二次函数提高拓展题(含答案)
二次函数能力提升含答案
二次函数一、填空题1.抛物线 y=x 2+2x -3的顶点坐标为 .2.假设),413(1y A -,),45(2y B -),41(3y C 为二次函数542-+=x x y 的图象上的三点,那么1y ,2y ,3y 的大小关系是 .〔用“<〞号连接〕3.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象及x 轴交于A (1,0),B (3,0)两点,及y 轴交于点C (0,3),那么二次函数的解析式是__________________4.如图,二次函数y 1=ax 2+bx +c 及一次函数y 2=kx +m 的图 象相交于 A 〔-2,4〕、B 〔8,2〕两点,那么能使关于x 的不等式ax 2+(b -k )x +c -m >0 成立的x 的取值范围是____________.5抛物线的顶点坐标为〔2,9〕,且它在x 轴上截得的线段长为6, 那么该抛物线的解析式为__________________ .6、如下图,P 是边长为1的正三角形ABC 的BC边上一点,从P 向AB 作垂线PQ ,Q 为垂足.延长QP 及AC 的延长线交于R ,设BP =x〔0≤x ≤1〕,△BPQ 及△CPR 的面积之与为y ,把y 表示为x 的函数是____________________________.二 选择题7.抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是〔 〕A .直线x =-2B .直线 x =2C .直线x =-3D .直线x =38.将抛物线122--=x y 向上平移假设干个单位,使抛物线及坐标轴有三个交点,如果这些交点能构成直角三角形,那么平移的距离为〔 〕A .23个单位B .1个单位C .21个单位D .2个单位x y O A B9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A 〔1,2〕,B 〔3,2〕,C 〔5,7〕.假设点M 〔-2,y 1〕,N 〔-1,y 2〕,K 〔8,y 3〕也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上,那么以下结论正确的选项是〔 〕A .y 1<y 2<y 3B .y 2<y 1<y 3C .y 3<y 1<y 2D .y 1<y 3<y 210二次函数 y =ax 2-ax +1 (a ≠0)的图象及x 轴有两个交点,其中一个交点为(31,0),那么另一个交点坐标为〔 〕A .(21, 0) B . (32, 0) C . (31, 0) D .(61,0)11.函数65)1(2---=x x m y 是关于x 的二次函数,那么m ( ).A .等于1B .不等于1C .等于1-D .不等于1-12.假设二次函数的解析式为3422+-=x x y ,那么其函数图象及x 轴交点的情况是〔 〕A .没有交点B .有一个交点C .有两个交点D .无法确定13.在同一直角坐标系中,函数y =mx +m 与函数y =-mx 2+2x +2〔m 是常数,且m ≠0〕的图象可能..是〔 〕. 14.如图,等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上,顶点C 在y 轴正半轴上,B 〔4,2〕,一次函数1y kx =-的图象平分它的面积,关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象及坐标轴只有两个交点,那么m 的值为〔 〕. A .0B .21-C .-1D .0或21-或-1 15.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图〔2〕所示,那么下面结论成立的是〔 〕A.0>a ,0<bcB.0<a ,0>bcC.0>a ,0>bcD.0<a ,0<bc16.假设二次函数2()1y x m =--.当x ≤l 时,y 随x 的增大而减小,那么m 的取值范围是〔 〕A .m =lB .m >lC .m ≥lD .m ≤l三、解答题 17、二次函数25y x kx k =-+-. ⑴求证:无论k 取何实数,此二次函数的图像及x 轴都有两个交点;⑵假设此二次函数图像的对称轴为1x =,求它的解析式;18、如图,抛物线y=ax 2+bx -4a 经过A (-1,0)、C (0,4)两点,及x 轴交于另一点B .〔1〕求抛物线的解析式; 〔2〕点D (m ,m +1)在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标; 19、二次函数2y ax bx c =++的图象Q 及X 轴有且只有一个交点P ,及Y 轴的交点为B 〔0,4〕,且ac =b , 〔1〕求该二次函数的解析表达式。
二次函数应用(能力提高)附答案.doc
二次函数应用(能力提高)一、选择题:1、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时,y 随着x 的增大而增大,当x<1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( )(A )12 (B )11 (C )10 (D )92、下列四个函数中,y 的值随着x 值的增大而减小的是( ) (A )x y 2=(B )()01>=x xy (C )1+=x y (D )()02>=x x y 3、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图,OA=OC ,则 ( ) (A ) ac+1=b (B ) ab+1=c (C )bc+1=a (D )以上都不是4、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(-1,0),则S=a+b+c 的变化范围是 ( )(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<15、如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ) (A )8 (B )14 (C )8或14 (D )-8或-146、把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是( )(A )()1232+-=x y (B ) ()1232-+=x y (C ) ()1232--=x y(D )()1232++=x y7、(3)已知抛物线y=ax 2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )A.一、二、三象限B.一、二、四象限 C .一、三、四象限D.一、二、三、四象限8、若0<b ,则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在 ( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限9、已知二次函数222)(22b a x b a x y +++-= ,b a , 为常数,当y 达到最小值时,x 的值为 ( ) (A )b a + (B )2b a + (C )ab 2- (D )2ba - 10、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是( )二、填空题:C A y xO11、已知二次函数y =ax 2(a ≥1)的图像上两点A 、B 的横坐标分别是-1、2,点O 是坐标原点,如果△AOB 是直角三角形,则△OAB 的周长为 。
《二次函数》拓展精练
数学篇同步1.下列关于二次函数y =3(x +1)(2-x )的图象和性质的叙述中,正确的是().A.点(0,2)在函数图象上B.开口方向向上C.对称轴是直线x =1D.与直线y =3x 有两个交点2.已知抛物线y =x 2+mx 的对称轴为直线x =2,则关于x 的方程x 2+mx =n 2+1的根可能是().A.0,4 B.1,5 C.1,-5D.-1,53.向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 米,且时间与高度的函数表达式为y =ax 2+bx +c (a ≠0),若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等,则下列时间中炮弹所在高度最高的是().A.第7秒 B.第9秒C.第11秒 D.第13秒4.如图1,在菱形ABCD 中,AB =6,∠B =60°,矩形PQNM 的四个顶点分别在菱形的四边上,AP =AQ =CM =CN ,则矩形PMNQ 的最大面积为().A.63B.73C.83D.935.在平面直角坐标系中,将抛物线C :y =2x 2-(m +1)x +m 绕原点旋转180°后得到抛物线C ',在抛物线C ′上,当x <1时,y 随x 的增大而增大,则m 的取值范围是().A.m ≥5 B.m ≤5 C.m ≥-5D.m ≤-56.已知二次函数y =-x 2-2x +3,当a ≤x ≤12时,函数值y 的最小值为1,则a 的值为.7.把二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象作关于x 轴的对称变换,所得图象的解析式8.汽车刹车后行驶的距离s (单位:m )关于行驶的时间t (单位:s )的函数解析式是s =15t -6t 2,则汽车刹车后前进了m 停下来.9.如图2,在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案.已知抛物线上B 、C 两点的高度相同,到墙边OA 的距离分别为0.5米,1.5米.若该墙的长度为10米,则最多可以连续绘制个这样的抛物线型图案.图2图310.已知:如图3,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,其中A 点坐标为(-1,0),点C (0,5),抛物线经过点(1,8),M 为它的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)求△MCB 的面积.11.某医疗用品商店用7320元购进甲、乙两种紫外线杀菌消毒灯各120台,已知乙消毒灯每台进价比甲消毒灯每台进价多9元.经市场调查发现,甲消毒灯每天的销量y 1(单位:台)与售价x (单位:元)的函数关系为y 1=-2x +109,乙消毒灯每天的销量y 2(单位:台)与售价z (单位:元)的函数关系为y 2=-z +78,其中x ,z 均为整数.商店按照每台甲消毒灯和每台乙消毒灯的利润相同的标准确定销售单价,并且销售单价均高于进价.(1)求甲、乙两种消毒灯每台的进价;(2)当甲消毒灯的销售单价为多少元时,两种消毒灯每天销售的总利润相同?(3)当这两种消毒灯每天销售的总利润《二次函数》拓展精练福建漳州孙琪图1。
中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.已知二次函数2281y x x =-+,当11x -≤≤时,函数y 的最小值是( )A .1B .5-C .6-D .7-2.把一抛物线向上平移3个单位,再向左平移1个单位得到的解析式为22y x =,则原抛物线的解析式为( ) A .()2213y x =-+B .()2213y x =++C .()2213y x =+-D .()2213y x =--3.新定义:若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为“三倍点”,如:()1,3A 与()2,6B --,()0,0C 等都是“三倍点”.若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内,至少存在一个“三倍点”,则c 的取值范围是( )A .45c -≤<B .43c -≤<-C .164c -≤<D .114c -≤< 4.如图为2y x bx c =++的图象,则( )A .0b > 0c <B .0b > 0c >C .0b < 0c >D .0b < 0c < 5.把抛物线22y x =-先向右平移6个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得函数的表达式为( )A .22(6)2y x =-++B .22(6)2y x =-+-C .22(6)2y x =--+D .22(6)2y x =---6.如图,抛物线2y ax c =-经过正方形OACB 的三个顶点A ,B ,C ,点C 在y 轴上,则ac 的值为( )A .1B .2C .3D .47.如图,菱形ABCD 的边长为3cm ,=60B ∠︒动点P 从点B 出发以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA --运动,到达点A 后停止运动;同时动点Q 从点B 出发,以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动,到达点A 后停止运动.设点P 的运动时间为(s)x ,BPQ 的面积为()2cm y ,则y 关于x 的函数图象为( )A .B .B .C .D .8.已知在平面直角坐标系中,抛物线1C 的图象如图所示,对称轴为直线2x =-,将抛物线1C 向右平移2个单位长度得到抛物线2C :2y ax bx c =++ (a 、b 、c 为常数,且0a ≠),则代数式b c a +-与0的大小关系是( )A .0b c a +-<B .0b c a +-=C .0b c a +->D .不能确定二、填空题9.若关于x 的二次函数2321y x x m =-+-的值恒为正数,则m 的取值范围为 . 10.将抛物线2(1)2y x =++先向右平移3个单位,再向下平移4个单位,则所得抛物线的解析式为 .11.小华酷爱足球运动一次训练时,他将足球从地面向上踢出,足球距地面的高度h (单位:m )与足球被踢出后经过的时间t (单位:s )之间的关系为:2412h t t =-+,则足球距离地面的最大高度为 m .12.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4m ,若水面下降1m ,则水面宽度增加 m .(结果可保留根号)13.如图,抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-,且抛物线与x 轴交于A ,B两点,若5OA OB =,则下列结论中:①0abc >;①()220a c b +->;①50a c +=;①若m 为任意实数,则224am bm b a ++≥,正确的是 .(填序号)三、解答题 14.已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1030A B ,,,两点 (1)求抛物线的函数表达式;(2)当x 取何值时,y 随x 的增大而减小.15.如图,抛物线214y x bx c =++过点()0,0O ,()10,0E 矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧),点C ,D 在抛物线上.设动点B 坐标为(),0t .(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)当t 为何值时矩形ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?16.“潼南柠檬”获评国家地理标志商标,被认定为全国名特优新农产品,柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食.一家超市销售了净重500g 一袋的柠檬即食片,进价为每袋10元.销售过程中发现,如果以单价14元销售,那么一个月内可售出200袋.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量减少,即销售单价每提高1元,每月销售量相应减少20袋.根据物价部门规定,这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元.(1)求每月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式;(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为w (元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?最大利润是多少?(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w 稳定在900元,销售单价应定为多少元?17.如图,一名同学推铅球,铅球出手后行进过程中离地面的高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )近似满足函数关系212123y x x c =-++.已知铅球落地时的水平距离为10m .(1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时,铅球离地面最高?(2)在铅球出手后的行进过程中,当它离地面的高度为5m 3时,此时铅球的水平距离是多少?18.我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品,根据生产经验,每人每天生产2件甲产品或1件乙产品(每人每天只能生产一种产品).甲产品生产成本为每件10元;若安排1人生产一件乙产品,则成本为38元,以后每增加1人,平均每件乙产品成本降低2元.规x x≥人生产乙产品.定甲产品每天至少生产20件.设每天安排()1(1)根据信息填表:产品种类每天工人数(人)每天产量(件)每件产品生产成本(元)甲10-乙x402x(2)为了增加利润,企业须降低成本,该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低?最低成本是多少?参考答案:1.B2.D3.A4.D5.D6.B7.D8.C9.43m > 10.2(2)2y x =--11.912.()264-13.③④/④③14.(1)243y x x =-+(2)当2x <,y 随x 的增大而减小15.(1)抛物线的函数表达式为21542y x x =-,顶点坐标为2554⎛⎫- ⎪⎝⎭,; (2)当1t =时,矩形ABCD 的周长有最大值,最大值为412.16.(1)()480201018y x x =-≤≤; (2)当销售单价定为17元时,每月可获得最大利润;每月获得最大利润为980元.(3)当销售单价定为15元时,每月获得利润可稳定在900元.17.(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距3m 远时,铅球离地面最高为3m(2)此时铅球的水平距离为8m18.安排10名工人生产甲产品,10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低,最低成本是400元。
中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项提升练习(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.已知,如图,抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=6,OB=43点P为x轴下方的抛物线上一点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)连接AP、CP,求四边形AOCP面积的最大值;(3)若点P到AB和AC两边的距离相等,求点P的坐标.2.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.过点D(−52,34),且顶点P的坐标为(−1,3).(1)求二次函数的解析式;(2)如图1,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CD的上方.连接MC,MD求△MCD面积的最大值;(3)如图2,设点Q是抛物线对称轴上的一点,连接QC,将线段QC绕点Q逆时针旋转90°,点C的对应点为F,连接PF交抛物线于点E,请直接写出点E的坐标.3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,3)、B(6,0),AC⊥x轴,垂足为点C,直线y=12x与抛物线y=−14x2+2x相交于点O、D过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线PE交射线OA于点E.(1)求点D的坐标;(2)设点P的横坐标为a a≠3求以点A、B、C、E为顶点的四边形的面积S与a的函数关系式;(3)设直线PE交射线OD于点F交抛物线于点Q以FQ为一边在FQ的右边作矩形FQMN若FN=32且矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形求出a的取值范围.4.在平面直角坐标系中设直线l的解析式为:y=kx+m(k、m为常数且.k≠0) 当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时我们称直线l与这条曲线“相切” 这个公共点叫做“切点”.(1)求直线l:y=−x+6与双曲线y=9x的切点坐标;(2)已知一次函数y1=2x二次函数y2=x2+1是否存在二次函数y3=ax2+bx+c其图象经过点(−3,2)使得直线y1=2x与y2=x2+1,y3=ax2+bx+c都相切于同一点? 若存在求出y3的解析式;若不存在请说明理由;(3)已知直线l1:y=k1x+m1(k1≠0)直线l2:y2=k2x+m2(k2≠0)是抛物线y=−x2+2x+2的两条切线当l1与l2的交点P的纵坐标为4时试判断k1⋅k2是否为定值并说明理由.5.如图在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=512x2−136x−2与x轴的交点分别为点A B与y轴的交点为点C.(1)求直线BC解析式;(2)点P为第四象限的抛物线上一点连接PB、PC当PB=PC时求点P的坐标;(3)在(2)的条件下连接OP点M在y轴的负半轴上连接MP∠OMP=∠CBP N为OM的中点点Q 在OP上连接MQ、NQ,MQ交抛物线于点R当MQ=2NQ时求R点的横坐标.6.如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若抛物线与x轴交于B(4,0)C(−2,0)两点与y轴交于点A(0,−2).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1 若点E是直线CA下方的抛物线上一点过点E作EF∥AB交x轴于点F且EF=√5求点E的横坐标;(3)如图2 点M在点B的正下方连接CM交抛物线于点N直线BN交对称轴于点P作PQ∥CM交射线BM于点Q求BQ的大小.7.如图在平面直角坐标系xOy中已知直线y=−x−3与x轴交于点A与y轴交于点C过A C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0)抛物线对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式;(2)点M为直线AC下方抛物线上一点当△MAC的面积最大时求点M的坐标;(3)点P是抛物线上的点过点P作l的垂线垂足为D E是l上的点.要使得以P D E为顶点的三角形与△BOC全等请求出点P点E的坐标;8.如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A B两点与y轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(−1,0),C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P使得|PB−PC|的值最大求此点P的坐标;(3)点M为该抛物线的顶点直线MD⊥x轴于点D在直线MD上是否存在点N使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离?若存在求出点N的坐标;若不存在请说明理由;9.在平面直角坐标系中点O为坐标原点抛物线y=ax2+x+6交x轴负半轴于A交正半轴于B交y 轴于C OB=OC.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1 点P是第三象限抛物线上一点连接BP交y轴于点D设点P横坐标为t线段CD长为d求d与t的函数关系;(3)如图2 在(2)的条件下过点C作BP的垂线交x轴于点F垂足为点G E为CF上一点连接BE 若BE=BD∠BEG=2∠PBA求点P坐标.10.如图1 在平面直角坐标系中O为坐标原点AD为等腰直角△ABC底边BC上的高抛物线y=a(x−2)2+4的顶点为点A且经过B C两点B C两点在x轴上.(1)求该抛物线的解析式;(2)如图2 点E为抛物线上位于直线AC上方的一点过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N求线段EN的长度最大值及此时点E的坐标;(3)如图2 点M(5,b)是抛物线上的一点点P为对称轴上一动点在(2)的条件下当线段EN的长度最大时求PE+PM的最小值.11.抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左边)与y轴交于点C.(1)求抛物线的对称轴;(2)求证:不论a取何值函数图象必过两个定点;(3)如图若OB=OC点P是直线BC(不与B C重合)上一动点过点P作x轴的垂线交抛物线于M点连接CM将△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上求此时点P的坐标.12.已知抛物线y=a(x+6)(x−2)经过点(0,2)交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧)抛物线的顶点为D对称轴DE交x轴于点E连接EC.(1)直接写出a的值点A的坐标;(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点当△MCE是等腰三角形时求点M的坐标;(3)点P是抛物线上的动点连接PC、PE将△PCE沿CE所在的直线对折点P落在坐标平面内的点P′处.直接写出点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标.13.综合与探究如图1 抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−4,0)B(3,0)两点与y轴交于点C连接AC BC现将△ABC沿x轴向右平移至△A′B′C′线段A′C′与线段BC交于点E与抛物线交于点F.(1)求出抛物线和直线BC的函数表达式;(2)当线段FE的长度最大时求此时点F的坐标;(3)如图2 连接OC′将△OA′C′沿着A′C′翻折得到△O′A′C′是否存在某一时刻使得点O′恰好在抛物线上若存在请直接写出此时平移的距离;若不存在请说明理由.14.如图1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a b c为常数且a≠0)的图像与x轴交于A B两点(A 点在B点左侧)与y轴交于点C(0,3)且其函数表达式可以变形为y=a(x+1)(x−3)的形式.已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点设其横坐标为m.(1)求出点A点B的坐标和该二次函数的表达式;(2)连接BC过点P作PQ⊥x轴于点Q交BC于点N直线AP交y轴于点M连接MN.①求出直线AP的函数表达式(用含有m的代数式表示);②设四边形MNQO的面积为S求S关于m的函数关系式并求S的最大值;(3)如图2 若直线l为该二次函数图像的对称轴交x轴于点H直线AP BP分别交直线l于点E F.在点P运动的过程中HF+HE是否为定值?若是请求出该定值;若不是请说明理由.15.在平面直角坐标系中关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a b c为常数且a<0)与x轴交于两个不同的点A(x1,0)B(x2,0)(x1<x2)与y轴交于点C抛物线的顶点为M.(1)如图1 已知a=−1b=2c=3.①求此二次函数图象的顶点M的坐标;②点E是x轴正半轴上的一个动点过点E作直线PE⊥x轴交抛物线于点P交直线BC于点F.当点E在线EF求此时点P的坐标.段OB上运动时(不与点O B重合)恰有线段PF=12(2)如图2 当c=0时点P是抛物线对称轴左侧图像上任意一点过点P作PE⊥x轴于点E连接MP交y轴于点Q连接EQ MB.则EQ MB有怎样的位置关系?说明理由.16.如图抛物线的顶点坐标为(2,−3)与y轴交于点C(0,1).(1)求抛物线的解析式;(2)求点A B的坐标及线段AB的长;(3)求△ABC的外接圆⊙D的半径;(4)若(3)中的⊙D交抛物线的对称轴于M N两点(点M在点N的上方)在对称轴右边的抛物线上有一动点P连接PM PN PC线段PC交弦MN于点G.若PC把图形PMCN(指圆弧MCN和线段PM PN组成的图形)分成两部分当这两部分面积之差等于4时求出点P的坐标.17.如图在平面直角坐标系中抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于点A点B与y轴交于点C.(1)如图1 连接AC直接写出sin∠ACO的值;(2)如图2 连接BC.点G(1,a)在抛物线上连接CG、BG若异于点G的点H也在抛物线上且S△BCH= S△BCG求点H的坐标;(3)如图3 若直线y=mx+n与抛物线交于点P Q连接AP交y轴正半轴于点M连接AQ交y轴负半轴于点N若OM⋅ON=32求4m+n的值.18.如图1 已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3)其顶点为D(1,2).(1)求二次函数的表达式;(2)直线CD与x轴交于M现将线段CM上下移动若线段CM与二次函数的图象有交点求CM向上和向下平移的最大距离;(3)若将(1)中二次函数图象平移使其顶点与原点重合然后将其图象绕O点顺时针旋转90°得到抛物线G如图2所示直线y=−x+2与G交于A B两点P为G上位于直线AB左侧一点求ΔABP面积最大值及此时点P的坐标.19.如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(−1,6)与x轴交于点A(−4,0)B 两点与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点过点P作PD∥y轴交AC于点D求PD的最大值及此时点P的坐标;个单位长度得到新抛物线y′新抛物线y′的对称轴交x轴于点M点N是直(3)将该抛物线沿x轴向右平移52线AC上一点在平面内确定一点K使得以C,M,N,K为顶点的四边形是以CN为边的菱形写出所有符合条件的点K的坐标并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程.20.如图抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0)B两点与y轴交于点C(0,3).(1)求该抛物线的解析式;(2)如图(1)点P是线段BC上的一动点过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q连接CQ若CQ平分∠OCB求点P的坐标;(3)如图(2)过A B C三点作⊙I直线y=t(t>3)交⊙I于点M N交抛物线于点E F.若EM+FN=MN求t的值参考答案:1.(1)y =x 2+143x −8 (2)51(3)P (56,−4112)【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 先求出直线AC 的解析式 设P (t,t 2+143t −8) 则D (t,−43t −8) 则PD =−t 2−6t 求出S △APC 的最大值 再由S 四边形AOCP =S △ACP +S △AOC 可知当S △APC最大时 S 四边形AOCP 最大 由此即可得到答案;(3)如图所示 取点E 使其坐标为(4,0) 连接AC 、CE 取CE 中点F 连接AF 先证明AE =AC 进而得到AF 平分∠CAE 则直线AF 上的点到AC AB 的距离相等 由此即可知点P 即为直线AF 与抛物线的交点 据此求解即可.【详解】(1)解:∵OA =6∵A (−6,0)∵可设抛物线解析式为y =a (x +6)(x −43)又∵当x =0时 y =−8 即C (0,−8)∵6×(−43)a =−8 ∵a =1∵抛物线解析式为y =(x +6)(x −43)=x 2+143x −8;(2)解:如图所示 连接AC 过点P 作PD ⊥x 轴交AC 于D 设直线AC 的解析式为y =kx +b 1∵{−6k +b 1=0b 1=−8∵{k =−43b 1=−8∵直线AC 的解析式为y =−43x −8设P(t,t2+143t−8)则D(t,−43t−8)∵PD=−43t−8−(t2+143t−8)=−t2−6t∵S△APC=S△APD+S△CPD=12PD⋅(x P−x A)+12PD⋅(x C−x P)=12PD⋅(x C−x A)=3PD=−3(t+3)2+27∵−3<0∵当t=−3时S△APC最大最大为27∵S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC∵S四边形AOCP=S△ACP+24∵当S△APC最大时S四边形AOCP最大最大为27+24=51;(3)解:如图所示取点E使其坐标为(4,0)连接AC、CE取CE中点F连接AF∵A(−6,0)C(0,−8)∠AOC=90°∵AE=10,AC=√OA2+OC2=10∵AC=AE∵F是CE的中点∵AF平分∠CAE∵直线AF上的点到AC AB的距离相等设直线AF的解析式为y=k1x+b2∵{−6k1+b2=0 2k1+b2=−4∵{k1=−12 b2=−3∵直线AF的解析式为y=−12x−3联立{y=−12x−3y=x2+14x3−8得6x2+31x−30=0解得{x=56y=−4112或{x=−6y=0(舍去)∵点P的坐标为(56,−4112).【点睛】本题主要考查了二次函数的综合一次函数与几何综合角平分线的性质等腰三角形的性质与判定勾股定理等等正确作出辅助线是解题的关键.2.(1)y=−x2−2x+2(2)12564(3)(−2,2)或(−1,3)【分析】(1)用待定系数法即可求解;(2)由△MCD面积=S△MHD+S△MHC即可求解;(3)①当点Q在点C的下方时证明△QNF≌△CQH(AAS)得到CG=2−t=QN QH=1=FN则点F(t−3,t+1)求出直线PF的表达式进而求解;②当点Q在点C的上方时同理可得:点F′的坐标为(t−3,t−1)进而求解.【详解】(1)解:设抛物线的表达式为:y=a(x−ℎ)2+k则y=a(x+1)2+3将点C的坐标代入上式并得:34=a(−52+1)2+3解得:a=−1故抛物线的表达式为:y =−(x +1)2+3=−x 2−2x +2 即y =−x 2−2x +2;(2)解:由抛物线的表达式知 点C (0,2)如图1 过点M 作MH∥y 轴交CD 于点H设直线CD 的表达式为:y =sx +t则{34=−52s +t t =2解得{s =12t =2 故直线CD 的表达式为:y =12x +2 设点M(m,−m 2−2m +2) 点H(m,12m +2) 则△MCD 面积=S △MHD +S △MHC =12MH ×(x C −x D )=12×[(−m 2−2m +2)−(12m +2)]×52 =−54(m 2+52m) ∵ −54<0 故函数由最大值当m =−54时 △MCD 面积的最大值为12564;(3)设点Q(−1,t) 如图2①当点Q 在点C 的下方时过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点H 交过点F 与y 轴的平行线于点N∵∠FQN +∠QFN =90°∴∠QFF =∠CQH∵∠N =∠CHQ =90°∴△QNF ≌△CQH (AAS )∴CH =2−t =QN∴点F(t −3,t +1)设直线FP 的表达式为:y =px +q则{3=−p +q t +1=p(t −3)+q解得{p =1q =4 故直线PF 的表达式为:y =x +4②联立直线PE 与抛物线的:{y =x +4y =−x 2−2x +2解得:{x =−2y =2(不合题意的值已舍去) 即点E(−2,2);②当点Q 在点C 的上方时同理可得:点F′的坐标为(t −3,t +1)由点P F ′的坐标得:直线PF ′的表达式为y =x +4 同情况①故点E(−2,2);当点F 与点E 重合时 也符合题意综上 点E 的坐标为(−2,2)或(−1,3).【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质;会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题;会解一元二次方程;理解坐标与图形性质.3.(1)D(6,3)(2)S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3)(3)a =3−√3或a =94或3≤a <4【分析】(1)联立两个函数解析式解方程组即可;(2)先求解直线OA 的解析式为y =x 可得点E(a,a) 再分两种情况讨论即可;(3)分情况讨论:①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ②如图 当AC 为矩形FQMN 的对称轴时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形 ③如图 当PQ 与AC 重合时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 ④如图 当点F 为直线OD 与AB 的交点时 可得当3≤a <4时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为等腰直角三角形 是轴对称图形 从而可得答案.【详解】(1)解:联立y =12x 和y =−14x 2+2x 得{x =0,y =0 或{x =6y =3∵点D(6,3).(2)设直线OA 的解析式为y =kx∵点A(3,3)∴3k =3 解得k =1∴直线OA 的解析式为y =x .∵点P 的横坐标为a,PE ∥y 轴 且交射线OA 于点E∴点E(a,a).当0<a <3时 如图S =S △OAB −S △OCE =12×6×3−12×3a =9−32a . 当a >3时 如图S =S △OBE −S △OAC =12×6a −12×3×3=3a −92. 综上 S ={9−32a (0<a <3)3a −92(a >3); (3)①如图 当a <3 且FQ =FN 时 矩形FQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形∵FQ=FN∴−14a2+2a−12a=32解得a=3±√3其中a=3+√3不满足a<3∴a=3−√3.②如图当AC为矩形FQMN的对称轴时矩形FQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形此时∴32=2(3−a)解得a=94.③如图当PQ与AC重合时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形此时a=3.④如图当点F为直线OD与AB的交点时∵点A(3,3),B(6,0)∵AB所在的直线方程为y=−x+6联立y=−x+6和y=12x解得x=4.∴当3≤a<4时矩形FQMN与△AOB重叠部分为等腰直角三角形是轴对称图形综上 a 的取值范围是a =3−√3或a =94或3≤a <4. 【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象与性质 列二次函数关系式 矩形的性质 轴对称图形的性质 一元二次方程的解法 清晰的分类讨论 熟练的运用数形结合的方法解题是关键.4.(1)切点坐标为(3,3)(2)y 3=12x 2+x +12(3)k 1⋅k 2是定值【分析】(1)联立直线和双曲线解析式得到关于x 的一元二次方程 由相切的定义得出x 的值 解之可得;(2)联立{y =2x y =x 2+1可得切点为(1,2) 从而得出y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3,2) (1,2) 利用待定系数法得出y 3=ax 2+2ax +2−3a 联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x 得:ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 利用Δ=0得出a =12 b =1 c =12 即可得解;(3)由l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4 可令P(t ,4) 则直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4 联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得:x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 由直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线 可得Δ=k 12+(4t −4)k 1−4=0 同理可得:k 22+(4t −4)k 2−4=0 从而得出k 1,k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根 最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.【详解】(1)解:联立{y =−x +6y =9x得:x 2−6x +9=0 解得:x =3∴切点坐标为(3,3);(2)解:∵直线y 1=2x 与二次函数y 2=x 2+1相切∴联立{y =2x y =x 2+1得:x 2−2x +1=0 解得:x =1∴切点为(1,2)∵ y 1=2x 与y 2=x 2+1,y 3=ax 2+bx +c 都相切于同一点∴ y 3=ax 2+bx +c 经过点(−3,2)∴{a +b +c =29a −3b +c =2解得:{b =2a c =2−3a∴y 3=ax 2+2ax +2−3a联立{y =ax 2+2ax +2−3a y =2x得:ax 2+(2a −2)x +2−3a =0 ∴Δ=(2a −2)2−4×a ×(2−3a )=4a 2−8a +4−8a +12a 2=16a 2−16a +4=(4a −2)2=0 解得:a =12 ∴b =2a =1∴ y 3的解析式为:y 3=12x 2+x +12; (3)解:k 1⋅k 2是定值理由如下:∵ l 1与l 2的交点P 的纵坐标为4∴令P(t ,4)∴直线l 1:y =k 1x +m 1=k 1t +m 1=4 直线 l 2:y 2=k 2x +m 2=k 2t +m 2=4∴m 1=4−k 1t∴直线l 1:y =k 1x −k 1t +4 直线 l 2:y 2=k 2x −k 2t +4联立{y =k 1x −k 1t +4y =−x 2+2x +2得:x 2+(k 1−2)x −k 1t +2=0 ∵直线l 1:y =k 1x +m 1(k 1≠0)是抛物线y =−x 2+2x +2的切线∴Δ=(k 1−2)2−4×1×(2−k 1t )=k 12−4k 1+4−8+4k 1t =k 12+(4t −4)k 1−4=0同理可得:k 22+(4t −4)k 2−4=0∴ k 1,k 2为x 2+(4t −4)x −4=0的两根∴k 1⋅k 2=−4.【点睛】本题是二次函数综合题 考查了新定义 二次函数的性质 一元二次方程的根与系数的关系等知识 解题的关键是理解题意 学会构建方程组解决问题 属于中考压轴题.5.(1)y =13x −2(2)P (4,−4)(3)0或5−√2655【分析】(1)令抛物线y =0 x =0 求出点B C 的坐标 设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 即可求解;(2)由题意得△PBC 是等腰三角形 即点P 在过点B C 的BC 中点且垂直于直线BC 的直线上 求出点B C的中点坐标 设点P (a,512a 2−136a −2) 利用勾股定理即可求出a 的值 求出符合点点P 特征的点即可;(3)过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F 根据(2)的结论结合已知分别证明△PFO,△PBC,△OPM 是等腰直角三角形 利用等腰直角三角形的性质求出点M 的坐标 进而得到N 点的坐标 求出直线OP 的解析式 设点Q (b,−b ) 利用两点间距离公式结合MQ =2NQ 求出点Q 的坐标 再求出直线MQ 的解析式 联立抛物线即可求解.【详解】(1)解:在抛物线y =512x 2−136x −2中 令x =0 则y=−2∴C (0,−2)令y =0 则512x 2−136x −2=0 即5x 2−26x −24=0解得:x 1=6,x 2=−45 ∵点B 在x 轴的正半轴∴B (6,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 代入点B C 的坐标 得{−2=b 0=6k +b解得:{b =−2k =13∴直线BC 的解析式为y =13x −2;(2)解:设点P (a,512a 2−136a −2) ∵ PB =PC ∴PB 2=PC 2 即(a −6)2+(512a 2−136a −2)2=a 2+(512a 2−136a −2+2)2整理得:a 2+2a −24=0解得:a =4或a =−6(舍去 不符合题意)当a =4时∴P (4,−4);(3)解:如图 过点P 作PF ⊥x 轴 垂足为点F由(2)知点P(4,−4)∴PF=OF=4∴△PFO是等腰直角三角形∴∠POF=∠POM=45°∵PC=√(4−0)2+[(−4)−(−2)]2=2√5,BC=√(0−6)2+(−2−0)2=2√10又PC2+PB2=BC2∴△PBC是等腰直角三角形∴∠BPC=90°,∠CBP=∠PCB=45°∵∠OMP=∠CBP∴∠OMP=45°∴△OPM是等腰直角三角形∴OP=MP∴OP=√42+(−4)2=4√2=MP∴OM=√OP2+MP2=8∵点M在y轴的负半轴上∴点M(0,−8)∵N为OM的中点∴N(0,−4)设直线OP的解析式为y=k′x(k′≠0)将P(4,−4)代入得−4=4k′解得k′=−1∴直线OP的解析式为y=−x设Q(b,−b)∵MQ=2NQ∴√b2+(−b+8)2=2√b2+(−b+4)2∴b=0或b=83当b=0时此时点Q与点O重合∴MQ与抛物线交点在y轴上∴点R的横坐标为0当b=83时设直线MQ的解析式为y=sx+t将点Q(83,−83)M(0,−8)代入得{−8=t−83=83s+t解得{s=2t=−8∵直线MQ的解析式为y=2x−8联立直线MQ与抛物线y=512x2−136x−2得{y=2x−8y=512x2−136x−2解得{x=5+√2655y=2√2655+2(舍去不符合题意)或{x=5−√2655y=2−2√2655∵此时MQ交抛物线于点R的横坐标为5−√2655综上点R的横坐标为0或5−√2655.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质一次函数解析式熟练掌握二次函数的图象及性质等腰直角三角形的判定及性质直角三角形的性质用待定系数法求函数的解析式是解题的关键.6.(1)y=14x2−12x−2(2)点E的横坐标为1−√5(3)BQ=92【分析】(1)将B(4,0)C(−2,0)A(0,−2)代入抛物线解析式得到{16a+4b+c=04a−2b+c=0c=−2求出a、b、c的值即可得出答案;(2)先利用待定系数法求出直线AB 的解析式为:y =12x −2 设点E 的坐标为(e ,14e 2−12e −2)(−2<e <0) 从而求出直线EF 的解析式为:y =12x +14e 2−e −2 进而得出F (2e +4−12e 2,0) 表示出EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2=√5 解方程即可得出答案;(3)设点M 的坐标为(4,m)(m <0) 待定系数法求出直线CM 的解析式为:y =m6x +m3 联立{y =m6x +m 3y =14x 2−12x −2得出N (12+2m 3,m2+9m9) 再利用待定系数法求出直线BN 的解析式为:y =m+96x −2m+183 从而得出P (1,−m−92) 利用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y =m 6x −4m+276从而得出Q (4,−92) 即可得解. 【详解】(1)解:∵ 抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于B(4,0) C(−2,0)两点 与y 轴交于点A(0,−2)∴{16a +4b +c =04a −2b +c =0c =−2解得:{a =14b =−12c =−2∴抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2; (2)解:设直线AB 的解析式为:y =k 1x +b 1 将A(0,−2) B(4,0)代入直线得:{0=4k 1+b 1b 1=−2解得:{k 1=12b 1=−2∴直线AB 的解析式为:y =12x −2 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴设点E 的坐标为(e ,14e 2−12e −2)(−2<e <0)∵EF ∥AB∴设直线EF 的解析式为:y =12x +b 2∴14e 2−12e −2=12e +b 2∴b 2=14e 2−e −2∴直线EF 的解析式为:y =12x +14e 2−e −2令y =0 则12x +14e 2−e −2=0 解得:x =2e +4−12e 2∴F (2e +4−12e 2,0)∴EF =√[e −(2e +4−12e 2)]2+(14e 2−12e −2)2=√(e −2e −4+12e 2)2+(14e 2−12e −2)2=√(12e 2−e −4)2+(14e 2−12e −2)2=√[2(14e 2−12e −2)]2+(14e 2−12e −2)2=√4(14e 2−12e −2)2+(14e 2−12e −2)2=√5(14e 2−12e −2)2∵EF =√5∴√5(14e 2−12e −2)2=√5∴(14e 2−12e −2)2=1 ∴14e 2−12e −2=1或14e 2−12e −2=−1 ∵点E 是直线CA 下方的抛物线上一点∴14e 2−12e −2<0 ∴14e 2−12e −2=−1 ∴e 2−2e −4=0解得:e =1+√5或e =1−√5∵−2<e <0 ∴e =1−√5∴点E 的横坐标为1−√5; (3)解:∵点M 在点B 的正下方 ∴设点M 的坐标为(4,m)(m <0) 设直线CM 的解析式为y =k 2x +b 2将C(−2,0) M(4,m)代入解析式得:{0=−2k 2+b 2m =4k 2+b 2解得:{k 2=m6b 2=m 3∴直线CM 的解析式为:y =m 6x +m3联立{y =m 6x +m 3y =14x 2−12x −2整理得:3x 2−(6+2m )x −(24+4m )=0∴(x +2)(3x −12−2m )=0解得:x 1=−2 ∴点N 的横坐标为12+2m 3纵坐标为y =12+2m36⋅m +m 3=12+2m 18⋅m +m 3=18m+2m 218=m 2+9m9∴N (12+2m 3,m 2+9m 9)设直线BN 的解析式为:y =k 3x +b 3 将B(4,0) N (12+2m 3,m 2+9m9)代入解析式得:{0=4k 3+b 3m 2+9m9=12+2m 3k 3+b 3解得:{k 3=m+96b 3=−2m+183∴直线BN 的解析式为:y =m+96x −2m+183∵抛物线的解析式为y =14x 2−12x −2 ∴对称轴为直线x =−−122×14=1∴点P 的横坐标为1 纵坐标为y =m+96×1−2m+183=−3m−276=−m−92∴P (1,−m −92) ∵PQ ∥CM∴设直线PQ 的解析式为y =m 6x +b 4∴−m −92=m6×1+b 4 解得:b 4=−4m−276∴直线PQ 的解析式为y =m6x −4m+276∵作PQ ∥CM 交射线BM 于点Q ∴点Q 的横坐标为4 纵坐标为y =m 6×4−4m+276=−92∴Q (4,−92)∴BQ =0−(−92)=92.【点睛】本题考查了二次函数综合题 待定系数法求二次函数解析式 一次函数解析式 二次函数综合—线段问题 勾股定理求两点之间的距离等知识点 熟练掌握以上知识点并灵活运用 采用数形结合的思想是解此题的关键. 7.(1)y =x 2+2x −3 (2)M (−32,−154)(3)P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0)【分析】(1)先求出A,C 的坐标 进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可;(2)过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x 由S △AMC =12MF ×|x C −x A |即可求解;(3)抛物线对称轴为直线x=−1.∠PDE =∠BOC OB =1 OC =3.设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 分两种情况当PD =OC DE =OB 时 △PDE ≌△COB 此时|−1−x |=3 当PD =OB DE =OC 时 △EDP ≌△COB 此时|−1−x |=1 求解即可. 【详解】(1)解:把x =0代入y =−x −3得y=−3; 把y =0代入y =−x −3得x =−3. ∴A(−3,0) C(0,−3).∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A,C,B 三点∴{9a −3b +c =0a +b +c =0c =−3解得{a =1b =2c =−3.∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3;(2)过点M 作MF 垂直于x 轴交AC 于点F 设M (x,x 2+2x −3) 则F(x,−x −3) 则MF =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3xS △AMC =12MF ×|x C −x A |= 12(−x 2−3x )×3=−32(x +32)2+278∴当x =−32时 S △AMC 最大 此时y =x 2+2x −3=−154. ∴当M 坐标为(−32,−154)时 S △AMC 取得最大值.(3)∵y =x 2+2x −3=(x +1)2−4 ∵抛物线对称轴为直线x=−1. ∵过点P 作l 的垂线 垂足为D ∵∠PDE =∠BOC =90° ∵C(0,−3),A (−3,0) ∵B (1,0)∵OB =1 OC =3.设P (x,x 2+2x −3) 则D (−1,x 2+2x −3) 当PD =OC DE =OB 时 此时|−1−x |=3 解得x =−4或x =2. ∵P 点坐标为(−4,5)或(2,5)∵DE =OB =1∴E(−1,6)或(−1,4). 当PD =OB DE =OC 时 此时|−1−x |=1 解得x =−2或x =0. ∵P 点坐标为(−2,−3)或(0,−3)∵DE =3∴E(−1,−6)或(−1,0).综上:P 点坐标为(−4,5)或(2,5)或(−2,−3)或(0,−3) E(−1,6)或(−1,4)或(−1,−6)或(−1,0).【点睛】本题考查了二次函数求解析式 二次函数的性质 三角形全等的性质 最值问题等 熟练掌握各知识点 能准确作出辅助线 并结合图形列出相应关系式是解题的关键. 8.(1)y =−x 2+2x +3 (2)P (1,6)(3)存在点N 满足要求 点N 坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式 二次函数的图像与性质及二次函数与一次函数综合 (1)用待定系数法求二次函数表达式;(2)根据抛物线特征得出当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大 求出直线AC 的解析式为y =3x +3 即可求出结论;(3)设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q 先求出直线MC 的解析式为y =x +3 证出MQ =NQ =√22MN 设点N (1,n ) 根据NQ 2=AN 2列方程并解方程即可解决.【详解】(1)解:∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (−1,0),C (0,3)两点∴{−1−b +c =0c =3解得:{b =2c =3∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3;(2)解:由抛物线的对称性得 点B 关于抛物线对称轴的对称点是点A∴PA =PB∴|PB −PC |=|PA −PC |∴当A,C,P 三点共线时 |PA −PC |最大如图 连接AC 并延长AC 交抛物线的对称轴于点P设直线AC 的解析式为y =kx +d 把A (−1,0),C (0,3)代入得:{−k +d =0d =3解得:{k =3d =3∴直线AC 的解析式为y =3x +3 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2−2=1当x =1时 ∴点P (1,6);(3)存在N 满足条件 理由如下:∵抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于A 、B 两点 ∴点A (−1,0)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4∴顶点M 为(1,4) ∵点M 为(1,4) 点C (0,3) ∴直线MC 的解析式为:y =x +3如图 设直线MC 与x 轴交于点E 过点N 作NQ ⊥MC 于Q∴点E (−3,0)∴DE =4=MD ∴∠NMQ =45°∵NQ⊥MC∴∠NMQ=∠MNQ=45°∴MQ=NQ∴MQ=NQ=√22MN设点N(1,n)∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离∴NQ=AN∴NQ2=AN2∴(√22MN)2=AN2即(√22|4−n|)2=4+n2∴n2+8n−8=0∴n=−4±2√6∴存在点N满足要求点N坐标为(1,−4+2√6)或(1,−4−2√6).9.(1)y=−13x2+x+6(2)d=−2t(3)P(−4,−103)【分析】(1)先令x=0求出点C坐标再根据已知可得点B的坐标运用待定系数法即可求出抛物线解析式;(2)由(1)可得点B的坐标设P(t,−13t2+t+6)运用待定系数法求得直线PB的解析式为y=−13(t+3)x+2(t+3)进而求出D(0,2t+6)即可求得答案;(3)找点F关于原点的对称点F′连接CF′过点F′作F′K⊥GE于K根据已知先证△COF≌△BOD得OF= OD再证∠F′CK=2∠PBA进而证得△CF′K≌△EBG得F′K=BG再证△F′FK≌△BFG可得F′F=BF OB=3OF进而求出点D的坐标运用待定系数法求出直线BD的解析式再求出直线BD与抛物线的交点P的坐标.【详解】(1)解:∵抛物线y=ax2+x+6交y轴于点C∴C(0,6)∴OC=6∵OB=OC∴B(6,0)∵ B (6,0)在抛物线y =ax 2+x +6上∴ 0=36a +6+6∴ a =−13∴ y =−13x 2+x +6.(2)∵点P 是第三象限抛物线上一点∴ P (t,−13t 2+t +6)设直线PB 的解析式为y =kx +b (k ≠0)∴ {6k +b =0kt +b =−13t 2+t +6∴ {k =−13(t +3)b =2(t +3)∴直线PB 的解析式为y =−13(t +3)x +2(t +3).令x =0 得y =2(t +3)=2t +6∴ D (0,2t +6)∴ CD =6−(2t +6)=−2t∵线段 CD 长为 d∴ d =−2t ;(3)解:找点F 关于原点的对称点F ′ 连接CF ′ 过点F ′作F ′K ⊥GE 于K∵ CG ⊥BP OB ⊥OC∴ ∠COF =∠BOD =90°∵ OC =OB∴ △COF ≌△BOD∴ CF =BD∵点F 关于原点的对称点F ′∴∠FCO=∠F′CO OF=OF′∴∠F′CK=2∠PBA∵∠BEG=2∠PBA∴∠F′CK=∠BEG∵F′K⊥CG∴△CF′K≌△EBG∴F′K=BG∵F′K⊥CG∴∠FKF′=∠FGB=90°∵∠F′FK=∠BFG∴△F′FK≌△BFG∴F′F=BF∴OB=3OF∴OD=OF=13OB=2∴D(0,−2)设直线BD的解析式是y=mx+n∴{−2=0×m+n0=8m+n∴{m=1 3n=−2∴直线BD的解析式是y=13x−2∵点P在直线BD上也在抛物线y=−13x2+x+6上∴{y=13x−2y=−13x2+x+6∴{x=−4y=−103∴P(−4,−103);【点睛】本题考查了二次函数的综合题熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征二次函数的性质中心对称的性质全等三角形的判定和性质等知识添加正确的辅助线是解题的关键.10.(1)y=−14x2+x+3(2)1(3)5√174【分析】(1)先确定点A的坐标为(2,4)再结合等腰直角三角形的性质可得C(6,0)然后运用待定系数法即可解答;(2)先用待定系数法可得AC的函数解析式为y=−x+6设E(t,−14t2+t+3)N(t,−t+6)则EN=−14t2+2t−3然后化成顶点式求最值即可;(3)先确定点M(5,74)过点E作AD的对称点E′(0,3)连接E′M交AD于点P此时PE+PM最短时M(5,74)最后运用勾股定理即可解答.【详解】(1)解:∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高y=a(x−2)2+4的顶点为点A ∵A的坐标为(2,4)∵AD=4∵AD为等腰直角△ABC底边BC上的高∵CD=AD=4∵C(6,0).把C(6,0)代入y=a(x−2)2+4解得:a=−14∵抛物线的解析式为y=−14(x−2)2+4即y=−14x2+x+3.(2)解:设直线AC的函数解析式为y=kx+b ∵A(2,4),C(6,0)∵AC的函数解析式为y=−x+6.设E(t,−14t2+t+3)EN=−14t2+t+3−(−t+6)=−14t2+2t−3=−14(t−4)2+1∵当t=4时EN最大为1∵E(4,3).(3)解:∵M(5,b)在抛物线y =−14(x −2)2+4上∵M (5,74).∵AD 是此抛物线的对称轴∵过点E 作AD 的对称点E ′(0,3) 连接E ′M 交AD 于点P 此时PE +PM 最短 M (5,74);∵PE +PM 最短=E ′M =√(0−5)2+(3−74)2=5√174. 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合 求函数解析 求函数最值等知识点 灵活运用相关知识成为解题的关键.11.(1)x =1; (2)(3,0) (−1,0);(3)点P 的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2).【分析】(1)本题根据抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴公式为x =−b2a 即可解题.(2)本题根据抛物线公式可整理为y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1) 即可解题.(3)本题由(2)得到点B 的坐标 利用OB =OC 求得点C 的坐标 推出a 值 得到抛物线解析式 设直线BC 的解析式为y =kx −3 利用待定系数法求出直线BC 的解析式 设点P (m,m −3) 则M (m,m 2−2m −3) 根据过点P 作x 轴的垂线交抛物线于M 点 分以下两种情况讨论 当P 在M 的上方时 当P 在M 的下方时 根据这两种情况分析得到PM = CP 并对应的建立等式求解 即可解题.【详解】(1)解:∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)∴抛物线的对称轴为x =−−2a2a =1;(2)解:∵抛物线解析式为y =ax 2−2ax −3a (a >0)整理可得y =a (x 2−2x −3)=a (x −3)(x +1)∴不论a 取何值 函数图象必过(3,0) (−1,0);(3)解:由(2)可知 点B 的坐标为(3,0)∴OB =3∵ OB =OC∴OC =3∴点C 的坐标为(0,−3) 且−3a =−3 即a =1∴抛物线解析式为y=x2−2x−3设直线BC的解析式为y=kx−3将(3,0)代入解析式有3k−3=0解得k=1∴直线BC的解析式为y=x−3设点P(m,m−3)则M(m,m2−2m−3)当P在M的上方时则PM=−m2+3m∵△PCM沿CM对折如果点P的对应点N恰好落在y轴上∴∠PCM=∠NCM∵PM∥y轴∴∠NCM=∠PMC∴∠PCM=∠PMC∴PC=PM∴√2m=−m2+3m整理得:m2+(√2−3)m=0解得:m1=0(不合题意舍去)则点P的坐标为(3−√2,−√2);当P在M的下方时则PM=m2−3m同理可得:√2m=m2−3m整理得:m2−(√2+3)m=0解得:m1=0(不合题意舍去)则点P的坐标为(3+√2,√2);综上所述点P的坐标为(3−√2,−√2)或(3+√2,√2).【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合折叠的性质二次函数的图象和性质待定系数法求函数解析式 勾股定理表示两点间的距离 等腰三角形性质 熟练掌握折叠的性质 结合分类讨论的数学思想 即可解题.12.(1)a =−16(2)(−2,−2)或(−2,4)或(−2,2√2)或(−2,−2√2)(3)−13−√2412或−13+√2412.【分析】本题主要考查了二次函数的应用 等腰三角形 全等三角形等几何图形等知识点 熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键.(1)将点C 坐标代入抛物线解析式即可解答;(2)分三种情况:当ME =MC 、CE =CM 、EM =CE 时 然后利用等腰三角形的性质即可解答;(3)先判断出△PQE≌△P ′Q ′E (AAS )得出PQ =P ′Q ′、EQ =EQ ′ 进而得出P ′Q ′=n ,EQ ′=QE =m +2 确定出点P ′(n −2,2+m) 将点P ′的坐标代入直线AD 的解析式中和点P 代入抛物线解析式中 联立方程组求解即可.【详解】(1)解:∵抛物线y =a (x +6)(x −2)过点(0,2)∵2=a (0+6)(0−2) a =−16.(2)解:∵a =−16 ∵抛物线的解析式为y =−16(x +6)(x −2)=−16(x +2)2+83 ∵抛物线的对称轴为直线x =−2;∵E(−2,0)∵C(0,2)∵OC =OE =2∵CE =√2OC =2√2∵△CME 是等腰三角形∵①当ME =MC 时∵∠ECM =∠CED =45°∵∠CME =90°∵M(−2,2);②当CE =CM 时。
二次函数提高训练
二次函数提高训练一.解答题(共30小题)1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求⊥PAC为直角三角形时点P的坐标.2.如图,二次函数与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P从A点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.(1)求直线AC的解析式;(2)设⊥PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式;(3)在y轴上找一点M,使⊥MAC和⊥MBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M 点的坐标;(4)过点P作PE⊥AC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由.3.如图1,已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A(0,2),过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段,垂足分别为M(m,0)和N(n,0),其中m<0,n>0.(1)如果m=﹣4,n=1,试判断⊥AMN的形状;(2)如果mn=﹣4,(1)中有关⊥AMN的形状的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由;(3)如图2,题目中的条件不变,如果mn=﹣4,并且ON=4,求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式;(4)在(3)的条件下,如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P,点Q是对称轴上一动点,以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似,求符合条件的点Q的坐标.4.已知:直角三角形AOB中,⊥AOB=90°,OA=3厘米,OB=4厘米.以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系.设P、Q分别为AB边,OB边上的动点,它们同时分别从点A、O 向B点匀速运动,移动的速度都为1厘米每秒.设P、Q运动的时间为t秒(0≤t≤4).(1)求⊥OPQ的面积S与(厘米2)与t的函数关系式;并指出当t为何值时S的最大值是多少?(2)当t为何值时,⊥BPQ和⊥AOB相似;(3)当t为何值时,⊥OPQ为直角三角形;(4)①试证明无论t为何值,⊥OPQ不可能为正三角形;②若点P的移动速度不变,试改变点Q的运动速度,使⊥OPQ为正三角形,求出点Q的运动速度和此时的t值.5.如图,已知抛物线y=x2﹣ax+a2﹣4a﹣4与x轴相交于点A和点B,与y轴相交于点D(0,8),直线DC平行于x轴,交抛物线于另一点C,动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发,沿C→D运动,同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿A→B运动,连接PQ、CB,设点P运动的时间为t秒.(1)求a的值;(2)当四边形ODPQ为矩形时,求这个矩形的面积;(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值.(4)当t为何值时,⊥PBQ是等腰三角形?(直接写出答案)6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=﹣+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴的正半轴于点C,其顶点为M,MH⊥x轴于点H,MA交y轴于点N,sin⊥MOH=.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)过H的直线与y轴相交于点P,过O,M两点作直线PH的垂线,垂足分别为E,F,若=时,求点P的坐标;(3)将(1)中的抛物线沿y轴折叠,使点A落在点D处,连接MD,Q为(1)中的抛物线上的一动点,直线NQ交x轴于点G,当Q点在抛物线上运动时,是否存在点Q,使⊥ANG 与⊥ADM相似?若存在,求出所有符合条件的直线QG的解析式;若不存在,请说明理由.7.已知如图,矩形OABC的长OA=,宽OC=1,将⊥AOC沿AC翻折得⊥APC.(1)求⊥PCB的度数;(2)若P,A两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上,求b,c的值,并说明点C在此抛物线上;(3)(2)中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D,与x轴相交于另外一点E,若点M 是x轴上的点,N是y轴上的点,以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形,试求点M、N的坐标.8.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点,过点P作PQ⊥y轴交直线BC于点Q.①当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?②是否存在这样的点P,使⊥OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图(1),抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣3).[图(2)、图(3)为解答备用图](1)k=,点A的坐标为,点B的坐标为;(2)设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.10.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交于点B.(1)如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,若点M是直线AB下方抛物线上的一点,且S⊥ABM=3,求点M的坐标;(3)如图2,若点P在第一象限,且PA=PO,过点P作PD⊥x轴于点D.将抛物线y=x2+bx+c 平移,平移后的抛物线经过点A、D,该抛物线与x轴的另一个交点为C,请探究四边形OABC的形状,并说明理由.11.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式;(2)作Rt⊥OBC的高OD,延长OD与抛物线在第一象限内交于点E,求点E的坐标;(3)①在x轴上方的抛物线上,是否存在一点P,使四边形OBEP是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②在抛物线的对称轴上,是否存在上点Q,使得⊥BEQ的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.12.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.(3)当P,Q运动到t秒时,⊥APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.13.如图①,直线l:y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点,将⊥AOB 绕点O逆时针旋转90°得到⊥COD,过点A,B,D的抛物线P叫做l的关联抛物线,而l叫做P的关联直线.(1)若l:y=﹣2x+2,则P表示的函数解析式为;若P:y=﹣x2﹣3x+4,则l 表示的函数解析式为.(2)求P的对称轴(用含m,n的代数式表示);(3)如图②,若l:y=﹣2x+4,P的对称轴与CD相交于点E,点F在l上,点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时,求点Q 的坐标;(4)如图③,若l:y=mx﹣4m,G为AB中点,H为CD中点,连接GH,M为GH中点,连接OM.若OM=,直接写出l,P表示的函数解析式.14.如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)点M在抛物线上,连接MB,当⊥MBA+⊥CBO=45°时,求点M的坐标;(3)点P从点C出发,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B出发,沿线段BC由B 向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,说明理由.23.如图,直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C,经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点.(1)试求点A、C的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动,同时,点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动(当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动),又PN⊥x轴,交AC于P,问在运动过程中,线段PM的长度是否存在最小值?若有,试求出最小值;若无,请说明理由.15.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是(2,0),B点的坐标是(8,6).(1)求二次函数的解析式.(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标.(3)该二次函数的对称轴交x轴于C点.连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求⊥BDE的面积.(4)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成⊥ADP,是否存在S⊥ADP=S⊥BCD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在.请说明理由.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M、A、B坐标;(2)连接AB、AM、BM,求⊥ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=⊥ABM时,求P点坐标.17.如图,矩形OABC的顶点A(2,0)、C(0,2).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.得矩形OEFG,线段GE、FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D,连结MH.(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G、O、E三点,则它的解析式为:;(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动,设⊥PQH的面积为s,当时,确定点Q的横坐标的取值范围.20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(1,0),直线y=2x﹣1与y轴交于点C,与抛物线交于点C、D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点A到直线CD的距离;(3)平移抛物线,使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q,点G在y轴正半轴上,当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时,求出所有符合条件的G点的坐标.18.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(﹣1,﹣1),与x轴交点M(1,0).C 为x轴上一点,且⊥CAO=90°,线段AC的延长线交抛物线于B点,另有点F(﹣1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)求直线Ac的解析式及B点坐标;(3)过点B做x轴的垂线,交x轴于Q点,交过点D(0,﹣2)且垂直于y轴的直线于E 点,若P是⊥BEF的边EF上的任意一点,是否存在BP⊥EF?若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由.19.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣1经过A(﹣1,0)、B(2,0)两点,交y轴于点C.点P 为抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,交x轴于点E.(1)请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.(2)如图1,当点P的横坐标为时,求证:⊥OBD⊥⊥ABC.(3)如图2,若点P在第四象限内,当OE=2PE时,求⊥POD的面积.(4)当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时,请直接写出动点P的坐标.21.如图,二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于C(0,﹣3),点D在二次函数的图象上,CD⊥AB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点E,AB平分⊥DAE.(1)用含m的代数式表示a;(2)求证:为定值;(3)设该二次函数图象的顶点为F,探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.22.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(﹣1,0)两点,过点A作直线AC⊥x轴,交直线y=2x于点C;(1)求该抛物线的解析式;(2)求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标,判定点A′是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA′于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.。
二次函数 拓展提高题 及 参考答案
二次函数的应用之最值问题拓展提高
1 . 某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满。
由于旅游旺季,酒店经理决定涨价。
已知每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间, 宾馆需对每个入住的房间每天支出20元的各种费用.此外,该宾馆平均每天要付场地租金400元. 设每个房间定价为x元,游客入住的房间为y间.
(1)试写出x与y的函数关系式;
(2)物价局规定,每个房间定价不得超过280元。
问每间房间定价为多少时,该宾馆每天可获得最大利润?最大利润是多少?
2. 已知某商品的进价为每件50元.若售价为每件80元,则每星期可卖出200件.市场调查反映:如调整价格,每涨价3元,每星期要少卖出15件;每降价3元,每星期可多卖出15件.问售价为多少时,每周可获得最大利润?最大利润是多少?
参考答案:
1. 解:(1)0.168y x =-+ ;
(2)利润 2
0.1701760
w x x =-+- 20.1(350)10490
x =--+
1802800.1x ≤≤-< , 由图象可知,当x = 280 时,利润w 最大 = 10000
答:当每个房间定价为280元时,利润最大,最大利润为10000元.
2. 解:设每件商品售价为x 元,每周利润为y 元.
22(50)[2005(80)]
5850030000
5(85)6125
y x x x x x =---=-+-=--+ ∵ —5 < 0
∴ 当x = 85 时,y 最大 = 6125
答:当每件商品售价为85元时,每周可获得最大利润,最大利润为6125元.。
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练(一)(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练(一)(含答案)一.选择题(共10小题)1.下列函数中,y是x的二次函数的是()A.y=x2﹣x(x+2)B.y=x2﹣C.x=y2 D.y=(x﹣1)(x+3)2.已知二次函数y=mx2+(1﹣m)x,它的图象可能是()A.B.C.D.3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④当m<﹣2时,am2+bm>0.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.14.已知点A(﹣2,a),B(2,b),C(4,c)是抛物线y=x2﹣4x上的三点,则a,b,c的大小关系为()A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b5.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的拋物线为()A.y=(x+3)2+5B.y=(x﹣3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x﹣5)2+36.抛物线y=ax2+(1﹣2a)x+3(a>0)过点A(1,m),点A到抛物线对称轴的距离记为d,满足0<d≤,则实数m的取值范围是()A.m≥3B.m≤2C.2<m<3D.m≤37.如果二次函数y=(x﹣m)2+n的图象如图所示,那么一次函数y=mx+n的图象经过()A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限8.抛物线y=﹣(x﹣2)2+3,下列说法正确的是()A.开口向下,顶点坐标(2,3)B.开口向上,顶点坐标(2,﹣3)C.开口向下,顶点坐标(﹣2,3)D.开口向上,顶点坐标(2,﹣3)9.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=ax2﹣2ax+c(a>0)上两点,若x1<x2且x1+x2=2﹣a.则()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.y1与y2大小不能确定10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()A.B.C.D.二.填空题(共5小题)11.点P1(﹣2,y1),P2(0,y2),P3(1,y3)均在二次函数y=﹣x2﹣2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是.12.二次函数y=(a﹣1)x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点,则a的取值范围是.13.抛物线y=2x2﹣ax+b与x轴相交于不同两点A(x1,0),B(x2,0),若存在整数a,b使得1<x1<3和1<x2<3同时成立,则ab=.14.在平面直角坐标系中,将抛物线y=(x+1)2先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式是.15.已知二次函数y=mx2+nx与y=nx2+mx(其中m,n为常数),若这两个函数图象的顶点关于x轴对称,则m和n满足的关系为.三.解答题(共5小题)16.已知二次函数y=(x﹣1)2﹣3.(1)写出二次函数图象的开口方向和对称轴;(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值.17.如图,已知二次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求线段BC的长;(2)当0≤y≤3时,请直接写出x的范围;(3)点P是抛物线上位于第一象限的一个动点,连接CP,当∠BCP=90°时,求点P的坐标.18.某酒店试销售某种套餐,试销一段时间后发现,每份套餐的成本为7元,该店每天固定支出费用为200元(不含套餐成本).若每份售价不超过10元,每天可销售300份;若每份售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少30份,设该店每份套餐的售价为x元(x为正整数),每天的销售量为y份,每天的利润为w元.(1)直接写出y与x的函数关系式;(2)求出w与x的函数关系式;并求出利润w的最大值.19.已知二次函数y=ax2+10x+c(a≠0)的顶点坐标为(5,9).(1)求a,c的值;(2)二次函数y=ax2+10x+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,求△ABC的面积.20.已知抛物线C:y=x2+mx+n(m,n为常数).(1)如图,若抛物线C的顶点坐标为P(1,2),求m,n的值;(2)在(1)的条件下,设点Q(a,b)在抛物线C上,且点Q离y轴的距离不大于2,直接写出b的取值范围;(3)将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1,将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2,若C1与C2的交点坐标为(1,3),求抛物线C的函数解析式.参考答案一.选择题(共10小题)1.解:A、y=x2﹣x(x+2)=﹣2x为一次函数;B、y=x2﹣不是二次函数;C、x=y2 不是函数;D、y=(x﹣1)(x+3)=x2+2x﹣3为二次函数.故选:D.2.解:∵二次函数y=mx2+(1﹣m)x,∴当x=0时,y=0,即该函数的图象过点(0,0),故选项A错误;该函数的顶点的横坐标为﹣=﹣,当m>0时,该函数图象开口向上,顶点的横坐标小于,故选项B正确,选项C错误;当m<0时,该函数图象开口向下,顶点的横坐标大于,故选项D错误;故选:B.3.解:∵抛物线经过原点,∴c=0,所以①正确;∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0),(﹣2,0),∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,所以②正确;即x=﹣=﹣1,∴b=2a,∴当x=1时,y=a+b+c=a+2a+0=3a,所以③错误;当x<﹣2或x>0时,y>0,∴m<﹣2时,am2+bm>0.所以④正确.故选:B.4.解:∵抛物线y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,∴该抛物线的对称轴是直线x=2,当x>2时,y随x的增大而增大,当x<2时,y随x的增大而减小,∵点A(﹣2,a),B(2,b),C(4,c)是抛物线y=x2﹣4x的三点,∵2﹣(﹣2)=4,2﹣2=0,4﹣2=2,∴a>c>b,故选:D.5.解:由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=x2+3;由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣5)2+3;故选:D.6.解:∵抛物线y=ax2+(1﹣2a)x+3(a>0),∴对称轴为直线x=﹣,∵点A(1,m)到抛物线对称轴的距离记为d,满足0<d≤,∴0<|1+|≤,∴0<≤,∴a≥1,把A(1,m)代入y=ax2+(1﹣2a)x+3(a>0)得:a+1﹣2a+3=m,∴4﹣a=m,∴a=4﹣m,∴4﹣m≥1,∴m≤3,故选:D.7.解:根据题意得:抛物线的顶点坐标为(m,n),且在第四象限,∴m>0,n<0,则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限.故选:B.8.解:∵抛物线y=﹣(x﹣2)2+3中a=﹣1<0,∴抛物线的开口向下,顶点为(2,3)故选:A.9.解:∵抛物线y=ax2﹣2ax+c(a>0),∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=﹣=1,∵x1<x2且x1+x2=2﹣a,∴=1﹣a<1,∴点A(x1,y1)到对称轴的距离大于点B(x2,y2)的距离,∴y1>y2,故选:A.10.解:∵y=ax2+bx+c的图象的开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b<0,∴一次函数y=ax+b的图象经过二,三,四象限.故选:C.二.填空题(共5小题)11.解:二次函数y=﹣x2﹣2x+c的二次项系数a=﹣1,∴函数图象开口向下又∵对称轴为x=﹣1,∴y1=y2>y3点故答案为:y1=y2>y3.12.解:令y=(a﹣1)x2+2x﹣1=0,∵y=(a﹣1)x2+2x﹣1是二次函数,∴a﹣1≠0,∴a≠1,∵二次函数y=(a﹣1)x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点,∴△=4+4(a﹣1)>0,∴a>0,∴a的取值范围是a>0且a≠1,故答案为:a>0且a≠1.13.解:∵抛物线y=2x2﹣ax+b,∴抛物线开口向上,∵1<x1<3和1<x2<3同时成立,∴当x=1时,y>0;当x=3时,y>0;1<对称轴x<3;判别式△≥0.∴∴4<a<12,∵a是整数,则a=5,6,7,8,9,10,11当a=5时,无整数解;当a=6时,无整数解;当a=7时,b=6;当a=8时,b=7;当a=9时,无整数解;当a=10时,b=9;当a=11时,无整数解,综上所述,整数a=7,b=6或a=8,b=7或a=10,b=9时,使得1<x1<3和1<x2<3同时成立.故答案为:42或56或90.14.解:将抛物线y=(x+1)2先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的抛物线的解析式是y =(x+1﹣2)2+3,即y=(x﹣1)2+3.故答案为:y=(x﹣1)2+3.15.解:函数y=mx2+nx=m(x+)2﹣的顶点坐标为(,﹣),y=nx2+mx=n(x+)2﹣的顶点坐标为(,﹣),∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称,∴,解得,m=﹣n,故答案为:m=﹣n.三.解答题(共5小题)16.解:(1)在y=(x﹣1)2﹣3中,∵a=>0,∴二次函数图象开口向上,且对称轴为x=1;(2)∵二次函数开口向上,∴函数y有最小值,∵其顶点坐标为(1,﹣3),∴y的最小值为﹣3.17.解:(1)当x=0时,y=3,∴C(0,3),∴OC=3,当y=0时,∴x1=﹣1,x2=4,∴A(﹣1,0),B(4,0),∴OA=1,OB=4,在Rt△BOC中,BC==5,(2)由(1)可知y=0时,x=﹣1或4,当y=3时,x=0或3,观察图象可得当0≤y≤3时,x的取值范围是:﹣1≤x≤0或3≤x≤4.(3)过点P作PD⊥y轴,设点P坐标为(x,),则点D坐标为(0,),∴PD=x,CD=﹣3=,∵∠BCP=90°,∴∠PCD+∠BCO=90°,∵∠PCD+∠CPD=90°,∴∠BCO=∠CPD,∵∠PDC=∠BOC=90°,∴△PDC∽△COB,∴,∴,∴x=或x=0(舍去),当x=时,y=,∴点P坐标为(,).18.解:(1)∵每份售价超过10元且每天的销售量不为负数,∴y=300﹣30(x﹣10)=﹣30x+600,∵﹣30x+600≥0,∴x≤20.(2)当7≤x≤10时,w=300(x﹣7)﹣200=300x﹣2300;当10<x≤20时,w=(﹣30x+600)(x﹣7)﹣200=﹣30x2+810x﹣4400.∴w=,∵当7≤x≤10时,∵k=300>0,y随x增大而增大,∴当x=10时,w最大值=700元;∵当10<x≤20时,∵a=﹣30<0,w有最大值,∴当时,∵x取整数,∴x应取13或14,w最大,∴x=13时,w取最大值:元.∵700<1060,∴每份套餐的售价应定为13元,此时,最大利润为1060元.19.解:(1)根题意,得,,解得;故a=﹣1,c=﹣16;(2)由(1)可知该二次函数的解析式为y=﹣x2+10x﹣16,今x=0,则y=﹣16.∴点C的坐标为(0,﹣16),令y=0,则﹣x2+10x+16=0,解得x1=2,x2=8,AB=8﹣2=6.∴S△ABC=AB•OC=×6×16=48.20.解:(1)∵抛物线C:y=x2+mx+n(m,n为常数)顶点坐标为P(1,2),∴﹣=1,=2,解得m=﹣2,n=3;(2)在(1)的条件下,抛物线C为:y=x2﹣2x+3,∵点Q(a,b)在抛物线C上,且离y轴的距离不大于2,∴﹣2≤x Q≤2,由图象可知,2≤y Q≤11即2≤b≤11.(3)将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y=(x+2)2+m(x+2)+n;将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y=(x﹣2)2+m(x﹣2)+n;由(x+2)2+m(x+2)+n=(x﹣2)2+m(x﹣2)+n,解得x=﹣m,∴若C1与C2的交点坐标为(1,3),∴﹣m=1,解得m=﹣2,把点(1,3)代入y=(x+2)2﹣2(x+2)+n得3=9﹣6+n,∴n=0,∴抛物线C的函数解析式为y=x2﹣2x.。
《二次函数》精编测试题及参考答案(提高)
二次函数精编测试题及参考答案(提高)一、选择题1.下列是二次函数的是()A.y=2x-1B. y=x2-(x-1)2C.y=x(x+1)-7D.y=1 x22.若二次函数y=(k-2)x2-3x+4与x轴有两个交点,则k的取值范围是()A.k≠2B.k≠4116C.k<4116且k≠2 D.k>4116且k≠23.将抛物线y=2x2-4x+1向左平移2022个单位,再向下平移2023个单位,则平移后抛物线的解析式为()A.y=2(x-1)2-1B.y=2(x+2021)2-2024C.y=2(x-2022)2-2024D.y=2(x-2024)2+20224.关于二次函数y=3x2+1的说法中,错误的是()A.抛物线顶点(0,1)B.当x>1时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,4)D.图象的对称轴是直线x=15.如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那么y1,y2与y3之间的大小关系是()A y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y36.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是()A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.向空中抛一枚物体,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此物体在第6秒与第15秒时的高度相等,则下列时间中物体所在的高度最高是()A.第6秒B.第10秒C.第14秒D.第15秒8.如图,函数y=kx 2-2x+1和y=k(x-1)(k 是常数,且k ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 9.三孔桥的三个桥孔呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.当大孔水面宽度为20米时,单个小孔的水面宽度为( )A.2√3B. 4√3C. 5√2D. 6√310.如图,在四边形DEFG 中,∠E=∠F= 90°,∠DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt △ABC 的直角顶点C 与点G 重合,另一个顶点B(在点C 左侧)在射线FG 上,且BC=1,AC=2,将△ABC 沿GF 方向平移,点C 与点F 重合时停止.设CG 的长为x,△ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是( )11.对于二次函数y=12x 2-6x+21,有以下结论:①当x>5时,y 随x 的增大而增大;②当x=6时,y 有最小值3;③图象与x 轴有两个交点;④图象是由抛物线y=12x 2先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.412.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,则下列结论: ①abc<0;②(4a+c)2<(2b)2;③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|>|x2+1|时,y1<y2;④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题13.二次函数y=3(x-3)2+2顶点坐标为_________.14.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c的值是_______.15.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是_____________.第15题第16题第17题16.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为________________.17.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_________.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2023的坐标是_____________.三、解答题19.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,(1)当m为何值时,此函数是一次函数.(2)当m为何值时,此函数是二次函数.20.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长12m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积y最大,最大面积是多少?21.如图,已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c相交于A(4,0)和B(0,2).(1)求直线和抛物线解析式;(2)当y1>y2时,求x的取值范围;(3)若直线上方的抛物线有一点C,S△ABC=6,求点C的坐标.22.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/吨,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;(3)当原料的质量x为多少吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是多少万元?23.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1:2两部分,并与x轴交于点Q,求点Q的坐标.参考答案一、选择题1-5 CCBDA 6-10 CBBCB 11-12 AC二、填空题13.(3,2)14. 115.y=4x2+160x+150016.y=−125(x−20)2+1617. 13.518.(-1012,10122)三、解答题19(1)m=-2 (2)m≠0且m≠-220.设宽为x,y=-2x2+28x,当宽为8米,长为12米时,面积最大,最大是96平方米。
二次函数拔高综合题全集(含答案)
1、二次函数和等腰三角形:(2008重庆)已知:如图,抛物线)0(22¹+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C (0,4),与x 轴交于点A 、B ,点A 的坐标为(4,0)。
(1)求该抛物线的解析式;)求该抛物线的解析式; (2)点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CQ 。
当△CQE 的面积最大时,求点Q 的坐标;的坐标;(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ,与直线AC 交于点F ,点D 的坐标为(2,0)。
问:是否存在这样的直线l ,使得△ODF 是等腰三角形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
的坐标;若不存在,请说明理由。
.解:(1)由题意,得01684a a c c =-+ìí=î,.···································································· (1分)分)解得124a c ì=-ïíï=î,. ················································································································ (2分)分) \所求抛物线的解析式为:2142y x x =-++. ························································ (3分)分) (2)设点Q 的坐标为(0)m ,,过点E 作EG x ^轴于点G . 由21402x x -++=,得12x =-,24x =. \点B 的坐标为(20)-,. ······························································································ (4分)分) 6AB \=,2BQ m =+.QE AC ∥,BQE BAC \△∽△.EG BQCO BA\=, 即246EG m +=.243m EG +\=. ············· (5分)分) CQECBQEBQ S S S\=-△△△YXECA DQBO28题图题图1122BQ CO BQ EG =- 124(2)423m m +æö=+-ç÷èø 2128333m m =-++··························· (6分)分) 21(1)33m =--+.又24m -≤≤,\当1m =时,CQE S △有最大值3,此时(10)Q ,. ······················································· (7分)分) (3)存在.)存在.在ODF △中.中. (ⅰ)若DO DF =,(40)(20)A D ,,,,2AD OD DF \===.又在Rt AOC △中,4OA OC ==,45OAC \Ð=.45DFA OAC \Ð=Ð=.90ADF \Ð=.此时,点F 的坐标为(22),. 由21422x x -++=,得115x =+,215x =-. 此时,点P 的坐标为:(152)P +,或(152)P -,. ················································· (8分)分) (ⅱ)若FO FD =,过点F 作FM x ^轴于点M , 由等腰三角形的性质得:112OM OD ==,3AM \=, \在等腰直角AMF △中,3MF AM ==.(13)F \,. 由21432x x -++=,得113x =+,213x =-.此时,点P 的坐标为:(133)P +,或(133)P -,. ················································· (9分)分)(ⅲ)若OD OF =,4OA OC ==,且9042AOC AC Ð=\=,,\点O 到AC 的距离为22,而222OF OD ==<,此时,不存在这样的直线l ,使得ODF △是等腰三角形.是等腰三角形. ······································ (10分)分)综上所述,存在这样的直线l ,使得ODF △是等腰三角形.所求点P 的坐标为:的坐标为:(152)P +,或(152)P -,或(133)P +,或(133)P -,2. 二次函数和矩形、等腰三角形:如图19-1,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点A 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,5OA =,4OC =.(1)在OC 边上取一点D ,将纸片沿AD 翻折,使点O 落在BC 边上的点E 处,求D E ,两点的坐标;两点的坐标;(2)如图19-2,若AE 上有一动点P (不与A E ,重合)自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动,速运动,运动的速度为每秒运动的速度为每秒1个单位长度,个单位长度,设运动的时间为设运动的时间为t 秒(05t <<),过P 点作ED 的平行线交AD 于点M ,过点M 作AE 的平行线交DE 于点N .求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式;当t 取何值时,S 有最大值?最大值是多少?有最大值?最大值是多少? (3)在(2)的条件下,当t 为何值时,以A M E ,,为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点M 的坐标.的坐标.解:(1)依题意可知,折痕AD 是四边形OAED 的对称轴,的对称轴,\在Rt ABE △中,5AE AO ==,4AB =.2222543BE AE AB \=-=-=.2CE \=.E \点坐标为(2,4). ································································································· 2分 在Rt DCE △中,222DC CE DE +=, 又DE OD =.222(4)2OD OD \-+= . 解得:52CD =.D \点坐标为502æöç÷èø,······································································································· 3分 (2)如图①PM ED ∥,APM AED \△∽△.PM AP ED AE \=,又知AP t =,52ED =,5AE = 5522t tPM \=´=, 又5PE t =-. 而显然四边形PMNE 为矩形.为矩形.215(5)222PMNEtS PM PE t t t\==´-=-+矩形 ························································· 5分 21525228PMNES t æö\=--+ç÷èø四边形,又5052<<\当52t =时,PMNE S 矩形有最大值258. ········································································ 6分 (3)(i )若以AE 为等腰三角形的底,则ME MA =(如图①)(如图①)在Rt AED △中,ME MA =,PM AE ^,P \为AE 的中点,的中点, 1522t AP AE \===.yx B C O AD E 图5-1 y x BC OADE 图5-2 PMNyxB C OADE P M NF又PM ED ∥,M \为AD 的中点.的中点.过点M 作MF OA ^,垂足为F ,则MF 是OAD △的中位线,的中位线,1524MF OD \==,1522OF OA ==,\当52t =时,5052æö<<ç÷èø,AME △为等腰三角形.此时M 点坐标为5524æöç÷èø,. · 8分 (ii )若以AE 为等腰三角形的腰,则5AM AE ==(如图②)(如图②)在Rt AOD △中,2222555522AD OD AO æö=+=+=ç÷èø. 过点M 作MF OA ^,垂足为F .PM ED ∥,APM AED \△∽△. AP AMAE AD\=. 5525552AM AE t AP AD´\====,152PM t \==. 5MF MP \==,525OF OA AF OA AP =-=-=-,\当25t =时,(0255<<),此时M 点坐标为(5255)-,. ····················· 11分 综合(i )(ii )可知,52t =或25t =时,以A M E ,,为顶点的三角形为等腰三角形,相应M 点的坐标为5524æöç÷èø,或(5255)-,.3、二次函数和梯形:(2009临沂)如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3)。
二次函数提高拓展题(含答案)
二次函数普及拓展题之阳早格格创做一、采用题1. 如图所示,已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶面P 的横坐标是4,图象接x 轴于面A(m ,0)战面B ,且m>4,那么AB 的少是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m2.已知函数y =(k -3)x 2+2x +1的图象与x 轴有接面,则k 的与值范畴是( )A .k <4B .k ≤4C .k <4且k ≠3D .k ≤4且k ≠3 3.若x 1,x 2(x 1<x 2)是圆程(x-a )(x-b )=1(a <b )的二个根,则真数x 1,x 2,a ,b 的大小闭系为( )A 、x 1<x 2<a <bB 、x 1<a <x 2<bC 、x 1<a <b <x 2D 、a <x 1<b<x 24.如图,四边形ABCD 中,∠BAD =∠ACB =90°,AB =AD ,AC =4BC ,设CD 的少为x ,四边形ABCD 的里积为y ,则y 与x 之间的函数闭系式是( )A . 2425y x =B .225y x =C .2225y x =D .245y x =5.如图,等腰梯形ABCD 的底边AD 正在x 轴上,顶面C 正在y 轴正半轴上,B (4,2),一次函数1y kx =-的图象仄分它的里积,闭于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴惟有二个接面,则m 的值为( ).A .0B .21-C .-1D .0或者21-或者-1 A B C D 第5图二、挖空题6.如图所示,P 是边少为1的正三角形ABC 的BC 边上一面,从P 背AB 做垂线PQ ,Q 为垂脚.延少QP 与AC 的延少线接于R ,设BP =x (0≤x ≤1),△BPQ 与△CPR 的里积之战为y ,把y 表示为x 的函数是______________________.7.如图是二次函数y 1=ax 2+bx +c 战一次函数y 2=mx +n 的图象,瞅察图象写出y 2≥y 1时,x 的与值范畴______________.______.三、解问题8.已知:如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴接于A 、B 二面,其中A 面坐标为(-1,0),面C(0,5),另扔物线通过面(1,8),M 为它的顶面. (1)供扔物线的剖析式; (2)供△MCB 的里积9.如左图,扔物线n x x y ++-=52通过面)0,1(A ,与y轴接于面B .(1)供扔物线的剖析式;(2)P 是y 轴正半轴上一面,且△P AB 是以AB为腰的等腰三角形,试供面P 的坐标. 10知:正在△ABC 中,BC =20,下AD =16,内接矩形EFGH 的顶面 O xy 1 -1 B A H AG第6图E、F正在BC上,G、H 分别正在AC、AB上,供内接矩形EFGH的最大里积.问案采用题1.考面:二次函数的图象特性.剖析:果为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶面P的横坐标是4,所以扔物线对于称轴地圆曲线为x=4,接x 轴于面D,所以A、B二面闭于对于称轴对于称,果为面A(m,0),且m>4,所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8,问案选C.2.解问:解:①当k-3≠0时,(k-3)x2+2x+1=0,△=b2-4ac=22-4(k-3)×1=-4k+16≥0,k≤4;②当k-3=0时,y=2x+1,与x轴有接面.故选B.3解问:解:∵x1战x2为圆程的二根,∴(x1-a)(x1-b)=1且(x2-a)(x2-b)=1,∴(x1-a)战(x1-b)共号且(x2-a)战(x2-b)共号;∵x1<x2,∴(x1-a)战(x1-b)共为背号而(x2-a)战(x2-b)共为正号,可得:x1-a<0且x1-b<0,x1<a且x1<b,∴x1<a,∴x2-a>0且x2-b>0,∴x2>a且x2>b,∴x2>b,∴综上可知a,b,x1,x2的大小闭系为:x1<a<b<x2.故选C.挖空题6问案:43238332+-=x x y 7考面:函数的图像战本量:剖析:图像辨别,不妨瞅出21x -≤≤解问题8(1)依题意:(2)令y=0,得(x-5)(x+1)=0,x 1=5,x 2=-1 ∴B(5,0)由,得M(2,9)做ME ⊥y 轴于面E , 则可得S △MCB =15. 9 解:(1)由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴扔物线的剖析式为452-+-=x x y .(2)∵面A 的坐标为(1,0),面B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1,OB =4. 正在Rt △OAB 中,1722=+=OB OA AB ,且面P 正在y 轴正半轴上. ①当PB =P A 时,17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时面P 的坐标为)417,0(-. ②当P A =AB 时,OP =OB =4 此时面P 的坐标为(0,4).10HG=x ,PD=y ,根据矩形的对于边仄止可得HG ∥EF ,而后得到△AHG 与△ABC 相似,根据相似三角形对于应下的比等于相似比列出比率式,用x 表示出y ,而后根据矩形的里积公式供解并整治,再利用二次函数的最值问题举止供解即可.解:如图,设HG=x ,PD=y ,∵四边形EFGH 是矩形,∴HG ∥EF ,∴△AHG ∽△ABC ,∴=,∵BC=20,AD=16,∴=,解得y=﹣x+16,∴矩形EFGH的里积=xy=x(﹣x+16)=﹣(x﹣10)2+80,∴当x=10,即HG=10时,内接矩形EFGH有最大里积,最大里积是80.。
九年级数学上册《二次函数图象和性质》专项提高练习带答案
22.1 二次函数的图象和性质1.抛物线y=-3x 2上两点A (x ,-27),B (2,y ),则x= ,y= . 2.抛物线y=-4x 2-4的开口向 ,当x= 时,y 有最 值,y = . 3.当m= 时,y=(m -1)x-3m 是关于x 的二次函数.4.当m= 时,抛物线y=(m +1)x +9开口向下,对称轴是 .在对称轴左侧,y 随x 的增大而 ;在对称轴右侧,y 随x 的增大而 . 5.抛物线y=3x 2与直线y=kx +3的交点为(2,b ),则k= ,b= .6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为.7.在同一坐标系中,图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是( )A .y=x 2B .y=-x 2C .y=-2x 2D .y=-x 28.抛物线,y=4 x 2,y=-2x 2的图象,开口最大的是( )A .y=x 2B .y=4x 2C .y=-2x 2D .无法确定9.对于抛物线y=x 2和y=-x 2在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是( )A .两条抛物线关于x 轴对称B .两条抛物线关于原点对称C .两条抛物线关于y 轴对称D .两条抛物线的交点为原点10.二次函数y=ax 2与一次函数y=ax +a 在同一坐标系中的图象大致为( )11.已知函数y=ax 2的图象与直线y=-x +4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同,则a 的值为( )A .4 B .2C .D .12.求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式:(1)y=ax 2经过(1,2);(2)y=ax 2与y=x 2的开口大小相等,开口方向相反;(3)y=ax 2与直线y=x +3交于点(2,m ).13已知是二次函数,且当时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴.mm +2mm +221214131312141212142)2(-++=k k xk y 0x <14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1) 作出这条抛物线;(2) 利用图象,当水面与抛物线顶点的距离为4m 时,求水面的宽; (3)当水面宽为6m 时,水面与抛物线顶点的距离是多少?15.如图,直线ι经过A (3,0),B (0,3)两点,且与二次函数 y=x 2+1的图象,在第一象限内相交于点C .求:(1)△AOC 的面积;(2)二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积.16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系,若当月仅售出1辆汽车,则该汽车的近价为27万元;每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元,销售量在10辆以上,每辆返利1万. (1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为多少万元?(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利)17、已知关于x 的一元二次方程 x 2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)若x 1,x 2是原方程的两根,且,求m 的值,并求出此时方程的两根.1.抛物线y=-3x 2上两点A (x ,-27),B (2,y ),则x= ,y= . 2.抛物线y=-4x 2-4的开口向 ,当x= 时,y 有最 值,y = . 3.当m= 时,y=(m -1)x-3m 是关于x 的二次函数.4.当m= 时,抛物线y=(m +1)x +9开口向下,对称轴是 .在对称轴左侧,y 随x 的增大而 ;在对称轴右侧,y 随x 的增大而 .214y x =-1222x x -=mm +2mm +25.抛物线y=3x 2与直线y=kx +3的交点为(2,b ),则k= ,b= .6.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴,且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式为.7.在同一坐标系中,图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是( )A .y=x 2B .y=-x 2C .y=-2x 2D .y=-x 28.抛物线,y=4 x 2,y=-2x 2的图象,开口最大的是( )A .y=x 2B .y=4x 2C .y=-2x 2D .无法确定9.对于抛物线y=x 2和y=-x 2在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是( )A .两条抛物线关于x 轴对称B .两条抛物线关于原点对称C .两条抛物线关于y 轴对称D .两条抛物线的交点为原点10.二次函数y=ax 2与一次函数y=ax +a 在同一坐标系中的图象大致为( )11.已知函数y=ax 2的图象与直线y=-x +4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同,则a 的值为( )A .4 B .2C .D .12.求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式:(1)y=ax 2经过(1,2);(2)y=ax 2与y=x 2的开口大小相等,开口方向相反;(3)y=ax 2与直线y=x +3交于点(2,m ).13已知是二次函数,且当时,y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值;(2)求顶点坐标和对称轴.14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1) 作出这条抛物线;(2) 利用图象,当水面与抛物线顶点的距离为4m 时,求水面的宽; (3)当水面宽为6m 时,水面与抛物线顶点的距离是多少?21214131312141212142)2(-++=k k xk y 0x <214y x =-15.如图,直线ι经过A (3,0),B (0,3)两点,且与二次函数 y=x 2+1的图象,在第一象限内相交于点C .求:(1)△AOC 的面积;(2)二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积.16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系,若当月仅售出1辆汽车,则该汽车的近价为27万元;每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元,销售量在10辆以上,每辆返利1万. (1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为多少万元?(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利)17、已知关于x 的一元二次方程 x 2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)若x 1,x 2是原方程的两根,且,求m 的值,并求出此时方程的两根.22.1 二次函数的图象与性质一、填空题:1.已知函数y=(k+2)是关于x 的二次函数,则k=________.2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.3.填表:c261 4 4.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、选择题:1222x x -=24k k x +-2116s c =6.下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 7.下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x 28.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=x 2-4B.y=(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-x 2+169.若y=(2-m)是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定三、解答题10.分别说出下列函数的名称:(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= (4)y=3x-x 2 (5)y=x11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项: (1)d=n 2-n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3)12、 二次函数y=ax 2+c 中,当x=3时,y=26 ;当x=2时,y=11 ;则当x=5时, y= __ .13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。
中考数学复习《二次函数》专项提升训练题-附答案
中考数学复习《二次函数》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1.下列函数中属于二次函数的是()+1A.y=5x2−1B.y=x2+1xC.y=x3D.y=(x+3)2−x22.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线()A.y=(x+3)2−1B.y=(x+3)2+3C.y=(x−1)2−1D.y=(x−3)2−13.关于y=(x+1)2+3的图象,下列叙述正确的是()A.顶点坐标为(1,3)B.对称轴为直线x=1C.当x⩾−1时,y随x的增大而增大D.开口向下4.直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx−ab在同一坐标系里的大致图象正确的是()A.B.C.D.5.函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3且k≠0 D.k≤36.若A(−5,y1),B(1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y27.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①b>0;②当x>0,y随着x 的增大而增大;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≥m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个8.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,为使该服装店平均每天的销售利润最大,则每件的定价为()A.21元B.22元C.23元D.24元二、填空题9.已知二次函数y=x2+2x−5,当x=3时,y=.10.若抛物线y=−x2+6x+a的顶点在x轴上,则a的值是.11.当x≥m时,两个函数y1=−(x﹣4)2+2和y2=−(x﹣3)2+1的函数值都随着x的增大而减小,则m的最小值为.12.如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-2,-3),B(3,q)两点,则不等式ax2-mx+c<n的解集是.13.如图,甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,以点O为原点建立平面直角坐标系,羽毛球的飞行高度y(m)(m)之间满足解析式y=﹣15(x−4)2+205,球网BC离点O的水平距离为5米,乙运动员在球场上N(n,0)处接球,若乙因接球高度不够而失球,则n的取值范围是.三、解答题14.如图所示,已知直线y1=x与抛物线y2=12x2交于A,B两点.(1)求A ,B 两点的坐标.(2)观察图象,直接写出当y 1>y 2时x 的取值范围.15.如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (1,0),B (3,0),且过点C (0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)若点P (4,m )在抛物线上,求△PAB 的面积.16.如图1所示,某公园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷出的水柱为抛物线,且各方向喷出的水柱恰好落在水池内,过喷水管口所在铅垂线OA 每一个截面均可得到两条关于OA 对称的抛物线,如图2,以喷水池中心O 为原点,喷水管口所在铅垂线为纵轴,建立平面直角坐标系.(1)若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高,且高度为5米,求水柱所在抛物线的函数表达式;(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?17.宁波地区最近雾霾天气频繁,使得空气净化器得以畅销,某商场代理销售某种空气净化器,其进价是500元/台,经过市场销售后发现,在一个月内,当售价是1000元/台时,可售出50台,且售价每降低20元,就可多售出5台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台,代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务.(1)试确定月销售量y (台)与售价x (元/台)之间的函数关系式;并求出自变量x 的取值范围;(2)当售价x (元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w (元)最大?最大利润是多少?18.如图所示,在平面直角坐标系中,直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点,抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点,且交x 轴于另一点()1,0A -.点D 为抛物线在第一象限内的一点,过点D 作DQ CO ∥,DQ 交BC 于点P ,交x 轴于点Q .(1)求抛物线的解析式;(2)设点P 的横坐标为m ,在点D 的移动过程中,存在DCP DPC ∠=∠,求出m 值;(3)在抛物线上取点E ,在平面直角坐标系内取点F ,问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形?如果存在,请求出点F 的坐标;如果不存在,请说明理由.1.A2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.B9.1010.-911.412.-2<x<313.5<n<7x2交于A,B两点14.(1)解:直线y1=x与抛物线y2=12x=x令y1=y2得12解得x1=0,x2=2当x=0时,y=0;当x=2时,y=2∴A(0,0),B(2,2);(2)解:由图象可得当y1>y2时,x的取值范围为:0<x<2. 15.(1)解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)∴设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)∵过点C(0,−3)∴3a=−3a=−1∴抛物线解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3(2)解:∵点P(4,m)在抛物线上∴y P=−16+16−3=−3∴S △RAB =12×AB ×|y P |=3.16.(1)解:设水柱所在抛物线的函数表达式为y =a(x −3)2+5(a ≠0)将(8,0)代入y =a(x −3)2+5,得:25a +5=0解得:a =−15∴水柱所在抛物线的函数表达式为y =−15(x −3)2+5(0≤x <8);同理:y =−15(x +3)2+5(−8≤x <0)∴y ={−15(x +3)2+5(−8≤x <0)−15(x −3)2+5(0≤x <8) (2)解:当y =1.8时,则−15(x −3)2+5=1.8解得:x 1=−1(舍去)x 2=7∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.17.(1)解:由题意可得y= 50+ (1000- x)÷20×5= 300- 4x ∵货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台,代理销售商每月要完成不低于60台的销售任 务 ∴600300604x x ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 解得,600≤x ≤960即月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式是y=300-4x (600≤x ≤960) ; (2)解:由题意可得 w= (x- 500)(300-4x )=-14(x-850)2+30625 ∴当x=850时, w 取得最大值,此时w= 30625即当售价x 定为850元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大,最大利润是30625元.18.(1)解:一次函数3y x =-+当0x =时3y =,即()0,3C当0y =时30x -+=,解得3x =,即()3,0B把()1,0A -,()3,0B 代入23y ax bx =++得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩则抛物线的解析式为223y x x =-++.(2)解:()3,0B ()0,3C3OB OC ∴==45OCB OBC BPQ DPC ∴∠=∠=∠=∠=︒DCP DPC ∠=∠90DCO ∴∠=︒CD AB ∴∥∴点D 的纵坐标与点C 的纵坐标相同,即为3当3y =时2233x x -++=,解得2x =或0x =(舍去)则2m =.(3)解:存在,求解如下:设点F 的坐标为(),F s t①当四边形BCEF 是矩形时,则CE BC ⊥∵直线BC 的解析式为3y x =-+∴设直线CE 的解析式为y x c =+把点()0,3C 代入得3c =∴直线CE 的解析式为3y x联立2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩,解得14x y =⎧⎨=⎩或03x y =⎧⎨=⎩(即为点C ,舍去) ()1,4E ∴四边形BCEF 是矩形,且()3,0B ,()0,3C 和()1,4E0312230422s t ++⎧=⎪⎪∴⎨++⎪=⎪⎩,解得41s t =⎧⎨=⎩ 则此时点F 的坐标为()4,1F ;②当四边形BCFE 是矩形时,则BE BC ⊥设直线BE 的解析式为y x n =+将点()3,0B 代入得:30n +=,解得3n =-则直线BE 的解析式为3y x =-联立2323y x y x x =-⎧⎨=-++⎩,解得25x y =-⎧⎨=-⎩或30x y =⎧⎨=⎩(即为点B ,舍去) ()2,5E ∴--四边形BCFE 是矩形,且()3,0B ,()0,3C 和()2,5E --3202205322s t +-+⎧=⎪⎪∴⎨+-+⎪=⎪⎩,解得52s t =-⎧⎨=-⎩ 则此时点F 的坐标为()5,2F --综上,存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形,此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--.。
九年级数学上册 二次函数(提升篇)(Word版 含解析)
九年级数学上册二次函数(提升篇)(Word版含解析)一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A,C,连接CD.(1)求抛物线和直线AC的解析式:(2)若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍,求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且A1好落在抛物线上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2y x2x3=-++;3y x=-+;(2)(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)存在;(1,2)和(1,﹣3)【解析】【分析】(1)将点A,B坐标代入抛物线解析式中,求出b,c得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A,C坐标代入直线AC的解析式中,即可得出结论;(2)利用抛物线的对称性得出BD=AD,进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等,即可得出结论;(3)分点Q在x轴上方和在x轴下方,构造全等三角形即可得出结论.【详解】解:(1)把A(3,0),B(﹣1,0)代入y=﹣x2+bc+c中,得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩,∴23bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,当x=0时,y=3,∴点C的坐标是(0,3),把A(3,0)和C(0,3)代入y=kx+b1中,得11303k bb+=⎧⎨=⎩,∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y=﹣x+3;(2)如图,连接BC,∵点D是抛物线与x轴的交点,∴AD=BD,∴S△ABC=2S△ACD,∵S△ACP=2S△ACD,∴S△ACP=S△ABC,此时,点P与点B重合,即:P(﹣1,0),过B点作PB∥AC交抛物线于点P,则直线BP的解析式为y=﹣x﹣1①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②,联立①②解得,1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩,∴P(4,﹣5),∴即点P的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)如图,①当点Q在x轴上方时,设AC与对称轴交点为Q',由(1)知,直线AC的解析式为y=﹣x+3,当x=1时,y=2,∴Q'坐标为(1,2),∵Q'D=AD=BD=2,∴∠Q'AB=∠Q'BA=45°,∴∠AQ'B=90°,∴点Q'为所求,②当点Q在x轴下方时,设点Q(1,m),过点A1'作A1'E⊥DQ于E,∴∠A1'EQ=∠QDA=90°,∴∠DAQ+∠AQD=90°,由旋转知,AQ=A1'Q,∠AQA1'=90°,∴∠AQD+∠A1'QE=90°,∴∠DAQ=∠A1'QE,∴△ADQ≌△QEA1'(AAS),∴AD =QE =2,DQ =A 1'E =﹣m , ∴点A 1'的坐标为(﹣m +1,m ﹣2), 代入y =﹣x 2+2x +3中, 解得,m =﹣3或m =2(舍), ∴Q 的坐标为(1,﹣3),∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,﹣3).【点睛】本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,三角形“k ”字型全等,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.2.如图,抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ,经过B C 、两点的直线为y x n =+.(1)求抛物线的解析式.(2)点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 秒,求t 为何值时,PBE △的面积最大并求出最大值.(3)过点A 作AM BC ⊥于点M ,过抛物线上一动点N (不与点B C 、重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q .若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的横坐标.【答案】(1)265y x x =-+- (2)2t =;(3或4【解析】 【分析】(1)先确定A 、B 、C 三点的坐标,然后用待定系数法解答即可;(2)先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形,再求出点P 到BC 的高d为)454d BP sin t =⋅︒=-,则12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t =⨯⨯-=-,再根据二次函数的性质即可确定最大值;(3)先求出454AM AB sin =⋅︒==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,再说明四边形AMNQ是平行四边形,得到NQ AM ==;再过点N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形,求得4NH ===;设()2,65N m m m -+-,则(),0G m ,(),5H m m -,最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可. 【详解】解:()1因为直线y x n =+经过B C 、两点,且点B 在x 轴上,点C 在y 轴上, ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ,点(),0B n -,点()0,C n ,∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩,解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-.()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形, ∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE 的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-;∵二次函数()()4f t t =-的函数图象开口向下,零点为0和4, ∴0422t +==时,∴()()()2242max f t f ==⨯-=即2t =时,PBE △的面积最大,且最大值为()3由题意得4542AM AB sin =⋅︒=⨯= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形,∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-,∴NQH 为等腰直角三角形,∴4,NH ===设()2,65N m m m -+-, 则(),0G m ,(),5H m m -,①点N 在x 轴上方时,此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=,即()()140,m m --=解得1m =(舍,因为此时点N 与点A 重合)或4m =;②点N 在x 轴下方且5m >时,此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=,即2540,m m --=解得552m -=<(舍)或52m =③点N 在x 轴下方且1m <时,此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=,即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=(舍)综上所述,5414,2m m +==,5412m -=符合题意, 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形, 点N 的横坐标为541-或4或541+.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质,掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键3.如图1,抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-,1C 与x 轴的正半轴交于点1A ,且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ,此时四边形111D OB A 恰为正方形;按上述类似方法,如图2,抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-,2C 与x 轴的正半轴交于点2A ,且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ,此时四边形222OB A D 也恰为正方形;按上述类似方法,如图3,可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ,请探究以下问题: (1)填空:1a = ,1b = ; (2)求出2C 与3C 的解析式;(3)按上述类似方法,可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D (1n ≥). ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式;②当x 取任意不为0的实数时,试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系,并说明理由.【答案】(1)11a =,12b =;(2)22132y x x =-,23126y x x =-;(3)①()2212123n n y x x n -=-≥⨯,②20182019y y >. 【解析】 【分析】(1)求与x 轴交点A 1坐标,根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标,代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值,写出D 1的坐标,代入y 1的解析式中可求得a 1的值; (2)求与x 轴交点A 2坐标,根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标,代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值,写出D 2的坐标,代入y 2的解析式中可求得a 2的值,写出抛物线C 2的解析式;再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式;(3)①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1,由B 1坐标(1,1)、B 2坐标(3,3)、B 3坐标(7,7)得B n 坐标(2n -1,2n -1),则b n =2(2n -1)=2n +1-2(n ≥1),写出抛物线C n 解析式.②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式,用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小. 【详解】解:(1)y 1=0时,a 1x (x -b 1)=0, x 1=0,x 2=b 1, ∴A 1(b 1,0),由正方形OB 1A 1D 1得:OA 1=B 1D 1=b 1, ∴B 1(12b ,12b ),D 1(12b ,12b-), ∵B 1在抛物线c 上,则12b =(12b )2, 解得:b 1=0(不符合题意),b 1=2, ∴D 1(1,-1),把D 1(1,-1)代入y 1=a 1x (x -b 1)中得:-1=-a 1,∴a 1=1, 故答案为1,2;(2)当20y =时,有()220a x x b -=, 解得2x b =或0x =,()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ,得2222B D OA b ==,222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,222,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上,2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 解得24b =或20b =(不合舍去),()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上,()22224a ∴-=-.解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-,即22122y x x =-. 同理,当30y =时,有()330a x x b -=, 解得3x b =,或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ,得3333B D OA b ==,333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,333,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3B 在抛物线2C 上,2333122222b b b⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =(不合舍去),()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上,()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-,即23126y x x =-.(3)解:①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯,2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时,220182019201620171110233y y x >⎛⎫-=-⎪⎝⎭, 20182019y y ∴>.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用,将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.就此题而言:①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算,把函数问题转化为方程问题;②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标;③根据规律之间得到解析式是关键.4.如图,直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣32x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C . (1)求抛物线的解析式;(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当32MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.【答案】(1)y =12x 2﹣32x ﹣2;(2)点M 的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)点P 的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2). 【解析】 【分析】(1)根据题意直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,则点A 、B 的坐标分别为:(0,-2)、(4,0),即可求解;(2)由题意直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN =32时,则NHON=32,即4343mmm---=32,进行分析即可求解;(3)根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,﹣2)、(4,0),则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=12,故抛物线的表达式为:y=12x2﹣32x﹣2①;(2)设点M(m,12m2﹣32m﹣2)、点A(0,﹣2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即:4343mmm---=32,解得:m=5或﹣2或2或1,故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),故点P(﹣1,0);②当∠PAB=∠OAB时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将△OAB沿AB折叠得到△O′AB,直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则BO=OB=4,OA=OA=2,设OH=x,则sin∠H=BO OAHB HA'=,即:2444x x=++,解得:x=83,则点H(﹣83,0),.则直线AH的表达式为:y=﹣34x﹣2③,联立①③并解得:x=32,故点P(32,﹣258);③当∠PAB=∠OBA时,当点P在AB上方时,则AH=BH,设OH=a,则AH=BH=4﹣a,AO=2,故(4﹣a)2=a2+4,解得:a=32,故点H(32,0),则直线AH的表达式为:y=43x﹣2④,联立①④并解得:x=0或173(舍去0),故点P (173,509); 当点P 在AB 下方时,同理可得:点P (3,﹣2); 综上,点P 的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2). 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等,要注意分类讨论,解题全面.5.已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩(a 为常数). (1)若点()1,2在此函数图象上,求a 的值. (2)当1a =-时,①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标.②若此函数图象与直线y m =有三个交点,求m 的取值范围.(3)已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -,点()3,0B ,点()3,2C ,点()2,2D -,若此函数图象与矩形ABCD 无交点,直接写出a 的取值范围.【答案】(1)1a =或3a =-;(2)①1x =--1x =+;②724m ≤<或21m -<<-;(3)3a <--或1a ≤<-或a >【解析】 【分析】(1)本题根据点(1,2)横坐标大于零,故将点代入对应解析式即可求得a 的取值. (2)①本题将1a =-代入解析式,分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标;②本题可求得分段函数具体解析式,继而求得顶点坐标,最后平移直线y m =观察其与图像交点,即可得到答案.(3)本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论,第一种为当2a <-,将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小,将2211422y x ax a =---+与0比大小;第二种为当20a -≤<,2222y x ax a =-+-函数值与0比大小,且该函数与y 轴的交点和0比大小,2211422y x ax a =---+函数值与2比大小,且该函数与y 轴交点与2比大小;第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小,2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小.【详解】(1)将()1,2代入2211422y x ax a =---+中,得2112422a a =---+,解得1a =或3a =-.(2)当1a =-时,函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩,①令2210x x +-=,解得1x =--1x =- 令217022x x -++=,解得1x =+或1x =-综上,1x =--1x =+.②对于函数()2210y x x x =+-<,其图象开口向上,顶点为()1,2--; 对于函数217(0)22y x x x =-++≥,其图象开口向下,顶点为()1,4,与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭. 综上,若此函数图象与直线y m =有三个交点,则需满足724m ≤<或21m -<<-. (3)2222y x ax a =-+-对称轴为x a =;2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-. ①当2a <-时,若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点,需满足当2x =-时,2222y x ax a =-+-24+422a a =->+,解不等式得0a >或4a ,在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点,需满足当3x =时,2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-,解得3a >或3a <--,综上可得:3a <--.②当20a -≤<时,若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点,需满足2x =-时,2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<;当0x =时,22222=20y x ax a a =-+--≤;得2a ≤<,在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点,需满足0x =时,2221114=42222y x ax a a ---+->=;3x =时,2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-;求得21a -<<-; 综上:21a -≤<-.③当0a ≥时,若使函数图像与矩形ABCD 无交点,需满足0x =时,22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<;求解上述不等式并可得公共解集为:22a >.综上:若使得函数与矩形ABCD 无交点,则322a <--或21a -≤<-或22a >. 【点睛】本题考查二次函数综合,求解函数解析式常用待定系数法,函数含参数讨论时,往往需要分类讨论,分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律,继而将规律一般化求解题目.6.二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .(1)当m =1时,求顶点P 的坐标; (2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD . ①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.【答案】(1)P (2,13);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4. 【解析】 【分析】(1)把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可;(3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可. 【详解】解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263m mb a a m =-+, 即:2263m mb m a a -=- ∵0b m ->,∴2263m m a a ->0, ∵m >0,∴2263a a ->0, 解得:a <0或a >4,∴a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+, ∴顶点P (2,3m), 当x=0时,y=m , ∴点A (0,m ), ∴OA=m ;设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0), 把点A (0,m ),点P (2,3m)代入,得: 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m , 当y=0时,x=3, ∴点B (3,0); ∴OB=3;∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°, 且∠OAB+∠FAB =90°, ∴∠DAF=∠OAB , 在△ADF 和△ABO 中,DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADF ≌△ABO (AAS ),∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3, ∴点D 的坐标为:(m ,m+3); ②由①同理可得:C (m+3,3),∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,∴当x =m 时,3y m ≤+,可得322363m mm m -+≤+,化简得:32418m m -≤.∵0m >,∴2184m m m -≤,∴218(2)4m m--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4;当x = m +3时,y ≥3,可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥,∵0m >,∴21823m m m ++≥,即218(1)2m m++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4. 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.7.如图1所示,抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,已知C 点坐标为(0,4),抛物线的顶点的横坐标为72,点P 是第四象限内抛物线上的动点,四边形OPAQ 是平行四边形,设点P 的横坐标为m . (1)求抛物线的解析式;(2)求使△APC 的面积为整数的P 点的个数;(3)当点P 在抛物线上运动时,四边形OPAQ 可能是正方形吗?若可能,请求出点P 的坐标,若不可能,请说明理由;(4)在点Q 随点P 运动的过程中,当点Q 恰好落在直线AC 上时,则称点Q 为“和谐点”,如图(2)所示,请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值.【答案】(1)2214433y x x =-+;(2)9个 ;(3)33,22或44,;(4)33【解析】 【分析】(1)抛物线与y 轴交于点C ,顶点的横坐标为72,则472223cb ,即可求解; (2)APC ∆的面积PHAPHCSSS,即可求解;(3)当四边形OPAQ 是正方形时,点P 只能在x 轴的下方,此时OAP 为等腰直角三角形,设点(,)P x y ,则0x y +=,即可求解; (4)求出直线AP 的表达式为:2(1)(6)3y m x ,则直线OQ 的表达式为:2(1)3ym x ②,联立①②求出Q 的坐标,又四边形OPAQ 是平行四边形,则AO 的中点即为PQ 的中点,即可求解. 【详解】解:(1)抛物线与y 轴交于点C ,顶点的横坐标为72,则472223cb ,解得1434b c, 故抛物线的抛物线为:2214433y x x =-+; (2)对于2214433y x x =-+,令0y =,则1x =或6,故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0);如图,过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ,设直线AC 的表达式为:y kx b =+ 由点A (6,0)、C (0,4)的坐标得460b kb,解得423b k, ∴直线AC 的表达式为:243y x =-+①, 设点2214(,4)33P x x x ,则点2(,4)3H x x ,APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x,当1x =时,10S =,当6x =时,0S =, 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个;(3)当四边形OPAQ 是正方形时,点P 只能在x 轴的下方, 此时OAP 为等腰直角三角形,设点(,)P x y ,则0x y +=, 即2214433yx x x ,解得:32x =或4, 故点P 的坐标为3(2,3)2或(4,4)-; (4)设点2214(,4)33P m m m ,为点(6,0)A ,设直线AP 的表达式为:y kx t =+,由点A ,P 的坐标可得260214433kt kmt m m ,解之得:2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为:2(1)(6)3ym x , //AP OQ ,则AP 和OQ 表达式中的k 值相同,故直线OQ 的表达式为:2(1)3ym x ②,联立①②得:2(1)3243ym x yx ,解得:446mm y x ,则点6(Q m ,44)m, 四边形OPAQ 是平行四边形,则AO 的中点即为PQ 的中点, 如图2,作QC x ⊥轴于点C ,PD x ⊥轴于点D ,∴OC AD =, 则有,66m m ,解得:33m,经检验,33m 是原分式方程得跟,则633m,故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等,能熟练应用相关性质是解题的关键.8.定义:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设点P 的坐标为(x ,y ),当x <0时,点P 的变换点P′的坐标为(﹣x ,y );当x ≥0时,点P 的变换点P′的坐标为(﹣y ,x ). (1)若点A (2,1)的变换点A′在反比例函数y=kx的图象上,则k= ; (2)若点B (2,4)和它的变换点B'在直线y=ax+b 上,则这条直线对应的函数关系式为 ,∠BOB′的大小是 度.(3)点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上,以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ,设点P 的横坐标为m ,当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时,求m 的取值范围.(4)抛物线y=(x ﹣2)2+n 与x 轴交于点C ,D (点C 在点D 的左侧),顶点为E ,点P 在该抛物线上.若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上,且四边形ECP′D 是菱形,求n 的值.【答案】(1) -2;(2) y=13x+103,90;(3) m <0,m=12+或m=32;(4) n=﹣8,n=﹣2,n=﹣3.【解析】【分析】 (1)先求出A 的变换点A ′,然后把A ′代入反比例函数即可得到结论;(2)确定点B ′的坐标,把问题转化为方程组解决;(3)分三种情形讨论:①当m <0时;②当m ≥0,PP '⊥x 轴时;③当m ≥0,MN ⊥x 轴时.(4)利用菱形的性质,得到点E 与点P '关于x 轴对称,从而得到点P '的坐标为(2,﹣n ).分两种情况讨论:①当点P 在y 轴左侧时,点P 的坐标为(﹣2,﹣n ),代入抛物线解析式,求解即可;②当点P 在y 轴右侧时,点P 的坐标为(﹣n ,﹣2).代入抛物线解析式,求解即可.【详解】(1)∵A (2,1)的变换点为A ′(-1,2),把A ′(-1,2)代入y =k x中,得到k =-2. 故答案为:-2.(2)点B (2,4)的变换点B ′(﹣4,2),把(2,4),(﹣4,2)代入y =ax +b 中. 得到:2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩,解得:13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴11033y x =+. ∵OB 2=2224+=20,OB ′2=2224+=20,BB ′2=22(42)(24)--+-=40,∴OB 2+OB ′2=BB ′2,∴∠BOB ′=90°.故答案为:y =13x +103,90. (3)①当m <0时,点P 与点P '关于y 轴对称,此时MN 垂直于x 轴,所以m <0. ②当m ≥0,PP '⊥x 轴时,则点P '的坐标为(m ,m ),点P 的坐标为(m ,﹣m ). 将点P (m ,﹣m )代入y =x 2﹣2x ﹣3,得:﹣m =m 2﹣2m ﹣3.解得:12m m ==(不合题意,舍去).所以m = ③当m ≥0,MN ⊥x 轴时,则PP '∥x 轴,点P 的坐标为(m ,m ).将点P (m ,m )代入y =x 2﹣2x ﹣3,得:m =m 2﹣2m ﹣3.解得:123322m m ==(不合题意,舍去).所以3212m+=.综上所述:m的取值范围是m<0,m=113+或m=321+.(4)∵四边形ECP'D是菱形,∴点E与点P'关于x轴对称.∵点E的坐标为(2,n),∴点P'的坐标为(2,﹣n).①当点P在y轴左侧时,点P的坐标为(﹣2,﹣n).代入y=(x﹣2)2+n,得:﹣n=(﹣2﹣2)2+n,解得:n=﹣8.②当点P在y轴右侧时,点P的坐标为(﹣n,﹣2).代入y=(x﹣2)2+n,得:﹣2=(﹣n﹣2)2+n.解得:n1=﹣2,n2=﹣3.综上所述:n的值是n=﹣8,n=﹣2,n=﹣3.【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的射线思考问题,学会用方程的思想思考问题,属于中考压轴题.9.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)求直线AC的函数解析式;(3)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;【答案】(1)y=﹣23x2﹣43x+2;(2)223y x=+;(3)存在,(35,22-)【解析】【分析】(1)直接用待定系数法即可解答;(2)先确定C点坐标,设直线AC的函数解析式y=kx+b,最后用待定系数法求解即可;(3)连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,然后求出△ACP面积的表达式,最后利用二次函数的性质求最值即可.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2过点A (﹣3,0),B (1,0),∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2; (2)∵当x=0时,y=2,∴C (0,2)设直线AC 的解析式为y kx b =+,把A 、C 两点代入得 0=32k b b -+⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的函数解析式为223y x =+; (3)存在.如图: 连接PO ,作PM⊥x 轴于M ,PN⊥y 轴于N设点P 坐标为(m ,n ),则n=224233m m --+),PN=-m ,AO=3 当x=0时,y=22400233-⨯-⨯+=2,∴点C 的坐标为(0,2),OC=2∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-212411322()3223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --∵a=-1<0∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯-∴当m=32-时,S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时,P 的坐标为(35,22-). 【点睛】 本题是二次函数压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点,根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键.10.如图,已知顶点为M (32,258)的抛物线过点D (3,2),交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ,点P 是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 在直线AD 上方时,求△PAD 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标; (3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q ,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q '.是否存在点P ,使Q '恰好落在x 轴上?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)213222y x x =-++;(2)最大值为4,点P (1,3);(3)存在,点P 139313-+). 【解析】【分析】 (1)用待定系数法求解即可;(2)由△PAD 面积S =S △PHA +S △PHD ,即可求解;(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ,213222a a -++),当P 点在y 轴右侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可.【详解】解:(1)设抛物线的表达式为:y =a (x ﹣h )2+k =a (x ﹣32)2+258, 将点D 的坐标代入上式得:2=a (3﹣32)2+258,解得:a =﹣12, ∴抛物线的表达式为:213222y x x =-++; (2)当x =0时,y =﹣12x 2+32x +2=2, 即点C 坐标为(0,2), 同理,令y =0,则x =4或﹣1,故点A 、B 的坐标分别为:(﹣1,0)、(4,0),过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ,由点A 、D 的坐标得,直线AD 的表达式为:y =12(x +1), 设点P (x ,﹣12x 2+32x +2),则点H (x ,12x +12), 则△PAD 面积为:S =S △PHA +S △PHD =12×PH ×(x D ﹣x A )=12×4×(﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-)=﹣x 2+2x +3, ∵﹣1<0,故S 有最大值,当x =1时,S 有最大值,则点P (1,3);(3)存在满足条件的点P ,显然点P 在直线CD 下方,设直线PQ 交x 轴于F ,点P 的坐标为(a ,﹣12a 2+32a +2),当P 点在y 轴右侧时(如图2),CQ =a ,PQ =2﹣(﹣12a 2+32a +2)=12a 2﹣32a ,又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P =90°,∠COQ ′=∠Q ′FP =90°,∴∠FQ ′P =∠OCQ ′,∴△COQ ′∽△Q ′FP ,'''Q C Q P CO FQ =,即213222'a a a Q F-=, ∴Q ′F =a ﹣3,∴OQ ′=OF ﹣Q ′F =a ﹣(a ﹣3)=3,CQ =CQ ′== 此时aP92-+). 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用,综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质,解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通,属于中考常涉及的题目.。
二次函数提高拓展题(含答案)
二次函数提高拓展题一、选择题1. 如图所示,已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点A(m ,0)和点B ,且m>4,那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m2.已知函数y =(k -3)x 2+2x +1的图象与x 轴有交点,则k 的取值围是( ) A .k <4 B .k ≤4 C.k <4且k ≠3 D .k ≤4且k ≠33.若x 1,x 2(x 1<x 2)是方程(x-a )(x-b )=1(a <b )的两个根,则实数x 1,x 2,a ,b 的大小关系为( )A 、x 1<x 2<a <bB 、x 1<a <x 2<bC 、x 1<a <b <x 2D 、a <x 1<b <x 2 4.如图,四边形ABCD 中,∠BAD =∠ACB =90°,AB =AD ,AC =4BC ,设CD 的长为x ,四边形ABCD 的面积为y ,则y 与x 之间的函数关系式是( ) A .2425y x =B .225y x =C .2225y x =D .245y x =5.如图,等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上,顶点C 在y 轴正半轴上,B (4,2),一次函数1y kx =-的图象平分它的面积,关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点,则m 的值为( ). A .0B .21-C .-1D .0或21-或-1二、填空题6.如图所示,P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点,从P 向ABA BC D第5图 第6图作垂线PQ,Q为垂足.延长QP与AC的延长线交于R,设BP=x(0≤x≤1),△BPQ与△CPR的面积之和为y,把y表示为x的函数是______________________.7.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象,观察图象写出y 2≥y1时,x的取值围______________.8.把抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是---------------------。
中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数综合题》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________类型一 线段问题1. 如图,抛物线y =14 x 2+bx +c 过点A (4,0),B (-4,4),与y 轴交于点C ,连接AB .(1)求抛物线的表达式;(2)若E 是线段AB 上的一个动点(不与点A ,B 重合),过点E 作y 轴的平行线,分别交抛物线,x 轴于F ,D 两点,若DE =2DF ,请求出点E 的坐标.第1题图2. 平面直角坐标系中已知抛物线y =ax 2+83 x +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B ,与y轴交于点C (0,-4).(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ,B ,C 重合),作 PD ⊥x 轴,垂足为D ,连接PC . ①如图,若点P 在第三象限,且tan ∠CPD =2,求点P 的坐标;②直线PD 交直线BC 于点E ,当点E 关于直线PC 的对称点E ′落在y 轴上时,请直接写出四边形 PECE ′的周长.第2题图 备用图类型二 面积问题1. 如图,抛物线y =ax 2+bx +5(a ≠0)交x 轴于A (-1,0),B (5,0)两点,交y 轴于点C ,连接AC ,BC ,点G 为线段BC 上方的抛物线上一点,过点G 作GH ∥AC 交BC 于点H . (1)求抛物线的解析式;(2)连接AG ,AH ,BG ,设h =S △AGB -S △AHB ,点G 的横坐标为t ,求h 关于t 的函数解析式,并求出h 的最大值.第1题图2. 在平面直角坐标系中点O 是坐标原点,抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过点A (3,3),对称轴为直线x =2. (1)求a ,b 的值;(2)已知点B ,C 在抛物线上,点B 的横坐标为t ,点C 的横坐标为t +1.过点B 作x 轴的垂线交直线OA 于点D ,过点C 作x 轴的垂线交直线OA 于点E . (ⅰ)当0<t <2时,求△OBD 与△ACE 的面积之和;(ⅱ)在抛物线对称轴右侧,是否存在点B ,使得以B ,C ,D ,E 为顶点的四边形的面积为32 ?若存在,请求出点B 的横坐标t 的值;若不存在,请说明理由.类型三存在性问题典例精析例如图,在平面直角坐标系xOy中抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点.(1)若点M为抛物线对称轴上一点,是否存在点M,使得△BCM为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;例题图①【思路点拨】判断等腰三角形存在性问题,一般要进行分类讨论.①BC为腰时:分别以点B,C为圆心,BC长为半径画圆,与直线x=1的交点即为所求作的点;②BC为底时:作线段BC的垂直平分线,与直线x=1的交点即为所求作的点.(2)在抛物线上是否存在一点N,使得△BCN是以BC为直角边的直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;例题图②【思路点拨】判断直角三角形存在性问题,一般要进行分类讨论.①BC 为直角边时:分别过点B ,C 作BC 的垂线,与抛物线的交点即为所求作的N 点; ②BC 为斜边,点N 为直角顶点时:以BC 的中点为圆心,12 BC 的长为半径作圆,所作的圆与抛物线的交点即为所求作的N 点.(3)若点Q 为第一象限内抛物线上一点,过点Q 作QG ⊥x 轴,垂足为G ,连接AC ,OQ .是否存在点Q ,使得△QGO ∽△AOC ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由; 【思路点拨】判断相似三角形存在性问题,通常利用相似三角形的性质,列出线段比例关系,求解即可.例题图③(4)若点E 在抛物线上,点F 在x 轴上,是否存在点E ,使得以D ,C ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由; 【思路点拨】判断平行四边形存在性问题,一般要进行分类讨论. ①当DE ,FC 是平行四边形对角线时; ②当DF ,EC 是平行四边形对角线时; ③当DC ,EF 是平行四边形对角线时.再利用平行四边形对角线的性质结合中点坐标公式求点坐标即可.例题图④(5)若点H是x轴上一点,点K是平面任意一点,是否存在点H,使得以点A,C,H,K为顶点的四边形是矩形?若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由;【思路点拨】判断矩形存在性问题,一般要进行分类讨论.①当AC为矩形的边时,∠ACH=90°;②当AC为矩形的对角线时,∠AHC=90°.再利用勾股定理求解即可.例题图⑤(6)若点S是第一象限抛物线上一点,过点S作ST⊥BC于点T,连接AC,CS,是否存在点S使得△CST中有一个角与∠CAO相等,若存在,求出S点坐标;若不存在,请说明理由.【思路点拨】判断角度存在性问题,一般要进行分类讨论.①若∠SCT=∠CAO;②若∠CST=∠CAO.再构造直角三角形,利用三角函数求解即可.例题图⑥对接中考1. 如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0),点B(5,0),交y轴于点C.(1)求b,c的值;(2)点P(x0,y0)(0<x0<5)是抛物线上的动点.①当x0取何值时,△PBC的面积最大?并求出△PBC面积的最大值;②过点P作PE⊥x轴,交BC于点E,再过点P作PF∥x轴,交抛物线于点F,连接EF,问:是否存在点P,使△PEF为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第1题图2. 如图,将一块自制的直角三角板放置在平面直角坐标系中顶点为坐标原点,A(0,-3),B(6,0),将此三角板绕原点O顺时针旋转90°,得到△A′B′O,抛物线L经过点A′,B′,B.(1)求抛物线L的解析式;(2)点Q为平面内一点,在直线AB上是否存在点P,使得以点A,B′,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第2题图拓展类型二次函数性质综合题1. 在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中(1)若它的图象过点(2,1),则t的值为多少?(2)当0≤x≤3时,y的最小值为-2,求出t的值;(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上,且a<b<3,求m的取值范围.2. 已知抛物线y=ax2+bx+3(a,b均为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=2.(1)求抛物线顶点M的坐标和b的值(用含a的代数式表示);(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在此抛物线上,且x1<2<x2,x1+x2<4,若a>0,试比较y1与y2的大小,并说明理由;(3)若自变量x的值满足-1≤x≤1,与其对应的函数的最大值为18,请直接写出b的值.3. 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2-4ax+c(a<0)与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C.(1)若OC=2OB,求抛物线的解析式;(2)若抛物线的最大值为6,求a 的值;(3)若点P (x 0,m ),Q (52,n )在抛物线上,且m <n ,求x 0的取值范围.参考答案类型一 线段问题1. 解:(1)∵抛物线y =14 x 2+bx +c 过点A (4,0),B (-4,4)∴将A (4,0),B (-4,4)分别代入y =14x 2+bx +c 中得⎩⎪⎨⎪⎧4+4b +c =04-4b +c =4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-12c =-2∴抛物线的表达式为y =14 x 2-12x -2;(2)由点A (4,0),B (-4,4)可得直线AB 的表达式为y =-12 x +2设点E (x ,-12 x +2),其中-4<x <4,则F (x ,14 x 2-12 x -2)∴DE =2-12 x ,DF =|14 x 2-12 x -2|分两种情况讨论:①当点F 在x 轴上方时,即2-12 x =2×(14 x 2-12 x -2)解得x 1=-3,x 2=4(舍去) 将x =-3代入y =-12 x +2中得y =72∴E (-3,72);②当点F 在x 轴下方时,即2-12 x =2×(-14 x 2+12 x +2)解得x 1=-1,x 2=4(舍去)将x =-1代入y =-12 x +2得y =52 ,∴E (-1,52);综上所述,当DE =2DF 时,点E 的坐标为(-3,72 )或(-1,52).2. 解:(1)∵抛物线y =ax 2+83 x +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0),与y 轴交于点C (0,-4)∴⎩⎪⎨⎪⎧a +83+c =0c =-4 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =43c =-4∴抛物线的函数解析式为y =43 x 2+83x -4;(2)①如解图①,过点C 作CE ⊥PD 于点E第2题解图①则∠PEC =∠CED =90° ∵C (0,-4) ∴OC =4∵PD ⊥x 轴,垂足为D ∴∠PDO =90°,∠DOC =90° ∴四边形DOCE 是矩形 ∴DE =OC =4 设P (x ,43 x 2+83 x -4)∴CE =-x∴PE =PD -DE =-(43 x 2+83 x -4)-4=-43 x 2-83 x∵tan ∠CPD =CEPE =2∴-x -43x 2-83x =2解得x 1=-138 ,x 2=0(不合题意,舍去)当x =-138 时,43 x 2+83 x -4=-7716∴P (-138 ,-7716);②四边形PECE ′的周长为353 或853.【解法提示】设P (m ,43 m 2+83 m -4),对于y =43 x 2+83 x -4,当y =0时,43 x 2+83 x -4=0,解得x 1=1,x 2=-3,∴B (-3,0),∴OB =3,在Rt △BOC 中由勾股定理得BC =OB 2+OC 2 =5.当点P 在第三象限时,如解图②,过点E 作EF ⊥y 轴于点F第2题解图②则四边形DEFO 是矩形,∴EF =DO =-m ,∵点E 与点E ′关于PC 对称,∴∠ECP =∠E ′CP ,CE =CE ′,PE =PE ′,∵PE ∥y 轴,∴∠EPC =∠PCE ′,∴∠EPC =∠ECP ,∴PE =CE ,∴PE =CE =CE ′=PE ′,∴四边形PECE ′是菱形,∵EF ∥OA ,∴△CEF ∽△CBO ,∴CE CB =EFBO,∴CE 5 =-m 3 ,∴CE =-53m ,设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0),把B (-3,0),C (0,-4)代入得,⎩⎪⎨⎪⎧-3k +b =0b =-4 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-43b =-4,∴直线BC 的解析式为y =-43 x -4,∴E (m ,-43 m -4),∴PE =-43 m 2-4m ,∵PE =CE ,∴-43 m 2-4m =-53 m ,解得m 1=-74 ,m 2=0(舍去),∴CE =-53 ×(-74 )=3512 ,∴四边形PECE ′的周长为4CE =4×3512 =353;当点P 在第二象限时,如解图③第2题解图③同理可得43 m 2+4m =-53 m ,解得m 1=-174 ,m 2=0(舍去),∴CE =-53 ×(-174 )=8512 ,∴四边形PECE ′的周长为4CE =4×8512 =853 ;综上所述,四边形PECE ′的周长为353 或853.类型二 面积问题1. 解:(1)∵抛物线y =ax 2+bx +5(a ≠0)交x 轴于A (-1,0),B (5,0)两点∴⎩⎪⎨⎪⎧a -b +5=025a +5b +5=0 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1b =4 ∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5;(2)如解图,过点G 作GD ∥y 轴交BC 于点D ,连接CG ∵当x =0时,y =-x 2+4x +5=5 ∴C (0,5) ∵GH ∥AC ∴S △AGH =S △CGH∴h =S △AGB -S △AHB =S △AGH +S △BGH =S △CGH +S △BGH =S △BGC . 设直线BC 的解析式为y =kx +b 1(k ≠0) 将B (5,0),C (0,5)代入y =kx +b 1中∴⎩⎪⎨⎪⎧5k +b 1=0b 1=5 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1b 1=5 ∴直线BC 的解析式为y =-x +5∵点G 的横坐标为t (0<t <5),∴G (t ,-t 2+4t +5),D (t ,-t +5) ∴GD =-t 2+4t +5-(-t +5)=-t 2+5t ∴h =S △BGC =S △CGD +S △BGD =12 GD ·t +12 GD ·(5-t ) =-52 (t -52 )2+1258∵-52<0,0<t <5∴当t =52 时,h 取最大值,最大值为1258.第1题解图2. 解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-b 2a =2,9a +3b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =4;(2)(i)如解图①,延长BD 与x 轴交于点M ,延长CE 与x 轴交于点N ,过点A 作AF ⊥CE 于点F ,连接OB ,AC第2题解图①由(1)知抛物线的解析式为y =-x 2+4x ,易知直线OA 的解析式为y =x ∵点B ,C 在抛物线上,点B 横坐标为t ,点C 的横坐标为t +1 ∴B (t ,-t 2+4t ),C (t +1,-(t +1)2+4(t +1)),D (t ,t ),E (t +1,t +1) ∴OM =t ,BD =-t 2+3t ,CE =-(t +1)2+3(t +1),AF =-t +2 ∵0<t <2 ∴1<t +1<3∴S △OBD +S △ACE =12 OM ·BD +12 CE ·AF =12 t ·(-t 2+3t )+12 [-(t +1)2+3(t +1)]·(-t +2)=2;(ii)存在.如解图②,当点B 在点D 上方,即2<t <3时,过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ,连接BE ,CD第2题解图②∵BD ∥EC∴四边形DBEC 为梯形此时,BD =-t 2+3t ,CE =-(t +1)2+3(t +1) ∵DQ =1∴S 四边形DBEC =12 (BD +EC )·DQ =12 [-t 2+3t -(t +1)2+3(t +1)]·1=t -1当S 四边形DBEC =32 时,可得t -1=32 ,解得t =52;当点D 在点B 上方,即t >3时,如解图③,过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ,连接BC第2题解图③此时BD =t 2-3t ,CE =(t +1)2-3(t +1)∴S 四边形DBCE =12 (BD +EC )·DQ =12 [t 2-3t +(t +1)2-3(t -1)]·1=t 2-2t -1令t 2-2t -1=32 ,解得t 1=142 +1<3,t 2=-142 +1<3,均舍去;综上所述,t 的值为52.类型三 存在性问题典例精析例 解:(1)存在 设点M (1,m )由题意得BC =32 ,BM =4+m 2 ,CM =1+(m -3)2①当BC 为腰时 a .若BC =BM ,如解图①例题解图①即32=4+m2解得m=±14则M1(1,14),M2(1,-14);b.若BC=CM,如解图②即32=1+(m-3)2,解得m=3±17,则M3(1,3+17),M4(1,3-17);②当BC为底边时,则CM=BM,如解图②,即1+(m-3)2=4+m2解得m=1,则M5(1,1);∴综上所述,满足条件的点M的坐标为(1,14)或(1,-14)或(1,3+17)或(1,3-17)或(1,1);例题解图②(2)存在设点N(x,-x2+2x+3).①当点C为直角顶点时,如解图③,则∠N1CB=90°,过点N1作N1H⊥y轴于点H∵△BOC是等腰直角三角形∴∠BCO=45°∴∠N1CH=180°-90°-45°=45°∴△N1CH是等腰直角三角形∴N1H=HC,即x=-x2+2x+3-3解得x1=0(舍去),x2=1∴N1(1,4);例题解图③②当点B 为直角顶点时,如解图③,则∠CBN 2=90°,过点N 2作N 2G ⊥y 轴,过点B 作BG ⊥x 轴交N 2G 于点G∴同理可得∠BN 2G =45°,△BN 2G 是等腰直角三角形 ∴N 2G =BG ,即3-x =-(-x 2+2x +3) 解得x 1=-2,x 2=3(舍去) ∴N 2(-2,-5).综上所述,满足条件的点N 的坐标为 (1,4)或(-2,-5); (3)存在∵点Q 在第一象限内抛物线上 ∴设Q (m ,-m 2+2m +3),0<m <3 ∵QG ⊥x 轴∴G (m ,0),OG =m ,QG =-m 2+2m +3 ∵△AOC ∽△QGO ∴AO QG =CO OG ,即1-m 2+2m +3 =3m解得m 1=5+1336 或m 2=5-1336 (舍去)此时点Q 的坐标为(5+1336 ,5+13318 );(4)存在设E (m ,-m 2+2m +3),F (n ,0),易得抛物线顶点D 的坐标为(1,4),点C 的坐标为(0,3)①如解图④,当DE ,FC 是平行四边形对角线时 ∵平行四边形对角线互相平分 ∴DE ,FC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1+m =n +04-m 2+2m +3=0+3 解得m =1+5 或m =1-5∴E 1(1+5 ,-1)或E 2(1-5 ,-1);例题解图④②如解图⑤,当DF ,EC 是平行四边形对角线时,同理DF ,EC 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1+n =m +04+0=-m 2+2m +3+3 解得m =1+3 或m =1-3 ∴E 3(1+3 ,1)或E 4(1-3 ,1);例题解图⑤③当DC ,EF 是平行四边形对角线时,DC ,EF 的中点重合∴⎩⎪⎨⎪⎧1+0=m +n 4+3=-m 2+2m +3+0方程组无实数解.综上所述,满足条件的点E 的坐标为(1+5 ,-1)或(1-5 ,-1)或(1+3 ,1)或(1-3 ,1); (5)存在如解图⑥,由题意知,A (-1,0),C (0,3),设点H 的坐标为(p ,0) ∴AH 2=(p +1)2,CH 2=p 2+32,AC 2=12+32=10 当AC 为矩形的边时,∠ACH =90° ∴AH 2=CH 2+AC 2即(p +1)2=p 2+32+10,解得p =9 ∴点H 的坐标为(9,0);当AC 为矩形的对角线时,∠AHC =90° ∴此时点H 与原点重合,点H 的坐标为(0,0). 综上所述,满足条件的点H 的坐标为(9,0)或(0,0);例题解图⑥(6)存在如解图⑦,过点S 作SZ ⊥x 轴于点Z ,交BC 于点X ∵A (-1,0),B (3,0),C (0,3)∴OA =1,OC =OB =3,易得直线BC 的函数解析式为y =-x +3 ∴∠OBC =∠OCB =45° ∵SZ ⊥x 轴∴∠BXZ =∠SXT =45° ∵ST ⊥BC ∴XT =ST设S (m ,-m 2+2m +3),且0<m <3,则X (m ,-m +3) ∴CX =m 2+(-m +3-3)2 =2 m ,SX =-m 2+3m ∴ST =TX =22 SX =-22 m 2+322m ∴CT =CX -TX =2 m -(-22 m 2+322 m )=22 m 2-22m ①若∠SCT =∠CAO∴tan ∠SCT =tan ∠CAO =OCOA =3∵tan ∠SCT =STCT =3∴ST =3CT ∴-22 m 2+322 m =3×(22 m 2-22m )解得m =32 或m =0(舍去)∴点S 的坐标为(32 ,154 );②若∠CST =∠CAO 则tan ∠CST =tan ∠CAO =3 ∵tan ∠CST =CTST =3∴3ST =CT ∴3×(-22 m 2+322 m )=22 m 2-22m 解得m =52 或m =0(舍去)∴点S 的坐标为(52 ,74);综上所述,存在点S ,使得△CST 中有一个角与∠CAO 相等,点S 的坐标为(32 ,154 )或(52 ,74).例题解图⑦对接中考1. 解:(1)由题意可知,抛物线y =x 2+bx +c 过点A (-1,0),点B (5,0)∴⎩⎪⎨⎪⎧1-b +c =025+5b +c =0 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-4c =-5; (2)①如解图,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ∴S △PBC =S △CPD +S △PDB由(1)可知,c =-5,故点C 的坐标为(0,-5) 易知BC 的表达式为y =x -5∵点P 的坐标为(x 0,y 0)(0<x 0<5),点P 在抛物线上 ∴y 0=x 20 -4x 0-5设点D 的坐标为(x 0,x 0-5)∴|PD |=x 0-5-x 20 +4x 0+5=-x 20 +5x 0∴S △PBC =12 ×|PD |×5=12 ×(-x 20 +5x 0)×5 =-52 (x 0-52 )2+1258∴当x 0=52 时,△PBC 面积最大,最大值为1258;第1题解图②存在.由题意可知,∠EPF =90°,△PEF 为等腰直角三角形 ∴PE =PF∵PE ⊥x 轴,PF ∥x 轴,且点E 在线段BC 上,点F 在抛物线上 由(2)可知PE =-x 20 +5x 0 易知PF =|4-2x 0|∴|PF |=|PE |,即|4-2x 0|=|-x 20 +5x 0|解得x 0=4或x 0=7-332 或x 0=-1(舍去)或x 0=7+332 (舍去)当x 0=4时,解得y =-5当x 0=7-332 时,解得y 0=3-3332∴综上所述,当△PEF 为等腰直角三角形时,点P 的坐标为(4,-5)或(7-332 ,3-332 ).2. 解:(1)由题意得A ′(-3,0),B ′(0,-6),B (6,0)已知抛物线L 经过点A ′,B ′,B ,设抛物线L 的解析式为y =a (x +3)(x -6)(a ≠0) 将点B ′(0,-6)代入抛物线解析式中得-6=a (0+3)(0-6),解得a =13∴抛物线L 的解析式为y =13 (x +3)(x -6)=13 x 2-x -6;(2)存在.∵A (0,-3),B ′(0,-6) ∴AB ′=3设直线AB 的解析式为y =kx +b (k ≠0) 将A (0,-3),B (6,0)代入直线AB 的解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b =-36k +b =0 ,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-3k =12∴直线AB 的解析式为y =12 x -3∵点P 在直线AB 上∴设点P (m ,12m -3),分情况讨论:①当以AB ′为边且AP 2=AB ′2时,即m 2+(12 m )2=9解得m 1=655 ,m 2=-655∴点P 的坐标为(655 ,355 -3)或(-655 ,-355 -3);②当以AB ′为边且B ′P 2=AB ′2时,即m 2+(12 m +3)2=9解得m 1=0(舍去),m 2=-125∴P (-125 ,-215 );③当以AB ′为对角线时 ∵AB ′=3∴AB ′的中点坐标为(0,-92 )由菱形的性质可得y P =-92即12 m -3=-92 ,解得m =-3 ∴P (-3,-92);综上所述,点P 的坐标为(655 ,355 -3)或(-655 ,-355 -3)或(-125 ,-215 )或(-3,-92). 拓展类型 二次函数性质综合题1. 解:(1)把点(2,1)代入y =x 2-2tx +3中 得4-4t +3=1解得t =32; (2)∵抛物线对称轴为直线x =t①若0<t ≤3∵a =1>0∴当x =t 时,函数y 取得最小值∵y 的最小值为-2∴t 2-2t 2+3=-2解得t =±5 .∵0<t ≤3∴t =5 ;②若t >3,∵a =1>0∴当0≤x ≤3时,y 随x 的增大而减小∴当x =3时,函数y 取得最小值∵y 的最小值为-2∴9-6t +3=-2解得t =73(不符合题意,舍去). 综上所述,t 的值为5 ;(3)∵A (m -2,a ),C (m ,a )关于对称轴直线x =t 对称∴m -2+m 2=t ,即m -1=t ,且点A 在对称轴左侧,点C 在对称轴右侧. 在y =x 2-2tx +3中令x =0,则y =3∴抛物线与y 轴交点为(0,3)∴此交点关于对称轴直线x =t 的对称点为(2m -2,3).∵a <3,b <3且t >0∴4<2m -2,解得m >3.当点A ,B 都在对称轴左边时∵a <b∴4<m -2,解得m >6∴m >6;当点A ,B 分别在对称轴两侧时∴B 到对称轴的距离大于A 到对称轴的距离∴4-(m -1)>m -1-(m -2),解得m <4∴3<m <4.综上所述,m 的取值范围为3<m <4或m >6.2. 解:(1)由题意得,-b 2a=2 解得b =-4a∴4ac -b 24a =12a -(-4a )24a=3-4a ∴抛物线顶点M 的坐标为(2,3-4a );(2)y 2<y 1,理由如下:由题可知,抛物线的对称轴为直线x =2∴A (x 1,y 1)关于直线x =2的对称点为(4-x 1,y 1)∵x 1<2<x 2,x 1+x 2<4∴2<x 2<4-x 1∵a >0∴抛物线开口向上∴在对称轴右侧y 随x 的增大而增大∴y 2<y 1;(3)b 的值为-12或20.【解法提示】由(1)知,b =-4a ,∴抛物线的解析式为y =ax 2-4ax +3,当a >0时,抛物线开口向上,此时在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小,∴当x =-1时,函数值y 最大,最大值为a +4a +3,∴a +4a +3=18,解得a =3,∴b =-4a =-12;当a <0时,抛物线开口向下,此时在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,∴当x =1时,函数值y 最大,最大值为a -4a +3,∴a -4a +3=18,解得a =-5,∴b =-4a =20.综上所述,b 的值为-12或20.3. 解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x =--4a 2a=2,抛物线与x 轴的交点为A (1,0),B ∴B (3,0)∴OB =3.∵OC =2OB∴OC =6.∴抛物线开口向下∴C (0,-6).把A (1,0),C (0,-6)代入y =ax 2-4ax +c 中得⎩⎪⎨⎪⎧a -4a +c =0,c =-6, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,c =-6, ∴抛物线的解析式为y =-2x 2+8x -6;(2)由解析式可知抛物线的最大值为4ac -(-4a )24a =4ac -16a 24a=c -4a . ∵抛物线的最大值为6∴c -4a =6.∵抛物线过点A (1,0)∴a -4a +c =0,即c -4a =-a∴-a =6,即a =-6;(3)已知抛物线的对称轴为直线x =2,a <0∴(52 ,n )与(32,n )关于对称轴对称 当点P 在对称轴的左侧(含顶点)时,y 随x 的增大而增大,由m <n ,得x 0<32; 当点P 在对称轴的右侧时,y 随x 的增大而减小,由m <n ,得x 0>52. 综上所述,x 0的取值范围为x 0<32 或x 0>52.。
二次函数拓展提高
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及顶点M坐标;(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得△PAC的周长最小,并求出点P的坐标;(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.设CD的长为m,问当m取何值时,S△PDE=(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)*(x-3),代入(0,3),解得a=-1,所以解析式为y=-x2+2x+3,则点M的坐标为(1,4);(2)A点关于对称轴的对称点即为B点,连接BC,BC与对称轴交点即为所求P点,BC长即为P到A、C点的最小距离和。
设对称轴与X轴交点为F,BF=2,又因为∠OBC=45°,所以FP=2,即P(1,2)(3)S四边形ABMN=S△AOC+S梯形OCMF+S△BFM=9 所以题目所求的S△PDE即为1 DE∥PC,所以角OED=角OBC=45°所以△ODE为等腰直角三角形,即DE=OD*根号2=(3-m)*根号2 又因为△PDE的高为DE、BC两平行线间的距离,过D点作BC的垂线DG,角DCG=45°,所以DG=m/根号2 所以S△PDE=DE*DG*1/2=3/2*m-1/2*m^2=1解得m=1或21. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+n(k≠0)与抛物线y=-1/4x^2+bx+c交于A、B两点,点A在x 轴上,AO=2,点B的很坐标为-8,且tan∠OAB=3/4.(1)求直线AB和抛物线解析式;(2)点p是位于直线AB上方的抛物线上一动点(不与A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为c,交直线AB于D,作PE垂直AB于E,交x轴于点H:①设△PDE的周长为m,点P的横坐标为t,求m与t的函数关系式;②连接PA,以PA为边在PA下方做如图所示的正方形APFQ,随着P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,请求出当顶点Q恰好落在Y轴上时的P的坐标(1)A(-2,0)B(4,3)分别代入y=kx+n与y=ax²+bx-3 3=4k+n 0=-2k+nk=1/2 n=1 直线解析式y=1/2x+14a-2b-3=0 16a+4b-3=3 a=1/2 b=-1/2抛物线的解析式y=1/2x²-1/2x-32.已知:直线AB Y=-1/2X+1/4与抛物线Y=X^2-1/4相交于A(-1,3/4),B(1/2,0)两点直线L与X轴平行且过点C(0,-1/2),O为坐标原点,设直线AB上的点D的横坐标为-1/3,p(m,n)是抛物线y=x2-1/4上的动点当三角形PDO周长最小时,则点P坐标。
《二次函数》提升练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第1章《二次函数》提升练习班级______ 姓名_______一、选择题(每题3分,共30分) 1.二次函数522-+=x x y 有( )A . 最大值5-B . 最小值5-C . 最大值6-D . 最小值6-2.二次函数y =x 2+4x +5与坐标轴的交点个数是( ) A .0个B .1个C .2个D .3个3.已知点A (a ﹣2b ,2﹣4ab )在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )4.已知二次函数25y x x =-+-,当自变量x 取m 时,对应的函数值大于0,当自变量x 分别取m-1,m+1时对应的函数值1y 、2y ,则必值1y ,2y 满足 ( ) A. 1y >0,2y >0 B. 1y <0,2y <0 C.1y <0,2y >0 D.1y >0,2y <0 5.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表:X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当x =1时,y 的值为( )A.5B.-3C.-13D.-276.已知二次函数y=a (x-2)2+c (a >0),当自变量x 、3、0时,对应的函数值分别:y 1,y 2,y 3,,则y 1,y 2,y 3的大小关系正确的是( )A .y 3<y 2<y 1B .y 1<y 2<y 3C .y 2<y 1<y 3D .y 3<y 1<y 27.已知函数y =(x ﹣m )(x ﹣n )(其中m <n )的图象如图所示,则一次函数y =mx +n 与反比例函数y =m nx+的图象可能是( ) A .B C D .8.已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤>,则使y=k 成立的x 值恰好有三个,则k 的值为( )A .0B .1C .2D .39.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是()10.如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是().B.C.D.11.已知函数y=(m-1)x(m2+1)-2,当m=时,它是二次函数.12.抛物线y=x2-x-2与坐标轴交点为点A、B、C,则三角形ABC的面积为13.已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y=12x2+mx对应的函数值分别为y1,y2,y3,若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当a<b<c时,都有y1<y2<y3,则实数m的取值范围是.14.已知二次函数()()221y x a a=-+-(a为常数),当a取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.下图分别是当1a=-,0a=,1a=,2a=时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是y=.第14题第15题第16题15.如图,是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是.(只要求填写正确命题的序号)16.二次函数的图像如图所示,点A 0位于坐标原点,A 1,A 2 ,A 3,…,A 2009在y 轴的正半轴上,B 1,B 2,B 3,…B 2009在函数第一象限的图像上,若△,△,△,…,△都为等边三角形,计算出△的边长为 . 三、简答题(共66分)17、(本题6分)如图,二次函数()22y x m =-+的图象与轴交于点C ,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y =kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥()22x m -+的的取值范围.18、(本题8分)已知函数y=mx 2-6x +1(m 是常数).⑴求证:不论m 为何值,该函数的图象都经过y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点,求m 的值.19. (本题8分)如图,已知抛物线y =x 2+bx +c 的顶点坐标为M (0,﹣1),与x 轴交于A 、B 两点.(1)求抛物线的解析式;(2)判断△MAB 的形状,并说明理由;223y x =223y x =011A B A 122A B A 233A B A 200820092009A B A 200820092009A B A y x20、(本题10分)某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨..了x 元时(x .为正整数....),月销售利润为y 元.(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围. (2)每件玩具的售价..定为多少元时,月销售利润恰为2520元? (3)每件玩具的售价..定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少?21.(本题10分)如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0).⑵ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△ABQ 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由.22、(本题12分)如图,抛物线y=x 2-2x+c 的顶点A 在直线l :y=x-5.(1) 求抛物线顶点A 的坐标;(2) 设抛物线与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C 、D (C 点在D 点的左侧),试判断△ABD的形状;(3) 在直线l 上是否存在一点P ,使以点P 、A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
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图象写出y 2>y 1时,x 的取值范围 ________________ .
三、解答题
8.已知:如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A B 两点,其中A 点坐标为(-1 , 0), 点C(0, 5),另抛物线经过点(1 , 8) , M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式;
二次函数提高拓展题
一、选择题
1.如图所示,已知二次函数y=ax 2+bx+c(a 丰
0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点 A(m, 0)和点B ,且m>4那么AB 的长是()
A. 4+m
B. m
C. 2m-8
D. 8-2m 2.已知函数y = (k — 3)X 2+
2x + 1的图象与x 轴有交点,贝U
k 的取 是()
A. k v 4 B . k <4 C . k v 4 且 k ^3
D. k <4
且 23
值范围 3.若 X 1, X 2 (X 1<X 2)是方程(x-a ) (x-b ) =1 (a v
b )的两个根,则实数 X 1, X 2, a , b 的大小关系为(
) A 、X 1V X 2v a v
b B 、X 1V a v X 2v b C 、X 1 v a v b v X 2 D 、a v X 1V b v
X 2 A. y = 4x 2 25 B . y 厶2 C . y 丄x 2 D. ^-x 2 5 25 5 4.如图,四边形 ABCD 中, Z BAD :/ AC 住90°, AB=AD, AC=4BC ,设CD 的长为x ,四边形ABCD 勺 面积为y ,则y 与x 之间的函数关系式是( ) 5.如图,等腰梯形ABCD 勺底边AD 在x 轴上,顶点C 在y 轴正半轴上,B(4,2 ) , 一次函数 八kx —1
的函数 积,关于x 的图象平分它的面 y = mx 2 - 3m k x 2m k 的图象与坐标轴只有两个交点,则m 的 值为().
1 1 A. 0
B. - -
C. — 1
D. 0 或 或一1 2 2 [中@国A *教&育出版 二、填空题 / 6. 如图所示,P 是边长为磊 向AB 作垂线PQ Q 为垂足」延长QP 与AC 的延长线 BP=x (0<x < 1), △ BPQ 与△ CPR 的面积之和为 y , x 的函数是 ________________________ . 7. 如图是二次函数yp ax 2
+ bx + c 和一次函数y ?= ■^的 BC 边 上一点,从P
交于R ,设 把y 表示为
mx^ n 的图象,观察
(2)求厶MCB 勺面积
k < 4;
②当k — 3 = 0时,y = 2x + 1,与x 轴有交点. 故选B.
3 解答:解:T X 1 和 X 2 为方程的两根,•••( x 「a ) (x 「b ) =1 且(X 2-a )( X 2-b ) =1, ■'■( X 1-a )和(X 1-b )同号且(x 2-a )和(X 2-b )同号;t X 1V X 2,
• ( X 1-a )和(X 1-b )同为负号而(X 2-a )和(X 2-b )同为正号,可得:X 1-a v 0且X 1-b v 0, X 1 v a 且 X 1V b ,
• X 1 v a ,: X 2-a > 0 且 X 2-b > 0,二 X 2> a 且 X 2> b ,: X 2 > b , •••综上可知a , b , X 1, X 2的大小关系为:X 1 v a v b v X 2. 故选C. 4.B 5.D
填空题
9.如右图,抛物线y = _x 2 • 5x • n 经过点A(1, 0),与y 轴交于点B. (1) 求抛物线的解析式;
(2) P 是y 轴正半轴上一 点,「目PAB 是以AB 为腰的等腰三角形, 试求点P 的坐标.
10知:在厶ABC 中, BO 20,高AD= 16,内接矩形EFGH 勺顶点E 、 F 在BC 上, G H 分别在AC AB 上,求内接矩形EFGH 勺最大面积。
答案
J
L
y
O
厂
-1
\ x
选择题
1. 考点:二次函数的图象特征.解析:因为二次函数y=ax 2+bx+c (产0)的图象的顶 是4,所以抛物线对称轴所在直线为 x=4,交x 轴于点D,所以A 、 为点 A(m, 0),且 m>4 所以 AB=2AD=2(m-4)=2m-8 答案选B C.
2. 解答:解:①当 k — 3工0 时,(k — 3)x 2 + 2x + 1 = 0,
2 2
△ = b 一4ac = 2 一4(k 一3) X 1 = 一 4k + 16》0, B 两点关于对 P 的横坐标
【寸称轴对称,
6答案:
3.3 2
X
7考点:函数的图像和性质:解析:图像识别,可以看出-2^x 辽1
解答题
8(1)依题意:
a -
b +
c = 0,
!
c = 5 a +b + c = 8
si —-1
解得4=4 n 抛物线的解析式为尸J+*te+5
c=5
⑵ 令 y=0,得(x-5)(x+1)=0 , X 1=5, X 2=-1 • B (5, 0)
H
G
由--一;.一:’一「,得 M (2, 9)
9解:(1)由题意得-15 n=0. ••• n = _4. •••抛物线的解析式为y »x 2・5x _4. (2).•点 A 的坐标为(1, 0),点 B 的坐标为(0,—4).
•OA=1, OB=4.
在Rt △ OAB 中, AB 二OA 2・OB 2 =、一17,且点P 在y 轴正半轴上.
②当PAAB 时,OF=OB=4 此时点P 的坐标为(0, 4).
10HG=x PD=y 根据矩形的对边平行可得 HG/ EF,然后得到厶AHG 与△ ABC 相似,根据相似三角 形对应高的比等于相似比列出比例式,用 x 表示出y ,然后根据矩形的面积公式求解并整理,再 利用二次函数的最值问题进行求解即可•解:如图,设 HG=x PD=y •••四边形EFGH 是矩形, • HG/ EF,
AH(^A ABC • ^-=':
,
AD BC
••• BC=20 AD=16 • ' ■■八 … -=ii , 解得 y=- x+16 ,
5
•矩形 EFGH 勺面积=xy=x (- x+16)二-:
(x - 10) 2+80 , •••当x=10 ,即HG=10寸,内接矩形EFGHt 最大面积,最大面积是80.
作MELy 轴于点E ,
可得 S A MC =15.
①当 PB=PA 时,PB f ;17. • OP =PB —OB =^17 —4. 此时点P 的坐标为(0,、.17 一4).
则
AC OB。