高三数学专题 三角函数之给值求值问题

三角函数之给值求值问题一、单选题1．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， cos 4παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α等于（ ）A .1516 B . 78 C D . 1532【答案】A2．已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 A .59 B . 89- C . 13- D . 79- 【答案】D 【解析】∵π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴1cos cos 2633a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1cos 33a π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭222π17cos 22cos 213339a πα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选D二、填空题 3．已知3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【答案】7点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，， sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三。

4．已知4sin 5α=， 2παπ<<，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【解析】4sin 5α=， 2παπ<<，所以3cos 5α=-.34cos cos sin 422252510πααα⎛⎫⎛⎫-=+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答案为. 5．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为________． 【答案】34π 【解析】因为()()tan 1tan 12αβ--=，所以tan tan tan tan 1αβαβ+=-因此()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--因为()30,4παβπαβ+∈∴+= 6．若()sin cos 3,tan 2sin cos αααβαα+=-=-,则()tan 2βα-______.【答案】43点睛：这个题目考查了三角函数中，两角和差的正切公式的应用，考查了给值求值的应用；一般这种题目是尽量用已知三角函数值的角表示要求的角；在这种题型中需要注意角的范围，已知三角函数值的角的范围是否能通过值缩小。

7．若()3tan cos 2,222ππθπθθ⎛⎫-=-<⎪⎝⎭，则sin2θ=__________．【解析】由题意，13cos 3cos 2cos sin tan 2sin 23θθθθθθ=⋅⇒=⇒=，又2πθ<，所以02πθ<<，得cos θ=，所以sin22sin cos 9θθθ==。

点睛：三角函数恒等关系的题型关键在于公式的掌握和应用。

本题中，首先应用诱导公式将条件化简，切化弦，得到2sin 3θ=，之后判断象限，得到02πθ<<，最后二倍角公式应用sin22sin cos θθθ==8．已知()3sin 25αβ-=， 12sin 13β=-，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ,02πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则 sin α的值为________．【解析】∵π2<α<π，∴π<2α<2π. ∵－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin (2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝1213-，∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos (2α－β)cos β－sin (2α－β)sin β453125651351365⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又π(,π)2α∈，∴sin α9．若cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114， α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， α＋β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则β＝________. 【答案】3π10．已知()cos sin 6παπα⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】725-三、解答题 11．已知4tan 3α=， 32ππα<<， ()12cos 13αβ-=-， 2παβπ<-<. （1）求sin α与cos α的值； （2）求sin β的值. 【答案】(1) sin α= -45、cos α= -35 (2) 6365【解析】试题分析：(1)利用同角基本关系即可得到sin α与cos α的值；（2）利用配角法sin β=sin [α-(α-β)]，把问题转化为α与αβ-的正余弦值问题. 试题解析： (1)因为 π< α<32π，所以sin α= -45 、cos α= -35; (2)因为2π<α-β<π,所以sin (α-β)=513,于是sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=(-45)× (-1213)-(-35)×513=3365. 12．已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 512sin 413πβ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值. 【答案】()56sin 65αβ+=. 【解析】试题分析：根据三角函数的诱导公式得到()()sin sin αβπαβ⎡⎤-+=++⎣⎦，用已知角表示未知角，即()5sin sin 44πππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++=+--⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，按公式展开即可.点睛：这个题目考查了三角函数中的配凑角，诱导公式的应用，给值求值的题型。

一般这种题目都是用已知角表示未知角，再根据两角和差公式得到要求的角，注意角的范围问题，角的范围通常是由角的三角函数值的正负来确定的。

13．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求sin 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】(Ⅰ) 35-；(Ⅱ) 50-. 【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可。

（2）根据两角和差公式得到πππsin 2sin2cos cos2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由二倍角公式得到sin2α， cos2α，代入公式即可。

点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般sin cos sin cos αααα+-，， sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三。

14．已知函数()()sin cos f x x a x x R =+∈，π4是函数()f x 的一个零点． （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调增区间．（Ⅱ）若α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π4f α⎛⎫+=⎪⎝⎭， 3π4f β⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．【答案】(Ⅰ) 1a =-，单调增区间是()π3π2π,2π44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）利用函数的零点的定义列出方程，求出a 的值再代入解析式，利用两角差的正弦公式化简解析式，再由整体思想和正弦函数的单调增区间求出()f x 的增区间；（2）由（1）和条件分别求出sin ,cos αβ，再由角的范围和平分关系求出cos sin αβ，利用两角和的正弦公式求出()sin αβ+的值．（Ⅱ）∵π4f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，α=，∴sin 5α=， ∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 5α==，∵3π4f β⎛⎫+=⎪⎝⎭，π2β⎛⎫+=⎪⎝⎭∴cos β=∴π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin β==，∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=．15．已知函数()2211sin cos cos 22f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =在[]0,π上的单调递增区间． （2）若π7π,312α⎛⎫∈⎪⎝⎭且()35f α=，求π12f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭；（2 【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论；（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式，求得π12f α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.（2）因为π7π,312α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以ππ2,π62α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．因为()π3265f sin αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π4cos 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以πππππππsin2sin 2sin 2cos cos 2sin 12666666f ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，341552=-⨯= 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()sin y A x ωφ=+的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()sin y A x ωφ=+，然后利用三角函数sin y A u =的性质求解。