电磁学课件：8 静电场的唯一性定理
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chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28
n n
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；
b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：
第2节唯一性定理
o R 0
M 在圆心缩为一点，条件不变，解不变。
由此得出
Q 4 0 r
1
r R0
请说明原因，并画出电力线图示。
例：求偶极子在远区的场。 偶极子：1 其线度 l r 2 电荷线度线度 l 定义——偶极矩 P ql
(r ) 1
q q q r r' r' ( ) 4 0 r r' 4 0 rr ' q l cos 1 Pr 2 3 q l q 4 0 r 4 0 r
或
u
n s
0
使等式左端=0，则右端
2 2 ( u ) 0 u 0 ( u ) dV 0
v
u 0
V内 u =常数 1）若 u 0即1 2，同一个势，对应同一 个场。 2）1 , 2 可相差一个常数，不影响场分布。 电场分布唯一确定。
r
1 Pr 1 1 E 3 ( P ) 4 0 r 4 0 r 1 3( P r )r P ( 3) 5 4 0 r r 1 P cos ( E ) r E er 2 0 r3 1 P sin ( E ) E e 3 4 r 0 (E) E e 0
2 s'
2u 0
s'
uu dS uu dS uu dS
s si
v'
(u ) dV uu dS
2 s'
在 Si 表面上 u 常数
u u dS u u dS u dS 0 su si si n i
E1 E2 n
M 在圆心缩为一点，条件不变，解不变。
由此得出
Q 4 0 r
1
r R0
请说明原因，并画出电力线图示。
例：求偶极子在远区的场。 偶极子：1 其线度 l r 2 电荷线度线度 l 定义——偶极矩 P ql
(r ) 1
q q q r r' r' ( ) 4 0 r r' 4 0 rr ' q l cos 1 Pr 2 3 q l q 4 0 r 4 0 r
或
u
n s
0
使等式左端=0，则右端
2 2 ( u ) 0 u 0 ( u ) dV 0
v
u 0
V内 u =常数 1）若 u 0即1 2，同一个势，对应同一 个场。 2）1 , 2 可相差一个常数，不影响场分布。 电场分布唯一确定。
r
1 Pr 1 1 E 3 ( P ) 4 0 r 4 0 r 1 3( P r )r P ( 3) 5 4 0 r r 1 P cos ( E ) r E er 2 0 r3 1 P sin ( E ) E e 3 4 r 0 (E) E e 0
2 s'
2u 0
s'
uu dS uu dS uu dS
s si
v'
(u ) dV uu dS
2 s'
在 Si 表面上 u 常数
u u dS u u dS u dS 0 su si si n i
E1 E2 n
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
静电场微分方程及唯一性定理
2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。 二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件 只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题 唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程 一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一
唯一性定理
唯一性定理
静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面 上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边 界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出 整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且 解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件 设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件 的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
10
2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
15
所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球 面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场 强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分
静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面 上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边 界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出 整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且 解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件 设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件 的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
10
2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
15
所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球 面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场 强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
- 1 -。
静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]
![静电场的唯一性定理_工程电磁场_[共5页]](https://img.taocdn.com/s3/m/c5edc5c8fc4ffe473268ab5b.png)
（2-8-12） （2-8-13）
讨论的是同一个体系，必有： ∇ ⋅ D ' = ∇ ⋅ D '' = ρ
则式（2-8-13）第一项为零，得 ∇ ⋅ Z (r) = −(E '− E '') ⋅ (D '− D '')
对上式两边积分
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV = −∫∫∫ (E '− E '') ⋅ (D '− D '')dV
分布在有限区域的无界电场问题，在无限远处（ r → ∞ ）应有
lim[rϕ] = 有限值
r→∞
（2-8-9）
这表明 rϕ 在无限远处是有界的，即电位 ϕ 在无限远处取值为零 ϕ r→∞ = 0 。 当场域中存在多种介质时，还必须引入不同介质分界面上的边界条件，常称为辅助的边
界条件。
2.8.3 静电场的唯一性定理
（2-8-10）
构造如下的函数：
Z (r) = (ϕ '− ϕ '')(D '− D '')
（2-8-11）
在给定边界所包围的体积内对上式进行体积分，并利用散度定理得
∫∫∫ ∇ ⋅ Z(r)dV= ∫∫∫ ∇ ⋅[(ϕ '− ϕ '')(D '− D '')]dV
V
V
利用矢量恒等式 ∇ ⋅ (ϕ A) = ∇ϕ ⋅ A + ϕ∇ ⋅ A ，则 ∇ ⋅ Z (r=) (ϕ '− ϕ '')(∇ ⋅ D '− ∇ ⋅ D '') +(∇ϕ '− ∇ϕ '') ⋅ (D '− D '')
1.8 静电场的唯一性定理
像电荷
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌 编
解：
• 任一 点的电势 任一P点的电势
q q' U(x, y, z) = ( + ) z ≥0 4 0 r r' πε 2 2 2 其 r' = x + y +(z +a) ； 中
r = x2 + y2 +(z −a)2 1 1 1 U(x, y, z) = − 2 2 2 2 2 2 4 0 x + y +(z −a) πε x + y +(z +a)
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
1
导体上电荷的面密度e =ε0En(z = 0) = −n⋅ε0∇ σ U
q a ∂U σe = −ε0 ==− 3 2 2 2 2 π 2 (x + y +a ) ∂z z=0
l
2
编
ρ
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为 真空中有一半径为 的接地导体球，距球心为a(a>R)处有一 处有一 点电荷Q,求空间各点电势 点电荷 求空间各点电势
关于静电场中唯一性定理的证明
关于静电场中唯一性定理的证明
静电场中唯一性定理：满足静电场的**Maxwell方程组的唯一解，取决于指定的边界条件而不受初始条件的约束。
为了证明该定理，我们首先考虑Maxwell方程组：
$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
可以看出，这套方程是由边界条件决定的，其解也是由边界条件决定的。
为证明唯一性定理，我们使用变分法从而得出以下**Euler-Lagrange方程组：
$\frac{\partial L}{\partial \vec{E}}-\frac{\partial}{\partial
\vec{x}}\frac{\partial L}{\partial(\frac{\partial\vec{E}}{\partial
x})}+\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial\frac{\partial
\vec{E}}{\partial t}}=0$
其中，$L$表示Lagrange函数，它是由Maxwell方程组构成的。
由此，我们可以得出雅可比方程：
这组方程有两个基本性质，一是称为“唯一性原理”，一是称为“不变性定理”。
不变性定理：对于给定的满足Maxwell方程组的特定边界条件，解不会随着时间变化而变化。
这两个定理说明，解是唯一的，而且不受初始条件的限制，而只受边界条件的约束。
因此，以上证明了静电场中唯一性定理。
静电场边值问题的唯一性定理共21页文档
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
静电场边值问题的唯一性定 理
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
静电场边值问题的唯一性定 理
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
静电场的唯一性定理及其应用(精)
静电场的唯一性定理及其应用
11
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
平行双电轴法
26
A DnA A DnA
14
q
q
E
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
2
2
平行双电轴法
18
可知： 1) 若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
出以x0为圆心R0为半径的等位圆。
2) 若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3) 若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
平行双电，给定各导 体表面的电荷量，此时由边值问 题所解得的电位函数，仅相差一 无关紧要的常数，而电位的梯度 E是唯一的。
3、若给定某些导体表面的电 位值，及其它导体表面(导体 表面为等位面)的电荷量，此 时由边值问题所解得的电位函 数为唯一。
11
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
平行双电轴法
26
A DnA A DnA
14
q
q
E
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
2
2
平行双电轴法
18
可知： 1) 若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
出以x0为圆心R0为半径的等位圆。
2) 若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3) 若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
平行双电，给定各导 体表面的电荷量，此时由边值问 题所解得的电位函数，仅相差一 无关紧要的常数，而电位的梯度 E是唯一的。
3、若给定某些导体表面的电 位值，及其它导体表面(导体 表面为等位面)的电荷量，此 时由边值问题所解得的电位函 数为唯一。
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是指：在相同的静电场中，对任意一点，总的电场强度和电场的方向唯一确定，其相应的力场强度和力场方向也唯一确定。
一、定理内容
1、静电场唯一性定理指出：在同一个静电场中，总的电场强度以及它的方向，是唯一确定的。
2、电场强度和方向唯一确定，则相应的力场方向及强度也唯一确定。
3、对于任何一点，在同一个静电场中，电场强度和力场强度（方向）都是唯一确定的，而不用管附近是否有其它电荷存在。
二、定理的严谨性
静电场唯一性定理可以从两个层面上来说明它的严谨性：
1、在相同静电场中，总电场强度和电场方向是唯一确定的，这样在相同的静电场中，不管电荷位置以及大小如何变化，都会得到相同的电场结果。
2、只要电荷总量不变，就可以确定电场强度，而不用考虑附近有没有
其它电荷的存在，所以，电场的强度和方向都是唯一确定的。
三、定理的应用
1、用来研究静电场：静电场唯一性定理是用来研究电场的重要定理，
可以用来评估复杂的电场结构，也可以用来求解各类电力学问题，如：电场及电动势分布，电容电感等问题。
2、在分析电场结构时有重要作用：静电场唯一性定理在分析电场结构
时有重要作用，它可以把电场潜力和电场强度根据电荷分布范围与数量，用一种抽象的模型来简化整个计算过程，以达到某种理想的数值
结果。
3、研究电场特性时也有用：静电场唯一性定理也用在研究电场特性时，由于电场强度和方向都是唯一确定的，所以，在研究电场物理学时，
可以从多种不同的角度出发，以简化分析，缩小计算空间，这样可以
得出更加准确的结果。
第二章第二节 唯一性定理
ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上， 因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一： 例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放 置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关， 与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为 均匀分布，与 M在球壳内的 位置无关。
S
M
证明： 证明： 所研究的区域为球壳外的区域， 其界面为 S∞ 和 S 。 边界 S∞ 上的电势为零； 而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不 论M在球壳内何处，只要在球壳 内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13） 外边界面 可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi
静电场唯一性定理
关于静电场唯一性定理
王向斌 静电场唯一性定理的部分内容表述
若真空区域所有边界面的条件确定了,则该真空区域的静电场 就唯一确定了. 根据此定理,不论真空区域以外(含边界)的电荷分布如何变化, 只要边界条件维持不变,则真空区域电场维持不变. (但是区域 以外的电场可能会发生变化.) 换言之,不论真空区域以外的实 际点荷分布如何,我们可以在真空区域之外构造一种简单的电 荷分布,只要它能够满足给定的真空区域边界面条件,我们就可 以按这种人为构造的电荷分布计算真空区域内的电场. (但不能 用此法计算真空区域以外的电场.) 根据此定理,只要找到一个电势函数, 能满足区域真空条件和 边界条件的要求,则真空区域内的电场可由该函数算出. (真空区域以外的电场不可以.)
思考题: 上述封闭面S在引理和定理中,是否必需是导体面? 还是任何满足面上电势要求的数学面都可以? 思考题: 在哪里用到或者隐含用到了势函数满足区域真空条件?
应用
静电屏蔽,电像法, 其他计算问题 思考题: 电像法中,像电荷为什么必需在真空区域以外? 思考题: 课本的电像法例题中,利用了唯一性定理.究竟是怎样与 唯一性定理的边界条件一一对应的? 即,接地的无限大金属板以及 题中的点电荷应该理解成唯一性定理的哪一个边界面?
引理2: 引理1中,若封闭面S是带电量为0的等势面,结论依然成立.
唯一性定理的部分内容的证明
条件: 静电场情况; 封闭面S, 该面电势函数确定;S面内部最多有3类区域: 真空区域, 电势确定的的导体区域,和带电量确定的导体区域.
依据唯一性定理, 上述真空区域的电场唯一确定. 思路: 真空区域若有两个势函数,函数1和函数2都满足边界条件 和区域真空条件, 把这两个势函数之差看成第三个势函数,由于 每个势函数边界条件都一样, 第三个势函数的边界条件必然是 引理1中的边界条件,因而第三个势函数在真空区域是等势区域, 此即说明函数1和函数2在真空区域最多只相差一个常数,因此给 出相同的电场. 思考题: 为什么两个电势函数之差这样一个数学函数一定可以 看成一个电势函数?
王向斌 静电场唯一性定理的部分内容表述
若真空区域所有边界面的条件确定了,则该真空区域的静电场 就唯一确定了. 根据此定理,不论真空区域以外(含边界)的电荷分布如何变化, 只要边界条件维持不变,则真空区域电场维持不变. (但是区域 以外的电场可能会发生变化.) 换言之,不论真空区域以外的实 际点荷分布如何,我们可以在真空区域之外构造一种简单的电 荷分布,只要它能够满足给定的真空区域边界面条件,我们就可 以按这种人为构造的电荷分布计算真空区域内的电场. (但不能 用此法计算真空区域以外的电场.) 根据此定理,只要找到一个电势函数, 能满足区域真空条件和 边界条件的要求,则真空区域内的电场可由该函数算出. (真空区域以外的电场不可以.)
思考题: 上述封闭面S在引理和定理中,是否必需是导体面? 还是任何满足面上电势要求的数学面都可以? 思考题: 在哪里用到或者隐含用到了势函数满足区域真空条件?
应用
静电屏蔽,电像法, 其他计算问题 思考题: 电像法中,像电荷为什么必需在真空区域以外? 思考题: 课本的电像法例题中,利用了唯一性定理.究竟是怎样与 唯一性定理的边界条件一一对应的? 即,接地的无限大金属板以及 题中的点电荷应该理解成唯一性定理的哪一个边界面?
引理2: 引理1中,若封闭面S是带电量为0的等势面,结论依然成立.
唯一性定理的部分内容的证明
条件: 静电场情况; 封闭面S, 该面电势函数确定;S面内部最多有3类区域: 真空区域, 电势确定的的导体区域,和带电量确定的导体区域.
依据唯一性定理, 上述真空区域的电场唯一确定. 思路: 真空区域若有两个势函数,函数1和函数2都满足边界条件 和区域真空条件, 把这两个势函数之差看成第三个势函数,由于 每个势函数边界条件都一样, 第三个势函数的边界条件必然是 引理1中的边界条件,因而第三个势函数在真空区域是等势区域, 此即说明函数1和函数2在真空区域最多只相差一个常数,因此给 出相同的电场. 思考题: 为什么两个电势函数之差这样一个数学函数一定可以 看成一个电势函数?
电磁学8 静电场的唯一性定理
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足
势处处为0
证明（反证）
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 Uk (k 1,2) 有两种恒定的电势分布U I和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分
布
UI UII EI EII
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
电量与场 强、电势
第k个导体上的电量
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
静电场的唯一性定理
静电场若干关系
电场的若干关系
U 2 0
当 0
U 2 0
E U
（1）
Laplace equation
静电场若干关系
对静电场E
Ò
Eds
2Udv
如果
E F
则有
E F E • gradΒιβλιοθήκη 静电场若干关系 Green函数
当E为一数函数之梯度
E grad
由Gauss定理有
grad 2 •
静电场边界条件的唯一性定理
魏国华
0710261
南开大学物理学院
2008年6月
静电场边界条件的唯一性定理
所谓唯一性定理，就是在一个空间内，导体的 带电量或者电势给定以后，空间电场分布恒定、 唯一。边界条件可以是各导体电势，各导体电 量或部分导体电量与部分导体电势之混合，这 样根据高斯公式，泊松方程、拉普拉斯方程可 证明空间电场分布。
Ò grad • ds (2 • )dv
s
v
Ò grad • ds (2 • )dv
s
v
静电场边界条件定理1
因此
(2 2)dv
v
( grad grad) • ds s
静电场边界条件定理1
定理一： 有函数U满足（1）且满足空间边界面S上
所确定的U值，则该函数唯一。 证：若有U1，U2都 满足，则在S面上，
y
A
r a 1•
r
OO c
b
B•
x
一球接地，半径a,球外距球心b 处有电荷e，求球外电势之分布
唯一性定理之应用2
易知电势分布关于OB对称，如图，
只需求X-Y面,再将y 2变y 2 z 2即可
设C c,0 是(b, 0)的像点，其关系
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极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值
引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0
证明（反证）
即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
设对 应同 一组 边值 有两 种恒 定电 势分 布
U Qk e dS 0 En dS 0 dS n Sk Sk Sk
与电势参 考点有关， 不影响电 势梯度
U 0 dS 0 U U I U II 常 量 EI E II n Sk
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等
证明（反证）
若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
静电场边值问题的 唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 理论证明在电动力学中给出，p66 给出普物 方式的论证 论证分三步：引理——叠加原理——证明
引理二
( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足 4：给定每个导体的电势为0
唯一性定理
给定每个导体电势的情形
设对应同一组边值 U k (k 1,2) 有两种恒定的电势分布 U I 和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布
U I U II E I E II
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形
第k个导体上的电量
电量与场 强、电势 的关系
说明场分布是唯一的
解释静电屏蔽
唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解
像电荷