您的位置：360文档中心› 八年级下册第一章等腰三角形的证明测试题

八年级下册第一章等腰三角形的证明测试题

合集下载

(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测(包含答案解析)

(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+ 2．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（ ）A ．12B ．4C ．8D ．不确定 3．下列说法错误的是（ ）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形4．如图，在ABD ∆中，AD AB =，90DAB ︒∠=，在ACE ∆中，AC AE =，90EAC ︒∠=，CD ，BE 相交于点F ，有下列四个结论： ①BDC BEC ∠=∠；②FA 平分DFE ∠；③DC BE ⊥；④DC BE =．其中，正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．②③D ．②③④ 5．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．66．如图，在Rt ABC △中，90BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．AC AE =B ．EC AE = C ．BE AE =D ．AC EC = 7．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD AE =，则CDE∠的度数为（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°8．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm10．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 11．如图，在ABC 中，ED //BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点F 、G ，若2FG =，6ED =，则DB EC +的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．912．如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 交DC 于点F ，下列结论：①CD =BE ；②FA 平分∠DFE ；③∠BFC =120°；④AFE EFC S AF S FC∆∆=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DEAB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．14．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，6cm AC =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，连接BD ．则ABD △的面积最大值为_________2cm ．15．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．16．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠︒；④()12AD AB AC BC =+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．17．如图：已知ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 是BC 上的中点，点E 是射线AD 上的一动点，点F 是射线CA 上的一动点，且AE CF =，连接BF 、CE ，则BF CE +的最小值______．18．如图，已知一次函数y ＝﹣x +1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 在y 轴上（M 不与原点重合），并且使以点A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，则M 的坐标为_____．19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形ABCD ，经测量，3m AB =，4m BC =，12m CD =，13m DA =，90B ∠=︒．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．20．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则AE 的长是__________．三、解答题21．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）22．如图，在四边形ABCD 中，90,A ABC BCD BDC ∠=∠=︒∠=∠，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．求证：AB CE =23．如图，等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ． （1）如图①，点E 为AB 的中点，求证：AE=DB ．（2）如图②，点E 在边AB 上时，AE DB （填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F （请你完成以下解答过程）．（3）在等边△ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若AB=1，AE=2时，直接写出CD 的长．24．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE ．（1）求证BD ＝CE ；（2）若AC +CD ＝2，则四边形ACDE 的面积为 ．25．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在ABC 中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AE AF =，解答下列问题：（1）证明：DE DF =；（2）若60A ∠=︒，8AB =，7BC =，5AC =，求EF 的长．26．在平面直角坐标系中，已知A（x，y），且满足x2+6x+y2﹣6y+18＝0，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B．（1）求A点坐标；（2）如图1，若分别以AB、AO为边作等边△ABC和等边△AOD，试判定线段AC和CD的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，AF＝c，试证明：11ca b ab +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD =BC+BD．【详解】解：∵AB=AC，BD平分∠ABC，设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x，∴∠ABD=∠CBD=x，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC，∴AD=AF+FD=BC+BD，故选D．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】由角平分线的定义和平行线性质易证△BME和△CNE是等腰三角形，即BM＝ME，CN＝NE，由此可得△AMN的周长＝AB+AC．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN//BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝4+4＝8．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．3．B解析：B【分析】利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．【详解】A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 4．D解析：D【分析】由△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形得出AB=AD ，AE=AC ，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE 证得△ABE ≌△ADC ，可以判断①③④；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，利用面积相等证得AP= AQ ，再利用角平分线的判定定理即可判断②．【详解】∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB=AD ，AE=AC ，∠BDA=∠ECA=45︒，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即：∠DAC=∠BAE ，在△ABE 和△ADC 中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴BE=DC ，故④正确；∠ADF=∠ABF ，∴∠BDC=45︒-∠ADF ，∠BEC=45︒-∠AEF ，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF ，∴∠BDC ≠∠BEC ，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD ⊥BE ，故③正确；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，∵△ABE ≌△ADC ，∴ABE ADC S S =，∵BE=DC ，∴AP= AQ ，∵AP ⊥CD ，AQ ⊥BE ，∴FA 平分∠DFE ，故②正确；综上，②③④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．5．C解析：C【分析】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122EF OE ==，即可得解； 【详解】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒，∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥， ∴12CF BF BC ==， 在Rt △OEF 中，∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， ∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=，∴8BE BC CE =-=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据角平分线的性质得出∠BAE=∠DAE ，再根据∠CEA=∠B+∠BAE ，∠CAE=∠CAD+∠DAE 得出∠CAE=∠CEA 即可得出答案．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°∵AD ⊥BC∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°∵AE 平分BAD ∠∴∠DAE=∠BAE∵∠B+∠C=90°∴∠CAD=∠B∵∠CEA=∠B+∠BAE∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE∴AC=EC ，其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形两锐角和为90°，角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．C解析：C【分析】根据已知可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE即可得到答案．【详解】解：∵AB＝AC，BD=DC∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）∴∠ADC=90°，∵∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°−40°）÷2=70°，∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，故答案为：C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.8．B解析：B【分析】由作法知EF是AC的垂直平分线，可得AP=CP，线段PC PD+的最小就是PA+PD，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边BC的中点，可BD=CD=6，由AB=AC，可得AD BC⊥，在Rt△ABD中，由勾股定理得：8即可．【详解】解：连结PA，由作法知EF是AC的垂直平分线，∴AP=CP，∴PC+PD=PA+PD，线段PC PD+的最小就是PA+PD，当A、P、D三点共线时最短，∵点D是底边BC的中点，∴BD=CD=11BC=12=6 22⨯，∵AB=AC，∴AD BC⊥，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD -=-=，（PC+PD ）最小=（PA+PD ）最小=AD=8．故选择：B ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC 转化为PA ，找到P 、A 、D 三点共线时最短．9．D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，∴60EFD EBM∠=∠=，∴EFD△是等边三角形，2DE cm=，∴2EF FD ED cm===，∴4DM cm=，EBM△是等边三角形，∴60EMB∠=，∴30NDM∠=，∴2NM cm=，∴4BN BM NM cm=-=，∴28BC BN cm==．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．10．B解析：B【分析】由勾股定理解得13cmAB=，根据角平分线的性质，可得,,CAP PAB ABP CBP ACP BCP∠=∠∠=∠∠=∠，过点P，分别作Rt ABC△三边的垂线段，继而证明MAP△()HAP ASA≅△，PMC△()PNC ASA≅△，BHP()BNP ASA≅△，由全等三角形对应边相等的性质得到PM PH=，,PM PN PN PH==，即可证明PM PH PN==，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得PH的值．【详解】解：在Rt ABC△中，90ACB∠=︒，5cm=BC，12cmAC=，13AB∴===P是Rt ABC△中三个内角的平分线的交点，,,CAP PAB ABP CBP ACP BCP∴∠=∠∠=∠∠=∠过点P，分别作Rt ABC△三边的垂线段，如图，在MAP△与HAP△中，CAP BAPAP APAMP AHP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴MAP△()HAP ASA≅△同理得，PMC △()PNC ASA ≅△，BHP ()BNP ASA ≅△,PM PN PN PH ∴==PM PH PN ∴== 111222ABC S AC PM AB PH BC PN ∴=⋅+⋅+⋅ 1()2AC AB BC PH =++⋅ 1(51213)2PH =⨯++⋅ 15PH =又115123022ABC S AC BC =⋅=⨯⨯= 1530PH ∴=2PH ∴=故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．B解析：B【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG ＝EB ，DF ＝DC 即可求得结果．【详解】解：∵ED ∥BC ，∴∠DFB ＝∠FBC ，∠EGC ＝∠GCB ，∵∠DBF ＝∠FBC ，∠ECG ＝∠GCB ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∠ECG ＝∠EGC ，∴BD ＝DF ，CE ＝GE ，∵FG ＝2，ED ＝6，∴DB ＋EC ＝DF ＋GE ＝ED−FG ＝6−2＝4，故选：B ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．12．A解析：A【分析】过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°， 利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33,,AN AF HC FC == 再利用三角形的面积公式可判断④．【详解】解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，∴∠DAC =∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确∵△ADC ≌△ABE ，∴AM =AN ．∵AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，∴AF 平分∠DFE ，故②正确．∵∠AEB =∠ACD ，∴∠AEC +∠ACE =120°=∠AEB +∠BEC +∠ACE ，∴∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，∴∠BFC =∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，故③正确，∴∠DFE=120°，∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．∵AN⊥BE，CH⊥EF，∴∠FAN=∠FCH=30°，∴2,,2,, AF FN AN FC FH HC======∴,,AN AF HC FC==∴12.12AEFEFCEF AN AFS AN AFS CH FCEF CH⨯⨯====⨯⨯故④正确．故选：A．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题13．5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线然后利用外角性质求∠ADB的度数即可【详解】解：∵∠C＝90°DE⊥AB∴∠C=∠AED=90°在Rt∆ACD和Rt∆AED中∴Rt∆解析：5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线，然后利用外角性质求∠ADB的度数即可.【详解】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD和Rt∆AED中DE DCAD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt∆ACD≌Rt∆AED，∴∠CAD=∠EAD，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD＝12∠BAC，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠CAD＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．14．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm 由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm 当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有 解析：(1239236)+-cm 2 【分析】 过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，由直角三角形的性质可得23BC =cm ，43AB =cm ，32ED DF ==cm ，由“AAS ”可证△D NE ''≅△D MF ''，可得D N D M ''=，由三角形面积公式可求111222AD B S BC AC AC D N BC D M '''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值． 【详解】解：6AC =cm ，30A ∠=︒，45DEF ∠=︒， 233BC ∴==cm ，43AB =cm ，32ED DF ==cm ，当点E 从点A 滑动到点C 时，得△E D F '''，过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，90MD N '∴∠=︒，且90E D F '''∠=︒，E D NF D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=︒，E D D F ''''=，∴△D NE ''≅△()D MF AAS ''，D N D M ''∴=，AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，1111123(623)2222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△AD B S '∴△最大值1(62=-⨯=cm 2．故答案为：cm 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．15．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CAD=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC ∠BEC 和∠C 再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD 平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC ∴∠AB解析：45°或36°．【分析】设∠BAD=∠CAD =α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC 、∠BEC 和∠C ，再分三种情况讨论即可．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴设∠BAD=∠CAD=α，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=1802902αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,当BE=BC 时，∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，∴245BAC α∠==︒；当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；当BC=CE 时，∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，∴236BAC α∠==︒，故答案为：45°或36°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．16．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+解析：①②③④【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③1902BOC A∠=+∠︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°12-∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC-BC）故④正确，故答案为：①②③④．【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．17．12【分析】延长BA到G使AG=AC=6先证明△ACG是等边三角形得AC=GC再证明△ACE≌△CGF得CE=GF可得BF+CE=BF+GF最后根据两点之间线段最短可得结论【详解】解：延长BA到G使解析：12【分析】延长BA到G，使AG=AC=6，先证明△ACG是等边三角形得AC=GC，再证明△ACE≌△CGF 得CE=GF，可得BF+CE=BF+GF，最后根据两点之间线段最短可得结论．【详解】解：延长BA到G，使AG=AC=6，如图，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠GAC=60°,∠ABC=∠ACB=30°，∵AG=AC∴△ACG是等边三角形∴CG=AC=6，∠ACG=60°，∵D是BC的中点，AB=AC∠BAC=60°=∠ACG，∴∠DAC=12又AE=CF∴△ACE≌△CGF∴CE=GF∴BF+CE=BF+GF要使BF+CE最小，只要使BF+GF最小即可，根据两点之间线段最短可得：BF+GF≥BG=AB+AG=6+6=12即BF+CE的最小值为12，故答案为：12．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，作辅助线构造等边三角形是解答此题的关键．18．（01+）（01-）（0-1）【分析】分别以点AB为圆心以AB的长为半径画圆两圆与y轴的交点即为M点再由OA=OB可知原点也符合题意【详解】解：分别以点AB为圆心以AB的长为半径画圆如图共有4个点对解析：（0，1+2），（0，1-2），（0，-1）．【分析】分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，两圆与y轴的交点即为M点，再由OA=OB可知原点也符合题意．【详解】解：分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，如图，共有4个点对于y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1∴A（1，0），B（0，1）∴OA=OB=1∴2∴当AB为腰时，BM12∴OM12∴点M1的坐标为（0，2），∵OA=1，2∴OM3=1∴点M3的坐标为（0，-1）∵BM22∴OM22∴点M2的坐标为（0，2+1）∵OA=OB∴点M4的坐标为（0，0）（舍去）综上，点M的坐标为：（0，20，2），（0，-1）．故答案为：（0，2），（0，2），（0，-1）．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，在分类讨论分情况解决数学问题时，必须认真审题，全面考虑，做到不重不漏，一次分类必须按同标准进行，分出的每一部分必需都是相互独立的．本题要求学生求出相应线段后，注意根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标． 19．3600【分析】连接AC 根据勾股定理的性质计算得AC ；根据勾股定理的逆定理推导得计算得从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元通过计算即可得到答案【详解】如图连接AC ∵∴∵∴∴∴∴四边形面积为：∵解析：3600【分析】连接AC ，根据勾股定理的性质，计算得AC 、ABC S ；根据勾股定理的逆定理，推导得90ACD ∠=︒，计算得ACD S，从而得四边形ABCD 面积；结合草坪每平方米100元，通过计算即可得到答案．【详解】如图，连接AC∵3m AB =，4m BC =，90B ∠=︒ ∴225AC AB BC m +=，2162ABC S AB BC m =⨯=△ ∵12m CD =，13m DA =∴22222512169DA AC CD =+=+=∴90ACD ∠=︒ ∴21302ACD S AC CD m =⨯=△ ∴四边形ABCD 面积为：236ABC ACD S S m +=△△∵草坪每平方米100元∴铺满这块空地需花：361003600⨯=元，故答案为：3600．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解．20．25【分析】首先连接BE 根据线段垂直平分线的性质可得AE ＝BE 然后设AE ＝x 由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x ）2继而求得答案【详解】解：连接BE∵AB的垂直平分线分别交ABAC于点DE∴解析：25【分析】首先连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，然后设AE＝x，由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x）2，继而求得答案．【详解】解：连接BE，∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，∴AE＝BE，设AE＝x，则BE＝x，EC＝AC−AE＝32−x，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，∴x2＝242＋（32−x）2，解得：x＝25，故答案为：25，【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．三、解答题21．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a或EA=3910a【分析】（1）由PA平分∠BAD且BP⊥AP，∠BAD=80°，在Rt APB中即可求得．（2）延长BP交AD延长线于H，可得AB=AH，可证△BCP≌△HDP，可得BC=DH，从而结论可证．（3）过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E，点F．若AB=EF，可能有两种情况，延长BP交AE延长线于H，每种情况都可依据角平分线的性质，过P点分别做PI 和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA平分∠BAD且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP 交AE 延长线于H ，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，由①得GH=95a ，EG=710a ； ∴ EH=1110a ； ∴ EA=3910a ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．22．证明见解析．【分析】用“角角边”证明△ABD ≌ECB 即可．【详解】证明：∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ADB=∠DBC ，∵BCD BDC ∠=∠，∴BD=BC ，∵∠A=∠BEC=90°，∴△ABD ≌△ECB∴AB CE =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是找准全等三角形，依据等腰三角形的判定和同角的余角相等证明全等．23．（1）见解析；（2）=，理由见解析；（3）1或3【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD=BE，等量代换证明结论；（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，∴CE为∠ACB的平分线，∴∠BCE=12∠ACB=12×60°=30°．∵ED=EC，∴∠D=∠DCE=30°，∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，∴∠DEB=30°，∴BD=BE，∵AE=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AB=AC，∴BE=CF，∴∠DBE=∠EFC=120°，在△DBE和△EFC中，DE EC DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC （SAS ），∴EF=DB ，∵AE=EF ，∴AE=DB ；故答案为：=；（3）当点E 在BA 的延长线上时，如图③，作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，∴∠CEF=60°+∠BEC ，∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC ，∴∠CEF=∠EDB ，在△CEF 和△EDB 中，603CEF EDB F B EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD-BC=1，当点E 在AB 的延长线上时，如图，作EF ∥BC 交AC 的延长线于F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，∴∠CEF=60°-∠AEC ，∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC ，∴∠CEF=∠D ，在△CEF 和△EDB 中，601CEF D F DBE EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD=EF=2，∴CD=BD+BC=3，综上所述，CD=1或3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．（1）详见解析；（2【分析】（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．【详解】证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，∴EM ＝EN ，∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，∴EM ＝EN 3∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形1122AC EM CD EN =⨯+⨯ ()1132322EM AC CD =+== 3【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．25．（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接AD 由AE AF =可得AEF 是等腰三角形，由三条角平分线交于一点可证AD 平分BAC ∠即可；（2）在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，易证AEF 为等边三角形，可得2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，可证BED ≌BMD （SAS ）可得DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠60DMN AEF ∠=∠=︒，再证NCD ≌FCD （SAS ）可得,52DN DF CN CF x ===-，可证DMN 为等边三角形，由BC BM MN NC =++构造方程解之即可．【详解】（1）证明：连接AD ，AE AF =，∴AEF 是等腰三角形，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，∴AD 平分BAC ∠，∴DE DF =；（2）解：在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，60A AE AF ∠=︒=， ，∴AEF 为等边三角形，∴2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，在BED 和BMD 中，BE BM EBD MBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ≌BMD （SAS ），∴DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠，60DMN AEF ∴∠=∠=︒，在CND △和CFD △中，CN CFBM NCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴NCD ≌FCD （SAS ），∴ ,52DN DF CN CF x ===-， 又DE DF =， ∴DM DN DE x ===，又60DMN ∠=︒， ∴DMN 为等边三角形，∴MN DM x ==，∴(82)(52)7BC BM MN NC x x x =++=-++-=，即2x =，∴24EF x ==．【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，利用BC BM MN NC =++构造方程是解题关键．26．（1）点A 的坐标为（﹣3，3）；（2）CD ＝AC ，CD ⊥AC ．理由见解析；（3）见解析．【分析】（1）由非负数的性质可求出x ＝﹣3，y ＝3，则可得出答案；（2）由等边三角形的性质得出AB ＝AC ，AO ＝AD ，∠DAO ＝∠CAB ＝60°，证明△DAC ≌△OAB ，由全等三角形的性质可得出CD ＝OB ，∠ACD ＝∠ABO ＝90°，则可得出结论；（3）在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，证明△BAP≌△BOM，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，证明△FBP≌△FMB，由全等三角形的性质得出FP ＝FM＝b，即可得出结论；【详解】（1）∵x2+6x+y2﹣6y+18＝0，∴（x+3）2+（y﹣3）2＝0，∴x+3＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣3，y＝3，∴点A的坐标为(﹣3，3)；（2）CD＝AC，CD⊥AC．理由如下：∵△ABC和△AOD为等边三角形，∴AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，∴∠DAO﹣∠CAO＝∠CAB﹣∠CAO，∴∠DAC＝∠OAB，∴△DAC≌△OAB（SAS），∴CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，由（1）可知BO＝AB＝3，又∵AB＝AC，∴CD＝OB＝AB＝AC，且CD⊥AC，（3）证明：在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，∵AB＝BO，AP＝OM，∠PAB＝∠MOB＝90°，∴△BAP≌△BOM（SAS），∴∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，∵∠ABP+∠PBO＝90°，∴∠OBM+∠PBO＝90°，又∵△BEN为等腰直角三角形，∴∠FBN＝45°，∴∠PBF＝90°﹣45°＝45°＝∠FBN，又∵BF ＝BF ，∴△FBP ≌△FBM （SAS ），∴FP ＝FM ＝b ，∴AF ＝FP+AP ，即c ＝a+b ． ∴11b a c a b ab ab++== ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了完全平方公式及非负数的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质是解题的关键；。

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 等腰三角形的判定 含答案

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 等腰三角形的判定 含答案

第一章三角形的证明 1.1 等腰三角形等腰三角形的判定一、单项选择题1. 下面几个三角形中,不可能是等腰三角形的是( )A. 有两个内角分别为110°和40°的三角形B. 有两个内角分别为75°，75°的三角形C.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形D.有一个外角为80°,一个内角为100°的三角形2. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80°C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为133. 如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝72°，∠ACB＝∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．54. 在如图所示的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)5. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A．6 B．7 C．8 D．96. 如图，四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能够得到两个等腰三角形纸片的是( )7. 如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是( )A. 5cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm二、填空题8. 如第1-2题图,在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,BD平分∠ABC交AC于点D.则图中等腰三角形有_____.9. 如第1-3题图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,则△COD是_____三角形.10.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F 处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数是_____.11.如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB=12，AC=18，则△CDE的周长是_____.12. 如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形的个数为个。

2022春八年级数学下册第1章三角形的证明达标检测新版北师大版(含答案)

2022春八年级数学下册第1章三角形的证明达标检测新版北师大版(含答案)

八年级数学下册新版北师大版：第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，173．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“H L”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD AD的值为( )A.12B.25C.13D.146．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5 B．1.5 C．2 D．17．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A．△ABC三条角平分线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD 等于( )A．10 B．12 C．24 D．4810．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题(每题3分，共24分)11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中____________________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．18. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________．三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；(2)求△ABE的周长．20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.(1)求点B的坐标．(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．答案一、1.D 2.D3．C 点拨：A 项的逆命题：若a ＋b ＞0，则a ＞0，b ＞0，是假命题；B 项的逆命题：相等的角是直角，是假命题；C 项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D 项的逆命题：若|a |＝|b |，则a ＝b ，是假命题．故选C. 4．A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A10．A 点拨：由题意得BD ＝CD ，DE ＝DF ，∠DFB ＝∠DEC ＝90°，∴Rt △CDE ≌Rt △BDF ，∴①正确；易知AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴CA －AB ＝AE ＋CE －(BF －AF )＝AE ＋AF ＝2AE ，∴②正确；∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠DCB ，∠FAE ＝∠ABC ＋∠ACB ，∠FBD ＝∠ECD ，∴∠BDC ＋∠FAE ＝180°－∠DBC －∠DCB ＋(∠FBD ＋∠DBC )＋(∠DCB －∠ECD )＝180°，∴③正确；由已知条件无法得到∠DAF ＋∠CBD ＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.二、11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行 12．2 13.214．45° 点拨：如图，∵CE ⊥AB 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠AEC ＝90°，∠5＝∠6＝90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4. 在△ABD 和△CHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠5＝∠6，∠1＝∠4，AB ＝CH ，∴△ABD ≌△CHD (AAS)．∴AD ＝CD .∴△ADC 为等腰直角三角形．∴∠ACB ＝45°.(第14题)15．1516．4 点拨：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE ＝EC.因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB ＋PE的最小值为4.(第16题)17．100°18．32 点拨：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.又∵∠A1B1A2＝60°，∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等边三角形，∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4.以此类推，A6B6＝32B1A2＝32.三、19.解：(1)作图如图所示．(第19题)(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC. ∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°. 21．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA )． ∴BF ＝CD .22．(1)证明：∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB .∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°.∴∠BCE ＋∠ABC ＝∠DBC ＋∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 在∠BAC 的平分线上． 理由：在△EOB 和△DOC 中，OB ＝OC ，∠BEO ＝∠CDO ，∠EOB ＝∠DOC ， ∴△EOB ≌△DOC ， ∴OE ＝OD .又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴OE ⊥AE ，OD ⊥AD .∴点O 在∠BAC 的平分线上．23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°. ∵D 是BC 边的中点， ∴BD ＝CD .在△BED 与△CFD 中， ∵∠DEB ＝∠DFC ， ∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS )． (2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°. 又∵DE ⊥AB ， ∴∠EDB ＝30°.∴在Rt △BED 中，BD ＝2BE ＝2. ∴BC ＝2BD ＝4.∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝3BC ＝12. 24．证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．(第24题)∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG .∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )， ∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25．解：(1)如图①，过点B 作BC ⊥x 轴于点C . ∵△AOB 为等边三角形，且OA ＝2， ∴∠AOB ＝60°，BO ＝OA ＝2. ∴∠BOC ＝30°. 又∵∠OCB ＝90°，∴BC ＝12OB ＝1，∴OC ＝ 3.∴点B 的坐标为(3，1)．(第25题)(2)∠ABQ 的大小始终不变．∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB ＝60°.∴∠PAO ＝∠QAB .在△APO 与△AQB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，∴△APO ≌△AQB (SAS )．∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.(3)如图②，当OQ ∥AB 时点P 在x 轴的负半轴上，点Q 在点B 的下方，∵AB ∥OQ ，∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°，∠BOQ ＝∠ABO ＝60°.∴∠OBQ ＝30°.又OB ＝OA ＝2，∴OQ ＝12OB ＝1，∴BQ ＝ 3.由(2)可知，△APO ≌△AQB ， ∴OP ＝BQ ＝ 3.∴此时点P 的坐标为(－3，0)．。

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法 同步练习含答案

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法 同步练习含答案

第一章三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法1．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( )A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cm2．“a＜b”的反面应是( )A．a＞b但a≠b B．a＞b C．a＝b D．a＝b或a＞b3．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC 是等腰三角形，那么你补充的条件不能是( )A．OA＝OD B．AB＝CD C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB4. 下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为10 5．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是( )A．等边三角形 B．等腰三角形 C．全等三角形 D．直角三角形6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有( )A．①② B．②③ C．①③ D．①②③7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( )A．6 B．7 C．8 D．98. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N 处与灯塔P的距离为( )A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里9．如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是( )A．AC＞BC B．AC＝BC C．∠A＞∠ABC D．∠A＝∠ABC10．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个11．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是．12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD 平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有 .13. 在△ABC中，已知∠B＝∠C，则AB＝14. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中有等腰三角形个．15. 用反证法证明命题“对顶角相等”第一步假设．16. 用反证法证明：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF，证明的第一步是假定CD (平行；不平行)于EF17. 如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC，当用反证法证明时，第一步应假设AB＝18. 如图，△ABC中，AB＝AC，并且BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是19. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．20. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为 .12．已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°.下面写出了用反证法证明过程中的四个步骤：①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是 (填序号)．21. 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB ∥CD ，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( )22. 已知：如图，直线a 、b 被c 所截，∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2.求证：a 与b 不平行．证明：假设 ，则 ，这与 相矛盾，所以 不成立，所以a 与b 不平行．23. 如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC.求证：△BDE 是等腰三角形．24. 在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 、AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P.求证：PB ＝PC ，并直接写出图中其他相等的线段．25. 如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证∶△BDE是等腰三角形．26. 求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.求证：AB＝AC.27. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F.求证：DF＝EF.28. 用反证法证明：等腰三角形的底角必是锐角．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：△ABC的底角为锐角．29. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD 相交于点O.求证：(1)△DBC≌△ECB；(2)OB＝OC.30. 如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明道理；(2)小敏说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？31. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D 不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝，∠DEC＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．答案;1---10 ADCDB ADDAB11. 等腰三角形12. ①②13. AC14. 515. 对顶角不相等16. 不平行17. AC18. △OBC19. 820. ③④①②21. 24°22. a∥b ∠1＝∠2 ∠1≠∠2 a∥b23. 证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．24. 证明：∵AE＝AF，AB＝AC，∠EAC＝∠FAB，∴△AFB≌△AEC，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，其余相等的线段有：BF＝CE，PE＝PF，BE＝CF.25. 证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．26. 证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是中线，∴BD＝CD.在△ADC和△ED B 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ∠BDE＝∠CDABD ＝CD，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴BE ＝AC ，∠BED ＝∠CAD.∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠BAD.∴∠BED ＝∠BAD ，∴AB ＝BE ，∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．27. 证明：过点D 作DG∥AC 交BC 于G ，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF， ∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴DG＝BD ＝CE.在△DFG 与△EFC 中，∠DGF＝∠ECF，∠DF G ＝∠EFC，DG ＝EC ，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF. 28. 证明：假设△ABC 的底角不为锐角，则底角为钝角或直角，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C≥90°，∴∠B ＋∠C≥180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，∴等腰三角形的底角必是锐角． 29. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ECB＝∠DBC.在△DBC 与△ECB 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ∠DBC＝∠ECB BC ＝CB，∴△DBC≌△ECB；(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC.30. 解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°.又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°.∴∠DBC ＝∠E.∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC.理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°.∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E.∴BD ＝DE. 31. 解：(1)25°；115°；小；(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE.理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°.又∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°.∴∠ADB ＝∠DEC.又∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)；(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°.理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．。

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(包含答案解析)(2)

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在等腰△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为OD ，OE ，OF ，且::1:4:4OD OE OF =，则AO 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．407D ．80172．下列说法中，不正确的有（ ）①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD 是ABC ∆的中线，且6AD =，AE 是BAD ∠的角平分线，//DF AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 4．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（ ） A ．3 B 20 C ．320D 20805．如图，ABC 中，D 、E 为线段BE 上两点，且AC DC =，BA BE =，若52DAE BAC ∠=∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒6．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，D 在BC 边上，ABC ADE △△≌，50EAC ∠=︒，则ADE ∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°8．如图，在ABC 中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径 画弧，交AB 于点B 和点D ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧相交于点M ，作射线CM 交AB 于点E ．若4,1AE BE ==，则EC 的长度是（ ）A ．3B ．5C 5D 79．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 10．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 11．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 点作BE ⊥AD 于E ，过E 作EF //AC 交AB 于F ，则（ ）A ．不确定B ．AF=BFC ．AF >BFD ．AF <BF12．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，交AB 于点F ，15AB =，12AD =，14BC =，则DE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．103二、填空题13．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，高AD 和BE 相交于点,30H CAD ∠=︒，若4AC =，则点H 到BC 的距离是_____________．14．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线相交于点D ，过点D 作DF ⊥BC ，DG ⊥AB ，垂足分别为 F 、G ．若BG ＝5，AC ＝6，则△ABC 的周长是_____．16．如图在第一个△A1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为_____________．17．已知：如图，在△ABC 中CD 交AB 边于点D ，直线DE 平分BDC ∠且与直线BE 相交于点E ，2BDC A ∠=∠，3E ∠=∠．求证：//CD EB证明：理由如下： DE 平分,BDC ∠（已知）_____ 2.∴=∠2,BDC A ∠=∠（已知）2,A ∴∠=∠（等量代换）____//____,______________,______________)∴(____3,______________,______________)∴=∠(又3,E ∠=∠（已知）________.∴=（等量代换）//____,______________,______________)CD ∴(18．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，点O 是AB 边的中点，点P 是射线AC 上的一个动点，BQ ∥CA 交PO 的延长线于点Q ，OM ⊥PQ 交BC 边于点M ．当CP ＝1时，BM 的长为_____．19．如图，在ABC 中，6,,BC AD DC =分别平分,BAC ACB ∠∠，点E 为BC 上一点，若105ADC ︒∠=，则CD DE +的最小值为________．20．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，点(1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，点P 在点B 的下方，且在对称轴上，当PAB △为等腰三角形时，BP 的长为______________．三、解答题21．在ABC ∆中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B ，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=__度；（2）如图2，如果60BAC ∠=︒，求BCE ∠的度数是多少？（3）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图3，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D 在直线BC 上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．22．已知ABC 和ADE ，AB=AD ，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠，AD 与BC 交与点P ，点C 在DE 上．（1）求证：BC=DE（2）若30B ∠=︒，70APC ∠=︒，①求E ∠的度数②求证：CP=CE23．如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，40BAC ∠=，12∠=∠．解答下列问题：（1）求1∠度数；（2）求4ACE ∠∠的值． 24．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AC 平分∠DAB ，DE ⊥AC ，垂足为E ，且AE ＝AB ．（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；（2）若∠DAC ＝30°，求∠DCA 的度数．25．如图，在△ABC 中，AB=18cm ，AC=12cm ，BC=67cm ，点P 从点B 出发，以3cm/s 的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 以2cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求△ABC 的边AB 上的高CD ．（2）再点P 和点Q 的运动过程中，是否存在时间t 使得AP=AQ ？若存在，请求出时间t ；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，5），B （1，0），C （3，1），连接BC ．（1）在图中画出点A 关于y 轴的对称点A '，连接,A B A C ''，并直接写出点A '的坐标； （2）在（1）的基础上，试判断△A BC '的形状，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OA,OB,OC ，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x ，OE=4x ，OF=4x ，根据OE=OF ，得到AO 为∠BAC 的角平分线，再根据AB=AC ，得到AO ⊥BC ，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△，得到方程求解即可．【详解】解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x ，∵OE=OF ，∴AO 为∠BAC 的角平分线，又∵AB=AC ，∴AO ⊥BC ，∴AD 为△ABC 的中线，∴A 、D 、O 三点共线，∴BD=3，在Rt △ABD 中， AD=222253AB BD -=-=4，∴ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△∴12=10x+10x−3x ，∴x=1217∴AO=4+1217=8017. 故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．【详解】①根据角平分线的判定可知①正确；②根据角平分线的性质可知②正确；③缺乏前提条件：在三角形内部，若不限制条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；④根据垂直平分线的性质可知④正确；⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，∴错误的有2个，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，即可求解.【详解】∵AB= AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°= 60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=1260°= 30°，∵DF// AB∴∠F=∠BAE= 30°，∴∠DAE=∠F= 30°，∴AD= DF=6；故答案为:D.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.4．D解析：D【分析】需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．【详解】解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,则（2）顶角是锐角时在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AD 2=AC 2-DC 2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=22+42=20,则BC=20；综上，该等腰三角形的底的长度为20或80．故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．5．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠BAE ＝∠BEA ，∠ADC ＝∠DAC ，然后分别用外角的知识表示出这个关系，进而结合5∠DAE ＝2∠BAC 可得出∠DAE 的值．【详解】解：∵AC ＝DC ，BA ＝BE ，∴∠DAE +∠EAC ＝∠ADE ＝∠B +∠BAD ①，∠EAD +∠BAD ＝∠AED ＝∠C +∠EAC ②，①+②可得：∠DAE +∠EAC +∠EAD +∠BAD ＝∠B +∠BAD +∠C +∠EAC ，整理，得∠DAE +∠BAC ＝180°﹣∠DAE ，又5∠DAE ＝2∠BAC ，设∠DAE =2x ，则∠BAC =5x ，上式即为2x +5x =180°－2x ，解得：x =20°，即∠DAE ＝40°．故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题需用到等腰三角形的两底角相等、三角形的内角和等于180°．6．C解析：C【分析】由“SAS ”可证ACD BCE ≅∆∆，可得AD BE =，ADC BEC ∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED ∠=∠=︒．CM AE ⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEBCME ，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．【详解】解：ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，CA CB ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中， AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，ADC BEC ∠∠=，故①错误，DCE ∆为等腰直角三角形，CM 平分DCE ∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．7．D解析：D【分析】由全等可得，AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，可得∠BAD=EAC=50°，再根据等腰三角形性质求∠B 即可．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠ADE ，∠BAD=∠BAC-∠DAC ，∠EAC=∠DAE-∠DAC ，∠BAD=∠EAC=50°，∵AB=AD ，∴∠B=180652BAD ︒-∠=︒， ∴∠ADE=∠B=65º，故选：D ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是根据全等三角形得出等腰三角形和角的度数，依据等腰三角形的性质进行计算．8．A解析：A【分析】利用基本作图得到CE AB ⊥，再根据等腰三角形的性质得到5AC =，然后利用勾股定理计算即可；【详解】由做法得CE AB ⊥，则90AEC ∠=︒，145AC AB BE AE ==+=+=,在Rt △ACE 中，3CE ===； 故答案选A ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．9．B解析：B【分析】 根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD ＝∠ACB ，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠DAC ，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 为高，∴∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ABC +∠BAD ＝90°，∴∠ACB ＝∠BAD ，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB ＝2∠ACF ，∴∠BAD ＝2∠ACF ，即∠BAG ＝2∠ACF ，故②正确；∵CF 是角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，∵AD 为高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ACB +∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠CAD ，∵∠AFG ＝∠ABC +∠BCF ，∠AGF ＝∠CAD +∠ACF ，∴∠AFG ＝∠AGF ，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．10．A解析：A【分析】由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．【详解】解：由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC ，1CD =，4AB =， 所以，ABD △的面积为：141=22⨯⨯， 故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD 是角平分线，并根据角平分线的性质求出高． 11．B解析：B【分析】根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等的性质得到FAE FEA ∠=∠，即可得到AF=EF ，再根据BE ⊥AD ，得到90AEB =︒∠，再根据等角的余角相等得到ABE BEF ∠=∠，根据等边对等角的性质得到BF=EF ，即可得解；【详解】∵AD 平分∠BAC ，EF //AC ，∴FAE FEA ∠=∠，∴AF=EF ，∵BE ⊥AD ，∴90FAE ABE ∠+=︒，90AEF BEF ∠+∠=︒， ∴ABE BEF ∠=∠， ∴BF=EF ，∴AF=BF ；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的角平分线，准确分析证明是解题的关键． 12．D解析：D【分析】作EG AC ⊥于点G ，分别通过勾股定理计算出BD ，DC ，AC ，再结合角平分线的性质得到DE GE =，设DE GE x ==，分别表示AE ，AG ，最终在Rt AEG 中运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，作EG AC ⊥于点G ，∵AD BC ⊥于点D ，∴在Rt ABD △中，9BD ==， ∵14BC =，∴5DC BC BD =-=，∴在Rt ACD △中，13AC ==， ∵CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，EG AC ⊥，ED BC ⊥∴DE GE =，∵CE=CE∴△△CED CEG ≌，∴5CD CG ==，设DE GE x ==，则12AE AD ED x =-=-，8AG AC GC =-=，∴在Rt AEG 中，222AE EG AG =+，即：()222128x x -=+， 解得：103x =，即：103DE =， 故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质以及勾股定理，灵活根据角平分线的性质构造辅助线并且熟练运用勾股定理求解是解题关键．二、填空题13．2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD 的长然后利用AAS 证明△BDH ≌△ADC 可得HD=CD 进而求解【详解】解：∵AD ⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90°∴∠HBD+∠BHD=90°∵∠解析：2【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可求解CD 的长，然后利用AAS 证明△BDH ≌△ADC ，可得HD =CD ，进而求解．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∴∠HBD +∠BHD =90°，∵∠CAD =30°，AC =4， ∴122CD AC ==， ∵BE ⊥AC ，∴∠HBD +∠C =90°，∴∠BHD =∠C ，∵∠ABD =45°，∴∠BAD =45°，∴BD =AD ， 在△BDH 和△ADC 中，BHD C BDH ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDH ≌△ADC （AAS ），∴HD =CD =2，故点H 到BC 的距离是2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，证明△BDH ≌△ADC 是解题的关键．14．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CAD=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC ∠BEC 和∠C 再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD 平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC ∴∠AB解析：45°或36°．【分析】设∠BAD=∠CAD=α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC 、∠BEC 和∠C ，再分三种情况讨论即可．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴设∠BAD=∠CAD=α，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=1802902αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,当BE=BC 时，∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，∴245BAC α∠==︒；当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；当BC=CE 时，∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，∴236BAC α∠==︒，故答案为：45°或36°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．15．16【分析】连接ADDC 证明Rt △DGA ≌Rt △DFC （HL ）可得出AG ＝CF 再证明Rt △BDG ≌Rt △BDF （HL ）得出BG ＝BF 则可求出答案【详解】解：连接ADDC ∵BD 平分∠ABCDG ⊥ABD解析：16【分析】连接AD 、DC ．证明Rt △DGA ≌Rt △DFC （HL ）可得出AG ＝CF ，再证明Rt △BDG ≌Rt △BDF （HL ），得出BG ＝BF ，则可求出答案【详解】解：连接AD 、DC ．∵BD 平分∠ABC ，DG ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DG ＝DF ．∵D 在AC 的中垂线上，∴DA ＝DC ．在Rt △DGA 与Rt △DFC 中，∵DG ＝DF ，DA ＝DC ，∴Rt △DGA ≌Rt △DFC （HL ）．∴AG ＝CF ．又∵BD ＝BD ，DG ＝DF ．∴Rt △BDG ≌Rt △BDF （HL ）．∴BG ＝BF ．又∵AG ＝CF ，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝BG ﹣AG +BF +FC +AC ＝2BG +AC ＝2×5+6＝16．故答案为：16．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．16．【分析】根据等腰三角形的性质可求出△CBA1的底角的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出△DA1A2的底角的度数同理可求出△EA2A3△FA3A4…底角的度数再找出其规律即可得出第n 个 解析：11702n -︒⨯【分析】根据等腰三角形的性质，可求出 △CBA 1 的底角的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可求出 △DA 1A 2 的底角的度数．同理可求出 △EA 2A 3 、 △FA 3A 4 …底角的度数．再找出其规律即可得出第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数．【详解】在 △CBA 1 中， ∠B=40° ， A 1B=CB ，∴ ∠BA 1C=∠BCA 1=（180°−40°)÷2=70° ，又∵ A 1A 2=A 1D ， ∠BA 1C 是 △A 1A 2D 的外角．∴ ∠DA 2A 1=∠A 2DA 1=12∠BA 1C=12×70° ． 同理可得：∠EA 3A 2=∠A 3EA 2=12∠DA 2A 1=12×12×70°=(12)2×70° ， ∠FA 4A 3=∠A 4FA 3=12∠EA 3A 2=(12)3×70°， 综上可知规律：第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数是：112n -×70° ， 故答案为 70° ×112n -． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质，求出 ∠DA 2A 1 、 ∠EA 3A 2 、 ∠FA 4A 3 的度数，找出其规律是解答本题的关键． 17．ACDE 同位角相等两直线平行；两直线平行内错角相等；；EB 内错角相等两直线平行【分析】由平分可得由可得可推出利用平行线性质可得由利用传递性可得利用判定定理可得【详解】证明：理由如下：平分（已知）（已解析：1∠，AC ，DE ，同位角相等，两直线平行；1∠，两直线平行，内错角相等；1∠，E ∠；EB,内错角相等，两直线平行【分析】由DE 平分,BDC ∠可得1 2.∠=∠由2,BDC A ∠=∠可得2,A ∠=∠可推出AC //DE,利用平行线性质可得13,∠=∠由3,E ∠=∠利用传递性可得1 E.∠=∠利用判定定理可得//BE CD ．【详解】证明：理由如下： DE 平分,BDC ∠（已知）_1 2.∴∠=∠2,BDC A ∠=∠（已知）2,A ∴∠=∠（等量代换）AC //DE,∴（同位角相等，两直线平行）13,∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）又3,E ∠=∠（已知）1 E.∴∠=∠（等量代换）//BE CD ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：1∠；AC DE,，同位角相等，两直线平行；1,∠两直线平行，内错角相等；1E ∠∠，；BE,内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角分线性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线性质是解题关键．18．5或1【分析】如图设BM=x 首先证明BQ=AP 分两种情形利用勾股定理构建方程求解即可【详解】解：如图设BM ＝x 在Rt △ABC 中AB ＝10AC ＝6∴BC ＝＝＝8∵QB ∥AP ∴∠A ＝∠OBQ ∵O 是AB 的解析：5或1【分析】如图，设BM=x ，首先证明BQ=AP ，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可．【详解】解：如图，设BM ＝x ，在Rt △ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，∴BC 22AB AC -22106-8，∵QB ∥AP ，∴∠A ＝∠OBQ ，∵O 是AB 的中点，∴OA ＝OB ，在△OAP 和△OBQ 中，A OBQ OA OBAOP BOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAP ≌△OBQ （ASA ），∴PA ＝BQ ＝6﹣1＝5，OQ ＝OP ，∵OM ⊥PQ，∴MQ ＝MP ，∴52+x 2＝12+（8﹣x ）2，解得x ＝2.5．当点P 在AC 的延长线上时，同法可得72+x 2＝12+（8﹣x ）2，解得x ＝1，综上所述，满足条件的BM 的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 19．3【分析】如图过作于连接先说明平分当时可得可得所以当三点共线时此时最短再求解结合从而可得答案【详解】解：如图过作于连接分别平分平分当时则所以当三点共线时此时最短分别平分即的最小值是故答案为：【点睛】 解析：3【分析】如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD 先说明BD 平分,ABC ∠ 当DE BC ⊥时，可得,DP DE = 可得,CD DE CD DP +=+ 所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，再求解30ABC ∠=︒，结合,CP AB ⊥ 从而可得答案． 【详解】解：如图，过D 作DP AB ⊥于,P 连接,BD,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，BD ∴平分,ABC ∠当DE BC ⊥时，则,DP DE =,CD DE CD DP ∴+=+所以当,,C D P 三点共线时，,CD DP CP += 此时最短，105ADC ∠=︒，18010575DAC DCA ∴∠+∠=︒-︒=︒，,AD DC 分别平分,BAC ACB ∠∠，()2150,BAC BCA DAC DCA ∴∠+∠=∠+∠=︒18015030ABC ∴∠=︒-︒=︒，,CP AB ⊥116322CP BC ∴==⨯=， 即CD DE +的最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的性质，含30的直角三角形的性质，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．20．2或4或【分析】首先根据题意求得抛物线与x 轴交点的坐标继而由勾股定理解得的长再运用分类讨论的方法按为底或为腰两种情况逐一解题即可【详解】解:令得与点位于y 轴两侧抛物线的对称轴为当为等腰三角形时如图若 解析：2或4或2【分析】首先根据题意，求得抛物线与x 轴交点A 的坐标，继而由勾股定理解得AB 的长，再运用分类讨论的方法，按AB 为底或AB 为腰两种情况逐一解题即可．【详解】解:令0y =，得2230x x --=(3)(1)0x x ∴-+=123,1x x ∴==-(1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，(1,0)A ∴-22(20)(11)22AB ∴=-++=抛物线223y x x =--的对称轴为12b x a=-= 当PAB △为等腰三角形时，如图，若AB 为腰，以点B 为圆心，BA 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点1P ，则1==22BP AB ；若AB 为腰，以点A 为圆心，AB 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点2P ，则2==22AP AB 根据等腰三角形三线合一性质得，2=2=22=4B BP y ⨯；若AB 为底，作AB 的垂直平分线，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点3P ，则33AP BP =设3(1,)P y(1,2)B ，(1,0)A -2222(11)(0)(11)(2)y y ∴++-=-+-即224+44y y y =-+ 0y ∴=3(1,0)P ∴32BP ∴=综上所述，BP 的长为2或4或22故答案为：2或4或22【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程、抛物线与x 轴的交点、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题21．（1）90；（2）120°；（3）①180αβ+=︒；见解析；②180αβ+=︒或αβ=【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ＝45°，由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC ＝∠ACE ＝45°，可求∠BCE 的度数；（2）由条件可得△ABC 为等边三角形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ＝60°，则可得出结论；（3）①由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD ＝∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC ＝∠ACE ＝45°，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠ACB ＝60°，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，∵∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACE +∠ACB ＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ．即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B ＝∠ACE ．∴∠B +∠ACB ＝∠ACE +∠ACB ．∵∠ACE +∠ACB ＝β，∴∠B +∠ACB ＝β，∵α+∠B +∠ACB ＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D 在射线BC 上时，α+β＝180°，连接CE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACE +∠ACB ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，即：∠BCE +∠BAC ＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，∴∠ABD ＝∠ACE ＝∠ACB +∠BCE ，∴∠ABD +∠ABC ＝∠ACE +∠ABC ＝∠ACB +∠BCE +∠ABC ＝180°，∵∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE ．∴α＝β；综上所述：点D 在直线BC 上移动，α+β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）②70°；②见解析【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC ≌△ADE 即可得到BC=DE ；（2）①先根据外角的性质求出∠BAP ，进而求出∠CAE ，然后根据等腰三角形的性质求解即可；②根据“AAS”证明△ACP ≌△ACE 即可得到CP=CE ；【详解】解：（1）∵BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAP CAE CAP ∠+∠=∠+∠，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中B D AB ADBAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△ADE （ASA ），∴BC=DE ；（2）①∵30B ∠=︒，70APC ∠=︒，∴∠BAD=70°-30°=40°，∴∠CAE=∠BAD=40°．∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，∴∠E=∠ACE=18040702-=； ②∵70APC ∠=︒，∠E=∠ACE =70°，∴∠APC=∠E=∠ACE =70°．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠ACP=∠E =70°，∴∠APC=∠E=∠ACE =∠ACP =70°．在△ACP 和△ACE 中APC E ACP ACE AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△ACE （AAS ），∴CP=CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．23．（1）70°；（2）32 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ，再利用平角定义可得∠BCF =90°，进而可得CB ⊥CF ，计算出∠ACB 的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；（2）利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE 的度数，根据∠4的度数可得结果．【详解】解：（1）∵BC 平分∠ACD ，CF 平分∠ACG ，∴∠ACB =12∠ACD ，∠ACF =12∠ACG ， ∵∠ACG +∠ACD =180°，∴∠ACF +∠ACB =90°，∴CB ⊥CF ，∵∠BAC =40°，∵CD//AB ，∴∠ACG =40°，∴∠ACF =20°，∴∠ACB =90°-20°=70°，∴∠BCD =70°，∵CD ∥AB ，∴∠2=∠BCD =70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°；（2）∵∠BCD =70°，∴∠ACB =70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE =30°，∵CF 平分∠ACG ，∴∠ACF =∠4=20°， ∴4ACE ∠∠=3020︒︒=32． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．24．（1）△ABC ≌△AED ，证明见解析；（2）∠DCA ＝75°．【分析】（1）根据ASA 证明△ABC ≌△AED 即可；（2）根据△ABC ≌△AED 可得AC=AD ，根据等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）△ABC ≌△AED ．证明：在△ABC 和△AED 中，90BAC EAD AB AE B AED ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴△ABC ≌△AED （ASA ）；（2）∵△ABC ≌△AED ，∴AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∵∠DAC ＝30°，∴∠ACD ＝1(18030)2︒-︒=75° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．25．（1）2）存在，t=3.6．【分析】（1）设AD=x ，则BD=18-x ，得出AC²-AD²=BC²-BD²，最后在Rt ∆ACD 中，利用勾股定理得出结果．（2）先求出点P 从点B 运动到点A 需要的时间和点Q 从点A 运动到点C 需要的时间，再用含t 的式子分别表示出AP 、AQ 即可求得结果．【详解】解:(1)过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=x ，则BD=18-x ，∵CD²=AC²-AD²，CD²=BC²-BD²，∴AC²-AD²=BC²-BD²，即12²-x²=(67)²-(18-x)²， 解得：x=6，∴Rt ∆ACD 中，CD=222212663AC AD -=-=；(2)存在，点P 从点B 运动到点A 需要的时间为1863=（s ）， 点Q 从点A 运动到点C 需要的时间为122=6（s ）， 由题可得，AP=AB-BP=18-3t ，AQ=2t则有18-3t=2t ，解得t=3.6<6，∴存在t=3.6，使得AP=AQ ．【点睛】 本题考查了勾股定理及对等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．26．（1）画图见解析，A '（1，5）；（2）△A BC '是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据关于y 轴对称的点y 值不变，x 值互为相反数，先画出点A 关于y 轴的对称点A '，连接,A B A C ''；（2）由图可以判断△A BC '是直角三角形，根据点的坐标计算线段的长，再根据勾股定理逆定理计算验证即可．【详解】解：（1）如图，由点A （﹣1，5）易得A '（1，5），连接,A B A C ''；（2）△A BC '是直角三角形，理由如下：由（1）易得5A B '=，()()22311525'=-+-=A C ，()()2231105=-+-=BC ，∵222''A C BC A B，+='是直角三角形．∴△A BC【点睛】本题考查的是轴对称以及勾股定理逆定理，解题的关键是掌握相关的知识点．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )

【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】第一章：三角形的证明一.选择题：（每小题3分共30分）1．等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为（ ）A ．4B ．9C ．4或9D ．大于5且小于132．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为（ ）A ．6aB ．9aC ．12aD ．15a3．如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm4．如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为（ ）6．如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD ＝CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF ＝5,则OD+OE 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．157．如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F ．若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．118．如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥．设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是（ ）A ．3180αβ+=︒B ．2180αβ+=︒C ．3180αβ-=︒D ．290αβ-=︒9．如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC ∠=︒；（3）DN DE =；（4）BAM CAN ≅△△．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH ．若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c ．则下列结论中正确的个数有（ ）①∠BAC=60°；②△AGH 是等边三角形；③AD 与GH 互相垂直平分；④()12ABC S a b c =+△． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题:（每小题3分共15分）11．在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________．12．如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC ＝4,BC ＝10,△ABC 的面积是14,则DE ＝_____．13．如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______．14．如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______．15．如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．三.解答题:(共55分)16．(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒．BD ,CE 相交于点F ．BD ,AC 相交于点M ．(1)求证：BD CE =；(2)求BFC ∠的度数．17．(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△； (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长．18．(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD ＝BC,AE ＝BF,∠A ＝∠B,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证∠E ＝∠F ；(2)若CE ＝10,DG ＝4,求 EG 的长．19．(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标．(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系．20．(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．连接AD,作∠ADE ＝40°,DE 交线段AC 于E ．(1)当∠BDA ＝115°时,∠EDC ＝______,∠DEC ＝_____；(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由；(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA 的度数．若不可以,请说明理由．22．(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标；(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标．。

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试(含答案解析)

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试(含答案解析)

一、选择题1．如图，在等腰△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，O 是△ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为OD ，OE ，OF ，且::1:4:4OD OE OF =，则AO 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．407D ．80172．如图，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，EF 经过点O 且//EF BC ，若7AB =，8AC =，9BC =，则AEF 的周长是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．243．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，∠BCE ＝∠ACD ，∠BAC ＝∠D ＝40°，AB ＝DE ，AC ＝AE ，则∠B 的度数为（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD 是ABC ∆的中线，且6AD =，AE 是BAD ∠的角平分线，//DF AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 5．如图，CD 是ABC 的角平分线，2,7,4B A AC BC ∠=∠==，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．23D ．32 6．等腰三角形的一个角为40︒，则其底角的度数为( )． A ．40︒ B ．70︒ C ．40︒或70︒ D ．50︒或70︒ 7．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，若1CD =，4AB =，则ABD △的面积是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,0，以线段OA 为边在第四象限内作等边ABO ，点C 为x 轴正半轴上一动点（1OC >），设点C 的坐标为(),0x ，连结BC ，以线段BC 为边的第四象限内作等边CBD ，直线DA 交y 轴于点E ，点E 的坐标是（ ）A ．()0,3B ．0,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．30,x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 9．如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，若100BAC ∠=︒，则EAG ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 10．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（ ）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25° 11．如图，ABC ∆中，AB AC =，3BC =，6ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．512．如图，A ，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．如图，在ABC 中，线段AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ，若80C ∠=︒，40CBD ∠=︒，则A ∠的度数为_____°．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，6），点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为_____．15．如图，在ABC 中，,45,,AB AC BAC AD BE =∠=︒是ABC 的高，点Р是直线AD 上一动点，当PC PE +最小时，则BPC ∠为______度．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 是它的角平分线，若:3:2AB AC =，且2BD =，则点D 到直线AB 的距离为______．17．如图，50AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE △是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为________．18．如图，ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，若D 是BC 的中点，DE AB ⊥，垂足是E ，则:AE BE 的值等于________．19．在第1个△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，按此做法进行下去，第1个三角形的以A 1为顶点的内角的度数为__________；第n 个三角形的以A n 为顶点的内角的度数为__________．20．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ．那么下列结论：①BD=DC ；②△BED 和△CFD 都是等腰三角形；③点D 是EF 的中点；④△AEF 的周长等于AB 与AC 的和．其中正确的有______．（只填序号）三、解答题21．（1）猜想：如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：如图3，F 是角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点D 、E 、A 互不重合，在运动过程中线段DE 的长度始终为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF 的形状，并说明理由．22．已知A （3， 5），B （-1， 2），C （1， 1）．（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC ；（2）△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．23．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 上各取一点D ，E ，使AD =CE ，AE ，BD 相交于点M ，过点B 作直线AE 的垂线BH ，垂足为H ．（1）求证：△ACE ≌△BAD ；（2）若BE =2EC =4．①求△ABC 的面积；②求MH 的长．24．如图，在四边形ABCD 中，90,A ABC BCD BDC ∠=∠=︒∠=∠，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．求证：AB CE =25．如图，已知AB ＝AC ，E 为AB 上一点，ED ∥AC ，BD ＝CD ，求证：ED ＝AE ．26．如图，在等腰ABC 和等腰ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠且C E D 、、三点共线，作AM CD ⊥于M ，求证：BD DM CM +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OA,OB,OC ，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x ，OE=4x ，OF=4x ，根据OE=OF ，得到AO 为∠BAC 的角平分线，再根据AB=AC ，得到AO ⊥BC ，根据三线合一及勾股定理求出AD=4，再根据ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△，得到方程求解即可．【详解】解：连接OA,OB,OC, 由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x,OE=4x,OF=4x ，∵OE=OF ，∴AO 为∠BAC 的角平分线，又∵AB=AC ，∴AO ⊥BC ，∴AD 为△ABC 的中线，∴A 、D 、O 三点共线，∴BD=3，在Rt △ABD 中， AD=222253AB BD -=-=4，∴ABC ABO ACO BCO S S S S =+-△△△△∴12=10x+10x−3x ，∴x=1217∴AO=4+1217=8017. 故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．2．A解析：A【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出AEF的周长．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，，∵BO平分ABC∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理可得：OF=CF，∴AEF的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF= AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．3．B解析：B【分析】先ASA证明△BAC≌△EDC，再利用全等三角形的性质，等腰三角形的两底角相等即可求解．【详解】解：∵∠BCE＝∠ACD，又∵∠BCE＝∠BCA＋∠ACE，∠ACD＝∠DCE＋∠ACE，∴∠BCA＝∠DCE，∵∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，∴△BAC≌△EDC（ASA），∴AC＝CD，∴∠CAE＝∠D＝40°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE＝1（180°﹣∠CAE）＝70°，2∵∠AEC＝∠D＋∠DCE，∴∠DCE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝110°．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明△BAC≌△EDC．4．D解析：D【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，即可求解.【详解】∵AB= AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×120°= 60°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=12∠BAD=1260°= 30°，∵DF// AB∴∠F=∠BAE= 30°，∴∠DAE=∠F= 30°，∴AD= DF=6；故答案为:D.【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.5．B解析：B【分析】延长CB至点F，使CF=CA，连接DF，证明△FCD≌△ACD，得到∠F=∠A，结合已知得到线段的关系，从而计算BD．【详解】解：延长CB至点F，使CF=CA，连接DF，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠FCD，在△FCD和△ACD中，CF CA FCD ACD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCD ≌△ACD （SAS ），∴∠F=∠A ，∴∠ABC=2∠A 且∠ABC=∠F+∠FDB ，∴∠F=∠FDB ，∴BF=BD ，∴CF=BC+BF=BC+BD ，∴AC=BD+BC ，∴BD=AC-BC=7-4=3，故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是合理作出辅助线，构造全等三角形． 6．C解析：C【分析】结合题意，根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案．【详解】当40︒角为等腰三角形顶角时，其底角的度数为18040702；当40︒角为等腰三角形底角时，其底角的度数为40︒；故选：C ．【点睛】 本题考查了等腰三角形、三角形内角和的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，从而完成求解．7．A解析：A【分析】由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．【详解】解：由作图可知AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离就等于DC ，1CD =，4AB =，所以，ABD △的面积为：141=22⨯⨯， 故选：A ．【点睛】 本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD 是角平分线，并根据角平分线的性质求出高．8．A解析：A【分析】由等边三角形的性质可得AO ＝OB ＝AB ＝1，BC ＝BD ＝CD ，∠OBA ＝∠CBD ＝60°，可证△OBC ≌△ABD ，可得∠BAD ＝∠BOC ＝60°，可求∠EAO ＝60°，即可求OE 点E 坐标．【详解】解：∵△AOB ，△BCD 是等边三角形，∴AO ＝OB ＝AB ＝1，BC ＝BD ＝CD ，∠OBA ＝∠CBD ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD ，且OB ＝AB ，BC ＝BD ，∴△OBC ≌△ABD （SAS ），∴∠BAD ＝∠BOC ＝60°，∴∠EAO ＝180°−∠OAB−∠BAD ＝60°，在Rt △AOE 中，AO ＝1，∠EAO ＝60°，∠OEA=30°，∴AE=2 AO=2，∴∴点E 坐标(0，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．9．B解析：B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C ＋∠B ，根据线段的垂直平分线的性质得到EA ＝EB ，根据等腰三角形的性质得到∠EAB ＝∠B ，同理，∠GAC ＝∠C ，计算即可．【详解】解：∵∠BAC ＝100°，∴∠C ＋∠B ＝180°−100°＝80°，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠EAB ＝∠B ，同理：∠GAC ＝∠C ，∴∠EAB ＋∠GAC ＝∠C ＋∠B ＝80°，∴∠EAG ＝100°−80°＝20°，故选B ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠A ＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒ =65°； ②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠BAC ＝∠ADE+∠AED ＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒ =25°． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 11．B【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD=PB+PD的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC，BC=3，S△ABC=6，AD⊥BC于点D，∴AD=4，∵EF垂直平分AB，∴点A，B关于直线EF对称，∴EF与AD的交点P即为所求，如图，连接PB，此时PA=PB，PB+PD=PA+PD=AD，AD=PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值为4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．12．B解析：B【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．【详解】解：如图所示：①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．二、填空题13．30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵∠C=80°∠CBD=40°∴∠CD解析：30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=80°，∠CBD=40°，∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA=DB，∴∠A=∠DBA=12∠CDB=30°，故答案为：30．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．【分析】以AP为边作等边三角形APE连接BE过点E作EF⊥AP于F由SAS 可证△ABE≌△ACP可得BE＝PC则当BE有最小值时PC有最小值即可求解【详解】解：如图以AP为边作等边三角形APE连接B解析：9 2【分析】以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，由“SAS”可证△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，则当BE有最小值时，PC有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，∵点A 的坐标为（0，6），∴OA ＝6，∵点P 为OA 的中点，∴AP ＝3，∵△AEP 是等边三角形，EF ⊥AP ，∴AF ＝PF ＝32，AE ＝AP ，∠EAP ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAP ，在△ABE 和△ACP 中， AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACP （SAS ），∴BE ＝PC ，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE ⊥x 轴时，BE 有最小值，∴BE 的最小值为OF ＝OP ＋PF ＝3＋32＝92， ∴PC 的最小值为92， 故答案为92． 【点睛】 本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．【分析】连接PC 只要证明PB=PC 即可推出PC+PE=PB+PE 可得PBE 共线时PC+PE 的值最小最小值为BE 的长度从而结合等腰三角形的性质求解【详解】解：如图连接PC ∵AB=ACAD ⊥BC ∴BD=解析：135【分析】连接PC ，只要证明PB=PC ，即可推出PC+PE=PB+PE ，可得P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小，最小值为BE 的长度，从而结合等腰三角形的性质求解．【详解】解：如图，连接PC ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∴PB=PC ，∴PC+PE=PB+PE ，又∵BE ⊥AC∴P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小为BE 的长，∵AB=AC ，∠BAC=45°，BE ⊥AC∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=45°∴∠PBC=∠PCB=67.5°-45°=22.5°∴∠BPC=180°-22.5°×2=135°故答案为：135．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】根据角平分线的性质利用面积比求出BD:DC=3:2代入求值即可【详解】解：∵平分∠BACDC ⊥ACDE ⊥AB ∴DC=DE ∵∴即点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质解题关 解析：43【分析】根据角平分线的性质，利用面积比求出BD:DC=3:2，代入2BD =求值即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC=DE ，12ABD S AB DE =⨯⨯，12ACD S AC CD =⨯⨯,132122ABD ACD AB DE S SAC CD ⨯⨯==⨯⨯, 12ABD S DB AC =⨯⨯， 1212ABD ACD DB AC S S AC CD ⨯⨯=⨯⨯， 32BD CD =， ∵2BD =，∴43CD =， 43ED = 即点D 到直线AB 的距离为43， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，解题关键是利用面积公式，通过角平分线的性质得出面积比，再根据面积比求出边长比．17．或【分析】求出∠AOC 根据等腰得出三种情况OE=CEOC=OEOC=CE 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可【详解】解：∵∠AOB=50°OC 平分∠AOB ∴∠AOC=25°①当E 在E1时OE解析：25︒，130︒或775︒.【分析】求出∠AOC ，根据等腰得出三种情况，OE=CE ，OC=OE ，OC=CE ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠AOB=50°，OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=25°，①当E 在E 1时，OE=CE ，∵∠AOC=∠OCE=25°，∴∠OEC=180°-25°-25°=130°；②当E 在E 2点时，OC=OE ，则∠OCE=∠OEC=12（180°-25°）=77.5°； ③当E 在E 3时，OC=CE ，则∠OEC=∠AOC=25°；故答案为：130°或77.5°或25°．【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论思想进行分析．18．【分析】已知AB=AC ∠BAC=120°根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°连接AD 可求得∠ADE=∠B=30°再由直角三角形性质即可求解【详解】解：如图连接AD ∵AB=AC ∠BA解析：1:3【分析】已知AB=AC ，∠BAC=120°，根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°，连接AD ，可求得∠ADE=∠B=30°，再由直角三角形性质即可求解．【详解】解：如图，连接AD ，∵AB=AC ，∠BAC=120°，D 是BC 的中点，∴∠B=∠C=30°，∠ADB=90°．∵DE ⊥AB ，∴∠BED=∠ADB ＝90°．∴∠B+∠BDE=∠ADE+∠BDE=90°．∴∠ADE=∠B=30°，设AE=x ，则AD=2x ，AB=2AD=4x ，∴EB=AB-AE=3x ，∴::31:3AE BE x x ==．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了等腰三角形与直角三角形的性质，掌握等腰三角形与含30°角的直角三角形的性质并准确作出辅助线是解答本题的关键．19．75°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A 的度数再根据三角形外角及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1∠DA3A2及∠EA4A3的度数找出规律即可得出∠An 的度数【详解】解：∵在△ABA1中解析：75° 1752n ︒- ． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1A ＝1802B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角， ∴∠CA 2A 1＝17522BA A ∠︒=＝37.5︒， 同理可得∠DA 3A 2＝2752，∠EA 4A 3＝3752︒， ，∴∠A n ＝1752n ， 故答案为：75°；1752n ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出规律是解答此题的关键． 20．②④【分析】由平行线得到角相等由角平分线得角相等根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案【详解】解：∵EF ∥BC ∴∠EDB=∠DBC ∠FDC=∠DCB ∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于 解析：②④【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质逐一判断即得答案．【详解】解：∵EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∠FDC=∠DCB ，∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，∴∠EBD=∠DBC ，∠FCD=∠DCB ，∴∠EDB =∠EBD ，∠FCD=∠FDC ，∴ED=EB ，FD=FC ，即△BED 和△CFD 都是等腰三角形；故②正确；∴△AEF 的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AB+AC ；故④正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠DBC 不一定等于∠DCB ，∴BD 与CD 不一定相等，故①错误．∵BE 与CF 无法判定相等，∴ED 与DF 无法判定相等，故③错误；综上，正确的有②④．故答案为：②④．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．（1）DE BD CE =+；（2）成立，见解析；（3）等边三角形，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到90BAD CAE ∠+∠=︒，根据等角的余角相等得到ABD CAE ∠=∠，再证明()ADB CEA AAS ≌△△，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据条件证明()BAD ACE AAS ≌即可得解；（3）根据等边三角形的判定证明即可；【详解】解：（1）DE BD CE =+，理由：∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠，在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADB CEA AAS ≌△△， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+，故答案为DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立；理由如下：∵BAD CAE 180BAC ∠∠∠+=︒-，BAD ABD 180ADB ∠∠∠+=︒-，90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ABD CAE ∠=∠， 在BAD 和ACE 中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()BAD ACE AAS ≌， ∴BD AE =，AD CE =，∴DE DA AE BD CE =+=+；（3）DFE △为等边三角形，理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，∴BD AE =，ABD CAE ∠=∠，∴ABD FBA CAE FAC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，在FBD 和FAE 中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FBD FAE SAS ≌，∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴DFE 为等边三角形．【点睛】 本题主要考查了三角形综合，结合三角形全等证明、等边三角形的判定是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）是，理由见解析【分析】（1）在平面直角坐标系中描出A 、B 、C 三点，再顺次连接三点即可做出△ABC ； （2）利用网格特点，分别求出AB 2、AC 2、BC 2，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】（1）如图所示；（2）△ABC 是直角三角形，理由为：∵AB 2=42+32=25，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°．【点睛】本题考查平面直角坐标系、勾股定理及其逆定理，熟练掌握网格结构和平面直角坐标系，准确找出对应点的位置，会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解答的关键． 23．（1）见解析；（2）①②7 【分析】（1）根据等边三角形的性质，直接运用SAS 证明即可；（2）①作AF ⊥BC 于F 点，利用“三线合一”的性质结合已知条件先求出AF 的长度，从而根据12·ABC S BC AF =即可求解； ②先在Rt △AFE 中求解出AE 的长度，再求出△ABE 的面积，结合等面积法即可求出BH 的长度，然后根据（1）的结论进一步证明∠BMH=60°，则在Rt △BMH 中即可求解MH 的长度．【详解】（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAD=∠ACE=60°，在△BAD 和△ACE 中，AD CE BAD ACE AB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BAD （SAS ）；（2）如图所示，作AF ⊥BC 于F 点，①由“三线合一”知，∠BAF=30°，∵BC=BE+EC=4+2=6，∴AB=6，BF=3，由勾股定理可得：AF =，∴11622ABC S BC AF ==⨯⨯=△ ②由①可知，AF =，FE=1，∴根据勾股定理可得，AE=， ∵11422ABE SBE AF ==⨯⨯=△，∴27ABE S BH AE ===△，由（1）可得，∠ABD=∠CAE ，∴∠ABD+∠BAM=∠CAE+∠BAM=60°，即：∠BMH=∠ABD+∠BAM=60°，则在Rt △BHM 中，∠MBH=30°， ∴3BH MH =， ∴6773MH ==．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质综合运用，灵活运用全等三角形的性质以及等面积法求高是解题关键．24．证明见解析．【分析】用“角角边”证明△ABD ≌ECB 即可．【详解】证明：∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ADB=∠DBC ，∵BCD BDC ∠=∠，∴BD=BC ，∵∠A=∠BEC=90°，∴△ABD ≌△ECB∴AB CE =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是找准全等三角形，依据等腰三角形的判定和同角的余角相等证明全等．25．见解析【分析】利用SSS 证△A DB ≌△ADC 可得∠D AB =∠DAC ，根据平行线性质得∠EDA =∠DAC ，再根据等量代换得到∠EAD=∠EDA ，从而得到ED=AE ．【详解】证明：在△ADB 和△ADC 中，,,,AB AC DB DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC （SSS ）．∴∠D AB =∠DAC ．∵ED ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ，∴∠EAD=∠EDA∴E D=AE ．【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等边对等角的性质．判定三角形全等是关键． 26．见解析【分析】由“SAS”可证△AEC ≌△ADB ，可得BD=CE ，由等腰三角形的性质可得DM=EM ，可得结论．【详解】证明：BAC DAE ∠=∠CAE BAD ∴∠=∠在△AEC 和△ADB 中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△ADBBD CE ∴=在等腰ADE 中，AM DE ⊥DM EM ∴=BD DM CE EM CM ∴+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．。

北师大版八年级数学下册《等腰三角形》测试题

北师大版八年级数学下册《等腰三角形》测试题

初二数学下册 第一章等腰三角形检测题（时间90分钟，满分100）一、选择题（每小题3分，共36分）1．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．8或10B ．8C ．10D ．6或122．如图，已知在△ABC ，AB ＝AC ．若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．△EBC ＝△BACD ．△EBC ＝△ABE3．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且AB ＝AD ＝DC ，△BAD ＝40°，则△C 为（ ） A ．25° B ．35° C ．40° D ．50° 4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，△BAD ＝20°，DE△AC 于点E ，则△EDC 的度数是( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°2题图4题图3题图 5题图5．如图，线段AC 的垂直平分线DE 交线段AB 于点D ，50A ∠=，则BDC ∠=（ ） A ．50 B ．100 C ．120 D ．1306．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ） A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°7．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．斜边和一直角边对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一锐角和斜边对应相等D ．两条直角边对应相等8．如图，在△ABC 中，AC=4cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交线段AC 于D ，若△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰长和底边BC 的长分别是( )A ．22cm 和16cmB ．16cm 和22cmC ．20cm 和16cmD ．24cm 和12cm10．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．在△A 、△B 两内角平分线的交点处B ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处C ．在AC 、BC 两边高线的交点处D ．在AC 、BC 两边中线的交点处11．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP12．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分△ACB ，BE △CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，△A ＝△ABE .若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．1 二、填空题（每小题3分，共18分）13．在ABC ∆中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50O ，则底角B 的大小为________14．如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是△ABC 和△ACB的平分线，过点E 作DF△BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB=4，△ADF 的周长为7，则AC 的长为__________．15．在直角△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC 交BC 于点D ，若CD=4cm ，则点D 到斜边AB 的距离为 ．BC ，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，16．已知如图，在ABC中，8则ADE的周长等于______．17．如图：△DAE=△ADE=15°，DE△AB，DF△AB，若AE=8cm，则DF等于________．18．下列命题中，其逆命题成立的是__．（只填写序号）△同旁内角互补，两直线平行；△如果两个角是直角，那么它们相等；△如果两个实数相等，那么它们的平方相等；△如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．三、解答题（46分）19．（6分）在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求△A的度数．20.（6分）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，△A＝△D，△B＝△C，AF与DE交于点O．(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．20题图21．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD△AC于D，CE△AB于E，BD、CE 相交于F，连接AF．求证：AF平分△BAC．22．（9分）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE△AB，DF△AC，垂足分别为E，F．（1）求证：DE=DF；（2）若△A=60°，BE=1cm，求△ABC的周长．23．（9分）如图，DE△AB于E，DF△AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分△BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．24．（10分）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．（1）求证：△AEB△△CDA；（2）求△BPQ的度数；（3）若BQ△AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．。

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形课堂练习

北师大版数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形课堂练习

第一章三角形的证明第1节等腰三角形课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，在ABC中，AB AC=，40A∠=︒，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则ABD∠的度数为（）A．10︒B．20︒C．30D．40︒2．如图，在ABC中，AB AC=，AD BC⊥，若3AD=，8BC=，则AB的长为（）A．5B．4C．3D．13．若等腰三角形的一个内角为50°，则其顶角的度数为（）A．80°B．50°C．50°或65°D．50°或80°4．等腰三角形两边长a，b是方程组233a ba b-=⎧⎨+=⎩的解，则该等腰三角形周长为（）A．5B．4或5C．4D．5或65．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；①等腰三角形两腰上的高相等；①等腰三角形的最短边是底边；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个6．如图，ABC∆中，AB AC=，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（）A．2对B．3对C．4对D．5对7．已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．7C．3或7D．3或58．若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．40°B．70°C．80°D．100°9．如图，在①ABC中，AB＝AC＝4，①ABC和①ACB的平分线交于点E，过点E作MN①BC分别交AB、AC于M、N，则①AMN的周长为（）A．4B．6C．8D．10评卷人得分二、填空题10．在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，2BC=，则AC的长为_______________________．11．已知一个三角形工件尺寸（单位：dm）如图所示，则高h是________dm，它的面积是________2dm．12．已知等腰三角形的三边长分别为：1x+、23x+、7，则其中x的值为___________．13．一个等腰三角形一边长为3cm，另一边长为7cm，那么这个等腰三角形的周长_________cm．14．已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为___________．15．如图，在四边形ABCD中，==120,=A B AB AD∠∠①ADC和①DCB的平分线交于点P，且点P在AB边上．若BC＝3，DC＝21，则AB的长是__________．评卷人得分三、解答题16．如图，在ABC中，AB AC=，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE CE=．（1）求证：AEF CEB△≌△；（2）若12AF=，求CD的长．17．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，①BAD＝30°，且①ADC＝60°，BD＝3，求CD．18．某初中“数学兴趣小组”开展实践活动，在校园里测量一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池和建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度．经测量得知AB＝AD＝60米，①A＝60°，BC＝80米，①ABC＝150°．如果你是数学兴趣小组的成员，请根据测量数据求出CD的长度．19．如图，①ABC是等边三角形，边长是6（1）求高AD的长；（2）求①ABC的面积．20．已知等腰三角形的周长为30cm，其底边长为x，腰长为y．（1）请写出y与x的函数关系式，并求其中自变量x的取值范围；（2）当这个三角形中有一个角为60°时，求x的值．参考答案：1．C【解析】【分析】在△ABC中可求得①ACB＝①ABC＝70°，在△BCD中可求得①DBC＝40°，由此可求出①ABD．【详解】解：①AB＝AC，①A＝40°，①①ABC＝①ACB＝（180°－40°）÷2＝70°，又①BC＝BD，①①BDC＝①BCD＝70°，①①DBC＝180°－70°×2＝40°，①①ABD＝①ABC﹣①DBC＝70°﹣40°＝30°，故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．2．A【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，再根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：①AB＝AC，AD①BC，BC＝8，BC＝4，①BD＝CD＝12①AD＝3，BD＝4，AD①BC，①AB＝2222++＝5，D D=34A B故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．D【解析】【分析】分①50︒的内角为等腰三角形的顶角，①50︒的内角为等腰三角形的底角两种情况，分别根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当50︒的内角为等腰三角形的顶角时，则这个等腰三角形的顶角的度数为50︒；①当50︒的内角为等腰三角形的底角时，则这个等腰三角形的顶角的度数为180505080︒-︒-︒=︒；综上，这个等腰三角形的顶角的度数为50︒或80︒，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，正确分两种情况讨论是解题关键．4．A【解析】【分析】先解二元一次方程组求出a、b的值，然后进行分类讨论a为腰和为底时的情形.【详解】解：解方程组233a ba b-=⎧⎨+=⎩得：21ab=⎧⎨=⎩所以，等腰三角形的两边长为2，1．若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故选A.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行逐一判断即可得到答案.【详解】解：等腰三角形的顶角的角平分线、底边的中线和底边的高重合，故①错误； 等腰三角形两腰上的高相等，故①正确；等腰三角形的最短边不一定是底边，故①错误；故选：A.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 6．C【解析】【分析】根据AB AC =，D 是BC 的中点，可得CAD BAD ∠=∠ ，90ADC ADB ︒∠=∠= ，BD CD = ，从而AOC BOC ≅，Rt OCD Rt OBD ≅，ACD ABD ≅，再根据EF 垂直平分线AC ，可得Rt AOE Rt COE ≅，即可求解．【详解】解：①AB AC =，D 是BC 的中点，①CAD BAD ∠=∠ ，90ADC ADB ︒∠=∠= ，BD CD = ，①AO AO = ，①()AOC AOB SAS ≌，①OC OB = ，①()Rt OCD Rt OBD HL ≅ ，①AB AC =，AD AD = ，①()ACD ABD SSS ≅ ，①EF 垂直平分线AC ，①AO CO = ，①OE OE = ，①()Rt AOE Rt COE HL ≅ ，①图中全等三角形的对数是4对．故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．7．C【解析】【分析】已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论．最后要根据三角形三边关系将不合题意的解舍去．【详解】解：本题可分两种情况：①当腰长为7时，底边长=17-2×7=3；经检验，符合三角形三边关系；①底边长为7，此时腰长=（17-7）÷2=5，经检验，符合三角形三边关系； 因此该等腰三角形的底边长为3或7．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180402︒︒-＝70°．故选：B．【点睛】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．9．C【解析】【分析】根据BE、CE是角平分线和MN①BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出①AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案．【详解】解：①BE，CE分别是①ABC与①ACB的角平分线，①①MBE=①EBC，①NCE=①ECB，①MN①BC，①①MEB=①EBC，①NEC=①ECB，①①MBE=①MEB，①NCE=①NEC，①MB=ME，NC=NE，①AB=AC=4，①①AMN的周长=AM+ME+NE+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=4+4=8．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键．10．23【解析】【分析】利用含30°直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半的性质求得AB的长，然后利用勾股定理求解AC．【详解】解：如图：①在Rt①ABC中，①C＝90°，①A＝30°，BC＝2，①AB＝2BC＝4，①AC＝2222AB BC-=-=，4223①AC的长为23，故答案为：23．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．11．412【解析】【分析】过点A作AD①BC于点D，由等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，故可得出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点A作AD①BC于点D，则AD=h，①AB=AC=5dm，BC=6dm，①AD是BC的垂直平分线，①BD=12BC=3dm．在Rt①ABD中，AD=2222534AB BD-=-=dm，即h=4（dm）．S=164122⨯⨯=2dm故答案为：4，12．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．2【解析】【分析】因为x+1，2x+3，7是等腰三角形的三边长，但没有明确指明哪是腰，哪是底，因此要分类讨论．【详解】解：①当x+1=2x+3时，解得x=-2（不合题意，舍去）；①当x+1=7时，解得x=6，则等腰三角形的三边为：7、15、7，因为7+7=14＜15，不能构成三角形，故舍去；①当2x+3=7时，解得x=2，则等腰三角形的三边为：3、7、7，能构成三角形．所以x的值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．13．17【解析】【分析】分3cm为等腰三角形的腰和7cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【详解】解：分两种情况：当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17．故答案为：17．【点睛】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．14．19cm【解析】略15．12【解析】【分析】在CD上截取DE=AD，CF=CB，证明△ADP①①EDP（SAS），由全等三角形的性质得出①A=①DEP=120°，AP=PE，同理△CFP①①CBP（SAS），证出△PEF为等边三角形，求出AP 的长，则可得出答案．【详解】解：在CD上截取DE=AD，CF=CB，①PD 平分①ADC ，CP 平分①DCB ，①①ADP =①EDP ，①FCP =①PCB ，在△ADP 和△EDP 中，DE DA ADP EDP DP DP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ADP ①①EDP （SAS ），①①A =①DEP =120°，AP =PE ，同理△CFP ①①CBP （SAS ），①①B =①PFC =120°，PB =PF ，①①PEF =①PFE =60°，①①PEF 为等边三角形，①PE =PF ，①P A =PB ，设P A =PB =x ，则AD =2x ，EF =x ，①BC =3，DC =21，①2x +x +3=21，解得x =6，①AB =12．故答案为12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明△ADP ①①EDP 是解题的关键．16．（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）先证①EAF ＝①ECB ，再结合①AEF ＝①CEB ＝90°且AE ＝CE 利用全等三角形的判定得①AEF ①①CEB ；（2）由全等三角形的性质得AF ＝BC ，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC ＝2CD ，等量代换得出结论．【详解】（1）证明：①CE ①AB ，①①AEF ＝①CEB ＝90°．①①AFE +①EAF ＝90°，①AD ①BC ，①①ADC ＝90°，①①CFD +①ECB ＝90°，又①①AFE ＝①CFD ，①①EAF ＝①ECB ．在①AEF 和①CEB 中，90EAF ECB AE CE AEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ①①AEF ①①CEB （ASA ）；（2）①①AEF ①①CEB ，AF ＝12，①AF ＝BC ＝12，①AB ＝AC ，AD ①BC ，①CD ＝BD ＝12BC ＝6，①CD 的长为6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；以及HL （直角三角形的判定方法）．17．CD ＝6．【解析】【分析】先根据题意求出①B 、①C 、①DAC 的度数，然后再根据等腰三角形的判定与性质以及含30度直角三角形的性质即可即可．【详解】证明：①①ADC ＝60°，①BAD ＝30°，①①B＝①ADC﹣①BAD＝60°﹣30°＝30°＝①BAD，①BD＝AD＝3，①AB＝AC，①①B＝①C＝30°，①①BAC＝120°，①①DAC＝120°﹣30°＝90°，①CD＝2AD＝6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、含30度角直角三角形性质等知识，灵活应用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键．18．CD的长度为100m【解析】【分析】直接利用等边三角形的判定与性质得出BD的长，再利用勾股定理得出DC的长．【详解】解：连接BD，①AB＝AD＝60m，①A＝60°，①①ABD为等边三角形，①BD＝AB＝AD＝60m，且①ABD＝60°，①①ABC＝150°，①①DBC＝①ABC﹣①ABD＝90°，在Rt①CBD中，①DBC＝90°，BC＝80m，BD＝60m，根据勾股定理得：BC2+BD2＝CD2，即CD＝22BC BD＝100（m）答：CD的长度为100m．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，正确得出①BCD是直角三角形是解题关键．19．（1）33；（2）93．【解析】【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD＝3，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，（2）根据三角形的面积公式即可求三角形ABC的面积，即可解题．【详解】解：（1）①等边三角形ABC，AD为高线，①BD＝CD＝12BC＝1632⨯=，在直角三角形ABD中，①AD＝226333-=．（2）①BC＝6，AD＝33，①等边①ABC的面积＝12BC•AD＝12×6×33＝93．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键．20．（1）y＝15﹣12x（0＜x＜15）；（2）10cm【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的周长公式求出y与x的函数关系式，由三角形三边的关系可得取值范围；（2）若有一个角是60°则三角形是等边三角形，进而可得x的值．【详解】解：（1）∵等腰三角形的周长为30cm，腰长为ycm，底边长为xcm，∴2y+x＝30，∴y＝1512-x（0＜x＜15）；（2）若有一个角是60°则三角形是等边三角形，所以x＝3013⨯=10（cm）．答：x的值是10cm．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键．。

北师大八年级下《1.1等腰三角形》课时练习含答案解析

北师大八年级下《1.1等腰三角形》课时练习含答案解析

北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为6×32=33，∵33＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．。

八年级下册 北师大版第一章 等腰三角形(含答案)

八年级下册 北师大版第一章 等腰三角形(含答案)

八年级下册第一章 等腰三角形 考试题1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

AD1 BM C E2. 如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD3. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2BAC ∠=∠。

A 1 2D BCE34、.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个A 36° E DFBC5. 选择题：等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对6. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。

CA 1DB2 37. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.8. ABC ∆中，120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。

AE DO BC1 2八年级下册第一章 等腰三角形 答案1. 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。

因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝21∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝21∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）2.分析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。

(最新)数学八年级下册《 三角形的证明》单元综合检测试题(含答案)

(最新)数学八年级下册《 三角形的证明》单元综合检测试题(含答案)

第一章三角形的证明第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为()A．12 B．17或19C．17 D．192．用反证法证明命题：“如图1，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF.”证明的第一个步骤是()图1A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF3．已知下列命题：①若|x|＝3，则x＝3；②全等三角形的三组对应角相等；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；④有理数与数轴上的点一一对应．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交斜边AB于点D，交BC于点E，AB＝7.8，AC＝3.9，则图中等于60°的角有()图2A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，设△ABD，△BCD的面积分别为S1，S2，则S1∶S2等于()图3A ．2∶1 B.2∶1 C ．3∶2 D ．2∶ 36．如图4，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，ED 是AB 边的垂直平分线．若BD ＝BC ，则∠1的度数是( )图4A ．44°B ．46°C ．54°D ．56°7．如图5，△ABC 是等边三角形，AD ，CE 分别是BC ，AB 边上的高，且AD ，CE 相交于点O .若CE ＝1，则OD 的长是( )图5A.13B.12C. 2D. 3 8．如图6，在△ABC 中，AB ＝20 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发以每秒3 cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2 cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ 是以∠A 为顶角的等腰三角形时，运动的时间是( )图6A ．2.5秒B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒9．如图7，P 是等边三角形ABC 内的一点，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BP A ，连接PQ ，则以下结论错误的是( )图7A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°10．如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下列四个结论：图8①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到直线AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________命题．(填“真”或“假”)12．如图9，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的度数为________°.图913．如图10，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________．图1014．如图11，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC上任意一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.如果BC＝20 cm，那么DE＋DF＝________ cm.图1115．如图12，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的两个条件是________(用序号写出一种情形即可)．图1216．已知：如图13，O为平面直角坐标系中的坐标原点，四边形OABC为长方形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动．若△ODP是腰长为5的等腰三角形，则点P的坐标为________________．图13三、解答题(共52分)17．(5分)如图14所示，在△ABC中，∠C＝90°.(1)用圆规和直尺在AC上求作点P，使点P到点A，B的距离相等(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)当满足(1)的点P到AB，BC的距离相等时，求∠A的度数．图1418.(5分)如图15，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，且∠A＝30°，DE＝1 cm.求△ABC的面积．(结果保留根号)图1519．(6分)如图16，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，你能求出△BDE的周长吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．图1620．(6分)如图17，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O.现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个条件作为结论，写出一个正确．．的命题：命题的条件是______和______，命题的结论是______和______(均填序号)；(2)证明你写出的命题．已知：求证：证明：图1721．(7分)如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DE.求证：AF＝ED.图1822．(7分)如图19，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，E是AB的中点，连接DE.(1)求∠BAD的度数；(2)求∠B的度数；(3)求线段DE的长．图1923．(8分)已知∠MAN，AC平分∠MAN，试解决下列问题：(1)在图20①中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°.求证：AB＋AD＝AC.(2)在图②中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．图2024．(8分)如图21，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．(2)运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，请求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．图211．B 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11.假 12.3013.154 cm [解析] 设CD ＝x cm ，则易证得BD ＝AD ＝(10－x )cm.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得(10－x )2＝x 2＋52，解得x ＝154.14．10 [解析] 利用含30°角的直角三角形的性质得，DE ＋DF ＝12(BD ＋CD )＝12BC .15．答案不唯一，如①③16．(2，4)或(3，4)或(8，4) [解析] 当OD ＝PD (点P 在点D 的右边)时，根据题意画出图形， 如图①所示：过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q .在Rt △DPQ 中，PQ ＝4，PD ＝OD ＝12OA ＝5，根据勾股定理，得DQ ＝3，故OQ ＝OD ＋DQ ＝5＋3＝8，则P 1(8，4)；当PD ＝OD (点P 在点D 的左边)时，根据题意画出图形，如图②所示：过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q .在Rt △DPQ 中，PQ ＝4，PD ＝OD ＝5， 根据勾股定理，得QD ＝3，故OQ ＝OD －QD ＝5－3＝2，则P 2(2，4)； 当PO ＝OD 时，根据题意画出图形，如图③所示：过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q .在Rt △OPQ 中，OP ＝OD ＝5，PQ ＝4，根据勾股定理，得OQ ＝3，则P 3(3，4)．综上，满足题意的点P 的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．17．解：(1)图略．提示：作线段AB 的垂直平分线交AC 于点P .(2)连接BP .∵点P 到AB ，BC 的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC .又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A ＝PB ，∴∠A ＝∠ABP ，∴∠A ＝∠ABP ＝∠PBC ＝13×90°＝30°.18．解：∵DE 垂直平分AB ，∠A ＝30°，DE ＝1 cm ，∴AE ＝2 cm ，∴AD ＝22－12＝3(cm)，∴AB ＝2AD ＝2 3 cm.在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝ 3 cm ，∴AC ＝（2 3）2－（3）2＝3(cm)， ∴S △ABC ＝12×3×3＝32 3(cm 2)．19．解：能．∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠CAB ，∴DE ＝DC .在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，∵DC ＝DE ，AD ＝AD ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE (HL)，∴AC ＝AE .又∵AC ＝BC ，∴AE ＝BC ，∴△BDE 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝BC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB .∵AB ＝6 cm ，∴△BDE 的周长为6 cm.20．解：答案不唯一，如：(1)① ③ ② ④(2)已知：D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，BE 与CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD .求证：OB ＝OC ，BE ＝CD .证明：在△ABE 和△ACD 中，∵∠ABE ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD (ASA)，∴BE ＝CD .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝∠ABC －∠ABE ＝∠CBE ，∴OB ＝OC .21．证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AE ＝ED .∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAO ＝∠F AO .∵∠AOE ＝∠AOF ＝90°，AO ＝AO ，∠EAO ＝∠F AO ，∴△AEO ≌△AFO ，∴AE ＝AF ，∴AF ＝ED .22．解：(1)∵∠BAC ＝100°，且AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝50°.(2)在等腰三角形ABC 中，∠B ＝180°－100°2＝40°. (3)∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中线，∴D 是BC 的中点．又∵E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AC ＝4. 23．解：(1)证明：∵∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ，∴∠CAD ＝∠CAB ＝60°.又∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB ＝30°，∴AD ＝12AC ，AB ＝12AC ，∴AB ＋AD ＝12AC ＋12AC ＝AC .(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如图，过点C 分别作CE ⊥AM 于点E ，CF ⊥AN 于点F ，则∠CED ＝∠CFB ＝90°.∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF .∵∠CBF ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠CDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠CBF . 在△CDE 和△CBF 中，∵∠CDE ＝∠CBF ，∠CED ＝∠CFB ，CE ＝CF ，∴△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF .∵∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ，∴∠MAC ＝∠NAC ＝60°，∴∠ECA ＝∠FCA ＝30°.在Rt △ACE 和Rt △ACF 中，AE ＝12AC ，AF ＝12AC ，∴AD ＋AB ＝AD ＋AF ＋BF ＝AD ＋AF ＋DE ＝AE ＋AF ＝12AC ＋12AC ＝AC ，即AB ＋AD ＝AC .24．解：(1)∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵∠BQD ＝30°，∴∠QPC ＝90°.设AP ＝x ，则PC ＝6－x ，QB ＝x ，∴QC ＝QB ＋BC ＝x ＋6.∵在Rt △QCP 中，∠BQD ＝30°，∴PC ＝12QC ，即6－x ＝12(x ＋6)，解得x ＝2，∴当∠BQD ＝30°时，AP ＝2.(2)线段DE 的长不会发生变化．如图，过点Q 作QF ⊥AB ，交直线AB 于点F ，连接QE ，PF . 又∵PE ⊥AB 于点E ，∴∠DFQ ＝∠AEP ＝90°.∵点P ，Q 的运动速度相同，∴AP ＝BQ .∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠FBQ ＝60°.在△APE 和△BQF 中，∵∠AEP ＝∠BFQ ，∠A ＝∠FBQ ，AP ＝BQ ，∴△APE ≌△BQF (AAS)，∴AE ＝BF ，PE ＝QF ，易证△QFD ≌△PED ，∴DE ＝DF ，∴DE ＝12EF .∵EF ＝BE ＋BF ＝BE ＋AE ＝AB ，∴DE ＝12AB . 又∵等边三角形ABC 的边长为6，∴DE ＝3.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一章三角形的证明检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（）A.157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或125.如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④△≌△．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（）A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45D.110.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果cm，那么△的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.14.如图，在△ABC中，，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离是_________.15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则_________，_________.16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.三、解答题（共46分）19.（6分）如图，在△ABC 中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC ，且交∠的平分线于点D ，求证：.21.（6分）如图所示，在四边形中，平分∠.求证：.22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D 的同侧，若2，求BE的长. 23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．24.（8分）（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.第24题图25.（8分）已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．第一章三角形的证明检测题参考答案1.B 解析：只有②④正确.2.A 解析：∵∠BAC =90°，AB =3，AC =4， ∴222234 5BC AB AC =+=+=， ∴ BC 边上的高=123455⨯÷=. ∵ AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB ，AC 的距离相等，设为h ， 则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =， 1121123 2725ABDS BD ∆=⨯⨯=⨯，解得157BD =．故选A ． 3.B 解析：因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以所以4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.5.C 解析：因为，所以△≌△（），所以，所以 ，即故③正确.又因为 ，所以△≌△（ASA ）， 所以 ，故①正确.由△≌△，知，又因为，所以△≌△，故④正确.由于条件不足，无法证得② 故正确的结论有：①③④.6.D 解析：因为∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3， 所以△ABC 为直角三角形，且∠C 为直角. 又因为最短边 cm ，则最长边 cm.7.D 解析：添加A 选项中条件可用“AAS ”判定两个三角形全等； 添加B 选项中条件可用“SAS ”判定两个三角形全等；添加C 选项中条件可用“HL ”判定两个三角形全等.故选D ． 8.D 解析：在△ABC 中，∵ ∠A =36°，AB =AC ， ∴ △ABC 是等腰三角形，∠ABC =∠C =72°. ∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD =36°，∴ ∠A =∠ABD ，∠CDB =∠A +∠ABD ＝36°+36°=72°， ∴ ∠C ＝∠CDB ，∴ △ABD ，△CBD 都是等腰三角形. ∴ BC =BD .∵ BE =BC ，∴ BD =BE ， ∴ △EBD 是等腰三角形，∴ ∠BED ＝=＝72°.在△AED 中，∵ ∠A =36°，∠BED ＝∠A +∠ADE ，∴ ∠ADE ＝∠BED -∠A ＝72°-36°＝36°，∴ ∠ADE =∠A =36°，∴ △AED 是等腰三角形. ∴ 图中共有5个等腰三角形.9.B 解析：设此直角三角形为△ABC ，其中因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以又因为直角三角形的周长是624+，所以62=+b a . 两边平方，得24)(2=+b a ，即24222=++ab b a . 由勾股定理知16222==+c b a ， 所以4=ab ，所以221=ab . 10.D 解析：因为垂直平分，所以.所以△的周长（cm ）.11.100° 解析:如图所示，由AB =AC ，AO 平分∠BAC ，得AO 所在直线是线段BC 的垂直平分线，连接OB ，则OB=OA=OC ，所以∠OAB =∠OBA =×50°=25°，得∠BOA=∠COA=1802525130,︒-︒-︒=︒ ∠BOC=360°-∠BOA -∠COA =100°. 所以∠OBC=∠OCB=1801002︒-︒=40°.由于EO=EC ，故∠OEC =180°-2×40°=100°.12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部. 13.15 解析：在Rt △AED 中，∠ADE ＝40°，所以∠A ＝50°. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝（180°－50°）÷2＝65°. 因为DE 垂直平分AB ，所以DA ＝DB ， 所以∠DBE ＝∠A ＝50°. 所以∠DBC ＝65°－50°＝15°.14.20 cm 解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案. 15.251∶3 解析：因为，F 是AB 的中点，所以.在Rt △中，因为，所以.又，所.16.4∶3 解析：如图所示，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， 垂足分别为点M 和点N .∵ AD 平分∠BAC ，∴ DM ＝DN . ∵AB ×DM ， AC ×DN ，∴. 第16题答图17.60︒ 解析:∵ ∠BAC=120︒，AB=AC ， ∴ ∠B=∠C=180********.22BAC ︒-∠︒-︒==︒∵ AC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴ AD=CD .∴ 30,C DAC ∠=∠=︒∴ 303060.ADB C DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒18. 85 解析:∵ ∠BDM =180°-∠ADF -∠FDE =180°-100°-30°=50°， ∴ ∠BMD =180°-∠BDM -∠B =180°-50°-45°=85°. 19.证明：∵，∴∥，∴.又∵为∠的平分线，∴，∴，∴.20. 解：应用：若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB ＝∠PBC . ∵ CD 为等边三角形的高，∴ AD ＝BD ，∠PCB ＝30°， ∴ ∠PBD ＝∠PBC ＝30°，∴∴∴与已知PD ＝AB 矛盾，∴ PB≠PC . 若PA ＝PC ，连接PA ，同理，可得PA≠PC.若PA ＝PB ，由PD ＝AB ，得PD ＝BD ，∴ ∠BPD ＝45°，∴∠APB ＝90°. 探究：若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2+32=(4-x )2，∴ x ＝ ，即PA ＝. 若PA ＝PC ，则PA ＝2.若PA ＝PB ，由图（2）知，在Rt △PAB 中，这种情况不可能.故PA ＝2或.21.证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ， 过点D 作于点F .因为BD 平分∠ABC ，所以.在Rt △EAD 和Rt △FCD 中，所以Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ）.所以∠=∠.因为∠∠80°，所以∠.22.解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，所以，∠∠60°.所以∠∠∠∠，即∠∠.在△和△中，因为所以△≌△，所以.又，所以.在等腰直角△中，2，故.23.解：，BE⊥EC.证明：∵，点D是AC的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.24.证明：∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠EAC＝∠B.又∵∠BAD＝∠ACE＝90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD＝CE.25.证明：∵，∴∠∠．∵于点，∴∠∠．∴∠∠∠∠．∴∠∠．∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.。

相关文档
最新文档