10.图乘法
p99-图乘法的公式和适用条件.
(2) 在M和 M 两个弯矩图中至少由一个是直线图形。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
设杆件的M图与 M 图已知（如图），且EI为常数，其中ab段的 M 图为 直线图形。 取 M 图的延长线与x轴交点O为 坐标原点。则
M y xtanα ，dA= M dx，
利用位移计算公式有
b
a
b M Mdx MMds a EI EI
1 b xtanαdA a EI b 1 tanα xdA a EI
(a)
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法 式中，a xdA 称为M图的面积对y轴 的静矩，它等于M图的面积乘以其 形心C的坐标xC，即
b
MMdx 1 Σ A yC Δ Σa EI EI
b
用图乘法计算位移时，需要确定弯矩图的图形面积及其形心位置。 下图给出几种简单图形的面积和形心位置，以备查用。
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
简单图形的面积和形心位置
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
b a
b
a
xdA AxC
代入式(a)，得
MMdx 1 A xC tanα EI EI
(b)
又因为yC=xCtan ，则有
b
a
MMdx 1 A yC EI EI
(c)
第10章 静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
式中，yC为M图的形心C下相应的 M 图中的竖标。 式(c)表明，积分式之值等于M图的面积A乘以其形心所对应的M图(直 线图形)中的竖标yC ，再除以杆的弯曲刚度EI。当A与yC在杆的同一侧时， 两者乘积取正号，反之取负号。这就是图乘法。 对于多根杆件组成的结构，只要将每段杆图乘的结果相加，即
结构力学(第三章)-图乘法
( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
建筑力学机考网考题库及答案
建筑力学机考网考题库及答案一、单项选择题1．若刚体在二个力作用下处于平衡,则此二个力必;D．大小相等,方向相反,作用在同一直线2．由两个物体组成的物体系统,共具有独立的平衡方程;D．63．静定结构的几何组成特征是;B．体系几何不变且无多余约束4．低碳钢的拉伸过程中,胡克定律在范围内成立;A．弹性阶段5．约束反力中含有力偶的支座为;B．固定端支座7．截面法求杆件截面内力的三个主要步骤顺序为;D．取分离体、画受力图、列平衡方程8．在一对位于杆件的纵向平面内的力偶作用下,杆‘件将产生弯曲变形,杆的轴线由直线弯曲成曲线;B．大小相等、方向相反9．低碳钢的拉伸过程中,阶段的特点是应力几乎不变;B．屈服1．约束反力中能确定约束反力方向的约束为;D．光滑接触面2．平面平行力系有个独立的平衡方程,可用来求解未知量;C．23．三个刚片用两两相连,组成几何不变体系;A.不在同一直线的三个单铰4．力的作用线都互相平行的平面力系是;C．平面平行力系5．结点法计算静定平面桁架,其所取脱离体上的未知轴力数一般不超过个;B．2 7．轴向拉压时,杆件横截面上的正应力分布;A．均匀8．在图乘法中,欲求某点的水平位移,则应在该点虚设;B．水平向单位力3．静定结构的几何组成特征是;B．体系几何不变且无多余约束5．图示构件为T形截面,其形心轴最有可能的是;CZ3、6．位移法的基本未知量是;C．结点位移7．作刚架内力图时规定,弯矩图画在杆件的;c．受拉一侧9．利用正应力强度条件,可进行三个方面的计算;C．强度校核、选择截面尺寸、计算允许荷载10.在图乘法中,欲求某点的转角,则应在该点虚设;D．单位力偶6．在梁的强度计算中,必须满足强度条件;C．正应力和剪应力7．在力法典型方程的系数和自由项中,数值范围可为正、负实数或零的有;D．副系数和自由项1．既限制物体沿任何方向运动,又限制物体转动的支座称为;C．几何不变体系,无多余约束4．力的作用线都互相平行的平面力系是;C．平面平行力系5．结点法计算静定平面桁架,其所取脱离体上的未知轴力数一般不超过个;B．2 7．轴向拉压时,杆件横截面上的正应力分布;A．均匀8．在图乘法中,欲求某点的水平位移,则应在该点虚设;B．水平向单位力3．静定结构的几何组成特征是;B．体系几何不变且无多余约束5．图示构件为T形截面,其形心轴最有可能的是;CZ3、6．位移法的基本未知量是;C．结点位移7．作刚架内力图时规定,弯矩图画在杆件的;c．受拉一侧二、判断题11.在约束的类型中,结点可分为铰结点、刚结点、自由结点;×12.交于一点的力所组成的力系,可以合成为一个合力,合力在坐标轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和;\／13.在平面力系中,所有力作用线汇交于一点的力系,称为平面一般力系,有3个平衡方程;×14.多余约束是指维持体系几何不变性所多余的约束;\／15.杆件变形的基本形式共有轴向拉伸与压缩、剪切、扭转和弯曲四种;\／16.截面上的剪力使研究对象有逆时针转向趋势时取正值;×17.作材料的拉伸试验的试件,中间部分的工作长度是标距,规定圆形截面的试件,标距和直径之比为5：1或10：1;\／18.平面图形的对称轴一定通过图形的形心;\／19.两端固定的压杆,其长度系数是一端固定、一端自由的压杆的4倍;×20.挠度向下为正,转角逆时针转向为正;×21．力法的基本未知量就是多余未知力;\／22.力矩分配法的三个基本要素为转动刚度、分配系数和传递系数;\／23.力偶的作用面是指组成力偶的两个力所在的平面;\／24.在使用图乘法时,两个相乘的图形中,至少有一个为直线图形;\／25.力系简化所得的合力的投影和简化中心位置无关,而合力偶矩和简化中心位置有关;／11．约束是阻碍物体运动的限制物;\／12．力沿坐标轴方向上的分力是矢量,力在坐标轴上的投影是代数量;\／13.力系简化所得的合力的投影和简化中心位置有关,合力偶矩和简化中心位置有关;×14.几何不变体系是指在荷载作用下,不考虑材料的位移时,结构的形状和位置都不可能变化的结构体系;×15.没有多余约束的几何不变体系组成的结构是超静定结构;×16.平行于梁横截面的内力是剪力作用面与梁横截面垂直的内力偶是弯矩;\／17.轴向拉伸压缩的正应力大小和轴力的大小成正比,规定拉为正,压为负;\／18.安全因素取值大于1的目的是为了使构件具有足够的安全储备;\／19．压杆上的压力大于临界荷载,是压杆稳定平衡的前提;×20．梁横截面竖向线位移称为挠度,横截面绕中性轴转过的角度称为转角;\／21．图乘法的正负号规定为：面积∞与纵坐标Y;在杆的同一边时,乘积甜Yo应取正号；面积叫与纵坐标Yo在杆的不同边时,乘积叫Yo应取负号;\／22．结点角位移的数目就等于结构超静定的次数;×23.物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统;\／24．有面积相等的正方形和圆形,比较两图形对形心轴惯性矩的大小,可知前者比后者大;\／25．计算简图是指经过简化后可以用于对实际结构进行受力分析的图形;\／11．对于作用在刚体上的力,力的三要素是大小、方向和作用点;\／12.梁按其支承情况可分为静定梁和超静定梁;\／13.力偶的作用面是组成力偶的两个力所在的平面;\／14．如果有扎个物体组成的系统,每个物体都受平面一般力系的作用,则共可以建立3个独立的平衡方程;×15．未知量均可用平衡方程解出的平衡问题,称为稳定问题；仅用平衡方程不可能求解出所有未知量的平衡问题,称为不稳定问题;×16．平面弯曲是指作用于梁上的所有荷载都在梁的纵向对称面内,则弯曲变形时梁的轴线仍在此平面内;\／17．应力是构件截面某点上内力的集度,垂直于截面的应力称为剪应力;×18．在工程中为保证构件安全正常工作,构件的工作应力不得超过材料的许用应力a,而许用应力a是由材料的极限应力和安全因素决定的;\／19．压杆丧失了稳定性,称为失稳;\／20.折减系数9可由压杆的材料以及柔度入查表得出;\／21．在使用图乘法时,两个相乘的图形中,至少有一个为三角图形;×22．位移法的基本未知量为结构多余约束反力;×23．轴力是指沿着杆件轴线方向的内力;\／24．桁架中内力为零的杆件称为零杆;\／25．无多余约束的几何不变体系组成的结构为静定结构;\／11．建筑的三要素为坚固、实用、美观;\／12.计算简图是经过简化后可以用于对实际结构进行受力分析的图形;\／13.力偶对物体的转动效应,用力偶矩度量而与矩心的位置有关;×14．物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统;\／15.在某一瞬间可以发生微小位移的体系是几何不变体系;×16.在垂直于杆件轴线的两个平面内,当作用一对大小相等、转向相反的力偶时,杆件将虹生弯曲变形;×17．桁架中内力为零的杆件称为零杆;\／18.任何一种构件材料都存在着一个承受应力的固有极限,称为极限应力,如构件内应力疆过此值时,构件即告破坏;\／19.平面图形对任一轴的惯性矩,等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩加上平面图形面积与两轴之间距离平方的乘积;\／20.细长压杆其他条件不变,只将长度增加一倍,则压杆的临界应力为原来的4倍;×21.从提高梁弯曲刚度的角度出发,较为合理的梁横截面应该是：以较小的横截面面积获得较大的惯性矩;\／22.在力法方程中,主系数瓯恒等于零;×23.约束是阻碍物体运动的限制物;\／24．结点角位移的数目不一定等于结构的超静定次数;\／25.力矩分配法的三个基本要素为转动刚度、分配系数和传递系数;\／11.作用在物体上的力,可以沿其作用线移动而对物体的作用效果不变;×12.使物体产生运动或运动趋势的力,称为主动力;\／13.物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统;\／14.力偶在坐标轴上的投影的代数和恒等于零;\／15.轴向拉伸压缩时与轴线相重合的内力称为剪力;×16．图形对所有平行轴的惯性矩中,图形对其形心轴的惯性矩为最大;×根链杆相当于一个约束,一个单铰相当于两个约束,所以一个单铰相当于两根链杆;\／18.二力在坐标轴上的投影相等,则两个力一定相等;×19.在使用图乘法时,两个相乘的图形中,至少有一个为直线图形;\／20.结点角位移的数目就等于结构的超静定次数;×21．平面一般力系的平衡方程共有三组九个方程,但独立的平衡方程只有三个;\／22.当弯矩不为零时,离中性轴越远,弯曲正应力的绝对值越大;\／23.有多余约束的几何不变体系组成的结构是超静定结构;\／24.图乘法的正负号规定为：面积∞与纵坐标y;在杆的同一边时,乘积叫;应取正号；面积叫与纵坐标Yo在杆的不同边时,乘积wy;应取负号;\／25．力矩分配法的三个基本要素为转动刚度、分配系数和固端弯矩;×1．约束是阻碍物体运动的限制物;\／2．力沿坐标轴方向上的分力是矢量,力在坐标轴上的投影是代数量;\／3．力系简化所得的合力的投影和简化中心位置有关,而合力偶矩和简化中心位置有关;×4．几何不变体系是指在荷载作用下,不考虑材料的位移时,结构的形状和位置都不可能变化的结构体系;×5．没有多余约束的几何不变体系组成的结构是超静定结构;×6．平行于梁横截面的内力是剪力,作用面与梁横截面垂直的内力偶是弯矩;\／7．轴向拉伸压缩的正应力大小和轴力的大小成正比,规定拉为正,压为负;\／8．安全因素取值大于1的目的是为了使构件具有足够的安全储备;\／9．压杆上的压力大于临界荷载,是压杆稳定平衡的前提;×10．梁横截面竖向线位移称为挠度,横截面绕中性轴转过的角度称为转角;\／11．图乘法的正负号规定为：面积∞与纵坐标Y;在杆的同一边时,乘积∞Y;应取正号；面积∞与纵坐标Y;在杆的不同边时,乘积∞弘应取负号;\／12．结点角位移的数目就等于结构超静定的次数;×13．．物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统;\／14．有面积相等的正方形和圆形,比较两图形对形心轴惯性矩的大小,可知前者比后者大;\／15．计算简图是指经过简化后可以用于对实际结构进行受力分析的图形;\／1662 11.力的三要素是大小、方向、作用点;\／12.合力一定比分力大;×13.物体平衡是指物体处于静止状态;×14．二力在坐标轴上的投影相等,则两个力一定相等;×15.力偶的作用面是指组成力偶的两个力所在的平面;\／16．几何不变体系是指在荷载作用下,不考虑材料的位移时,结构的形状和位置都不可能变化的结构体系;×17.约束是阻碍物体运动的限制物;\／18．安全因素取值大于1的目的是为了使构件具有足够的安全储备;\／19.抗弯刚度只与材料性质有关;×20．应力是构件截面某点上内力的集度,垂直于截面的应力称为剪应力;×21.梁和刚架的主要内力是轴力;×22.桁架中内力为零的杆件称为零杆;\／23．压杆上的压力大于临界荷载,是压杆稳定平衡的前提;×24.结点角位移的数目一定等于结构的超静定次数;×25.力法典型方程是根据变形协调条件建立的;\／一判断题1．若两个力在坐标轴上的投影相等,则这两个力一定相等;×2．力法的基本未知量为结点位移;×3.力偶对物体的转动效应,用力偶矩度量而与矩心的位置无关;√4.拉压刚度EA越小,杆件抵抗纵向变形的能力越强;×5.应力是构件截面某点上内力的集度,垂直于截面的应力称为切应力;×6.轴向拉伸压缩的正应力大小和轴力的大小成正比;√7.图形对所有平行轴的惯性矩中,图形对其形心轴的惯性矩为最大;×8.平面图形对其形心轴的静矩恒为零;√9.压杆上的压力等于临界荷载,是压杆稳定平衡的前提;×10.欧拉公式是在假定材料处于弹性范围内并服从胡克定律的前提下推导出来的;√二单项选择题1.既限制物体沿任何方向运动,又限制物体转动的支座称为C;C.固定端支座2.能够限制物体角位移的约束是B;B．固定端支座3.力偶可以在它的作用平面内C,而不改变它对物体的作用;C．任意移动和转动4.在下列原理、法则、定理中,只适用于刚体的是C C.力的可传性原理5.平面力偶系合成的结果是一个B;B.合力偶6.作用与反作用是作用在B个物体上的一对等值、反向、共线的力;B.二7.平面汇交力系合成的结果是一个A;A.合力8.图示单跨梁的传递系数是A;A．09.图示结构的超静定次数为A次 A．010．在图乘法中,欲求某两点的相对转角,则应在该点虚设C;C.一对反向的单位力偶三作图与计算题1.绘制图示悬臂梁的弯矩图;解：图示悬臂梁的弯矩图正确的是答案：C2.计算图示桁架的支座反力及1、2杆的轴力;解：求支座反力一、静力学基本知识1.建筑的三要素是什么坚固、实用、美观2.什么是计算简图计算简图是经过简化后可以用于对实际结构进行受力分析的图形;3.物体平衡是指物体处于静止状态吗物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动,称为平衡;4.对于作用在物体上的力,力的三要素是大小、方向、作用线吗力的三要素是大小、方向、作用点;5.力是矢量吗力是有大小和方向的量,所以力是矢量;6.什么是刚体在任何外力作用下,大小和形状均保持不变的物体称为刚体;7.作用在物体上的力,可以沿其作用线移动而对物体的作用效果不变吗作用在物体上的力,可以沿其作用线移动而对物体的作用效果可能会变;8.力的作用线通过矩心,力矩为多少力的作用线通过矩心,则力矩为零;9.力偶在坐标轴上的投影的代数和恒等于零吗力偶在坐标轴上的投影的代数和恒等于零;10.力偶对物体的转动效应,用力偶矩度量而与矩心的位置有关吗力偶对物体的转动效应,用力偶矩度量而与矩心的位置有关;11.若刚体在二个力作用下处于平衡,则此二个力有什么关系若刚体在二个力作用下处于平衡,则此二个力必定大小相等,方向相反,作用在同一直线;12.交于一点的力所组成的力系,可以合成为一个合力,合力在坐标轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和吗交于一点的力所组成的力系,可以合成为一个合力,合力在坐标轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和;13.投影方程建立与坐标原点位置有关吗投影方程建立与坐标原点位置无关;14.二力在坐标轴上的投影相等,则两个力一定相等吗二力在坐标轴上的投影相等,则两个力不一定相等;15.力沿坐标轴方向上的分力是矢量,力在坐标轴上的投影是代数量吗力沿坐标轴方向上的分力是矢量,力在坐标轴上的投影是代数量;16.力系简化所得的合力的投影和简化中心位置有关吗合力偶矩和简化中心位置有关吗力系简化所得的合力的投影和简化中心位置无关,合力偶矩和简化中心位置有关;17.力在某坐标轴上投影为零,如力的大小不为零,则该力一定与该坐标轴垂直吗力在某坐标轴上投影为零,如力的大小不为零,则该力一定与该坐标轴垂直;束;4.什么是两刚片规则平面内两个刚片用三根既不完全平行也不交于一点的链杆相连,组成的体系为几何不变体系,且无多余约束;5.约束是阻碍物体运动的一种装置吗约束是阻碍物体运动的一种装置;6.什么是多余约束拆除后不影响体系几何不变性的约束称为多余约束;多余约束是指维持体系几何不变性所多余的约束;7.在一个几何不变体系中增加一个二元体,是否会改变原体系的几何性质在一个几何不变体系中增加一个二元体,不会改变原体系的几何性质;在一个几何可变体系中增加一个二元体,原体系仍为几何可变体系;在一个几何可变体系中去掉一个二元体,原体系仍为几何可变体系;8.什么是三刚片规则三个刚片用不在同一直线的三个单铰两两相连,组成几何不变体系;9.切断一根结构内部链杆相当于解除多少约束切断一根结构内部链杆相当于解除1个约束;10.连结两个物体的圆柱铰链有多少个约束连结两个物体的圆柱铰链有2个约束;11.撤除一根支承链杆相当于解除多少个约束撤除一根支承链杆相当于解除1个约束;12.一个点在平面内的自由度有多少个一个点在平面内的自由度有2个;13.一根杆件在平面内有多少个自由度一根杆件在平面内有3个自由度;14.静定结构的几何组成特征是什么静定结构的几何组成特征是体系几何不变且无多余约束;15.两刚片用一个铰和不通过该铰的一根链杆相连组成的体系是几何可变还是几何不变两刚片用一个铰和不通过该铰的一根链杆相连组成的体系是无多余约束的几何不变体系;16.图示结构为几何可变体系还是几何不变体系图示结构为几何不变体系,无多余约束;三、静力结构内力计算1.杆件变形的基本形式有几种具体有哪些杆件变形的基本形式有轴向拉伸与压缩、剪切、扭转和弯曲四种;2.轴力是指沿着杆件轴线方向的内力吗轴力是指沿着杆件轴线方向的内力;3.两根材料不同,截面面积不同的杆件,在相同轴向外力作用下,轴力是否相等两根材料不同,截面面积不同的杆件,在相同轴向外力作用下,轴力是相等的; 4.什么是截面法截面法是将构件用假想截面截开,将内力显露出来,再应用平衡原理,确定内力;5.轴向拉伸压缩时与轴线相重合的内力称为剪力轴向拉伸压缩时与轴线相重合的内力称为轴力;6.结点法一次截取几个结点作为研究对象结点法一次截取一个结点作为研究对象;7.结点法计算静定平面桁架,其所取脱离体上的未知轴力数一般不超过几个结点法计算静定平面桁架,其所取脱离体上的未知轴力数一般不超过2个;8.桁架中内力为零的杆件称为什么应该撤除吗桁架中内力为零的杆件称为零杆,零杆不是多余杆件,不应该撤除;9.“左上右下剪力为正”是剪力的正负号规定吗“左上右下剪力为正”不是剪力的正负号;10.截面上的剪力使研究对象有逆时针转向趋势时取正值吗截面上的剪力使研究对象有顺时针转向趋势时取正值,有逆时针转向趋势时取负值;11.轴力的正负规定是如何规定的轴力以拉为正;12.弯矩图应画在梁的哪一侧弯矩图应画在梁的受拉一侧;13.梁和刚架的主要内力是轴力吗梁和刚架的主要内力不是轴力;14.关于内力图,以下说法正确吗在集中力作用点处,梁的剪力图有突变,弯矩图有尖点;正确;15.简支梁在跨中受集中力作用时,跨中弯矩一定最大吗简支梁在跨中受集中力作用时,跨中弯矩一定最大;16.截面法求杆件截面内力的三个主要步骤是什么截面法求杆件截面内力的三个主要步骤是：取分离体、画受力图、列平衡方程;17.杆件横截面上的内力有几种形式具体为什么杆件横截面上的内力有3种形式,具体为弯矩、轴力、剪力;18.单跨静定梁有哪几种类型单跨静定梁有简支梁、悬臂梁、伸臂梁三种类型;19.杆件的内力与杆件的外力、截面、材料都有关杆件的内力与杆件的外力有关,与截面、材料都无关;四、杆件的强度、刚度和稳定性计算1.什么是应力应力是构件截面某点上内力的集度,垂直于截面的应力称为正应力,相切于截面的应力称为切应力;2.两根相同截面、不同材料的杆件,受相同的外力作用,它们的应力是否相同两根相同截面、不同材料的杆件,受相同的外力作用,它们的应力相同;3.杆件的应变与杆件的外力、截面、材料有关吗杆件的应变与杆件的外力、截面、材料有关;4.胡克定律适用于什么情况胡克定律适用于应力不超过比例极限;5．什么是EA什么是EIEA是抗拉刚度;EI是抗弯刚度;6.低碳钢的拉伸过程中,每个阶段的应力特点是什么弹性阶段的特点是应力与应变成正比;屈服阶段的特点是应力几乎不变;7.工程设计中,规定了容许应力作为设计依据：其值为极限应力0除以安全系数n,n的取值范围是多少n＞18.确定塑性材料的容许应力时,极限应力是什么极限确定塑性材料的容许应力时,极限应力是屈服极限;9.轴向拉压时,杆件横截面上的正应力是均匀分布吗轴向拉压时,杆件横截面上的正应力是均匀分布;10.利用正应力强度条件,可进行哪3个方面的计算利用正应力强度条件,可进行强度校核、选择截面尺寸、计算允许荷载3个方面的计算;11.要保证轴向拉杆在荷载作用下不失效,横截面上的最大正应力需满足什么条件要保证轴向拉杆在荷载作用下不失效,横截面上的最大正应力应小于或等于许用正应力;12.什么是构件的强度、刚度、稳定性构件抵抗破坏的能力称为强度;构件抵抗变形的能力称为刚度;构件保持原来平衡状态的能力称为稳定性;13.圆形截面,直径为D,则其对形心轴的惯性矩为多少圆形截面,直径为D,则其对形心轴的惯性矩为矩形截面,高为h,宽为b,则其对形心轴Z的惯性矩为多少矩形截面,高为h,宽为b,则其对形心轴Z的惯性矩为矩形截面,高为h,宽为b,则其抗弯截面模量为多少矩形截面,高为h,宽为b,则其抗弯截面模量为14.压杆稳定平衡的前提是什么压杆稳定平衡的前提是压杆上的压力小于临界荷载;15.压杆的长细比λ与哪些因素有关压杆的长细比λ与压杆两端的支承情况、杆长、截面形状和尺寸等因素有关; 16．受压杆件在常见的各种支承情况下,若其他条件完全相同,临界应力最小是什么情况临界应力最大是什么情况受压杆件在常见的各种支承情况下,若其他条件完全相同,临界应力最小是一端固定一端自由,临界应力最大的是两端固定;17.一个两端固定的受压构件,若其临界力为100kN,如果将支承情况改为两端铰支,则构件的临界力变为多少由下面的计算公式可得临界力变为25kN;当材料处于弹性阶段时,细长压杆的临界力可用欧拉推导出的公式计算;式中E——材料的弹性模量；I——截面的最小惯性矩；l——杆件的长度；μ——长度系数,其按压杆两端的支承形式而定;下表给出了不同支承情况时的长度系数;。
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
图乘法原理
图乘法原理图乘法原理是指在数学中，两个图形的面积可以通过它们的长和宽的乘积来计算。
这个原理在几何学和代数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解图形的性质和相互之间的关系。
首先，让我们来看一个简单的例子，假设有一个长为3米，宽为4米的矩形，我们可以通过计算长和宽的乘积来得到它的面积，即3米×4米=12平方米。
这个例子就展示了图乘法原理的基本概念，即通过乘法来计算图形的面积。
在几何学中，图乘法原理可以帮助我们计算各种不规则图形的面积。
比如，一个不规则的四边形，我们可以将它分割成几个简单的图形，然后分别计算它们的面积，最后将它们加起来就得到了整个图形的面积。
这个方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们计算各种复杂图形的面积，从而更好地理解它们的特性。
在代数学中，图乘法原理也有着重要的应用。
比如，在矩阵乘法中，两个矩阵的乘积可以通过它们对应元素的乘积来计算。
这个过程实质上就是在应用图乘法原理，通过乘法来计算两个图形的相关性。
矩阵乘法在计算机图形学、工程学和物理学等领域都有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解复杂系统之间的关系。
除此之外，图乘法原理还可以帮助我们理解概率和统计学中的一些概念。
比如，在概率计算中，两个事件同时发生的概率可以通过它们各自发生的概率相乘来计算，这也是在应用图乘法原理。
通过这种方法，我们可以更好地理解概率事件之间的关系，从而更准确地进行概率计算。
总的来说，图乘法原理是数学中一个非常重要的概念，它在几何学、代数学、概率和统计学等领域都有着广泛的应用。
通过理解图乘法原理，我们可以更好地解决各种与图形、矩阵、概率事件相关的问题，从而提高我们的数学素养和解决问题的能力。
希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。
图乘法原理
图乘法原理
图乘法原理是指在进行图的乘法运算时，将两个图的每个顶点对都连接起来，形成一个新的图。
这个新图的顶点由两个原始图的顶点组成，边由两个原始图的边组成。
具体而言，设图G1=(V1,E1)和图G2=(V2,E2)是两个图，其中
V1和V2分别是G1和G2的顶点集合，E1和E2分别是G1和G2的边集合。
那么图乘法原理定义了一个新的图G=(V,E)，
其中V=V1×V2，即G的顶点是由G1和G2的顶点对组成的。
而E是由所有G1和G2的边连接起来的，即对于每个
(u,v)∈V1×V2，如果存在(u1,v1)∈E1和(u2,v2)∈E2满足u=u1，v=v2，那么(u,v)∈E。
通过图乘法原理，我们可以将两个图的结构进行组合，得到一个新的图。
这个新图中的顶点保留了原来两个图的顶点的属性，而边则是两个图的边的组合。
在实际应用中，图乘法原理可以用于表示两个图之间的关系，例如社交网络中的用户之间的关注关系和互动关系等。
总之，图乘法原理是一种用于将两个图进行乘法运算的方法，通过将两个图的顶点对连接起来，形成一个新的图。
它可以用于表示两个图之间的关系，在图论和网络分析领域有着广泛的应用。
图乘法
图均为非直线。
此时的处理方法：应分段图乘再叠加。
二．图形分解和图乘的分段叠加
10
在实际计算中，当弯矩图的形心位置或面积不便于确定
时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分， 并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面 分几种情况讨论。
yD
x xD
∫C M M Pds
D EI
EI=常数 直杆 ds=dx
D 1
∫ =
1 EI
C D
M M Pdx
tanα=常数
∫ ∫ =
tanα EI
D C
xM Pdx
=
tanα EI
C D
xdω
dω = M Pdx
为
MP
图中有阴影线的微面积；=
tanα EI
ω⋅
xD
xdω 为微面积对 D点的面积矩。
C
=
23Ph2 72 EI
3h/4
Mk
2/3
例 求铰C左、右两侧截面相对转角33
EI = 常数
q
C a
a
a
qa 2 qa2
34
11 2
qa2 /8
2
1
qa 2
M P 图 （kN·m）
2 M 图 (m)
ΔφC
=
1 EI
[2 3
⋅a⋅
qa 2 8
×
1 2
+ 2 ⋅ a ⋅ qa2 × ( 1 +1) 3 82
−A3ql 3 4
(
2 3
2l
+
1 3
l)
l
− −
图乘法及其应用
j yj
EjIj
四、应用举例
例 1. 设 EI 为常数，求Cy 和 B 。
l
l
2
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
q
对吗？
FP=1
A
BA
C
B
MP 图
1 ql 2 8
l
应分段！ M 图 4
Cy
1 EI
[(2 3
l 1 ql 2 ) (5 l )] 2
28
84
5 ql 4 ( ) 384 EI
l 1 22
1 l 3ql 2 32 8
3 l) 42
1 (ql 4 3ql 4 ) 5ql 4 ( )
EI 64 128 128EI
?
解法一、
q
ql 2
2
ql 2
A
l2
C l2
B
8
B
A
C
MP 图
Cy
1 EI
[( l ql 2 28
l) 4
A
q
FQ
ql 2
M ql 2
ql 2 ql 2
2FP
2
B
FP a
a
a E2I2
A
Dy
FNFNP l E1 A1
yc
E2I2
1 FP
a
( 2)( E1 A1
2FP )
2a
1 E2I2
(
FPa 2
2
2a 3
FP a 2
a)
(1
2 E1
2)FPa A1
4FP a 3 3E2I2
(
)
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力1
工程力学：图乘法
q
A C
B
l/2
l/2
1
A
B
MP
ql 2 8
M 1
yc 1 ( 2 ql2 l 1) ql3 EI EI 3 8 2 24EI
【例 2】求简支梁中点C的竖向位移CV 。 EI为常数
q
A C
BA
l/2
l/2
1
A
C
B
C
B
MP
ql 2 8
M l 4
2 1 ( 2 ql2 l 5l ) 5ql4 EI 3 8 2 32 384 EI
3 y3 )
➢ 图乘法分块
当图形复杂时，可将其分解为几个易于确定面积 和形心的简单图形，将它们分别图乘然后累加。
➢ 图乘法分块 梯形
反梯形
【例 3】求刚架支座D处的水平位移 DH ?
2位移 CV
若 M 是折线图形，应分成若干直线段图乘
➢ 图乘法中对弯矩图进行分段和分块
分段
AB AB
C
D
MP
C
D
M
MP1
A
B
分块
MP2
A
B
M
练习：求 AV
FP A EI1 C EI2 B
1 A EI1 C EI2 B
ω1
A
ω3 C ω2
y1 A
C y2
MP B
y3
M B
AV
1 EI1
1
y1
1 EI2
(2 y2
y
yc
EI
A
MP图的面积
MP图
Bx
M图
yc
Bx
1）yc与ω的取值： yc一定取自直线图形，ω则取自另一个图形， 且取ω的图形的形心位置已知，不必另行求解。
图乘法 求位移
已知： 常数。 θ 已知：EI=常数。求： C −C 常数 FP a MP图 M图 图 a a FPa/2
M =1
θ C −C
5 =− FP a 2 6 EI
求： θ A B
解：
FP
A a
FP
− 2FP
FP
FP
−2FP
a
1a
外力功： 外力功： = FP ∆ A + FP ∆ B W 如果 W = θ AB 那么
求两点的相对位 移：在两点的连 线上加一对儿等 值反向的单位力
已知：各杆 常数. 已知：各杆EI=常数 常数 两点之间的相对转角。 求：A、B两点之间的相对转角。 、 两点之间的相对转角 解： 32 D 8m A 8m B MP图(kNm) C 1kNm 8 M=1 M=1 1 1 M图 图
)
1 1 1 2 1 64 θA−B = − ×32×8× + ×8×8× ×1 = rad( EI 2 3 3 2 EI
( )
取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。 取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。
已知： 常数。 已知：EI=常数。 常数 求:△BV △ ql/2 q A l B
解：
MP图按荷载分解： 图按荷载分解： ql2/2
ql2/2
+
ql2 MP图 ∆ BV 1 = EI 1 ql 2 2 1 ql 2 3 ⋅l ⋅ l + ⋅ ⋅l ⋅ l ⋅ 3 3 2 4 2 2 7 ql 4 = 24 EI
已知： 常数。 已知：EI=常数。求： 常数 1 MP图 FP l Pl/4 M图 图
∆ CD
1
l
解： 外力功 W = 1 ⋅ ∆ C + 1 ⋅ ∆ D = ∆ C + ∆ D = ∆ C − D 内力功
结构力 学
, ， 由 得，
3、用位移法作图示结构M图，各杆EI相同。
3、解：
解得，
由 得弯矩图
12. 图乘法可以应用任何结构。 （1 分）（错）
13. 单位荷载法关键步骤是在待求位移方向虚加一个独立的单位荷载。 （1 分）（对）
14. 全二次抛物线，面积w=lh/2，形心l/2（1 分）（错）
15. 计算位移主要是为验算结构的刚度 （1 分）（对）
16. 广义力和广义位移一一对应。 （1 分）（对）
（10 分）
答：几何不变体系，有一个多余约束。
六 识图绘图题 (共1题 ，总分值10分 ，请根据题意正确作图，若答题需要使用原图的，请在答题卷中画出原图并作答。)
25.绘制结构的弯矩图。
（10 分）
江南大学网络教育第二阶段练习题
考试科目:《结构力学》第 章至第 章（总分100分）
__________学习中心（教学点） 批次：层次：
5、对称结构的含义是（A.B.D）
A、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；B、杆件截面尺寸对称；C、荷载对称；D、结构材料对称；
三、判断题（本题共10小题，每小题1分，共10分。请在你认为对的题后括号内打一个“√”，认为错的题后括号内打一个“×”，不需要改错。）
1、超静定结构内力是超静定的,约束有多余的。（√）
2. 试用图乘法求图示结构C铰两侧截面的相对转角位移。各杆EI均为常数。
（15 分）
3. 求简支梁B端转角，EI为常数。
（15 分）
五 简答题 (共1题 ，总分值10分 )
24. 阐述图乘法的应用条件。 （10 分）
六 识图绘图题 (共1题 ，总分值10分 ，请根据题意正确作图，若答题需要使用原图的，请在答题卷中画出原图并作答。)
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
国家开放大学电大《力学》题库
1.对图示平面体系进行几何组成分析，以下体系是（无多余约束的几何不变体系）。
2.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（瞬变体系）。
3.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（有两个多余约束的几何不变体系）。
4.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（可变体系）。
5.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（有一个多余约束的几何不变体系）。
6.对图示平面体系进行几何组成分析，该体系是（几何可变体系）。
7.三刚片组成几何不变体系的规则是（三铰两两相联，三铰不在一直线上）。
8.刚结点在结构发生变形时的特征是（结点处各杆端之间的夹角保持不变）。
9.一个平面体系的计算自由度W>0，则该体系是（可变体系）。
10.在无多余约束的几何不变体系上增加或去掉一个二元体后构成（无多余约束的几何不变体系）。
11.图乘法的假设为（Mp及M图中至少有一图是由直段组成、杆件EI为常数、杆件为直杆）。
12.图示结构AB杆件A截面的剪力等于（Fp）。
13.瞬变体系在很小的荷载作用下会产生很大的内力。
14.如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此减少，则称此约束为多余约束。
15.体系的实际自由度绝对不小于其计算自由度。
16.如果体系的计算自由度等于其实际自由度，那么体系中没有多余约束。
17.如果体系的计算自由度大于零，那么体系一定时几何可变体系。
18.仅利用静力平衡条件即可确定结构全部反力和内力，且解答唯一，这样的结构称为静定结构。
19.两个刚片用不全平行也不全交于一点的三根链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
20.两刚片用三个链杆相联，且三链杆平行不等长，则构成瞬变体系。
21.当结构中某个杆件的EI为无穷大时，其含义是这个杆件无弯曲变形（无轴向变形）。
1.对图a所示结构，按虚拟力状态b将求出（A、D连线的转动）。
2.图示虚拟状态是为了求（A截面转角）。
3.图示为刚架的虚设力状态，按此力状态及位移计算公式可求出（）。
图乘法
1.2.3图乘法图乘法是关于的简化计算方法。
在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。
（一）图乘法的适用条件（1）杆件为直杆；（2）E I为常数（等截面）；（3）和图中至少应有一个直线图形。
对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。
（二）图乘法计算位移的公式（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。
这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。
（三）几种常见图形的面积的形心位置在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。
图1-15【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。
这种图形可称为抛物线标准图形。
应用图中有关公式时，应注意这个特点。
（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题（1）必须取自直线图形。
（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。
（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。
（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。
（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。
（6）如果杆件E I分段变化时，可分段图乘，最后叠加。
（7）如果E I沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。
（五）图乘法的计算步骤（1）绘实际荷载作用下的图；（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；（3）代入式（1-15）求位移：【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。
建筑工程力学单元10-静定结构的位移计算
单元10 静定结构的位移计算
高等教育出版社
单元10 静定结构的位移计算
10.1 计算结构位移的目的 10.2 变形体的虚功原理 10.3 结构位移计算的一般公式 10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移 10.5 图乘法计算静定结构在荷载作用下的 10.6 计算静定结构在支座移支时的位移 10.7 线弹性结构的互等定理
线性变形体系和叠加原理的使用条件是：①材料 处于弹性阶段，应力与应变成正比；②小变形。因 此可以应用叠加原理计算结构的位移。
10.2 变形体的虚功原理
一、功、实功和虚功
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
（2）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值 （3）虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力 在虚位移上作的功），可正可负 力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MM Pds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
图乘条件：（1）EI为常量或分段为常量； （2）杆轴为直线或分段为直线；（3）MP、 M 中至少有一个为直线或分段为直线。
一、图乘法公式推导
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
K FSFSPds GA
10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移
二.位移计算公式
1.梁与刚架
KP
M M P ds EI
2.桁架
KP
FNFNPds EA
FNFNP ds EA
FN FN P l EA
结构力学图乘法
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
a 1 b 2 状态II FPa FPb M FQFN
ds M ds
EI
0ds
kFQ GA
ds
ds FN ds
EA
ds M ds
EI
ds FN ds
EA
0ds
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
所以 r21C1C2 r12C2C1
得
说明：
r12 r21
rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位；
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力，r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
10.图乘法
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基×4×3+6×3－4×2）=15
（1）
2
（2）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6 ×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（3）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
C为实际状态的支座位移， R C 为反力虚功。
当 R 与实际支座位移C的方向一致时其乘
积取正，相反时取负。
此外，上式右边前面还有一个负号， 不可漏掉。
例
DB = EI 3
2
l l= 4 8EI
二、图乘技巧
1、当图乘法的适用条件不满足时的处理方法（分段）
P
1
A
EI
BA
EI
B
C
C
l/2
Pl/4 l/2
l/2
l/4 l/2
Dc
=
2
1 EI
1 2
l 2
Pl 4
2 3
l 4
=
Pl 3 48 EI
a）曲杆或 EI=EI （ x）时，只能用积 分法求位移；
y0 ω
③ S=ωy0 （×）
ω y0
⑥ S=ωy0 （√ ）
三、练习 图乘法的步骤
例1
[1] 设虚拟状态； [2] 画 M P 图；M 图； [3] 图乘求位移。
例2
三、 静定结构由于支座位移所引起的位移
静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。 如图 a所示静定结构,其支座发生水平位移C1 、竖向位移C2 和转角C3， 现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移ΔK
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2、图乘公式
MM P EI ds A
M
B
直杆
MM P EI dx A
B
B
EI=C
1 MM P dx EI A
B
是直线
1 M P xtgadx EI A
MP ω
1 a B = tg xM Pdx A EI B 1 = tga xdw A EI = 1 tga ×w xc = 1 wyc EI EI
④图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。
几种常见图形的面积和形心的位置：
h l/2 2l/3 ω=hl/2 h
顶点
h
顶点
l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点 h 5l/8 h 3l/8 二次抛物线ω=2hl/3
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
顶点
4l/5
因为从实际状态中取出的微段ds的变形为 dφ=du=γds=0 于是上式可简化为
D k = R C
D k = R C
这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。 式中
R
为虚拟状态图b的支座反力，
C为实际状态的支座位移，
R C
为反力虚功。
当
R
与实际支座位移C的方向一致时其乘 积取正，相反时取负。
三次抛物线ω=hl/4
l/5
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
h
例：求梁B点转角位移。
例：求梁B点竖向线位移。
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl B = l = EI 2 4 2 16 EI
（3 ）
2
3
S = 9/6 ×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = － 9
6
9
b)非标准抛物线乘直线形
a
b
＝
a
b
+
h
h
c d
S= l
6
(2 ac 2bd ad bc ) 2 hl c d
3 2
l
=
+
判断下列图乘结果正确与否。
y
0
y0
y0
ω
ω
ω
① S= y0（ ） ω ×
y1
y2
括号内的四项可以理解为：两个梯形同端竖标乘积的2倍，再加 异端竖标相乘 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取
正，否则取负。
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15 1 （2） （） 2 3 6 4 6 2 9
4
3 9
S = 9/6 ×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
2
1 1 ql 2 3 ql 4 DB = l l = EI 3 2 4 8EI
二、图乘技巧
1、当图乘法的适用条件不满足时的处理方法（分段）
P
A
1
B A
EI
C
EI
C
B
l/2
Pl/4
l/2
l/2
l/4
l/2
1 1 l Pl 2 l Pl 3 Dc = 2 = EI 2 2 4 3 4 48 EI
图 乘 法 教学目标：
1.理解图乘公式； 2.了解图乘条件； 3、会熟练用图乘法计算荷载作用下静定结构的位移；
重
点
1、图乘公式、方法； 2、图乘技巧；
难
点
图乘技巧；
一、图乘公式及图乘条件（适用于梁和刚架等主内力为弯矩的结构）
1、图乘条件 在计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，一般忽略剪 力、轴力的影响，计算位移可用下式
a）曲杆或
EI=EI （ x ）时，只能用积 分法求位移；
b）
M 、 M P 均非直线时，或EI分段为常数（阶梯杆）应 分段图乘再叠加。
2、复杂图形与直线图形相乘的处理方法（分块） （a）梯形乘梯形
a
ω1
MM
P
dx = w1 y1 w2 y2
c
ω2
b l/3 d
l/3
l/3
l( = 2ac 2bd ad bc ) 6
此外，上式右边前面还有一个负号， 不可漏掉。
例
y1
② S= y0 （×） ω
ω
③ S= y0 （×） ω
ω
y2 y0
ω1
ω2
y0
④ S= 1y1+ω2y2 （×） ω
⑤ S= y0 （×） ω
⑥ S= y0 （√ ） ω
三、练习 图乘法的步骤
例1
[1] 设虚拟状态； [2] 画 M P 图；M 图； [3] 图乘求位移。
例2
三、 静定结构由于支座位移所引起的位移
当结构杆件的数目较多，荷载较复杂的情况下，求各杆段的弯矩方程 并积分非常麻烦。但是只要满足下述三个条件，就可以用图乘法来 代替积分运算，使计算较为简单。 1)EI=常数(包括杆件分段为常数)； 2)杆件轴线为直线； 图乘条件 3)积分号内两个弯矩图中至少有一个为直线图形 对等截面直杆(包括截面分段变化的杆件)所组成的梁和刚架，前两个条 件自然满足，至于第三个条件，由于 M 图是由单位力引起，所以对于 直杆 M 图总是由直线组成。至于MP图，可能是直线也可能是曲线，视 荷载情况而确定。
静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。 如图 a所示静定结构,其支座发生水平位移C1 、竖向位移C2 和转角C3， 现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移ΔK 这种位移仍用虚功原理来计算。由位移 计算的一般公式
D k = R C
Md N du V ds
x
y α
dx
xc
M
yc
x
w yc MБайду номын сангаас P D = dx = EI EI
M =xtgα
yc=xctgα
w yc MM P D = dx = EI EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
③面积ω与竖标yC在杆的同侧， ω yC取正号，否则取负号。