一元二次方程实际问题(增长率)
一元二次方程与实际问题
应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例：某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。
求增长率。
1、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
2、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?4、十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率5、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为6、第一季度生产a 台，第二季度生产b 台，第二季度比第一季度增长的百分率？7、某工厂今年利润为a 万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。
2.面积问题 [提示：面积问题一定要画图分析]例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 。
1、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m ），并在与墙平行的一边开一个宽1m 的门，现有能围成32m 的木板。
求仓库的长与宽各是多少？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm ，大正方形的面积比小正方 形的面积的2倍还多4cm 2，求大、小两个正方形的边长。
3、要给一幅长30cm ，宽25cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm ，•则依据题 意列出的方程是_________． X2X3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］例：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
增长率问题与一元二次方程
为
.
练习
3、一批上衣原来每件500元 第一次降价 销售甚慢 第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍 ,结果 以 每件240元的价格迅速售出 求每次降价的百分率
500(1-x)(1-2X)=240
四、巩固深化，拓展练习
1. 某电脑公司2000年的各项经营收 入中，经营电脑配件的收入为600万元 ，占全年经营总收入的40%，该公司预 计2002年经营总收入要达到2160万元， 且计划从2000年到2002年，每年经营总 收入的年增长率相同，问2001年预计经 营总收入为多少万元？
a (1 x) b
n
其中增长取+ 降低取－ 7
6
链接中考
（2010年天津）青山村种的水稻2007年平均每公顷 8000kg，2009年平均每公顷产9680kg,求该村水稻 每公顷产量的年平均增长率
解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率x 8000（ 1+x)2=9680 解这个方程得：（1+x）2=1.21 1+x=±1.1 X1=0.1=10% x2=-2.1（不合题意，舍去）
今年比去年增长了20%，应理解为； 今年是去年的（1+20%）倍 所以:今年的产量=去年的产量x(1+20%)
2、一件价格为200元的商品连续两次两次降价， 每次降价的百分数为15% 降价后的商品价格是多少 分析；第一次降价后的商品价格为原来的 （1-15%）倍 即 第一次为200x（1-15%） 第二次为第一次的（1-15%）倍， 即第二次为200 x（1-15)x（1-15%） =200x(1-15%)2
解：设甲商场的月平均利润率为x． 根据题意得：200(1+x)2=242 解得 X1=0.1=10％ x2=－2.1 (不合题意,舍去）
增长率问题与一元二次方程
[解析] 设每件童装降价 x 元，则每件童装的利润是 元， 因每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件，则每天售 出 件，根据总利润，列出方程求解．
解：设每件童装应降价 x 元，则 x (40－x)20＋8× ＝1200， 4 解得 x1＝20，x2＝10. 因为要尽快减少库存，所以 x＝20. 答：每件童装应降价 20 元．
利润 ×100%； 进价
④售价＝标价×
打折数 ＝进价×(1＋利润率)． 10
例1 [教材探究2变式题] 2012年某市出口贸易总值为22.52亿美
元，至2014年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来该
市出口贸易的快速增长． (1)求这两年该市出口贸易的年平均增长率； (2)按这样的速度增长，请你预测2015年该市的出口贸易总值． (温馨提示：2252＝4×563，5067＝9×563) 解：(1)设这两年该市出口贸易的年平均增长率为 x. 依题意，得 22.52(1＋ x)2＝ 50.67， 1＋ x＝ ± 1.5， ∴ x1＝ 0.5＝ 50%， x2＝－ 2.5(舍去)． 答：这两年该市出口贸易的年平均增长率为 50%. (2)50.67× (1＋ 50%)＝ 76.005(亿美元 )． 答：预测 2015 年该市的出口贸易总值为 76.005 亿美元．
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 增长率与一元二次方程
a(1 x) b ，其中a为基数，x为平 1、量。
n
2、增长率问题有以下等量关系： ①原产量＋增产量＝现在的产量； ②单位时间增产量＝原产量×增长率； ③现在产量＝原产量×(1＋增长率)；④现在产量＝原产量×(1±x)n， 其中x表示百分率，“＋”表示增长，“－”表示下降，n表示时间段数． 3、销售问题中常见的等量关系： ①利润＝售价－进价(成本)； ②总利润＝每件商品的利润×总件数； ③利润率＝
用一元二次方程解决问题(平均增长率)
平均增长率 = (终值 - 初值) / 初值 × 100%
计算方法
直接计算法
根据题目给出的数据，直接代入公式 进行计算。
代数法
将平均增长率转化为一元二次方程， 通过解方程求得。
ห้องสมุดไป่ตู้例解析
例1
某企业去年销售额为100万元，今年 销售额增长了20%，求今年的销售额。
解
根据平均增长率公式，今年的销售额 = 100 × (1 + 20%) = 120万元。
解
根据平均增长率公式，5年后GDP = 100 × (1 + 8%)^5 = 146.9亿元。
02
一元二次方程在平均增 长率问题中的应用
建立一元二次方程
确定变量
在平均增长率问题中，通常设初始数 量为A，平均增长率为r，经过时间为t 后的数量为B。
建立方程
方程变形
如果需要求平均增长率r，可以将方程 变形为r = (B/A)^(1/t) - 1。
将方程左边化为完全平 方形式，右边化为常数，
从而求解x。
因式分解法
通过因式分解将方程化 为两个一次方程，从而
求解x。
实例解析
题目
某企业前年缴税30万元，预计 今年缴税36.36万元，那么该企
业缴税的平均增长率为多少？
分析
设该企业缴税的平均增长率为x， 根据题意可以建立一元二次方程 30(1 + x)^2 = 36.36。
根据平均增长率的定义，我们可以建 立一元二次方程B = A(1 + r/100)^t。
解一元二次方程
求解方法
解一元二次方程可以使 用公式法、配方法、因
式分解法等。
公式法
配方法
实际问题与一元二次方程增长率问题
小结与反思
1.平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2.我们学了几种类型题？
3.注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
质点运动问题
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程
Ｅ Ａ
Ｄ
Ｃ F
Ｂ
B
Q
C P A
2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移 动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边 向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发， 几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
1 根据题意，得 2 x (6 x) 8 2 2
A R P
解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2=BC=12cm，点D从点A开 始以2cm/s的速度沿AB边向点B Ｆ 移动,过点D做DE平行于 BC,DF 平行于AC,点E.F分别在AC,BC 上,问：点D出发几秒后四边形 DFCE的面积为20cm2？
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度; 3）常找的数量关系——面积，勾股定理等；
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C 以2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C 点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟 后, PCQ的面积等于450cm2?
实际问题与一元二 次方程
(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
一元二次方程实际问题1(增长率)
如果答案不符合实际情况或题目 要求，需要重新审视已知条件和 求解过程，找出问题所在并进行
修正。
在检查答案时，可以使用代入法 或估算法等方法进行验证。
05 增长率问题拓展与应用
拓展到其他领域如物理、化学等
在物理学中，一元二次方程可以用来描述物体自由落体的运 动规律，通过解方程可以求得物体下落的时间、速度等关键 参数。
03
经济增长方式
指主要通过增加自然资源、劳动力和资本等生产要素的投入数量来实现
经济增长的模式，其表现形式是高投入、高消耗、低产出、低质量、低
效益。
科技发展增长问题
1 2
科技投入增长率
科技投入总额的增长速度，反映科技投入的增长 快慢程度。
科技产出增长率
科技产出总额的增长速度，反映科技产出的增长 快慢程度。
3
科技对经济增长的贡献率
科技进步对经济增长的贡献份额，反映科技对经 济增长的推动作用大小。
04 增长率问题求解技巧与策 略
合理利用已知条件进行求解
仔细阅读题目，明确已知条件和 未知量，理解增长率的概念和计
算方法。
根据已知条件建立一元二次方程， 注意方程的各项系数和常数项的
确定。
利用求根公式或配方法求解一元 二次方程，得到未知量的值。
经济增长问题
01 02
经济增长率
末期国民生产总值与基期国民生产总值的比较，以末期现行价格计算末 期GNP,得出的增长率是名义经济增长率，以不变价格（即基期价格） 计算末期GNP，得出的增长率是实际经济增长率。
人均经济增长率
人均经济增长率是人均国内生产总值增长率的简称，指一定时期内人均 国内生产总值的增长速度。
通过解一元二次方程，可以得到指标随时间变化的具体数值，从而预测未来的发展 趋势。
人教版九年级上册第21章 《一元二次方程》实际应用：平均增长率问题
《一元二次方程》实际应用：平均增长率问题1．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？2．随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？3．新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？4．为了创建全国文明城市，提升城市品质，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2017年的绿色建筑面积为950万平方米，2019年达到了1862万平方米．若2018年，2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率；（2）若该市2020年计划推行绿色建筑面积达到2600万平方米，如果2020年仍保持相同年平均增长率，请你预测2020年该市能否完成目标．5．某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．6．某磷肥厂去年4月份生产磷肥500t，因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648t．求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率．7．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？8．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同．（1）求每年盈利的年增长率；（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？9．某村种植水稻，2017年平均每公顷产2400千克，2019年平均每公顷产5400千克，每年的年平均增长率相同并且年平均增长率在三年内保持不变．（1）求每年的年平均增长率；（2）按照这个年平均增长率，预计2020年每公顷的产量为多少千克？10．某工厂1月份的产值为50000元，3月份的产值达到72000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？11．小明家在2016年种的果总产量为12吨，到2018年总产量要达到17.28吨．（1）求每年的平均增长率；（2）由于市场价格的不稳定，小明家2018年的果园预备采取两种销售方案进行销售：方案一：按标价每千克5.8元，然后打8折进行销售；方案二：按标价每千克5.8元，然后每吨优惠400元现金销售．请问哪种方案得钱多？12．幸福村种的水稻2006年平均每公顷产7200千克，2018年平均每公顷产8450千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率．13．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元两次调价后调至每件32.4元．①若该商场两次调价的降低率相同，求这个降低率．②经调查，该商品原来每月可销售500件，商品每降价0.2元，即可多销售10件，那么两次调价后，每月可销售商品多少件？14．近年来，在市委市政府的宏观调控下，我市的商品房成交均价涨幅控制在合理范围内，由2017年的均价5000元/m2上涨到2019年的均价6050元/m2．（1）试求这两年我市商品房成交均价的年平均增长率；（2）如果房价继续上涨，按（1）中上涨的百分率，请预测2020年我市的商品房成交均价．15．江华瑶族自治县香草源景区2016年旅游收入500万元，由于政府的重视和开发，近两年旅游收入逐年递增，到今年2018年收入已达720万元．（1）求这两年香草源旅游收入的年平均增长率；（2）如果香草源旅游景区的收入一直保持这样的平均年增长率，从2018年算起，请直接写出n年后的收入表达式．16．2016年，某市某楼盘以每平方米8000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2018年的均价为每平方米6480元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2019年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款40万元，张强的愿望能否实现？为什么？（房价每平方米按照均价计算）17．倡导全民阅读，建设书香社会．【调査】目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．【百度百科】某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．【问题解决】（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．18．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年9月份的14000元/m2下降到11月份的12600元/m2．（1）问10、11两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：≈0.95）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破12000元/m2？请说明理由．19．某种商品标价500元/件，经过两次降价后为405元/件，并且两次降价百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为380元件，两次降价共售出100件，若两次降价销售的总利润不低于3850元，则第一次降价后至少要售出该商品多少件？20．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作.2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元．求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率．参考答案1．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．2．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万件/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25．又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线．3．（1）解：设一个人平均感染x人，可列方程：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．故这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人；（2）（7+1）3＝512（人）答：经过三轮传播后一共有512人被感染．4．解：（1）设2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率为x，根据题意得，950（1+x）2＝1862，解得x1＝40%，x2＝﹣2.4（舍去）．故2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率为40%；（2）1862×（1+40%）＝2606.8（万平方米），∵2606.8＞2600，∴2020年该市能完成目标．5．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（应舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．6．解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为x．500×（1﹣10%）×（1+x）2＝648，解得x1＝0.2，x2＝﹣0.2（不符合题意，舍去）．答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%．7．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．8．解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得：1500（1+x）2＝2160．解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每年盈利的年增长率为20%；（2）2160（1+0.2）＝2592，2592＞2500答：2019年该公司盈利能达到2500万元．9．解：（1）设每年的年平均增长率为x，依题意得：2400（1+x）2＝5400，解得x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．答：每年的年平均增长率为50%；（2）由题意，得5400×（1+0.5）＝8100（千克）．答：预计2020年每公顷的产量为8100千克．10．解：设这两个月的产值平均月增长的百分率为x，依题意，得：50000（1+x）2＝72000，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：这两个月的产值平均月增长的百分率是20%．11．解：（1）设每年的平均增长率为x，根据题意，得12（1+x）2＝17.28解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每年的平均增长率为20%；（2）方案一销售得到的钱＝17.28×1000×5.8×0.8＝80179.2（元）方案一销售得到的钱＝17.28×1000×5.8﹣17.28×400＝93312（元）．由于93312＞80179.2．所以，按方案二销售得钱多．12．解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则7200（1+x）2＝8450，解得：x1＝≈0.0833，x2＝﹣＝﹣2.0833（应舍去）．答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.33%．13．解：①设降低率为x，由题意得：40（1﹣x）2＝32.4，解得：x1＝10%，x2＝1.9（不合题意舍去），答：降低率为10%；②降价后多销售的件数：[（40﹣32.4）÷0.2]×10＝380（件），两次调价后，每月可销售该商品数量为：380+500＝880（件）．故两次调价后，每月可销售该商品880件．14．解：（1）设这两年我市商品房成交均价的年平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝6050，（1+x）2＝1.21，解得：x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：这两年我市商品房成交均价的年平均增长率是10%；（2）2020年我市的商品房成交均价为：6050（1+10%）＝6655（元）．答：2020年我市的商品房成交均价是6655元．15．解：（1）设这两年香草源旅游收入的年平均增长率为x，依题意得：500（1+x）2＝720．解得＝20% （舍去）．答：这两年香草源旅游收入的年平均增长率为20%；（2）依题意得：．答：n年后的收入表达式是：．16．解：（1）设平均每年下调的百分率为x，则8000（1﹣x）2＝6480．解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意舍去）答：平均每年下调的百分率为10%．（2）6480（1﹣10%）×100＝583200＝58.32（万元）由于20+40＝60＞58.32，所以张强的愿望能实现．17．解：（1）设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a．依题意得：0.8a+0.4a﹣y＝0.9a，解得y＝0.3a，∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．（2）依题意得：0.9a（1+x）2+0.4a（1﹣x）2＝0.5a（1+0.53），整理得：5x2+26x﹣2.65＝0，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣5.3（舍去），答：x为10%．18．解：（1）设10、11两月平均每月降价的百分率是x，则10月份的成交价是14000﹣14000x＝14000（1﹣x），11月份的成交价是14000（1﹣x）﹣14000（1﹣x）x＝14000（1﹣x）（1﹣x）＝14000（1﹣x）2∴14000（1﹣x）2＝12600，∴（1﹣x）2＝0.9，∴x1≈0.05＝5%，x2≈1.95（不合题意，舍去）．答：10、11两月平均每月降价的百分率是5%；（2）会跌破12000元/m2．如果按此降价的百分率继续回落，估计12月份该市的商品房成交均价为：12600（1﹣x）2＝12600×0.952＝11371.5＜12000．由此可知12月份该市的商品房成交均价会跌破12000元/m2．19．解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得：500（1﹣x）2＝405，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%；（2）设第一次降价后售出该商品y件，则第二次降价后售出该商品（100﹣y）件，依题意，得：[500×（1﹣10%）﹣380]y+（405﹣380）（100﹣y）≥3850，解得：y≥30．答：第一次降价后至少要售出该商品30件．20．解：设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，依题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20%．。
一元二次方程的应用（增长率问题）有答案
⼀元⼆次⽅程的应⽤（增长率问题）有答案⼀元⼆次⽅程的应⽤(增长率问题)解答题1. 光华机械⼚⽣产某种产品，1999年的产量为2000件，经过技术改造，20XX年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？考点：由实际问题抽象出⼀元⼆次⽅程；⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：本题是关于增产率的问题，设平均每年增长的百分率为x，由1999年的产量可知2000年和20XX年的产量，根据题意列⽅程，可求出增长的百分率．解答：解：设平均每年增产的百分率为x，因为1999年的产量为2000件，所以2000年的产量为2000（1+x）件，20XX年的产量为2000（1+x）2件，依题意列⽅程：2000（1+x）2=2420解⽅程得：（1+x）2=1.211+x=±1.11+x=1.1或1+x=-1.1∴x=0.1=10%或x=-2.1（不合题意，舍去）故增产率为10%．答：平均每年增长的百分率为10%．点评：根据题意设平均每年增长的百分率为x，由1999年的产量可知2000年和20XX年的产量，找出等量关系列出⼀元⼆次⽅程，解出⼀元⼆次⽅程，求出x．2. 某市政府为落实“保障性住房政策，20XX年已投⼊3亿元资⾦⽤于保障性住房建设，并规划投⼊资⾦逐年增加，到20XX年底，将累计投⼊10.5亿元资⾦⽤于保障性住房建设．（1）求到20XX年底，这两年中投⼊资⾦的平均年增长率（只需列出⽅程）；（2）设（1）中⽅程的两根分别为x1，x2，且mx12-4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值．考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤；根与系数的关系．专题：增长率问题．分析：（1）等量关系为：20XX年某市⽤于保障房建设资⾦×（1+增长率）2=20XX年⽤于保障房建设资⾦，把相关数值代⼊求得合适的解即可．（2）理由上题得到的⼀元⼆次⽅程，根据根与系数的关系求得m的值即可．解答：解：（1）设到20XX年底，这两年中投⼊资⾦的平均年增长率为x，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5…（3分）（2）由（1）得，x2+3x-0.5=0…（4分）由根与系数的关系得，x1+x2=-3，x1x2=-0.5…（5分）⼜∵mx12-4m2x1x2+mx22=12 （mx1的平⽅）m[（x1+x2）2-2x1x2]-4m2x1x2=12m[9+1]-4m2?（-0.5）=12∴m2+5m-6=0解得，m=-6或m=1…（8分）点评：考查求平均变化率的⽅法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．3. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲⽬扩⼤种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）⼩华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠⽅案以供选择：⽅案⼀：打九折销售；⽅案⼆：不打折，每吨优惠现⾦200元．试问⼩华选择哪种⽅案更优惠，请说明理由考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出⼀元⼆次⽅程求解即可；（2）根据优惠⽅案分别求得两种⽅案的费⽤后⽐较即可得到结果．解答：解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1-x）2=3.2．解这个⽅程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能⼤于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题⽬要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）⼩华选择⽅案⼀购买更优惠．理由：⽅案⼀所需费⽤为：3.2×0.9×5000=14400（元），⽅案⼆所需费⽤为：3.2×5000-200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴⼩华选择⽅案⼀购买更优惠．点评：本题考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤，在解决有关增长率的问题时注意其固定的等量关系．4. 据媒体报道，我国20XX年公民出境旅游总⼈数约5000万⼈次，20XX年公民出境旅游总⼈数约7200万⼈次，若20XX年、20XX年公民出境旅游总⼈数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总⼈数的年平均增长率；（2）如果20XX年仍保持相同的年平均增长率，请你预测20XX年我国公民出境旅游总⼈数约多少万⼈次？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设年平均增长率为x．根据题意20XX年公民出境旅游总⼈数为5000（1+x）万⼈次，20XX年公民出境旅游总⼈数5000（1+x）2 万⼈次．根据题意得⽅程求解；（2）20XX年我国公民出境旅游总⼈数约7200（1+x）万⼈次．解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总⼈数的年平均增长率为x．根据题意得5000（1+x）2 =7200．解得x1 =0.2=20%，x2 =-2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年我国公民出境旅游总⼈数的年平均增长率为20%．（2）如果20XX年仍保持相同的年平均增长率，则20XX年我国公民出境旅游总⼈数为7200（1+x）=7200×120%=8640万⼈次．答：预测20XX年我国公民出境旅游总⼈数约8640万⼈次．点评：此题考查⼀元⼆次⽅程的应⽤，根据题意寻找相等关系列⽅程是关键，难度不⼤．5. 某中⼼城市有⼀楼盘，开发商准备以每平⽅⽶7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平⽅⽶5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引⼒，请问房产销售经理的⽅案对购房者是否更优惠？为什么？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设出平均每次下调的百分率为x，利⽤原每平⽅⽶销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平⽅⽶销售价格列⽅程解答即可；（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的⽅案⽐较即可求解．解答：解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列⽅程得，7000（1-x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1-5%）×（1-15%）=95%×85%=80.75%，（1-x）2=（1-10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的⽅案对购房者更优惠．点评：此题考查⼀元⼆次⽅程的应⽤，其中的基本数量关系：原每平⽅⽶销售价格×（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平⽅⽶销售价格．6. 20XX年漳州市出⼝贸易总值为22.52亿美元，⾄20XX年出⼝贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出⼝贸易的⾼速增长．（1）求这两年漳州市出⼝贸易的年平均增长率；（2）按这样的速度增长，请你预测20XX年漳州市的出⼝贸易总值．（温馨提⽰：2252=4×563，5067=9×563）考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设年平均增长率为x，则20XX年出⼝贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；20XX年出⼝贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得⽅程求解；（2）20XX年出⼝贸易总值=50.67（1+x）．解答：解：（1）设年平均增长率为x，依题意得…（1分）22.52 （1+x）2=50.67，…（3分）1+x=±1.5，∴x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去）．…（5分）答：这两年漳州市出⼝贸易的年平均增长率为50%；…（6分）（2）50.67×（1+50%）=76.005（亿美元）．…（9分）答：预测20XX年漳州市的出⼝贸易总值76.005亿美元．…（10分）点评：此题考查⼀元⼆次⽅程的应⽤．增长率的问题主要是搞清楚基数，再表⽰增长后的数据．7. 国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从20XX年5⽉1⽇起商品房销售实⾏⼀套⼀标价．商品房销售价格明码标价后，可以⾃⾏降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平⽅⽶5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资⾦周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平⽅⽶4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某⼈准备以开盘均价购买⼀套100平⽅⽶的房⼦，开发商还给予以下两种优惠⽅案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平⽅⽶每⽉1.5元．请问哪种⽅案更优惠？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）关系式为：原价×（1-降低率）2=现在的价格，把相关数值代⼊后求得合适的解即可；（2）①费⽤为：总房价×9.810 （10分之9.8）；②费⽤为：总房价-2×12×1.5×平⽶数，把相关数值代⼊后求出解，⽐较即可．解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为x．5000×（1-x）2=4050．（1-x）2=0.81，∴1-x=±0.9，∴x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%；（2）⽅案⼀的总费⽤为：100×4050×9.8 10 =396900元；⽅案⼆的总费⽤为：100×4050-2×12×1.5×100=401400元；∴⽅案⼀优惠．点评：主要考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．8. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设⼒度．20XX 年市政府共投资2亿元⼈民币建设了廉租房8万平⽅⽶，预计到20XX年底三年共累计投资9.5亿元⼈民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到20XX年底共建设了多少万平⽅⽶廉租房．考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到20XX年底三年共累计投资9.5亿元⼈民币建设廉租房，列⽅程求解；（2）先求出单位⾯积所需钱数，再⽤累计投资÷单位⾯积所需钱数可得结果解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x-1.75=0，（3分）解之，得：x=-3±9+4×1.75 2 ，（解含有根号）∴x1=0.5，x2=-3.5（舍去），（5分）答：每年市政府投资的增长率为50%；（6分）（2）到20XX年底共建廉租房⾯积=9.5÷2 8 =38（万平⽅⽶）．（8分）（除8分之2）点评：主要考查了⼀元⼆次⽅程的实际应⽤，本题的关键是掌握增长率问题中的⼀般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了⼏年，a为第⼀年的原始数据，x是增长率．9. 随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的⼈也越来越多．据统计，某驾校20XX年底报名⼈数为3 200⼈，截⽌到20XX年底报名⼈数已达到5 000⼈．（1）若该驾校20XX年底到20XX年底报名⼈数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率．（2）若该驾校共有10名教练，预计在20XX年底每个教练平均需要教授多少⼈？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．分析：（1）设增长率是x，则增长2次以后的报名⼈数是3200（1+x）2，列出⼀元⼆次⽅程的解题即可；（2）先求出20XX年底的报名⼈数，除以10即可求出每个教练平均需要教授的⼈数．解答：解：（1）设该驾校的年平均增长率是x．由题意，得3 200（1+x）2=5 000．（5分）解得x1=1 4 ，x2=-9 4 （不合实际，舍去）．（分数4分之1）∴该驾校的年平均增长率是25%．（7分）（2）5 000×（1+25%）÷10=625（个）．∴预计20XX年每个教练平均需要教授625个学员．（10分）点评：此题主要考查了⼀元⼆次⽅程的应⽤，增长率问题是中考中重点考查内容，同学们应熟练掌握．10. 某市为争创全国⽂明卫⽣城，20XX年市政府对市区绿化⼯程投⼊的资⾦是2000万元，20XX年投⼊的资⾦是2420万元，且从20XX年到20XX年，两年间每年投⼊资⾦的年平均增长率相同．（1）求该市对市区绿化⼯程投⼊资⾦的年平均增长率；（2）若投⼊资⾦的年平均增长率不变，那么该市在20XX年需投⼊多少万元？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）等量关系为：20XX年市政府对市区绿化⼯程投⼊×（1+增长率）2=20XX年市政府对市区绿化⼯程投⼊，把相关数值代⼊求解即可；（2）20XX年该市政府对市区绿化⼯程投⼊=20XX年市政府对市区绿化⼯程投⼊×（1+增长率）2．解答：解：（1）设该市对市区绿化⼯程投⼊资⾦的年平均增长率为x，（1分）根据题意得，2000（1+x）2=2420，（3分）得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），（5分）答：该市对市区绿化⼯程投⼊资⾦的年平均增长率为10%．（6分）（2）20XX年需投⼊资⾦：2420×（1+10%）2=2928.2（万元）（7分）答：20XX年需投⼊资⾦2928.2万元．（8分）点评：考查⼀元⼆次⽅程的应⽤；求平均变化率的⽅法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．11.⼴安市某楼盘准备以每平⽅⽶6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资⾦周转，对价格经过两次下调后，决定以每平⽅⽶4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某⼈准备以开盘价均价购买⼀套100平⽅⽶的住房，开发商给予以下两种优惠⽅案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，⼀次性送装修费每平⽅⽶80元，试问哪种⽅案更优惠？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题；优选⽅案问题．分析：（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出⼀元⼆次⽅程解⽅程即可得出答案；（2）分别计算两种⽅案的优惠价格，⽐较后发现⽅案①更优惠．解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1-x）2=4860，解得x1=0.1或x2=1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）⽅案①购房优惠：4860×100×（1-0.98）=9720（元）⽅案②可优惠：80×100=8000（元），故选择⽅案①更优惠．点评：本题主要考查⼀元⼆次⽅程的实际应⽤，解题关键是要读懂题⽬的意思，根据题⽬给出的条件，找出合适的等量关系，列出⽅程，再求解，属于中档题．12.20XX年5⽉中央召开了新疆⼯作座谈会，为实现新疆跨越发展和长治久安，作出了重要战略决策部署，为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投⼊5亿元⽤于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到20XX年当年⽤于城市基础设施维护与建设的资⾦达到8.45亿元．（1）求从20XX年⾄20XX年我市每年投⼊城市基础设施维护与建设资⾦的年平均增长率；（2）若20XX年⾄20XX年我市每年投⼊城市基础设施维护和建设的年平均增长率相同，预计我市这三年⽤于城市基础设施维护和建设的资⾦共多少亿元？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设从2010⾄20XX年我市每年投⼊城市基础设施维护和建设资⾦的年平均增长率为x，根据2年增长率的⼀般计算公式a（1+x）2，列⽅程5（1+x）2=8.45求解即可，注意值的取舍问题；（2）分别表⽰出20XX年到20XX年这三年每年的投⼊资⾦，相加即可求解．解答：解：（1）设从2010⾄20XX年我市每年投⼊城市基础设施维护和建设资⾦的年平均增长率为x，由题意，得：5（1+x）2=8.45，解得x1=30%，x2=-2.3（不合题意舍去）．答：从20XX年⾄20XX年我市每年投⼊城市基础设施维护与建设资⾦的年平均增长率为30%．（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45=5+5（1+0.3）+8.45=19.95（亿元）．答：预计我市这三年⽤于城市基础设施维护和建设的资⾦共19.95亿元．点评：主要考查了⼀元⼆次⽅程的实际应⽤，本题的关键是掌握增长率问题中的⼀般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了⼏年，a为第⼀年的原始数据，x是增长率．13. 20XX年我市实现国民⽣产总值为1376亿元，计划全市国民⽣产总值以后三年都以相同的增长率⼀实现，并且20XX年全市国民⽣产总值要达到1726亿元．（1）求全市国民⽣产总值的年平均增长率（精确到1%）；（2）求20XX年⾄20XX年全市三年可实现国民⽣产总值多少亿元？（精确到1亿元）考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设全市国民⽣产总值的年平均增长率为x，那么20XX年全市国民⽣产总值为1376（1+x）亿元，20XX年全市国民⽣产总值为1376（1+x）（1+x）亿元，然后根据20XX年全市国民⽣产总值要达到1726亿元即可列出⽅程，解⽅程就可以求出年平均增长率；（2）根据（1）的结果可以分别计算出2010、2011、2012三年的国民⽣产总值，然后就可以求出结果．解答：解：（1）设全市国民⽣产总值的年平均增长率为x，依题意得1376（1+x）2=1726，∴1+x≈±1.12，∴x=12%或x=-2.12（负值舍去），答：全市国民⽣产总值的年平均增长率约为12%；（2）20XX年的国民⽣产总值为：1376×（1+12%）≈1541亿元；20XX年的国民⽣产总值为：1726×（1+12%）≈1933亿元；∴20XX年⾄20XX年全市三年可实现国民⽣产总值：1541+1726+1933=5200亿元．点评：此题主要考查了增长率的问题，⼀般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长⽤+，减少⽤-．14. 据茂名市某移动公司统计，该公司20XX年底⼿机⽤户的数量为50万部，20XX年底⼿机⽤户的数量达72万部．请你解答下列问题：（1）求20XX年底⾄20XX年底⼿机⽤户数量的年平均增长率；（2）由于该公司扩⼤业务，要求到20XX年底⼿机⽤户的数量不少于103.98万部，据调查，估计从20XX年底起，⼿机⽤户每年减少的数量是上年底总数量的5%，那么该公司每年新增⼿机⽤户的数量⾄少要多少万部？（假定每年新增⼿机⽤户的数量相同）考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤；⼀元⼀次不等式的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出⼀元⼆次⽅程．原来的数量为a，设平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第⼀次调整，就调整到a×（1±x），再经过第⼆次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长⽤“+”，下降⽤“-”；（2）设该公司每年新增⼿机⽤户的数量⾄少要y万部，则20XX年⼿机⽤户数量=20XX年⼿机⽤户数量-20XX年⼿机⽤户减少的数量+新增⼿机⽤户的数量，即是72×（1-5%）+y，同样20XX年的⼿机数量为：20XX年⼿机⽤户数量×（1-5%）+y≥103.98，由此可以求出结果．解答：解：（1）设20XX年底⾄20XX年底⼿机⽤户的数量年平均增长率为x，依题意得50（1+x）2=72，∴1+x=±1.2，∴x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去），∴20XX年底⾄20XX年底⼿机⽤户的数量年平均增长率为20%；（2）设每年新增⼿机⽤户的数量为y万部，依题意得[72（1-5%）+y]（1-5%）+y≥103.98，即（68.4+y）?0.95+y≥103.98，68.4×0.95+0.95y+y≥103.98，64.98+1.95y≥103.98，1.95y≥39，∴y≥20（万部）．∴每年新增⼿机⽤户数量⾄少要20万部．点评：此题主要考查了增长率的问题．对于此类问题，同学们关键要搞清数量变化与变化率的关系．15.我国年⼈均⽤纸量约为28公⽄，每个初中毕业⽣离校时⼤约有10公⽄废纸；⽤1吨废纸造出的再⽣好纸，所能节约的造纸⽊材相当于18棵⼤树，⽽平均每亩森林只有50⾄80棵这样的⼤树．（1）若我市20XX年4万名初中毕业⽣能把⾃⼰离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再⽣好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）深圳市从2000年初开始实施天然林保护⼯程，⼤⼒倡导废纸回收再⽣，如今成效显著，森林⾯积⼤约由20XX年初的50万亩增加到20XX年初的60.5万亩．假设我市年⽤纸量的20%可以作为废纸回收、森林⾯积年均增长率保持不变，请你按全市总⼈⼝约为1000万计算：在从20XX年初到20XX年初这⼀年度内，我市因回收废纸所能保护的最⼤森林⾯积相当于新增加的森林⾯积的百分之⼏？（精确到1%）. 考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）因为每个初中毕业⽣离校时⼤约有10公⽄废纸，⽤1吨废纸造出的再⽣好纸，所能节约的造纸⽊材相当于18棵⼤树，⽽平均每亩森林只有50⾄80棵这样的⼤树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；（2）森林⾯积⼤约由20XX年初的50万亩增加到20XX年初的60.5万亩，可先求出森林⾯积年均增长率，进⽽求出2005到20XX年新增加的森林⾯积，⽽因回收废纸所能保护的最⼤森林⾯积=1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进⾏简单的计算即可求出答案．解答：解：（1）4×10 4×10÷1000×18÷80=90（亩）．（10的4次⽅）答：若我市20XX年4万名初中毕业⽣能把⾃⼰离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再⽣好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．（2）设我市森林⾯积年平均增长率为x，依题意列⽅程得50（1+x）2=60.5，解得x1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去），1000×10 4×28×20%÷1000×18÷50=20160，（10的4次⽅）20160÷（605000×10%）≈33%．答：在从20XX年初到20XX年初这⼀年度内，我市因回收废纸所能保护的最⼤森林⾯积相当于新增加的森林⾯积的33%．点评：本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题⽬中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能⼒；解答时需仔细分析题意，利⽤⽅程即可解决问题．16. 某地区前年参加中考的⼈数为5万⼈，今年参加中考的⼈数为6.05万⼈．（1）问这两年该地区参加中考⼈数的年平均增长率是多少？（2）该地区3年来共有多少⼈参加过中考？（参考数据：11 2=121，12 2=144，13 2=169，14 2=196）（11的平⽅）考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）本题为增长率问题，⼀般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终⽌时间的有关数量．本题中a就是前年考试的⼈数，b就是今年考试的⼈数．（2）可根据（1）中得出的增长率，分别计算出这三年来，每年的考试⼈数，然后求出它们的和即可．解答：解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：5（1+x）2=6.05解得：x1=0.1，或x2=-2.1（不合题意舍去）答：这两年的年平均增长率为10%．（2）由（1）得出的增长率我们可得出这三年的⼈数和是：5+5（1+10%）+6.05=16.55（万⼈）答：三年来共有16.55万⼈参加过中考．点评：本题考查求平均变化率的⽅法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）．17. 随着我国社会保障机制的进⼀步完善，越来越多的单位更多的在⼯资⽅⾯体现出对职⼯的全⾯关怀，并且⼯资⽔平也在逐年提⾼、某公司实⾏年⼯资制，职⼯的年⼯资由基础⼯资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下：项⽬第⼀年的⼯资（万元）⼀年后的计算⽅法基础⼯资 1 每年的增长率相同住房补贴0.04 每年增加0.04医疗费0.1354 固定不变（1）如果设基础⼯资每年的增长率为x，那么⽤含x的代数式表⽰第三年的基础⼯资，为万元；（2）某⼈在公司⼯作了3年，他算了⼀下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础⼯资总额的18%，问基础⼯资每年的增长率是多少？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）依题意，已知基础⼯资每年的增长率为x，那么第三年的⼯资为（1+x）2；（2）根据图表可知住房补贴与医疗费，算出三年的费⽤后列出等式可求解．解答：解：（1）已知基础⼯资每年的增长率为x，即第三年的基础⼯资为（1+x）2；（2）住房补贴与医疗费共为0.04+0.04=0.08万元，0.08+0.04=0.12万元，0.04+0.08+0.12+3×0.1384=0.18[1+（1+x）+（1+x）2]，得出x1=0.2，x2=-3.2（不合题意，舍去）．故基础⼯资每年的增长率为20%．点评：若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第⼀次调整，就调整到a×（1±x），再经过第⼆次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长⽤“+”，下降⽤“-”．18. 近年来，⼈们购车热情⾼涨，车辆随之越来越多；同时受国际⽯油市场的影响，汽油价格不断上涨，曾⼀度紧缺．请你根据下⾯的信息，帮⼩明计算今年5⽉份和6⽉份营业额的⽉平均增长率．考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：阅读型．分析：需先算出4⽉份的营业额为500×（1-10%），要想求5⽉份和6⽉份营业额的⽉平均增长率．则等量关系为：4⽉份的营业额×（1+⽉平均增长率）2=648．据此即可列⽅程求解．解答：解：设5⽉份和6⽉份营业额的⽉平均增长率为x，根据题意得：500（1-10%）（1+x）2=648解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）答：今年5⽉份和6⽉份营业额的⽉平均增长率为20%．点评：解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表⽰增长的次数．19. 近⽇召开的城镇居民基本医疗保险市研讨班上了解到，以城镇职⼯医保、城镇居民医保和新型农村合作医疗为主体，以城乡社会医疗救助为托底的多层次医疗保障体系已初露端倪．下⾯是市委领导和市民的⼀段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题．考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：阅读型．分析：本题可设平均每年的医保⾃然村增长率是x，则两次增长以后的村的总数是2300（1+x）2，因为05年已有2300个⾃然村，计划到07年要达到总数的25%，所以可列出⽅程即可求出答案．解答：解：设平均每年医保⾃然村增长率是x，根据题意，得2300（1+x）2=13248×25%解得：x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：平均每年医保村增长率约是20%．点评：解与变化率有关的实际问题时：（1）主要变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表⽰增长的次数．本题只需仔细分析题意，利⽤⽅程即可解决问题，但应注意解的合理性，从⽽确定取舍．20. 为了绿化学校附近的荒⼭，某校初三年级学⽣连续三年的春季都上⼭植树，已知这些学⽣在初⼀时种了400棵，设这个年级两年来植树数的平均年增长率为x．（1）⽤含x的代数式表⽰这些学⽣在初三时的植树数；（2）若树⽊成活率为90%，三年来共成活了1800棵，求x的值．（精确到1%）考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）设这个年级两年来植树数的平均年增长率为x，则初⼆时植树数为：400（1+x），初三时的植树数为：400（1+x）2；（2）由题意可知三年来这些学⽣共植树：400+400（1+x）+400（1+x）2棵，已知成活率为：90%，所以成活了90% [400+400（1+x）+400（1+x）2]棵，⼜知成活了1800棵，令成活的棵数相等列出⽅程求解．解答：解：（1）由题意得：初⼆时植树数为：400（1+x），那么，这些学⽣在初三时的植树数为：400（1+x）2；（2）由题意得：90%[400+400（1+x）+400（1+x）2]=1800解得x1≈56%，x2≈-356%（不合题意，舍去）答：平均年增长率约为56%．点评：本题主要考查⼀元⼆次⽅程的应⽤（1）学会已知平均增长率和原来的植树数，求两年后的植树数的⽅法；（2）关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出⽅程求解．21.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价后，每盒售价为100元，⽐原来降低了19%．但价格仍然较⾼，于是决定进⾏第三次降价．若每次降价的百分率相同，则第三次降价后每盒为多少元？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：设调价前的价格为1，增长率为x．等量关系为：原来的价格×（1+增长率）2=原来的价格×（1-19%），把相关数值代⼊可求得增长率，第3次降价后的价格=100×（1-增长率），把相关数值代⼊计算即可．解答：解：设降价的百分率为x．调价前的价格为1．1×（1+x）2=1×（1-19%）∵1+x＞0，∴1+x=0.9，∴x=10%，∴第3次降价后的价格=100×（1-10%）=90元．答：第三次降价后每盒为90元．点评：考查⼀元⼆次⽅程的应⽤；求平均变化率的⽅法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；得到调价后价格的等量关系是解决本题的关键．22. 据宁波市房产管理部门统计，该市20XX年底房价每平⽅均价为0.7万元，20XX年底房价每平⽅均价达1.2万元．请你解答下列问题：（1）求20XX年底⾄20XX年底房价每平⽅均价的年平均增长率；（2）由于国务院抑制房价过快的增长，要求宁波市20XX年⾸套房贷利率上调10%，据调查，估计从20XX年起，购房⽤户每年减少的数量是上年底总数量的5%，如果原来能交易340套住房，放贷为每套均价60万元，当时的年利率为5.4%，那么该市市⾏到20XX年底⾄少要发放多少万元贷款？考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题．分析：（1）下⼀年的房价等于上⼀年的房价乘以（1+x）（x表⽰每平⽅均价的年平均增长率），根据这个条件列出⼀个⼀元⼆次⽅程，解此⽅程可得20XX年底⾄20XX年底房价每平⽅均价的年平均增长率；（2）根据购房⽤户每年减少的数量是上年底总数量的5%，得出2012购房的数量，再乘以每套房的放贷价格可得该市市⾏到20XX年底⾄少要发放的贷款．解答：解：（1）设20XX年底⾄20XX年底房价每平⽅均价的年平均增长率为x，则有0.7（1+x）2=1.2，解得，x=31%，答：20XX年底⾄20XX年底房价每平⽅均价的年平均增长率为31%；（2）340×（1-5%）2×60=18411（万元）．答：该市市⾏到20XX年底⾄少要发放18411万元贷款．点评：本题主要考查⼀元⼆次⽅程的应⽤：解题关键是要读懂题⽬的意思，根据题⽬给出的条件，找出合适的等量关系，列出⽅程，再求解．23. 某⼯程队在我县实施⼀江两岸⼭⽔园林县城的改造建设中，承包了⼀项拆迁⼯程，原计划每天拆1250m2，因为准备⼯作不⾜，第⼀天少拆20%，从第⼆天开始，该⼯程队加快拆迁速度，第三天就拆迁了1440m2，问：（1）该⼯程队第⼀天拆迁⾯积是1000m2（2）若该⼯程队第⼆、三天拆迁⾯积⽐前⼀天增加的百分数相同，求这个百分数．考点：⼀元⼆次⽅程的应⽤．专题：增长率问题；⼯程问题．分析：（1）第⼀天拆迁⾯积=原计划的拆迁⾯积×（1-20%），把相关数值代⼊计算即可；（2）等量关系为：第⼀天的拆迁⾯积×（1+百分数）2=第3天的拆迁⾯积，把相关数值代⼊计算即可．解答：解：（1）该⼯程队第⼀天拆迁⾯积是1250×（1-20%）1000m2，故答案为1000；（2）解：设这个百分数是x.1000（1+x）2=1440．（1+x）2=1.441+x=±1.2x1=1.2-1=0.2=20%，x2=-1.2-1=-2.2经检验：x2=-2.2不合题意，舍去，只取x1=20%，答：这个百分数是20%．点评：考查⼀元⼆次⽅程的应⽤；求平均变化率的⽅法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．。
实际问题与一元二次方程(平均增长率问题)
y 0.225, y 1.775(不合题意, 舍去)
1
2
乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
答：两种药品成本的年平均下降率相同均为22.5%
练习:
3.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低 19%，那么平均每年需降低百分之几?（只列方程 不解方程） 解 设平均每年需降低的百分数为x，由题意得 (1-x)2=1-19%
甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
设乙种药品成本的年平均下降率为y,则一年后乙种 药品成本为__ 6000_(_1_-_y_)__元,两年后乙种药品成本 为 ____6_0_0_0_(_1_-_y_)_2__元,依题意得
6000(1 y)2 3600. 即：1 y2 = 3 5 解方程,得
平均增长率问题
问题1 思考，并填空：
1．某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年 的产量为 60 000 kg，第二年的产量为__6_0_0_0_（0__1_+__x）_ kg， 第三年的产量为__6_0__0_0_0（__1_+_x_）_2 _ kg．
2．某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是 __a（__1_-_x_）__吨．2014 年的产量将是__a（__1_-__x）__2 _吨．
4、某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的 年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分 率是多少？（只列方程不解方程）
解：设平均每次降息的百分率是x，由题意得 2.25%(1-x)2=1.98%
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x)2 b
九年级数学 实际问题与一元二次方程--增长率
720吨,平均每月增长率是x,列方程( B
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年
的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投
资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
练习：塔城地区开展“科技下乡”活动三年
___2_0_0_0______年；
两年19绿98地199面9 积20的00 年20平01
（2）为满足城市发展的需要，计划 均增长率为10%．
到2003年底使城区绿地面积达到72.6
公顷，试求2002年,2003年两年绿地
面积的年平均增长率。
课堂作业
一、P26 10 二、P22 7（只列式，不计算）
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
用 直接开平方法
1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克 ，2003年平均每公顷产8712千克，求水稻每公 顷产量的年平均增长率。
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意的， 7200 (1 x)2 8712
系数化为1得， (1 x)2 1.21
直接开平方得， 1 x 1.1;1 x 1.1 则答：x水1 稻 每0.公1顷产量x2 的 年2平.1(均不增合长题率意为舍1去 0%）。
2.某公司2009年的各项经营中，一月份的营业额为200万元
，一月、 二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营
业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x;则 二月份营业额为：_____2_0_0_(1_+_x_)_______
实际问题与一元二次方程增长率
a
5
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙 种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲 种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大?
a
9
小试牛刀
3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预 计今明两年的投资总额为8万元,若设该校 今明两年在实验器材投资上的平均增长率
是x,则可列方程为 2(1x)2(1x)28 .
a
10
如何解增长率问题?
A(1+x)2=B A(1-x)2=B
(1)原来数量为A,后来数量B,经过某两个 时间单位,求增长率(降低率) x.
§22.3实际问题与一元二次方程
把实际问题转化为有关一元二次方程的问 题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际 问题中相关数量之间的相等关系，并把这样 的关系 “翻译”为一元二次方程。
列方程解一些实际问题的过程是一个“数 学建模”的过程，这个过程中常常需要文字 语言、图形语言、符号语言的相互转换．
a
a
24
有一张长方形桌子，它的长为2m , 宽为1m.有一块长方形台布，它的面积 是桌子面积的2倍，将台布铺在桌面上 时，各边垂下的长相等.求这块台布的 长和宽（均精确到0.01m）.
解：设台布各边垂下的长为xm， 则台布的长为（2x+2）m, 宽为(2x+1)m，
根据题意，得 (2 x 2 )(2 x 1 ) 2 2 1 .
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率 不一定较大,应比较降前及降后的价格.
a
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由于升价的百分率不可能是负数，所以x2=-2.1不合题意，舍去
答：每次升价的百分率为10%.
8.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储 蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利 息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储 蓄的年利率.（精确到0.1%） 9.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程 改革试验，重视学生能力培养 . 初一阶段就有 48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增 加，到三年级结束共有 183人次在市级以上得 奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
2 2 ( 1 x ) 2 ( 1 x ) 9 . 5 则可列方程为 .
2
3.某城区绿地面积不断增加，2011年底的绿地面积为60 公顷，为满足城市发展的需要，计划到2013年底使城区 绿地面积达到72.6公顷，试求2012年,2013年两年绿地 面积的年平均增长率。
解：设2012年,2013年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得 60 (1＋x)2＝72.6 ． (1＋x)2=1.21． ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, x2 =－2.1(不合题意,舍去) 答： 2012年,2013年两年绿地面积的年平均增长率为10%．
n
a (1 x ) b
其中增长取+,降低取－
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元, 探究 : 随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品 的成本是3000元,甲种药品成本的年平均下 降率是多少? 如果：设甲种药品成本的平均下降率为x ，填 表
一年前 两年前 甲 成本（吨/ 成本（吨/元 ） 种 元） 药 （基数量） （第一次下 降） 品 现在 成本（吨/元 ） （第二次下 降）
2、注意： （1）1与x的位置不要调换，增长取“+”， 下降取“-” （2）解这类问题列出的方程一般 用直接开平方法，注意验根，看是否 符合实际意义。
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三 月的总产量为720吨,平均每月增长率
是x,列方程(
B
)
A.500(1+x)3=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某电脑公司2008年的各项经营中，1月份
的营业额为2万元，如果平均每月营业额的 增长率相同设为x
练习:
（1）若预计3月份的营业额为4.5万元，则
可列方程为
2(1 x) 4.5
2
.
（2）若预计1月、2月、3月的营业额共9.5
万元，
1.青山村种的水稻2001年平均每 公顷产7200kg,2003年平均每公 顷产8450kg,求水稻每公顷产量的 年平均增长率. 2.某银行经过最近的两次降息,使 一年期存款的年利率由2.25%降 至1.98%,平均每次降息的百分率 是多少(精确到0.01%)?
课后作业
1.有两个连续整数，它们的平方和为25， 求这两个数。
问题探究： 1、某厂今年1月份的总产量为100吨， 平均每月增长20%， 100 （ 1+20% ） 120 则:二月份总产量为 吨；
144 ） 吨。 三月份总产量为 100(1+20%
（填具体数字）
2
2、某厂今年1月份的总产量为 500吨，设平均每月增长率是x 则： 二月份总产量为 500(1+x) 吨； 2 500(1+x) 三月份总产量为 吨。 （填含x的式子）
2.有一个两位数，它的十位上的数字比个位上 的数字小2，十位上的数字与个位上的数字 之和的 3倍刚好等于这个两位数。求这个两 位数。 3.有一个两位数，它的个位上的数字与十位上 的数字之和是6，如果把它的个位数字与十 位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的 两位数所得的积等于1008，求调换位置后得 到的两位数。 •
3、某型号的手机连续两次降价,若两次降 价的百分率都为x,手机原来售价285， 则： 第一次降价后，手机的售价为 ( 1285(1-x) ) 元； 第二次降价后手机的售价为 ( 1285(1-x)2 ) 元（填含x的式子）
归纳： （1）增长率问题 设基数为a，平均增长率为x， 则一次增长后的值为 a (1 x) 二次增长后的值为
列出方程
5000
5000(1-x)
5000(1-x)2 5000 (1 x)2 3000
请把问题1完整过程解出来。
解:设甲种药品成本的年平均下降率
为x,依题意得
3 解方程,得 (1 x) 5
2
5000(1 x) 3000
2
答:甲种药品成本的年平均下降率约
3 1 x 5 15 15 x 1 1 x 5 5 x1 0.225, x2 1.775 （不合题意，舍去）
2
答:乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
比较:两种药品成本的年平均下降率？ 相同
练一练：某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面 积由2000年4万平方米，到2002年的8万平方米。求这两年该房 屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率？
1、平均增长（降低）率公式 2
a(1 x) b
4、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的 百分率.
5.已知20个家庭的年平均收入为1.6万元，要想这20个 家庭的年平均收入在2年后达到2.5万元,则每年的平均 增长率是多少?
解：设年平均增长率为x，根据题意， 得1.6 (1＋x)2＝2.5． (1＋x)2=
∴ x1 = 0.25=25%,x2 =－2.25(不合题意,舍去)
（2）降低率问题
a (1 x)
2
设基数为a，平均降低率为x， 则一次降低后的值为 a (1 x) 二次降低后的值为
a (1 x)
2
小结 类似地 这种变化率的问题在实际
生活中普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x, 增长(或降低)前的是基数量a, 增长(或降低)n次后的量是b, 则它们的数量关系可表示为
为22.5%.
两年前生产 1吨乙种药品的成本是6000元,随着生 探究 2
产技术的进步,现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，乙 种药品成本的年平均下降率是多少?
解: 设乙种药品成本的年平均下降率为y,则依题意得
6000(1 y) 3600
2
解方程,得
y
1
0.225, y 1.775 (不合题意 , 舍去)
答：每年的年平均增长率为25%．
25 ．∴1＋x=±1.25． 16
6.某药品经两次降价，零售价பைடு நூலகம்为原来的一 半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价 的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位， 每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 1 x 2 1
解这个方程，得
2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
7.某药品两次升价，零售价升为原来的 1.21倍，已知两 次升价的百分率一样，求每次升价的百分率.
解，设原价为a元，每次升价的百分率为x， 根据题意，得 a (1 x)2 1.21a
解这个方程，得 (1 x)
x1 0.1
2
1.21 1 x 1.1 x2 2.1