13-3 等体、等压过程,摩尔热容
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准静态过程 功 热量 内能 热力学第一定律 等体过程 等压过程 摩尔热容等温过程和绝热过程
V2 V
Qp
E2
E1
W
等压膨胀过程：气体吸收的热 量，一部分用于内能的增加， 一部分用于对外作功。
p
等 压
p
( p,V2 ,T2 )
2
( p,V1,T1)
1
压
W
缩
o V2
V1 V
Qp
E1
W
E2
等压压缩过程：外界对气体作 的功和内能的减少均转化为热 量放出。
等压过程中，W 与 △E始终同号
Q
m' M
解 1）等温过程
W12 '
RT ln V2 ' V1
2.80104 J
2）氢气为双原子气体
(i 2) i 1.40
T2
T1
(V1 V2
)
1
753K
p
p2
2 T2
p2' T2' T1
Q0
p1
2'
T1
T 常量 1
o V2 V2' V1 10 V1 V
怎么求？
由热力学第一定律
dQT dWT pdV
Q T
WT
p RT
V2 V1
pdV
V
p
p1
1 ( p1,V1,T )
p2
( p2 ,V2 ,T )
2
o V1 dV V2 V
恒
温
谁做功？
热
源
T
QT
WT
V2
V1
RT V
dV
RT
ln V2 V1
RT ln p1
大学物理-热力学基础-课件
Wa
CV m (T2
T1)
p1V1 p2V2
1
本题用 Wa E 计算较方便
关键用绝热方程
T2
T1
( V1 V2
)
1
先求出 T2
p
p2
2 T2
T2' T1
Q0
p2'
2'
p1
TC
T1
1
o V2 V2' V1 10 V1 V
18.
*四. 多方过程 — 实际过程( 满足 PV n C)
绝热 n = ( CPm / CVm )
等温 n = 1 等压 n = 0
W p1V1 p2V2 n 1
满足 E CV (T2 T1)
Q Cn (T2 T1)
等体 n = ∞
p
可以证明
n= n=∞
n=1
Cn
(
n
n 1
)CV
n=0
o
V
19.
13 – 5 循环过程 卡诺循环
一. 循环过程
1. 特点 E 0 W = Q ( 热功转换 )
1
2
W
(2)热一定律 dQP dE PdV
o V1
V2 V
QP
E
V2 PdV
V1
v
i 2
R(T2
T1 )
P(V2
V1 )
7.
2.摩尔定压热容 CPm
1mol
:
CPm
dQp dT
理论值：
CPm
dE pdV dT
CVm
R
i2R 2
(近似)
实验值：查表 (精确)
QP
dQP
10 13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
实际上，气体所进行的过程，常常既 不是等温又不是绝热的，而是介于两 者之间，可表示为 PVn =常量 （n为多方指数） 凡满足上式的过程称为多方过程。 n =1 —— 等温过程 n = —— 绝热过程 n= 0 —— 等压过程 n = —— 等容过程 一般情况1 n ，多方过程可近似 代表气体内进行的实际过程。
PV RT PV RT
C p,m CV ,m R
理想气体的定压摩尔热容比定体摩尔热容大一个恒量R •在等体过程中，气体吸收的热量全部用来增加系统的内能 •等压过程中，气体吸收的热量，一部分用来增加系统的内能， 还有一部分用于气体膨胀时对外界作功 气体升高相同的温度，在等压过程吸收的热量要比在等温过 程中吸收的热量多。
3
水蒸气
m
蒸气 0.598kg m
3
水
100 C 热源
W pdV pV pm(
1
蒸气
1
1
水
1
)
E Q W m L pm(
蒸气
水
)
E 1 1 L p( ) 2.09106 J kg1 m 蒸气 水
四、多方过程
2、比热容：
单位质量的热容称为比热容。
C 1 dQ c m m dT
13－4 理想气体的等温过程和绝热过程
一、等温过程
•特点：
理想气体的温度保持不变， T=const
•过程曲线：
在PV图上是一条双曲线， 叫等温线。
恒 温 热 源 T
•过程方程：
p1V1 p2V2
p p1
p2
1 ( p1 ,V1 , T )
p
T 常量
Q0
papT
PV RT PV RT
C p,m CV ,m R
理想气体的定压摩尔热容比定体摩尔热容大一个恒量R •在等体过程中，气体吸收的热量全部用来增加系统的内能 •等压过程中，气体吸收的热量，一部分用来增加系统的内能， 还有一部分用于气体膨胀时对外界作功 气体升高相同的温度，在等压过程吸收的热量要比在等温过 程中吸收的热量多。
3
水蒸气
m
蒸气 0.598kg m
3
水
100 C 热源
W pdV pV pm(
1
蒸气
1
1
水
1
)
E Q W m L pm(
蒸气
水
)
E 1 1 L p( ) 2.09106 J kg1 m 蒸气 水
四、多方过程
2、比热容：
单位质量的热容称为比热容。
C 1 dQ c m m dT
13－4 理想气体的等温过程和绝热过程
一、等温过程
•特点：
理想气体的温度保持不变， T=const
•过程曲线：
在PV图上是一条双曲线， 叫等温线。
恒 温 热 源 T
•过程方程：
p1V1 p2V2
p p1
p2
1 ( p1 ,V1 , T )
p
T 常量
Q0
papT
计算各等值过程的热量功和内能的理论基础
1 等容过程 等容摩尔热容量
特性： 过程方程：
V常量
p常T量1
p
p2
( p2,V ,T2 )
dV 0, dW 0 p1
( p1,V ,T1)
热力学第一定律
dQV
dE
M
i 2
RdT
oV
V
定体摩尔热容:
1mol 理想气体在等体过程中吸收的热量 ，使温度升高
，其定体摩尔热d容Q为V
dT
CV ,m
dQV dT
3）热能 Q E W 8.3 p0V0
二 绝热过程 与外界无热量交换的过程
特征： dQ 0
p
p1
1( p1,V1,T1)
热一律 dW dE 0
dW dE
p2
( p2,V2,T2 )
2
dE
M
CV ,mdT
W
V2 V1
pdV
T2 T1
M
CV
,m
dT
M
CV ,m (T2
T1)
o V1 dV V2 V
V
V
E1
QV
E2
2 等压过程 等压摩尔热容量
特 性： 过程方程：
p常量
V常T量1
p
p
( p,1V1,T1)
( p,V2,T2) 2
功 W p(V2 V1)
W
热一律 dQp dE dW o V1 V2 V
定压摩尔热容： 理想气体1m在等o压l 过程中吸
收的热量
，温度升高 ，其定压摩尔热容为
dQp
绝热的汽缸壁和活塞
绝热过程方程的推导
dQ 0, dW dE
pdV CV ,mdT pV RT
特性： 过程方程：
V常量
p常T量1
p
p2
( p2,V ,T2 )
dV 0, dW 0 p1
( p1,V ,T1)
热力学第一定律
dQV
dE
M
i 2
RdT
oV
V
定体摩尔热容:
1mol 理想气体在等体过程中吸收的热量 ，使温度升高
，其定体摩尔热d容Q为V
dT
CV ,m
dQV dT
3）热能 Q E W 8.3 p0V0
二 绝热过程 与外界无热量交换的过程
特征： dQ 0
p
p1
1( p1,V1,T1)
热一律 dW dE 0
dW dE
p2
( p2,V2,T2 )
2
dE
M
CV ,mdT
W
V2 V1
pdV
T2 T1
M
CV
,m
dT
M
CV ,m (T2
T1)
o V1 dV V2 V
V
V
E1
QV
E2
2 等压过程 等压摩尔热容量
特 性： 过程方程：
p常量
V常T量1
p
p
( p,1V1,T1)
( p,V2,T2) 2
功 W p(V2 V1)
W
热一律 dQp dE dW o V1 V2 V
定压摩尔热容： 理想气体1m在等o压l 过程中吸
收的热量
，温度升高 ，其定压摩尔热容为
dQp
绝热的汽缸壁和活塞
绝热过程方程的推导
dQ 0, dW dE
pdV CV ,mdT pV RT
13-3理想气体的等体、等压和等温过程
第十三章 热力学基础
19
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容 摩尔热容比
γ = Cp,m CV,m
等压过程的三个量
W = p (V2 − V1 ) = ν R (T2 − T1 )
Q p = νC p,m (T2 − T1 )
E2 − E1 =νCV ,m (T2 − T1 )
由热力学第一定律
p2
2
V1
o
dQT = dWT = pdV
dV
V2 V
QT = W T =
∫
V2
V1
pdV
10
第十三章 热力学基础
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容
QT = WT = ∫ pdV
V1
V2
RT p =ν V
V2
p1V1 = p 2V2
RT V2 QT = W = ∫ ν dV = ν RT ln V1 V V1
p1 = νRT ln p2
第十三章 热力学基础
11
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容 等温过程热量与功的转换情况 等温膨胀 等温膨胀 等温压缩 等温压缩
p p1
1 ( p1 , V1 , T )
14
第十三章 热力学基础
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容
(一)摩尔定体热容
d 理想气体，等体过程， 1mol 理想气体，等体过程， QV ，dT 。
CV ,m
∵
19
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容 摩尔热容比
γ = Cp,m CV,m
等压过程的三个量
W = p (V2 − V1 ) = ν R (T2 − T1 )
Q p = νC p,m (T2 − T1 )
E2 − E1 =νCV ,m (T2 − T1 )
由热力学第一定律
p2
2
V1
o
dQT = dWT = pdV
dV
V2 V
QT = W T =
∫
V2
V1
pdV
10
第十三章 热力学基础
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容
QT = WT = ∫ pdV
V1
V2
RT p =ν V
V2
p1V1 = p 2V2
RT V2 QT = W = ∫ ν dV = ν RT ln V1 V V1
p1 = νRT ln p2
第十三章 热力学基础
11
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容 等温过程热量与功的转换情况 等温膨胀 等温膨胀 等温压缩 等温压缩
p p1
1 ( p1 , V1 , T )
14
第十三章 热力学基础
物理学
第五版
13- 理想气体的等体、 13-3 理想气体的等体、等压和等温过程 热容
(一)摩尔定体热容
d 理想气体，等体过程， 1mol 理想气体，等体过程， QV ，dT 。
CV ,m
∵
大学物理热学第十三章 热力学基础 PPT
Mayer公式
•摩尔热容比
CP,m i 2
CV ,m i
泊松比
CV ,m
i 2
R
Cp,m
CV ,m
R
i
2 2
R
单原子分子理想气体 i 3 1.67
双原子分子理想气体 i 5 1.40
多原子分子理想气体 i 6 1.33
pV m RT RT
M
Q CV ,m (T2 T1)
•过程曲线: p b T2
0
a T1 V
吸收得热量全部用来内能增加;或向外界放热以内能减小为代 价;系统对外不作功。
3、理想气体定体摩尔热容 CV ,m
•定义:1mol、等体过程升高1度所需得热量
•等体过程吸热 QV CV ,m (T2 T1)
•等体过程内能得增量
E
QV
i 2
R
T2
T1 CV ,m T2
13-1 准静态过程 功 热量
一、准静态过程
可用Ｐ－V 图上得一条有
方向得曲线表示。
二、功
准静态过程系统对外界做功:
元功: dW Fdl pSdl pdV
dl
系统体积由V1变 为V2,系统对外 界作总功为:
V2
W＝ pdV
V1
p F S pe
光滑
注意:
V2
W＝ pdV
V1
1、V ，W>0 ；V ，W<0或外界对系统作功 ，V不变时W=0
V2 PdV
V1
i CV ,m 2 R
CP,m
CV ,m
CP,m CV ,m R
等容 等压
WV 0
QV CV ,m (T2 T1) E
QP Cp,m (T2 T1) CV ,m (T2 T1) P(V2 V1) WP P(V2 V1) R(T2 T1)
1-理想气体的等体过程和等压过程摩尔热容
2019年10月25日星期五
理学院 物理系
大学物理
§13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
4.摩尔热容量C 和热量 Q 的关系 dQ=νCdT
5.摩尔定容热容CV （molar heat capacity at constant volume） (1)CV 和热量的关系 (dQ)V=vCVdT (2)CV 和内能的关系 vCVdT=(dE)V (3)内能 E 和状态 (T, V, P) 的关系
PV RT
P dV RdT
d Q CV dT P dV
d Q CV dT R dT
CV RdT
d Q CP dT
CP CV R
2019年10月25日星期五
理学院 物理系
§13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
7.迈耶公式及其物理意义
(1)迈耶公式
CP
CV
R
i 2
R
R
Байду номын сангаас
i 2
1
R
(2)迈耶公式的物理意义
(3)摩尔气体常数R
(4)热容比
CP
i 2
1
R
i2
CV
iR
i
2
2019年10月25日星期五
理学院 物理系
8.7
28.8 20.4
8.4
28.6 20.4
8.2
29.3 21.2
8.1
28.9 21.0
7.9
36.2 27.8
8.4
35.5 27.2
8.4
热力学基础1
0.1kg水蒸气自120℃加热升温至140℃， 水蒸气自120℃加热升温至140℃ 例3. 0.1kg水蒸气自120℃加热升温至140℃，求等 体过程和等压过程各吸收了多少热量？内能各变化多 体过程和等压过程各吸收了多少热量？ 各作了多少功？ 少？各作了多少功？ 解： 已知 M = 18×10−3 kg⋅ mol −1 CV ,m = 27⋅ 82J ⋅ mol −1⋅ k −1
系统内能的增量只与系统起始和终了状态有 关，与系统所经历的过程无关 .
二 热力学第一定律
Q = (E2 − E1) +W
系统从外界吸收热量， 系统从外界吸收热量，一部分使系统内能 增加， 增加，另一部分使系统对外做功 —— 热力学第一定律
热力学第一定律 讨论： 讨论：
Q = (E2 − E1) +W
C p, m =
PV =
dQp dT
m RT M
m W = ∫ dW = ∫ pdV = p(V2 −V1 ) = R(T2 − T1 ) V1 M m m ∆E = Qp −W = (Cp,m − R)(T2 −T1)= CV ,m (T2 −T1 ) M M
V2
C p,m − CV ,m = R
p
A*
2 1 *B
p
A*
2 1 *B
WA1B +QA1B =WA2B +QA2B
∆EAB = C
o
V
WA1B2A + QA1B2A = 0
∆E A1B 2 A = 0
o
V
理想气体内能 : 表征系统状态的单值函数 , 理想气体的内能仅是温度的函数 .
E = E (T )
一般气体： 一般气体：
13-03 理想气体的等体过程和等压过程《大学物理学》
二 等压过程 定压摩尔热容 特 性 p 常量 过程Q p dE dW
1
p
( p,V1, T1 ) ( p,V2 ,T2 ) 1 2
W
o
V1
V2 V
定压摩尔热容定义: 1mol 理想气体在等压过程中吸 收的热量 dQ p ，温度升高 dT，其定压摩尔热容为
13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容（陈世红） 第十三章热力学基础
计算各等值过程的热量、功和内能的理论基础
（ 1）
m pV RT （理想气体的共性） M dQ dE pdV 准静态过程 热
（ 2）
m i E RT （理想气体的状态函数） （ 3） M 2
（4） 各等值过程的特性 .
Q E pdV
V1
V2
力学第一定律
13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容（陈世红） 第十三章热力学基础
本节要求会推导,会求W,Q,E2-E1 一 等体过程 定体摩尔热容 特性 V 常量
过程方程
1
p2
p
( p2 ,V , T2 )
( p1 ,V , T1 )
pT 常量 p1 dV 0 , dW 0 o 热力学第一定律 dQV dE
定义摩尔热容比（比热比）
m R (T2 T1 ) W p(V2 V1 ) M m m Q p C p ,m (T2 T1 ), E2 E1 CV ,m (T2 T1 ) M M
C p,m CV ,m
13-3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容（陈世红） 第十三章热力学基础
dQV dT
等 p2 体 升 p1 压
p
2 ( p ,V , T ) 2 2 1
利用等压过程推导摩尔定压热容和摩尔定体热容的关系式
利用等压过程推导摩尔定压热容和摩尔定体热容的关
系式
摩尔定压热容与摩尔定体热容的关系式是非常重要的基本概念，主要涉及到温度、压强和容积之间的关系。
其据之一是使用理想气体等压过程：
一、理想气体等压过程：
1. 定义：理想气体等压过程指的是容积V与状态参数（温度T和压强P）之间的方程V=f(T,P)。
这里的V、T、P都是常数。
2. 热容的定义：在等压过程下，气体的容量V增加了一定程度，而所消耗的热量dQ可以由温度T和压强P的乘积得到，即dQ=Cp*dT，其中Cp是摩尔定压热容（也称为等压热容），dT是热容V随温度变化量。
3. 推导：摩尔定压热容Cp与摩尔定体热容Cv之间的关系式可以使用下式推导：Cp-Cv=R，即摩尔定压热容与摩尔定体热容之差为气体常数R，其中R是气体常数。
二、总结
1. 理想气体等压过程是一种利用容积V、温度T和压强P之间的关系得到定压热容Cp和定体热容Cv之间关系的方法。
2. 摩尔定压热容Cp与摩尔定体热容Cv之间的关系式可用如下形式表示：Cp-Cv=R，即摩尔定压热容Cp与摩尔定体热容Cv之差为气体常数R，其中R是气体常数。
13-3 等体、等压过程,摩尔热容.
C
CV
i 2
R
Cp CV R i2 R 2
等温 T= 恒量 p量V 恒
0
RT ln V2 或 RT ln p1
V1
p2
理想气体的等体、等压、等温过程
例2 把压强为1.013×105pa, 体积为100cm3的氮
气压缩到20cm3时，气体内能的增量、吸收的热
量和所做的功各是多少？假设经历的是如下两
a→b 等压过程，做功为
b
a
Ap p1(V2 V1)
pV RT
T pV
R
6. 内能变化
QV
V R
CV (
p2
p1 )
νmol理想气体 E QV CV (T2 T1)
（适应于理想气体的一切过程）
二、等压过程 在等压过程中, 理想气体的压强保持不变。
1. 特征 p = C， dp = 0
2. 过程方程
pV RT V C
T 3. 过程曲线
平行于V 轴的等压线。
(盖-吕萨克定律)
p p
O V1
V2 V
4. 功 (A 等于等压线下的面积 )
A pdV p V2 dV pV p
V1
p
pV RT
A
A p(V2 V1) R(T2 T1) O V1 V2 V
定压摩尔热容Cp
在等压过程中， 1mol 理想气体经吸热 Q， 温度变化 T
106
ln
20 106 100 106
16.3J
负号表示在等温压缩过程中, 外界向气体 做功而气体向外界放出热量。
（2）a→b →c ，先等压压缩，后等体升压
大学物理B2_第13章_1
2014年10月15日星期三
7
第十三章 热力学基础1
第十三章 热力学基础
教学基本要求
1. 掌握内能、功和热量等概念，理解准静态过程； 2. 掌握定体摩尔热容量和定压摩尔热容量； 3. 掌握热力学第一定律，能分析、计算理想气体在等体、等压、 等温和绝热过程中的功、热量和内能的改变量； 4. 理解循环的意义和循环过程的能量转换关系；能熟练计算卡 诺循环或其它的简单循环的效率；
第十三章 热力学基础1
第十三章 热力学基础
13-1 准静态过程 功 热量 内能 摩尔热容 13-2 热力学第一定律
13-3 理想气体的等体和等压过程 13-4 理想气体的等温和绝热过程 13-5 循环过程 卡诺循环
13-6 热力学第二定律表述 卡诺定理 13-7 熵 熵增加原理 13-8 热力学第二定律的统计意义
很大，但前进中要与其他分子作频繁 的碰撞，每碰一次，分子运动方向就 发生改变，所走的路程非常曲折。 分子自由程: 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
2014年10月15日星期三
2
第十三章 热力学基础1
分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
一、平均碰撞频率 假定： 1 . 分子为刚性小球 ； 2 . 分子有效直径为d； 3 . 其它分子皆静止, 某 一分子以平均速率
默认：理想气体的各过程为准静态过程 一、摩尔热容 1.热容： 一定量的物质升高（或降低）1K温度所吸收（或放热）的热量 数学表达式：C Q
T
或 C
dQ dT
C 2.比热容：单位质量的热容， c m 3.摩尔热容：
1mol的物质升高（或降低）1K温度所吸收（或放热）的热量 数学表达式： Cmol
7
第十三章 热力学基础1
第十三章 热力学基础
教学基本要求
1. 掌握内能、功和热量等概念，理解准静态过程； 2. 掌握定体摩尔热容量和定压摩尔热容量； 3. 掌握热力学第一定律，能分析、计算理想气体在等体、等压、 等温和绝热过程中的功、热量和内能的改变量； 4. 理解循环的意义和循环过程的能量转换关系；能熟练计算卡 诺循环或其它的简单循环的效率；
第十三章 热力学基础1
第十三章 热力学基础
13-1 准静态过程 功 热量 内能 摩尔热容 13-2 热力学第一定律
13-3 理想气体的等体和等压过程 13-4 理想气体的等温和绝热过程 13-5 循环过程 卡诺循环
13-6 热力学第二定律表述 卡诺定理 13-7 熵 熵增加原理 13-8 热力学第二定律的统计意义
很大，但前进中要与其他分子作频繁 的碰撞，每碰一次，分子运动方向就 发生改变，所走的路程非常曲折。 分子自由程: 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
2014年10月15日星期三
2
第十三章 热力学基础1
分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
一、平均碰撞频率 假定： 1 . 分子为刚性小球 ； 2 . 分子有效直径为d； 3 . 其它分子皆静止, 某 一分子以平均速率
默认：理想气体的各过程为准静态过程 一、摩尔热容 1.热容： 一定量的物质升高（或降低）1K温度所吸收（或放热）的热量 数学表达式：C Q
T
或 C
dQ dT
C 2.比热容：单位质量的热容， c m 3.摩尔热容：
1mol的物质升高（或降低）1K温度所吸收（或放热）的热量 数学表达式： Cmol
第4章 热力学基础 [2]
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绝热线比等温线更陡
p
PQ 绝热线
P
Q = E + A
PT O V
等温线
(P1,V1,T1) 等温线 (P2,V2,T1) 绝热线 (P2,V2,T2)
V
O
V1
V2
V
2 p nεt 3
3 εt kT 2
pV vRT
等温过程：温度不变，压 强降低是由于体积膨胀。 绝热过程：压强降低是由 于体积膨胀和温度降低。
§4.3.5 几个典型过程的总结及热力学第一定律的应用 等容过程 等压过程
过程 P 恒量 方程 T 内能 增量 功 热量
V 恒量 T
等温过程
绝热过程
E νC v,m (T2 T1 )
0 dE = dQ
i dE RdT 2
p V C1 PV 恒量 T V 1 C 2 p 1 T C 3 i dE RdT 2 0 E νCv,m (T2 T1 )
QT AT pdV
V2 V1
V2 V1
p[Pa] p1
a
7.02 102 J
(吸热)
p1V1 V2 p2 dV p1V1 ln V V1 O
c V1
b V2V[m3]
(2) 在 ac 等容降温和 cb 等压膨胀过程中，因 a、 b 温相同，故 E = 0。
Qacb Aacb Acb p2 V2 V1 5.07 102 ( J )
例 5-2
理想气体经如图所示的直线过程从状态 a
过渡到状态 b。求此过程中系统内能的改变、做功 和热传递？（已知 CV , m
p(105Pa) a
5 R） 2
理想气体的等体、等压、等温过程
理想气体的 等体、等压、等温过程
理想气体等体、等压、等温过程
1 理想气体等体过程 2 理想气体等压过程 3 理想气体等温过程
（1）热力学第一定律 dQ vCV,mdT pdV
（2）焦耳定律
dU
CV ,mdT
或
ΔU
m M mol
i 2
R(T2
T1
)
（3）状态方程
PV RT + 具体过程
1. 等体(积)过程(isochoric process)
d Q v C p,m d T
p
Q
v
T2 T1
C
p ,m
dT
C p,m T
其内能改变仍为
1( p0,V1) p0
2( p0,V2 )
U 2 U 1 v
T2 T1
C V ,m
dT
C V,m T
W
V2 V1
pdV
p(V2
V1 )
m M mol
R(T2
T1)
O V1
V2 V
3. 等温过程(isothermal process) 过程方程：pV 常量 理想气体在等温过程中内能 不变，故。 dU 0
dQ dW pdV
p p1 1( p1,V1)
p2 O V1
2( p2 ,V2 )
V2 V
在准静态等温膨胀中
Q =W R T ln V2
V1 在准静态等温膨胀中把吸收的热量全部对外作功
l理想气体的摩尔热容
Um
i 2
RT
理想气体的定体摩尔热容为
CV ,m
dU m dT
iR 2
单原子分子气体
CV ,m
3 2
R
理想气体等体、等压、等温过程
1 理想气体等体过程 2 理想气体等压过程 3 理想气体等温过程
（1）热力学第一定律 dQ vCV,mdT pdV
（2）焦耳定律
dU
CV ,mdT
或
ΔU
m M mol
i 2
R(T2
T1
)
（3）状态方程
PV RT + 具体过程
1. 等体(积)过程(isochoric process)
d Q v C p,m d T
p
Q
v
T2 T1
C
p ,m
dT
C p,m T
其内能改变仍为
1( p0,V1) p0
2( p0,V2 )
U 2 U 1 v
T2 T1
C V ,m
dT
C V,m T
W
V2 V1
pdV
p(V2
V1 )
m M mol
R(T2
T1)
O V1
V2 V
3. 等温过程(isothermal process) 过程方程：pV 常量 理想气体在等温过程中内能 不变，故。 dU 0
dQ dW pdV
p p1 1( p1,V1)
p2 O V1
2( p2 ,V2 )
V2 V
在准静态等温膨胀中
Q =W R T ln V2
V1 在准静态等温膨胀中把吸收的热量全部对外作功
l理想气体的摩尔热容
Um
i 2
RT
理想气体的定体摩尔热容为
CV ,m
dU m dT
iR 2
单原子分子气体
CV ,m
3 2
R
大学物理B2_第13章_4
T2 1 T1
2014年10月15日星期三
T1
D
W
B
p3
o V1 V4
T2
V2
C
V
V3
卡诺热机效率与工作物质无关，只与两个热源的温
度有关，两热源温差越大，则卡诺循环的效率越高。 只要提高T1或降低T2, 就可以要提高热机效率。
3
第十三章 热力学基础4
例1. 图中两卡诺循环 1
2 吗 ？
b
2014年10月15日星期三
第十三章 热力学基础4
五、熵增加原理 热二律指出，自然界所发生的物理过程是有一定方向的，那
判断过程进行方向的公共准则是什么呢？ 孤立系统可逆过程 S 0 孤立系统中所发生的一切不可逆过程的熵总是增加，可逆过程 熵不变，这就是熵增加原理。 熵增加原理成立的条件: 孤立系统或绝热过程。 熵增加原理的应用：给出实际过程进行方向的判椐。 孤立系统不可逆过程 S 0
1954年国际计量大会决定：规定水的三相点定义为热力学温 度的273.16K，这样热力学温标的1个刻度值就等于水的三相点 1 的热力学温度的 273.16 12 2014年10月15日星期三
第十三章 热力学基础4
13-7 熵 熵增加原理
一、问题的引出 热力学第二定律表明，一切与热现象有关的实际过程都是不 可逆的。能否找到一个状态函数，并用这个状态函数在初、终两 态的差异或单向变化的性质来判断实际过程进行的方向呢？ 这个状态函数就是熵！ 二、状态函数熵的引入 Q T Q Q 1 2 1 2 1 2 可逆卡诺热机的效率为： Q1 T1 T1 T2 Q1 Q2 0 其中Q1是吸热，Q2是放热。 上式称克劳修斯等式 T1 T2 Q1 Q2 0 Q >0 吸热，Q 0 放热。 统一用热一律的符号规定： T1 T2 Q 称热温比 上式表明可逆卡诺循环热温比之和为零。 T
2014年10月15日星期三
T1
D
W
B
p3
o V1 V4
T2
V2
C
V
V3
卡诺热机效率与工作物质无关，只与两个热源的温
度有关，两热源温差越大，则卡诺循环的效率越高。 只要提高T1或降低T2, 就可以要提高热机效率。
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第十三章 热力学基础4
例1. 图中两卡诺循环 1
2 吗 ？
b
2014年10月15日星期三
第十三章 热力学基础4
五、熵增加原理 热二律指出，自然界所发生的物理过程是有一定方向的，那
判断过程进行方向的公共准则是什么呢？ 孤立系统可逆过程 S 0 孤立系统中所发生的一切不可逆过程的熵总是增加，可逆过程 熵不变，这就是熵增加原理。 熵增加原理成立的条件: 孤立系统或绝热过程。 熵增加原理的应用：给出实际过程进行方向的判椐。 孤立系统不可逆过程 S 0
1954年国际计量大会决定：规定水的三相点定义为热力学温 度的273.16K，这样热力学温标的1个刻度值就等于水的三相点 1 的热力学温度的 273.16 12 2014年10月15日星期三
第十三章 热力学基础4
13-7 熵 熵增加原理
一、问题的引出 热力学第二定律表明，一切与热现象有关的实际过程都是不 可逆的。能否找到一个状态函数，并用这个状态函数在初、终两 态的差异或单向变化的性质来判断实际过程进行的方向呢？ 这个状态函数就是熵！ 二、状态函数熵的引入 Q T Q Q 1 2 1 2 1 2 可逆卡诺热机的效率为： Q1 T1 T1 T2 Q1 Q2 0 其中Q1是吸热，Q2是放热。 上式称克劳修斯等式 T1 T2 Q1 Q2 0 Q >0 吸热，Q 0 放热。 统一用热一律的符号规定： T1 T2 Q 称热温比 上式表明可逆卡诺循环热温比之和为零。 T
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
E (d E ) P d T T P
2014年5月24日星期六
大学物理
§13-3
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
(5) CP,m表达式 (dQ)P=vCP,mdT=(dE)P+(dA)P
E V CP，m d T d T P d T T P T P
理学院 物理系
大学物理
§13-3
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
二、热力学第一定律对理想气体的应用 —等体过程
1. 热量Q和内能表达式
dQ=dE
dQ=vCV,mdT dE=vCV,mdT
或
或 或
Q=E2 - E1
Q=vCV,m(T2 - T1) E2 - E1= vCV,m(T2 - T1)
2014年5月24日星期六
理学院 物理系
大学物理
§13-3
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
2.内能和CV,m的普遍关系
关系式dE=vCV,mdT或 E2 - E1=vCV,m(T2 - T1)虽然是
由等容过程得到的，但是对理想气体，无论其经过
什么过程，只要起初温为T1，终温为T2，内能和CV,m
d E V
E dT T V
CV，m d T d E V
CV，m
E dT T V
1 E 1 e e T V T V T V
(6)理想气体CV,m表达式
的关系都成立。
dE dE dE i ( )V ( )p CV，m R dT dT dT 2
d E CV，m d T
2014年5月24日星期六
2014年5月24日星期六
大学物理
§13-3
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
(5) CP,m表达式 (dQ)P=vCP,mdT=(dE)P+(dA)P
E V CP，m d T d T P d T T P T P
理学院 物理系
大学物理
§13-3
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
二、热力学第一定律对理想气体的应用 —等体过程
1. 热量Q和内能表达式
dQ=dE
dQ=vCV,mdT dE=vCV,mdT
或
或 或
Q=E2 - E1
Q=vCV,m(T2 - T1) E2 - E1= vCV,m(T2 - T1)
2014年5月24日星期六
理学院 物理系
大学物理
§13-3
理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容
2.内能和CV,m的普遍关系
关系式dE=vCV,mdT或 E2 - E1=vCV,m(T2 - T1)虽然是
由等容过程得到的，但是对理想气体，无论其经过
什么过程，只要起初温为T1，终温为T2，内能和CV,m
d E V
E dT T V
CV，m d T d E V
CV，m
E dT T V
1 E 1 e e T V T V T V
(6)理想气体CV,m表达式
的关系都成立。
dE dE dE i ( )V ( )p CV，m R dT dT dT 2
d E CV，m d T
2014年5月24日星期六
13-3理想气体的等体过程和等压过程
可得摩尔定压热容和摩尔定体热容的关系 可得摩尔定压热容和摩尔定体热容的关系 定压热容和摩尔定体
C p,m = CV ,m + R
J 单位： 单位： ⋅ mol ⋅ K
迈耶公式
−1
−1
摩尔热容比
γ = Cp,m CV ,m
第十三章 热力学基础
8
物理学
第五版
1313-3 理想气体的等体和等压过程 摩尔热容
pV = νRT
三个量： 三个量：
W = p (V2 − V1 ) = ν R (T2 − T1 )
Qp = ν C p,m (T2 − T1 )
C p ,m i+2 = R 2
E2 − E1 =ν CV ,m (T2 − T1) CV ,m
第十三章 热力学基础
i = R 2
9
物理学
第五版
1313-3 理想气体的等体和等压过程 摩尔热容
四 比热容
如果系统不是理想气体， 如果系统不是理想气体，或经历非等 值过程的气体， 值过程的气体，则有
dQ 热容 C = d T
比热容
dQ C c= = m′dT m′
是系统的质量. m′是系统的质量
第十三章 热力学基础
12
物理学
第五版
1313-3 理想气体的等体和等压过程 摩尔热容
单原子理想气体， 例1 10mol单原子理想气体，在压 单原子理想气体 缩过程中外界对它作功209J， 其温度 缩过程中外界对它作功 ， 升高1K.试求气体吸收的热量与内能的 升高 试求气体吸收的热量与内能的 增量.已知 已知C 增量 已知 V,m=12.465 J ⋅ mol -1 ⋅ K -1 . 解 ∆E = ν CV ,m (T2 − T1 ) = 124.65J
等压摩尔热容与等容摩尔热容的关系
等压摩尔热容与等容摩尔热容的关系热容是物质对热量的吸收能力的度量。
在热力学中，我们常常使用等压摩尔热容和等容摩尔热容来描述物质对热量的吸收能力。
这两个概念之间有着密切的联系，下面我们将详细探讨它们之间的关系。
等压摩尔热容是指在恒定压力下，单位摩尔物质吸收的热量变化。
简单来说，等压摩尔热容是指物质在增加1摩尔的物质时吸收的热量。
等容摩尔热容则是指在恒定体积下，单位摩尔物质吸收的热量变化。
等容摩尔热容是指物质在增加1摩尔的物质时吸收的热量。
从定义上来看，等压摩尔热容与等容摩尔热容之间并没有直接的关系。
但是，在实际应用中，我们可以通过一些热力学关系来推导它们之间的关系。
根据热力学第一定律，物质吸收的热量等于物质的内能变化和对外界做功的和。
在等压条件下，对外界做功为PΔV，其中P为压力，ΔV为体积的变化。
因此，等压摩尔热容可以表示为：Cp = ΔQ / nΔT = ΔU / nΔT + PΔV / nΔT其中，Cp为等压摩尔热容，ΔQ为吸收的热量，n为物质的摩尔数，ΔT为温度的变化，ΔU为内能的变化。
在等容条件下，体积的变化为零，即ΔV = 0。
所以，等容摩尔热容可以表示为：Cv = ΔQ / nΔT = ΔU / nΔT其中，Cv为等容摩尔热容。
通过对比等压摩尔热容和等容摩尔热容的表达式，我们可以发现它们之间的关系。
等压摩尔热容Cp比等容摩尔热容Cv大了PΔV / nΔT，即等压摩尔热容包含了对外界做功的贡献。
这个结果也可以通过物理图像来理解。
在等压条件下，物质可以自由膨胀或收缩，从而对外界做功。
而在等容条件下，物质的体积保持不变，无法对外界做功。
因此，在等压条件下，物质吸收的热量要比在等容条件下多，这就导致了等压摩尔热容大于等容摩尔热容。
总结起来，等压摩尔热容和等容摩尔热容之间的关系可以用下面的公式表示：Cp = Cv + PΔV / nΔT其中，Cp为等压摩尔热容，Cv为等容摩尔热容，P为压力，ΔV为体积的变化，n为物质的摩尔数，ΔT为温度的变化。
等压摩尔热容
等压摩尔热容等压摩尔热容是热力学中的一个重要概念，它描述了在等压条件下单位摩尔物质的温度变化对应的热量变化。
在热力学研究中，等压摩尔热容是一个基本参数，它能帮助我们理解物质的热力学性质和热传导过程。
等压摩尔热容可以用以下公式表示：Cp = Q / (n * ΔT)其中，Cp是等压摩尔热容，Q是等压过程中吸收或释放的热量，n 是物质的摩尔数，ΔT是温度变化。
在等压条件下，热量的变化与温度的变化之间存在着一定的关系。
等压摩尔热容表示了单位摩尔物质在等压条件下温度变化时所吸收或释放的热量。
它反映了物质对热量的吸收能力或释放能力。
等压摩尔热容的大小与物质的性质有关。
对于理想气体来说，等压摩尔热容是一个常数，与温度无关。
而对于固体和液体来说，等压摩尔热容是一个变量，它随温度的变化而变化。
热容的大小与物质的内部结构和分子相互作用有关。
对于固体来说，分子之间的相互作用比较强，热容较小。
而对于液体和气体来说，分子之间的相互作用较弱，热容较大。
在实际应用中，等压摩尔热容常常用于计算物质的热力学性质。
例如，在化学反应中，我们可以利用等压摩尔热容来计算反应的热效应。
在热传导过程中，等压摩尔热容也起到了重要的作用，它决定了物质在传热过程中的温度变化。
在实验中测量等压摩尔热容可以采用多种方法。
常用的方法有容量比热法、电热法和差热法等。
这些方法都是通过测量物质在等压条件下的温度变化和吸收或释放的热量来确定等压摩尔热容的数值。
等压摩尔热容是热力学中的一个重要概念，它描述了在等压条件下单位摩尔物质的温度变化对应的热量变化。
等压摩尔热容的大小与物质的性质有关，它可以帮助我们理解物质的热力学性质和热传导过程。
在实际应用中，等压摩尔热容常常用于计算物质的热力学性质和热传导过程。
通过测量等压摩尔热容，我们可以进一步研究物质的性质和特性，为实际应用提供参考和指导。
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m Qp Cp (T2 T1 ) Cp (T2 T1 ) M 1.50 5 36.2 300 9.05 10 J 3 18 10
所作的功为
m A R(T2 T1 ) R(T2 T1 ) M 1.50 5 8 . 31 300 2 . 08 10 J 3 18 10
（2）a→b →c ，先等压压缩，后等体升压
T1 T3 E3 E1 0 气体吸收的总热量和所作的总功为
Q A Ap AV
b→c 等体过程，不做功 AV 0 a→b 等压过程，做功为
p
c
a
Ap p1 (V2 V1 )
b
O
V
1.013 105 (20 106 100 106 ) 8.1J Q A Ap 8.1J
V1
p p
A
O V1 V2 V
定压摩尔热容Cp 在等压过程中， 1mol 理想气体经吸热 Q， 温度变化 T
Q E A E pV
Q E pV Cp lim ( ) lim ( ) lim ( ) T 0 T T 0 T T 0 T dE dV dV ( ) p ( ) CV p ( ) dT dT dT
内能增量为
E E2 E1 Qp A
9.05 10 2.08 10
5
5
6.97 10 J
5
1mol 理想气体的状态方程为 pV RT
两边对 T 求导，因 p = 常量，有
dV p( ) R dT
迈耶公式 比热容比
Cp CV R
C p / CV
E Cp (T2 T1 ) p(V2 V1 )
例1水蒸气的Cp=3.62J/(mol· K) 。今将1.50Kg 温 度100℃的水蒸气，在标准大气压下缓慢加热， 使其温度上升到400℃, 试求此过程中水蒸气吸 收的热量、对外所作的功和内能的改变。水蒸 气的摩尔质量 M = 18×10-3Kg/mol。 解 由于在标准大气压下加热, 这是一等压过程。 把水蒸气看成理想气体，注意到其ν=m/M，上升 的温度为T2-T1=300K, 则过程中吸收的热量为
几种分子的CV、Cp和γ
物理量
分子 单原子分子 刚性双原子分子
定体摩 尔热容
定压摩 尔热容
比热 容比
3R / 2
5R / 2
5R / 2
7R / 2
5/3 7/5 4/3
刚性多原子分子
3R
4R
比热容
dQ 热容 C dT
比热容
dQ C c mdT m
三、等温过程
1. 特征 T = C， dT = 0 ( dE = 0 )
V2 A RT ln V1
p p1
p2 O
6. 热量 dQ = dA = pdV
V2 QT A RT ln V1 由于 pV C
V2 p1 QT AT RT ln RT ln V1 p2
等温过程中系统吸收的热量全部用来对外 作功。
内 过 容 程
特征
过程方程
V2
V2
O
V
V
定体摩尔热容CV
在定体过程中，1mol 理想气体经吸热 Q， 温度变化 T Q CV lim ( ) T 0 T E dE CV lim ( ) Q E A T 0 T dT A0
p
p2
5. 热量
p1 O V V
dE dQ pdV
dE = d Q
c
a
b
O
E3 E1 0
V
气体吸收的热量和所作的功为
V2 V2 QT A RT ln p1V1 ln V1 V1
6 20 10 1.013 105 100 10 6 ln 6 100 10 16.3J
负号表示在等温压缩过程中, 外界向气体 做功而气体向外界放出热量。
1. 特征 p = C， dp = 0 2. 过程方程
pV RT
3. 过程曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
V T
C (盖-吕萨克定律)
p p O
平行于V 轴的等压线。
V1
V2 V
4. 功 (A 等于等压线下的面积 )
A pdV p dV pV
V2
pV RT
A p(V2 V1 ) R(T2 T1 )
内能增量 ΔE
系统作功 A 0
吸收热量 Q
摩尔热容 C
p 恒量 等体 V= 恒量 T
V 恒量 等压 p= 恒量 T
CV T
i CV R 2
Cp CV R i2 R 2
CV T
pV 或 RT
RT ln
Cp T
等温
T= 恒量
pV 量
恒
0
p1 V2 RT ln 或 p2 V1
5. 热量
Q p E A E RT
dQP CP dT
p p
A
O V1 V2 V
dQ p C p dT
νmol理想气体
Q p Cp (T2 T1 )
6. 内能变化
E CV (T2 T1 )
E Qp A Cp (T2 T1 ) p(V2 V1 )
2. 过程方程
pV RT pV C （玻意耳定律）
3. 过程曲线 在 P — V 图上, 每 一个等温过程对应一条 双曲线, 称为等温线。
p p1 T V1 pdV V2 V
p2 O
4. 内能变化 dE = 0
5. 功 A pdV RT
V1
V2
V2
V1
dV V
T V1 pdV V2 V
理想气体的等体、等压、等温过程
例2 把压强为1.013×105pa, 体积为100cm3的氮 气压缩到20cm3时，气体内能的增量、吸收的热 量和所做的功各是多少？假设经历的是如下两 个过程： (1)等温过程；(2)先等压压缩，然后再 等体升压到同样状态。
p
解 (1) 如图所示, a→c，等温 度过程，若把氮气看成理想 气体，则其内能不变。
13.3 理想气体的等体过程和等压 过程 摩尔热容
一、等体过程 在等体过程中，理想气体的体积保持不变。
1. 特征 V = C，dV = 0
2.过程方程
pV RT
p T
C （查理定律）
3. 过程曲线 平行于p 轴的等体线。 4. 功
p2
p1
p
A dA pdV 0
V1 V1
QV E2 E1 CV (T2 T1 )
pV RT
pV T R
V QV CV ( p2 p1 ) R
6. 内能变化
νmol理想气体
E QV CV (T2 T1 )
（适应于理想气体的一切过程）
二、等压过程 在等压过程中, 理想气体的压强保持不变。