电磁场与电磁波第一章矢量分析研究报告
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电磁场与电磁波 第1章矢量分析
v
v
B
C
v
v vv C AB
C v B
v A
v A
a.满足交换律：
vv vv AB B A
vv vv vv vv
b.满足结合律： (A B) (C D) (A C) (B D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 avx , avy , avz 表示。
Az avz
模的计算：
v | A |
Ax2 Ay2 Az2
单位矢量： v
av
|
Av A
|
Avx |A
|
avx
Avy | A|
avy
|
Avz A|
avz
cos avx cos avy cos avz
方向角与方向余弦： , ,
z
v Az
v A
v
v Ax
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积
法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义：Av
vv (B C)
( Ax avx
Ayavy
Az avz
)
(Bxavx
Byavy
Bz avz
)
Ax Bx Ay By Az Bz
《电磁场与电磁波》第一章 矢量分析
ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。 两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义 设 则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及 矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成 右手螺旋关系；大小为 A B sin 。
S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电 荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通 量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为 此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度， 以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设 其中
A A ex
B Bxex By ey
Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
第1章 矢量分析电磁场理论
Curl——curl
电磁场与电磁波
北京邮电大学
28
标量的“梯度”
梯度是表示 标量最大空间增长率的 大小和方向的矢量。
等值面： •等温线 •等高线
b a
等值 面
d c
u
dl
u du
？“爬山” 同样的增量情况下 沿什么方向最“陡”？
o
l
l dl
——数学模型：标量函数u，沿某个方向的变化率情况
电磁场与电磁波
x
电磁场与电磁波
y
d
北京邮电大学
R sin d
24
微分面积
aR dR
a ( R d )
dS
a ( R sin d )
z
d
R sin
y
d S R a R ( R sin d ) ( Rd ) d S a ( R sin d ) dR d S a ( Rd ) dR
z
z平面
r柱面
x
电磁场与电磁波
平面
y
18
北京邮电大学
z
z平面
r , , z
顶视图
O
r柱面
x
y
y a ay
ax
x , y , z
x
北京邮电大学
ar
电磁场与电磁波
19
柱面坐标系中微分长度、面积、体积
微分面积 d S d S r a r ( r d ) dz d S a drdz d S z a z ( r d ) dr
(1)作图法
电磁场与电磁波
北京邮电大学
28
标量的“梯度”
梯度是表示 标量最大空间增长率的 大小和方向的矢量。
等值面： •等温线 •等高线
b a
等值 面
d c
u
dl
u du
？“爬山” 同样的增量情况下 沿什么方向最“陡”？
o
l
l dl
——数学模型：标量函数u，沿某个方向的变化率情况
电磁场与电磁波
x
电磁场与电磁波
y
d
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R sin d
24
微分面积
aR dR
a ( R d )
dS
a ( R sin d )
z
d
R sin
y
d S R a R ( R sin d ) ( Rd ) d S a ( R sin d ) dR d S a ( Rd ) dR
z
z平面
r柱面
x
电磁场与电磁波
平面
y
18
北京邮电大学
z
z平面
r , , z
顶视图
O
r柱面
x
y
y a ay
ax
x , y , z
x
北京邮电大学
ar
电磁场与电磁波
19
柱面坐标系中微分长度、面积、体积
微分面积 d S d S r a r ( r d ) dz d S a drdz d S z a z ( r d ) dr
(1)作图法
电磁场与电磁波(第4版之1)
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
说明： 、 说明： a、两个矢量的叉乘为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律 矢量的叉乘不符和交换律，
v v v v v v v v v v v A× B ≠ B × A A × (B + C) = A × B + A × C r r r r A × B = −B × A
c、 、
v v v v A × B = 平行四边形面积，方向：垂直于 A、B 所在的平面 平行四边形面积，方向：
,θ ,ϕ 0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
ˆ 单位矢量： er
ˆ , eθ
ˆ , eϕ
ˆ ˆ ˆ er = eθ × eφ
ˆ ˆ ˆ eθ = eϕ × er
ˆ ˆ ˆ eϕ = er × eθ
矢量表示： A = e A + e A + e A ˆr r ˆθ θ ˆϕ ϕ 位置矢量：
2 体元： dv = r sin θdrdθdϕ
拉梅系数： hr = 1, hθ = r , hϕ = r sin θ 讨论：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系 讨论
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ e r = e x sin θ sin ϕ + e y sin θ sin ϕ + e z cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ eθ = e x cos θ cos ϕ + e y cos θ sin ϕ − e z sin θ ˆ ˆ ˆ eϕ = − e x sin ϕ + e y cos θ ˆ ˆ ez = ez
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
11
标量场的等值线( 标量场的等值线(面)
u=c1 u=c2 u=c3
等值面族
电磁场与电磁波
2. 方向导数 概念： 概念：
∂u ∆u |M0 = lim ∆l ∂l ∆l →0
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
∂u 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 ∂l 特点：方向导数既与点M 有关， 特点：方向导数既与点 0有关，也与 l
∫ div F(x, y, z) = lim
∆V →0
S
F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∫ div F = lim
∆V →0
S
F ⋅ dS ∆V
∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + ∂x ∂y ∂z
div F =∇⋅ F
第一章 矢量分析
21
电磁场与电磁波
散度的物理意义
矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性
F(r) = Fl (r) + Fc (r) = −∇u(r ) +∇× A(r )
无旋场 无散场
2. 矢量场的结构 • 无旋场（∇× Fl (r) = 0 无旋场（ ）
Fl (r) = −∇u(r) ∇×∇u(r) ≡ 0
好处？ 好处？
• 无散场（∇• Fc (r) = 0 无散场（ ）
Fc (r) =∇× A(r)
例如：温度场、电位场、高度场等。 例如：温度场、电位场、高度场等。
1.3 标量场的梯度
11
标量场的等值线( 标量场的等值线(面)
u=c1 u=c2 u=c3
等值面族
电磁场与电磁波
2. 方向导数 概念： 概念：
∂u ∆u |M0 = lim ∆l ∂l ∆l →0
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
∂u 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 ∂l 特点：方向导数既与点M 有关， 特点：方向导数既与点 0有关，也与 l
∫ div F(x, y, z) = lim
∆V →0
S
F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∫ div F = lim
∆V →0
S
F ⋅ dS ∆V
∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + ∂x ∂y ∂z
div F =∇⋅ F
第一章 矢量分析
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电磁场与电磁波
散度的物理意义
矢量场的散度是一个标量,矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性
F(r) = Fl (r) + Fc (r) = −∇u(r ) +∇× A(r )
无旋场 无散场
2. 矢量场的结构 • 无旋场（∇× Fl (r) = 0 无旋场（ ）
Fl (r) = −∇u(r) ∇×∇u(r) ≡ 0
好处？ 好处？
• 无散场（∇• Fc (r) = 0 无散场（ ）
Fc (r) =∇× A(r)
例如：温度场、电位场、高度场等。 例如：温度场、电位场、高度场等。
1.3 标量场的梯度
大学电磁场与电磁波第一章矢量分析
面元矢量
r dSrρ dSrφ dS z
= = =
r eρ dlφ dlz r eφ dlρdlz r ezdlρ dlφ
= = =
r eρ
ρdφdz
r eφ
dρdz
r ez
ρdρdφ
体积元
dV = ρdρdφdz
P(ρ0,φ0, z0)
ρ = ρ0
（圆柱面）
φ = φ0（半平面）
圆柱坐标系
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
等值面方程： u ( x , y , z ) = C
标量场的等值线(面)
等值面的特点：
• 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族；
• 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
u=c1
u=c2 u=c3
MM 0→ 0
MM 0
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
20
3. 标量场的梯度（ gradu 或 ∇u）
| 概念：
∇u
=
r el
∂u ∂l
，其中
max
r el
∂u 取得最大值的方向。 ∂l
标量场中M0点的梯度是一个矢量：
大小：该点的最大方向导数。即沿过该点等值面的法线方向的
方向导数。
方向：过M0点等值面的法线方向。规定沿等值面增加的方向为 正法线。
等值面族
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
2. 方向导数
对于一个标量场除了了解标量场u的总体分布情况，还要讨论 其等值面随空间的变化。
方向导数：为等该值标面量沿场某沿一er给l 方定向方的向方er向l 的导空数间。变化率，称
西安交通大学 电磁场与电磁波 第一章 矢量分析
又可证明
( ) 0
上式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定
等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个
标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋 场。
5. 格林定理
S
设任意两个标量场 及，
,
V
en
若在区域 V 中具有连续的二阶偏
导数，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式
界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的
矢量场被惟一地确定。
S
F(r)
F 和 F
及
V
Ft 或 Fn
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性 定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。
7. 亥姆霍兹定理 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其 导数连续有界，源分布在有限区域V 中，则当矢量场 的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
A dS
S
通量可为正、负或零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。
S
A dS
S
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。 当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量 一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该 闭合面的通量一定为负。 前述的源称为正源，而洞称为负源。
y
er
r = r0
O
x
0
球坐标系( r, , )
z
=0 0
S
此式称为矢量第二格林定理。
格林定理建立了区域 V 中的场与边界 S 上的场
之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
只要 以 面体,故
即可。
z
点为顶点作一个平行六 x
经过左右两面的通量为：
(x,y,z +△z)
y △z
M●(x,y,z) △y
△x
(x+△x,y,z)
(x,y+△y,z)
用偏微分代替偏增量，得:
第36页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 同理，前后、上下面的通量分别为:
故从该平行六面体穿出的通量为:
； 没有 分量，则
，所以
第42页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
微分面积：
e
单位长度( z=1 )圆柱面的通量:
e e
第43页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第五节 矢量的环流与旋度
（Circulation and Rotation of Vector Field） 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的源,它所激发的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中 闭合路径的积分不为零。
例如:流速场
、电场
是矢量场
第6页
电磁场பைடு நூலகம்电磁波 第一章__矢量分析
3、场的表示
矢量
，
矢量场
一个矢量场对应着三个标量场
第7页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.1.2 矢量的加法和减法
B
A＋B
A
矢量的加法
B
A
-B A－B
矢量的减法
B
第8页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
1.1.3 矢量的乘法 矢量的点积(标积):
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
电磁场与电磁波-第1章矢量分析
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
注意：先后轮换次序。
A
C
推论：三个非零矢量共面的条件。
A(BC)0
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A(BC)(AxaˆxAyaˆyAzaˆz)Bx By Bz
d dn
aˆ n
aˆ l
P1
dgraddl
dn dl
在直角坐标系中：
P
ddxdydz
0
x y z
P2
0 d
dldxa ˆxdya ˆydza ˆz
所以：gradxaˆxyaˆyzaˆz
梯度也可表示： grad
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
DABA(B )
逆矢量：B 和 ( B ) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
A
A
D
B
B
B
C
推论：
B
ABC 0
A
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
A B ( A x B x ) a ˆ x ( A y B y ) a ˆ y ( A z B z ) a ˆ z
则： 2 a b 2 c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3： 已知 A2aˆx6aˆy3aˆz B4a ˆx3a ˆya ˆz
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积：写成
A B
其值为： A B AB cos
A
点积的性质：
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)； F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数（标量场）通常用笛卡 尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则，多个矢量可以进 行矢量相加，反过来，一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积：写成 r F M 其值为： r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质：
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微， cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦， 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在，且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
电磁场电磁波-第一章 矢量分析(1.4-5)
环流面密度矢量→旋涡源密度矢量 旋涡源密度矢量。 物理意义 ◇ 环流面密度矢量 旋涡源密度矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
•
直角坐标系中 rot x F、rot y F 、rot z F 的表达式 的示意图如图所示。 推导 rot x F 的示意图如图所示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.5.2. 矢量场的旋度（∇× F） 矢量场的旋度（ 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系， 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 矢量场的旋度。 （1）环流面密度 ） 过点M 作一微小曲面∆ 它的边界曲线记为C， 过点 作一微小曲面∆S ，它的边界曲线记为 ，曲面的法 与曲线的绕向成右手螺旋法则。 线方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当∆S→0 时，极限 →
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 宏观上 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.4.3. 矢量场的散度 散度： 向某点无限收缩时， 散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 F 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该 点的散度， 表示， 点的散度，以 div F 表示，即
环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合 矢量场对于闭合曲线 环流定义为该矢量对闭合 曲线C 的线积分， 曲线 的线积分，即
Γ = ∫C F(x, y, z) ⋅ dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。 旋场，又称为保守场。 保守场 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零， 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。 旋涡源 磁场的旋涡源。 磁场的旋涡源。
电磁场与电磁波理论-矢量分析与场论
1-23
《电磁场与电磁波理论》
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
第1章 矢量分析与场论
◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
（1.1.24） （1.1.25）
1-24
《电磁场与电磁波理论》
3.矢量的标量积和矢量积
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 矢量的矢量积 “右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1. 标量场的方向导数
第1章 矢量分析与场论
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定 义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-38
《电磁场与电磁波理论》
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
第1章 矢量分析与场论
◘ 方向余弦 ◘ 该方向上的单位矢量
矢量的大小 矢量的方向的单位矢量
（1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
♥ 矢量的方向余弦
2.矢量表示法
第1章 矢量分析与场论
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。
♥ 矢量的方向的单位矢量
（1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来 表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴 的夹角。
♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于 零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂 直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
电磁场与电磁波矢量分析
• 标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区
域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。 • 矢量代数 • 常用正交坐标系 • 标量场的梯度 • 矢量场的散度 • 矢量场的旋度 • 拉普拉斯运算 • 亥姆霍兹定理
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圆柱坐标系
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
A e A e A ez Az B e B e B ezBz
加减：A B e (A B ) e (A B ) ez (Az Bz )
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向
标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
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电磁场与电磁波
梯度的运算
第1章 矢量分析
直角坐标系：
grad
u
u x
ex
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大 面电荷分布产生电场分布。
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区
域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容。 • 矢量代数 • 常用正交坐标系 • 标量场的梯度 • 矢量场的散度 • 矢量场的旋度 • 拉普拉斯运算 • 亥姆霍兹定理
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圆柱坐标系
体积元
dV dddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
A e A e A ez Az B e B e B ezBz
加减：A B e (A B ) e (A B ) ez (Az Bz )
梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向
标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
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电磁场与电磁波
梯度的运算
第1章 矢量分析
直角坐标系：
grad
u
u x
ex
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大 面电荷分布产生电场分布。
电磁场与电磁波 第四版 第一章 矢量分析
电磁场与电磁波
矢量的混合运算
—— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ann
x1 x X 2 xn
y1 y Y 2 yn
可记为Y=AX 则 X=A-1Y，A-1为A的逆矩阵，要求X，
坐标变量
线元矢量
z z0 （平面）
P( 0 , 0 , z0 )
（圆柱面）
0
dl e d e d ez dz
0 （半平面）
圆柱坐标系
面元矢量
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
符合右手螺旋法则
特点： A B B A 结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行 直角坐标系中：ex ex e y e y ez ez 0
右手螺 旋法则
ex e y ez
e y ez ex
ez ex e y
电磁场与电磁波
数学知识补充—矩阵和行列式的计算
A11 1 * 1 A A A12 | A| A13 A21 A22 A23 A31 1 1 1 1 1 1 1 A32 1 0 2 0 2 A33 1 2 1 1 2 1
电磁场与电磁波(第四版)(王家礼) (2)
第一章 矢 量 分 析 1.1.3 标量场的等值面和矢量场的矢量线
在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分布的 情况具有很大的意义。对于标量场，常用等值面的概念来描述。
所谓等值面，是指在标量场j(x，y，z)中，使其函数 j取相同数值的所有点组成的集合，这些点组成一个曲面，该曲
面称为等值面。如温度场的等值面，就是由温度相同的点所组 成的一个曲面，此曲面称为等温面。等值面在二维空间就变为 等值线。如地图上的等高线，就是由高度相同的点连成的一条 曲线。
表该代数量的大小。在物理学中,任意一个代数量一旦被赋予物理
单位,则成为一个具有物理意义的标量,即所谓的物理量,如电压u、 电流i、面积S、体积V等等。
在二维空间或三维空间内的任一点P是一个既存在大小(或称 为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量,实数矢量可用黑体A表 示,而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,实数矢量 是从原点出发的一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量A 的模,箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位, 便成为具有物理意义的矢量,如电场强度E、磁场强度H、速度v等
(1-2)
若函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处可微，cosα、 cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，
y0，z0)处沿l方向的方向导数必定存在，且为
j j cos j cos j cos
l M 0 x
y
z
(1-3)
第一章 矢 量 分 析
A=A(t) 而G[a，b]为A(t)的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三 个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则 矢性函数A(t)也可用其坐标表示为
最新-《电磁场与电磁波》第1章矢量分析-PPT文档资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
A B ( A x a ˆ x A y a ˆ y A z a ˆ z ) ( B x a ˆ x B y a ˆ y B z a ˆ z )
o y
x
(A y B z A z B y )a ˆx (A z B x A x B z)a ˆy (A x B y A y B x )a ˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A | aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
定义： A B C |A ||B ||C |s inc o s hBC A
含义：
C
标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B ) B ( C A ) hBC
合工大电磁场与电磁波 第1章+矢量分析
HFUTHFUT-FZG
30 -58
方 向 导 数
梯 度
gradient
梯 度
gradient
研究的是标量在某点沿某一方向的 变化率问题(directional derivative)。
定义： u | lim u ( M ) u ( M 0 ) M l 0 l 0 l
Δl
M0 l
dsr r 2 sinθdθd ds rsinθdrd ds rdrdθ
dV ρdρd dz
13 -58
• 面元 ds er dsr eθ dsθ e ds • 体积元
HFUTHFUT-FZG
dV r 2 sinθdrd d
• 面元 ds er dsr eθ dsθ e ds • 体积元
矢量表示 矢量代数 矢量微积分
HFUTHFUT-FZG
16 -58
HFUTHFUT-FZG
17 -58
HFUTHFUT-FZG
18 -58
矢 量 表 示
矢 量 表 示
矢 量 代 数
• 标量
一个专用它的大小就能完整的描 述的物理量称为标量。如：时间、 质量、温度、功等。
• 几何法 • 代数表示
矢量函数的导数
对空间坐标的导数 对时间的导数
A B B A
A ( B C) A B A C
矢量函数的导数
对空间坐标的导数
E ex Ex ey E y ez Ez x x e E e E e E Ex x ex x E y y ey y Ez z ez z x x x x x x E E E ex x ey y ez z x x x
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用坐标分量表示为 A B e x ( A y B z A z B y ) e y ( A z B x A x B z ) e z ( A x B y A y B x )
写成行列式形式为
ex ey ez AB Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
若 A B ，则
13
2、圆柱面坐标系
坐标变量
,,z
坐标单位矢量
e,e,ez
位置矢量
r e e zz
线元矢量
d l e d e d e z d z
面元矢量
dS
edldlz
e
ddz
dS
edldlzeddzFra bibliotekdSz
ezdldl
ez dd
体积元
dVdddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
e A e x co e y c so e z c so
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
6
（2）标量乘矢量
k A e x kx A e y ky A e z kzA
（3）矢量的标积（点积）
B
A
A B A c B o A x B x s A y B y A z B z
A
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4
矢量用坐标分量表示
A A x e x A y e y A z e z
z
Az
A
Ay
Ax
y
x
Ax A cos Ay A cos Az A cos
A A ( e x co e y c so e z c s) o
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
1.3 标量场的梯度
坐标变量 x,y,z
坐标单位矢量 ex,ey,ez
位置矢量
r e xx e yy e zz
线元矢量
d l e x d x e y d y e z d z
面元矢量
d S x e x d ly d lz e x d y d z d d S S z y e e z y d d l lx x d d l ly z e e z y d d x x d d z y
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
9
证明：A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
10
证明： A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
1.2 三种常用的正交坐标系
0
e
0 0 1
ez 0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
er e e
ex
ey
ez
sincos sinsin cos
cosin cossin sin
sin
cos
0
y e
15
ey e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dS ze zdxdy
dz
dSyeydxdz
dx
o
dy dS xe xdydz
y
体积元
dVdxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3、球面坐标系
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 er,e,e
位置矢量 线元矢量
rerr
d l e r d r e r d e r sd in
面元矢量
d S r e r d l d l e r r 2 sd id n
d S e d lr d l e z r sd ir d n
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量 A 与 B的夹角
A B B A ——矢量的标积符合交换律
AB
A B0 A//B
A B A B
e x e y e y e z e ze x 0 e x e x e y e y e ze z 1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
A B e nAsB in
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标 变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
12
1、直角坐标系
ABAB
若 A//B，则
AB0
AB
B
AB sin
A
矢量A与B的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
8
（5）矢量的混合运算
( A B )C A C B C—— 分配律
( A B ) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )—— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C—— 矢量三重积
d S e d lr d l e r d r d
球面坐标系
体积元
dVr2sin drdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
4、坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
3
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A e AAe AA
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。