§2 三角形中的几何计算

一次机器人足球比赛中， 例 2 一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀速 直线运动，到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速 直线运动， 作匀速直线滚动.如图所示， dm,AD=17dm， 度向点 A 作匀速直线滚动.如图所示，已知 AB=4 2 dm,AD=17dm， 则该机器人最快 ∠BAC=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间， BAC=45° 若忽略机器人原地旋转所需的时间， 可在何处截住足球？ 可在何处截住足球？
知 识 结 构 图
例1：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9， 如图，在梯形ABCD中 AD//BC，AB＝ ABCD AC＝ ∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长. BCA＝30° ADB＝45° BD的长. 的长
AB＝ AC＝ BCA＝30° 解：在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理， 由正弦定理，得
AB AC = sin ∠BCA sin ∠ABC
AC sin ∠BCA 9sin 30 9 sin ∠ABC = = = . AB 5 10
BAD＝ ABC, ∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC, AD//BC，∴∠BAD 180° 于是 sin ∠BAD = sin ∠ABC =
9 . 10
所以 AC = 17 − 2x = 7(dm), 或 AC = −
23 不合题意，舍去). (dm) (不合题意，舍去). 3 处截住足球. 答：该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7dm 的点 C 处截住足球.
如图所示， 已知⊙ 的延长线上， BC=1， 例 3 如图所示， 已知 ⊙O 的半径是 1， C 在直径 AB 的延长线上， 点 BC=1， 上半圆上的一个动点， PCD， 点 P 是⊙O 上半圆上的一个动点 ，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 的两侧. 与圆心分别在 PC 的两侧. 的函数； (1) 若 ∠POB = θ ， 试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 θ 的函数； 面积的最大值. (2) 求四边形 OPDC 面积的最大值.
2 2 2 解: ∵ b = a + c − 2 ac cos B
∴ 2 = 3 + c 2 − 2 3c cos 45
即 c − 6c + 1 = 0
2
解之， 解之，得 c =
6± 2 . 2
2. 在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状 的形状. ＝ ° ＝ ＋ ，试判断△
由正弦定理， 解： 由正弦定理， 2 sin B = sin A + sin C , 得
∵ B = 60 ,∴ A + C = 120 ,
代入上式， ∴ A = 120 − C 代入上式，得
2sin 60 = sin(120 − C ) + sin C
展开，整理得： 展开，整理得：
3 1 sin C + cos C = 1 2 2
知足常足，终身不辱；知止常止，终身不 耻。 ——老聃
分析： 分析：四边形 OPDC 可以分成 ∆OPC 与 ∆PCD . S ∆OPC 可用
1 表示； OP ⋅ OC sin θ 表示； 而求 ∆PCD 的面积关键在于求出边长 2
PC， 中利用余弦定理即可求出； PC，在 ∆OPC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值 的获得，则可通过三角函数知识解决. 的获得，则可通过三角函数知识解决.
∴ sin(C + 30 ) = 1,∴ C + 30 = 90
,
∴ C = 60 ,故 A = 60
∴△ABC 为正三角形. ∴△ABC 为正三角形.
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决 能够正确运用正弦定理 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 通过对全章知识的总结提高， 2. 通过对全章知识的总结提高，应系统深入地掌握本章 知识及典型问题的解决方法. 知识及典型问题的解决方法.
余弦定理， 在 ∆ABC 中，由余弦定理，得
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB ⋅ AC cos A ,
即 x 2 = (4 2) 2 + (17 − 2 x ) 2 − 2 × 4 2 × (17 − 2 x ) cos 45 .
37 解得 x1 = 5(dm), x 2 = (dm) 3
π 5 3 = 2sin(θ − ) + .(0 < θ < π) 3 4
π π 5π 5 3 (2)当 θ − = ，即 θ = 时, ymax = 2 + 3 2 6 4
答 四边形 OPDC 面积的最大值为 2 +
5 3 . 4
1.在△ABC 中，已知 a = 3, b = 2, B = 45 ，求边 c. 在
分析
机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同
时到达的地方， 时到达的地方，设为 C 点，利用速度建立 AC 与 BC 之间的 关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题. 关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题.
解
处截住足球， 设该机器人最快可在点 C 处截住足球，点 C 在线段
BC=xdm,由题意 由题意， AD 上，设 BC=xdm,由题意，CD=2xdm. AC=AD-CD=(17AC=AD-CD=(17-2x)(dm).
§2
三角形中的几何计算
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、 能够正确运用正弦定理 决一些与测量以及几何计算有关的实பைடு நூலகம்问题. 决一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 通过对全章知识的总结提高， 2. 通过对全章知识的总结提高，系统深入地掌握本章 知识及典型问题的解决方法. 知识及典型问题的解决方法.
（ 由余弦定理， 解： 1）在 ∆OPC 中，由余弦定理，得
PC 2 = OP 2 + OC 2 − 2OP ⋅ OC cos θ = 5 − 4 cos θ , (0 < θ < π )
所以 y = S∆OPC + S∆PCD
1 3 = ×1× 2sin θ + (5 − 4 cos θ ) 2 4
9 同理， AB＝ 同理，在△ABD 中，AB＝5， sin ∠BAD = ， 10
∠ADB＝45° ADB＝45°
9 2 解得 BD = 2
9 2 答： BD 的长为 。 2
求解三角形中的几何计算问题时， 求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量 之间相关联的量， 之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可 直接求解的量上来. 直接求解的量上来.