高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末评估验收 新人教A版选修2-1

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何

章末评估验收 新人教A 版选修2-1

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a ，2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c

答案：C

2．空间直角坐标中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )

A ．平行

B ．垂直

C ．相交但不垂直

D ．无法确定 解析：因为AB →＝(－2，－2，2)，CD →

＝(1，1，－1)， 又因为AB →＝－2CD →，所以AB →∥CD →

，即AB ∥CD . 答案：A

3．已知a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－1

2

C ．x ＝16，y ＝－32

D ．x ＝－16，y ＝32

答案：C

4．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( ) A ．－15 B ．－5 C ．－3

D ．－1

解析：a ＝(3，2，－1)，b ＝(1，－1，2)，所以5a ²3b ＝15a ²b ＝－15. 答案：A

5．已知a ²b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )²(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.3

2 B ．－32

C ．±32

D ．1

答案：A

6．(2014²广东卷)已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1)

D ．(－1，0，1)

解析：利用向量数量积公式的变形公式cos 〈a ，b 〉＝

a ²b

|a ||b |

求向量的夹角，各项逐一验证．选项B 中cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a ||b |＝1³12³2＝1

2

，所以〈a ，b 〉＝60°.

答案：B

7．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝13AC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为( )

A.216a

B.66a

C.

156

a D.153

a 答案：A

8．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，

F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )

A ．(1，－2，4)

B ．(－4, 1，－2)

C ．(2，－2，1)

D ．(1，2，－2)

答案：B

9．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB 1⊥BC 1，则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

答案：B

10．已知正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )

A.23

B.33

C.

23 D.13

解析：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，

C 1(0，1，2)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，

从而DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)，DC →

＝(0，1，0)． 设平面BDC 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，

则⎩⎨⎧n ²DB →

＝0，

n ²DC 1

→＝0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0.

令z ＝－1，得n ＝(－2，2，－1)． 因为cos 〈DC →，n 〉＝DC →

²n |DC →||n |＝2

3，

所以CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为2

3.

答案：A

11．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下面结论错误的是( )

A ．BD ∥平面C

B 1D 1 B ．A

C 1⊥BD

C ．AC 1⊥平面CB 1

D 1 D ．向量AD →与CB 1→

的夹角为60°

答案：D

12．已知OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →

＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →²QB →

取得最小值时，点Q 的坐标为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，43，83 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，43，73 答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知a ＝(2，－1，0)，b ＝(k ，0, 1)，若〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________．

解析：因为cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a ||b |＝2k 5³k 2

＋1＝－12＜0，所以k ＜0，且k 2

＝511.所以k ＝－

55

11

. 答案：－

5511

14．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．

答案：(－64，－26，－17)

15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，

a 1＝(1，1，1)，

b 1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．

解析：由题意，cos θ＝|cos 〈a 1，b 1〉|＝|a 1²b 1|

|a 1||b 1|＝

（1，1，1）³（－3，4，0）3³5＝3

15. 答案：

3

15

16．已知四面体顶点A (2，3，1)、B (4，1，－2)、C (6，3，7)和D (－5，－4，8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为________．

答案：11

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，

C (－1，1，－3)，

D (3，－5，3)．

求证：四边形ABCD 是一个梯形．

证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →

＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，