2010年考研数学三真题

旋转一周所得空间区域的体积是 _____________ .
4
【答案】 应填 π 2 . 4
【分析】 利用旋转体的体积公式即得
∫ ∫ ∫ 【详解】
V=
+∞
π
y 2dx
=
π
+∞
1
+∞
dx = π
1 d (ln x)
e
e x(1 + ln 2 x)
e 1 + ln 2 x
= π ⋅ arctan lnx +∞ = π (π − π ) = π 2
【分析】 通分直接计算等式左边的极限，进而解出 a.
【】
【详解】
lxi→m0 ⎢⎣⎡
1 x
−
(
1 x
−
a)
e
x
⎤ ⎥⎦
=
lim
x→0
1−
(1 − ax)e x
x
= lim(1 − e x x→0 x
+ ae x )
= − lim e x + a = −1+ a =1, x→0 1
所以 a =2 . 因此应选(C). 【评注】本题形式上是一个反问题，实际上就是最基本的未定式“ ∞ − ∞ ”型。 原题见《经典讲义》微积分部分的例题 1.35, 以及强化班第一讲中的例题 19.
(2) 设y1, y2是一阶线性非齐次微分方程y′ +p(x) y = q(x)的两个特解. 若常数λ , μ 使 λ y1 + μ y2 是该方程的解, λ y1 − μ y2是对应的齐次方程的解, 则
(A) λ = 1 , μ = 1 . 22
(B) λ = − 1 , μ = − 1 .
2
2
(C) λ = 2 , μ = 1 . 33
+∞
0
+∞
∫ ∫ ∫ 1= f (x)dx = −∞
a
−∞
f 1 (x)dx
+
0
b f 2 (x)dx
∫ ∫ = a 2
+∞
−∞ f 1 (x)dx + b
31 dx = a + 3 b ，
04
24
所以 2a+3b=4, 选(A) .
几乎原题见《经典讲义》概率统计部分的例题 2.5, 以及强化班第二讲中的例题 4.
(A) f ′ (a)<0. (B) f ′ (a)>0 . (C) f ″ (a)<0 . (D) f ″ (a)<0 . 【 】 【答案】 应选(B). 【分析】 求 f (g (x))的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。 【详解】 [f (g (x))]′ = [f ′ (g (x))] ⋅ g ′ (x),
=
x
lim e10
1
= +∞ ，
x→+∞ g ( x) x x→+∞ x→+∞ 10
lim
f
(x)
=
lim
ln10
x
=
lim
ln9 10
x⋅
1 x
= 10 lim ln9 x
x→+∞ g (x) x→+∞ x
x→+∞
1
x x→+∞
= 10 ⋅9
lim
ln8
x⋅1 x
= " = 10 ⋅9"2
lim
ln x
【答案】应选(A) . 【详解】因向量组 I 能由向量组 II 线性表示，所以 r（I）≤ r（II），即
r (α 1, α2 , ⋅⋅⋅ , α r）≤ r (β1, β2 , ⋅⋅⋅ , β s)≤ s , 而向量组I线性无关，于是 r(α 1, α2 , ⋅⋅⋅ , α r )= r，所以 r≤ s . 选(A). 【评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案. 原题见《经典讲义》线性代数部分的第三章§1 中的推论 3.5.
(A) g (x)< h (x)< f (x) .
(C) f (x)< g (x)< h (x) . 【答案】 应选(C). 【分析】计算两两比的极限
(B) h (x)< g (x)< f (x) . (D) g (x)< f (x)< h (x) .
【】
x
【详解】因为 lim
h(x)
=
lim
e10
dP R
RP
两边积分得
ln R = ln P + 1 P3 + C 3
又由 R(1)=1 知，
C =−1,
1( P 3 −1)
所以 R = P ⋅ e 3 .
3
1 ( P 3 −1)
故应填 P ⋅ e 3 .
【评注】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，属基本题型. 几乎原题见《经典讲义》微积分部分第九章的例题 9.6
0
,
所以 dy dx
| x=0 = −1.
【评注】利用变限积分求导公式时，被积函数中不能含有 x 及 x 的函数。
几乎原题见《经典讲义》微积分部分习题精选二解答题的第 2 题。
(10) 设位于曲线 y =
1
( e≤ x<+∞ )下方, x 轴上方的无界区域为 G, 则 G 绕 x 轴
x(1 + ln 2 x)
(2)本题由A 2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉.. 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题 5.30，5.39, 以及强化班第一讲中的例题 8、 冲刺辅导班讲义线性代数部分例题 4.
⎧ 0,
⎪ (7) 设随机变量的分布函数 F (x) = ⎨
1,
⎪ ⎩1
2 −e
−
x
= 10! lim
1
= 0，
1 x→+∞
x x→+∞
x x→+∞
所以当 x 充分大， f (x) < g(x) < h(x) .
【评注】(1)本题类似于无穷小阶的比较，实质上是无穷大阶的比较. (2)当 x → +∞ 时，对数函数、幂函数、指数函数的阶由低到高。
2
(5) 设向量组I: α 1, α2 , ⋅⋅⋅ , α r 可由向量组II: β1, β2 , ⋅⋅⋅ , β s 线性表示, 则下列命题正确的是 (A) 若向量组 I 线性无关, 则 r≤ s. (B) 若向量组 I 线性相关, 则 r > s. (C) 若向量组 II 线性无关, 则 r≤ s. (D) 若向量组 II 线性相关, 则 r > s. 【 】
∫ ∫ 【详解】由 x+ y e −t 2 dt = x x sin 2 tdt ，令 x=0，得 y=0,
0
0
∫ 等式两端对 x 求导得
e −( x+ y) 2 (1 + dy ) = x sin 2 tdt + x sin 2 x , dx 0
将
x=0，y=0
代入上式，得
1
+
dy dx
|
x=0
=
,
x < 0, 0 ≤ x < 1, 则 P{X=1}=
x ≥ 1.
(A) 0.
1
(B) .
2
(C) 1 − e −1 . 2
(D) 1−e−1. 【 】
【答案】(C)
【分析】本题考查如何利用分布函数来计算随机变量取值的概率. 属基本题.
【详解】根据分布函数的性质, 有
3
P{X=1}= P{X ≤1}− P{X<1}= F(1) − F(1 −0) = 1−e−1− 1 = 1 − e −1 . 22
e
24 4
【评注】计算时须注意这是一个反常积分。
(11)设某商品的收益函数为R(P), 收益弹性为 1+P 3 , 其中P为价格, 且R(1)=1, 则R(P )= P
____________ .
1 ( P 3 −1)
【答案】 应填 P ⋅ e 3 .
【分析】利用弹性的定义列方程，然后解此微分方程
【详解】由弹性的定义知 dR ⋅ P = 1 + P 3 , 得 dR = ( 1 + P 2 )dP ,
(12) 若曲线 y = x 3 + a x 2 + bx +1 有拐点(−1, 0) , 则b = ________ . 【答案】 应填 3. 【分析】利用(−1, 0)是曲线拐点的条件列方程解出 b. 【详解】 y = x 3 + a x 2 + bx +1 在整个实数区间上可导, 且
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2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题 分析、详解和评注
考研数学专家 曹显兵、刘喜波教授 解答
分析解答所用参考资料：曹显兵（线代、概率部分）与刘喜波（高数部分）的授课讲稿， 黄先开、曹显兵与刘喜波主编的参考书：1.《2010 考研数学经典讲义》，简称经典讲义(人大 社出版). 2.《2010 考研数学最新精选 600 题》，简称 600 题. 3.《2010 考研数学经典冲刺 5 套 卷》，简称冲刺卷.
二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
∫ ∫ (9) 设可导函数 y=y (x)由方程
x+ y e −t 2 dt =
0
x x sin 2
0
tdt 确定,
则 dy dx
| x=0 = _______ .
【答案】应填−1 .
【分析】先由方程求出 x = 0 时 y = 0 ，再两边对 x 求导，属基础题型.
(A) 2a+3b=4. (B) 3a+2b=4. (C) a+b=1 . (D) a+b=2. 【答案】(A) 【分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质，属基本题.
【】
【详解】由已知有
f 1(x) =
1
−x2
e 2,
2π
f
2
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
1 4
,
−1 < x < 3,
⎪⎩ 0, 其他.
由概率密度的性质有
[f (g (x))] ″ = { [f ′ (g (x))] ⋅ g′ (x) }′ = f ″ (g (x))[ g′ (x)]2+ f ′ (g (x)) ⋅ g″ (x) , 由g (x0)= a是 g′(x)的极值知 g ′ (x0)=0 . 于是有
{ } { } f [g(x)] ′ |x=x0 = 0 , f [g(x)] ′′ |x=x0 = f ′[g(x0 )]⋅ g′′(x0 ) = f ′(a) ⋅ g′′(x0 )
由于g″ (x0)<0 , 要使[f (g (x0))] ″ <0 , 只要 f ′ (a)>0 . 因此应选(B). 【评注】本题主要考查导数的应用。 原题见《经典讲义》微积分部分的第三章定理 3.8、3.10
x
(4) 设f (x)=ln10 x , g (x)= x , h (x)= e 10 , 则当x充分大时有
(6) 设A为 4 阶实对称矩阵, 且A2+A=O , 若A的秩为 3, 则A与相似于
⎡1
⎤
⎢ (A) ⎢
1
⎥ ⎥.
⎢
1⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
⎡1
⎤
⎢ (B) ⎢
1
⎥ ⎥.
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
⎡1
⎤
⎢ (C) ⎢
−1
⎥ ⎥.
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
⎡− 1
⎤
⎢ (D) ⎢
−1
⎥ ⎥.
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
【】
因为 q(x) ≠0, 所以
λ − μ =0,
又 λ y1 + μ y2 是非齐次y′ +p(x) y = q (x)的解,
1
故 即 由已知得
(λ y1 + μ y2)′ +p(x) (λ y1 + μ y2) = q (x) . λ [y1′ +p(x) y1 ] − μ [ y2′ +p(x) y2 ] = q(x) . (λ + μ ) q(x) = q(x) .
故选(C) . 几乎原题见《经典讲义》概率统计部分的例题 2.21（2）, 以及强化班第二讲中的例题
(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度, f2(x)为[−1,3]上的均匀分布的概率密度, 若
f
(x)
=
⎧af ⎩⎨bf
1 2
(x), ( x),
x ≤ 0, x > 0.
(a >0, b >0) 为概率密度, 则 a, b 应满足
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)
若
lim
x→0
⎡ ⎢⎣
1 x
−
(1 x
−
a)
e
x
⎤ ⎥⎦
=1,
则a
等于
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
Байду номын сангаас
【答案】 应选(C).
【答案】应选 (D) .
【详解】设λ为A的特征值，由于A 2+A=O，知特征方程 λ 2 +λ = 0 ，得 λ = −1或 0. 由于A
为实对称矩阵，故A可相似对角化，即 A ~Λ ，r（A）= r（Λ）=3，因此
⎡− 1
⎤
⎢ A ~Λ= ⎢
−1
⎥ ⎥
，
⎢
−1 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
应选 D) . 【评注】(1)若 A 可对角化，则 r（A）=A 的非零特征值的个数.
(D) λ = 2 , μ = 2 . 33
【】
【答案】 应选(A) .
【分析】 此题主要考察线性微分方程解的性质和结构
【详解】 因 λ y1 − μ y2 是方程y′ +p(x) y =0 的解, 所以
即 由已知得
(λ y1 − μ y2)′ +p(x) (λ y1 − μ y2) =0 λ [y1′ +p(x) y1 ] − μ [ y2′ +p(x) y2 ] =0 (λ − μ ) q(x) =0,
因为 q(x) ≠0, 所以
λ + μ =1 ,
解得
λ = 1,μ = 1 .
22
【评注】此题属反问题，题目构造较新颖。
原题见《经典讲义》微积分部分的第八章解的性质和解的结构定理
(3) 设函数f (x), g (x) 具有二阶导数, 且满足等g″ (x)小于零, g (x0)= a是 g (x)的极值, 则 f (g (x))在x0 取极大值的(一个充分)条件是