离散数学复习题答案

离散数学复习题答案

一、填空题

1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ∅, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.

2. 27

933,3,3. 3. 0)(↓∨q p . 4. {{a , b }, a , b , ∅}， {{a , b }, a , b }，16. 5. 92, 27. 6. 2

2,2,m mn mn . 7. g , g , g . 8. 1,2,4.

9. 32，0，30. 10. ))()(())()((x G x F x x F x G x ⌝∧∃∧→∀. 11. ∅，X ，X . 12. ∈，∈，⊆. 13. {(1,5), (3, 2), (2, 5)}, {(4, 2), (3, 2), (1, 4)}, {(1, 2), (2, 2)}. 14. 12, 144. 15. {1, 3, {1, 2}, {3}}；{{2, 3}, {1}}；{1, 3, {1, 2}, {3}, {2, 3}, {1}}. 16. 0，1，0. 二、选择题

1(C); 2(A); 3(D). 4(B); 5(D); 6(C). 7(C); 8(A); 9(D). 10(C); 11(D); 12(D); 13(A). 14(D); 15(B); 1(B); 17(C); 18(A). 三、计算与证明

1、证 1）对于任意∈x N ，由于x x x 2=+是偶数，于是R x x ∈),(，因此R 是N 上的自反关系.

对于任意∈y x ,N ，若R y x ∈),(，则y x +是偶数，即x y +是偶数，于是R x y ∈),(，因此R 是N 上的对称关系.

对于任意∈z y x ,,N ，若R y x ∈),(且R z y ∈),(，则y x +是偶数且z y +是偶数，于是y z y y x z x 2)()(-+++=+是偶数，进而R z x ∈),(，因此R 是N 上的传递关系.

综上所述，R 是N 上的等价关系.

2）N 关于等价关系R 的所有等价类为,...}6,4,2,0{]0[=R 和,...}7,5,3,1{]1[=R . 3）令⎩⎨

⎧=→是奇数

是偶数

x x x f f ,1,0)(,N N :，显然)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.

2、解 1） R 的关系图R G 如下：

2）(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.

(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.

(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的.

综上所述，所给R 是传递的.

3）R 的关系矩阵⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=011101110000

0111

R M . 3、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:

p , q , r )(r q p →→

)(p q r →→

A 1, 1, 1 1 1 1 1, 1, 0 0 1 0 1, 0, 1 1 1 1 1, 0, 0 1 1 1 0, 1, 1 1 0 0 0, 1, 0 1 1 1 0, 0, 1 1 1 1 0, 0, 0

1

1

1

由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为

).

()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p A ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=

a b c

d

A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.

4、证 不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知

n v m v

5)deg(2≥=∑.

于是m n 52≤

，进而65

2

363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .

5、证 (1) 显然，B A A B A ⊆⇔=⋂.

(2)可以证明：B A A B B A =⇔-=-.

(⇐)当A = B 时，A – B = ∅且B – A = ∅, 于是A B B A -=-.

(⇒)假定A B B A -=-，先证明B A ⊆: 对于任意A x ∈，若B x ∉，则B A x -∈，进而A B x -∈，根据差运算定义知B x ∈，与B x ∉矛盾. 所以B x ∈，因此B A ⊆. 同理可证A B ⊆. 故A = B .

(3)容易证明：=⇔=-⋃-B A A B B A )()(∅.

(⇐)显然.

(⇒)(反证)若B ≠ ∅，则存在B x ∈. 分两种情况讨论：若A x ∉，则A B x -∈，由于

A A

B B A =-⋃-)()(，于是A x ∈，矛盾；若A x ∈，则B A x -∉且A B x -∉, 进而

A x ∉，矛盾. 证毕.

6、证 1）对于任意x ∈ R , 因为03

=-x

x 是整数，所以(x , x ) ∈ S ，即S 是R 上的自反关系. 2）对于任意x , y ∈ R , 若(x , y ) ∈ S ，则3y x -是整数，而3

3y

x x y --

=-也是整数，于是(y , x ) ∈ S .

3）对于任意x , y , z ∈ R , 若(x , y ) ∈ S 且(y , z ) ∈ S ，则

3y x -是整数且3

z

y -是整数. 由于3

33z

y y x z x -+

-=-是整数，由此得出(x , z ) ∈ S . 综上所述，知S 是R 上的等价关系.

7、证 ==⇔=-B A B B A ∅. (⇐)显然.

(⇒)因为B A B A ⋂=-，根据B B A =-得B B B B A ⋂=⋂⋂)(，于是B = ∅，进而A = ∅.

8、解 由于R 和S 是对称的，所以S S R R

==--11

,.