高中数学必修二练习册答案
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对称的点 ，则
3.解：设圆心为 ，而圆心在线段 的垂直平分线 上，
即 得圆心为 ，
4.解：在Δ 中有 ，即当 最小时， 取最小值，而 ，
5.（1） （2）圆锥
6． 设圆锥的底面的半径为 ，圆锥的母线为 ，则由 得 ，
而 ，即 ，即直径为
三、解答题
1.解：
2.解：
空间几何体[提高训练C组]
一、选择题
1.A几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得
2.B从此圆锥可以看出三个圆锥，
3.D
4.D
5.C
6.A此几何体是个圆锥，
6.B 7.B
二、填空题
1. 设 则
2. ； ； 曲线 代表半圆
3.
4. 当 时， 最小，
5. 设 ，
另可考虑斜率的几何意义来做
6． 设切点为 ，则 的方程为
的方程为 ，则
三、解答题
1.解：当 时， ，表示的图形占整个图形的
而 ，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆
2.解：
可看作点 和
到直线 上的点的距离之和，作 关于直线
5. 平分平行四边形 的面积，则直线过 的中点
三、解答题
1.解：（1）把原点 代入 ，得 ；（2）此时斜率存在且不为零
即 且 ；（3）此时斜率不存在，且不与 轴重合，即 且 ；
（4） 且
（5）证明： 在直线 上
。
2.解：由 ，得 ，再设 ，则
为所求。
3.解：当截距为 时，设 ，过点 ，则得 ，即 ；
即 ，
2.D取 的中点 ，则 则 与 所成的角
3.C此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线
4.C利用三棱锥 的体积变换： ，则
5.B
6. D一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
二、填空题
1． 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为 个部分，共 部分
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内
2. D对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形
4. 设切线为 ，则
5. 当 垂直于已知直线时，四边形 的面积最小
三、解答题
1.解： 的最小值为点 到直线 的距离
而 ， 。
2.解：
得
3.解：圆心显然在线段 的垂直平分线 上，设圆心为 ，半径为 ，则
，得 ，而
。
4.解：设圆心为 半径为 ，令
而
，或
圆和方程[综合训练B组]
一、选择题
1.D
2.D弦长为 ，
当截距不为 时，设 或 过点 ，
则得 ，或 ，即 ，或
这样的直线有 条： ， ，或 。
4.解：设直线为 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
得 ，或
解得 或
，或 为所求。
第三章 直线和方程[综合训练B组]
一、选择题
1.B线段 的中点为 垂直平分线的 ，
2.A
3.B令 则
4.C由 得 对于任何 都成立，则
5.B
3. 垂直时最大4. 底面边长为 ，高为 ，
5. 沿着 将正三棱锥 侧面展开，则 共线，且
三、解答题：略
第三章 直线和方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.D
2.A设 又过点 ，则 ，即
3.B 4.C
5.C 垂直于 轴，倾斜角为 ，而斜率不存在
6.C 不能同时为
二、填空题
1.
2.
3.
4. 可看Fra Baidu bibliotek原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
1.A恢复后的原图形为一直角梯形
2.A
3.B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则 ，
4.A
5.C中截面的面积为 个单位，
6.D过点 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
二、填空题
1. 画出圆台，则
2. 旋转一周所成的几何体是以 为半径，以 为高的圆锥，
3. 设 ，
4. 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案
3. 作等积变换： 而
4. 或 不妨固定 ，则 有两种可能
5. 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；
（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的
三、解答题
1.证明：
2.略
第二章 点、直线、平面之间的位置关系[综合训练B组]
一、选择题
1.C正四棱柱的底面积为 ，正四棱柱的底面的边长为 ，正四棱柱的底面的对角线为 ，正四棱柱的对角线为 ，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
2．异面直线；平行四边形； ； ； 且
3．
4． 注意 在底面的射影是斜边的中点
5．
三、解答题
1．证明： ， 不妨设 共面于平面 ，设
，即 ，所以三线共面
2．提示：反证法
3．略
第二章 点、直线、平面之间的位置关系[提高训练C组]
一、选择题
1．A③若 ， ，则 ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系
3.解：令 则 可看作圆 上的动点到点 的连线的斜率
而相切时的斜率为 ， 。
4.解：（1） ①； ②；
② ①得： 为公共弦所在直线的方程；
（2）弦长的一半为 ，公共弦长为 。
第四章 圆和方程[提高训练C组]
一、选择题
1.C由平面几何知识知 的垂直平分线就是连心线
2.B对 分类讨论得两种情况3.C
4.A 5.C直线的倾斜角为 ，得等边三角形
3.D垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系
4.B连接 ，则 垂直于平面 ，即 ，而 ，
5.D八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交
6.C当三棱锥 体积最大时，平面 ，取 的中点 ，
则△ 是等要直角三角形，即
二、填空题
1.异面或相交就是不可能平行
2. 直线 与平面 所成的 的角为 与 所成角的最小值，当 在 内适当旋转就可以得到 ，即 与 所成角的的最大值为
3.C ，相切时的斜率为
4.D设圆心为
5.A圆与 轴的正半轴交于
6.D得三角形的三边 ，得 的角
二、填空题
1. ，
2.
3.相切或相交 ；
另法：直线恒过 ，而 在圆上
4. 圆心为 ，
令
5.
三、解答题
1.解：显然 为所求切线之一；另设
而
或 为所求。
2.解：圆心为 ，则圆心到直线 的距离为 ，半径为
得弦长的一半为 ，即弦长为 。
，或 为所求。
2.解：由 得两直线交于 ，记为 ，则直线
垂直于所求直线 ，即 ，或
，或 ，
即 ，或 为所求。
3.证明： 三点共线，
即
即
的近似值是：
4.解：由已知可得直线 ，设 的方程为
则 ， 过
得
第三章 直线和方程[提高训练C组]
一、选择题
1.A
2.D
3.D 4.A
5.D斜率有可能不存在，截距也有可能为
6.B点 在直线 上，则过点 且垂直于已知直线的直线为所求
二、填空题
1.
2. 的倾斜角为
3. ，或
设
4. 5.二
三、解答题
1.解：过点 且垂直于 的直线为所求的直线，即
2.解： 显然符合条件；当 ， 在所求直线同侧时，
，或
3.解：设 ，
则
当 时， 取得最小值，即
4.解： 可看作点
到点 和点 的距离之和，作点 关于 轴对称的点
第四章 圆和方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.A 关于原点 得 ，则得
2.A设圆心为 ，则
3.B圆心为
4.A直线 沿 轴向左平移 个单位得
圆 的圆心为
5.B两圆相交，外公切线有两条
6.D 的在点 处的切线方程为
二、填空题
1. 点 在圆 上，即切线为
2.
3. 圆心既在线段 的垂直平分线即 ，又在
上，即圆心为 ，
数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练A组]
一、选择题
1. A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台
2.A因为四个面是全等的正三角形，则
3.B长方体的对角线是球的直径，
4.D正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是
5.D
6.D设底面边长是 ，底面的两条对角线分别为 ，而
二、填空题
1． 设圆锥的底面半径为 ，母线为 ，则 ，得 ， ，得 ，圆锥的高
2.
3.
4.
5.
三、解答题
1.解：圆锥的高 ，圆柱的底面半径 ，
2.解：
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A组]
一、选择题
1. A⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面
如果按方案二，仓库的高变成 ，则仓库的体积
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成 ,半径为 .
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
如果按方案二，仓库的高变成 .
棱锥的母线长为 则仓库的表面积
（3） ，
2.解：设扇形的半径和圆锥的母线都为 ，圆锥的半径为 ，则
； ；
第一章 空间几何体[综合训练B组]
一、选择题
6.D把 变化为 ，则
7.C
二、填空题
1. 方程 所表示的图形是一个正方形，其边长为
2. ，或
设直线为
3. 的最小值为原点到直线 的距离：
4． 点 与点 关于 对称，则点 与点
也关于 对称，则 ，得
5. 变化为
对于任何 都成立，则
三、解答题
1.解：设直线为 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
得 ，或
解得 或
而 即
二、填空题
1. 符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台
2.
3. 画出正方体，平面 与对角线 的交点是对角线的三等分点，
三棱锥 的高
或：三棱锥 也可以看成三棱锥 ，显然它的高为 ，等腰三角形 为底面。
4.平行四边形或线段
5． 设 则
设 则
三、解答题
1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成 ,则仓库的体积
④若 ， ，则 ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交
2．C设同一顶点的三条棱分别为 ，则
得 ，则对角线长为
3．B作等积变换
4．B 垂直于 在平面 上的射影
5．C
6．C取 的中点 ，取 的中点 ，
7．C取 的中点 ，则 ，在△ 中， ，
二、填空题
1. 或 分 在平面的同侧和异侧两种情况
2. 每个表面有 个，共 个；每个对角面有 个，共 个
3.解：设圆心为 ，而圆心在线段 的垂直平分线 上，
即 得圆心为 ，
4.解：在Δ 中有 ，即当 最小时， 取最小值，而 ，
5.（1） （2）圆锥
6． 设圆锥的底面的半径为 ，圆锥的母线为 ，则由 得 ，
而 ，即 ，即直径为
三、解答题
1.解：
2.解：
空间几何体[提高训练C组]
一、选择题
1.A几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得
2.B从此圆锥可以看出三个圆锥，
3.D
4.D
5.C
6.A此几何体是个圆锥，
6.B 7.B
二、填空题
1. 设 则
2. ； ； 曲线 代表半圆
3.
4. 当 时， 最小，
5. 设 ，
另可考虑斜率的几何意义来做
6． 设切点为 ，则 的方程为
的方程为 ，则
三、解答题
1.解：当 时， ，表示的图形占整个图形的
而 ，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆
2.解：
可看作点 和
到直线 上的点的距离之和，作 关于直线
5. 平分平行四边形 的面积，则直线过 的中点
三、解答题
1.解：（1）把原点 代入 ，得 ；（2）此时斜率存在且不为零
即 且 ；（3）此时斜率不存在，且不与 轴重合，即 且 ；
（4） 且
（5）证明： 在直线 上
。
2.解：由 ，得 ，再设 ，则
为所求。
3.解：当截距为 时，设 ，过点 ，则得 ，即 ；
即 ，
2.D取 的中点 ，则 则 与 所成的角
3.C此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线
4.C利用三棱锥 的体积变换： ，则
5.B
6. D一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
二、填空题
1． 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为 个部分，共 部分
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内
2. D对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形
4. 设切线为 ，则
5. 当 垂直于已知直线时，四边形 的面积最小
三、解答题
1.解： 的最小值为点 到直线 的距离
而 ， 。
2.解：
得
3.解：圆心显然在线段 的垂直平分线 上，设圆心为 ，半径为 ，则
，得 ，而
。
4.解：设圆心为 半径为 ，令
而
，或
圆和方程[综合训练B组]
一、选择题
1.D
2.D弦长为 ，
当截距不为 时，设 或 过点 ，
则得 ，或 ，即 ，或
这样的直线有 条： ， ，或 。
4.解：设直线为 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
得 ，或
解得 或
，或 为所求。
第三章 直线和方程[综合训练B组]
一、选择题
1.B线段 的中点为 垂直平分线的 ，
2.A
3.B令 则
4.C由 得 对于任何 都成立，则
5.B
3. 垂直时最大4. 底面边长为 ，高为 ，
5. 沿着 将正三棱锥 侧面展开，则 共线，且
三、解答题：略
第三章 直线和方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.D
2.A设 又过点 ，则 ，即
3.B 4.C
5.C 垂直于 轴，倾斜角为 ，而斜率不存在
6.C 不能同时为
二、填空题
1.
2.
3.
4. 可看Fra Baidu bibliotek原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
1.A恢复后的原图形为一直角梯形
2.A
3.B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则 ，
4.A
5.C中截面的面积为 个单位，
6.D过点 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
二、填空题
1. 画出圆台，则
2. 旋转一周所成的几何体是以 为半径，以 为高的圆锥，
3. 设 ，
4. 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案
3. 作等积变换： 而
4. 或 不妨固定 ，则 有两种可能
5. 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；
（2）是对的；（3）是错的；（4）是对的
三、解答题
1.证明：
2.略
第二章 点、直线、平面之间的位置关系[综合训练B组]
一、选择题
1.C正四棱柱的底面积为 ，正四棱柱的底面的边长为 ，正四棱柱的底面的对角线为 ，正四棱柱的对角线为 ，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
2．异面直线；平行四边形； ； ； 且
3．
4． 注意 在底面的射影是斜边的中点
5．
三、解答题
1．证明： ， 不妨设 共面于平面 ，设
，即 ，所以三线共面
2．提示：反证法
3．略
第二章 点、直线、平面之间的位置关系[提高训练C组]
一、选择题
1．A③若 ， ，则 ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系
3.解：令 则 可看作圆 上的动点到点 的连线的斜率
而相切时的斜率为 ， 。
4.解：（1） ①； ②；
② ①得： 为公共弦所在直线的方程；
（2）弦长的一半为 ，公共弦长为 。
第四章 圆和方程[提高训练C组]
一、选择题
1.C由平面几何知识知 的垂直平分线就是连心线
2.B对 分类讨论得两种情况3.C
4.A 5.C直线的倾斜角为 ，得等边三角形
3.D垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系
4.B连接 ，则 垂直于平面 ，即 ，而 ，
5.D八卦图可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交
6.C当三棱锥 体积最大时，平面 ，取 的中点 ，
则△ 是等要直角三角形，即
二、填空题
1.异面或相交就是不可能平行
2. 直线 与平面 所成的 的角为 与 所成角的最小值，当 在 内适当旋转就可以得到 ，即 与 所成角的的最大值为
3.C ，相切时的斜率为
4.D设圆心为
5.A圆与 轴的正半轴交于
6.D得三角形的三边 ，得 的角
二、填空题
1. ，
2.
3.相切或相交 ；
另法：直线恒过 ，而 在圆上
4. 圆心为 ，
令
5.
三、解答题
1.解：显然 为所求切线之一；另设
而
或 为所求。
2.解：圆心为 ，则圆心到直线 的距离为 ，半径为
得弦长的一半为 ，即弦长为 。
，或 为所求。
2.解：由 得两直线交于 ，记为 ，则直线
垂直于所求直线 ，即 ，或
，或 ，
即 ，或 为所求。
3.证明： 三点共线，
即
即
的近似值是：
4.解：由已知可得直线 ，设 的方程为
则 ， 过
得
第三章 直线和方程[提高训练C组]
一、选择题
1.A
2.D
3.D 4.A
5.D斜率有可能不存在，截距也有可能为
6.B点 在直线 上，则过点 且垂直于已知直线的直线为所求
二、填空题
1.
2. 的倾斜角为
3. ，或
设
4. 5.二
三、解答题
1.解：过点 且垂直于 的直线为所求的直线，即
2.解： 显然符合条件；当 ， 在所求直线同侧时，
，或
3.解：设 ，
则
当 时， 取得最小值，即
4.解： 可看作点
到点 和点 的距离之和，作点 关于 轴对称的点
第四章 圆和方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.A 关于原点 得 ，则得
2.A设圆心为 ，则
3.B圆心为
4.A直线 沿 轴向左平移 个单位得
圆 的圆心为
5.B两圆相交，外公切线有两条
6.D 的在点 处的切线方程为
二、填空题
1. 点 在圆 上，即切线为
2.
3. 圆心既在线段 的垂直平分线即 ，又在
上，即圆心为 ，
数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练A组]
一、选择题
1. A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台
2.A因为四个面是全等的正三角形，则
3.B长方体的对角线是球的直径，
4.D正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是
5.D
6.D设底面边长是 ，底面的两条对角线分别为 ，而
二、填空题
1． 设圆锥的底面半径为 ，母线为 ，则 ，得 ， ，得 ，圆锥的高
2.
3.
4.
5.
三、解答题
1.解：圆锥的高 ，圆柱的底面半径 ，
2.解：
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A组]
一、选择题
1. A⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面
如果按方案二，仓库的高变成 ，则仓库的体积
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成 ,半径为 .
棱锥的母线长为
则仓库的表面积
如果按方案二，仓库的高变成 .
棱锥的母线长为 则仓库的表面积
（3） ，
2.解：设扇形的半径和圆锥的母线都为 ，圆锥的半径为 ，则
； ；
第一章 空间几何体[综合训练B组]
一、选择题
6.D把 变化为 ，则
7.C
二、填空题
1. 方程 所表示的图形是一个正方形，其边长为
2. ，或
设直线为
3. 的最小值为原点到直线 的距离：
4． 点 与点 关于 对称，则点 与点
也关于 对称，则 ，得
5. 变化为
对于任何 都成立，则
三、解答题
1.解：设直线为 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
得 ，或
解得 或
而 即
二、填空题
1. 符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台
2.
3. 画出正方体，平面 与对角线 的交点是对角线的三等分点，
三棱锥 的高
或：三棱锥 也可以看成三棱锥 ，显然它的高为 ，等腰三角形 为底面。
4.平行四边形或线段
5． 设 则
设 则
三、解答题
1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成 ,则仓库的体积
④若 ， ，则 ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交
2．C设同一顶点的三条棱分别为 ，则
得 ，则对角线长为
3．B作等积变换
4．B 垂直于 在平面 上的射影
5．C
6．C取 的中点 ，取 的中点 ，
7．C取 的中点 ，则 ，在△ 中， ，
二、填空题
1. 或 分 在平面的同侧和异侧两种情况
2. 每个表面有 个，共 个；每个对角面有 个，共 个