§2 三角形中的几何计算

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三角形中的几何计算

三角形中的几何计算【知识与技能】1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.【重点】应用正、余弦定理解三角形.【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题）（1）S =21；（2）S =21ab sin C =21 =21；（3）S =21·r · (r 为三角形内切圆半径)；（4）2a b c S p ++⎫==⎪⎭其中(海伦公式)；（5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A BS B C=== ; （6）4abcS R=(其中R 为三角形外接圆半径)。

类型1 三角形中的面积计算问题【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ，∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________．解：由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.类型2 三角形中的长度、角度计算问题【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2×10x cos60°,∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16。

数学：2.2-2.3《三角形中的几何计算》与《解三角形的实际应用举例》(理)知识精讲(北师大版必修5)

高二数学第二章第2-3节三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（理）【本讲教育信息】一、教学内容：三角形中的几何计算及实际应用举例二、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。

（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。

三、知识要点分析：1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）（i ）大角对大边：,,,A B a b B C b c C A c a >⇒>>⇒>>⇒> （ii ）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，（R 是三角形外接圆的半径）（iii ）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-（iv ）三角形的面积S △ABC 111sin sin sin 222ABCS bc A ac B ab C pr ====4abc R = 2. 解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。

（3）解决实际问题的步骤。

（i ）理解题意分清已知与未知。

（ii ）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。

（iii ）作答。

3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i ）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（ii ）sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin 2222A B C A B CA B C A B C +++=+=-== （iii ）tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C A C++=【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，AB=AD ，βα=∠=∠ABC ,CAD 。

2三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例.

第8课时三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例
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第三章三角函数
栏目导引
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第三章三角函数
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1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析：由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
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第三章三角函数
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________m.
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第三章三角函数
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解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，

北师大版必修5高中数学2.2三角形中的几何计算(1)导学案

高中数学 2.2三角形中的几何计算（1）导学案北师大版必修5【学习目标】 1、能够运用正弦定理、余弦定理解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

【学习重点】 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

[A] 2 请同学们写出余弦定理及其变形形式。

（一）学习探究探究一 [A] 在ABC ∆中，已知14b =，30A =，120B =，求a 及ABC ∆的面积S 。

（温馨提示：先由正弦定理求出a ，再结合三角形内角和定理及三角形面积定理求出ABC ∆的面积S ）个性笔记探究三[C] 在ABC ∆中，三边长为连续整数，最大角是最小角的两倍，求ABC ∆的三边a 、b 、c 。

（其中a b c <<）（温馨提示：,1,2,,a n b n c n n N +==+=+∈再由已知条件结合正余弦定理求出三边。

）（二）当堂检测[ A ]1.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）（A ）90 （B ）120 （C ）135 （D ）150[ B ]2．在△ABC 中，AB=4，AC=8，BC 边上的中线AD=3，则BC 的长是（）（A ）213 （B ）231 （C ）231+ （D ）213+[ B ]3.设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1cos 3A =,,5,sin C=4B b π==则，ABC ∆的面积S = 。

[ B ]4.在△ABC 中，2545,10,cosC=.5B AC ==（1）求边BC 的长.（2）记AB 的中点为D ,求中线CD 长.教与学的反思。

§2 三角形中的几何计算

(10 分) (12 分)
栏目，c 间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．
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第二章解三角形
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
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第二章解三角形
在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于
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第二章解三角形
(2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
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第二章解三角形
解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
2.在△ABC 中，A，B，C 是三角形的三内角， a，b，c 是三内角对应的三边，已知 b2＋c2－a2＝bc.若 a＝ 13，且△ABC 的面积为 3 3，求 b＋c 的值．解：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，又 A 为三角形内角，所以 A＝π3.
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第二章解三角形
＝
1－2

5
52＝

55，sin
A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB

几何中的三角形周长与面积计算与应用

几何中的三角形周长与面积计算与应用三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一。

它具有简单的形状和明确的特征，使得三角形的周长与面积计算成为了几何学的基础知识之一。

在本文中，我们将探讨三角形周长与面积的计算方法以及其在实际应用中的重要性。

一、三角形周长的计算计算三角形的周长需要知道三个边长，我们可以根据三个边长之和来计算周长。

设三角形的三边分别为a、b、c，则三角形的周长P等于a+b+c。

例如，已知一个三角形的边长分别为5cm、7cm和8cm，我们可以使用上述公式计算其周长。

根据公式，周长P=5+7+8=20cm。

因此，该三角形的周长为20cm。

二、三角形面积的计算三角形的面积计算是通过三角形的底和高来完成的。

设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S等于底乘以高的一半，即S=1/2 * b * h。

例如，已知三角形的底为4cm，高为6cm，我们可以根据上述公式计算该三角形的面积。

根据公式，面积S=1/2 * 4 * 6=12cm²。

因此，该三角形的面积为12cm²。

三、三角形周长和面积的应用三角形周长和面积的计算方法不仅仅是在几何学中的理论知识，它们在日常生活和实际应用中也有着广泛的应用。

1. 建筑设计在建筑设计中，计算三角形的周长和面积是非常重要的。

建筑师需要准确计算出房间、墙壁或其他建筑物中的三角形的周长和面积，以确保设计符合规格要求，同时也为施工提供准确的数据。

2. 土地测量土地测量是另一个应用三角形周长和面积计算的领域。

通过确定三角形的周长和面积，测量员可以准确测算出地块的边界长度和总面积。

这对于土地分割、规划和开发至关重要。

3. 制作家具家具制造也是应用三角形周长和面积计算的领域之一。

设计师需要根据三角形的周长和面积来制定家具的尺寸和样式，以确保家具的大小和比例适合所在的空间。

4. 工程施工在工程施工中，三角形周长和面积的计算对于确定建筑物的尺寸、材料的用量以及施工进度的安排都十分重要。

【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.2 三角形中的几何计算

§2 三角形中的几何计算[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培育同学分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)设等边三角形的边长为a ，则这个三角形的面积为． (2)梯形的四个内角中，两角和为180°的内角有对． (3)圆内接四边形的一组对角的和为．(4)设△ABC 三边的长分别为a ，b ，c ，△ABC 内切圆的半径为r ，则S △ABC ＝ . 答案 (1)34a 2 (2)2 (3)180° (4)12(a ＋b ＋c )r [预习导引]1．三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2；(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ； (3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC为钝角三角形；(4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．要点一求平面几何图形中线段的长度例1 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.规律方法在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键．跟踪演练1 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解在△ACD 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(1114)2＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝7×5314sin 45°＝562.要点二实际问题向几何问题的转化例2 要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．答故A 、B 之间的距离为 5 km.规律方法解决实际生活问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把一个抽象、概括的问题建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正弦、余弦定理加以解决．跟踪演练2 如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观看点C 、D ，在某天10∶00观看到该轮船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该轮船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则该轮船的速度为多少千米/分钟？解在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠BDC ＝90°. ∴△CDB 为等腰直角三角形， ∴BD ＝CD ＝1，在△ACD 中，由正弦定理得：AD sin (60°＋45°)＝1sin 45°.∴AD ＝3＋12，在△ABD 中，由余弦定理得，AB 2＝12＋(3＋12)2－2×3＋12×cos 60°＝32， ∴AB ＝62，则船速为64千米/分钟．要点三计算平面图形的面积例3 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值．解 (1)△ABD 的面积S 1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2. 在△ABD 中，由余弦定理可知：BD 2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ，于是四边形ABCD 的面积S ＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S ＝32＋sin(θ－π3)，0＜θ＜π. (2)由S ＝32＋sin (θ－π3)及0＜θ＜π，得－π3＜θ－π3＜2π3.当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.规律方法最值问题是高考的重点之一，我们要能娴熟运用三角形基础学问，正弦、余弦定理，面积公式及三角函数公式协作，通过等价转化解答这类综合问题，并留意隐含条件的挖掘．跟踪演练3 已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴S ＝16sin A ＝8 3.1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是( ) A.3和 5 B ．23和2 5 C.3和15 D.5和15答案 C解析两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b等于( ) A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3答案 B解析 ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.3．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长．解如图，连接BC ，BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，在△ABC ，由正弦定理知：2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝217.又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝217，sin ∠BCD ＝277，由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCDsin 60°＝7×27732＝433.1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将全部的条件集中到某个三角形之中，会使问题更简洁解决．2．我们常用正弦定理、余弦定理来解决三角形问题，但在实际解决问题过程中经常遇到四边形或多边形，这时需要通过适当的帮助线将多边形分割为多个三角形，从而将问题转化为三角形的问题来解决．一、基础达标1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．2．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 2答案 B解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.4．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为．答案 65解析由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°， ∵BD 2＝392＋522＝652，∴BD ＝65.5．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝ . 答案 4 3解析 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 45° ＝(43)2＋(46)2－2×43×46·cos 45°＝48. 从而AD ＝BC ＝4 3.6．在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BD 交AC 边于点D .求证：BA BC ＝AD DC .证明如图所示，在△ABD 中，利用正弦定理，得AB AD ＝sin ∠ADBsin ∠ABD .①在△CBD 中，利用正弦定理，得BC CD ＝sin ∠BDCsin ∠DBC.②∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ADB ＋∠CDB ＝180°， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，由①②，得AB AD ＝BC CD ，即BA BC ＝ADDC成立. 7．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求证：BC 边上的中线MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.证明如图所示，BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，由余弦定理得 c 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a 2·cos ∠AMB .在△ACM 中，由余弦定理得 b 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a2·cos ∠AMC ， ∵cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0，以上两式相加，得b 2＋c 2＝2MA 2＋a 22.即MA 2＝12b 2＋12c 2－14a 2，∴MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.二、力量提升8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A ．50 m B ．45 m C. 507 m D ．47 m答案 C解析依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 是BC 上的一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) 答案 C解析 ∵BD →＝3－12BC →，BC ＝8，∴BD ＝4(3－1)．又∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB sin 45°＝BC sin 75°，∴AB ＝sin 45°sin 75°×BC ＝226＋24×8＝8(3－1)．在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝[8(3－1)]2＋[4(3－1)]2－2×8(3－1)×4(3－1)×cos 60°＝48(3－1)2， ∴AD ＝4(3－3)．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．答案27π5解析不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5. 11．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314，∴sin ∠CAB ＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠BACsin 60°＝5.且cos ∠BAC ＝1－sin 2∠BAC ＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝25，即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)(AB －3)＝0， ∴AB ＝8或AB ＝3. 在△ABC 中，∵sin ∠BAC ＝5314<32＝sin 60°， ∴∠BAC <60°，∴∠ACB 最大，即AB 为最大边，故AB ＝3应舍去，∴AB ＝8.12．一条直线上有三点A ，B ，C ，点C 在点A 与点B 之间，P 是此直线外一点，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β.求证：sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .证明 ∵S △ABP ＝S △APC ＋S △BPC ， ∴12P A ·PB sin(α＋β) ＝12P A ·PC sin α＋12PB ·PC sin β. 两边同除以12P A ·PB ·PC ，得sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .三、探究与创新13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin(A ＋π6)；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝473，∵a ＋c ＝10，∴sin A ＋sin C ＝5327.∵B ＝60°，∴C ＝120°－A ，∴sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin(A ＋π6)＝5714.(2)∵A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，∴D ＝120°. 在△ADC 中，由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，∴S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得：ac ＝24.∴S △ABC ＝12ac sin 60°＝63，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。

三角形中的几何计算-高中数学知识点讲解

三角形中的几何计算1．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S =12a•h a（h a 表示边a 上的高）；②S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A．③S =12r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：1/ 2①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在 0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且 0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在 90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．2/ 2。

1.2.2三角形当中的几何计算(1)

sin(A B) sin C; cos(A B) cosC; tan(A B) tan C;
(5)sin(A－B)＝0⇔A＝B；
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7)sin sin 或若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a2＋b2>c2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
.
[解]
证法一(角化边）：左边＝ab－－ccab22＋＋22abcccc22－－ba22
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2＝ba＝22RR
sin sin
Hale Waihona Puke B A＝ssiinn
B A
＝右边，
其中 R 为△A BC 外接圆的半径．
∴ab－－ccccooss
B A
＝ssiinn
B A
.
[针对训练 2]
人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
1.2.2三角形中的几何计算
学习目标
1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论； 2．会用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，余弦定理的推论计算三角形中的一些量
难点：探寻解题的思路与方法.
知识点梳理 1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
【典例 3】
(3)∵|A→B＋A→C |＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C |2＋2A→B·A→C ＝6，即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△A B C 为正三角形． ∴S△ABC＝ 43×( 2)2＝ 23.

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

§2 三角形中的几何计算

一．学习目标：1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；3. 能证明三角形中的简单的恒等式．二、问题导学：思考并回答下列问题:复习1：在∆ABC 中（1）若1,120a b B ===︒，则A 等于．（2）若a =2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，a =2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．知识提炼：在三角形ABC 中，常用的性质或结论： 1. 三角形面积公式：S =12ab sin C = = = = ． 2..____________________⇔⇔>b a 3.._____________::=c b a 4.任意两边之和_____第三边，任意两边之差_____第三边。

5..______)cos(_______)sin(=+⇔=+⇔-=+B A B A C B A π6..________sin sin ⇒=B A 7..______________2sin 2sin ⇒=B A 8.._______________,222则若c b a <+三、合作探究例1.在∆ABC 中，B =45︒，AC=10，552cos =C ， (1) 求B C 边的长；(2) 记AB 的中点为D ，求中线CD 的长。

拓展.在∆ABC 中，B=45︒，D 是BC 边上的一点，AD=10，AC=14，CD=6，求AB 的长。

小结：例2：在∆ABC 中,已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+,试判断三角形的形状。

ABD C拓展：在∆ABC 中，a,b,c 分别是A,B,C 的对边，且满足（a+b+c ）（a+bb-c ）=3ab, 2cosAsinB=sinC,试判断∆ABC 的形状。

小结：例3：在∆ABC 中，a,b,c 分别是A,B,C 的对边，已知.3,2π==C c（1）若∆ABC 的面积为,3求a,b 的值；（2）若sinB=2sinA ,求∆ABC 的面积。

§2 三角形中的几何计算

§2 三角形中的几何计算双基达标(限时20分钟)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．答案 C2．在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于 ( )． A. 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 解析 BC 边上的高等于b sin C ＝43sin 60°＝6，答案 D3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ ( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A4．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于________．解析 ∠BAC ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得 BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠BCA ，∴BC ＝3×sin 45°sin 60°＝3×2232＝ 6.答案65．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为________．解析由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ，∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°，∵BD 2＝392 ＋522＝652，∴BD ＝65. 答案 656．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝45，B ＝60°，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵角A ，B ，C 为三角形内角，且B ＝60°，cos A ＝45.∴C ＝120°－A ，sin A ＝35.∴sin C ＝sin(120°－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)知，sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又∵B ＝60°，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝65∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是 ( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形解析 ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.∴△ABC 是钝角三角形．故选A. 答案 A8．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S 是 ( )． A. 2 B.3＋1 C.12(3＋1) D ．2 2解析由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 30°＝c sin 45°，∴c ＝22，∴S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×2×22·sin 105°＝3＋1. 答案 B9．△ABC 中，a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝________. 解析在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .所以，原式＝ab －ac 2R ＋bc －ab 2R ＋ac －bc2R ＝0.答案 010．如图，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．解设BD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理有AB 2＝AD 2＋ BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ，即142＝x 2＋102－20x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0.∴x ＝16(x ＝－6舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2.答案 8 211．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解如图所示，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12 AB ·AD sin A ＋12 BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C . ∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理得： BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C＝52－48 cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C ，∵cos C ＝－cos A ，∴64 cos A ＝－32，cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin 120°＝8 3.12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且A B →·B C →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵A B →·B C →＝－21，∴B A →·B C →＝21. ∴B A →·B C →＝|B A →| |B C →| cos B ＝ac cos B ＝21. ∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B. ∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.。

(完整版)三角形中几何计算、解三角形实际应用举例

三角形中的几何计算、解三角形的实质应用举例1．仰角和俯角在视野和水平线所成的角中，视野在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角 (如图① )．2．方向角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方向角为α(如图② )．3．方向角相关于某一正方向的水平角(如图③ )(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°抵达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°抵达目标方向．(3)南偏西等其余方向角近似．【思虑研究】 1.仰角、俯角、方向角有什么差别？以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．如右图， D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB＝AD，记∠ CAD＝，∠ ABC＝β.(1)证明： sin＋cos 2β＝0；(2)若 AC＝ 3 DC，求β的值．【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD 中，已知 AD⊥ CD，AD ＝10，AB＝14，∠ BDA＝ 60°，∠ BCD＝ 135°，则 BC 的长为________．求距离问题要注意：(1)选定或确立要创立的三角形，要第一确立所求量所在的三角形，若其余量已知则直接解；如有未知量，则把未知量放在另一确立三角形中求解．(2)确立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．例题 2.如下图，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2海里 /小时，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛1出发，朝北偏东θtanθ＝2的方向作匀速直线航行，速度为10 5海里 /小时．(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离近来？近来距离为多少海里？丈量高度问题一般是利用地面上的观察点，经过丈量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这种问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转变为平面几何问题，再经过解三角形加以解决．例题 3，如图，丈量河对岸的塔形建筑 AB，A 为塔的顶端， B 为塔的底端，河两岸的地面上随意一点与塔底端 B 处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪 (能够丈量仰角、俯角和视角 )，再给你一把尺子 (能够丈量地面上两点间距离 )，图中给出的是在一侧河岸地面 C 点测得仰角∠ ACB＝，请设计一种丈量塔建筑高度 AB 的方法 (此中测角仪支架高度忽视不计，计算结果可用丈量数据所设字母表示 )．【变式训练】3. A、B 是海平面上的两个点，相距800 m，在A 点测得山顶C 的仰角为 45°，∠ BAD＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，此中 D 是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.丈量角度问题也就是经过解三角形求角问题，求角问题能够转变为求该角的函数值．假如是用余弦定理求得该角的余弦，该角简单确立，假如用正弦定理求得该角的正弦，就需要议论解的状况了．例题 4，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1) n mile的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船受命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【变式训练】 4.如下图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟抵达 2 处时，A乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2处，此时两船相距 10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形的一般步骤(1)剖析题意，正确理解题意分清已知与所求，特别要理解应用题中的相关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方向角等．(2)依据题意画出表示图．(3)将需求解的问题归纳到一个或几个三角形中，经过合理运用正弦定理、余弦定理等相关知识正确求解．演算过程中，要算法精练，计算正确，并作答．(4)查验解出的答案能否拥有实质意义，对解进行弃取．2．解斜三角形实质应用举例(1)常有几种题型丈量距离问题、丈量高度问题、丈量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方向角等名词，并能正确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理联合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与丈量、几何计算相关的实质问题是高考的热门，一般以解答题的形式考察，主要考察计算能力和剖析问题、解决实质问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考察．1．(2012 ·江西卷 )E，F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三平分点，则tan∠ECF＝ ()16233A.27B.3C. 3D.42．(2012 ·陕西卷 )如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋ 3 )海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东 45°， B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的C点的营救船立刻前去营救，其航行速度为 30 海里 / 时，该营救船抵达 D 点需要多长时间？。

§2 三角形中的几何计算

公式的作用有哪些？
可解的三角形
①已知两角和任一边， ①已知三边，求各角. 求另一角和其他两条边. ②已知两边和它们的夹 ②已知两边和其中一边角，求第三边和其他两的对角，求另一边和其个角. 他两角.
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.(重点、难点） 2.通过对全章知识的总结提高，系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法.
答：该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7 dm 的点 C 处截住足球.
【变式练习】
在△ABC 中，已知 AB＝4 6，cos∠ABC＝ 6，AC 边上的中
3
6
线 BD＝ 5，求 sin A 的值．
【解题关键】要求 sin A 的值，需根据“D 是 AC 的中点”这个条件，取 BC 的
中点 E，连结 DE，则 DE∥AB，所以∠ABE＋∠BED＝180°，根据题目中的条件
求解．
【变式练习】
已知⊙O 的半径为 R，在它的内接三角形 ABC 中，有 2R(sin2A －sin2C)＝( 2a－b)sin B 成立，求△ABC 面积 S 的最大值．
【解题关键】先根据已知式子由正弦定理把角转化为边的关系，然后运用余弦定理整理求出△ABC面积S的最大值．
解析: 由已知条件得
3
2
（1）求 b 的值.
（2）求 ABC 的面积.
【解析】（1）由题意知： sin A
1 cos2 A
3 3
，
sin B sin（A ） sin Acos cos Asin cos A
2
2
2
6 3
，
由正弦定理得：

三角形中的几何计算

海伦公式：S=sqrt[s(s-)(s-b)(s-c)]其中s是半周长、b、c是三角形的三边长向量法：利用向量的叉乘和点积计算面积
积分法：利用积分计算面积
解析法：利用解析几何的方法计算面积
公式：周长=边长1+边长2+边长3 应用：适用于任意三角形计算步骤：测量各边长然后相加注意事项：测量误差可能导致计算结果不准确
反三角函数：用于计算三角形的角度和边长
,
01 单击添加目录项标题 02 三角形的基本性质 03 三角形的几何计算方法 04 三角形的几何定理 05 三角形的几何应用
任意三角形的内角和为180度任意三角形的外角和为360度任意三角形的边长与角度之间存在一定的关系可以通过三角函数进行计算三角形中的边长与角度的关系可以用于解决实际问题如测量、绘图等
钝角三角形：有一个角为钝角其他两个角为锐角
锐角三角形：三个角均为锐角
正三角形：三个角均为 60度三边相等
内角和：三角形内角和为180度外角和：三角形外角和为360度内角计算：已知两个内角可以求出第三个内角外角计算：已知一个外角可以求出其他两个外角
勾股定理：用于计算直角三角形的边长海伦公式：用于计算任意三角形的边长余弦定理：用于计算任意三角形的边长正弦定理：用于计算任意三角形的边长
勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方
证明方法：多种如面积法、向量法等
应用：解决实际问题如测量、建筑等
推广：勾股定理的推广如高斯勾股定理等
余弦定理是描述三角形中任意两边和其夹角的余弦值的关系
余弦定理公式： c^2 = ^2 + b^2 - 2b*cos(C)

高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5

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1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
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答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
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2．求三角形面积的常用公式．答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
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【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
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则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
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题型二正、余弦定理的综合问题与方程思想例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
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【思路分析】欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定理可求 BC.
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2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1

三角形的面积与高度计算

三角形的面积与高度计算三角形是几何学中的基本图形之一，计算三角形的面积和高度是我们常见的几何计算问题。

本文将介绍三角形的面积计算公式以及几种计算高度的方法。

一、三角形的面积计算公式计算三角形的面积需要使用以下公式：面积 = 底边长 ×高 ÷ 2其中，底边长是三角形的底边长度，高是从顶点到底边的垂直距离。

根据这个公式，我们可以计算出任意三角形的面积。

二、计算高度的方法1. 通过底边和高的关系计算高度首先，我们可以通过已知的底边和高的关系计算三角形的高度。

假设三角形的底边为a，高为h，我们可以得到以下关系：a = 底边长h = 高根据这个关系，我们可以将上述三角形面积的公式改写为：面积 = a × h ÷ 2通过这个公式，我们可以根据已知的底边和面积求解出三角形的高度。

2. 使用勾股定理和正弦定理计算高度除了通过底边和高的关系计算高度外，我们还可以使用勾股定理和正弦定理来计算三角形的高度。

勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

利用勾股定理，我们可以计算出三角形的高度。

假设三角形的底边为a，斜边为c，直角边为b（高），我们可以得到以下关系：b² = c² - a²通过这个关系，我们可以根据已知的底边和斜边求解出三角形的高度。

正弦定理：在任意三角形中，三条边的比例等于其对应角的正弦值的比例。

根据正弦定理，我们可以得到以下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC利用这个关系，我们可以通过已知的两条边和一个夹角的正弦值来计算出三角形的高度。

三、实例计算假设我们有一个三角形，底边长为6，高度为4。

我们可以使用上述的计算方法来验证结果。

1. 通过底边和高的关系计算高度：面积 = 6 × 4 ÷ 2 = 122. 使用勾股定理和正弦定理计算高度：根据勾股定理：b² = c² - a²b² = 6² - 4²b² = 36 - 16b² = 20b = √20 ≈ 4.47根据正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC6/sinA = 4.47/sinB = c/sinC由此可得：sinA = 4/6 ≈ 0.67sinB = 4.47/6 ≈ 0.75查表可得：A ≈ 41°B ≈ 48°综上所述，通过不同的计算方法，我们得到的三角形的高度分别为4、4.47，这样我们可以根据具体的情况选择适合的计算方法。