高(二)阶常系数线性微分方程-齐次方程解法
高等数学11-5.1二阶常系数齐次线性微分方程(18)
三、小结
高等数学
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0
高等数学
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
因此 u( x) 0
2r1 p 0
可取满足上式的简单函数 u( x) x
高等数学
由此得到方程 (1)的另一个与 y1 线性无关的解
y2
xe
r
1
x
于是，方程(1)的通解为 :y C1er1x C2 xer1 x (C1 C2 x)er1 x
3 当 p2 4q 0时,
特征方程有一对共轭复根 :
便是( 1 )的通解, 其中C1 , C 2是任意常数。
如何找出齐次方程的两个线性无关的解呢?
高等数学
下面介绍求解的欧拉指数法 ---特征方程法
由于当r为常数时,指数函数y erx及其各阶导数,
都只相差一个常数因子r, 根据指数函数的这个特点, 我们用y erx来尝试, 看能否取到适当的常数 r, 使y erx 满足方程(1)。
第五节 二阶常系数线性 微分方程
一、二阶常系数齐次线性方程
二、二阶常系数非齐次线性方程
高等数学
一、二阶常系数齐次线性方程解法
设二阶线性常系数齐次方程为
y py qy 0 (1) 由上一节的讨论可以知道，求出齐次方程的通解的 关键是找出方程的两个线性无关的特解 y1 , y2
这样
y C1 y1 C2 y2
y1线性无关的解
y2 ,
为此,
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。
它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。
因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。
其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。
最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。
根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。
此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。
通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
高于二阶的常系数线性齐次微分方程
关于高于二阶的常系数线性齐次微分方程如果复数bi a z +=的模为r ，辐角为θ（πθ20<≤），则有)sin (cos θθi r z +=．利用欧拉公式x i x ix sin cos e +=，则有θi r z e =．而它的n 次方根为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++==+n k i n k r r z n i n k n n θπθπθπ2sin 2cos e 21，其中1,,2,1,0-=n k ． 而记号n r 只表示正数r 的n 次算术根．值得注意的114=是算术根，而411表示的不是“一个”值，而是多个值：)2sin 2(cos 11441ππk i k +=，3,2,1,0=k ． 二．根据特征根（极其重数）正确写出通解中的项．若实数a 为k 重特征根，则通解中对应的项为ax k k e x C x C x C C )(12321-++++ ，若复数i βα±为k 重特征根，则通解中对应的项为x x C x C x C C k k ax βcos )[(e 12321-++++]sin )(12321x x D x D x D D k k β-+++++ ．下面举若干例子来说明：【例1】求微分方程)0(0)9(62>='++''+'''a y a y y 的通解（本题根据1987年试题改编，原题“1)9(62='++''+'''y a y y ，)0(>a ”是非齐次方程，现在把其自由项删去了）．【解】特征方程为0)9(6223=+++r a r r ，即0])3[(22=++a r r ，得到特征根为01=r ，ai r ±=33,2，所以通解为]sin cos [e 3231ax C ax C C y x ++=-．【例2】求微分方程0222)4(=''+'''-y y y 的通解． 【解】特征方程为0222234=+-r r r ，即0)2(22=-r r ，得到特征根为02,1=r ，24,3=r ，所以通解为x x C C x C C y 24321e)(+++=． 【例3】（2000年试题）具有特解x y -=e 1，x x y -=e 22，x y e 3=的三阶常系数齐次线性微分方程是 （ ）（A ）0=+'-''-'''y y y y ； （B ）0=-'-''+'''y y y y ；（C ）06116=-'+''-'''y y y y ； （D ）022=+'-''-'''y y y y ．【解】由题意可知1-=r 是特征方程的二重特征根，而1=r 是单根（一重根），所以特征方程为0)1()1(2=-+r r ，即0123=--+r r r ，于是可知正确的选项是（B ）．【例4】求微分方程0)4()5(=+'+''+'''++y y y y y y 的通解．【分析与解】本题就是苏冬泊同学提问的原题，这里回答得稍详细一些．主要也就是在【求特征方程为012345=+++++r r r r r 特征根】的方法上．方法（一）▲因式分解 )1)(1()1()()(12423452345+++=+++++=+++++r r r r r r r r r r r r r)1)(1)(1(])1)[(1(22222+++-+=-++=r r r r r r r r ．即可得特征根为11-=r ，i r 23213,2±=，i r 23215,4±-=． 方法（二）▲根据等比数列求和公式，在1≠r （1=r 本来就不是特征根）时，特征方程可化为0116=--r r ，即)1(16≠=r r ，所以3sin 3cos 3πππk i k e r i k k +==，除了0=k 不符合要求外，1=k ，2，3，4，5所对应的四个复数特征根为：i r 23215,1±=，i r 23214,2±-=，另有一个实根为13-=r ．最后可得其通解为)23sin 23cos (e )23sin 23cos (e e 542132211x C x C x C x C C y x x x ++++=--． 下面再给大家两个思考题．【思考题1】具有特解21x y =，x y 2cos 2=的最低阶常系数齐次线性微分方程是：______．【答案】02)5(='''+y y ．【提示】由题意可知特征方程至少有一个0=r 是三重实根，i r 2±=是一对共轭复数根．【思考题2】（适合数学一）设幂级数 +++++n x n x x 484)!4(1!81!411在收敛域),(+∞-∞上的和函数为)(x S ．（1）试证明：函数)(x S 是微分方程0)()()4(=-x S x S 的一个特解；（2）利用第一小题的结论，求 )(x S ． 【答案】x x S x x cos 21)e e (41)(++=-． 【提示】必须先确定初初始条件1)0(=S ，0)0()0()0(='''=''='S S S ．。
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶常系数齐次线性微分方程的解法
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二阶常系数齐次线性微分方程的解法
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 y''+py'+qy = 0（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求解步骤： （1）特征方程：λ2+pλ+q = 0; （2）根据特征方程的根分为以下三种情形：
2、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 y''+py'+qy = f（x）（其中p，q为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据f（x）的不同形式可将求特解方程分为如下两 种情况： （1）f（x）=Pn（x）ekx
（2）f（x]
二阶常系数齐次线性方程解法
4
3. y f ( y, y)型
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
第三节 二阶微分方程
§5.3.1 特殊二阶微分方程 §5.3.2 二阶线性微分方程 §5.3.3 二阶常系数线性微分方程
1
§5.3.1 特殊二阶微分方程
1. y '' f (x) 型
积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数， 可由初始条件确定这两个任意常数.
2. y '' f (x, y ')型
这种类型方程右端不显含未知函数 y，可先把 y '
看作未知函数.
2
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
例 1. 求方程 y '' y ' ex的通解.
15
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
常系数高阶齐次线性微分方程
总结词
通过幂级数展开来求解高阶线性微分方 程的一种方法。
VS
详细描述
幂级数法的基本思想是将未知函数表示为 一个幂级数，然后利用微分方程的性质， 将原方程转化为一个递推关系式，求解这 个递推关系式可以得到幂级数的系数，从 而得到原方程的解。这种方法适用于具有 特定形式的未知函数的高阶线性微分方程 。
积分因子法
计算
根据求解方法，通过计算得到通解的具体形 式。
05 方程的应用实例
在物理问题中的应用
量子力学
常系数高阶齐次线性微分方程在 量子力学中用于描述粒子的波函 数随时间的变化。例如，在求解 氢原子能级问题时，需要用到此 类方程。
波动问题
在研究波动问题，如声波、电磁 波等时，常系数高阶齐次线性微 分方程可以用来描述波的传播和 演化。
热传导问题
在求解热传导问题时，常系数高 阶齐次线性微分方程可以用来描 述温度随时间和空间的变化。
在工程问题中的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述系统的动态特性。例如，在航空航天、化工等领 域中，此类方程被广泛应用于各种控制系统的建模和仿真。
信号处理
在信号处理中，常系数高阶齐次线性微分方程用于描述信号的滤波、预测和补偿等过程。例如，在通信、雷达和图像 处理等领域中，此类方程被广泛应用于信号处理算法的设计和实现。
02 方程的解法
特征方程法
总结词
通过解特征方程来求解高阶线性微分方程的一种方法。
详细描述
特征方程法的基本思想是将高阶线性微分方程转化为多个一阶线性微分方程来求解。首先，我们对方程进行整理， 得到一个关于未知函数和其导数的多项式方程，然后令其为0，得到一个关于未知函数的多项式方程，即特征方 程。求解特征方程，可以得到一组根，对应于原方程的一组解。
二阶线性常系数齐次微分方程的解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方பைடு நூலகம்为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
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铃
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
中p、q均为常数 ❖特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法凯歌【摘要】常微分方程是微积分学的重要组成部分，求解高阶微分方程是常微分方程的一难点问题，通常用适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
结合多年的教学经验，归纳总结给出高阶常系数齐次线性微分方程的一些求解方法，包括常系数齐次线性微分方程和欧拉方程以及可降阶的高阶微分方程等，并通过例题阐述各种方法。
%Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration. Solving Ordinary Differential equation of difficult prob-lem is the differential equations of high order. Generally, in order to achieve the purpose to solve problems, it uses an appropriate variable substitution. With many years of teaching experience, summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order, including homogeneous linear differential equation with constant coefficient, Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on, gives an example to explain a variety of methods.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-28,51)【关键词】微分方程;特征方程;欧拉方程;齐次方程【作者】凯歌【作者单位】内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特 010070【正文语种】中文求解常微分方程的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶微分方程则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
二阶线性微分方程讲解
y1 e
r1x
是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.
取 u x, 得到另一个线性无关的特解 y xer1x 2
u 0
y py qy f ( x),
p, q为常数。
(4)
由解的结构可知, (4)的通解是: 故只要求出(4)的一个特解 待定系数法
y Y y
y
即可.
1. f ( x) Pm ( x)e ，其中λ是常数， P 是x的一 m ( x)
个m次多项式； 因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式 与指数函数的乘积, 不妨设 y * Q( x)e x 是非齐 次方程(4)的特解，Q(x)为待定多项式，将
在 xk中取 k=0，于是设特解 y*=Aex 则 y*′=Aex，y*〞=Aex x x 代入原方程，得: 2 Ae Ae 即 2A=2 比较两端x同次幂系数, 得: 所以特解为: A=1,
Ae 2e
x
x
y e
*
x
x
所求通解为:
y C1e
C2 e
x/2
e
x
y 2 y 3 y 3x 1的通解 . 例5 求微分方程 解: 方程所对应的齐次方程为: y 2 y 3 y 0
x
y * Q( x)e x * x y e [Q( x) Q ( x)] * x 2 y e [ Q( x) 2Q ( x) Q ( x)]
代入(4)式，并消去eλx 整理后，得
2 Q (2 p)Q ( x) ( p q)Q( x) Pm ( x)
7.1—高阶线性微分方程(2) ...
tI
由(2 4)可知, x(t) 满足初值条件 x(t0 )=x(t0 )= =x（n-1) (t0 )=0 而x 0 也是满足上述初值条件的解,由解的存在唯一性定理可知
x(t) C1*x1 C2*x2 Cn*xn =0 即 x1(t), x2 (t) xn (t) 线性相关,则
tI
t I若W ( t )=0， x1(t), x2 (t) xn (t) 线性相关,矛盾！
得通解为 x t C 1e 1t C 2e 2t ;
情形2 特征方程有重根 1 2
得 通解为 x t (C 1 C 2t )e t ;
情形3 特征方程有共轭复根 1 i ; 2 i 则
x1 e1t e i t , x2 e2t e i t为方程的复基本解组 故 etcos t, etsin t为 方程实的基本解组
dv
V
ax22dv
V
y2 b2
dv
V
z c
2
2dv
解
因为 M
V
x2 a2
y2 b2
z2 c2
dv
V
x2 a2
d
v
V
y2 b2
dv
V
z c
2
2dv
而
V
x2 a 2 dv
a x2 a a2 dx Dx dydz
其中
Dx
dydz等于
椭圆
y2 b2
z2 c2
1
x2 a2
的面积
:
b
1
x2 a2
wt0 称为解组x1t , x2 t ,, xn t 在t0处的Wronski 行列式。
x(n)(t) P1(t)x(n1)(t) Pn1(t)x(t) Pn(t)x(t) 0 (4)
《高等数学》第三节 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程
一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
一、二阶线性微分方程解的结构
形如 y'' P( x) y' Q( x) y f ( x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f ( x) 0 时，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
故y1 ( x) e x与y2 ( x) e 2 x 都是原方程的解.
y 2 ( x) e x 2 x e 3 x 常数， y1 ( x) e
0，
即
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)满足方程(3)，
所以它是方程(3)的解.
这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两 个解y1(x)， y2(x)的线性组合 C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) ，仍 是方程的解.那么，y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 是不是方程 (3)的通解呢？
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) (C1 , C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显 然它不是所给方程的通解.
问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) (C1，C2为任意常数)
二阶线性微分方程
Rm ( x)e
m
( i ) x
m
的实部与虚部，其中Rm(x)为x的m次
类似于情形(1)中的讨论. 可推得如下结论: 方程
y py qy e x [Pl ( x) cosx Pn ( x) sin x]
具有形如
y x e [R ( x) cos x R ( x) sin x]
r1 x y u ( x ) e 设 2 代入方程(1): 2 u (2r1 p)u (r1 pr 1 q)u 0
y1 e
r1x
是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解.
取 u x, 得到另一个线性无关的特解 y xer1x 2
u 0
k 1
例3:
y (5) y ( 4) y (3) y 0 5 4 3 2 r r r r 0, r 0,0,1, i,i,
则通解为 y C1 C2 x C3e x C4 cos x C5 sin x 二. 二阶常系数非齐次线性微分方程 一般形式:
它的特征方程为: 解得:
r 2r 3 0
2
r1 3, r2 1,
对应齐次方程的通解为:
3x
y C1e C2 e
x
由于λ=0不是特征方程根，所以设特解
y * b0 x b1
代入方程，得:
3b0 x 2b0 3b1 3x 1
比较两端x同次幂系数，得:
(2) f ( x) e x [Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x] 型
其中P l ( x), P n ( x)分别是x的l次、n次多项式.
令m=max(l, n),由欧拉公式 ( eix cos x i sin x) 易知 R ( x)e x cos x, R ( x)e x sin x 分别为 多项式.
6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
要求：能根据方程①熟练写出其特征方程并求出特征根.
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(1)当������2 − 4������ > 0时, 特征方程有两个不等的实根������1, ������2 则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为：y (C1 C2 x)e2 x
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(2)当������2 − 4������ < 0时, 特征方程有一对共轭复数根：
代入初始条件������′ ������=0 = 1, 解得������2 = 1,
(1) 写出相应的特征方程: 2 p q 0;
(2) 求出特征方程的两个根: 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 ，2 两个相等的实根 1 =2
y C1e1x C2e2x y (C1 C2 x)e1x
若 ������(������) 0, 即������′′ + ������������′ + ������ = ������(������) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
对应的 齐次方程
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定义 设 y1 , y2 ,, yn为定义在区间 I 内
n 的n个函数．如果存在 个不全为零的常
数，使得当x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相
关．否则称线性无关。
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
例3：求微分方程y''-2y' 5 y 0的通解
解：特征方程2 2 5 0 特征根为一对共轭虚根1 1 2i，2 1 2i
故通解为：y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
练习1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 4r 4 0 ,
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
y py qy f ( x)
当 f ( x) 0时， 二阶常系数线性齐次微分方程
当 f ( x) 0时，二阶常系数线性非齐次微分方程
二、二阶常系数齐次线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:
y py qy 0
(1)
2.二阶齐次微分方程的解的结构:
(2)求出特征方程的两个根1、2
(3)根据特征根的不同情况写出通解
例1：求微分方程y''+4y' 3y 0的通解 解：特征方程2 +4 3 0 特征根为1 3，2 1
故通解为：y C1e3x C2ex
例2：求解初值问题
y
y'' +4y' 4 y 0 x0 1, y' x0 2
特征方程
特征根
p r1,2
p2 4q ,
2
(1)有两个不相等的实根( 0)
特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
§9.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f (x) (2)
对应齐次方程
y py qy 0 (1)
一、二阶非齐次线性方程的解的结构
定理 4 设 y*是二阶非齐次线性方程
y py qy f ( x)
(2)
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x.
3.二阶齐次微分方程(1)通解的求法:
由定理3知，求二阶齐次方程(1)的通解，关 键是求出方程的两个线性无关的特解。
根据观察，方程(1)的解应该具有特征： 函数、函数的一阶导数、函数的二阶导数， 其表达式由同类项构成，即求一阶、二阶导以后 函数的形式不变，只有这样，它们的线性组合才
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
求二阶齐次线性微分方程y'' py' qy 0 通解步骤如下：
(1)写出y'' py' qy 0的特征方程2 p q 0
y2 f w(
(x) x)
,
c2 ( x)
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地: 若在I上有 y1( x) k(常数)， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
定理2 二阶齐次方程(1)有且仅有两个线性 无关的解。
定理 3 ：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线
性无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1) 的通解.
的特解,
那么
y* 1
y* 2
就是原方程的特解.
例如：求方程 y 4 y x2 3e x 的特解.
可以看出 y 4 y x2 及 y 4 y 3e x 的特解
为 1 x2 1 和 3 e x , 故原方程的特解: 1 x2 1 3 e x .
4 85
可能恒等于零。故可设其解为：y e x
4.二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法: 用常系数齐次线性方程的 特征方程的根确定 y py qy 0 通解.
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
f (x)
定理 5 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而 y1*与 y2*分别是方程,
y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x) 特解的叠加原理
反之：
已知 y1 er1x , y2 er2x为方程的两个特解
如何求微分方程？
r1, r2为特征方程的根
则特征方程为(r r1)(r r2 ) 0
r 2 (r1 r2 )r r1r2 0
微分方程为 y (r1 r2 ) y r1r2 y 0
3、 有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i ,
r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
y1 ex (cos x i sin x),
y2 ex (cos x i sin x),
重新组合
y1
(2) 有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u
(2r1
p)uBiblioteka (r2 1
pr1
q)u
0,
=0
=0
知 u 0, u( x) c1 x c2 , 取 u( x) x,
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1( 2i
y1
y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
总结:
y py qy 0
r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
特征方程为：(r 1)(r 2) 0 r2 r 2 0
齐次方程为y y 2 y 0
微分方程为y y 2 y e x 2xex
例5 已知x sin t是二阶常系数线性齐次微分方程 的一个特解，求此微分方程。 解： 特征根r1，2 i 特征方程为：r 2 1 0 齐次方程为 x x 0
c1( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
(5)
(4),(5)联立方程组
cc11
( (
x x
) )
y1 y1
c2( x) y2 c2( x) y2
0 f
(x)
系数行列式 w( x) y1 y2 0, y1 y2
c1(
x)
解：特征方程2 +4 4 0 特征根为1 2 2
故通解为：y (C1 C2 )e2x y' (C2 2C1 2C2x)e2x
将条件y x0 1, y' x0 2 代入以上两式中得
C1 1，C2 0
故所求特解为y e2x
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是
常数） 问题: y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
y1是解，y2 2 y1也是解 c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
例6 求微分方程 y ay 0的通解。 解：r 2 a 0 (1)a 0, r1 r2 0 y1 1, y2 x y c1 c2 x (2)a 0,r1，2 ai y1 cos ax, y2 sin ax
y c1 cos ax c2 sin ax (3)a 0, r1，2 a y c1e ax c1e ax
的一个特解, y 是与(2)对应的齐次方程(1)的 通解, 那么 y y y*是二阶非齐次线性微分方
程(2)的通解. 证明：y y y
y y y
则y y P( x)( y y ) Q( x)( y y )
y P( x) y Q( x) y y P( x) y Q( x) y
n阶线性微分方程 y(n) P1( x) y(n1) Pn1( x) y Pn ( x) y f ( x). 当Pi ( x)为常数时，称为n阶常系数线性微分方程； 否则，称为变系数线性微分方程。 二阶和二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。