角平分线长度相等。
- 对应边上的中线相等：两个全等三角形对应边上的中线（连接顶点和对边中点的线段）长度相等。
3. 全等三角形的判定条件要判定两个三角形是否全等，可以通过以下几种条件：- SSS（边边边）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
- SAS（边角边）：如果两个三角形有两边及它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
- ASA（角边角）：如果两个三角形有两角及它们之间的边分别相等，那么这两个三角形全等。
- AAS（角角边）：如果两个三角形有两角及其中一角的对边分别相等，那么这两个三角形全等。
- HL（直角边-直角边）：对于直角三角形，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
4. 全等三角形在几何题中的应用全等三角形的概念在解决几何问题时非常有用，尤其是在涉及角度和长度计算的问题中。
通过识别和证明三角形全等，我们可以得出隐藏的边长和角度关系，从而解决复杂的几何构造问题。
5. 结论全等三角形是几何学中的一个基础概念，它在解决几何问题中扮演着关键角色。
初三复习专题--全等三角形
•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一 是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件 不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C， 三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能 直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法， 会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两 个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形 中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力 和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的 基础，因此它自然是中考必考知识点，同 窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根 据条件不能较顺利的得到结论，这时添加 必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的 延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线 上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。
数学中考总复习：全等三角形—知识讲解
数学中考总复习：全等三角形一知识讲解【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2•探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2.全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等； (2 )全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等3.全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( ASA;(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来. 应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.2.条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件•解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案.3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边 或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.常见的几种辅助线添加：① 遇到等腰三角形， 可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的② 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③ 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④ 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤ 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法，适合于证明线段的和、差、 倍、分之类的题目.【典型例题】类型一、全等三角形 1.如图，BD CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高，点 P 在BD 的延长线上，BP=AC . 上，CQ=AB 求证：(1) AP=AQ (2) API AQ 【思路点拨】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题.【答案与解析】证明：(1)T BD CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高,•••/ 1 + Z CAE=90，/ 2+Z CAE=90 .•••/ 仁/2,•••在△ AQC^A PAB 中，“对折”；Q 在CECQ = AB-Zl= Z2AC^BP:.△PAB ••• AP=AQ.(2) •/ AP=AQ / QAC2 P,•••/ PAD+Z P=90°,•••/ PAD+Z QAC=90，即/ PAQ=90• API AQ【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找举一反三:【变式】（2015?永州）如图，在四边形ABCD中,Z A=Z BCD=90 , BC=DC延长AD到E点，使DE=AB (1)求证：Z ABC玄EDCABCD 中，T Z BAD= Z BCD=90 °,•90 ° Z B+90 ° Z ADC=360 ° °•Z B+ Z ADC=180 °又 T Z CDE+ Z ADC=180 °•Z ABC= Z CDE ,(2)连接人。
初中全等三角形知识点
初中全等三角形知识点一、全等三角形的概念。
1. 定义。
- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
- 重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
例如，若ABC与DEF全等，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点；AB 与DE、BC与EF、AC与DF是对应边；∠ A与∠ D、∠ B与∠ E、∠ C与∠ F是对应角。
2. 表示方法。
- 全等用符号“≅”表示，读作“全等于”。
例如ABC≅ DEF。
书写时，对应顶点的字母要写在对应的位置上。
二、全等三角形的性质。
1. 对应边相等。
- 如果ABC≅ DEF，那么AB = DE，BC=EF，AC = DF。
2. 对应角相等。
- 若ABC≅ DEF，则∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。
三、全等三角形的判定。
1. SSS（边边边）- 三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如，在ABC和DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC=DF，则ABC≅DEF。
2. SAS（边角边）- 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 比如在ABC和DEF中，AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，那么ABC≅DEF。
这里要注意必须是两边的夹角相等。
3. ASA（角边角）- 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 假设在ABC和DEF中，∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，则ABC≅DEF。
4. AAS（角角边）- 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 例如在ABC和DEF中，∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。
5. HL（斜边、直角边）（适用于直角三角形）- 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），则Rt ABC≅ Rt DEF。
四、全等三角形的应用。
1. 证明线段相等。
全等三角形复习专题
全等三角形复习专题全等三角形是初中数学中的重要内容，它不仅是几何学习的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
为了帮助大家更好地掌握这一知识点，下面我们来进行一次全面的复习。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
“完全重合”意味着它们的形状和大小都完全相同，对应边相等，对应角也相等。
例如，两个三角形的三条边分别为 3cm、4cm、5cm，且三个角分别为 30°、60°、90°，如果将它们叠放在一起能够完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度是一样的。
比如△ABC≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等。
同样，若两个三角形全等，它们的对应角的度数也是相同的。
例如在上面的例子中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的周长相等，面积相等。
因为全等三角形的边和角都对应相等，所以它们的周长和面积自然也相等。
三、全等三角形的判定1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么△ABC≌△DEF。
2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么△ABC≌△DEF。
3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么△ABC≌△DEF。
4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容之一。
本文将对三角形全等的概念、判定条件以及性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用全等三角形知识。
一、全等三角形的概念全等三角形是指具有相等对应边长和对应角度的两个三角形。
形象地说，即两个三角形的所有对应部分完全重合。
二、全等三角形的判定条件1. SSS 判定法当两个三角形的三条边分别相等时，即两组对应边长完全一致，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，BC = QR，CA = RP，则△ABC ≌△PQR.2. SAS 判定法当两个三角形的两对边长相等，并且这两组对应边之间的夹角也相等时，即一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，BC = QR，∠B = ∠Q，则△ABC ≌△PQR.3. ASA 判定法当两个三角形的两对夹角相等，并且这两组对应边之间的夹角也相等时，即一个三角形的两夹角和边分别等于另一个三角形的两夹角和边，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若∠A = ∠P，∠B = ∠Q，BC = QR，则△ABC ≌△PQR.4. RHS 判定法当两个直角三角形的斜边和一个锐角（或钝角）的任意一条直角边相等时，即一个直角三角形的斜边和一个锐角（或钝角）的任意一条直角边分别等于另一个直角三角形的斜边和同样的一个锐角（或钝角）的直角边，那么这两个直角三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，∠B = ∠Q，AC = PR，则△ABC ≌△PQR.三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角分别相等。
2. 全等三角形的对应高相等。
3. 全等三角形的对应中线相等。
4. 全等三角形的对应角平分线相等。
5. 全等三角形的对应边上的中垂线和角平分线相等。
中考数学点对点-全等三角形判定与性质定理(解析版)
【解析】求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．
证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
∵ ，
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）.
D．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误。
【例题2】（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．
【答案】BD＝CD．
【解析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形
第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角 。
(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角 形的周长 _________ ，面积 _________ 。
2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。
微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。
二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。
2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。
3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。
2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。
注意分清题设和结论。
高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。
(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。
中考数学复习资料之全等三角形的公式
中考数学复习资料之全等三角形的公式中考数学复习资料之全等三角形的公式中考数学复习资料之全等三角形的公式一般来说考试中出现的线段和角相等需要证明全等，我们可以用全等的相应知识点来解题。
例1、已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点.求∠EBG的度数和CE 的长.分析：(1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE;△ABE≌△ACD，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG.(2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得∠EBG等于160°.(3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得：CE=CA-AE=BA-AD=6.解：∵△ABE≌△ACD∠C= 20°(已知)∴∠ABE=∠C=20°(全等三角形的对应角相等)∴∠EBG=180°-∠ABE=160°(邻补角的意义)∵△ABE≌△ACD(已知)∴AC=AB(全等三角形对应边相等)AE=AD(全等三角形对应边相等)a∴CE=CA-AE=BA-AD=6(等式性质)分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
全等三角形专题复习(含练习讲评)
一、全等三角形注: ① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等. 2. 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1: 如图, 在△ABE 中, AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证: （1） △ABC ≌△AED ； （2） OB ＝OE .例2: 如图所示, 已知正方形ABCD 的边BC.CD 上分别有点E 、点F, 且BE ＋DF ＝EF, 试求∠EAF 的度数.AD F例3.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, AE是BC的中线, 过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB 交CF的延长线于点D。
(1)求证：AE=CD, （2)若BD=5㎝,求AC的长。
例4:如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB.AC边翻折180°形成的, 若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3, 则∠a的度数为例5: 如图: 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D是AB上一点, AE⊥CD于E, BF⊥CD交CD的延长线于F.求证: AE=EF+BF。
练习:1.已知: 如图5—129, △ABC 的∠B.∠C 的平分线相交于点D, 过D 作MN ∥BC 交AB.AC 分别于点M 、N, 求证:BM ＋CN ＝MN2.如图（13):已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD , BC=DE ,请你判断AC 垂直于CE 吗？ 并说明理由。
3.如图(14）,已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D , 试说明（1)DE ∥BF (2)AE=CFFDCABE(14)4.如图: 在△ABC中, ∠BAC=90°,∠ABD= ∠ABC, DF⊥BC, 垂足为F, AF交BD于E。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．证明三角形全等的思路
找夹角 (1)已知两边找直角
找另一边
(2)已知一边一角
边为角的对边时，找另一角
找夹角的另一边 边为角的邻边时找夹边的另一角
找边的对角
(3)已知两角找找夹任意边一边
1判定三角形全等必须有一组对．应．边．相．等．； 2判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定.
考点复习
第八单元 三角形
第二讲 全等三角形
知识点考查
知识考点点三1 全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角分别相等； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等．
知识考点点2四 全等三角形的判定
1．一般三角形全等的判定 (1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)； (2) 如 果两 个 三 角形 有 两边 及 其 夹角 分 别 对应 相 等 ，那 么 这 两个 三 角 形全 等 ， 简记 为 (SAS)； (3) 如 果两 个 三 角形 的 两角 及 其 夹边 分 别 对应 相 等 ，那 么 这 两个 三 角 形全 等 ， 简记 为 (AS A)； (4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为 (AAS)． 2．直角三角形全等的判定 (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等； (2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全 等．简记为(HL)．
分析：先作一个角等于已知角， 即∠MBN=∠O， 在边BN上截取BC=a， 以射线CB为一边，C为顶点， 作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A， △ABC即为所求．
O a
宝典●能力提升 P72页
12.（13.昆明）已知：如图，AD,BC相交于点O，OA=OD,AB∥CD 求证：AB=CD
证明：
∵ AB∥CD， ∴ ∠B=∠C，∠A=∠D， ∵ 在△AOB和△DOC中，
B
图1
C
B 图2
【解题思路】 图1点C在圆外，要画三角形的高， 就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线， 但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段）， 说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在）， 作高就是要构造90度角， 显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”. 设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE； 同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD， 则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；
解：根据图象可知△ACD和△ADE全等， 理由是： ∵根据图形可知 AD=AD，AE=AC，DE=DC， ∴△ACD≌△AED， 即△ACD和△ADE全等
宝典●能力提升 P72页
9.（13.雅安）如图，AB∥CD,AD平分∠BAC，∠C=80º，∠D 的度数为（ A ） A.50º B.60º C.70º D.100º
A
B
O
C
D
∴ △AOB≌△DOC（SSA）， ∴ AB=CD．
宝典●能力提升 P73页 13.（13.江西）如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外， 图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图 （1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点 （2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高
C
A A
10.（12.贵州铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分
线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M,交AC与N，BM+NC=9,
则线段MN的长为（ D ） A.6 B.7
C.8
D.9
A
A
B
C
D
第9题图ME NhomakorabeaN
B
C
第10题图
宝典●能力提升 P72页
11.（13.鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作 △ABC，使BD=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域内作 图，保留作图痕迹，不写作法）
宝典●能力提升 P71页
1.(12.嘉兴）如图，Rt△ABC中，∠C=90º，AD平分∠BAC，交BC于
点D，CD=4，则点D到AB的距离为＿＿4＿＿＿＿
2.（13.娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条
件是＿A＿E=＿A＿D ＿＿＿或∠Ｂ＝∠Ｃ，∠ＡEＢ＝∠AＤC
3.（13.绥化）如图，A,B,C三点在同一条直线上，∠Ａ＝∠C＝
９０º，ＡＢ＝ＣＤ，请添加一个适当的条件＿B＿E=＿B＿D ＿，使得
△EAＢ≌△ＢCＤ
或AE=BC,∠E=∠ＣＢＤ，∠AＢE＝∠Ｄ
A
C
E
E
D
A
B
DC
D
第1题图
第2题图
B
A
B
C
第3题图
宝典●能力提升 P71页 4.（13.天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与 BD相交 于点Ｏ，请写出图中一组相等的线段＿A＿C＿=B＿D＿ 或AD=BC
5.（12.临沂）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º,BC=2cm,CD⊥AB， 在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作 EF⊥AC交CD的延长线于点F，
若EF=5cm，则AE=＿＿3c＿m ＿
A
D
C
Ｏ
E
F
D
A
B
第4题图
C
B
第5题图
宝典●能力提升 P71~72页
6.（13.安顺）如图，已知AE=CF, ∠AFD=∠CEB,那么添加下列 一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ B ） A. ∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
7.（13.陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD，若连
接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ C ）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
A
D A
E
B 第6题图
F C
B D
第7题图 C
宝典●能力提升 P72页
8.（13.台湾）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面 上的情形，根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一 个三角形全等（ B ） A. △ACF B. △ADE C. △ABC D. △BCF