2020北京交大附中高一(上)期中数学
2019-2020学年北京市首师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版(B)
2019-2020 学年北京市首师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版(B)一、单选题1．已知集合 ={ | ＞2}， ={ （| -1）（ -3）＜0}，则 ∩ = A x x B x x x A B （）x x A ．{ | ＞1} B ．{ |2＜ ＜3}x x C ．{ |1＜ ＜3}x x D ．{ | ＞2 或 ＜3} x xx【答案】B【解析】求出集合 ，进而可求 ∩ . A B B 【详解】解：由已知得 ={ |1＜ ＜3}，B x x则 ∩ ={ |2＜ ＜3}， A B x x 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．已知命题 ：∃ ＞0，方 程 - + =0 有解，则¬ 为（ ） p cx 2 xc p A ．∀ ＞0，方程 - + =0 无解 B ．∀ ≤0，方程 - + =0 c x 2 x c c x 2 x c 有解C ．∃ ＞0，方程 - + =0 无解D ．∃ ≤0，方 程 - + =0 c x 2 x c c x 2 x c 有解 【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p：∃c＞0，方程x-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方2程x-x+c=0无解,2故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在上的函数（）的图像是连续不断的，R f x且有如下对应值表：1234x6.12.9-3.5-1（）f x那么函数（）一定存在零点的区间是（）f xA．（-∞，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知，f(1)f(2)0,f(2)f(3)0,f(3)f(4)0由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞） 上单调递减的（ ）3A ． =B ． =y y x 2 x C ． = +1y x D ． =-yx【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判 断. 【详解】对A. = 在（0,+∞）上单调递增，故排除；y x 23对B. = ，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单y x 调递减；对C. = +1，其为非奇非偶函数，故排除；y x 对D. =- ，其为非奇非偶函数，故排除， y x 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若 ＞ ，则下列四个不等式中必成立的是（）a bA ． ＞ ac bcB ．a ＞ b c cC ． ＞D ． ＞ b a 2 b 2 a 21 c21c【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成 立. 【详解】A.当 时，不等式不成立； c 0B.当 时，不等式不成立；c 0 C.当 时，不等式不成立；a1,b 2 D.因为 ，故不等式必成立，2 1 0 c 故选：D.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不 等式的基本性质，是基础题. 6．函数 ( )= 的最大值为 （ ） x f x x 125 12A ．B ．C ． 2D ．12【答案】Bx1 1 2(x)【解析】本小题主要考查均值定理．f1 x 1xx1 （当且仅 x，即 时取等号．故选B ． x 1x7． 是命题“， ”为真命题的(5 x 1,2 )a x 2 aA ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 【答案】AB ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】“ ， ”等价于 大于等于 的最大值，a2x1,2 x 2a 0 x 由 的范围求得 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充 x 2 x 分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“ ， ”等价于 大于等于的最大值，a2xx 1,2 x 2 a 0 而 ，有 ，所以，a4 x1,2 x 2 1, 4 由 ，可得 成立，即 ，成立； a 4 a 5 x1,2 0 x 2a反之， ， 成立，可得，不能推出 ．a5x 1,2 4 x 2 a 0 a是命题“， x 1,2”为真命题的充分而不必要 a 5x 2 a条件，故选A ． 【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件 的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论分别是什么，然后直接依据定义、 q p 定理、性质尝试pq ,q p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利 用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为 判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系 来处理. 8．已知奇函数 的图像关于直线 对称，且 ，y f (x) 2 ( ) 3 f mx 则的值为（）f (m 4)1 3A ．3B ．0C ．-3D ．【答案】C【解析】由函数的图象关于直线 对称，可得y f (x)x2，再结合 为奇函数，求得 的值. f (m) f (4 m) f (x) f (m 4) y 【详解】 解：由函数的图象关于直线 对称，可得y f (x)x2 ，f (m) f (4 m)再结合 为奇函数，可得 (m) f (4 m) f (m4) 3，y f (x) 求得f (m4) 3，故选：C. f 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称 性，属于基础题. 9．已知函数 ,若对任意 ,且 ,不等f x ax x 2 x 1, x2,xx 212f xf x恒成立,则实数 的取值范围是a0 12 x x121 11 41 4A ．B ．C ．D ．,,, ,22【答案】D 【解析】对不等式f xf x 进行化简，转化为a （x +x ） 2 11 2x x121﹣1＞0 恒成立，再将不等式变形，得到a ＞ 恒成立，x x121从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出ax x12的取值范围． 【详解】f xf x 212 x 不妨设x ＞x ≥2，不等式 = ax x ax 12 1 2 22 1 x xx x 1122a x xx xxx==a （x +x ）﹣1， 2121 2 11 2x x12f xf x ∵对任意x ，x ∈[2，+∞），且x ≠x ，不等式 ＞2 11 2 1 2 x x120 恒成立，1∴x ＞x ≥2 时，a （x +x ）﹣1＞0，即a ＞ 恒成立 2 1 1 2 x x12∵x ＞x ≥2 2 11 1 4＜ x x121 1 ∴a≥ ，即a 的取值范围为[ ，+∞）；44故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型， 本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范 围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化 为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为F xF x ，或是的形式，即求的形式，即求 0F x 0maxF x ，求参数取值.min 10．给定条件：①∃ ∈ ， （- ）=- （ ）；②∀ ∈ ， x Rx R f x f x 0 0 0 （1- ）=- （1+ ）.下列三个函数： = ， =| -1|， f x f x y x 3 y x1, 1 = x 2 x 中，同时满足条件①②的函数个数是 y4x 3, x 1 x2 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可 判断 = ；根 据 的解的情况，可判断=| -1|； y x 3 x x 1 0 1 y x 01,1= x 2x 满足①②. 最后验证y 4x 3, x 1x2 【详解】解：令g(x)f(1x)，则，g(x)f(1x)f(1x)g(x)所以为偶函数，关于对称，g(x)(0,0)将的图象向右平移一个单位可得的图象，故f x() g(x)f(1x)图象关于对称，故可排除；(1,0)f(x)x3y若存在一个使得x，即，该方x 1x10x1x 100000程无解，故不满足②，排除；y|x 1|1,1y x2x对于，4x3,x 1x2当时，f (1)(1)210,f(1)(143)0，其满足①，x1画出图象如下：由图象可知，满足②.故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于对称是关键，属于中档题.(1,0)二、填空题2711．计算+=____________.20.0001123()27348134【答案】【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】2原式 3 23 9 13，142 30.14310 9 4 43313 故答案为： .4【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题. 1 12．函数y=2x1+的定义域为____________.x 11 【答案】[ ，1）∪（1，+∞）2【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不 等式组，求出x 的范围. 【详解】2x 1 0 1解：要使函数有意义需要 解得 且， x x 1x 1 0 2 1 故答案为：[ ，1）∪（1，+∞）.2【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于 0；分母非0；对数的底数大于0 且不为1，真数大于0 等 方面考虑.．若函数 （ ） 在区间 ， 上的最大值为 [a a+2]13 f x =x -2x+1 2 ，则 的值为 a4 ____________.【答案】-1 或1【解析】对 分类讨论，利用函数 （ ）= -2 +1 在区间 a f x x 2 x [a ，a+2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.【详解】 解：由题意，当 时，，即 f (a 2) 4， (a 2) 2(a 2) 1 4 a0 2 ；(a 1) 4,a 1 2 当 时，，即 f (a) 4，a 0 a22a 1 4 ；(a 1) 4,a 1 2 综上知， 的值为1 或−1. a 故答案为：1 或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数 学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.1 ．如果关于 的方程 （ ） 有两个大于 的 14 + -1 - =0 x2 m x m x 2正根，则实数 的取值范围为 m____________.1 【答案】（-∞，- ）21【解析】方程有两个大于 的根，据此可以列出不等式组2求得 的取值范围即可. m 【详解】解：根据题意， 应当满足条件m( 1)2 4 0m m 2 1 0 m 2 m1 m 1 1 即： ，解得： ， m0 m 2 2 2 1 2 1 1 m(m 1) m 04 2 1 实数 的取值范围：（-∞，- ）. m21 故答案为：（-∞，- ）.2【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正 确的运用判别式及韦达定理，是中档题. ．能说明“若 对任意的都成立，则 在15 f (x)g(x) x [0, 2]( ) f x上的最小值大于 在 上的最大值”为假命题的一[0,2] g (x ) [0,2] 对函数可以是f (x) ____， _______。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B选择题（本大题共10小题，共50.0分）设集^ = {x|x>l}, B = {X \X 2-2X -3<0}.则AHB =（）A. {x\x < —1}B. {x\x < 1}C. {x| — 1 < % < 1}D. {x|l < % < 3}已知命题p ： 3% > sinx > 1,则卡为（）A. Vx > 7, sinx< 1 B ・ Vx <sinx < 1 C ・ 3% > 7, sinx < 1 D ・ V £ sinx < 1函数几幻=疋一5的零点所在的区间是（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D.(勺5)下列函数中，既是偶函数，又在(-QO.0)上单调递减的函数是()命题 7 G [-1,2], %2-a> 0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A. a > 4 B ・ a < -1 C ・ a S 0 D ・ a S 1 已知函数门咒)为偶函数，且函数f(x)与8(幻的图象关于直线y =兀对称，若g(2) = 3,贝0/(-3)= ()A. —2B. 2C. —3D. 3已知函数/'(x)=x — 占，g(x) =x 2 - 2ax + 4,若任意七 G [0,1],存在x 2 £ [X2], (x x ) > 0(牝)，则实数“的取值范围为()•9 A. a > 3 B ・ a >- C ・ a > 2D ・ a >44 已知函数Z(x)=xk —2|,直线y = a 与函数f(x)的图象有三个交点A 、B 、C,它们的横坐标分 别为X], x 2f x 3 ,则%! + %2 + x 3的取值范围是()A. (3,4 + 血)B. (4,3+ V2)C. (3,4+ V2]D. R填空题(本大题共6小题，共30.0分) 计算：(扌)丄 + 8：+ (2019)0 = ______函数y = (% + 2)° — <2 + X 的泄义域是 _ .函数f(x) = -X 2 + 6% - 10在区间[0,4]的最大值是 ________1. 2. 3. 4. 5.6.7.& 9. 10. —\11. 12.13. A. y = -%2 B ・ y = 2"|x| c. y = 已知a VO, bV —「那么下列不等式成立的是()A. a>£>2 B ・-A* > - > a C ・-> a > -^ 若% < 0,则函数y = x + ?有()A.最小值4B.最大值4C.最小值-4 D ・ y = lg|%|D ・ l>^>aD.最大值-414.若关于A-的方程cos?% - sinx + a = 0在[0,兀]内有解，则实数"的取值范国是______ •15.已知函(x) =e x-x, g(X)=x2-bx+4,若对任意G (-1,1),存在巾G [1,2],使/(%!)>0(X2)，则实数b的取值范围为________ •16.已知函数/'(%) = {蔦；；'I 1若直线卩=皿与函数/'(x)的图象只有一个交点，则实数加的取值范围是 _____ .三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)17.设集合力={咒哙<2-”<4}, B = {x\x2 - 3mx + 2m2 - m - 1 < 0}・(1)当%GZ时，求人的非空真子集的个数;(2)若3 = 0,求m的取值范I科：(3)若求〃】的取值范用・18.已知函^(/(%) = 2%2 - 4% - 5.⑴当xW[_2,2]时,求函数f(x)的最值;(2)当x G [t,t+ 1]时，求函数fU)的最小值g(t);(3)在第(2)问的基础上，求的最小值.19.某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图)，一条海岸线AO{£城市O的正东方向, 另一条海岸线0B在城市0北偏东0(tan8 =扌)方向，位于城市0北偏东f 一a(cosa =春)方向15如2的P 处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知集合，，则A ∩B 为( )A. B.C.D.2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A. a <b <√ab <a+b 2B. a <√ab <a+b 2<bC. a <√ab <b <a+b 2D. √ab <a <a+b 2<b3. 下列函数中，为奇函数的是( )A. y =2x +12x B. y =x ，x ∈{0,1}C. y =x ⋅sinxD. y ={1,x <00,x =0−1,x >04. 已知条件p:(x −m)(x −m −3)>0；条件若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−7)∪(1,+∞)B. (−∞,−7]∪[1,+∞)C. (−7,1)D. [−7,1]5. 把函数y =1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得函数的图象是( )A.B.C.D.6. 关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是 ( )A. m <−2B. m <0C. m <1D. m >07. 把集合{x|x 2−4x −5=0}用列举法表示为( )A. {x =−1,x =5}B. {x|x =−1或x =5}C. {x 2−4x −5=0}D. {−1,5} 8. 设集合M ={x|x ≤2√3}，a =√11+b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( )A. a ⫋MB. a ∉MC. {a}∈MD. {a}⫋M9. 下列不等式：①a 2+1>2a ；√ab ≤2；③x 2+1x +1≥1，其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 若集合M ={x|x 2+x −6=0}，N ={x|ax +1=0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．12. 已知函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是______．13. f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，则f(2017)=______．14. 不等式ax 2+bx +c >0的解集是{x|−3<x <2}，则ab+c = ． 15. 给出下列四个结论：①函数f(x)=√2−x 2为奇函数；②函数y =2 √x 的值域是(1,+∞)； ③函数y =1x 在定义域内是减函数；④若函数f(2x )的定义域为[1,2]，则函数y =f (x2)的定义域为[4,8]． 其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号)16. 有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有__________人17. 已知函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．18. 若P =√a +7−√a +6，Q =√a +10−√a +3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是________． 19. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},B ={2,3}，则A⋂(∁U B)= ________ ． 20. 若正实数a ，b 满足2a +b =1，则1a +12b 的最小值为_________．三、解答题（本大题共12小题，共60.0分）21.已知全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．(1)若k=1，求A∩∁U B；(2)若A∩B=⌀，求实数k的取值范围．22.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时，f(x)>0，且f(12)=1；(1)证明：y=f(x)是定义域上的减函数；(2)解不等式f(x−3)>f(1x)−2．23.(1)已知x>0，y>0，1x +2y+1=2，求2x+y的最小值．(2)已知a>0，b>0，a+b=1，比较8−1a 与1b+1ab的大小，并说明理由．24.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α0，β>0}，求不等式cx2+bx+a<0的解集．25.(1)求函数y=x2+8x−1(x>1)的最小值．(2)求函数y=x2+2021x+4042x+2的值域．26.(1)已知，求4a+1+a的最小值;(2)已知，且2a+b=1，求1a +1b的最小值．27.(1)若x，y>0，且2x+8y−xy=0，求x+y的最小值;(2)若−4<x<1，求x2−2x+22x−2的最大值．28. (1)已知x >1，y =x +1x−1，求函数的最小值；(2)已知a >0，b >0，函数f(x)=alog 2x +b 的图象经过点(4,12)，求1a +2b 的最小值．29. 求下列不等式的解集：(1)−x 2+4x +5<0； (2)2x−13x+1>0．30. (1)设x,y 是正实数，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．(2)已知x <54，求函数y =4x −2+14x−5的最大值．31.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0(a∈R)．(1)若ax2−3x+2>0在区间[1 , 3]上恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式ax2−3x+2>5−ax的解集．32.已知关于的一元二次方程x2−(m+1)x+(2m−1)=0．(1)若x=4是方程的一个实数根，求方程的另一个实数根；(2)若该方程有两个不相等的实数根x1,x2，且1x12+1x22=3，求实数m的值；(3)若m=0，求x3−1x3的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据交集的定义即可求解．【解答】解：因为集合，，所以，故选A．2.答案：B解析：【分析】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．因为0<a<b，作差得到a−√ab=√a(√a−√b)<0，得到a<√ab；b−a+b2=b−a2>0，得到b>a+b 2；由基本不等式得到a+b2>√ab，从而得到大小关系．【解答】解：因为0<a<b，所以a−√ab=√a(√a−√b)<0，故a<√ab；因为b−a+b2=b−a2>0，所以b>a+b2；由基本不等式知a+b2>√ab，综上所述，a<√ab<a+b2<b，故选B．3.答案：D解析：解：A.设f(x)=2x+12x=2x+2−x，则f(−x)=f(x)为偶函数．B.定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数函数．C.y=xsinx为偶函数．D .满足f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数． 故选：D ．根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义和常见函数的奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析： 【分析】分别解出p ，q 的不等式，根据p 是q 的必要不充分条件，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】解：条件p ：(x −m)(x −m −3)>0；解得：m +3<x ，或x <m ． 条件q ：x 2+3x −4<0.解得−4<x <1，∵p 是q 的必要不充分条件，∴1≤m ，或m +3≤−4，解得m ≥1或m ≤−7． 则实数m 的取值范围是(−∞,−7]∪[1,+∞)． 故选：B ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．把函数y =1x 的图象先经过左右平移得到y =1x−1的图象，再经过上下平移得到y =1x−1+1的图象． 【解答】解：将函数y =1x 的图象向右平移1个单位，得到y =1x−1的图象， 再把y =1x−1的图象向上平移一个单位，即得到y =1x−1+1的图象， 图象关于点(1,1)对称，当x =0时，y =0， 故选项A 的图象符合， 故选A ．6.答案：A解析：【分析】本题考查一元二次方程解的问题，属于基础题．方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m的取值范围即可．【解答】解：方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m<−2．故选A．7.答案：D解析：解：根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，用列举法表示可得{−1,5}；故选：D．根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，即可得{x|x2−4x−5=0}={−1,5}，即可得答案．本题考查集合的表示法，注意正确求解一元二次方程．8.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，属基础题．由，所以a∉M．【解答】解：判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．，∴a∈M，故{a}⫋M．故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式逐项分析判断即可．【解答】解：①a =1时，a 2+1>2a 不成立，①错误； ②a >0，b >0时，√ab≥√ab √ab =2，当且仅当a =b 时取等号，故②错误；③x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1−1≥2−1=1，当且仅当x =0时，等号成立，③正确；因此正确的个数是1． 故选B ．10.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].11.答案：{0,−12,13}解析： 【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，集合M ={x|x 2+x −6=0}，分别解出集合M 最简单的形式，然后再根据N ⊆M ，求出k 的值，属基础题． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2+x −6=0}，∴集合M ={2,−3}， ∵N ⊆M ，N ={x|ax +1=0}，∴有N =Φ或N ={2}或N ={−3}三种情况， 当N =Φ时，可得a =0，此时N =Φ；当N ={2}时，∵N ={x|ax +1=0}，∴a =−12； 当N ={−3}时，a =13，∴a 的可能取值组成的集合为{0,−12,13}， 故答案为{0,−12,13}.12.答案：(−1,−12)解析： 【分析】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：∵函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，∴令g(x)=0，则f (x )−kx +1=0，即f (x )=kx −1， 对于f (x )=xlnx −2x (x >0)，f ′(x )=lnx −1， 当0<x <e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 易知直线y =kx −1恒过点A(0,−1)，如图，设直线AC 与y =xlnx −2x 相切于点C(x 0,x 0lnx 0−2x 0)， 又y ′=lnx −1，所以直线AC 的方程为y −(x 0lnx 0−2x 0)=(lnx 0−1)(x −x 0)， 直线AC 经过A(0,−1)，所以x 0=1，此时k AC =ln1−1=−1，设直线AB 与y =x 2+32x (x ≤0)相切于点B(x,x 2+32x)，y ′=2x +32, 故2x +32=x 2+32x+1x−0,解得，所以k AB =2×(−1)+32=−12， 所以若要f (x )=kx −1有四个零点，结合函数图象，可得实数k 的取值范围是(−1,−12)， 故答案为(−1,−12)．13.答案：√22解析： 【分析】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，函数的周期性的应用，难度不大，属于基础题． 由已知中f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，得到函数的周期，将x =2017代入可得答案．解：∵f(x)={cosπ4x,x<0f(x−2),x≥0，x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f(2017)=f(2015)=f(2013)=⋯=f(1)=f(−1)=cos(−π4)=√22，故答案为：√22．14.答案：−15解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，可得−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，∴−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，∴{−3+2=−ba −3×2=ca，即ba =1,ca=−6．则b+ca =ba+ca=1−6=−5，∴ab+c =−15．故答案为−15．15.答案：①④解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的定义域值域、函数的单调性，根据条件逐项判断真假即可，属中档题．【解答】解：①由2−x2>0，得−√2<x<√2，则函数f(x)的定义域为(−√2,√2)，所以函数f(x)=√2−x2=√2−x2，则f(−x)=√2−x 2=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故①正确； ②y =2√x ≥20=1，即函数的值域是[1,+∞)，故②错误； ③函数y =1x 在定义域内不是单调函数，故③错误；④若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，即函数f(x)的定义域为[2,4]， 由2≤x2≤4，得4≤x ≤8，即函数y =f (x2)的定义域为[4,8]，故④正确． 故答案为①④．16.答案：2解析：设两种都没买的有x 人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∵6+5+2+x =15，∴x =2．17.答案：[−23,0)解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于中档题．根据题意，由函数单调性的定义分析可得{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则有{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1， 解可得：−23≤a <0， 即a 的取值范围为[−23,0)； 故答案为：[−23,0)．18.答案：P <Q解析： 【分析】本题考查了平方作差比较两个数的大小，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：因为a≥0，所以P2−Q2=(√a+7−√a+6)2−(√a+10−√a+3)2=−2√a+7×√a+6+2√a+10×√a+3=2(√a2+13a+30−√a2+13a+42)，因为a2+13a+30−(a2+13a+42)=−12<0，所以P<Q．故答案为P<Q．19.答案：｛1｝解析：【分析】本题主要考查了集合的分类，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握集合的分类，元素与集合的关系的计算，根据已知及集合的分类，元素与集合的关系的计算，求出C U B的值，求出的A∩(C U B)的值．【解答】解：∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3}，∴C U B=｛1，4，5｝，∴A⋂(∁U B)=｛1｝．故答案为｛1｝．20.答案：92解析：【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．把1a +12b看作(1a+12b)⋅1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：1a +12b=(1+1)(2a+b)=2+12+ba+ab=52+ba+ab．∵a，b是正实数，∴52+ba+ab≥52+2√ba⋅ab=92．即1a +12b的最小值为92．当且仅当{ba=ab2a+b=1，即a=b=13时“=”成立．故答案为92．21.答案：解：(1)∵k=1时，全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−1)≥0}={x|x≥2或x≤1}．∴C U B={x|1<x<2}，∴A∩∁U B={x|1<x<2}．(2)当k≥2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．A∩B=⌀，当k<2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}={x|x≤k，或x≥2}，∵A∩B=⌀，∴k<−1．∴实数k的取值范围是(−∞,−1)∪[2，+∞)．解析：(1)k=1时，求出B={x≥2或x≤1}，C U B={x|1<x<2}，由此能求出A∩∁U B={x|1< x<2}．(2)当k≥2时，A∩B=⌀，当k<2时，B={x|x≤k，或x≥2}，由A∩B=⌀，得k<−1.由此能求出实数k的取值范围．本题考查补集、交集的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．22.答案：解：(1)证明：设0<x1<x2，则0<x1x2<1，由题意当x<1时，f(x)>0，可得f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以y =f(x)是(0,+∞)上的减函数；(2)由f(12)=1，则f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2， 由f(x −3)>f(1x )−2得f(x −3)+2>f(1x )， 即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x)，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数， 得0<x−34<1x，解得3<x <4． 则原不等式的解集为(3,4)．解析：(1)应用单调性的定义证明，注意取值，作差，变形和运用已知条件，定符号，下结论； (2)由f(12)=1，可得f(14)=2，原不等式即为即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x )，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数，可得0<x−34<1x ，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的单调性的证明和应用，考查赋值法和分式不等式的解法，属于中档题和易错题．23.答案：解：(1)由x ，y >0，可得2x +y +1=(2x +y +1)(12x +1y+1)=2+y+12x+2xy+1≥4(x =y =1等号成立)，可得2x +y ≥3，即2x +y 的最小值为3； (2)8−1a ≤1b +1ab ．理由：由a >0，b >0，a +b =1≥2√ab ， 即有ab ≤14， 则1a +1b +1ab =a+b+1ab =2ab ≥8则8−1a ≤1b +1ab ．解析：(1)由题意可得12x +1y+1=1(a,y >0)，运用乘1法和基本不等式可得2x +y +1的最小值，进而得到2x +y 的最小值；(2)结论：8−1a ≤1b +1ab .运用基本不等式可得ab 的范围，再由作差法，得到1a +1b +1ab ≥8，即可得到结论．本题考查基本不等式的运用：求最值和比较大小，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．24.答案：解：∵ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β}，∴a <0，且α，β是方程ax 2+bx +c =0的两根，∴αβ=c a ，α+β=−ba ，∴c =a ·αβ，b =−a(α+β)，代入cx 2+bx +a <0，得a ·αβx 2−a(α+β)x +a <0， 即αβx 2−(α+β)x +1>0，∵αβ>0，∴x 2−(1α+1β)x +1αβ>0， ∵方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根为1α，1β， 且1α>1β，∴不等式cx 2+bx +a <0的解集为 {x|x >1α或x <1β}．解析：本题考查一元二次不等式的解法，由于不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β,α>0,β>0}，通过韦达定理，将b c ,ac 用α，β表示，得出 1α，1β为方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根，可解不等式．25.答案：解：(1)y =x 2+8x−1=x 2−1+9x−1=(x +1)+9x−1=(x −1)+9x−1+2．∵x >1，∴x −1>0．∴(x −1)+9x−1+2≥2√(x −1)·9x−1+2=8． 当且仅当x −1=9x−1，即x =4时等号成立，所以函数y =x 2+8x−1(x >1)的最小值为8．(2)y =x 2+2021x+4042x+2=(x+2)2+2017(x+2)+4x+2=x +2+4x+2+2017．当x >−2时，y ≥2√(x +2)·4x+2+2017=2021，当x <−2时，y =−[−(x +2)+4−(x+2)]+2017≤2013， 故y =x 2+2021x+4042x+2的值域为：y ≤2013或y ≥2021．解析：本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．26.答案：解(1)∵a > −1，∴a +1>0.由基本不等式，得4a+1+a =4a+1+a +1−1≥ 2√4a+1·(a +1)−1=2√4−1=3．当且仅当4a+1=a +1，即a =1时，等号成立． ∴4a+1+a 的最小值为3．(2)∵a、，且2a+b=1，∴1a +1b=2a+ba+2a+bb=3+(ba+2ab)≥3+2√2．当且仅当ba =2ab，即a=1−√22，b=√2−1时等号成立．∴1a +1b的最小值为3+2√2．解析：本题主要考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于基础题．(1)由题意得4a+1+a=4a+1+a+1−1，再利用基本不等式的性质求出最小值即可；(2)灵活利用2a+b=1，1a +1b=2a+ba+2a+bb，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．27.答案：解：(1)∵2x+8y−xy=0，∴2y +8x=1．∴x+y=(x+y)(2y +8x)=10+8yx+2xy≥10+2√8yx×2xy=18，当且仅当x=2y=12时取等号，∴x+y的最小值是18．(2)∵−4<x<1，∴x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]≤−12×2√(1−x)×11−x=−1，当且仅当x=0时取等号，∴x2−2x+22x−2的最大值是−1．解析：本题考查基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的性质及其应用是解题的关键．(1)由题意得，2y +8x=1，则x+y=(x+y)(2y+8x)=10+8yx+2xy，利用基本不等式即可求解；(2)由题意，x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]，利用基本不等式即可求解．28.答案：解：(1)因为x>1，所以x−1>0，从而y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x=2时取的最小值3；(2)∵a>0，b>0，函数的图象经过点(4,12)，∴2a+b=12，则1a+2b=2(1a+2b)(2a +b)=8+2(b a+4a b)≥8+4√b a⋅4a b=16，当且仅当b =2a =14时取最小值为16．解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． (1)由已知可得，y =x +1x−1=x −+1x−1+1，利用基本不等式即可求解；(2)由已知可得，2a +b =12，从而可得1a +2b =2(1a +2b )(2a +b)，利用基本不等式即可求解．29.答案：解：(1)−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，即(x −5)(x +1)>0， 解得x <−1或x >5，故不等式的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)， (2)由2x−13x+1>0可得(2x −1)(3x +1)>0， 即(x −12)(x +13)>0， 解得x <−13或x >12，故不等式的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)解析：分别用因式分解法即可求出不等式的解集．本题考查了利用因式分解法解一元二次不等式，属于基础题．30.答案：解：(1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+y x ≥10+2√9x y ×yx =16，当9xy =yx 时即x =4,y =12等号成立， 所以x +y 的最小值为16． (2)因为x <54，所以5−4x >0，y =4x −2+14x−5=4x −5+14x−5+3=−[(5−4x)+15−4x ]+3≤−2√(5−4x)×15−4x +3=1， 当5−4x =15−4x 时即x =1时等号成立， 所以函数y =4x −2+14x−5的最大值为1．解析：本题考查利用基本不等式求函数的最值，关键要注意条件“一正二定三等”． (1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+yx 再利用基本不等式即可．(2)注意函数解析式的分母为4x −5，所以前面要配成4x −5，得到y =4x −5+14x−5+3，但4x −5<0，所以填上负号得y =−[(5−4x)+15−4x ]+3再用基本不等式求解即可．31.答案：解：(1)由化简得，令，则原问题等价于在上恒成立，则，设，当时，取得最大值，故的取值范围是．(2)不等式为，即，当时，原不等式解集为； 当时，方程的根为，.①当时，，原不等式解集为；②时，，原不等式解集为；③当时，，原不等式解集为；④当时，，原不等式解集为．解析：本题考查一元二次不等式的解与分类讨论思想，属于中档题．(1)分离变量，转化为求函数y =−2t 2+3t 的最大值，求出最大值，即可得到答案; (2)对a 分类讨论，解不等式即可．32.答案：解：(1)设另一个根为x 0，由{4+x 0=m +14x 0=2m −1，得x 0=52 (2)由Δ>0得m <1或m >5， 因为{x 1+x 2=m +1x 1x 2=2m −1, 所以1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x 22=(m+1)2−2(2m−1)(2m−1)2=3，解得m =0或m =1011，(3)当m =0时，x 2−x −1=0，且x ≠0， 所以x −1x =1，则x 3−1x 3=(x −1x )(x 2+1+1x 2) =(x −1x )[(x −1x )2+3]=4．解析：本题考查一元二次方程，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)利用韦达定理求解即可；(2)根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；(3)利用立方差公式求解即可得结果．第21页，共21页。
2023-2024学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2xD ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤14．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣25．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（ ） A ．y =√xB ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y =x −1x7．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣139．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．函数f(x)=2√x−1的定义域是 ． 12．如图，函数f （x ）的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （x ）≤2的解集为 ．13．定义在R 上的函数f （x ），给出下列三个论断： ①f （x ）在R 上单调递增；②x ＞1；③f （x ）＞f （1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： ． 14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 ． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在区间[1，4]上的值域．18．（12分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若当x∈[﹣3，﹣1]时，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：P=3m4x+5(x∈R，0≤x≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．2023-2024学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣2}D ．{﹣2，﹣1}解：集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1}，N ＝{x |﹣3≤x ＜0}，则M ∩N ＝{﹣2，﹣1}． 故选：D ．2．命题“∃x 0∈（0，+∞），x 02+1≤2x 0”的否定为（ ） A ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x B ．∀x ∈（0，+∞），x 2+1≤2x C ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1≤2x D ．∀x ∈（﹣∞，0]，x 2+1＞2x解：否定：否定量词，否定结论，所以把任意改成存在，x 02+1≤2x 0改为x 2+1＞2x ， 即∀x ∈（0，+∞），x 2+1＞2x 故选：A ．3．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤1B ．m ≤0C ．0＜m ≤1D ．0≤m ≤1解：关于x 的方程x 2﹣2x +m ＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零， 则有{Δ=4−4m ≥0m ＞0，解得0＜m ≤1．故选：C ． 4．已知函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，则f （f （﹣1））的值为（ ）A ．3B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为函数f （x ）={x 2−2x(x ＜1)−x +1(x ≥1)，所以f （﹣1）＝1+2＝3，则f （f （﹣1））＝f （3）＝﹣3+1＝﹣2． 故选：D ．5．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a ＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由1a＜1，可得a＞1或a＜0，故由a＞1，能够推出1a ＜1，故a＞1是1a＜1的充分条件，由1a ＜1，不能够推出a＞1，故a＞1是1a＜1的不必要条件，综上所述，a＞1是1a＜1的充分不必要条件，故选：A．6．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增且是奇函数的是（）A．y=√x B．y＝x2C．y＝|x|D．y=x−1x 解：对于A，函数y=√x的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，故函数y=√x为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数y＝f（x）＝x2的定义域为R，因为f（﹣x）＝x2＝f（x），所以函数y＝x2为偶函数，故B不符题意；对于C，函数y＝f（x）＝|x|的定义域为R，因为f（﹣x）＝|x|＝f（x），所以函数y＝|x|为偶函数，故C不符题意；对于D，函数y=f(x)=x−1x的定义域为{x|x≠0}，因为f(−x)=−x+1x=−f(x)，所以函数f（x）为奇函数，又因为函数y=x，y=−1x在区间（0，+∞）上都单调递增，所以函数y=x−1x在区间（0，+∞）上单调递增，故D符合题意．故选：D．7．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．b﹣a＜c+a B．c2＜ab C．cb ＞caD．|b|c＜|a|c解：（法1）根据数轴可得c＜b＜a＜0且|c|＞|b|＞|a|，对于A：因为c＜b，a＜0，所以c+a＜c，b﹣a＞b，则c+a＜c＜b﹣a，即c+a＜b﹣a，故A错误；对于B：因为c＜b＜a＜0，|c|＞|b|＞|a|，所以c2＞b2＞a2，且b2＞ab，所以c2＞b2＞ab，则c2＞ab，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C 错误；故选：D ．8．设f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （0）+f （4）＝（ ） A ．12B ．﹣12C ．13D ．﹣13解：根据题意，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （﹣4）＝3×（﹣4）﹣1＝﹣13， 又由f （x ）为R 上的奇函数，则f （0）＝0，f （4）＝13， 则f （0）+f （4）＝13． 故选：C ．9．已知当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，8]C ．[8，+∞）D ．（6，+∞）解：根据题意当x ＞0时，不等式x 2﹣mx +16＞0恒成立，则m ＜x 2+16x =x +16x恒成立，只需m ＜（x +16x ）min即可． 易知当x ＞0时，由基本不等式可得需x +16x ≥2√x ⋅16x=8，当且仅当x ＝4时取等号； 所以（x +16x ）min＝8，即m ＜8，所以m 的取值范围是（﹣∞，8）． 故选：A ．10．（多选）对于全集U 的子集A 定义函数f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)为A 的特征函数，设A ，B 为全集U 的子集，则下列结论中正确的是（ ） A ．若A ⊆B ，则f A （x ）≤f B （x ） B ．f ∁U A （x ）＝1﹣f A （x ）C ．f A ∩B （x ）＝f A （x ）•f B （x ）D ．f A ∪B （x ）＝f A （x ）+f B （x ）解：对于A ，∵A ⊆B ，可得x ∈A 则x ∈B ，因为f A （x ）={1(x ∈A)0(x ∈∁U A)，f B (x)={1，x ∈B 0，x ∈∁U B ，当x ∈A 时，f A （x ）＝f B （x ）＝1，当x ∉A 但x ∈B 时，f A （x ）＝0，f B （x ）＝1，当x∉B，f A（x）＝f B（x）＝0∴f A（x）≤f B（x），故A正确；对于B，f∁U A (x)={1，x∈∁U A0，x∈A，所以f∁U A(x)=1−f A(x)，故B正确；对于C，当x∈A∩B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝1，当x∈A，x∉B时，f A∩B（x）＝f B（x）＝0，f A（x）＝1，当x∉A，x∈B时f A∩B（x）＝f A（x）＝0，f B（x）＝1，当x∉A∪B时，f A∩B（x）＝f A（x）＝f B（x）＝0，以上情况均满足f A∩B（x）＝f A（x）•f B（x），故C正确；对于D，当x∈A∩B时f A∪B（x）＝1，f A（x）+f B（x）＝1+1＝2≠f A∪B（x），故D错误．故选：ABC．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．函数f(x)=2√x−1的定义域是{x|x＞1}解：要使f（x）=2√x−1有意义，则x﹣1＞0，∴x＞1；∴f（x）的定义域为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．12．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（x）≤2的解集为[1，4]．解：由图象可知，f（x）≤2的解集为[1，4]．故答案为：[1，4]．13．定义在R上的函数f（x），给出下列三个论断：①f（x）在R上单调递增；②x＞1；③f（x）＞f（1）．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：①②推出③．解：由题意，若f（x）为定义在R上的单调递增函数，根据单调性，可知，当x＞1时，很明显有f（x）＞f（1）成立．故已知①②可以推出③．故答案为：①②推出③．14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 20m 3 ． 解：设用水量为x 立方米，水价为y 元，则y ={3x ，0≤x ≤1236+6(x −12)，12＜x ≤1872+9(x −18)，x ＞18，整理得y ={3x ，0≤x ≤126x −36，12＜x ≤189x −90，x ＞18当0≤x ≤12时，0≤y ≤36，x ＞18；当0≤x ≤12时，0≤y ≤36；12＜x ≤18 时，36＜y ≤72； 故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令9x ﹣90＝90，则x ＝20（立方米）， 故答案为：20m 3． 15．设函数f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0．给出下列四个结论：①函数f （x ）的值域是R ；②∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0；③∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0）；④若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的取值范围是（﹣3，+∞）． 其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：因为f(x)={x 2+4x +3，x ≤0−1x ，x ＞0，作出函数图像，如图所示：由图像可知f （x ）∈R ，①正确；∀x 1，x 2∈（﹣2，+∞）（x 1≠x 2），f （x ）不具有统一单调性，②错误；作出y =1x ，（x ＜0）的图像，如虚线所示，因为y =1x与f （x ）＝x 2+4x +3，x ≤3有交点，所以∃x 0＞0，使得f （﹣x 0）＝f （x 0），故③正确；由图像易知当x ＞0且f （x ）＝﹣1，解得x ＝1，则若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2＝﹣4，x 3＞1，则x 1+x 2+x 3＞﹣3，④正确． 故答案为：①③④．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分）设关于x 的不等式|x ﹣a |＜2的解集为A ，不等式x 2﹣x ﹣6＜0的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为A ＝{x ||x ﹣a |＜2}， 所以﹣2＜x ﹣a ＜2，即a ﹣2＜x ＜a +2， 所以A ＝{x |a ﹣2＜x ＜a +2}， 因为x 2﹣x ﹣6＜0，所以（x +2）（x ﹣3）＜0，即﹣2＜x ＜3， 所以B ＝{x |﹣2＜x ＜3}．（2）因为A ⊆B ，且a ﹣2＜a +2恒成立，所以A ≠∅， 所以{a −2≥−2a +2≤3，解得0≤a ≤1，故a 取值范围为[0，1]．17．（12分）已知函数f(x)=2x−3x+1．（1）用函数单调性的定义证明：f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数； （2）求函数f （x ）在区间[1，4]上的值域． 解：（1）任取x 1，x 2∈（﹣1，+∞），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−3x 1+1−2x 2−3x 2+1=(2x 1−3)(x 2+1)−(2x 2−3)(x 1+1)(x 1+1)(x 2+1)=5(x 1−x 2)(x 1+1)(x 2+1)，因为x 1，x 2∈（﹣1，+∞），x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+1＞0，x 2+1＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（﹣1，+∞）上是增函数． （2）由（1）知f （x ）在区间[1，4]上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=−12，f （x ）max ＝f （4）＝1， 所以函数f （x ）在区间[1，4]上的值域为[−12，1]．18．（12分）已知二次函数f （x ）的最小值为1，且f （0）＝f （2）＝3． （1）求f （x ）的解析式；（2）若当x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解：（1）设f （x ）＝a （x ﹣0）（x ﹣2）+3，则f （x ）＝ax 2﹣2ax +3，二次函数f （x ）的最小值为1， ∴12a−4a 24a=3−a =1，∴a ＝2，∴f （x ）＝2x 2﹣4x +3．（2）x ∈[﹣3，﹣1]时，y ＝f （x ）的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方， 可得2x 2﹣4x +3＞2x +2m +1恒成立， 即m ＜x 2﹣3x +1在x ∈[﹣3，﹣1]时恒成立． 所以m ＜（x 2﹣3x +1）min ＝f （﹣1）＝5 即m ＜5．19．（12分）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：P =3m4x+5(x ∈R ，0≤x ≤8)．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S 为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m 的值及用x 表示S ；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S 达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度x ，依题意，每年的能源消耗费用为：P =3m4x+5，而当x ＝0时，P ＝9， 则3m 5=9，解得m ＝15，显然建造费用为8x ，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为： S =40P +8x =40×454x+5+8x =18004x+5+8x （0≤x ≤8）． （2）由（1）知S =18004x+5+8x =18004x+5+2(4x +5)−10＞2√10004x+2⋅2(4x+5)−10=2×60−10=110，当且仅当18004x+5=2(4x+5)，即x＝6.25时取等号，所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元．20．（12分）已知f（x）是定义域为R的函数，若对任意x1，x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3．解：（1）函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联，证明如下：证明：任取x1，x2∈R，若x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），所以函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联；函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联，证明如下：证明：若x1﹣x2∈[0，1]，则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，2]，所以函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联．（2）因f（x）是{3}关联，则x1﹣x2＝3，有f（x1）﹣f（x2）＝3，即f（x+3）﹣f（x）＝3，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，3），而2≤f（x）≤3，即2≤x2﹣2x≤3，解得1+√3≤x≤3，于是得1+√3≤x＜3，当x+3∈[0，3）时，x∈[﹣3，0），f（x）＝f（x+3）﹣3＝（x+2）2﹣4∈[﹣4，0），不等式无解；当x﹣3∈[0，3）时，x∈[3，6），f（x）＝f（x﹣3）+3＝（x﹣4）2+2∈[2，6），而2≤f（x）≤3，即2≤（x﹣4）2+2≤3，解得3≤x≤5，则有3≤x≤5，当x﹣6∈[0，3）时，x﹣3∈[3，6），x∈[6，9），f（x）＝f（x﹣3）+3＝f（x﹣6）+6＝（x﹣7）2+5∈[5，9），不等式无解，把函数f（x）从x∈[0，3）起每3个单位向右按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象上升，从x∈[0，3）起每3个单位向左按f（x+3）﹣f（x）＝3变换，图象下降，综上得1+√3≤x≤5，所以不等式2≤f（x）≤3的解集为[1+√3，5]．第11页（共11页）。
2023-2024学年北京交大附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A ．15B ．310C ．35D ．122．在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（ ） A ．（﹣1，﹣2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，2，3）3．若cos α=35，则sin （3π2−α）＝（ ）A ．35B ．−35C ．45D ．−454．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值等于（ ） A ．√55B ．25C ．45D ．2√555．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，α∥β，则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，则点C 1到直线CE 的距离为（ ） A ．13B ．√33C ．√53D ．√637．某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（ ） A ．13.5元B ．18.5元C ．20元D ．27.5元8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V =13(S 上+√S 上S 下+S 下)⋅ℎ） A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸9．如图，棱长均相等的三棱锥P ﹣ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD ＝x ，锐二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为θ．当x 增大时，（ ）A ．θ增大B ．θ先增大后减小C ．θ减小D ．θ先减小后增大10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E 使得B 1D ⊥平面BED 1； ③D 1E +BE 的最小值为√2+1；④对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；⑤M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）11．已知向量a →=(−2，2，−2)，b →=(−1，6，−8)，c →=(λ，0，−6)，若a →⊥c →，则λ＝ ；若a →，b →，c →共面，则λ＝ ．12．在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，则(BE →+CE →)⋅BC →= ．13．设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，写出实数λ的一个可能的取值 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABED 中，DE ∥AB ，BE ⊥DE ，AB ＝2DE ＝2PE ＝2，BE =√3，PE ⊥平面ABED ，则异面直线PB 与AD 之间的距离为 ．15．定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离． （1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为 ；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为 ． 三、解答题16．（12分）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CMB 1．17．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC ∩BD ＝O ，且PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，F ，G 分别是PB ，PD 的中点，E 是P A 上一点，且AP ＝3AE ． （1）求证：GF ⊥PC ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线P A 与平面EFG 所成角的正弦值． 条件①：BD =2√3；条件②：∠DAB =2π3．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +4（a ∈R ）． （Ⅰ）若f （1）＝0，求不等式f （x ）≤0的解集；（Ⅱ）若f （1）＝2，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．19．（15分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得平面D ′AC ⊥平面BAC （如图2）．（1）求二面角A ﹣BD '﹣C 的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68？若存在，求出PQ PD′的值；若不存在，请说明理由．20．（15分）如图1，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，PB ∥平面CEM ．（1）求证：MP ＝2DM ； （2）求点B 到面PEC 的距离；（3）若在棱PB ，PE 分别取中点F ，G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由．21．（15分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，⋯，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，⋯，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，⋯，x n ）和γ＝（y 1，y 2，⋯，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n ．设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，⋯，t in ），i ＝1，2，⋯，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若a i ⋅a j ={p ，i =ji ，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）．（1）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2），说明理由； （2）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明．2023-2024学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A ．15B ．310C ．35D ．12解：设随机抽出一本是故事书为事件A ，基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为3， ∴P （A ）=310， 故选：B ．2．在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（ ） A ．（﹣1，﹣2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，2，3）解：在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（1，2，3）． 故选：D ．3．若cos α=35，则sin （3π2−α）＝（ ）A ．35B ．−35C ．45D ．−45解：因为cos α=35，所以sin （3π2−α）＝﹣cos α=−35．故选：B ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值等于（ ） A ．√55B ．25C ．45D ．2√55解：法一：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（0，0，2），B （0，0，0），C 1（0，1，2），AB 1→=（﹣1，0，2），BC 1→=（0，1，2），设异面直线AB 1与BC 1所成角为θ， 则cos θ=|AB 1→⋅BC 1→||AB 1→|⋅|BC 1→|=4√5⋅√5=45． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为45．法二：将直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1还原为长方体如图所示，则异面直线AB 1与BC 1所成角即为AB 1与AD 1所成角， 在三角形AB 1D 1中，AB 1＝AD 1=√5，B 1D 1=√2， 根据余弦定理cos ∠B 1AD 1=5+5−22×√5×√5=45．∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为45． 故选：C ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，α∥β，则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：m ⊂α，α∥β，由m ⊥n ，可得n ∥β或n ⊂β或n 与β相交，相交也不一定垂直， 反之，由n ⊥β，可得n ⊥α，而m ⊂α，则m ⊥n ． 则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，则点C 1到直线CE 的距离为（ ） A ．13B ．√33C ．√53D ．√63解：如图，过C 1作C 1H ⊥EC 与点H ，根据题意易知△ECC 1为直角三角形，且EC 1=√52，CC 1＝1，∴EC =√54+1=32，∴点C 1到直线CE 的距离为C 1H =EC 1×CC 1EC =√52×132=√53．故选：C ．7．某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（ ） A ．13.5元B ．18.5元C ．20元D ．27.5元解：根据题意得60÷15×2.5+30÷15×3.75+1＝10+7.5+1＝18.5（元），则李明应缴纳的停车费为18.5元． 故选：B ．8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V =13(S 上+√S 上S 下+S 下)⋅ℎ） A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． ∵积水深9寸，∴水面半径为12（14+6）＝10寸，则盆中水的体积为13π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．∴平地降雨量等于588ππ×142=3（寸）．故选：B ．9．如图，棱长均相等的三棱锥P ﹣ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD ＝x ，锐二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为θ．当x 增大时，（ ）A ．θ增大B ．θ先增大后减小C ．θ减小D ．θ先减小后增大解：由题意，三棱锥P ﹣ABC 是正四面体，以△PBC 的重心为坐标原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设三棱锥P ﹣ABC 的棱长为2√3，则PG ＝3，OP ＝2， 所以OA 2＝AP 2﹣PO 2＝12﹣22＝8，所以B(−1，−√3，0)，A(0，0，2√2)，C(−1，√3，0)，P(2，0，0)， 因为二面角A ﹣BD ﹣C 为锐二面角，所以D(√32x −1，2√3−x2，0)， 所以AB →=(−1，−√3，−2√2)，AD →=(√32x −1，2√3−x2，−2√2)， 设平面ABD 的法向量为m →=(t ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0m →⋅AD →=0，即{−t −√3y −2√2z =0(√32x −1)t +(2√3−x2)y −2√2z =0， 令y =−√3x ，则t =4√3−x ，z =√2x −√6，所以m →=(4√3−x ，−√3x ，√2x −√6)， 因为OA ⊥平面PBC ，所以平面PBC 的一个法向量为n →=(0，0，1)，所以cosθ=|m →⋅n →|m →|⋅|n →||=|√2x−√6|√(4√3−x)2+(√3x)2+(√2x−√6)2=1√6√2x 2−4√3x+6x 2−2√3x+9=1√6√2−12(x−√3)2+6， 因为0＜x ＜2√3，所以当x =√3时，cos θ取得最小值0，此时θ取得最大值π2，当x ＞√3或x ＜√3时，cos θ都变大，即θ变小． 故选：B ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E 使得B 1D ⊥平面BED 1； ③D 1E +BE 的最小值为√2+1；④对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；⑤M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中正确结论的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5解：对于①，V B−BED1=V D1−BEB1=13S△BEB1⋅ℎ，显然S△BEB1是定值，因为D1A1⊥平面ABB1A1，所以h是定值，所以三棱锥B1﹣BED1的体积是定值，①正确；对于②，若存在点E，使得B1D⊥平面BED1，又BD1⊂平面BED1，可得BD1⊥B1D，所以四边形BDD1B1为正方形，即BB＝B1D1，这与B1D1=√2BB1矛盾，②错误；对于③，如图，将侧面AA1D1D与侧面AA1B1B展开铺平，则D1E+BE的最小值√5，③错误；对于④，当点E在点A时，平面BED1即是平面ABD1，此时AP与平面BED1相交，故不存在点P符合要求，④错误；对于⑤，如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得A1C⊥BD，A1C⊥BC1，且BD ，BC 1是平面BDC 1内两条相交直线，所以A 1C 上平面BDC 1，又DM ⊂平面BDC 1， 所以A 1C ⊥DM ，因为M 是BC 1上的动点，且过点A 1的截面α垂直DM ， 所以截面α过点C ，截面α交D 1C 1与G ，交AB 于H ，设D 1G ＝x （0≤x ≤1）， 则A 1G =√1+x 2，CG =√(1−x)2+1，在△A 1GC 中， 可得cos ∠A 1GC =1+x 2+x 2−2x+2−32√1+x 2⋅√x 2−2x+2=x 2−x√1+x 2⋅√x 2−2x+2，sin ∠A 1GC =√1−(x 2−x√1+x 2⋅√x 2−2x+2)2=√2√1+x 2⋅√x 2−2x+2，则该截面的面积为S =2×12A 1G ⋅CGsin∠A 1GC =√2x 2−2x +2=√2⋅√(x −12)2+34， 因为x ∈[0，1]，所以当x =12时，S min =√62，此时G ，H 分别是D 1C 1和AB 的中点，当M 是BC 1中点时，DM ⊥BC 1，即DM ⊥GH ， 所以DM ⊥平面A 1HCG ，满足题意，⑤正确． 故选：A ．二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）11．已知向量a →=(−2，2，−2)，b →=(−1，6，−8)，c →=(λ，0，−6)，若a →⊥c →，则λ＝ 6 ；若a →，b →，c →共面，则λ＝ 15 ． 解：∵a →⊥c →，∴a →⋅c →=0，又∵向量a →=(−2，2，−2)，c →=(λ，0，−6)， ∴﹣2λ+12＝0， ∴λ＝6．∵a →，b →，c →共面，∴c →=x a →+yb →，∴（λ，0，﹣6）＝x （﹣2，2，﹣2）+y （﹣1，6，﹣8）， ∴{λ=−2x −y 0=2x +6y −6=−2x −8y ，解得{x =−9y =3λ=15， 故答案为：6；15．12．在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，则(BE →+CE →)⋅BC →= 0 ．解：如图(BE →+CE →)⋅BC →=(BE →+CE →)⋅(BE →+EC →)=(BE →+CE →)⋅(BE →−CE →)=BE →2−CE →2， 因为|BE →|=|CE →|，所以(BE →+CE →)⋅BC →=0；故答案为：0．13．设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，写出实数λ的一个可能的取值16（答案不唯一） ．解：设正方体的棱长为1，AP ＝x ，D 1P ＝t ，则AC =√2， 在△APC 中，由余弦定理得cos ∠APC =x 2+x 2−22x 2=x 2−1x2， 若∠APC 为锐角，则x 2−1x 2＞0，则x 2＞1，当点P 与D 1重合时，∠APC ＝60°，符合题意，此时λ＝0， 在△AD 1P 中，AD 1=√2，cos ∠AD 1P =√63，于是由余弦定理得x 2=2+t 2−2⋅√2⋅t ⋅√63， 于是2+t 2−2⋅√2⋅t ⋅√63＞1，即3t 2−4√3t +3＞0，解之得：t ＞√3或t ＜√33，由D 1B =√3，故λ＞1（舍）或0＜λ＜13．所以实数λ的取值范围是0≤λ＜13，取λ=16即可． 故答案为：16（答案不唯一）．14．如图，在四棱锥P ﹣ABED 中，DE ∥AB ，BE ⊥DE ，AB ＝2DE ＝2PE ＝2，BE =√3，PE ⊥平面ABED ，则异面直线PB 与AD 之间的距离为 2√217．解：以点E 为坐标原点，ED ，EB ，EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所的空间直角坐标系，则 A （2，√3，0），B （0，√3，0），P （0，0，1），D （1，0，0）， 则AD →=(−1，−√3，0)，PB →=(0，√3，−1)，PD →=(1，0，−1)， 设n →=(x ，y ，z)，满足n →⊥AD →，n →⊥PB →，{n →⋅AD →=0n →⋅PB →=0，即{−x −√3y =0√3y −z =0，令y ＝1，则x =−√3，z =√3，故n →=(−√3，1，√3)， 所以异面直线PB 与AD 之间的距离为：|n →⋅PD →n→|=√3，√3)⋅(1√7=2√217． 故答案为：2√217． 15．定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离． （1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为 4π ；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为163π+8． ．解：（1）与定点O 距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，所以其表面积为4π； （2）分析可知，到距离等于1的点所围成的几何体是一个棱长为2，2，2的长方体和4个高为2，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的几何体，所以其体积为：2×2×2+4×12×π×12×2+4×14×43π×13=8+4π+43π=163π+8． 故答案为：（1）4π；（2）163π+8．三、解答题16．（12分）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CMB 1．（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，∵CM⊂平面ABC，∴AA1⊥CM，∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，又AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，∴CM⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接OM，则O为BC1的中点，∵M为AB的中点，∴OM∥AC1，∵OM⊂平面CMB1，AC1⊄平面CMB1，∴AC1∥平面CMB1．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD＝O，且PO⊥平面ABCD，PO＝2，F，G分别是PB，PD的中点，E是P A上一点，且AP＝3AE．（1）求证：GF⊥PC；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线P A与平面EFG所成角的正弦值．条件①：BD=2√3；条件②：∠DAB=2π3．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（1）证明：∵G ，F 分别为PD ，PB 中点，∴GF ∥DB ， ∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∴AC ⊥BD ， ∵PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ， 又PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC ， ∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC ， ∴GF ⊥PC ；（2）解：如图以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若选①，∵BD =2√3，底面ABCD 是边长为2的菱形，∴OA ＝1，OD =OB =√3， 若选②，∵∠DAB =2π3，底面ABCD 是边长为2的菱形，∴OA ＝1，OD =OB =√3， 则A （1，0，0），B(0，√3，0)，D(0，−√3，0)，P （0，0，2），G(0，−√32，1 ），F(0，√32，1)．∴PA →=(1，0，−2)，AP →=(−1，0，2)，OA →=(1，0，0)， 又AP ＝3AE ，∴AE →=13AP →，∴OE →=OA →+13AP →=(23，0，23)， ∴E(23，0，23)，EF →=(−23，√32，13)，EG →=(−23，−√32，13)， 设平面EFG 法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅EF →=−23x +√32y +13z =0n →⋅EG →=−23x −√32y +13z =0，取n →=(1，0，2)，设直线P A 与平面EFG 所成角为θ．则sinθ=|PA →⋅n→|PA →||n →||=−3√5⋅√5=35． ∴直线P A 与平面EFG 所成角的正弦值为35． 18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +4（a ∈R ）． （Ⅰ）若f （1）＝0，求不等式f （x ）≤0的解集；（Ⅱ）若f （1）＝2，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为f （x ）＝x 2+ax +4且f （1）＝0，所以a +5＝0，解得a ＝﹣5， 所以f （x ）＝x 2﹣5x +4，由f （x ）≤0，得f （x ）＝x 2﹣5x +4≤0，即（x ﹣4）（x ﹣1）≤0，解得1≤x ≤4， 即原不等式的解集为[1，4]；（Ⅱ）因为f （1）＝2，所以a +5＝2，所以a ＝﹣3， 所以f （x ）＝x 2﹣3x +4＝（x −32）2+74， 因为x ∈[﹣2，2]，所以函数在[﹣2，32]上单调递减，在（32，2]上单调递增，所以当x =32时函数取得最小值f （x ）min ＝f （32）=74；当x ＝﹣2时函数取得最大值f （x ）max ＝f （﹣2）＝14；（Ⅲ）因为对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立， 即对任意x ∈（0，+∞），不等式x 2+ax +4＞0恒成立， 即﹣a ＜x +4x对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 因为x +4x≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x ，即x ＝2时取等号； 所以﹣a ＜4，即a ＞﹣4， 所以a ∈（﹣4，+∞）．19．（15分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得平面D ′AC ⊥平面BAC （如图2）．（1）求二面角A ﹣BD '﹣C 的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68？若存在，求出PQ PD′的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点， 所以BC ＝2，∠ABC =π，AB ＝4，所以AC ⊥BC ，AC ⊥DP ，因为平面D ′AC ⊥平面BAC ，平面D ′AC ∩平面BAC ＝AC ，D 'O ⊂平面D ′AC ，D ′O ⊥AC ， 所以D ′O ⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，OD ′两两垂直，以O 为坐标原点，OA ，OP ，OD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则D '（0，0，1），C(−√3，0，0)，B(−√3，2，0)，A （√3，0，0），所以D ′C →=(−√3，0，−1)，CB →=(0，2，0)，AB →=(−2√3，2，0)，AD ′→=(−√3，0，1)， 设平面BCD '的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅D′C →=−√3x −z =0n →⋅CB →=2y =0，取x ＝1，得n →=(1，0，−√3)， 设平面ABD ′的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅AB →=−2√3x 1+2y 1=0m →⋅AD′→=−√3x 1+z 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，√3，√3)， 设二面角A ﹣BD '﹣C 的平面角为θ，由法向量的方向可知，＜m →，n →＞=θ，所以cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=|1−√3×√3|2×7=√77，则二面角A ﹣BD ′﹣C 的余弦值为√77； （2）设PQPD′=t （0≤t ≤1），则PQ →=tPD′→，因为P （0，1，0），PD ′→=（0，﹣1，1），则Q （0，1﹣t ，t ），CQ →=(√3，1−t ，t)，由（1）知平面BCD ′的一个法向量为n →=(1，0，−√3)， 所以CQ 与平面BCD ′所成角的正弦值为|cos ＜CQ →，n →＞|=|CQ →⋅n →||CQ →||n →|=|3−3t|2√3+(1−t)2+t =√68，化简得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去）， 故存在PQ PD′=13，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68． 20．（15分）如图1，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，PB ∥平面CEM ．（1）求证：MP ＝2DM ； （2）求点B 到面PEC 的距离；（3）若在棱PB ，PE 分别取中点F ，G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由． 解：（1）证明：如图所示：连接BD 与CE 交于点Q ，连接MQ ，PB ∥平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面MEC ＝MQ ， 故PB ∥MQ ，△BCQ ﹣△DEQ ，故BQ QD=BC DE=2，即BQ ＝2QD ，△PBD ∽△MQD ，故PMMD=BQ QD=2，即MP ＝2DM ．（2）过P 作PH ⊥BE 交BE 于H ，PB ＝PE ＝1，故PH =√22， V P ﹣BCE =13S △BCE ×PH =13×12××2×√22=√26，PH ⊥BE ，平面PBE ⊥平面BCDE ， 平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ，PH ⊂平面PBE ，故PH ⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，则PH ⊥EC ，BE =√2，EC =√2，BC ＝2，故BC 2＝BE 2+EC 2，故BE ⊥EC ，BE ∩PH ＝H ， BE ，PH ⊂平面PBE ，故EC ⊥平面PBE ， PE ⊂平面PBE ，故EC ⊥PE ，S △PBC =12×PE ×CE =12×1×√2=√22， 设点B 到面PEC 的距离为h ，则13S △PBC •h ＝V P ﹣BCE =√26，故h ＝1． 即点B 到面PEC 的距离为1． （3）M ∈CFG ．理由如下：如图所示：延长ED 到N ，使得DE ＝DN ，连接PN ，GN ，四边形BCNE 为平行四边形，F ，G 分别为PB ，PG 中点， 则FG ∥BE ，故FG ∥CN ，则CNGF 四点共面，D 为EN 中点，且MP ＝2DM ，故M 为△PEN 重心，G 是PE 中点，NG 为△PEN 中线， 所愉M ∈NG ，所以M ∈平面FCNG ，即M ∈平面CFG ．21．（15分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，⋯，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，⋯，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，⋯，x n ）和γ＝（y 1，y 2，⋯，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n ．设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，⋯，t in ），i ＝1，2，⋯，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若a i ⋅a j ={p ，i =j i ，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）．（1）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2），说明理由； （2）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明． 解：（1）对于A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}， 则（1，1，0）•（1，1，0）＝1+1+0＝2， 同理（1，0，1）•（1，0，1）＝（0，1，1）•（0，1，1）＝2， 而（1，1，0）•（1，0，1）＝1+0+0＝1， 同理（1，1，0）•（0，1，1）＝（1，0，1）•（0，1，1）＝1， 所以A 具有性质T （3，2）．（2）假设存在集合A 具有性质T （4，p ），易知集合A 有4个元素且p ∈{0，1，2，3，4}， ①若p ＝0，则A ＝{（0，0，0，0）}，不符合4个元素，舍去；②若p ＝1，则A ⊆{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}， 又因为（1，0，0，0）•（0，1，0，0）＝0，所以不满足，舍去； ③若p ＝2，则A ⊆{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}， 又因为（1，1，0，0）•（0，0，1，1）＝（1，0，1，0）•（0，1，0，1） ＝（1，0，0，1）•（0，1，1，0）＝0， 所以这3组每组至多只能有一个包含于A ，所以A 至多只有3个元素，矛盾，舍去；④若p＝3，则A⊆{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，又因为（1，1，1，0）•（1，1，0，1）＝2，所以不满足，舍去；⑤若p＝4，则A＝{（1，1，1，1）}，只有一个元素，舍去，综上可知，不存在具有性质T（4，p）的集合A．。
2024-2025学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(北京卷理1)集合P={x∈Z|0≤x<3}，M={x∈Z|x2<9}，则P∩M=( )A. {1,2}B. {0,1,2}C. {x|0≤x<3}D. {x|0≤x≤3}2.下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )A. y=x2B. y=xC. y=x4(x>0)D. y=|x|+13.定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则( )A. f(3)<f(2)<f(1)B. f(1)<f(2)<f(3)C. f(2)<f(1)<f(3)D. f(3)<f(1)<f(2)4.已知命题p：∃x0∈R，x20+2x0+a≤0是假命题，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)5.关于函数f(x)=3x+2x−1，下列说法不正确的是( )A. (x)有且仅有一个零点B. f(x)在(−∞,1)，(1,+∞)上单调递减C. f(x)的定义域为{x|x≠1}D. f(x)的图象关于点(1,0)对称6.若关于x的不等式ax−b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式ax+bx−2>0的解集为( )A. {x|x<−2，或x>1}B. {x|1<x<2}C. {x|x<−1，或x>2}D. {x|−2<x<−1}7.如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )A. ab>acB. c(b−a)>0C. cb2<ab2D. ac(a−c)<08.已知a，b∈R，则“1a <1b”是“a>b”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,1]B. [−1,1]C. (−∞,2]D. [−2,2]10.函数f(x)={x,x ∈P −x,x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集.又规定f(P)={y|y =f(x),x ∈P)，f(M)={y|y =f(x),x ∈M}.下列四个判断其中正确的是( )①若P ∩M =⌀，则f(P)∩f(M)=⌀；②若P ∩M ≠⌀，则f(P)∩f(M)≠⌀；③若P ∪M =R ，则f(P)∪f(M)=R ；④若P ∪M ≠R ，则f(P)∪f(M)≠R ．A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题(含答案解析)
北京交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}{}1,2,3,12,A B x x x Z ==-<<∈，则A B ⋃=（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}2．命题“∀2R,0x x x ∈+≥ ”的否定是（）A ．∀2R,0x x x ∈+< B ．∀2R,0x x x ∈+≤ C ．∃2000R,0x x x ∈+≥ D ．∃2000R,0x x x ∈+< 3．在下列四个函数中，在(0,)+∞ 上为增函数的是（）A ．()3f x =B ．()23f x x x=-C ．()221x f x x -=+D ．()f x x=-4．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B ．单调递减的奇函数C ．单调递增的偶函数D ．单调递增的奇函数5．下列命题中，正确的是（）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若ac ＞bc ，则a ＞bC ．若22a b c c ＜，则a ＜b D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d6．已知不等式250ax x b -+>的解集为{}32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集为（）A ．1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．1|2x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>-⎬⎭C ．{}32x x -<<D ．{|3x x <-或}2x >7．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b ()0a b <<，其全程的平均速度为v ，则（）A ．2a b v +=B ．v =C ．a v <<D 2a b v +<<9．设函数()22,2,2x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若()()121f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞ B ．(,2]-∞C ．[]2, 6D ．[2,)+∞10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题11．函数y =的定义域是___________.12．若函数2()23=++f x x ax 在区间[]4,6- 上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．13．设()21M a a =-，()()13N a a =+-，则M ，N 的大小关系为___________．14．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元，为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．三、双空题15．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．四、解答题16．已知集合{}2230,R A x x x x =--≤∈，()(){}330,R B x x m x m x ⎡⎤⎡⎤=---+≥∈⎣⎦⎣⎦.(1)求集合A ，B(2)若[]1,3A B = ，求实数m 的值；(3)若()R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围.17．已知函数()223mx f x x n+=+是奇函数，且()523f =.(1)求实数m 和n 的值；(2)用单调性定义证明函数()f x 在区间(],1-∞-上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,1--上的最值，并指出最值点.18．某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为x （单位：百台），其总成本为()g x （单位：万元）（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入()r x （单位：万元）满足()20.5710.5,0713.5,7x x x r x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩.设工厂利润为()f x （利润=销售收入-总成本），假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：(1)求()f x 的解析式(2)要使工厂有盈利，产量x 应控制在什么范围内？(3)工厂生产多少台产品时，盈利最大？19．已知函数2()1f x ax bx =++（a ，b 为实数）x ∈R .（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[)0,∞+，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若()f x 为偶函数，且0a >，设(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩，0mn <，0m n +>，判断()()F m F n +是否大于零，请说明理由.20．设集合{}12,,...,n S A A A =，若集合S 中的元素同时满足以下条件：①{}1,2,...,i n ∀∈，i A 恰好都含有3个元素；②{},1,2,...,i j n ∀∈，i j ≠，i j A A 为单元素集合；③12...n A A A =∅ 则称集合S 为“优选集”．(1)判断集合()(){}1,2,3,2,4,5P =，()()(){}1,2,3,1,4,5,2,5,7Q =是否为“优选集”；(2)证明：若集合S 为“优选集”，则1x A ∀∈，x 至多属于S 中的三个集合；(3)若集合S 为“优选集”，求集合S 的元素个数的最大值．参考答案：1．C【分析】首先用列举法表示集合B ，再根据并集的定义计算可得；【详解】解：因为{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=故选：C 2．D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以命题“∀2R,0x x x ∈+≥ ”的否定是∃2000R,0x x x ∈+< ，故选：D 3．C【分析】根据函数的单调性确定正确答案.【详解】A 选项，()3f x =是常数函数，不符合题意.B 选项，()23f x x x =-的开口向上，对称轴为32x =，所以在30,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，不符合题意.C 选项，()()2142242111x x f x x x x +--===-+++，在(0,)+∞ 上为增函数，符合题意.D 选项，当0x >时，()f x x x =-=-，在(0,)+∞ 上递减，不符合题意.故选：C 4．B【详解】本题考查函数的奇偶性和单调性.33()()f x x x -=-=-,定义域为;R 因为记3()(),g x f x x =-=-则33()()()g x x x g x -=--==-，所以函数33()()f x x x -=-=-是奇函数；设1212,,;x R x R x x ∈∈<333322131221212121()()()()()g x g x x x x x x x x x x x -=---=-=-++22112123()[(+)]24x x x x x =-+，1221,0,x x x x ∴- 又221123(+)024x x x +>所以12()(),g x g x >则函数33()()f x x x -=-=-在定义域R 上是减函数.故选B 5．C【分析】通过举反例判断选项A,D ，利用不等式的性质判断选项B,C 的真假.【详解】解：令a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，d ＝﹣5，显然A 、D 不成立，对于B ：若c ＜0，显然不成立，对于C ：由c 2＞0，得a ＜b ，故C 正确，故选：C ．6．A【分析】根据不等式的解集求得,a b ，进而求得正确答案.【详解】由于不等式250ax x b -+>的解集为{}32x x -<<-，所以()()053232a a ba⎧⎪<⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-⨯-⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>，即226510,6510x x x x --->++<，()()31210x x ++<，解得1123x -<<-，所以不等式250bx x a -+>的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：A 7．A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8．C【分析】根据平均速度的知识求得v ，结合基本不等式求得正确答案.【详解】设甲乙两地距离为S ，则22Sabv S S a b a b==++，其中0a b <<，所以22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭=<=++，2ab v a b =<+2a b +>v <由于22ab abv a a b b b=>=++，综上所述，a v <<故选：C 9．B【分析】判断出()f x 的单调性，由此化简不等式()()121f a f a +≥-，从而求得a 的取值范围.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，结合图象可知()f x 在R 上递增，由()()121f a f a +≥-得121a a +≥-，解得2a ≤.故选：B10．D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ，∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.11．(,0][2,)-∞+∞ 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数y =220x x -≥，即(2)0x x -≥，解得0x ≤或2x ≥，即函数的定义域为(,0][2,)-∞+∞ .故答案为：(,0][2,)-∞+∞ .12．6a ≤-或4a ≥【分析】根据二次函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】二次函数2()23=++f x x ax 的开口向上，对称轴为x a =-，由于()f x 在区间[]4,6- 上是单调函数，所以4a -≤-或6a -≥，解得6a ≤-或4a ≥.故答案为：6a ≤-或4a ≥13．M N>【分析】利用差比较法确定正确答案.【详解】()222222330M N a a a a a -=----=+>，所以M N >.故答案为：M N >14．20【分析】利用基本不等式研究总运费与总库存费用之和，由此确定正确答案.【详解】总运费与总库存费用之和4001600444160x x x x ⨯+=+≥=，当且仅当16004,20x x x==时等号成立.故答案为：2015．612【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为a b c 、、，则*2,,,c a b c a b c >>>∈N .①max 846a b b >>>⇒=，②min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理,题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.16．(1)[]1,3A =-，(][),33,B m m =-∞-⋃++∞(2)2m =-(3)02m <<【分析】（1）解不等式求得集合,A B .（2）根据A B ⋂求得m .（3）根据()R A B ⊆ð列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以[]1,3A =-.()()330x m x m ---+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得3x m ≤-或3x m ≥+，所以(][),33,B m m =-∞-⋃++∞.（2）若[]1,3A B = ，则31312m m m -<-+=⇒=-，.（3）()R 3,3B m m =-+ð，若()R A B ⊆ð，则3133m m -<-⎧⎨+>⎩，解得02m <<.17．(1)2,0m n ==(2)证明详见解析(3)最小值点为2-，最小值为53-；最大值点为1-，最大值为43-【分析】（1）根据函数的奇偶性以及()523f =求得,m n .（2）根据函数单调性的定义进行证明.（3）根据函数的单调性求得函数()f x 在区间[]2,1--上的最值.【详解】（1）依题意，函数()223mx f x x n+=+是奇函数，由30x n +≠得3nx ≠-，奇函数的定义域关于原点对称，所以0n =.()223mx f x x+=，由()523f =得42215,2633m m m ++===.则()2223x f x x+=，()()2223x f x f x x +-=-=-，()f x 是奇函数，符合题意.（2）由（1）得()2223x f x x+=，任取()()221212121222221,33x x x x f x f x x x ++<≤--=-()()121212123x x x x x x --=⨯，其中12121210,0,0x x x x x x ->-<>，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在区间(],1-∞-上是增函数.（3）由（2）可知，函数()f x 在区间[]2,1--上递增，所以，最小值点为2-，最小值为()825263f +-==--；最大值点为1-，最大值为()224133f +-==--.18．(1)()f x 20.5613.5,0710.5,7x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩(2)()3,10.5(3)当生产6百台时，盈利最大【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求得正确答案.（2）由()0f x >求得x 的范围.（3）结合二次函数的性质、函数的单调性求得正确答案.【详解】（1）()3g x x =+，()f x ()()20.5613.5,0710.5,7x x x r x g x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩.（2）当07x ≤≤时，由20.5613.50x x -+->，得()()21227390x x x x -+=--<，解得37x <≤.当7x >时，由10.50x ->，解得710.5x <<.所以x 应控制的范围是()3,10.5.（3）当07x ≤≤时，()20.5613.5f x x x =-+-，开口向下，对称轴为6x =，所以当6x =时，()f x 取得最大值为()6183613.5 4.5f =-+-=.当7x >时，10.5 3.5x -<，所以当生产6百台时，盈利最大.19．（1）2()(1)f x x =+;（2）(,2][6,)-∞-+∞ ;（3）证明见解析【解析】（1）由题得10a b -+=①，240a b -=②，解方程即得解；（2）由题得222k -- 或222k - ,解不等式得解；（3）先求出()F x 的解析式，再求出()22()()F m F n a m n +=-即得证.【详解】解:(1)(1)0f -= ,10a b ∴-+=①又函数()f x 的值域为[0,)+∞,0a ∴≠.由22424b a b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,知2404a b a -=,即240a b -=②.解①②,得1a =,2b =.22()21(1)f x x x x ∴=++=+.(2)由(1)得22222(2)()()21(2)1124k k g x f x kx x x kx x k x x --⎛⎫=-=++-=+-+=++- ⎪⎝⎭.∵当[2,2]x ∈-时,()()g x f x kx =-是单调函数,222k -∴- 或222k - ,即2k - 或6k ,故实数k 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ .(3)()()F m F n +大于零.理由如下:()f x 为偶函数,2()1f x ax =+,()221,0,()1,0.ax x F x ax x ⎧+>⎪∴=⎨-+<⎪⎩不妨设m n >,则0n <.由0m n +>,得0m n >->,||||m n ∴>-.又0a >,()()()2222()()()()110F m F n f m f n an an a m n ∴+=-=+-+=->,()()F m F n ∴+大于零.【点睛】关键点睛：第（1）题，利用值域的性质列方程求解；第（2）题利用二次函数的性质进行求解；第（3）题的解题的关键在于利用函数的奇偶性进行转化，得出()()()()F m F n f m f n +=-进而求解；本题难度属于中档题20．(1)P 不是“优选集”，Q 是“优选集”；(2)证明过程见详解；(3)7【分析】（1）根据“优选集”的定义判断即可；（2）先取{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =，其中()1,,A x y z =，()2,,A x a b =，()3,,A x c d =，()4,,A y a c =，()5,,A y b d =，()6,,A z a d =，()7,,A z b c =，可得1x A ∀∈，x 可以属于S 中的三个集合，再用反证法证明不存在1x A ∈，使得x 可以属于S 中的四个集合即可；（3）结合（2）可知S 中的元素个数可以为7，再用反证法证明不存在8A S ∈即可．【详解】（1）对于集合()(){}1,2,3,2,4,5P =，满足条件①：()1,2,3和()2,4,5恰好都含有3个元素；满足条件②：()()1,2,32,4,5⋂为单元素集合；但不满足条件③：()()1,2,32,4,5⋂≠∅，则P 不是“优选集”；对于集合()()(){}1,2,3,1,4,5,2,5,7Q =，满足条件①：()1,2,3，()1,4,5和()2,5,7恰好都含有3个元素；满足条件②：()()1,2,31,4,5⋂，()()1,4,52,5,7⋂，()()1,2,32,5,7⋂为单元素集合；满足条件③：()()()1,2,31,4,52,5,7=⋂⋂∅．所以集合Q 是“优选集”．（2）由集合S 为“优选集”，结合（1）显然1x A ∀∈，x 可以属于S 中的零个集合，一个集合，两个集合，取集合{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =，其中()1,,A x y z =，()2,,A x a b =，()3,,A x c d =，()4,,A y a c =，()5,,A y b d =，()6,,A z a d =，()7,,A z b c =，此时1x A ∀∈，x 可以属于S 中的两个集合，三个集合，假设存在1x A ∈，使得x 可以属于S 中的四个集合，即1234x A A A B ∈⋂⋂⋂，其中{}4,,B x e f =，为了满足条件③，显然还存在5B S ∈，为了满足条件②，5B 中的元素必须在1A ，2A ，3A ，4B 中除x 外的另外两个元素中各选一个，此时5B 中有4个元素，显然不满足条件①，因此假设不成立，故若集合S 为“优选集”，则1x A ∀∈，x 至多属于S 中的三个集合；（3）结合（2）有集合{}1234567,,,,,,S A A A A A A A =，其中()1,,A x y z =，()2,,A x a b =，()3,,A x c d =，()4,,A y a c =，()5,,A y b d =，()6,,A z a d =，()7,,A z b c =，此时S 的元素个数为7，假设存在8A S ∈，则可得8A 中必有元素y 或z ，不妨令8y A ∈，要使81A A ⋂，82A A ⋂，83A A ⋂都为单元素集合，则()8,,A y a c =或()8,,A y a d =或()8,,A y b c =或()8,,A y b d =，当()8,,A y a c =时，()4,,y a c A =，舍去；当()8,,A y a d =时，()6,,y a d A ⋂不是单元素集合，舍去；当()8,,A y b c =时，()7,,y b c A ⋂不是单元素集合，舍去；当()8,,A y b d =时，()5,,y b d A ⋂不是单元素集合，舍去，因此假设不成立，故集合S 的元素个数的最大值为7．【点睛】小问（2）的关键是先举例得到1x A ∀∈，x 可以属于S 中的三个集合，再用反证法证明不存在1x A ∈，使得x 可以属于S 中的四个集合；小问（3）的关键先得到S 中的元素个．数可以为7，再用反证法证明不存在8A S。
北京交大附中2020-2021学年第一学期期中练习
北京交大附中2020-2021学年第一学期期中练习高二数学一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 01．过点(2,1)-且倾角为60︒的直线方程为（ ）A 10y --=B 330y --=C 10y -+=D 330y -++=02．点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为（ ）A ．2B ．72C ．12D ．103．设(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则（ ）A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =04．若圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线1:40l x y -+=和直线2:30l x y +=都对称，则D E +的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．405．下列直线方程，满足“与直线y x =平行，且与圆22610x y x +-+=相切”的是（ ）A ．10x y -+=B ．70x y +-=C ．10x y ++=D ．70x y -+=06．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4420C x y x y +-+-=的位置关系是（ ）A ．外切B ．相交C ．内切D ．相离07．设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（ ）A ．34k <<B ．45k <<C ．3k >D ．35k <<08．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．1609．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F ∆是等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．1410．如果对于空间任意(2)n n ≥条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）A ．最大值为3B ．最大值为4C ．最大值为5D ．不存在最大值二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）11．已知直线1:210l x y ++=与直线2:420l x ay +-=垂直，那么1l 与2l 的交点坐标是____． 12．已知过(2,)A a -，(,10)B a 两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为____． 13．已知=a，(=-b ，则•+=a b b ____．14．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,2)D ，则直线OB 与平面ABD 所成角的为____．15．设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于,A B 两点，且弦AB的长为，则实数m 的值为____．16．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____． 三、解答题（本大题共5小题，共50分）17．以点P 为圆心的圆经过点(1,1)A -和(1,3)B ．线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且4CD =． （1）求直线AB 和CD 的方程； （2）求圆P 的方程．18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右顶点为(2,0)A ，离心率为12e =，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点（不同于点A ）． （1）求椭圆C 的方程； （2）当247PQ =时，求直线PQ 的方程及QPA 的面积； （3）设线段PQ 的中点为M ，若直线OM 的斜率为1-，求直线PQ 的方程．19．在如图所示的几何中，四边形ABCD 是正方形，平面ADFE ⊥平面ABCD ，AE AD ⊥，EF AD ∥，且6AB =，AE =3EF =． （1）求证：EA ⊥底面ABCD ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：EO ∥平面FCD ； （3）求二面角A FD B --的余弦值；（4）求平面ABE 和平面FCD 所成角的余弦值．BACDEFO20．如图，,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个顶点，AB =，直线AB 的斜率为12-，M 是椭圆C 长轴上的一个动点，设点(,0)M m ． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:2l x y m =-+与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ，证明：OCM ∆的面积等于ODN ∆的面积；（3）在（2）的条件下证明：22CM MD +为定值． 21．已知点(0,4)A ，圆22:4O x y +=，点P 圆O 上运动． （1）如果OAP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标；（2）如果直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，且2236AP AQ +=，求直线AP 的方程．。
上海市交大附中2020届2020届高三数学期中试卷
交大附中高三期中数学试卷2020.05一. 填空题1. 计算矩阵的乘积：()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 计算：012393n n nn n n C C C C ++++=L 3. 已知23sincos223θθ+=，则sin θ= 4. 若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为5. 在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项6. 如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则 AB 与平面β所成的角是 （用反三角函数表示）7. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的 对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则 △ABC 面积的最大值为8. 已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =9. 已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解， 则这7个解的和为10. 设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数， 且a b ≠，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n*==∈N ，则A 中所有元素的和为 11. 已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =12. 若实数x 、y 满足222(1)(1)22cos (1)1x y xyx y x y ++--+-=-+，则xy 的最小值为二. 选择题13. 已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是 “12()()f x f x <”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要 14. 已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A. 圆上 B. 抛物线上 C. 双曲线上 D. 椭圆上15. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=uu r uu u r，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB λμλμλμ==++≤∈R uu u r uu r uu u r所表示的区域的面积是（ ）A. 22B. 23C. 42D. 43 16. 已知1234,,,{1,2,3,4}a a a a ∈，1234(,,,)N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1,1,2,3)3N =，(1,2,2,1)2N =，求所有的256个1234(,,,)a a a a 的排列所得1234(,,,)N a a a a 的平均值为（ ） A. 8732 B. 114C. 17764D. 17564三. 解答题17. 如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d .18. 已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图像如下图所示.（1）求出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图像向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵 坐标不变）得到函数()y g x =的图像，求出函数()y g x =的单调递增区间及对称中心.19. 若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”.（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是 “0[,]m n ∉”.20. 如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=uu u r uu u r ，PE EB λ=uur uu r，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M .（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上； （3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值.21. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列.① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L ； ② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的 正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. (3,)a ac2. 4n3. 134.5. 56.7.8. 310([0,lg 2])x x -∈9. 3.5 10. 143 11. 1 12. 14二. 选择题13. C 14. B 15. D 16. D三. 解答题17.（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则10l =厘米，且2r l ππ=， 解得：5r =厘米， ……2分表面积=50S rl ππ=（平方厘米）， ……5分圆锥的高h ==∴体积213V r h π==（立方厘米）. …8分 （2）∵圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ……11分∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，h =厘米. ……14分 18.（1）由62A b A b +=⎧⎨-+=-⎩得：42A b =⎧⎨=⎩， …… 2分又由22T π=得：24T ππω==，∴12ω=， ……4分 而()63f π=得：262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，∵||2πϕ<，∴3πϕ=， ……6分综上：1()4sin()223f x x π=++. ……7分（2）显然()4sin(2)26g x x π=++， ……10分由222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 得：()g x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+，k ∈Z ， …… 12分由26x k ππ+=，k ∈Z 得：对称中心是(,2)212k ππ-，k ∈Z . ……14分19.（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立，2分 （说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=- ……2分） ∴()2x f x =是“依附函数”， ……3分②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =， ……5分此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”. ……6分 （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =， ……8分 ∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， …… 9分 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>， …… 11分 则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=， 而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”. ……14分20.（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =uu u r uu u r ，3PE EB =uuruu r ，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， …… 2分 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得：222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， …… 4分 ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=. ……5分 （2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-， …… 7分 ∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=， …… 9分解方程组得：交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证. ……10分（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=uu u r uu u r ，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++， 代入2y x =，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， ……12分 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根， ∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， …… 14分 ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+. ……16分21.（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则由6713a a a +=可得1a d =，再由2224967a a a a +=+化简得：244d d =，解得：1d =，∴n a n =， ……2分当1n =时，11423S b +=得：112b =；当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=， 两式相减得113n n b b -=，∴1123n n b -=⋅. …… 4分 （2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++L ， ……6分123121113521[35(21)][1]243333n n n n n n b b b n b nb +--=++++-+=+++++L L ， 设2135211333n n P --=++++L ，由错位相减法得：3333nn P +=-， …… 8分 ∴123(3)43n nn T +=-. …… 10分②假设存在正整数m 、n ，使得：12m n ma T a +=，代入化简得：23(23)3n nn m -+=，即2(23)23(23)n n m n +=+-+， ……12分令()33(23)n f n n =-+，则由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得：(1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<L L ． 当4n ≥时，()(4)480f n f ≥=>，∴3(23)2(23)nn n -+>+，即2(23)3(23)n n n +∉-+Z ，舍去； …… 15分当1n =时，3m =-，舍去； …… 16分 当2n =时，9m =，符合题意； …… 17分 当3n =时，3m =，符合题意； …… 18分综上：存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2).。
【40套试卷合集】上海交通大学附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2024-2025学年北京交大附中高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则a8=( )A. 9B. 11C. 13D. 152.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AB=a,AD=b,AA1=c，则BD1=( )A. a+b+cB. −a+b+cC. a−b+cD. a+b−c3.已知数列{a n}满足a n+1(1−a n)=1，若a1=−1，则a10=( )A. 2B. −2C. −1D. 124.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m//β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α5.设S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S3=−3，a5=2，则( )A. {a n}为递减数列B. a3=0C. S n有最大值D. S6=06.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的3，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是4( )A. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 3：47.设S n为数列{a n}的前n项和，a3=6且S n+1=3S n，则a1+a5等于( )A. 12B. 1643C. 55 D. 17038.已知底面边长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为83，则直线AC与A1B所成角的余弦为( )A. 32B. 22C. 34D. 249.已知等比数列{a n}的首项a1>1，公比为q，记T n=a1a2…a n.(n∈N∗)，则“0<q<1”是“数列{T n}为递减数列”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在直线进行翻折，将△CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是( )A. 点A与点C在某一位置可能重合B. 点A与点C的最大距离为3ABC. 直线AB与直线DE可能垂直D. 直线AF与直线CE可能垂直二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
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2020北京交大附中高一（上）期中
数 学
2020.11
说明：本试卷共4页，共120分。
考试时长90分钟。
一、选择题（共10小题,共40分）
1.已知集合
，，则
A.
C.
2.已知命题
，关于x 的方程
有解，则
A.0c ∀>，方程无解
B.0c ∀≤，方程有解
C.0c ∃>，方程无解
D.0c ∃≤，方程有解
3.如果
A.
B.
D.
4.下列各组函数
与
A.
，
B.，
C.，
D.
，
5.下列函数中，在区间
A.
B.
C.
D.
6.
是关于的方程
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.函数
A. B.
C. D.
8.已知函数与函数的图象关于轴对称，若在区间内单调递减，则的取值范围
9.一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁.事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字() A.4，6
B.3，6
C.3，7
D.1，7
10.设集合A 是集合*
N 的子集，对于i ∈*
N ，定义1, ,
()0, .i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩
给出下列三个结论：
①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意i ∈*
N 都满足()0i A B ϕ=且()1i A B ϕ=；
②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*
N 都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅； ③任取*
N 的两个不同子集A ，B ，对任意i ∈*
N 都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+.
其中所有正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③
D.①②③
二、填空题（共5小题,共20分） 11.函数的定义域为_________．
12.方程组221
x y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩的解集中元素的个数为_________.
13.若不等式在内恒成立，则的取值范围是_________．
14.已知函数(),()y f x y g x ==的对应关系如下表：
则((1))f g 的值为_________；满足(())(())f g x g f x >的x 的值是_________.
15.对任意的120x x <<，若函数12()||||f x a x x b x x =-+-的大致图象为如右图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），写出满足条件的一组,a b 的值分别为_________,_________.
三、解答题（共5小题；共60分） 16.已知集合{
}
2
450A x x x =-->,(3)0x a B x x a ⎧-+⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
．
（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
17.已知函数
．
（1）求函数
的定义域；
（2）用函数单调性定义证明：在上是增函数．
18.已知函数2
()1(,,R f x ax bx a b x =++∈为实数）
. （1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，当[2,2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）若()f x 为偶函数,且0,a >设(),0,
()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩
，0,0,mn m n <+>判断()()F m F n +是否大于零，
请说明理由.
19.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元2
/10kg )与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元2
/10kg )与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式
()Q g t =；
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若有常数M ，使得对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足等式
12()()
2
f x f x M +=，则称M 为函数()y f x =的“均值”.
（1）判断1是否为函数()21,11f x x x =+-≤≤的“均值”，请说明理由；
（2）若函数2
()2(12,f x ax x x a =-<<为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围；
（3）若函数()f x 是单调函数，且其值域为区间I .试探究函数()f x 的“均值”情况（是否存在、个数等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（只要写出一个正确结论即可,不必证明）.。