异分母分式加减法
《异分母分式的加减法》课件
4x 36 x 2 y 2
3
例题&解析
☞ 计算：
5 2 3 2 2 6a b 3ab 4abc
先找出最简 公分母,再通分,转 化为同分母的分 式相加减.
10 bc 8 ac 9 ab 解：原式= 2 2 2 2 2 2 12 a b c 12 a b c 12 a b c
最简公分母是： x
y (x+y) (x-y)2
若分式的分子、分母是多项式,能分解因式 的要先分解因式,再确定最简公分母.
y 通分： 4 x 2
2 y y 9 y 2 4x 4 x2 9 y2
5 6 xy
2 2
x 9 y2
解：最简公分母是 36 x y
9 y3 36 x 2 y 2
5 30 xy 5 6 xy 2 2 6 xy 36 x y 6 xy 6 xy
2 2
b a b 2b a 3a 2、 3a 2b 3a 2b 2b 3a
2 2 2b 3a 2b + 3a = = + 6ab 6ab 6ab
例题&解析
☞
计算：
1 6 (1) 2 ; x 3 x 9
x 3 6 解： (1) 原式 （x 3） ( x 3) ( x 3)(x 3) x 3 6 （x 3)(x 3)
xy ( x y)
x y xy
2 x 2( x 2)( x 2)
1 2( x 2)
例题&解析
1 计算： x 1 1 x 1 解: x 1 1 x x 1 1 1 1 x ( x 1)(1 x) 1 1 x 1 x ( x 1)(1 x) 1 1 x 1 x2 1 2 x2 1 x 1 x
异分母的分式加减法_例题1.doc.docx
《分式的加减法》例题精讲与同步练习【基础知识精讲】1. 分式的通分(1) 把几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式叫做通分.(2) 通分的依据是分式的基本性质， 通分的关键是确定最简公分母 . 最简公分母由下面的方法确定：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; (3) 如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解 .2. 分式的加减法 (1) 同分母的分式加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 即：a b a bc cc(2) 异分母的分式加减法异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 即：acadbcadbcbdbdbdbd3. 分式的混合运算分式的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序:先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，若是同级混合运算按从左到右的顺序进行 .【重点难点解析】1.重点难点分析重点 ：是掌握通分的方法和分式的加减运算；难点 ：是异分母的分式的加减法运算和分式的四则混合运算2. 典型例题解析.例 1通分x 1 5 xx 7 2，x2，22x 3x3x 2x 6 x解∵x 2+3x+2=(x+1)(x+2)x 2-x-6=(x-3)(x+2) 2x -2x-3=(x-3)(x+1) ∴它们的最简公分母为 (x+1)(x+2)(x-3)∴x 1 ( x 1) ( x 3) 23x 2( x 1)( x 2) (x 3)x=x 2 4x3( x 1)( x 2)( x 3)5 x (5 x) ( x1)x 2 x 6( x 3)( x 2) ( x 1)=x 26x 5( x 1)( x2) ( x3)x 7(x7) (x2)x 2 2x 3 ( x 3)( x 1) ( x 2)=x 2 5x 14(x 1)( x 2)( x 3)例 2计算 3a 2 5a 2a 2 5a 1 2a 2 2a 2 1a 2 1 1 a 2解原式 3a 2 5a2a 2 5a1 2a 22=1a 2 1a 21a 2=(3a 25a)(2a 25a1) (2a 22)a21=3a 2 5a2a 2 5a 1 2a 22a21=3a 23=3a 2 1点评 在做减法时，分避免出错，最好添上一个括号，去括号时注意变号 .例 3计算x 2x2x 2x 25x6x解原式 =x 2x1)( x2) ( x 2)( x3)(x=(x2)( x 3) x( x1)( x1)( x 2)( x 3)=x 2 x 6 x 2 x(x1)( x 2)( x 3)=2x 6(x1)( x 2)( x 3)=-2x6( x1)( x 2)( x3)例 4计算1221x 2 x 1 x 1 x 2分析此 若将 4 个分式同 通分，分子将是很复 的， 算比 麻 . 分 察其特点，把一、四和二、三两个分式分 先相加，由于分子的一次 相加后和 零，使 算 .解原式 =(x2) (x 2) 2( x 1) 2( x 1)( x 2)(x2)(x 1)( x 1)=44(x 2)( x2) ( x 1)( x 1)=4( x 1)( x1) 4(x 2)( x2)( x 2)( x2)( x 1)( x 1)=12(x2)( x 1)( x1)( x 1)例 5算x1 3( x 1)2 .x 4 x 2分析 此 如果直接通分， 运算 必十分复 ， 当各分子的次数大于或等于分母的次数，可利用多 式除法，将其分离 整式部分与分式部分的和再加减会使运算 便.解原式 =(x4) 3 3( x 2) 32x 4x 2 =1+x 3(3x 3 ) +24 2=3 3x 4x2=3( x 2) 3( x 4)( x 2)( x 4)=6(x 2)( x 4)【 巧解点 】例 6算1 21 +⋯⋯ +11 2 3n(n 1)分析若先通分，再相加，可以 无从下手，但若注意到1=11 ，先分后合，将使 算容易 行.解11+⋯⋯+n(n 1) nn 111 2 2 3n(n 1)1 1 1 1 1 1 )=( )+(2 )+ ⋯⋯ +(n12 3n1=1-1n 1n=1n【 本 解答】P87A 5(5) B 3(2)算 1.(x-y+4xy)(x+y- 4xy)xyx y2.xy 2x 4 yx 2x y x y x 4y 4x2y2(x y) 24xy ( x y) 2 4 xy解 1. 原式=[ x yx ][x yx ]y y=( x y) 2 (x y)222xy x=(x+y)(x-y)=x-yy2.原式 = xy 2x 4 yx 2y 2x2y 2( x 2 y 2 )(x 2 y 2 ) x 2=xy 2x 2 y xy 2x 2 y xy( y x) x 2y2x2y2x2y2(x y)( xy)=- xyxy注： (1) 中将 x-y ，x+y 看作一个整体通分，比逐一通分 便，注意 一技巧， 算最后果不写成乘 式而是多 式（或 式）(2) 中注意运算 序（先乘除、后加减）最后 果能 分要 分，化 最 分式.【典型 点考 】例 7 算 1-(x-1 2x 2x 1 （武 中考 ）x) ÷2x11 x 2解 原式 =1-(x 2x 1 ) 2· (x 1) 2x1x 2 x1=1-(x2-x+1)=-x 2+x例 8当 x=-11，求(1+25x 133 2 x 2 4x 5 2的( 天津中考 )) (1-) ÷ (x 2 3x2) x2解原式(x 1) 3 (x 5)2 (x 2)2 (x 1)2 =1)3 (x 2) 2( x 1)2 (x 5)2(x=x 1x16165当 x=-1 1时，原式 =556 1 6 55=111例 9 设 x+1=5，求 (x-1)2的值.(xx解∵x+ 1=51x11222∴ (x- x )=x +x2-2=(x+ x )-4=25-4=21例 10已知x=m (m ≠0), 求x 2xx x 22 1x 4解∵ x 2 x 11xm即 x+ 1 = 1-1= 1m从而得x mm21 1 m2m 2 2m 1x +x2=( m) -2=m 2∴x 2 = 1=14x 2 1122m 1 x x 2 1mx 2m 2=11 2m点评利用 x和 1互为倒数关系，总能建立起x求值问题简单化 .大连中考题 )的值 . ( 上海中考题 )11(x n+ 1 ) 和(x+ 1) 之间的联系，使某些x nx【同步达纲练习】一、填空题 (6 分× 7=42 分 )1. 化简 1+ 1 +1等于.x 2 x 3x2. 使代数式11 1等于 0 的 x 的值是.x21 x 1x 13. 计算 x28 2 x 7 x2x x 6的值为.x 33 x34.1x的最简公分母是.x 2 ,4 2x45.(x 2-1)(1 1 1 -1)= .x x 16.122 2 =.m 2 93 mm37. ab bc c a.ab bc ac二、计算题 (12 × 4=48 分)8. 计算bc a( a b)(b c) (b c)(c a) (c a)( ab)a ba 2b 29. 计算 1-2ba 2 4ab 4b 2 a10. 计算1 12 4 1 x1 x1 x21 x411. 已知 x=4,y=-3 ，求2xx y的值 .2y 2y 2x 2(x y)( x y)x【素质优化训练】12. 如果 abc=1 ，求证1 111(10 分)ab a 1bc b 1ac c 1【生活实际运用】某人在一环形公路上跑步，共跑两圈，第一圈的速率是 x 米 / 分钟，第二圈的速度是 y 米 / 分钟，（x ＞ y ），则他平均一分钟跑的路程是多少？参考答案：【同步达纲练习】一、 1.112.-1 3.-3 4.2(x+2)(x-2) 5.3-x 26.07.06x2二、 8.09.-b 10.8 1a b11.71 x 8【素质优化训练】12. 左边 =11abc aabab a 1 =右边，即证。
北师版八年级下册数学精品教学课件 第五章 分式与分式方程 第3课时 异分母分式的加减(2)
3
m
m3
3m
3
2m （m 3）
m 3m 3
m
m3
3m
3
从 1，-3，3 中任 选一个你喜欢的 m 值代入求值.
1. m3
当
m
=
1
时，原式
1 1
3
1 2
做一做
先化简，再求值： 1 x 1
x
2 2
，其中 1
x
2.
解：
1 x 1
2 x2 1
1 x 1
2 (x 1)(x 1)
(x 1)
2
(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
计算结果要化为最简分式或整式．
例解4：原计式算： （m1）2m22
2m
5 2m
m
5 ••232m3mm4mm;41
2
(m
或
2)(2 2m
m)
9 m2 • 2m 2
先算括号里的
2m 3m
加法，再算括
3 m3 m 22 m
•
号外的乘法
2m
3m
2m 3 2m 6.
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把
第五章 分 式
5.3 分式的加减法
第3课时 异分母分式的加减(2)
复习引入 1. 分式的乘除法则是什么？用字母表示出来：
b d bd a c ac
b d b c bc a c a d ad
2. 分式的加减法则是什么？用字母表示出来：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
异分母 通分 相加减 转化为
同分母 分母不变 相加减 转化为
分子 (整式) 相加减
2. 分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
八年级数学异分母的分式加减法
湖南教育出版社
小玲的妈妈买了一块蛋糕，分给小玲的弟弟这块蛋糕
的 1 ， 分给小玲这块蛋糕的 1 ，应当怎样切这块蛋糕？
在图2中画出来．
3
· 120°
小玲和她的弟弟共分得这块蛋糕的几分之几？
1 1 1 2 13 2 3 5 3 2 32 23 6 6
x 32 x 32
x 3x 3
x
3
x
3 x
x2 32
3
x
3
2xx 3 x
x2 9
3
2x 6 x2 9
12x x2 9
计算： x 1 1
1 x 解 x1 1 x1 1
1
x 1 x 1 x 1 x 1
2 x2 1
2 x2 1
通分后，各个分式的分母变成相同，这时的分母叫
作公分母，例5中两个分式的公分母是 x 1 x 1
计算：
x3 x3 x3 x3
解 x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3 x 3x 3
5
共分得这块蛋糕的
6
从上面的例子看到，异分母的分数相加，要先通分，化成同分母的分数 类似地，异分母的分式相加减，要先通分，即把各个分式的分子与分母 都乘以适当的同一个非零多项式，化成同分母的分式，然后再加减．
计算：
11 x 1 x 1
x
x 1
1 x
1
x
x
《异分母分数加减法》教案
《异分母分数加减法》教案异分母分数加减法教案引言：数学中的分数是很重要的一部分，而异分母分数加减法是学习分数之后的重要内容，本篇教案旨在帮助学生更好地掌握异分母分数加减法的基本概念和运算方法。
一、知识点介绍异分母分数加减法即为分母不同的分数进行加减运算的方法，需要先将分数统一分母再进行加减运算。
具体而言，需要进行以下步骤：1. 确定分数的公共分母。
2. 将分数转化为公共分母的等价分数。
3. 进行加减运算。
4. 将结果约分。
二、教学目标1. 掌握异分母分数加减法的基本概念和运算方法。
2. 学会将分数转化为公共分母的等价分数。
3. 培养学生观察问题和思考问题的能力。
三、教学过程1. 引入教师用一个简单的例子，如“1/2+1/3”来引入本节课的学习内容，激发学生的兴趣。
2. 讲解基本概念和运算方法教师通过画图、实例等方式，讲解异分母分数加减法的基本概念和运算方法。
3. 练习时间教师出上述运算的题目，让学生自己进行计算，帮助学生更好地理解知识点。
4. 知识总结教师对异分母分数加减法的基本概念和运算方法进行回顾，帮助学生加深对知识点的理解。
五、作业布置布置“异分母分数加减法”练习题，并提示学生要认真复习本节课的知识点。
六、教学总结通过本节课的学习，学生掌握了异分母分数加减法的基本概念和运算方法，并能够将分数转化为公共分母的等价分数，训练了学生的思维能力和运算能力。
结语：本节课的教学目标是让学生掌握异分母分数加减法的基本概念和运算方法，为学生的数学学习打下良好的基础。
希望学生们在今后的学习过程中，能够更加深入地理解分数的相关知识点。
异分母分式加减法
3.3分式的加减法学习目标：理解并掌握异分母分式加减运算法则，能熟练进行异分母分式加减运算学习重点：识记异分母分式加减运算法则，能熟练进行异分母分式加减运算学习难点：通分，将异分母分式化为同分母分式学习过程：一、自主学习阅读课本内容后，完成本导学案后面的内容。
自学指导：认真看课本，要求：熟记异分母分式加减运算法则；重点看例2的解题格式和步骤，并弄懂每一步的算理。
有不懂的地方可以小声问老师或同学。
二、探究迁移1、与异分母分数的加减法法则类似，异分母分式的加减法法则是：异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 的加减法法则进行计算。
2、异分母分数的加减法法则用字母表示是：a b ±c d =( )bd ±( )bd =( )±( )bd3、运算结果应化为 或 。
三、讨论交流：计算并在每一行后的括号里注明计算过程或依据。
（1）1x –3–1x+3解：原式＝x+3(x –3)(x+3)–x －3(x –3)(x+3)(通分,依据是 ) ＝( )–( )(x –3)(x+3)(同分母分式相加减,分母 ,分子 ) ＝x 2–9(将刚才的分子 并 ，化为最简分式) （2）2a a 2–4–1a –2解：原式＝a+2(a –2)(a+2)－a –2(a –2)(a+2)(将原分母分解因式并通分,依据是 ）＝( )–( )(a –2)(a+2) (同分母分式相加减,分母 ,分子 )＝(a –2)(a+2) （将刚才的分子去括号并合并同类项）＝ （约分，将结果化为 ）【例1】计算:（1）1x+1+11–x –21–x 2 (2)x+1+1x –1【例2】计算：（1）a 2+9a a 2+3a +a 2–9a 2+6a+9 (2)m m –n –n m+n +2mn m 2–n 2【例3】(2011重庆)先化简,再求值:(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1, 其中x 满足x 2－x －1＝0．四、随堂练习：计算：（1）c ab –a bc （2）1a –2–1a+2（3）2a a 2–9–1a –3 (4)x+3x –3–x –3x+3五、课堂小结：1、异分母分式的加减法法则是：异分母分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 的加减法法则进行计算。
初中数学北师大版八年级下册《第1课时同分母和异分母分式的加减法1》课件
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
如果学校不能在课堂中给予学生更多 成功的体验，他们就会以既在学校内 也在学校外都完全拒绝学习而告终。
—— 林格伦
谢谢大家
你对这两种做法有何评论？与同伴交流.
【归纳结论】根据分式的基本性质，可以将异分母 的分式化为同分母的分式，这个过程叫通分.为了方 便计算，异分母的分式通分时，通常取最简单的公 分母（最简公分母）作它们的共同公分母.异分母分 式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法 法则进行计算．用式子表示为：
数学北师大版 八年级下
第1课时
同分母和异分母 分式的加减法
1.做一做：
探究1：同分母分式的加减 你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相 同时，分式的加减法运算法则吗？
【归纳结论】同分母的分式相加减，分母不变，把 分子相加减．用式子表示为：
探究2:异分母分式的加减 讨论：小明认为，只要把异分母的分式化成同分母 的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母 的分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他 俩的具体做法不同：分母的分式相加减,分 母不变，把分子相加减. 2.学会用转化的思想将分母互为异分母的分式加减运 算转化成同分母分式的加减法. 3.分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运 算. 4.类比方法很多时候是对的，学会用这种方法去分析 和解决问题.
5.确定最简公分母的一般步骤： ①取各分母的_____的最小公倍数； ②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式 都要取；
100道异分母分数加减法
100道异分母分数加减法1. 五分之三加三分之四=八分之七2. 五分之一减三分之四=七分之十三3. 九分之三加三分之五=十二分之八4. 七分之四减五分之七=十二分之三5. 五分之三加四分之五=九分之八6. 八分之一减四分之三=四分之八7. 三分之一加九分之七=十二分之八8. 五分之四减三分之二=七分之六9. 七分之一加八分之二=十五分之三10. 六分之三减四分之五=二分之八11. 七分之五加八分之四=十五分之九12. 九分之一减三分之四=六分之五13. 五分之二加三分之六=八分之八14. 三分之五减九分之四=六分之九15. 七分之二加四分之三=十一分之五16. 六分之五减四分之一=两分之四17. 九分之三加四分之七=十三分之十18. 三分之五减八分之三=五分之八19. 五分之四加四分之五=九分之九20. 八分之一减七分之三=一分之八21. 三分之一加六分之二=九分之三22. 四分之五减九分之二=五分之七23. 三分之五加四分之七=七分之十二25. 七分之四加八分之五=十五分之九26. 六分之三减五分之四=一分之七27. 九分之四加八分之一=十七分之五28. 七分之五减八分之三=九分之八29. 九分之二加五分之四=十三分之六30. 三分之一减七分之四=十分之三31. 五分之六加四分之三=九分之九32. 八分之五减七分之二=一分之三33. 六分之一加九分之五=十五分之六34. 三分之五减八分之一=五分之四35. 九分之四加七分之三=十六分之七36. 五分之二减六分之五=一分之三37. 九分之一加五分之二=十四分之三38. 七分之三减八分之五=九分之八39. 三分之二加六分之四=九分之六40. 八分之一减五分之三=三分之八41. 三分之四加九分之一=十二分之五42. 五分之六减九分之三=四分之三43. 七分之五加六分之四=十三分之九44. 八分之一减九分之二=一分之十45. 四分之三加三分之一=七分之四46.五分之一减三分之五=二分之六47.六分之三加三分之四=九分之七48. 陆分之二减五分之四=一分之六50. 七分之五减八分之一=九分之四51. 六分之三加三分之五=九分之八52. 四分之一减七分之六=三分之七53. 五分之四加四分之四=九分之八54. 六分之五减三分之二=三分之七55. 三分之四加六分之五=九分之九56.四分之一减九分之四=五分之五57. 八分之一加六分之一=十四分之二58. 五分之六减三分之五=两分之三59. 九分之四加四分之五=十三分之九60. 七分之一减七分之五=零分之六61. 七分之三加三分之四=十分之七62. 四分之三减三分之五=一分之八63. 九分之三加六分之五=十五分之八64. 七分之一减四分之三=三分之四65. 四分之一加五分之二=九分之三66. 五分之三减八分之四=三分之七67. 九分之二加五分之四=十三分之六68. 三分之五减六分之三=三分之八69. 七分之三加八分之二=十五分之五70. 九分之一减四分之五=五分之六71. 六分之二加四分之三=十分之五72. 三分之四减七分之三=六分之七73. 六分之四加五分之三=十一分之七74. 八分之一减七分之一=一分之八75. 九分之四加八分之三=十七分之七76. 七分之五减三分之四=四分之九77. 三分之一加七分之五=十分之六78. 五分之一减四分之五=一分之十79. 九分之三加五分之一=十四分之四80. 六分之五减七分之三=三分之八81. 五分之三加八分之四=十三分之七82. 三分之二减五分之一=七分之三83. 五分之二加六分之四=十一分之六84. 七分之三减六分之五=一分之八85. 七分之一加四分之五=十一分之六86. 八分之二减三分之一=五分之七87. 九分之一加五分之三=十四分之四88. 六分之五减八分之五=两分之三89. 五分之四加七分之三=十二分之七90. 六分之一减九分之五=三分之六91. 七分之四加五分之三=十二分之七92. 四分之五减七分之一=三分之四93. 八分之三加五分之二=十三分之五94. 九分之五减三分之二=六分之三95. 七分之一加三分之五=十分之六96. 六分之三减七分之四=三分之七97. 五分之四加三分之一=八分之五98. 八分之三减四分之五=四分之八99. 六分之四加九分之五=十五分之九 100. 三分之一减五分之五=八分之六。
八年级数学下册异分母分式的加减教案
第2课时 异分母分式的加减1 .学会确定几个分式的最简公分母并 进行通分；(重点)2.能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算. (重点,难点)一、情境导入小学我们学习过异分母分数的加减法,如 3 + 2=必+ “3=3 23 X 2 2X 2—呢？ x + 1 x — 1二、合作探究 探究点一：分式的通分【类型一】最简公分母是 _________ .解析：■/ x 2— 3x = x(x — 3), x 2— 9 = (x +3)(x — 3) ,•••最简公分母为 x(x + 3)(x — 3).方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍 数；字母及式子取各分母中所有字母和式子 的最高次幕.“所有字母和式子的最高次幕”是指“凡出现的字母(或含字母的式子) 为底数的幕的因式选取指数最大的 ”；当分母是多项式时，一般应先因式分解.【类型二】 分母是单项式分式的通分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个 单项式.解：⑴最简公分母是2b 2d , bi =, ac _ acd . 2^= 2b^d ；2 2 b3b 2c⑵最简公分母是6a bc , 20V 63bb?， 2a _ 4a 3 .3bc 2= 6a 2bc 2；(3)最简公分母是10xy 2z 2 ,壬九= 8xz 3 = 3z 25 _ — 25y 2 10xy 2z 2，10xy 2= 10xy 2z 2, — 2xz 2=— 10xy 2z 2.方法总结：通分时，先确定最简公分母， 然后根据分式的基本性质把各分式的分子、 分母同时乘以一个适当的整式， 使分母化为最简公分母.【类型三】 分母是多项式分式的通分2mn 3m⑵4m 2 — 9， 4m 2— 6m + 9.解析：先把分母因式分解，再确定最简 公分母，然后再通分.解：⑴最简公分母是2a(a + 1)(a — 1),a = _______ a 2 (a - 1) ______ 2 (a + 1) = 2a (a + 1)( a — 1)， 1 = 2 (a + 1) . a 2 — a = 2a ( a + 1)( a — 1)；⑵最简公分母是(2m + 3)(2m — 3)2,2mn = 2mn (2m — 3) 4m 2— 9 = (2m + 3)( 2m — 3) 2 ，3m = 3m (2m + 3) ______________ 4m 2 — 6m + 9 = ( 2m + 3)( 2m — 3) 2.方法总结：①确定最简公分母是通分的 关键，通分时，如果分母是多项式，一般应 先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的 因式，这个因式就是最简公分母除以原分母55，那么如何计算 6分式尢与悬的最简公分母a2 (a + 1)1 a 2— a ；c ac ； (1)bd ，2b 2； b 2a (2)2a 2c ，3bc 2；4 35 ⑶ 5y 2z ，10xy 2，— 2xz 2.解析：先确定最简公分母，找到各个分通分.(1)的商. 探究点二：异分母分式的加减法 【类型一】 计算： 异分母分式的加减法运算 ⑴x 2— 4 x 2+ 4x + 4, a 2 — 4 ⑵兀+汀2； m n 2mn (3) - + 一. m — n m + n m — n 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3) 中先找出最简公分母分别为 (x — 2)(x + 2)2、 (m + n )(m — n),再通分，然后运用同分母分 式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a + 2看成分母为1的式子进行通分. 解：⑴原式=(x + 2)( x — 2) 2 x (x +2) (x + 2) ( x — 2) 2 (x — 2) (x + 2) 2 (x — 2) x (x + 2)— 2 (x — 2) (x + 2) 2( x — 2) /+ 4 ______ (x + 2) 2 (x — 2)；a 2— 4 +( a + 2) 2 m (m + n ) n (m — n )2mn + (m + n )( m — n ) (m + n )(m — n ) m 2 + 2mn + n 2 —(m + n )( m — n ) m — n 方法总结：分母是多项式时，应先因式 分解，目的是为了找最简公分母以便通 分.对于整式与分式的加减运算，可以将整 式的每一项的分母看成 1,再通分，也可以 把整式的分母整体看成 1,再进行通分运算. 【类型二】 分式的混合运算计算：m + n x 2— 4x + 4 x x — 1(1)( x 2— 4 — x + 2)訐2；a — 516⑵ h r 三-a - 3).(x 一 2) 2解：⑴原式—[(x — 2)( x + 2)x — 1 x + 2] x + 2=(口-亠) x + 2 x + 空 x — 1 — 2 x + 2 x + 2 x +2 x —12 x — 1；a — 5(2)原式=(5 + a )( 5-a )(5 + a )( 5— a )——1 ——10+ 2a .方法总结：对于一般的分式混合运算来 讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先 乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要 先算括号里面的.在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法.探究点三：分式运算的化简求值 【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值0先化简，再求值：( 1+x — y12xx + 丿 x 2+ 2xy + y 2, 其中 x = 1, y =— 2.解析：化简时，先把括号内通分，把除 把多项式因式分解，再约分,法转化为乘法, 最后代值计算.解原式=(x + y ) 2_x + y2x — x — y ，当 x — 1,y —— 2 时，原式一1 +(_ j )1 —(— 2)2x(x — y )( x + y )1=—3.方法总结：分式的化简求值，其关键步 骤是分式的化简.要熟悉混合运算的计算顺数代入求值：22.x ii — 4x + 4 x 2 + 3x x — 2 解析：先把分式化简，再选数代入，可取除一3、0和2以外的任何数.2 (x + iii)iv v vi vii viii ix 2解：原式= 2 •—、(x — 2) 2 x (x + 3) x — 21x (x — 2) x — 21 x'探究点四：运用分式解决实际问题D 有一客轮往返于重庆和武汉之 间，第一次往返航行时，长江的水流速度为 a 千米/小时；第二次往返航行时， 正遇上长 江汛期，水流速度为b 千米/小时(b > a).已 知该船在两次航行中， 静水速度都为v 千米 /小时，问该船两次往返航行所花时间是否 相等，若你认为相等，请说明理由；若你认 为不相等，请分别表示出两次航行所花的时 间，并指出哪次时间更短些？解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s,所用时间=顺流时间+逆流时间， 注意顺流速度=静水速度+水流速度； 逆流速度=静水速度-水流速度， 把相关数值代入，比较即可.解：设两次航行的路程都为 s.当x = 1时，原式=—1.(x 取除一 3、0 和2以外的任何数)方法总结：取数代入求值时，要注意所 选择的值一定满足分式分母不为0,这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意 义.【类型三】 整体代入求值已知实数a 满足a 2+ 2a — 8 = 0,1 a + 3 a 2— 2a + 9求 一2--的值.a + 1 a 2 — 1(a + 1)( a + 3)解析：首先把分式分子、分母能因式分 解的先因式分解进行约分，然后进行减法运 算，最后整体代值计算.a 2- 2a + 1(a + 1) ( a + 3)1 a + 12vs第二次所用时间为亠+亠v + b v — b2vs(a — 1) 2(a +T a 2 + 2a — 8 = 0, — a 2+ 2a = 8,—原式 _ = 2=8 + 1 = 9.方法总结：利用“整体代入”思想化简 求值时，先把要求值的代数式化简， 然后将 已知条件变换成适合所求代数式的形式， 再 整体代入即可. iv 2— b 2,■/ b > a ，二 b 2>a 2, /• v 2 — b 2v v 2— a 2, 2vs 2vs"T —P>T —P.•••第一次的时间要短些.方法总结：①运用分式解决实际问题 时，用分式表示实际问题中的量是解决问题 的关键；②比较分子相同的两个分式的大 小，分母大的反而小.— 2_____________________________ a + 1 — (a + 1) 2— (a + 1) 2— a 2+ 2a + 1.1)( a - 1)序，式子化到最简再代值计算.【类型二】 先化简，再选择字母的值 求分式的值=先化简，再选择使原式有意义的2x + 6x — 21第一次所用时间为拦+S v — aa + 3(a + 1)( a + 3)三、板书设计1•分式的通分2 •异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算.3•分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的.对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算•对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式•在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟•。
异分母分式的加减法 优秀教案
第五章分式与分式方程3．分式的加减法（二）一、学生起点分析学生知识技能基础：学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减及分母互为相反式分式的加减运算。
在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。
对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。
学生活动经验基础：从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。
同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析分式的加减法是代数变形的基础之一，在学习完同分母分式的加减法法则后必将谈到异分母分式的加减法，教科书安排了三节课的教学，就是不让难度突然加大，而是循序渐进的去接受，允许学生经过一定时间的学习达到《标准》要求的目标，应把教学重点放在落实和理解上。
本节内容不多，教学时对异分母分式加减法法则的探索过程上，要使学生充分活动起来，在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中，发现法则、理解法则、应用法则。
本节课的教学目标为：1、会找最简公分母，能进行分式的通分；2、理解并掌握异分母分式加减法的法则；3、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。
4、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。
三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：问题引入——学习新知——运用新知和小试牛刀——分式加减应用——课堂小结——拓展提高。
第一环节问题引入活动内容问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？问题2：异分母分数又是如何进行加减？问题3：那么?你是怎么做的？=+aa 413活动目的：通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。
异分母分式的加减运算
类比练习：课本121页：随堂练习2;
题组练习：计算下列各题
(1)
a a2
9
a2
a 1 6a
9
（2） ( 3x x ) x2 4 ; x2 x2 x
通过本节课的学习，你学 会了什么？
初二数学备课组
能力发展目标
• 1.通过举例、观察、交流、讨 论、熟练掌握找异分母分式的 最简公分母的方法；
• 2.通过对“标杆题”的学习， 会正确确定最简公分母并进行 异分母分式的加减运算。
1、回顾同分母分式加减法法则,完成下列 各题：
(1) x2 4 ; x2 x2
(2) 2 1 ; x 1 1 x
【标杆题1 】
1.根据通分的定义，把下列各式通分：
（1）
y 2x
,
x 3y2
,
1 4xy
;
（2）
1,1; x3 x3
（3） 5 ,
x y
3 ( y x)2
1
1
（4）
, a2 4 a 2
反思总结：通分的关键是确定_______,找
最简公分母时，如果分母是多项式，一般要 先把分母______________。
学习活动一：
• （1）订正预习； 讨论思考： • （1）什么是通分？ • 根据分式的基本性质，把异分
母分式化为同分母分式的过程 叫做通分
（2）确定最简公分母的方法：
• 《1》找各分母系数的最小公倍数；
• 《2》凡是分母中出现的字母或式
•
子因式都要取；
• 《3》字母或式子因式的指数取最
异分母分式加减法的法则
1120 ∴ 实际修建这条盲道用了 x 10 天 . x
因此 , 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了
1120 1120 11200 (天) . x - x 10 x ( x 10)
9
拓展练习
工效问题
一项工程 , 甲单独做 a h 完成, 乙单独做 b h 完成 . 甲、乙两人一起完成这项工程，需要多长时间？
计算： (1) 1 1 ;
解： (1)
( x 3) ( x 3) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 分子相减时， 26 . x 9 “减式”要配括号！
6
例题解析
例 2 解: (2)
吃透例题 , 成功一半
a 4 a2
v甲 =
1 a
， v乙 =
1 b
。
设 “甲、乙两人一起完成这项工程” 需要 x 天 ， 1 1 x =1。 则： a b ab 解得 x= a b 。
10
a2 3 . a 1
8
例题解析
学以致用 , 方为能者
例 根据规划设计,某市工程队准备在开发区修建一 3 1120m的盲道. 由于采用新的施工方式 , 实际每天修 长 条长 建盲道的长度比原计划增加10m, 从而缩短了工期. 原计划每天修建盲道 x m , 那么 假设原计划每天修建盲道 (1) 原计划修建这条盲道需要多少天? (2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天? 解: (1) 原计划修建这条盲道需要 1120 天;
3
基 基础
础
练
( 2)
习
1、把下列各式通分：
分式的加减法(2)异分母分式的加减法
2(x 1)(x 1) 4
(x 1)(x 1)
x
x
取x=
2
，把x=
2 代入，原式=
4 2 x
2
.
反馈练习，达成目标
1. 化简 1 1 ，可得（ B ）
x x 1
2.
化简
2x x2 9
1 3
x的结果是（ B
）
3.
化简：( 2m
m2
m m
) 2
m m2
4
m－6
例4 小刚家和小丽家到学校的路程都是3km，其中
小丽走的是平路，骑车速度2v km/h．小刚需要走 1km 的上坡路、2km 的下坡路，在上坡路上的骑车 速度为vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h．那 么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用
多长时间？
通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
仿照小学学习的异分母分数的加减运算法则总结 出异分母分式的加减运算法则:
【异分母分式加减法的法则】
异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式， 再按同分母分式的加减法法则进行计算.
这一法则用字母表示为：
b d bc ad bc ad a c ac ac ac
2.利用分式的基本性质，将分母变成最简公分母的形式.
找最简公分母方法
首先将分式的分母能写成乘积的形式，一定要写成 乘积的形式，也就是将分母分解因式. 然后按照以下步骤：
1.找系数：各分母系数的最小公倍数；
2.找字母：各分母中出现的字母（或式子）；
3.找次数：相同字母（或式子）次数最高的.
应用新知，深入理解
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其中 (a-2)恰好为第二分 式的分母. 所以 (a+2)(a-2) 即为最简公分母.
2a a 2 ( a 2)( a 2) a2 ( a 2)( a 2) 1 . a2
随堂练习
计算 :
b a (1) ; 3a 2b
(2)
y x 1 2 3 （×） 3 (1) （×） (2) x y 0 a a 2a a
y 2 x2 ( ) xy
2.计算：
3 12 15 (1) a a a
1 1 (2) 2 2c d 3cd 2
(0)
3d 2c ( 2 2 ) 6c d
练习3：阅读下面题目的计算过程。 2 x 1 x 3 2 x 3 2 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 = x 3 2 x 1
y (1) , x2 , 1 ; 2 x 3y 4 xy ( 3) 2 1 , 1 ; a 4 a2
做一做：
尝试完成下列各题：
4 1 4 a (1 ) 2 2 a a a
a b 1 1 ( 2) ab a b
典例分析：
(1 ) 计算： 1 1 ; x3 x3
分子相减时， “减式”要配括号！
【通分】 利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程 . 【通分的原则】 异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母.
试一试：
1、把下列各式通分：
1 , 1 ; x3 x3 5 3 (4) , . x y ( x y ) 2 当分式的分母都 是单项式时，最 3 2 6y 3y 4 x 简公分母： 解 : 1 , , ; 12 xy 2 12 xy 2 12 xy 2 系数是 x3 x3 各分母系数的最 2 , ; ( x 3 )( x 3 ) x 3 x 3 小公倍数； 相同的字母 1 a 2 3 , ; a 2 a 2 a 2 a 2 取最高次幂 5 x y 3 单一的字母 4 , . 2 2 x y x y 各取一次． (2)
再 见
解： (1)
1 1 x3 x3 x 3 x 3 ( x 3 )( x 3 ) ( x 3 )( x 3 )
( x 3) ( x 3) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 26 . x 9
2 3 2 5 时 （1）小刚从家到学校需要的的时间为 v 3 V 3 V 3 V 3 1
时 （2）小丽从家到学校需要 2 V 5 3 因为 所以小丽在路上的花费时间少。 3V 2v 10 9 5 3 1 小丽比小刚在路上的花费时间少 3 V 2v 6v 6v
试一试：
异分母分式的加减法
学习目标
1.掌握异分母分式的通分. 2.能熟练进行异分母的分式加减运算.
重点难点
1.异分母的分式加减运算. 2.化异分母分式为同分母分式的过程.
回顾与思考
【同分母分式加减法的法则】 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 【异分母分式加减法的法则】
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，按同分母分式的加减法 法则进行计算.
1 2 . 2 a 1 1a
2b 2 3a 2 2b 2 3a 2 解 : 1 原式 ; 6ab 6ab 6ab 1 2 1 2 2 原式 2 a 1 a 1 a 1 a 1a 1 a 1 2 a 1a 1 a 1a 1 a 3 a 1a 1 a 3 2 . a 1
典例分析：
计算：
解:
(2)
2a 1 a2 4 a 2 2a a2 ( a 2 )( a 2 ) ( a 2 )( a 2 )
2a ( a 2 ) ( a 2)( a 2)
2 a 1 (2) 2 . a 4 a2
a2 -4 能分解 :
原计划修建这条盲道需要
1120
(2) ∵ 实际每天修建盲道的长度 = ∴ 实际修建这条盲道用了
x
天; (x+10) m ,
天.
1120 x 10
因此 , 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了
1120 x
-
1120 11200 (天 ) . x 10 x ( x 10 )
课堂练习☞
1.下列运算对吗？如不对，请改正：
4a 2 4a 2 4ab 4ab 4a 2 2 b ( a b) b (a b) b(a b)
典例分析：
小刚家和小丽家到学校的路程都是3km.其中小丽走的是平路， 骑车的速度是2 vkm/h，小刚需要走1km的上坡路，2km的下坡路.走 上坡路上的骑车速度为v km/h, 在下坡路上的骑车速度为3vkm/h, 那么: (1)小刚从家到学校需要多长的时间? (2)小丽和小刚谁在路上花费时间少? 少用多长时间?
试一试：你自己能解决吗？
2a 1 a b 计算: b a b b 4
2a 1 a b 解： b a b b 4
2
2
分式的混合运算：
先乘方， 再乘除， 后加减。
4a 2 1 a 4 2 b a b b b 4a 2 4a 4a 2 4a(a b) 2 2 2 2 b (a b) b b (a b) b (a b)
根据规划设计,某市工程队准备在开发区修建一条长1120m的盲道. 由于采用 新的施工方式 , 实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m, 从而缩短了工期. 假设原计划每天修建盲道 x m , 那么 (1) 原计划修建这条盲道需要多少天? (2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天? 解: (1) 原计划每天修建盲道 x m
= x 3 2x 2 =
x 1
①
②
③ ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写上该步 的代号 ② （2）错误原因 （3）本题的正确结论为 x 1
-
x 1
本节课你的收获是什么？
（1）分式加减运算的方法思路： 异分母 相加减
通分
同分母 分母不变 分子（整式） 相加减
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多 项式，要将分子看成一个整体，先用括号括 起来，再运算，可减少出现符号错误。 （3）分式加减运算的结果要约分，化为 最 简分式（或整式）。