10.图乘法

x
y α
dx
xc
M
yc
x
w yc MM P D = dx = EI EI
M ห้องสมุดไป่ตู้xtgα
yc=xctgα
w yc MM P D = dx = EI EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 ②竖标yC取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
③面积ω与竖标yC在杆的同侧， ω yC取正号，否则取负号。
2、图乘公式
MM P EI ds A
M
B
直杆
MM P EI dx A
B
B
EI=C
1 MM P dx EI A
B
是直线
1 M P xtgadx EI A
MP ω
1 a B = tg xM Pdx A EI B 1 = tga xdw A EI = 1 tga ×w xc = 1 wyc EI EI
y1
② S= y0 （×） ω
ω
③ S= y0 （×） ω
ω
y2 y0
ω1
ω2
y0
④ S= 1y1+ω2y2 （×） ω
⑤ S= y0 （×） ω
⑥ S= y0 （√ ） ω
三、练习 图乘法的步骤
例1
[1] 设虚拟状态； [2] 画 M P 图；M 图； [3] 图乘求位移。
例2
三、 静定结构由于支座位移所引起的位移
因为从实际状态中取出的微段ds的变形为 dφ=du=γds=0 于是上式可简化为
D k = R C
D k = R C
这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。 式中
R
为虚拟状态图b的支座反力，
C为实际状态的支座位移，
R C
为反力虚功。
当
R
与实际支座位移C的方向一致时其乘 积取正，相反时取负。
④图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。
几种常见图形的面积和形心的位置：
h l/2 2l/3 ω=hl/2 h
顶点
h
顶点
l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点 h 5l/8 h 3l/8 二次抛物线ω=2hl/3
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
顶点
4l/5
2
1 1 ql 2 3 ql 4 DB = l l = EI 3 2 4 8EI
二、图乘技巧
1、当图乘法的适用条件不满足时的处理方法（分段）
P
A
1
B A
EI
C
EI
C
B
l/2
Pl/4
l/2
l/2
l/4
l/2
1 1 l Pl 2 l Pl 3 Dc = 2 = EI 2 2 4 3 4 48 EI
当结构杆件的数目较多，荷载较复杂的情况下，求各杆段的弯矩方程 并积分非常麻烦。但是只要满足下述三个条件，就可以用图乘法来 代替积分运算，使计算较为简单。 1)EI=常数(包括杆件分段为常数)； 2)杆件轴线为直线； 图乘条件 3)积分号内两个弯矩图中至少有一个为直线图形 对等截面直杆(包括截面分段变化的杆件)所组成的梁和刚架，前两个条 件自然满足，至于第三个条件，由于 M 图是由单位力引起，所以对于 直杆 M 图总是由直线组成。至于MP图，可能是直线也可能是曲线，视 荷载情况而确定。
此外，上式右边前面还有一个负号， 不可漏掉。
例
静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。 如图 a所示静定结构,其支座发生水平位移C1 、竖向位移C2 和转角C3， 现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移ΔK 这种位移仍用虚功原理来计算。由位移 计算的一般公式
D k = R C
Md N du V ds
a）曲杆或
EI=EI （ x ）时，只能用积 分法求位移；
b）
M 、 M P 均非直线时，或EI分段为常数（阶梯杆）应 分段图乘再叠加。
2、复杂图形与直线图形相乘的处理方法（分块） （a）梯形乘梯形
a
ω1
MM
P
dx = w1 y1 w2 y2
c
ω2
b l/3 d
l/3
l/3
l( = 2ac 2bd ad bc ) 6
三次抛物线ω=hl/4
l/5
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
n次抛物线ω=hl/(n+1)
h
例：求梁B点转角位移。
例：求梁B点竖向线位移。
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl B = l = EI 2 4 2 16 EI
y1
y2
括号内的四项可以理解为：两个梯形同端竖标乘积的2倍，再加 异端竖标相乘 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取
正，否则取负。
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15 1 （2） （） 2 3 6 4 6 2 9
4
3 9
S = 9/6 ×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（3 ）
2
3
S = 9/6 ×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = － 9
6
9
b)非标准抛物线乘直线形
a
b
＝
a
b
+
h
h
c d
S= l
6
(2 ac 2bd ad bc ) 2 hl c d
3 2
l
=
+
判断下列图乘结果正确与否。
y
0
y0
y0
ω
ω
ω
① S= y0（ ） ω ×
图 乘 法 教学目标：
1.理解图乘公式； 2.了解图乘条件； 3、会熟练用图乘法计算荷载作用下静定结构的位移；
重
点
1、图乘公式、方法； 2、图乘技巧；
难
点
图乘技巧；
一、图乘公式及图乘条件（适用于梁和刚架等主内力为弯矩的结构）
1、图乘条件 在计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，一般忽略剪 力、轴力的影响，计算位移可用下式