电磁学课件：8 静电场的唯一性定理

像电荷
静电场边值问题的 唯一性定理

典型的静电问题

给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解
唯一性定理


对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 理论证明在电动力学中给出，p66 给出普物 方式的论证 论证分三步：引理——叠加原理——证明
Baidu Nhomakorabea
引理二
( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量
叠加原理

在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予 两组边界条件：
1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k （或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k） 特例 ： 取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)满足 4：给定每个导体的电势为0
极大
几个引理
极小

引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值

引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0
证明（反证）
即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一
在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾
说明场分布是唯一的
解释静电屏蔽

唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不 违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷 分布就是唯一可能的分布。

图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实 在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法

在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间 的电场分布和导体表面上的电荷分布 基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了， 解是唯一的，可以寻找合理的试探解

唯一性定理

给定每个导体电势的情形

设对应同一组边值 U k (k 1,2) 有两种恒定的电势分布 U I 和U II
相当于所有导 体上电势为0时 的恒定电势分 布
U I U II E I E II
说明场分布是唯一的
给定每个导体上总电量的情形

第k个导体上的电量
电量与场 强、电势 的关系
推广：若完全由导体所包围的空间里各导体
的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等

证明（反证）

若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾
设对 应同 一组 边值 有两 种恒 定电 势分 布
U Qk e dS 0 En dS 0 dS n Sk Sk Sk
与电势参 考点有关， 不影响电 势梯度
U 0 dS 0 U U I U II 常 量 EI E II n Sk